2 Verhoudingen, procenten, breuken en kommagetallen

Rekenen en wiskunde uitgelegd

Kennisbasis voor leerkrachten basisonderwijs

Uitwerkingen van de opgaven bij de basisvaardigheden

2 Verhoudingen, procenten, breuken en kommagetallen Peter Ale Martine van Schaik

u i t g e v e r ij coutinho bussum 2011

c

Deze uitwerkingen van de opgaven bij de basisvaardigheden horen bij Rekenen en wiskunde uitgelegd van Peter Ale en Martine van Schaik.

© 2011 Uitgeverij Coutinho b.v. Alle rechten voorbehouden. Behoudens de in of krachtens de Auteurswet van 1912 gestelde uitzonderingen mag niets uit deze uitgave worden verveelvoudigd, opgeslagen in een geautomatiseerd gegevensbestand, of openbaar gemaakt, in enige vorm of op enige wijze, hetzij elektronisch, mechanisch, door fotokopieën, opnamen, of op enige andere manier, zonder voorafgaande schriftelijke toestemming van de uitgever. Voor zover het maken van reprografische verveelvoudigingen uit deze uitgave is toegestaan op grond van artikel 16 h Auteurswet 1912 dient men de daarvoor wettelijk verschuldigde vergoedingen te voldoen aan Stichting Reprorecht (Postbus 3051, 2130 KB Hoofddorp, www.reprorecht.nl). Voor het overnemen van (een) gedeelte(n) uit deze uitgave in bloemlezingen, readers en andere compilatiewerken (artikel 16h Auteurswet 1912) kan men zich wenden tot Stichting PRO (Stichting Publicatie- en Reproductierechten Organisatie, Postbus 3060, 2130 KB Hoofddorp, www.stichting-pro.nl). Uitgeverij Coutinho Postbus 333 1400 AH Bussum [email protected] www.coutinho.nl Noot van de uitgever Wij hebben alle moeite gedaan om rechthebbenden van copyright te achterhalen. Personen of instanties die aanspraak maken op bepaalde rechten, wordt vriendelijk verzocht contact op te nemen met de uitgever. ISBN 978 90 469 0272 1 NUR 123

Algemeen Vul de volgende dubbele getallenlijnen helemaal in.

5 … … … … 35

0 … … … … 1 8 … … … … 9

1 4

7 8 … … … …

… … … … …

0,875 … … … 0,9 …

Getallenlijn boven Boven de streep wordt een afstand van 30 overbrugd in vijf gelijke sprongen. Dit houdt in dat er per sprong 30 : 5 = 6 bij wordt opgeteld. Het gedeelte onder de streep loopt van 0 tot 1. Hier stelt elke sprong dus 1 : 5 = 0,2 voor. De ingevulde getallenlijn ziet er dus als volgt uit: +30

+6

+6

+6

+6

+6

5

11

17

23

29

35

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

+ 0,2

+ 0,2

+ 0,2

+ 0,2

+ 0,2

Getallenlijn midden De getallenlijn gaat boven de streep van 8 naar 9 in vijf gelijke sprongen, die elk 1 : 5 = 0,2 groot zijn. Van het onderste gedeelte is alleen bekend dat 8+1zich verhoudt tot 14. Het principe van de dubbele getallenlijn is dat de getallen boven de streep een constante verhouding met de getallen onder de + 0,2 + 0,2 + 0,2 + 0,2 + 0,2 streep hebben. De verhouding is in dit geval 8 : 14 = 32. Het volgende getal boven de streep is 8,2. 8,2 82 41 Het getal eronder is dan 32 = 320 = (via grootste gemene deler) 160 . Zo is elk getal in deze lijn te achterhalen. 8,4 8 8,2 9 8,6 8 8,8 Of je beredeneert het onderste gedeelte van de getallenlijn als volgt: 14 = 32 . Het laatste getal, onder 9 1 de19, moet dan wel 41 zijn. Het verschil21van begin tot eind43 van de getallenlijn11 is dus 32 . Die afstand 32 9 ___ ___ ___ __ ___ 1 1 8 40 ___ verdeel je over 5 stappen van : 5 = . Vervolgens reken je de andere stappen uit. en 4 80 160 40 160 32 160 32 = 160, 32 1 41 42 elke stap komt er 160 bij. De volgende stappen zijn dus, 160 , 160, enzovoort. Vergeet niet te vereenvoudigen als dat kan.

Uitwerkingen van de opgaven bij de basisvaardigheden, H2 bij Rekenen en wiskunde uitgelegd – 3/19 1 ___

1 ___

1 ___

1 ___

1 ___

+6

+6

+6

5

11

17

0

0,2

0,4

De ingevulde getallenlijn ziet er dus als volgt uit:

++ 0,2 0,2

++ 0,2 0,2

+1

+6

+6

23

29

35

0,6

0,8

1

++ 0,2 0,2

++ 0,2 0,2

++ 0,2 0,2

8

8,2

8,4

8,6

8,8

9

1 __ 4

41 ___ 160

21 ___ 80

43 ___ 160

11 ___ 40

9 ___ 32

+ 0,2

+ 0,2

+1 + 0,2

+ 0,2

+ 0,2

Getallenlijn onder Bij deze rij beginnen we bij het onderste gedeelte, omdat daar het meeste van bekend is. In deze rij zijn er vier gelijke sprongen nodig om van 0,875 naar 0,9 te komen. Dit is een afstand van 0,025, ofte8,4 8 1 8,2 9 8,6 8,8 1 wel 40 . Omdat dit in vier sprongen gebeurt, komt er per sprong 160 bij. Kijken we dan naar 41 de verhouding met21 de getallen boven 43 de streep,1zien we dat 0,875 =1 78 (is ook9 1 1 1 1 11 ___ ___ __ ___ ___ ___ ___ ___ + ___ + ___ + ___ het4 getal+dat bovenste gedeelte van aan wordt+gekoppeld). 160 in het160 160 160 160 160 80 de getallenlijn 160 dit kommagetal 40 32 1 1 141 Het volgende getal is dus 78 + 160 = 140 + = . Zo is elk getal in deze lijn te achterhalen. 160 160 160 Het bovenste gedeelte van deze rij komt dus overeen met de breuk van het kommagetal onder de streep. Deze zijn al 141 berekend voor het achterhalen van de143 getallen onder de streep en moeten enkel 7 71 9 29 __ __ __ __ __ __ 8 vereenvoudigd160 160 10 32 nog worden. Dit is goed80te doen met de grootste gemene deler. De ingevulde getallenlijn ziet er dus als volgt uit: 0,88125

0,875

1 + ___ 160 + 0,00625

0,8875

1 + ___ 160 + 0,00625

0,89375

1 + ___ 160 + 0,00625

0,9

1 + ___ 160 + 0,00625

0,90625

1 + ___ 160 + 0,00625

7 __ 8

141 __ 160

71 __ 80

143 __ 160

9 __ 10

29 __ 32

0,875

0,88125

0,8875

0,89375

0,9

0,90625

+ 0,00625

+ 0,00625

+ 0,00625

+ 0,00625

+ 0,00625

Verhoudingen 1 Tussen Keulen en Parijs is de afstand op een kaart 13 cm. In werkelijkheid is de afstand 390 km. Op welke schaal is de kaart gemaakt? 13 cm : 390 km, dat is 13 cm : 390.000 m. Dat komt overeen met 13 cm : 39.000.000 cm en dat is te vereenvoudigen tot 1 : 3.000.000. 2 Op een bouwdoos van een model van de Titanic staat ‘De Titanic was 268 meter lang’ en ‘Schaal 1 : 500’. Hoe lang is het model van de Titanic? De schaal is 1 : 500. Het model is dus 500 keer zo klein als het echte schip. 268 m in het echt wordt dus in het model 268 : 500 = 0,536 m = 53,6 cm.

Uitwerkingen van de opgaven bij de basisvaardigheden, H2 bij Rekenen en wiskunde uitgelegd – 4/19

3 Op een kaart heeft het Noordhollandsch Kanaal een lengte van ongeveer 50 cm. In het echt heeft het kanaal een lengte van 75 km. Wat is de schaal van deze kaart? 50 cm : 75 km, dat is 50 cm : 7.500.000 cm. Dit is te vereenvoudigen tot 1 : 150.000. 4 Op een kaart van Amsterdam staat ‘schaal 1 : 15.000’. De Coentunnel heeft op de kaart een lengte van 6 cm en 4 mm. Hoe lang (in km) is de Coentunnel in het echt? Op de kaart is de Coentunnel 6,4 cm lang. Volgens de schaal is hij in het echt dan 15.000 x 6,4 cm lang. Dat is 96.000 cm = 960 m = 0,96 km lang. 5 De directeur van basisschool De Flierefluiter heeft een meevaller van € 3640,-. Hij gaat dat verdelen over de onderbouw en de middenbouw in de verhouding 3 : 4. Hoeveel krijgt elke bouw? De onderbouw krijgt 37 en de bovenbouw krijgt 47. Dat komt neer op: 37 x € 3640,- = € 3640,- : 7 x 3 = € 1560,- en 47 x € 3640,- = € 3640,- : 7 x 4 = € 2080,-. 6 Fatima maakt nasi voor 15 personen. Voor 6 personen gebruikt zij 500 gram rijst. Hoeveel gram rijst heeft zij nu nodig? Fatima gebruikt 500 : 6 = 8313 gram per persoon. In totaal heeft ze dus 15 x 8313 = 1250 gram rijst nodig. 7 Anton, Bert en Cees zijn inbrekers. Ze verdelen een buit van € 1200,- in de verhouding 1 : 2 : 3. Hoeveel krijgen Anton en Bert? Anton ontvangt 16 en Bert ontvangt 26 van de buit. Dat is voor Anton € 200,- en voor Bert € 400,-. 8 In een vergaderzaal zijn onderstaande tafels geplaatst. Hoeveel stoelen zijn er nodig voor vijf tafels?

Per tafel zijn er 3 stoelen nodig + nog 2 stoelen voor aan beide uiteinden. Bij 5 tafels zijn er dus 5 x 3 + 2 = 17 stoelen nodig. 9 De verhouding tussen de lengte en de breedte van een rechthoekig weiland is 3 : 2. De totale omtrek is 600 meter. Hoeveel meter is de lengte van het weiland? De omtrek wordt bepaald door tweemaal de lengte en tweemaal de breedte. De halve omtrek is uiteraard 300 en wordt bepaald door de lengte en de breedte. Namelijk lengte + breedte = 300. Omdat de verhouding van de lengte : de breedte bekend is, is na te gaan wat de afmetingen van dit weiland zijn. De lengte is dus 35 x 300 = 180 meter.


10 De schaduw van een kerktoren is 4,2 meter lang. Een paal van 3 meter hoog staat naast de toren en geeft een schaduw van 12 cm. Hoe hoog is de toren in cm? Een paal van 3 meter geeft een schaduw van 12 cm. De schaduw van de kerktoren is 4,2 meter. Dat is 420 cm. Deze schaduw is dus 35 keer zo groot als de schaduw van de paal. De kerktoren zal dus ook 35 keer zo groot zijn en dus 3 x 35 = 105 meter. Dat is 10.500 cm. 11 Een astronaut (zonder pak) weegt 80 kg op aarde, terwijl hij met pak 36 kg weegt op de maan. Zijn ruimtepak weegt op de aarde 30 kg. Hoeveel weegt het pak op de maan? 30 3 De man weegt op aarde 80 kg. Met pak weegt hij 80 + 30 = 110 kg. Het pak is dus 110 = 11 van het totale gewicht van man met pak. De astronaut met pak weegt op de maan nog maar 36 kg. 3 9 Het ruimtepak weegt op de maan dus 11 x 36 = 108 11 = 911 kg. 12 Een auto heeft een snelheid van 90 km per uur. Hoeveel meter legt de auto af in 2 seconden? Wanneer hij 90 km in 1 uur rijdt, rijdt hij 90.000 meter in 1 uur. 1 uur bestaat uit 3600 seconden en dus rijdt hij per seconde 90.000 : 3600 = 25 meter. In 2 seconden legt hij dus 50 meter af. De berekening kan ook in één keer. Nu deed je namelijk eerst x 1000 (om tot meters te komen) en vervolgens : 3600 (om tot seconden te komen). Je kunt natuurlijk ook in één keer 90 : 3,6 berekenen om van km/uur naar m/s te komen. 13 Caroline maakt twee soorten grijze verf door zwarte verf en witte verf te mengen. Mengsel 1 maakt zij door bij 7 blikken witte verf 34 blik zwarte verf te doen. Mengsel 2 maakt zij door bij 10 blikken witte verf 1,2 blik zwarte verf te doen. Welk mengsel heeft de donkerste kleur? Mengsel 2, omdat 7 : 0,75 = 700 : 75 en 10 : 1,2 = 70 : 8,4 = 700 : 84. In het laatste geval worden dus 84 blikken zwart toegevoegd aan 700 blikken wit, terwijl in mengsel 1 slechts 75 zwarte blikken verf worden toegevoegd aan 700 witte blikken. 14 Anna mengt 4 liter water en 2 liter siroop. Bert mengt 5 liter water en 3 liter siroop. Cor mengt 6 liter water en 4 liter siroop. Welke limonade is het minst zoet, en welke is het zoetst? Anna: 4 liter water en 2 liter siroop. Bert: 5 liter water en 3 liter siroop. Cor: 6 liter water en 4 liter siroop. Alle limonademengsels zijn goed terug te brengen tot 1 liter siroop. Anna gebruikt bij 1 liter siroop 2 liter water, Bert gebruikt 53 = 123 liter water. Zijn limonade is dus al zoeter dan die van Anna (gebruikt minder water bij dezelfde hoeveelheid siroop). Cor gebruikt 64 = 112 liter water bij 1 liter siroop. Dat is nog minder dan wat Bert toevoegt. Zijn limonade is dus het zoetst, terwijl die van Anna het minst zoet is. 15 Bij Albert Heijn kost spaghettisaus van Heinz € 2,09 per pot van 375 gram. Een pot saus van Grand’ Italia van 450 gram kost € 2,49. Bereken welke saus naar verhouding het duurst is. Beide sauzen zijn qua gewicht te vermenigvuldigen tot 2250 gram. Wanneer je namelijk het kleinste gemene veelvoud zoekt van deze getallen kom je erachter dat 5 x 450 = 2250 en 6 x 375 = 2250. € 2,09 x 6 = € 12,54 en € 2,49 x 5 = € 12,45. De Heinzsaus is dus naar verhouding iets duurder.


16 Moeder is 3 keer zo lang als haar zoon. Vader is 4 keer zo lang als zijn zoon. Moeder en vader zijn samen 3,5 meter lang. Hoe lang is de zoon? Als de lengte van het kind x is, is de lengte van de vader 4x en die van de moeder 3x. Samen zijn ze 3,5 meter. We weten dus dat 7x = 3,5, en dus dat het kind 0,5 meter lang is (een baby dus). 17 Gea en Lea sparen allebei voor hun uitzet. Op een dag leggen ze hun geld bij elkaar. Dan blijkt dat Gea drie keer zo veel heeft gespaard als Lea. Ze tellen het gezamenlijke bedrag: € 936,-. Hoeveel euro had Lea gespaard? Je kunt dit op twee manieren berekenen. Gea heeft drie keer zo veel gespaard als Lea. De verhouding waarin Gea en Lea gespaard hebben is dus 3 : 1. Samen hebben zij € 936,- gespaard. Lea heeft hier 14 van gespaard en dat is 14 x € 936,- = € 234,Of: G = 3L. G + L = 936 3L + L = 936 L = 936 : 4 = 234 Eigenlijk doe je hier hetzelfde, je noteert het alleen zonder woorden. 18 Kadisha verliest 60 knikkers. Nu heeft zij nog maar 25 deel van wat zij eerst had. Hoeveel knikkers had zij eerst? Kadisha heeft nadat ze 60 knikkers verloren had, nog maar 25 deel over. Ze heeft dus 35 deel verloren = 60 knikkers. 15 deel is 60 : 3 = 20 knikkers. Eerst had zij dus 5 x 20 = 100 knikkers. 19 Boer A heeft 24 koeien op 3 ha weiland. Boer B heeft 15 koeien op 2 ha weiland. Bij welke boer hebben de koeien de meeste ruimte om te grazen? Deze opgave kun je op twee manieren oplossen, namelijk door het gemiddelde aantal koeien per hectare te berekenen of door te berekenen hoeveel koeien deze boeren zouden hebben bij een gezamenlijk aantal hectare. Bij boer B staan gemiddeld 7,5 koeien per hectare, terwijl bij boer A 8 koeien per hectare grazen. Boer A zou 48 (= 24 x 2) koeien hebben bij 6 ha, terwijl boer B 45 (= 15 x 3) koeien zou hebben bij 6 ha. Het antwoord moet dus zijn: bij boer B hebben de koeien relatief de meeste ruimte om te grazen.


Procenten 1 Bereken de uitkomst en beschrijf om welke soort procentensom het gaat. a … % van 4500 = 90 Voorbeeld van: van getal naar percentage. De vraag is hier namelijk hoeveel procent 90 van 4500 is. Het antwoord is 2%, omdat 1% van 4500 = 45 en 45 x 2 = 90 en dus 90 : 4500 = 0,02, dat is 2%. b … % van 32 = 7 Voorbeeld van: van getal naar percentage. 7 : 0,32 = 21 rest 0,28. 0,28 : 0,32 = 7 : 8. Het gezochte percentage is dus 2178%. c … % van 68 = 30,6 Voorbeeld van: van getal naar percentage. 30,6 : 0,68 = 45. Het gezochte percentage is dus 45%. d … % van 85 = 4,25 Voorbeeld van: van getal naar percentage. 4,25 : 0,85 = 5. Het gezochte percentage is dus 5%. e ... % van 65 = 9 Voorbeeld van: van getal naar percentage. 9 : 0,65 = 13 rest 0,55. 0,55 : 0,65 = 11 : 13. Het gezochte percentage is dus 1311 13%. 2 Jan verkoopt na het eindexamen zijn readers aan Kees voor € 7,15 per stuk. Hij zegt dat Kees nu 35% minder voor een reader betaalt dan hijzelf vorig jaar. Hoeveel betaalde Jan vorig jaar voor een reader? Voorbeeld van: getal en percentage zijn bekend. € 7,15 is 65%. 7,15 : 0,65 = 11. Het gezochte antwoord is dus € 11,-. 3 Bereken in de volgende gevallen het percentage prijsdaling of prijsstijging. a De prijs van een voordeelurenkaart is gezakt van € 54,- naar € 47,-. Voorbeeld van: van getal naar percentage. 47 : 54 = 0,8703…, wat overeenkomt met ongeveer 87%. De vraag is echter niet hoeveel procent € 47,- van € 54,- is, maar wat de prijsdaling is. Die kun je berekenen door 47 te delen door 54 en vervolgens dit van de 100% af te halen (€ 54,- is immers 100%). De daling is dus 13% (100 - 87). Je kunt dit ook op een directere manier berekenen. Namelijk door eerst te kijken naar de daling in geld en dan te berekenen hoeveel procent dat is van het oorspronkelijke bedrag. 54 - 47 = 7. 7 : 54 = 0,12962…, wat overeenkomt met een daling van ongeveer 13%. Dit kun je ook met behulp van de volgende formule oplossen: nieuw−oud x 100. Dit is oud een formule die in de economie veel wordt aangeleerd. De formule berekent eerst het verschil tussen de twee bedragen en berekent vervolgens hoeveel procent dat verschil ( daling of stijging, negatief of positief) is van het oorspronkelijke bedrag, door te delen door de oude prijs. Om te komen tot percentages moet dit getal nog vermenigvuldigd worden met 100. Voor deze som krijg je dan: 47−54 −7 54 x 100 = 54 x 100 = -12,96%. Het minteken laat zien dat het hier om een daling gaat.


b Een pak melk stijgt in prijs van € 0,70 naar € 0,80. Voorbeeld van: van getal naar percentage. De stijging is 0,8 0,7 = 1,14285… wat overeenkomt met een stijging van 14%. Direct en in de 0,8−0,7 formule: x 100 = ongeveer 14%. 0,7

c Een busreis van € 795,- wordt aangeboden voor € 700,-. Voorbeeld van: van getal naar percentage. 95 De vraag is hier hoeveel 95 (het verschil tussen de twee bedragen) van de 795 is. 795 = 0,119496…, wat overeenkomt met een percentage van ongeveer 12%. In formule: 700−795 x 795 100 = −95 795 x 100 = -11,9496... Een daling van ongeveer 12 procent dus. d De prijs van een boek stijgt van € 19,50 naar € 22,50. Voorbeeld van: van getal naar percentage. De stijging is € 3,-. 3 : 19,5 = 0,15384…, wat overeenkomt met een stijging van ongeveer 15%. 4 De volgende bedragen zijn exclusief 19% btw. Reken ze om tot bedragen inclusief btw. € 150,-; € 300,-; € 250,-; € 620,-. € 150,- excl. btw = € 178,5 incl. btw, omdat 150 x 1,19 = 178,5. Je kunt het natuurlijk ook als volgt doen: 150 : 100 = 1,5. 1,5 is 1% van de 150, dus 19% is 28,5, 150 + 28,5 = 178,5. Echter, het is sneller om in één keer 150 x 1,19 of 150 x 119% te berekenen. Dit komt namelijk op hetzelfde neer, ga maar na! Dit is een voorbeeld van: van percentage naar getal. € 300,- excl. btw = € 357,- incl. btw, omdat 300 x 1,19 = 357. Dit is een voorbeeld van: van percentage naar getal. € 250,- excl. btw = € 297,50 incl. btw, omdat 250 x 1,19 = 297,5. Dit is een voorbeeld van: van percentage naar getal. € 620,- excl. btw = € 737,80 incl. btw, omdat 620 x 1,19 =737,8. Dit is een voorbeeld van: van percentage naar getal. 5 De volgende prijzen zijn inclusief 19% btw. Bereken de prijs exclusief btw. € 175,-; € 32.495,-; € 690,-; € 25,-. € 175,- incl. btw = € 147,06 excl. btw, omdat 175 : 1,19 (bedenk dat 175 119% is) = 147,06 en inderdaad 147,06 x 1,19 = 175. Dit is een voorbeeld van: van percentage naar getal. € 32.495,- incl. btw = € 27.306,72 excl. btw, omdat 32.495 : 1,19 = 27.306,72. Dit is een voorbeeld van: van percentage naar getal. € 690,- incl. btw = € 579,83 excl. btw, omdat 690 : 1,19 = 579,83. Dit is een voorbeeld van: van percentage naar getal. € 25,- incl. btw = € 21,01 excl. btw, omdat 25 : 1,19 = 21,01. Dit is een voorbeeld van: van percentage naar getal. 6 Op boeken is de btw niet 19%, maar slechts 6%. In de boekhandel kost een encyclopedie € 175,-. Wat is de prijs zonder btw? € 175,- : 1,06 = € 165,09. Dit is een voorbeeld van: van percentage naar getal.


7 De prijs van een artikel steeg gedurende de eerste zes maanden van 2010 met 5%. Gedurende de volgende zes maanden van 2010 steeg de prijs met 3%. Wat was de prijsstijging over het hele jaar 2010? Dit is een voorbeeld van vermenigvuldigen van percentages die bekend zijn en dus een voorbeeld van samengestelde interest. Je kunt een aanname doen van 100%, bijvoorbeeld dat dit € 200,- is. Wanneer de eerste stijging plaatsvindt, kost dit artikel € 210,- (= € 200,- x 1,05). Na de tweede stijging kost het artikel € 210,- x 1,03 = € 216,30. Kennelijk is er dus een stijging geweest van € 16,30 ten opzichte van € 200,-. Dat is een stijging van 16,3 : 200 = 0,0815; een stijging van 8,15% dus. Dit kan natuurlijk ook veel directer. Namelijk door 1,05 x 1,03 te berekenen, dit is 1,0815 en dus is er een stijging van 8,15%. 8 Een pak koffie van € 1,85 wordt 8% duurder. Met welk getal moet je de oude prijs vermenigvuldigen om de nieuwe prijs te vinden? Wat wordt de nieuwe prijs? Je moet 1,85 vermenigvuldigen met 1,08 om de nieuwe prijs te vinden. Dit wordt dan 1,998, dat zal worden afgerond op € 2,-. Dit is een voorbeeld van: getal en percentage zijn bekend. 9 De witgoedwinkel geeft korting op een lcd-tv: van € 950,- voor € 741,-. Hoeveel procent korting is dat? Dat is 22% korting; de korting is namelijk € 209,- en 209 : 950 = 0,22. Dit is een voorbeeld van: van getal naar percentage. 10 Actie! Kortingspercentage gelijk aan de temperatuur! Het is 23 graden buiten. Anita koopt een fiets die zij een tijd geleden voor € 1145,- zag staan. Hoeveel betaalt zij nu? Zij betaalt nu 23% minder en dus 77% van het oorspronkelijke bedrag. Dat is dus € 1145,- x 0,77 = € 881,65. Dit is een voorbeeld van: getal en percentage zijn bekend. 11 Francien boekt een driedaagse vakantiereis naar Parijs. Omdat zij een eenpersoonskamer reserveert, moet zij 12% extra betalen. Het totale bedrag op haar hotelrekening is € 349,-. Hoe hoog is het bedrag dat Francien extra moet betalen? Het totaalbedrag € 349,- is 112%, omdat hierin al die 12% extra is opgenomen. Het bedrag dat Francien extra moet betalen is dus € 37,39, omdat 349 : 1,12 = 311,61 en 349 - 311,61 = 37,39. Dit is een voorbeeld van: van percentage naar getal. 12 In 2001 zette Lex € 1200,- op een spaarrekening tegen een vaste rente per jaar. In het eerste jaar kreeg hij € 42,- bijgeschreven, terwijl hij niets had opgenomen of had bijgestort. Welk bedrag stond er in 2006 op zijn rekening (ervan uitgaande dat er niets bijkomt of afgaat, behalve de rente-uitkering)? Lex kreeg € 42,-. Die € 42,- was een bepaald percentage van zijn vermogen. Om te berekenen hoeveel procent rente Lex elk jaar ontvang bereken je 42 : 1200. Dat is 0,035, Lex heeft dus een rente van 3,5% per jaar. Gedurende de jaren 2001, 2002, 2003, 2004, 2005 heeft hij dus 3,5% rente ontvangen en is zijn vermogen van 1200 gestegen naar: € 1200,- x 1,035 x 1,035 x 1,035 x 1,035 x 1,035 = € 1200,- x 1,0355 = € 1425,22. Aan het einde van 2006 (en dus begin 2007) zal dit opgehoogd worden naar € 1475,11. Dit is een voorbeeld van: van getal naar percentage en vervolgens samengestelde interest.


13 Leonie kreeg van haar opa en oma bij haar geboorte een bedrag op een spaarrekening. De bank geeft elk jaar 2,5% rente. Hoeveel procent rente had ze na twee jaar? Dit is een voorbeeld van samengestelde interest. Ze heeft het eerste jaar namelijk 2,5% rente ontvangen en het tweede jaar ook. Na twee jaar heeft zij dus 1,025 x 1,025 = 1,050625 keer zo veel geld, wat overeenkomt met een rente van 5,06%. 14 Als ze tien jaar is heeft Leonie (zie opgave 13) een bedrag van € 2443,34 op haar rekening staan. Welk bedrag kreeg Leonie van haar grootouders als de rente al die tijd 2,5% was? Gebruik een geavanceerde rekenmachine. Ook dit is een voorbeeld van samengestelde interest, maar daarnaast wordt er ook gebruikgemaakt van: van percentage naar getal. Startbedrag x 1,02510 = 2443,34, dus 2443,34 : 1,02510 = startbedrag. Het startbedrag is dus € 1908,73. 15 Een student scoort 22 van de 40 punten voor deel A van een rekentoets en 39 van de 60 punten van deel B. In welk deel deed de student het procentueel gezien beter? Wat is over de hele toets zijn percentage goed gemaakte vragen? 22 39 40 = 0,55 en dus 55% van de punten, tegenover 60 = 0,65 en dus 65% van de punten. Deze student deed deel B beter dan deel A. Om het percentage goed gemaakte vragen te berekenen van de totale toets, deel A + deel B, kijk je naar het totale aantal vragen en het totale aantal goede antwoorden. De student heeft over de gehele toets een score van 22 + 39 = 61 punten van de 40 + 60 = 100 vragen en dus 61% van de vragen goed. Let op: je mag dus niet zomaar het gemiddelde nemen van de percentages van deel A en deel B. (Je zou dan immers rekenen met twee keer 100% van in dit geval twee delen die niet even zwaar zijn. Deel B heeft meer vragen, dus de score die je daar haalt weegt zwaarder in het totale resultaat.) Dit is een voorbeeld van: van getal naar percentage. 16 Bij de aankoop van een broek krijg je 15% korting. Je betaalt € 70,-. Hoeveel kostte de broek zonder de korting? 85% is € 70,-. 100% is dus € 70,- : 0,85 = € 82,35 Dit is een voorbeeld van: van percentage naar getal. 17 Als iemand zijn geld voor meerdere jaren op de bank zet, krijgt hij ook rente over de rente van de vorige jaren. In onderstaande tabel geeft de bank zelfs een hoger percentage als je het geld langer laat staan. Dubbel voordeel dus. Waarom zal de rente lager zijn als de renteuitkering per maand is? Reken het verschil uit. Spaardeposito 02-02-2011

1 jaar

2 jaar

3 jaar

4 jaar

5 jaar

6 jaar

10 jaar

1,50%

1,80%

2,20%

2,50%

2,85%

3,20%

4,00%

Bij rente-uitkering per maand is het percentage 0,25 procentpunt lager.

De rente is bij maandelijkse betaling lager, vanwege de samengestelde interest (rente-op-rente). Als je het bedrag bijvoorbeeld één jaar laat staan, en je laat per maand uitkeren, krijg je elke maand (1,25 : 12)% van je bedrag aan het begin van de vorige maand. Dat levert na twaalf


maanden (1,001041666)12 = 1,01257 keer het beginbedrag. Dat is dus een percentage van 1,257%. Als de bank bij maandelijkse uitkering zou vasthouden aan de 1,5%, zou het percentage over het hele jaar 1,51% zijn. Daarom verlagen ze het rentetarief (fors) bij maandelijkse uitkering.

Breuken 1 7 1 1 1 Teken de volgende breuken op een getallenlijn: 12, 35, 10 , 8, 7, 12 en 34. Maak een schema, zoals hieronder. Wanneer je onder dit schema een getallenlijn tekent en je trekt de uiteinden van het gearceerde gedeelte naar de getallenlijn, dan vind je op de getallenlijn de breuken in de goede volgorde.

0

1 1 1 12 10 7

1 2

3 5

3 4

7 8

1

4 2 13 = 28 91 1 11 6 = 66 7 4 23 = 21 69 3 11 88 5 24 = 4 = 32 464 6 456 = 29 6 = 96 6 1 7 23 + 25 = 10 15 + 15 = 115 8 114 + 12 = 114 + 24 = 134 3 19 9 23 + 18 = 16 24 + 24 = 24 6 2 1 10 156 + 14 = 120 24 + 24 = 224 = 212 28 19 11 234 + 279 = 227 36 + 236 = 536 4 7 4 12 613 + 121 = 621 + 121 = 711 21 2 1 20 1 21 7 13 83 + 30 = 830 + 30 = 830 = 810 5 5 14 137 - 57 = 10 7 -7=7 13 4 15 237 - 167 = 17 7 - 7 =7 5 3 2 16 113 - 15 = 115 - 15 = 115

3


3 5 17 115 - 13 = 115 - 15 = 13 15 5 9 10 23 18 138 - 12 = 124 - 24 = 24 = 1

19 20 21 22

2 1 2 3 x 5 = 15 5 9 45 1 5 9 5×9 9 x 25 = 225 = (via grootste gemene deler) 5 of 9 x 25 = 9×25 7 113 x 113 = 43 x 43 = 16 3 = 19 7 51 44 51×44 51 44 411 x 210 17 = 11 x 17 = 11×17 = 17 x 11 = 3 x 4 = 12

5 = 25 = 15.

23 Schrijf de volgende breuken in de decimale schrijfwijze. a b c d e

3 8 = 0,375 (= 3 x 0,125) 7 16 = 0,4375 (= 7 x 0,0625) 23 32 = 0,71875 (= 23 x 0,03125) 7 11 = 0,636363… (repeterende breuk) 7 9 = 0,7777… (repeterende breuk)

24 Schrijf de volgende getallen als breuk. 45 9 a 0,45 = 100 = 20 54 b 0,54 = 100 = 27 50 650 c 0,650 = 1000 = (via grootste gemene deler) 13 20 3030 303 d 0,3030 = 10.000 = 1000 1875 3 e 0,1875 = 10.000 = (via grootste gemene deler) 16

25 Welke breuk ligt precies in het midden tussen 35 en 45? 7 10

26 Welke breuk ligt precies in het midden tussen 37 en 47? 7 14 1 27 Welke breuk ligt precies in het midden tussen 16 en 10 ? 1 5 1 3 4 6 = 30, 10 = 30. Ertussen ligt 30. 6 4 28 Zet deze getallen in volgorde van klein naar groot: 59, 11 , 7. Gelijknamig maken is hier echt niet nodig (en juist heel veel rekenwerk). Alle breuken zijn namelijk net iets meer dan de helft. Dit zie je helemaal wanneer je teller en noemer van alle breuken verdubbelt, dan ontstaat er namelijk het volgende rijtje:

29

5 10 1 1 9 = 18 = 2 + 18 6 12 1 1 11 = 22 = 2 + 22 4 8 1 1 7 = 14 = 2 + 14 1 1 1 14 is natuurlijk groter dan 18 en de allerkleinste is 22. In volgorde van klein naar groot krijg je 6 5 4 dus: 11 9 7. Welke van deze getallen is het kleinste, en welke het grootste? 13; 0,33; 0,3 Je weet hoe 13 er als kommagetal uitziet. Je weet dat dit een repeterende breuk is, met een

0, dan de komma en na de komma oneindig veel drieën. Dat is meer dan 0,33(000…) en 0,3(000…) Het kleinste getal van deze rij getallen is 0,3. Het grootste is 13.


2 30 Geef aan welke van deze getallen het kleinste is, en welke het grootste: 23 7 ; 3,28; 38. 23 7 zegt ons nu nog niet zoveel, daarom is het handig om eerst de helen eruit te halen. Dan 2 2 2 ontstaat 23 7 = 37. 38 is natuurlijk kleiner dan 37. En na een beetje gereken kom je er al snel ach2 ter dat 37 meer is dan 3,28. Het grootste getal uit deze rij is dus 327 en het kleinste getal is 328 = 314 = 3,25.

31 423 : 512 = Allereerst is het goed om je te bedenken wat hier gevraagd wordt. Eigenlijk wordt hier gevraagd hoe vaak 5,5 in 4,666… past. Het antwoord kan dus nooit boven de 1 zijn! Vervolgens kun je gaan rekenen op twee manieren: 11 28 33 423 : 512 = 14 3 : 2 = 6 : 6 =

28÷33 28 6÷6 = 33 of door de breuken weg te werken, door groter of klei-

ner te maken. Wanneer je beide getallen vermenigvuldigt met 6 krijg je 28 : 33 = 28 33. 32 613 : 212 = 8 5 38 15 38 Bedenk dat dit ruim 2 maal past. 613 : 212 = 19 3 : 2 = 6 : 6 = 15 = 215. 8 Je kunt ook deze getallen 6 keer zo groot maken. Je krijgt dan 38 : 15 = 38 15 = 215.

33 34

1 1 1 6 4 3 1 2 + 3 + 4 = 12 + 12 + 12 = 112 123 x 645 = 53 x 34 5 . Je kunt nu de vijven wegdelen,die staan immers in teller en noemer: 34 1 3 = 113.

35 Voor een ouderavond wordt een koffiezetapparaat voor 150 kopjes gebruikt. Het apparaat wordt voor 100 kopjes gevuld. Voor hoeveel procent is het apparaat gevuld? 100 2 2 150 = 3 = 663%. 1 36 In een stad bestaat 13 20 deel van de inwoners uit mannen. Van de vrouwen is 7 deel ouder dan 65 jaar. Hoeveel procent van de vrouwen is ouder dan 65 jaar? 7 1 Als 13 20 deel van de inwoners mannen zijn, is 20 deel vrouw. Van de vrouwen is 7 deel ouder dan 65 jaar. Hoeveel procent van de vrouwen is ouder dan 65 jaar? De vraag die hier gesteld lijkt te 7 1 worden is dus: hoeveel is 17 van 20 . Dat is natuurlijk 20 . Maar dit is een strikvraag: welk deel van de inwoners uit mannen bestaat is niet relevant. Je weet immers al dat 17 van de vrouwen ouder is dan 65, en dat werd gevraagd. 17 ≈14,3%.

37 Schrijf de volgende breuken als som van stambreuken. a b c a b c

4 9 5 9 7 9 4 1 1 9=3+9 5 1 1 9 = 2 + 18 7 1 1 1 9 = 2 + 4 + 36


Kommagetallen Schrijf in de wetenschappelijke notatie: 1 2 3 4 5

1200 = 1,2 x 103 32,222 = 3,2222 x 101 0,023 = 2,3 x 10-2 6832,9 = 6,8329 x 103 14.400.000.000 = 1,44 x 1010

Evenredigheid en omgekeerde evenredigheid Teken grafieken bij de volgende situaties aan en geef aan of het hier gaat om een evenredig of omgekeerd evenredig verband. 1 Bij een belmaatschappij betaal je voor bellen buiten je bundel € 0,23 per minuut. Bij een dergelijke situatie is het altijd handig om eerst een tabel te maken met de kosten op een aantal momenten. Vervolgens is het gemakkelijk om de grafiek te tekenen. Hieronder volgt een voorbeeld van de kosten voor bellen buiten je bundel. Het kan natuurlijk zijn dat jij andere punten hebt gekozen (andere momenten), toch zal in dit geval jouw grafiek op dezelfde manier verlopen, met een hellingsgetal van 0,23. Deze grafiek is namelijk lineair. Minuten

0

1

10

20

30

40

€

0

0,23

2,3

4,6

6,9

9,2

10 9 8

kosten in €

7 6 5 4 3 2 1 0

10

20 30 tijd in minuten

40


2 Voor een feestje huur je een cateringbedrijf in; de kosten zijn € 17,95 per persoon. Zoals je aan de grafiek kunt zien is ook deze grafiek lineair. Aantal personen

0

1

2

3

4

5

6

7

8

Kosten in €

0

17,95

35,90

53,85

71,80

89,75

107,70

125,65

143,60

143,60

107,70

kosten in €

125,65

89,75 71,80 53,85 35,90 17,95 1

0

2

3 4 5 6 aantal personen

7

8

3 Een ander cateringbedrijf doet je het volgende aanbod: › Bij minder dan 10 personen € 19,95 per persoon. › Bij 10 of meer personen, maar minder dan 21 personen € 17,95 per persoon. › Bij meer dan 20 personen, slechts € 15,95 per persoon. Aantal personen

0

5

9

10

15

20

21

25

30

Kosten in €

0

99,75

179,55

179,50

269,25

359,00

334,95

398,75

478,50

500

prijs in euro’s

400

300

200

100

0

1

2

3

4

5 6

7

8

9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 aantal personen


In de grafiek kun je mooi de twee punten zien waar de prijs wordt aangepast op het aantal personen. Tot 10 personen is de grafiek lineair met een hellingsgetal van 19,95. Tussen 10 en 20 is de grafiek lineair met een hellingsgetal van 17,95. Vanaf 21 is de grafiek lineair met een hellingsgetal van 15,95. Je kunt in de grafiek goed zien dat het goedkoper is om met 10 mensen te eten dan met 9. Ook is het goedkoper om met 21 mensen te eten dan met 20. Deze grafiek is niet continu. Omdat het altijd om hele aantallen mensen gaat, hebben alleen de coördinaten met een hele x-component een betekenis. Daarom is er ook geen grafiek getekend voor punten met een x-coördinaat tussen 9 en 10 en tussen 20 en 21. Voor andere niet hele waarden van x hebben we de lijn wel doorgetrokken, omdat zo inzicht ontstaat in de verhouding van de kosten met het aantal mensen. 4 Je gaat met de auto naar Parijs en vraagt je af hoelang dat zou kunnen gaan duren. De tijd die je erover doet hangt natuurlijk af van de snelheid waarmee je kunt rijden. Daarom maak je de volgende tabel. Snelheid in km/u

50

70

100

120

130

Tijd in uren (uitgaande van 470 km)

9,4

6,7

4,7

3,9

3,6

Tijd

Wat je hier ziet is dat wanneer de ene grootheid toeneemt (de snelheid), de andere afneemt (de tijd). Je moet alleen nog nagaan of dat met dezelfde factor gebeurt, om te kunnen stellen dat dit een omgekeerd evenredig verband is. 50 x 1,4 = 70; dan moet 9,4 : 1,4 = 6,7. Dat blijkt ook het geval te zijn. Je kunt natuurlijk nog controleren of dat voor de andere waarden ook opgaat. Dan blijkt in dit geval inderdaad sprake van omgekeerde evenredigheid.

0

50 60 70

80 90 100 110 120 130 140 Snelheid km/u


Duizenden

5 De A-formaten (A4 is de bekendste) hebben een bijzondere verhouding ten opzichte van elkaar. Hieronder volgt de grafiek van de oppervlakten in cm² van de verschillende A-formaten. 10 8 6 4 2 0

A0

A1

A2 A3

A4

A5

A6

A7

A8

Ook dit ziet eruit als een omgekeerd evenredige functie, vergelijk hem maar met de grafiek uit de opgave hiervoor.

Het rekenkundige gemiddelde Bereken van de volgende data het rekenkundige gemiddelde, en geef de modus en de mediaan. NB: de mediaan mag alleen berekend worden bij een (van klein naar groot) gesorteerde dataverzameling. 1 1 ; 7 ; 21 ; 35 ; 35 ; 21 ; 7 ; 1 Rekenkundig gemiddelde: 16. Modus: er is in deze rij geen modus, alle waarden komen even vaak voor. Mediaan: voor de mediaan moeten we de getallen eerst sorteren: 1, 1, 7, 7, 21, 21, 35, 35. Er zijn nu twee medianen: 7 en 21. Bij een even rij getallen wordt voor de mediaan dan meestal het gemiddelde van die twee als mediaan genomen: 14, in dit geval. 2 7,5 ; 8,5 ; 9,5 ; 10,5 ; 11,5 ; 12,5 ; 13,5 ; 14,5 Rekenkundig gemiddelde: 11. Modus: er is in deze rij geen modus, alle waarden komen even vaak voor. Mediaan: er zijn in deze rij data twee medianen, namelijk 10,5 en 11,5. Hun gemiddelde is 10. 3 214 ; 334 ; 5,2 ; 7,8 ; 3,75 ; 2,5 ; 8,1 ; 3 Rekenkundig gemiddelde: 4,54375. Modus: 3,75 (deze waarde komt twee keer voor). Mediaan: bij sorteren zie je dat 334 en 3,75 de middelste twee getallen zijn. Hun gemiddelde is natuurlijk 3,75. 5 4 6,6 ; 9,2 ; 10,5 ; 9,6 ; 1012 ; 9,2 ; 6,6 ; 1010 Rekenkundig gemiddelde: 8,9625. Modus: 10,5 (deze waarde komt drie keer voor). Mediaan: de middelste twee getallen in de gesorteerde rij zijn 9,2 en 9,6. Hun gemiddelde is 9,4.


Afronden 1 Rond de volgende getallen af op honderdsten. a 0,181818 ≈ 0,18 b 10,54678 ≈ 10,55 c 9,4546 ≈ 9,45 2 Rond de volgende getallen af op duizendsten. a 0,7654 ≈ 0,765 b 0,5678 ≈ 0,568 c 10,76539 ≈ 10,765

Som van stambreuken Schrijf de volgende breuken op als som van verschillende stambreuken. 1 23 = 12 + 16 2 73 = 2 + 13 9 1 3 10 = 12 + 13 + 15 5 1 4 16 = 14 + 16


2 Verhoudingen, procenten, breuken en kommagetallen

Recommend Documents