Hoofdstuk 9: Afgeleide functies en toepassingen 9.1 Afleidbaarheid Defintie: Een functie f is afleidbaar in a ∈ dom f f (x ) − f (a ) f ′(a ) = lim ∈ IR x →a x −a
9.1.1 Afleidbaarheid van een functie in een punt van het domein definties p. 76: •
f is afleidbaar in a
•
f is niet afleidbaar in a*
•
f is rechtsafleidbaar in a / rechterafgeleide
•
f is linksafleidbaar in a / linkerafgeleide
*kan makkelijker: lim x →a
f (x ) − f (a ) ∉ IR x −a
Oef. 1 en 2 p. 77
9.1.2 Afleidbaarheid en continuïteit Eigenschap: f is afleidbaar in a ⇒ f is continu in a f is discontinu in a ⇒ f is niet afleidbaar in a Bewijs :
f (x ) − f (a ) ∈ IR x −a f (x ) − f (a ) lim ⋅ (x − a ) + f (a ) x →a x −a f (x ) − f (a ) lim ⋅ (x − a ) + lim f (a ) x →a x −a x →a f (x ) − f (a ) lim ⋅ lim(x − a ) + lim f (a ) x →a x →a x →a x −a f ′(a ) ⋅ 0 + f (a )
f is afleidbaar in a ⇒ lim x →a
lim f (x ) = x →a
= = =
= f (a )
Bewijs :
Veronderstel dat f wel afleidbaar is in a ⇓
f is continu in a
Tegenspraak want f was discontinu in a Dus onze veronderstelling dat f wel afleidbaar is in a is fout en dus is f niet afleidbaar in a. Opmerkingen:
Het bewijs van noemt men een bewijs uit het ongerijmde. ( p ⇒ q ) dan geldt ook (¬q ⇒ ¬p ) Dit noemt men contrapositie. p 0 0 1 1
q 0 1 0 1
p ∧q 0 0 0 1
p∨q 0 1 1 1
f is continu in a ⇒ / f is afleidbaar in a Oef. 3 p. 79
9.1.3 Afleidbaarheid van continue functies Voorbeeld 1 p. 80 lim x →3
f (x ) − f (3) − x 2 + 4x − 3 − (x − 1)(x − 3) = lim = lim = −2 x →3 x →3 x −3 x −3 x −3
Oef. 4 en 5 p. 83
9.1.4 Afleidbaarheid: besluit Oef. 30, 31, 32 (1), 33, 34 en 35 p. 121 - 122
9.2 Afgeleide functies 9.2.1 Afgeleide functie + 9.2.2 Afgeleide functie van enkele basisfuncties d x 2 = 2x dx
( )
Bewijs: Neem a willekeurig: f (x ) − f (a ) x −a 2 x − a2 0 = lim = x →a x −a 0 (x − a )(x + a ) = lim x →a x −a = 2a
f ′(a ) = lim x →a
d x 3 = 3x 2 dx
( )
Bewijs: Neem a willekeurig: f (x ) − f (a ) x →a x −a 3 x −a3 0 = lim = x →a x −a 0
f ′(a ) = lim
= lim
(x − a )(x 2 + ax + a 2 ) x −a
x →a
= 3a
2
Algemeen p. 86 d x n = nx n −1 dx
( )
(n ∈ IN 0 )
Bewijs: Neem a willekeurig: f (x ) − f (a ) x →a x −a n x − an 0 = lim = x →a x −a 0
f ′(a ) = lim
= lim
(x − a )(x n −1 + x n −2a + x n −3a 2 + ... + x 2a n −3 + xa n −2 + a n −1 )
x →a
= na
n −1
x −a
Taak 8: Vervangtaak afgeleiden Maak notities van p. 88 - 90 en onthoud dat:
d d ( x ) = 1, (c ) = 0 , dx dx
d 1 d 1 1 x = . = − 2 en dx dx x x 2 x Maak daarna oef. 7, 8 p. 92 - 94 en 36 (1), 37 p. 122
( )
Opmerking p. 88
d (x ) = 1 dx ⇒ Omdat de grafiek van y = x overal helling 1 heeft, is de afgeleide in elk punt van de grafiek 1.
d (c ) = 0 dx ⇒ Omdat de grafiek van y = c een horizontale rechte is, dus met helling 0, is de afgeleide in elk punt van de grafiek 0.
d dx
1 1 =− 2 x x
Bewijs: 1 1 a x − − f ( x ) − f (a ) a−x lim = lim x a = lim ax ax = lim x →a x →a x − a x →a x →a x ⋅ a ⋅ ( x − a ) x −a x −a = lim x →a
d dx
− (x − a ) x ⋅ a ⋅ (x − a )
= lim x →a
−1 1 =− 2 x ⋅a a
(met a ≠ 0)
( x ) = 2 1x
Bewijs:
lim x →a
f ( x ) − f (a ) x −a
x − a = lim x →a x −a
= lim x →a
= lim x →a
x − a 2
( x) −( a)
x − a
(
) (
x + a ⋅
x − a
)
→ De afgeleide bestaat hier niet in 0 (+ ∞).
=
2
1 2 a
(met a > 0)
Oef. 7 en 8 p. 92-94 Oef. 36 (1) en 37 p. 122 Opmerking: d (b ) = 0 dx
→ constante functie
⇒ afgeleide = 0
d (b ) = 1 db
→ functie die lijkt op y = x
⇒ afgeleide = 1
⇒
d bn = 0 dx d b n = nb n −1 db
( ) ( )
9.2.3 Afgeleide functie en het gebruik van GRM Kan onze Casio GRAPH 35 niet. Dit zien we later met Mathcad.
9.3 Rekenregels voor afgeleiden 9.3.1 Afgeleide van een veelvoud van een functie, afgeleide van de som van 2 functies g =r ⋅ f
g ( x ) = (r ⋅ f
)( x ) = r ⋅ f ( x )
d d r ⋅ f ( x ) = r ⋅ f ( x ) dx dx
(r ⋅ f )′ = r ⋅ f ′
Bewijs: veronderstel dat f afleidbaar is in een willekeurige a ∈ , dan bestaat f ( x ) − f (a ) f ′ (a ) en f ′ (a ) = lim . x →a x −a Stel g = r ⋅ f
g ′ (a ) = lim
g ( x ) − g (a )
= lim
r ⋅ f ( x ) − r ⋅ f (a )
x →a x −a x −a r ( f ( x ) − f (a ) ) f ( x ) − f (a ) = lim = r ⋅ lim x →a x → a x −a x −a = r ⋅ f ′ (a ) x →a
d d d f ( x ) + g ( x ) = f ( x ) + g ( x ) dx dx dx
(f
+ g )′ = f ′ + g ′
Bewijs: veronderstel dat f en g afleidbaar zijn in een willekeurige a ∈ , dan f ( x ) − f (a ) bestaat f ′ (a ) en f ′ (a ) = lim x →a x −a g ( x ) − g (a ) en bestaat g ′ (a ) en g ′ (a ) = lim x →a x −a Stel s = f + g
s ′ (a ) = lim
s ( x ) − s (a )
= lim
(f
+ g )( x ) − ( f + g )(a )
x →a x −a x −a f ( x ) + g ( x ) − f (a ) − g (a ) f ( x ) − f (a ) g ( x ) − g (a ) = lim = lim + lim x →a x →a x →a x −a x −a x −a = f ′ (a ) + g ′ (a ) x →a
Oef. 11 en 12 p. 97
9.3.2 Afgeleide van het product van 2 functies d d d f ( x ) ⋅ g ( x ) = g ( x ) ⋅ f ( x ) + f ( x ) ⋅ g ( x ) dx dx dx
(f
⋅ g )′ = g ⋅ f ′ + f ⋅ g ′
uitbreiding + toepassingen
(f
⋅ g ⋅ h )′ = f ′ ⋅ g ⋅ h + f ⋅ g ′ ⋅ h + f ⋅ g ⋅ h ′
( f )′ = n ⋅ f n
n −1
⋅f′
( f )′ = 2 f ′f Oef. 15, 16 en 17 p. 100 - 101
(zonder bewijs)
9.3.3 Afgeleide van het quotiënt van 2 functies f g
′ f ′ ⋅ g − f ⋅ g ′ = g2
Hieruit volgt:
(zonder bewijs)
1 ′ − f ′ = 2 ⇒ f f
1 ′ −1 = 2 x x
( )′ = z ⋅ f
Ook geldt nu voor alle z ∈ Z 0 : f
z
z −1
⋅f′
Oef. 18 en 19 p. 103
9.3.4 Toepassingen 2 krommen raken elkaar in een punt als ze in dit punt dezelfde raaklijn hebben. Opgelet! Mogelijke raakpunten zijn gemeenschappelijke punten, maar gemeenschappelijke punten zijn niet altijd raakpunten.
Oef. 20 p. 108
9.3.5 Hogere afgeleiden We duiden de n-de afgeleide functie van f aan met f (n ) of
Oef. 23 p. 109 Oef. 47, 49, 53 (1) en 59 p. 127 - 130
dn f . dx n
9.4 Toepassingen uit de fysica 9.4.1 Snelheid Oef. 24 p. 110 Algemeen p. 111: v gem =
∆s s (t ) − s (t 0 ) = ∆t t − t0
v (t 0 ) = lim t →t 0
∆s s (t ) − s (t 0 ) = = s ′ (t 0 ) t − t0 ∆t
→ De ogenblikkelijke snelheid is dus de afgeleide van de positie.
9.4.2 Versnelling Algemeen p. 113: a gem =
∆v v (t ) − v (t 0 ) = ∆t t − t0
a (t 0 ) = lim t →t0
∆v v (t ) − v (t 0 ) = = v ′ (t 0 ) t − t0 ∆t
→ De ogenblikkelijke versnelling is dus de afgeleide van de snelheid.
Oef. 26 p. 115
9.4.3 Verwante snelheden Eens lezen.
9.5 Benaderen van nulpunten van afgeleide functies m.b.v. de methode van Newton (niet)
