Breuken in de breuk update juli 2013 © WISNET-HBO De bedoeling van deze les is het repeteren met pen en papier van het werken met breuken. Steeds wordt bij gebruik van letters verondersteld dat de noemers van de breuken niet gelijk zijn aan 0.
1 Breuken vermenigvuldigen en delen (breuken in de breuk) 1.1 Vermenigvuldigen met breuken Bij het vermenigvuldigen van breuken kun je de tellers met elkaar vermenigvuldigen en de noemers met elkaar vermenigvuldigen. (Denk ook aan
=
.)
Er kan niets weggestreept worden.
Vergeet niet te vereenvoudigen als dat kan, dat wil zeggen dat je teller en noemer door hetzelfde mag delen.
=
Er is hier boven en beneden een
én een
Beneden de streep staat in totaal: Je kunt dan inderdaad één en één
weggestreept. 3 .
. boven en onder wegstrepen.
Dit wegstrepen kan alleen met factoren en niet met termen. kan niet vereenvoudigd worden tot
kan wél vereenvoudigd worden tot (Schuin wegstrepen kan dus ook.)
Voorbeeld 1 (met getallen) In dit voorbeeld valt niets weg te strepen. =
Voorbeeld 1a (met getallen wegstrepen) In dit voorbeeld valt wel iets weg te strepen. = Er is namelijk de 2 weggestreept. Je kunt ook eerst uitrekenen dat er
uit komt maar dan moet je toch weer
vereenvoudigen en boven en onder delen door 2. Daarom kun je beter metéén de 2 wegdelen.
Voorbeeld 2 (machten) Vereenvoudig de volgende vorm:
Je kunt boven en onder door een
en een
delen.
Zie uitleg aan het begin van deze paragraaf.
Voorbeeld 3 (machten) Vereenvoudig de volgende vorm: = Boven en onder delen door 2 delen, door
en door
.
=
Zie eventueel voor het werken met het minteken in een aparte les. Zoek deze les over het minteken zonodig op met de zoekfunctie in Wisnet.
Voorbeeld 4 (machten)
=
=
= Begin met de getallen en werk daarna de letters alfabetisch af. Kun je nog niet goed met machten omgaan, dan is er een les met oefeningen met machten. Zoek deze les zonodig op met de zoekfunctie van Wisnet.
Voorbeeld 5 Vermenigvuldigen van twee breuken. Vermenigvuldig de tellers én de noemers met elkaar.
=
aanwijzing Dus moet in zijn geheel vermenigvuldigd worden met . Als je met haakjes werkt, zie je het beter. = . Zo doe je ook met de noemer = met de computer > restart; (a+3)/(b-5)*(b/a);
> normal(%,expanded);
Oefeningen om zelf te doen Met pen en papier! Herleid de volgende breuken tot een zo eenvoudig mogelijke vorm.
vraag 1 = antwoord > 3*x^3*y^4/(27*x*y);
vraag 2
= antwoord > 5*(-x^3/(x*y))^2*(-4*x*y)^3;
>
vraag 3
= antwoord > (a^2*b^3/(3*a))^2;
1.2 Delen met breuken (breuken in de breuk) Bekend is dat als je deelt door 2, dan vermenigvuldig je eigenlijk met
. (Je neemt dan
de helft wordt ook wel gezegd.) Andersom geldt dat ook: als je deelt door
, dan vermenigvuldig je eigenlijk met 2.
1.2.1 Makkelijk begin Kijk bij de volgende samengestelde breuken hoe je ze intikt en wat het resultaat is. Het gaat erom dat je de structuur van de formule begrijpt. vb1 Dit is de hoofdbreukstreep =
antwoord > 3/(2/x);
> 3*(x/2);
Delen door één breuk is vermenigvuldigen met het omgekeerde. vb2
Dit is de hoofdbreukstreep =
antwoord Delen door een breuk is vermenigvuldigen met het omgekeerde. > (4/y)/(3/x);
> (4/y)*(x/3);
vb3 Dit is de hoofdbreukstreep =
antwoord Vermenigvuldig boven en onder de hoofdbreukstreep met x. > (2/x)/y;
> (2/x)/(y/1);
> (2/x)*(1/y);
vb4
Dit is de hoofdbreukstreep =
antwoord Let goed op de structuur van de formule.
> ((a*b*c)/d)/((a*c)/(b*d));
Delen door een breuk is vermenigvuldigen met het omgekeerde. > ((a*b*c)/d)*(b*d)/(a*c);
aanwijzing Delen door een breuk is vermenigvuldigen met het omgekeerde. = Boven en onder een wegstrepen (mag ook schuin wegstrepen als er toch keer tussen de breuken staat). Boven en onder een wegstrepen en ten slotte boven en onder een wegstrepen. Blijft over
.
Voorbeeld 1 Vereenvoudig de volgende samengestelde breuk.
=
Methode 1 antwoord met delen door één breuk is vermenigvuldigen met het omgekeerde van die breuk
=
Delen door een breuk is vermenigvuldigen met het omgekeerde van die breuk: ( Haakjes wegwerken:
=
=
Methode 2 antwoord met teller en noemer met hetzelfde vermenigvuldigen Het komt neer op: teller en noemer met hetzelfde vermenigvuldigen. Hier is teller en noemer is hier met a vermenigvuldigd zodat het ook direct opgeschreven kan worden als:
=
Nu de teller haakjes wegwerken en de noemer vereenvoudigen:
Voorbeeld 2 Vereenvoudig de volgende samengestelde breuk
=
antwoord door teller en noemer met a te vermenigvuldigen Bij deze breuk ga je de teller én de noemer met a vermenigvuldigen en vervolgens de haakjes wegwerken.
=
Nu teller én noemer met a vermenigvuldigen:
=
Werk nu boven en onder de buitenste haakjes weg:
= Let op dat
.
Let op! Er kan in deze breuk NIETS weggestreept worden. Er staan immers min-tekens en plus-tekens. Vergelijk de situatie met de volgende als er sprake was geweest van een vermenigvuldiging waarbij je kunt wegstrepen. wegstrepen Bij de volgende breuk staat er een vermenigvuldiging en kan er weggestreept worden! Er is een duidelijk verschil met de oorspronkelijke opdracht!
=
antwoord
aanwijzing Er kan nu namelijk de hele factor (
) in zijn geheel boven en onder
weggestreept worden, omdat er sprake is van een vermenigvuldiging.
Dit was dus een ander vraagstuk dan de oorspronkelijke waar het ging om de volgende vorm:
Daarin kan dus niet zo gemakkelijk iets worden weggestreept.
voorbeeld 3 LET OP, DEZE IS BELANGRIJK! Vereenvoudig de volgende vorm:
tip Vermenigvuldig teller en noemer met antwoord Vermenigvuldigen met
in de teller en in de noemer levert het volgende: =
=
aanwijzing Een veelgemaakte fout is dat je misschien denkt dat aan
. Dit is niet waar!!!
gelijk zou zijn
Wél waar is =
=
met de computer > 5/((s+1/2)^3);
> simplify(%);
Oefening om zelf te doen Deze vragen gaan over het delen met breuken. Je ziet dan breuken in een breuk. Let goed op wat de hoofdbreukstreep is. vraag 1 Vereenvoudig de volgende vorm
aanwijzing Er zijn meer mogelijkheden om dit aan te pakken. Eerst kunnen de haakjes weggewerkt worden en daarna kan de teller en de noemer beiden met a vermenigvuldigd worden. Let hierbij op hoe de haakjes weggewerkt dienen te worden! Kijk bijvoorbeeld eerst eens naar de teller (boven de streep) van de breuk die gegeven is
. Doe hetzelfde met de noemer (onder de streep) en ga vervolgens teller én noemer met vermenigvuldigen. Vergeet niet dit met pen en papier te doen. Uit het hoofd kan haast niet! antwoord > (3*a-(1+2/a))/(a-(1+1/a)):%=simplify(%);
vraag 2 Vereenvoudig de volgende samengestelde breuk.
=
Tip Vermenigvuldig eerst teller en noemer met x:
=
=
Vervolgens op dezelfde manier nogmaals teller en noemer met x vermenigvuldigen. Zie ook vorige voorbeeld. antwoord Kom tot het antwoord in een paar verschillende stappen met pen en papier! Vermenigvuldig eerst teller en noemer met en daarna nogmaals. > (1-(1-1/x)/x)/(1-(1+1/x)/x):%=simplify(%);
vraag 3 Herleid de volgende samengestelde breuk zo goed mogelijk.
=
tip 1 Werk eerst de haakjes weg in de noemer
tip 2 Vermenigvuldig nu alles in de teller én alles in de noemer met
tip 3 Je kunt het nu verder zo laten staan of in de teller ontbinden in factoren, dat kan ook, in de hoop dat er nog iets weg te strepen valt.
Er valt niets meer weg te strepen dus zo kan het ook blijven staan. antwoord > (3*x^2+1/x)/(x+(1/(2*x))^2):%=simplify(%);
Eventueel kunnen in de teller de haakjes nog weggewerkt worden. Echter er kan niets weggestreept worden!. vraag 4 Herleid de volgende samengestelde breuk zo goed mogelijk.
=
tip Werk de haakje weg in de noemer en vermenigvuldig teller en noemer met 9 . antwoord > (s+1/3)/((s+1/3)^2+4):%=simplify(%);
Werk eventueel de haakjes weg in de teller van dit antwoord.
1.3 Oefeningen met vermenigvuldigen en delen Vereenvoudigings oefeningen.
Vraag 1 Schrijf de volgende vermenigvuldiging als één breuk.
=
antwoord > 2*p^3*1/(p*q)*(-5*p^3/q);
Vraag 2 Schrijf de volgende vermenigvuldiging als één breuk.
= aanwijzing De factoren ( ) en ( ) kunnen als geheel weggestreept worden boven en onder de streep. Dat wil dus zeggen dat je de teller en de noemer van de uiteindelijke breuk door hetzelfde deelt. Bovendien kan er onder en boven ook nog een factor a weggestreept worden.
antwoord > (4*a-1)*b/(3*a)*2*a^3/(b-1)*(b-1)/(4*a-1);
Vraag 3 Schrijf de volgende vermenigvuldiging als één breuk.
=
aanwijzing Schrijf als (verschil van twee kwadraten), zodat gelijke factoren boven en onder weggestreept kunnen worden. Als je dit niet goed kunt, oefen dan met het wegwerken van haakjes. Zie ook bij onderwerp Haakjes wegwerken. LET OP Dit wegstrepen kan alleen met factoren en niet met termen.
kan niet vereenvoudigd worden tot Vul maar getallen in voor a en b! kan wél vereenvoudigd worden tot Stel
dan is
=
antwoord > simplify((a^2-b^2)/(a*b)*a^3/(a+b)*(-b^4));
Lukt het niet goed met deze drie vragen, bekijk dan de aparte oefeningen en voorbeelden van paragraaf vermenigvuldigen met breuken en delen met breuken.
