Hoofdstuk 12B - Breuken en functies

er sb v

Hoofdstuk 12B - Breuken en functies

Hoofdstuk 12B - Breuken en functies Voorkennis V-1a

2 5

+ 15 =

g

2 7

⋅ 53 =

6 35

b

3 8

+ 1 18 = 1 48 = 1 12

h

2 9

⋅ 83 =

6 72

c

3 8

+ 14 = 83 + 28 = 85

i

5 6

⋅ − 134 = − 20 = − 10 78 39

d

5 12

j

−5 18

e

3 57 − 1 23 =

26 7

− 53 =

k

6 7

f

2 97 + 4 53 =

25 9

+

l

2 12 ⋅ 1 12 = 25 ⋅ 23 =

− 101 =

25 60

−

6 60

=

23 5

19 60

78 21

=

−

125 45

=

43 21

= 2 211

207 45

=

332 45

35 21

+

= 7 17 45

⋅ 103 =

−15 180

c

De lengte van elk stukje wordt dan twee keer zo klein. Het verband tussen a en L is omgekeerd evenredig.

e

f

d

g

1 1

2 0,5

10 0,1

20 0,05

50 0,02

100 0,01

a ⋅ L = 1 , a = 1 en L = 1 L a a = 1000 geeft L = 1 : 1000 = 0,001 L = 0,004 geeft a = 1 : 0,004 = 250

= − 121 18 14

=

9 7

= 1 27

15 4

= 3 43

Ui tg

Elk stukje wordt 1 : 10 = 0,1 meter. a L

1 12

⋅ 1 12 = 67 ⋅ 23 =

V-2a b

=

ev

3 5

Bij de linkertabel is het product van x en y telkens 24. In deze tabel zijn x en y dus omgekeerd evenredig. In de rechtertabel is het product van x en y niet steeds hetzelfde, dus zijn x en y hier niet omgekeerd evenredig.

Linkertabel: x ⋅ y = 24 of x = 24 of y = 24 y x Rechtertabel: Als x twee keer zo groot wordt, wordt y ook twee keer zo groot. Het verband tussen x en y is recht evenredig, met evenredigheidsconstante 3. Een formule bij de rechtertabel is y = 3x.

V-4a

x y

c

d

2 –1

3 –2

3,9 –20

4 -

4,1 20

5 2

10 0,33

Bij x = 4 is de noemer van de breuk gelijk aan 0 en dan bestaat de breuk niet. Je kan niet delen door 0. Van de breuk blijft de teller constant, maar de noemer wordt steeds groter. De uitkomst van de breuk wordt dan steeds kleiner en nadert naar 0. Als x steeds kleiner wordt, dus bijvoorbeeld x = –100 of x = –1000, nadert de uitkomst van de breuk ook naar 0.

No

b

©

0 1 –0,5 –0,67

dh

or

b

off

V-3a

© Noordhoff Uitgevers bv

0pm_MW9_VWO_3B-Uitw.indd 159

⁄ 159 01-04-2009 16:41:04

b

d

e

f

g

c

–1 1,75

0 1,67

1 1,5

2 1

3 -

4 3

5 2,5

6 2,33

Bij x = 3 is er geen functiewaarde. k(10) ≈ 2,14 k(100) ≈ 2,01 k(1000) ≈ 2,001 De uitkomst van de breuk nadert dan naar 0, dus de functiewaarden naderen dan naar 2 + 0, dus 2. Van de breuk blijft de teller constant, maar de noemer nadert dan naar 0. Als je een constante deelt door een getal dat naar 0 nadert is de uitkomst heel groot. De functiewaarden worden dan heel groot (of heel klein, bijvoorbeeld –10 000). De verticale asymptoot is de lijn x = 3. De horizontale asymptoot is de lijn y = 2.

ev

x y

20

Ui tg

V-5a

er sb v


y

15 10 5 –1 O –5

1

2

3

4

5

6

x

–10 –15

h

off

–20

1 = 2 bereken je de x-coördinaat van het snijpunt van x−3 de grafiek van k met de lijn y = 2. De lijn y = 2 is de horizontale asymptoot en die lijn Met de vergelijking 2 +

b

c

d

De verticale asymptoot is de lijn x = –1, dus bij x = –1 is er geen functiewaarde. De horizontale asymptoot is de lijn y = 1, dus de functiewaarden naderen naar de waarde 1 voor waarden van x ver van 0. Omdat er bij x = –1 geen functiewaarde is, is x – a gelijk aan 0 bij x = –1. –1 – a = 0 geeft a = –1.

x y

or

V-6a

dh

snijdt de grafiek niet.

–3 –2 1,67 2

–1 3

1 –1

2 0

3 0,33

4 0,5

y

No

20

0 -

15 10 5

–5

–4

–3

–2

–1 O –5

1

2

3

4

5

x

–10

©

–15

⁄ 160


–20


01-04-2009 16:41:04

er sb v


12B-1 Rekenen met breuken

b

c

2a

x

0

y

0

2

4

1 72

8

10 6 73

5 71

Per stap van 2 is de toename telkens 1 27 , dus constant. Dus is f een lineaire functie. f ( x) = 9 x 14 f (1) = 13 + 14 = f (−6) =

b

f ( x) = 4 x + 3 x 12 12

c

f ( x) = 7 x 12 7 x = 14 12 7 x = 168

−6 3

+

4 12

6 3 76

2 74

−6 4

+ 123 =

7 12

ev

1a

= −3 12

Ui tg

x = 24

48 ⋅ 13 = 483 = 16 , 48 : 3 = 16 en éénderde deel van 48 is 48 : 3 = 16. Ze krijgen hetzelfde antwoord.

3a

b

c

4a

b

g ( x) = 43 x + 12 x is gelijk aan g ( x) = 43 x + 24 x dus g ( x) = 1 14 x

c

h( x) = 2 x + x is gelijk aan h( x) = 14 x + 5 x dus h( x) = 19 x 5 7 35 35 35

d

k( x) = 2 + 3 is gelijk aan k( x) = 5 x x x

5a

b

c

d

1 4

B

1 7

⋅ 12 =

B 8a = 13

8 13

12 7

⋅ x = 2x 9 5 x 5 C = 8 ⋅x 8 C

2 9

off

⋅ 3 = 43 3p 3 A = 7⋅p 7

A

⋅a

or

dh

f ( x) = x + 3 x is gelijk aan f ( x) = 4 x 5 5 5

©

No

Bij de tweede stap lekt niet 17 deel van 900 liter weg maar 17 deel van wat over is na de eerste stap. Na de eerste stap is nog 14 deel over. Nadat eerst 151 deel is weggelekt, lekt daarna 15 1 14 nog 7 deel van 15 weg. In totaal is dat 151 + 17 ⋅ 14 deel. 15 1 1 Eerst lekt 15 ⋅ 900 = 60 liter weg. Daarna lekt 7 ⋅ (900 − 60) = 17 ⋅ 840 = 120 liter weg. In totaal lekt 60 + 120 = 180 liter weg. 1 + 17 ⋅ 14 = 151 + 152 = 153 = 15 deel lekt weg. 15 15 Controle: 15 deel van 900 is 900 : 5 = 180 liter.



⁄ 161 01-04-2009 16:41:10

d

b

5⋅ 1 = 5 12 12

e

c

2 ⋅ 5 = 10 x 7 7x

f

7a/b

c d

e f

8x = 2 4 x2 x 1 ⋅ 6x = 6x = 2 3x x 3x 2 x 12 x ⋅ 2 = 24 x = x 16 9 144 6

g 3 x ⋅

2 = 6x = 2x 15 15 5

h

2x ⋅ 3 = 6x = 3 5 10 x 2 50 x 2 25 x

i

2 ⋅ 9 x 2 = 18 x 2 = 3 3 x 2 16 x 48 x 3 8 x

Zie de figuur hiernaast. Carlitos heeft het goed gedaan. Edwin heeft gewoon de vieren weggelaten. Irene heeft wel de term 2x door 4 gedeeld, maar niet de term 4 in de teller door 4 gedeeld. f ( x) = 12 x + 1

y

6 5

g ( x) = 6 − 8 x is gelijk aan g ( x) = 14 (6 − 8 x) 4 en dus g ( x) = 1 12 − 2 x

Edwin

4

Irene

3 2

f

Carlitos

1

Ui tg

6a

ev

1⋅1 = 1 4 3 12

er sb v


–4 –3 –2 –1 O –1

1

2

3

4

5

x

–2

off

–3 h( x) = −10 x + 15 is gelijk aan −4 h( x) = − 14 (−10 x + 15) en dus h( x) = 2 12 x − 3 43 12(2 x + 3) k ( x) = is gelijk aan k( x) = 126 (2 x + 3) ofwel k( x) = 2(2 x + 3) 6 en dus k( x) = 4 x + 6

12B-2 Gebroken functies

b c d e

9a b

1 12

2 24

3 36

4 48

5 60

dh

x y

Delen door 0 is niet mogelijk. Tussen x en y is een recht evenredig verband, met als formule y = 12 x (voor x ≠ 0 ). Voor x = –2 is de noemer van de breuk gelijk en 0 en delen door 0 is niet mogelijk. x y

1 1

2 2

3 3

4 4

5 5

or

8a

Uit de tabel blijkt dat het functievoorschrift van g te schrijven is als g ( x) = x . Bij x = 2 bestaat g ( x) niet, want delen door 0 is niet mogelijk.

No

x g (x) h (x)

0 –3 –3

1 –2 –2

2 –1

3 0 0

4 1 1

5 2 2

g is gelijk aan h behalve voor x = 2. 2 c teller = x − 5 x + 6 kun je ontbinden in teller = ( x − 2)( x − 3) . d

g ( x) =

( x − 2)( x − 3) , teller en noemer delen door x – 2 geeft g ( x) = x − 3 . x−2

©

⁄ 162



01-04-2009 16:41:14

b

c

f ( x) = 8 x als x ≠ 0

d l ( p) = −5 p als p ≠ 0

7( x + 2) x+2

g ( x) =

j ( x) =

e

g ( x) = 7 als x ≠ −2

j( x) = x + 3 als x ≠ 0

h(t ) = −2t 2

k ( a) =

f

11a

b

x y

–2 1

–1 –1

0 10

1 7

2 5

3 4,33

4 4

y

8 6 4 2 –5

–4

–3

–2

(a + 2)(a + 1) a+2

k(a) = a + 1 als a ≠ −2

5 x( x + 3) 5x

–1 O –2

1

2

3

4

5

–4 –6

x

ev

10a

Ui tg

er sb v


–10

d

12a

b

x y

–2 1

–1 –1

0 -

1 7

2 5

3 4,33

4 4

De functies g en h zijn hetzelfde.

dh

c

2 2 p( x) = x + 5 x is gelijk aan p( x) = x + 5 x en dus p( x) = 12 x + 2 12 , mits x ≠ 0 . 2x 2x 2x De functies p en q zijn hetzelfde. 2 Bij de functie p( x) = x + 5 x geeft bij x = 0 geen uitkomst, want delen door 0 is niet 2x mogelijk.

or

off

–8

Bij de functie q( x) = 12 x + 2 12 krijg je bij x = 0 wel een uitkomst, q(0) = 2 12 . c

d( x) = 18 x − 15 is gelijk aan d( x) = 18 x − 15 dus d( x) = 6 − 5 3x 3x 3x x

No

2 2 r( x) = 1 + x is gelijk aan r( x) = 1 + x dus r( x) = 1 + x x x x x 2 2 s( x) = 3 x − 8 x is gelijk aan s( x) = 3 x − 8 x dus s( x) = 1 12 − 4 x als x ≠ 0 2x 2x 2x

13a b

Schrijf 3 als de breuk 13 en vermenigvuldig teller en noemer met x. Antwoord C is goed. Als je de tellers 3x en 7 bij elkaar optelt krijg je 3x + 7. Bij het optellen van gelijknamige breuken tel je alleen de tellers bij elkaar op, de noemers niet. Antwoord D is dus fout.

©



⁄ 163 01-04-2009 16:41:18

Schrijf 4 als de breuk de breuk

f ( x) = 4 +

15a

b

c

d

3 is gelijk aan f ( x) = 4 x + 8 + 3 x+2 x+2 x+2

Optellen geeft f ( x) = 4 x + 8 + 3 en dus f ( x) = 4 x + 11 x+2 x+2 4 is gelijk aan k( x) = 5( x − 7) + 4 x−7 x−7 x−7 5( x − 7) + 4 en dus k( x) = 5 x − 31 Optellen geeft k( x) = x−7 x−7 k ( x) = 5 +

m( x) = 1 +

15 is gelijk aan m( x) = 5 x − 9 + 15 5x − 9 5x − 9 5x − 9

ev

en vermenigvuldig teller en noemer met x + 2. je krijgt dan

4( x + 2) . Werk vervolgens de haakjes weg en je hebt 4 x + 8 . 1( x + 2) x+2

b

4 1

Ui tg

14a

Optellen geeft m( x) = 5 x − 9 + 15 en dus m( x) = 5 x + 6 5x − 9 5x − 9 −2(3 x + 4) l( x) = −2 + 10 is gelijk aan l( x) = + 10 3x + 4 3x + 4 3x + 4 −2(3 x + 4) + 10 en dus l( x) = −6 x + 2 Optellen geeft l( x) = 3x + 4 3x + 4 2 n( x) = x + 7 is gelijk aan n( x) = x + 7 x x x 2 Optellen geeft n( x) = x + 7 x

off

er sb v


12B-3 Grafieken van gebroken functies

c

d

17a

c

d

e

f(0,001) = 2001 en f(–0,001) = –1999 Om de coördinaten van een snijpunt met de y-as te berekenen moet je x = 0 in de functie invullen. Maar de functie bestaat niet voor x = 0, dus is er geen snijpunt met de y –as. De grafiek snijdt de y-as niet want de functie bestaat niet voor x = 0. Omdat x2 > 0 voor iedere waarde van x ≠ 0 is g ( x) > 0 voor iedere waarde voor x≠ 0. g(1000) = 0, 00001 en g(−1000) = 0, 00001 De vergelijking 102 = 0 heeft geen oplossingen. Voor waarden van x ver van 0 komt x 10 wel steeds dichter bij 0. x2

©

b

De functie bestaat niet voor x = 0. f(1000) = 1,002 en f(–1000) = 0,998 Voor waarden van x ver van 0 nadert de uitkomst van de breuk 2 naar 0, maar x wordt nooit gelijk aan 0. Voor waarden van x ver van 0 nadert de functiewaarde dus naar 0 + 1 = 1, maar wordt nooit gelijk aan 1.

dh

b

or

16a

No

⁄ 164



01-04-2009 16:41:22

18a

b

Bij x = 0 bestaat de functie h(x) wel.

c

De vergelijking

19a c

–3 0,77

–2 1,25

–1 2

0 2,5

1 2

2 1,25

3 0,77

10 = 0 heeft geen oplossingen. x2 + 4

Bij x = 2 bestaat de functie niet, dus de lijn x = 2 is de verticale asymptoot. f(1000) ≈ 4,012 Voor waarden van x ver van 0 nadert de uitkomst van de breuk 12 naar 0. x−2 Voor waarden van x ver van 0 nadert de functiewaarde dus naar 4 + 0 = 4.

ev

b

x y

er sb v


De grafiek van f nadert daardoor de lijn y = 4 en dus is de lijn y = 4 de horizontale asymptoot.

4 + 12 = 4 geeft 12 = 0 x−2 x−2 Als de teller van een breuk ongelijk is aan 0, kan de uitkomst ook geen 0 zijn. Deze vergelijking heeft dus geen oplossingen.

d

e/f

x y

–3 –2 –1 1,6 1 0

16

0 1 –2 –8

2 -

3 16

4 10

5 8

y

Ui tg

6 7

7 6,4

8 6

off

14 12 10 8 6

2 –3

–2

–1 O –2 –4 –6

2

3

4

5

6

7

8

x

or

–8

1

dh

4

–10

20a

b

c

De noemer kan geen 0 zijn. 4 x + 4 = 0 als 4x + 4 = 0 x−2 4x = –4

©

4( x − 2) f ( x) = 4 + 12 is gelijk aan f ( x) = + 12 x−2 x−2 x−2 4( x − 2) + 12 Optellen geeft f ( x) = en dus f ( x) = 4 x + 4 x−2 x−2 De uitkomst van een breuk is gelijk aan 0 als de teller van de breuk gelijk is aan 0.

No

x = –4 : 4 dus x = –1



⁄ 165 01-04-2009 16:41:23

b

c

e

d

5 is gelijk aan g ( x) = −2( x + 1) + 5 x+1 x+1 x+1 −2( x + 1) + 5 Optellen geeft g ( x) = en dus g ( x) = −2 x + 3 x+1 x+1 De functies g en h zijn hetzelfde. g ( x) = −2 +

5 naar 0 nadert voor waarden x+1 van x ver weg van 0. Dat kun je in het functievoorschrift van h niet zien. In het functievoorschrift van g zie je dat de breuk

ev

21a

Het functievoorschrift van g is dus handiger om te bepalen welke lijn de horizontale asymptoot is. De horizontale asymptoot is de lijn y = –2. Omdat het functievoorschrift van h als één breuk is geschreven kun je daarmee sneller de coördinaten van het snijpunt van de grafiek met de x-as berekenen. −2 x + 3 = 0 als –2x + 3 = 0 (en x + 1 ≠ 0) x+1 –2x = –3 x = –3 : –2 dus x = 1 12

Ui tg

er sb v


Het snijpunt met de x-as is het punt ( 1 12 , 0). 22a

b

c

De noemer is 0 voor x 2 − 4 = 0 . Dus voor x2 = 4 ofwel x = –2 of x = 2. Dus voor x = 2 en x = –2 is er een verticale asymptoot. Voor waarden van x ver weg van 0 nadert de uitkomst van de breuk naar 0. De grafiek nadert dus naar de lijn y = 0, dus de horizontale asymptoot is de lijn y = 0 (de x-as). De noemer wordt nooit 0 want de vergelijking x2 + 4 = 0 heeft geen oplossingen.

d

Voor de coördinaten van een snijpunt met de x-as geldt

c

b

De grafiek van f ontstaat uit die van k door deze 2 omhoog te schuiven. De grafiek van k snijdt de y-as voor x = 0 en y = k(0) = −1 14 . Als de grafiek van k 2 omhoog schuift, verschuift dit snijpunt naar (0, 43 ). Het stuk van de grafiek tussen de verticale asymptoten komt daarmee gedeeltelijk boven de x-as en gedeeltelijk onder de x-as te liggen. Dus snijdt de grafiek van f de x-as. 2( x − 4) 5 + 25 is gelijk aan f ( x) = 2 2 x −4 x −4 x −4 2( x 2 − 4) + 5 2 x2 − 3 ( ) = Optellen geeft f ( x) = en dus f x x2 − 4 x2 − 4 2 In de snijpunten met de x-as geldt 2 x2 − 3 = 0 x −4 2x2 – 3 = 0 (en x2 – 4 ≠ 0) f ( x) = 2 +

⁄ 166

2

2x2 = 3

x2 = 1,5 dus x = − 1, 5 of x =

©

dh

23a

or

5 = 0 . Omdat de teller x +4 van deze breuk nooit gelijk kan zijn aan 0, is er geen oplossing. En dus is er geen snijpunt met de x-as. 2

No

off

1, 5

De snijpunten met de x-as zijn ( − 1, 5 , 0) en ( 1, 5 , 0).



01-04-2009 16:41:26

er sb v


12B-4 Vergelijkingen oplossen

24a

y

c a x

O

b

25a

c d

Ja, er zijn meerdere lijnen mogelijk. Ja, ook hier zijn meerdere lijnen mogelijk. Nee, je kunt geen lijn trekken die meer dan twee snijpunten heeft met de hyperbool. 7

y

f

6 5 4 3

g

2 1 –7

–6

–5

–4 –3

–2 –1 O –1

1

2

3

4

5

Ui tg

ev

b

6

7

x

–3 –4 –5 –6 –7

b De snijpunten zijn (–4, –2) en (2, 4).

dh

off

–2

f (−4) = 8 = −2; g (−4) = −4 + 2 = −2 , klopt −4

f (2) = 8 = 4; g (2) = 2 + 2 = 4 , klopt 2

26a b

c

27a

x ⋅ 3 = x( x − 2) mits x ≠ 0 x

3 = x2 − 2 x

x2 – 2x – 3 = 0 (x – 3)(x + 1) = 0 x – 3 = 0 of x + 1 = 0 x = 3 of x = –1

©

8 = x2 + 2 x x2 + 2 x − 8 = 0 ( x + 4)( x − 2) = 0 x + 4 = 0 of x − 2 = 0 x = −4 of x = 2 g (−4) = −2 en g (2) = 4

No

or



⁄ 167 01-04-2009 16:41:28

b

er sb v


( x − 1) ⋅ −2 = ( x − 1)(2 x + 3) mits x ≠ 1 x−1 2 –2 = 2x + 3x – 2x – 3 2x2 + x – 1 = 0 x 2 + 12 x − 12 = 0 ( x + 1)( x − 12 ) = 0

x = –1 of x = c

=0

1 2

x ⋅ ( 5 + 2) = x ⋅ 4 mits x ≠ 0 x 5 + 2x = 4x 5 = 2x x = 2 12

d

( x − 3) ⋅ (2 x + 7) = ( x − 3) ⋅ −6 mits x ≠ 3 x−3 2 2x + 7x – 6x – 21 = –6 2x2 + x – 15 = 0 abc-formule met a = 2, b = 1 en c = –15 D = 12 – 4 × 2 × –15 = 121

x = −1 + 121 = −1 + 11 = 10 dus x = 2 12 of 2⋅2 4 4

off

Ui tg

1 2

ev

x + 1 = 0 of x –

x = −1 − 121 = −1 − 11 = −12 dus x = –3 2⋅2 4 4 28a

( x + 1) ⋅ −8 = ( x + 1) ⋅ (2 x − 6) mits x ≠ 1 x+1 −8 = 2 x 2 + 2 x − 6 x − 6 2 x2 − 4 x + 2 = 0

or

x2 – 2x + 1 = 0

dh

(x – 1)(x – 1) = 0

x – 1 = 0 dus x = 1 b

( x + 1) ⋅ −8 = ( x + 1) ⋅ (2 x − 4) mits x ≠ −1 x+1 2 −8 = 2 x + 2 x − 4 x − 4

No

2 x2 − 2 x + 4 = 0

D = (−2)2 − 4 ⋅ 2 ⋅ 4 = −28; D < 0

©

Geen oplossingen.

⁄ 168



01-04-2009 16:41:31

c

7

y

6 5 4 l

3

g

2 1 –5

–4 –3

–2 –1 O –1

1

2

3

4

5

6

7

x

ev

–6

k

–2 –3 –4 –5

Ui tg

–6 –7

29a

b

30a

x ⋅ 3 = x ⋅ ( x + 2) x 3 = x2 + 2 x x2 + 2 x − 3 = 0 x = −3 of x = 1 Ja, Mathilde krijgt hetzelfde antwoord als Melanie. −2 x + 10 = 4 − 20 x 20 −2 x + 6 = − x x ⋅ (−2 x + 6) = x ⋅ − 20 mits x ≠ 0 x 2 −2 x + 6 x = −20 x 2 − 3 x − 10 = 0 ( x − 5)( x + 2) = 0 x − 5 = 0 of x + 2 = 0 x = 5 of x = −2 x = 5 geeft y = f(5) = 0 x = –2 geeft y = f(–2) = 14 De snijpunten zijn (5, 0) en (–2, 14).

©

No

or

x2 + 2 x − 3 = 0 ( x + 3)( x − 1) = 0 x + 3 = 0 of x − 1 = 0 x = −3 of x = 1

off

De grafiek van l snijdt de hyperbool niet, dus heeft de vergelijking geen oplossing.

dh

er sb v




⁄ 169 01-04-2009 16:41:34

b

er sb v


−3 − 1 = 3 x − 1 x −3 = 3 x x x ⋅ −3 = x ⋅ 3 x mits x ≠ 0 x

x 2 = −1 ; geen oplossingen Er zijn geen snijpunten.

2 = 2x − 3 x+1 ( x + 1) ⋅ 2 = ( x + 1) ⋅ (2 x − 3) mits x ≠ −1 x+1 2 = ( x + 1)(2 x − 3)

c

Ui tg

2 = 2 x 2 − 3x + 2 x − 3 2 x2 − x − 5 = 0 D = (−1)2 − 4 ⋅ 2 ⋅ −5 = 41

31a

b

off

7 + 2 = −5 x x+2

7 = −5 x − 2 x+2 ( x + 2) ⋅ 7 = ( x + 2) ⋅ (−5 x − 2) mits x ≠ −2 x+2

7 = ( x + 2)(−5 x − 2) 7 = −5 x 2 − 10 x − 2 x − 4 5 x 2 + 12 x + 11 = 0 D = 12 2 − 4 ⋅ 5 ⋅ 11 = −76; D < 0 ; geen oplossingen Er zijn geen snijpunten.

dh

d

or

x = 1 + 41 ≈ 1, 85 of x = 1 − 41 ≈ −1, 35 4 4 x ≈ 1,85 geeft y ≈ n(1,85) ≈ 0,7 x ≈ –1,35 geeft y ≈ n(–1,35) ≈ –5,7 De snijpunten zijn (1,85; 0,7) en (–1,35; –5,7).

x ⋅ ( 6 + 3) = x ⋅ 14 geeft 6 + 3 x = 14 x x 2x − 1 2x − 1 (2 x − 1) ⋅ (6 + 3 x) = (2 x − 1) ⋅ 14 x geeft dan (2x – 1)(6 + 3x) = 14x 2x − 1 12x + 6x2 – 6 – 3x = 14x

No

ev

−3 = 3 x 2

6x2 –5x – 6 = 0

D = (−5)2 − 4 ⋅ 6 ⋅ −6 = 169

x = 5 + 169 = 5 + 13 = 18 of x = 5 − 169 = 5 − 13 = −8 2⋅6 12 12 2⋅6 12 12

©

dus x = 1 12 of x = − 23

⁄ 170



01-04-2009 16:41:38

er sb v


32a

b

Dré: t = 80 v Ed rijdt 4 km sneller dus daarom v + 4. Ed komt één uur eerder aan daarom moet je om de tijden aan elkaar gelijk te stellen één uur optellen bij de tijd van Ed.

c

80 − 1 = 80 v v+4

80 − v = 80v v+4 (v + 4) ⋅ (80 − v) = (v + 4) ⋅ 80v v+4 (v + 4)(80 − v) = 80v 80v − v2 + 320 − 4v = 80v −v2 − 4v + 320 = 0

D = ( −4)2 − 4 ⋅ −1 ⋅ 320 = 1296, dus v = 4 + 1296 = −20 of v = 4 − 1296 = 16 −2 −2 De oplossing is v = 16 (v = –20 valt hier natuurlijk af). De gemiddelde snelheid van Dré is 16 km/uur en die van Ed is 16 + 4 = 20 km/uur.

d

34a

b

c

dh

c

y

12 10 8 6 4 2

–3

–2

–1 O –2

1

2

3

4

5

6

7

8

x

–4 –6

–8 T(0) = 20 + = 32 De temperatuur bij het begin is dus 32 °C. Neem bijvoorbeeld t = 1000 24 T(1000) = 20 + 502 = 20, 05 Voor grote waarden van t nadert de temperatuur naar 20. Het wordt op den duur dus 20 °C. 24 2

or

b

Zie de grafiek hiernaast. f(1) = 4 dus 1 + a = 4 1− 3 − 12 + a = 4 a = 4 12 Voor a = –5 is de horizontale asymptoot de lijn y = –5. Dan moet de horizontale asymptoot de lijn y = 0 zijn. Dat is het geval als a = 0.

No

33a

off

12B-5 Gemengde opdrachten

ev

 80  80 v⋅ − 1 = v ⋅ v+4  v 

Ui tg

20 +

1 2

24 = 22, 5 , geeft t+2

1 2

24 = 2, 5 t+2

( 12 t + 2) ⋅ 1 24 = 2, 5 ⋅ ( 12 t + 2) mits t ≠ −4 t+2 2

1,25t = 19, dus t = 19 : 1,25 t = 15,2, dus na 15,2 minuten (dat is 15 minuten en 12 seconden)

©

24 = 1, 25t + 5



⁄ 171 01-04-2009 16:41:41

d

e

b c

Met één kraan open duurt het 3 × 200 = 600 minuten. Met twee kranen open duurt het 600 : 2 = 300 minuten. Met één kraan open duurt het 600 minuten. Met de kraan half open duurt het dus 2 × 600 = 1200 minuten. En dat is 1200 : 60 = 20 uur. Met 2,5 kranen open gaat het twee en een half keer zo snel als met één kraan open. Het duurt dus 600 : 2,5 = 240 minuten 1 2

aantal kranen geopend tijd in minuten

f

g

1

1200

2

600 300

2,5

240 200

t = 600 k 2,5 uur komt overeen met 2,5 × 60 = 150 minuten 150 = 600 k k = 4; er moeten vier kranen open staan.

36a

b

3

QI = 75 2 = 24, 49 1, 75 QI = 12 ⋅ G l QI = 1 2 ⋅ G 1, 75

ev

35a

Ui tg

er sb v


c

35 QI

off

QI ≈ 0, 33 ⋅ G 30 25 20

10 5 0

e

f

20

30

40

50

60

70

80

90 100 110 G

Bij een gewicht van meer dan 76 kg. Voor G = 80 is QI = 80 l2 80 25 = 2 l l 2 ⋅ 25 = l 2 ⋅ 80 geeft 25l2 = 80 l2 l 2 = 3, 2 geeft l ≈ 1, 79

or

d

10

No

0

dh

15

©

Bij een lengte van minder dan 1,79 m is iemand van 80 kg te zwaar.

⁄ 172



01-04-2009 16:41:43

37a

b

Als x2 – 3x – 4 = 0 bestaat f niet. (x – 4)(x + 1) = 0 x – 4 = 0 of x + 1 = 0 x = 4 of x = –1 De functie f bestaat niet voor x = 4 of x = –1. f ( x) =

3 x − 12 is gelijk aan f ( x) = 3( x − 4) ( x − 4)( x + 1) x − 3x − 4 2

c

Voor x = 4 zijn de functies f en g niet gelijk. Functie f bestaat niet voor x = 4,

maar functie g wel.

1=1+ 1 8 b 10 1=1− 1 = 5 − 4 = 1 b 8 10 40 40 40

38a

b = 40; de beeldafstand is 40 cm. b

1=1+ 1 8 b 12

1− 1 =1 8 12 b

c

1= 3 − 2 = 1 b 24 24 24 b = 24; de beeldafstand is 24 cm. 1 =1+1 8 b v 0, 125 − 1 = 1 v b

b ⋅ (0, 125 − 1 ) = 1 v

d

1 0, 125 − 1 v

or

b=

dh

b ⋅ (0, 125 − 1 ) = b ⋅ 1 v b

off

Ui tg

3 mits x ≠ 4 . x+1

ev

Teller en nemer delen door x – 4 geeft f ( x) =

er sb v


1 wordt kleiner en v blijft gelijk. De noemer van opdracht c wordt dan kleiner en f

ﬁ I-1a b

ICT Grafieken van gebroken functies x=0

x y

10 20 100 1,2 1,1 1,02

©

No

daarmee de uitkomst van de breuk groter. De beeldafstand b wordt groter.

c

200 1000 1,01 1,00

f (1000) = 1, 002



⁄ 173 01-04-2009 16:41:45

e

g

I-2a

c

d

f

b

Voor grote waarden van x nadert 2 naar 0, maar wordt nooit gelijk aan 0. x 2 De uitkomst van + 1 nadert dus naar 1, maar wordt nooit gelijk aan 1. x Voor x = 0 staan er kruisjes in de tabel. x y

–0,1 –19

–0,01 –0,001 –199 –1999

0 0,001 - 2001

0,01 201

0,1 21

De functiewaarden worden erg groot (positief en negatief), de grafiek loopt steil naar beneden en steil omhoog.

ev

d

De grafiek snijdt de y-as niet want de functie bestaat niet voor x = 0. Omdat x2 > 0 voor iedere waarde van x ≠ 0 is g ( x) > 0 voor iedere waarde voor x≠ 0. g(1000) = 0, 00001 en g(−1000) = 0, 00001

Ui tg

er sb v


De vergelijking 102 = 0 heeft geen oplossingen. Voor waarden van x ver van 0 komt x 10 wel steeds dichter bij 0. x2

I-3a

d

e

Ja, voor waarden van x ver van 0 nadert de functiewaarde naar 0, dus de grafiek nadert de lijn y = 0.

I-4a

b

c

Voor x = 1 bestaat de functie niet. De verticale asymptoot is de lijn x = 1. Voor waarden ver van 0 nadert de uitkomst van de breuk naar 0, dus nadert de functiewaarde naar 2. De horizontale asymptoot is de lijn y = 2. a=2 De verticale asymptoot is de lijn x = 2. De horizontale asymptoot is de lijn y = 2. a=3 De verticale asymptoot is de lijn x = 3. De horizontale asymptoot is de lijn y = 2. a=4 De verticale asymptoot is de lijn x = 4. De horizontale asymptoot is de lijn y = 2. a=5 De verticale asymptoot is de lijn x = 5. De horizontale asymptoot is de lijn y = 2.

dh

Voor b = 0 is g ( x) = 102 en deze functie bestaat niet voor x = 0. x De functies g ( x) = 210 met b ≠ 0 bestaan wel voor x = 0. x +b

©

No

c

Bij x = 0 staan kruisjes. De grafiek snijdt de y-as nu wel, bij (0, 100). De grafieken snijden de y-as. Voor b = 0,25 is het snijpunt (0, 40). Voor b = 0,5 is het snijpunt (0, 20). Voor b = 5 is het snijpunt (0, 2).

or

b

off

⁄ 174



01-04-2009 16:41:47

b

c

d

e

I-6a

Het is de grafiek bij de formule y = 4 + 12 x−2

De grafiek valt samen met die van y = 4 + 12 x−2 4 ( x − 2 ) y = 4 + 12 is gelijk aan y = + 12 x−2 x−2 x−2 4( x − 2) + 12 Optellen geeft y = en dus y = 4 x + 4 x−2 x−2 De uitkomst van een breuk is gelijk aan 0 als de teller van de breuk gelijk is aan 0. De noemer kan geen 0 zijn. 4 x + 4 = 0 als 4x + 4 = 0 x−2 4x = –4 x = –4 : 4 dus x = –1 5 is gelijk aan g ( x) = −2( x + 1) + 5 x+1 x+1 x+1 −2( x + 1) + 5 Optellen geeft g ( x) = en dus g ( x) = −2 x + 3 x+1 x+1 g ( x) = −2 +

ev

I-5a

Ui tg

er sb v


De functies g en h zijn hetzelfde.

5 naar 0 nadert voor waarden x+1 van x ver weg van 0. Dat kun je in het functievoorschrift van h niet zien. Het functievoorschrift van g is dus handiger om te bepalen welke lijn de horizontale asymptoot is. Omdat het functievoorschrift van h als één breuk is geschreven kun je daarmee sneller de coördinaten van het snijpunt van de grafiek met de x-as berekenen.

c

I-7a

d

b c

off

De verticale asymptoot is de lijn x = 0. Dat zijn de lijnen x = –2 en x = 2. De noemer x2 + 4 is voor geen enkele waarde van x gelijk aan 0. Er is dus geen waarde van x waarvoor de functie niet bestaat. Voor b < 0 zijn er twee verticale asymptoten, voor b = 0 is er één verticale asymptoot en voor b > 0 zijn er geen verticale asymptoten.

dh

In het functievoorschrift van g zie je dat de breuk

or

b

Test jezelf

b

c

f ( x) = 19 x 6

g ( x) = 7 x + 3 x 21 21

g ( x) = 10 x 21

h( x) = 12 x − 10 x 15 15

h( x) = 2 x 15

©

f ( x) = 4 x + 15 x 6 6

No

T-1a



d

e

f

i( x) = 2 x − 11 x 22 22 i( x ) = − 9 x 22 j ( x) = 2 4x j ( x) = 1 2x k ( x) = 2 x 14 k ( x) = x 7

g

h

l( x) = 36 x2 6x l ( x) = 6 x m( x) = 35 x2 42 x m( x) = 5 6x

⁄ 175 01-04-2009 16:41:51

b

c

d

T-3a

b

c

d

2( x + 4) 2( x + 4) + 3 + 3 geeft f ( x) = en dus f ( x) = 2 x + 11 x+4 x+4 x+4 x+4 −3( x − 9) − 3 ( x − 9 ) + 1 g ( x) = + 1 geeft g ( x) = en dus g ( x) = −3 x + 28 x−9 x−9 x−9 x−9

ev

4(3 x + 4) dus m( x) = 3 x + 4 4 2 x( x + 4) n( x) = dus n( x) = x + 4 of ook n( x) = − 17 ( x + 4) mits x ≠ 0 2 x ⋅ −7 −7 5 x( x − 3) p( x) = dus p( x) = x − 3 mits x ≠ 0 5x ( x + 4)( x + 9) q( x) = dus q( x) = x + 9 mits x ≠ −4 x+4 m( x) =

f ( x) =

h( x) = 2 x − 7 + 9 geeft h( x) = 2 x − 7 + 9 en dus h( x) = 2 x + 2 2x − 7 2x − 7 2x − 7 2x − 7 7 ( 3 x + 2 ) 5 − 7 ( 3 x + 2 ) k ( x) = 5 − geeft k( x) = en 3x + 2 3x + 2 3x + 2 k( x) = 5 − 21 x − 14 dus k( x) = −21 x − 9 3x + 2 3x + 2

b

c

Als er een verticale asymptoot is, dan moet gelden dat x2 + 9 = 0 oftewel x2 = –9 en dat kan niet. Voor waarden van x ver van 0 nadert de functiewaarde naar 0. De lijn y = 0 is de horizontale asymptoot van de grafiek. Als er een verticale asymptoot is, dan moet gelden dat x2 – 9 = 0 oftewel x2 = 9. Dat is zo als x = 3 en als x = –3. De lijnen x = 3 en x = –3 zijn de verticale asymptoten.

off

T-4a

T-5a

2 −3= 1 x+1 2 x

x · 2 − 3 = x ⋅ 12 x + 1 mits x ≠ 0 x 2 − 3 x = 12 x 2 + x

)

(

)

dh

(

x2 + 4 x − 2 = 0 D = 4 2 − 4 × 12 × −2 = 20 1 2

x = −4 + 120 of x = −4 − 120 2× 2 2× 2

or

Ui tg

T-2a

er sb v


x = −4 + 20 ≈ 0, 47 of x = −4 − 20 ≈ −8, 47

No

Verder is g(−4 + 20 ) = 12 × (−4 + 20 ) + 1 ≈ 1, 24 en g(−4 − 20 ) = 12 × (−4 − 20 ) + 1 ≈ −3, 24 .

De coördinaten van de snijpunten van de grafieken van f en g zijn (0,47; 1,24) en (–8,47; –3,24).

©

⁄ 176



01-04-2009 16:41:56

b

2 − 3 = −2 x + 1 x x · 2 − 3 = x ⋅ (−2 x + 1) mits x ≠ 0 x 2 − 3 x = −2 x 2 + x

(

)

2 x2 − 4 x + 2 = 0 D = (−4)2 − 4 × 2 × 2 = 0 , dus is er maar één oplossing.

T-6

T-7a b

2 − 3 = −2 x − 7 x x · 2 − 3 = x ⋅ (−2 x − 7) mits x ≠ 0 x 2 − 3 x = −2 x 2 − 7 x 2 x2 + 4 x + 2 = 0 D = 42 − 4 × 2 × 2 = 0 De grafieken van i en f hebben één punt gemeenschappelijk.

(

)

Ui tg

c

Iedere lijn met een formule van de vorm y = −2 x + b met −7 < b < 1 heeft geen punt gemeenschappelijk met de grafiek van f. Dus bijvoorbeeld y = –2x – 3. Voor x = x y

1 2

–4 1,44

is de noemer van de breuk gelijk aan 0, en is er dus geen functiewaarde. –2 1,8

c

0 2 4 5 –0,33 0,43 6

y

5 4 3

–5

–4

–3

–2

–1 O –1 –2 –3

1

2

3

4

5

x

f

or

–4

dh

2 1

6 0,64

off

ev

De grafieken van h en f hebben één punt gemeenschappelijk.

er sb v


–5 –6

No

De verticale asymptoot is de lijn x = –1. De horizontale asymptoot is de lijn y = 3. De functievoorschriften f en i passen bij de grafiek.

©

T-8a b c



⁄ 177 01-04-2009 16:41:58

Hoofdstuk 12B - Breuken en functies

Recommend Documents