Tal-uitwerking einddoelen breuken, verhoudingen, kommagetallen en procenten

Tal-uitwerking einddoelen breuken, verhoudingen, kommagetallen en procenten Algemeen Inzicht, getalrelaties, redeneren, procedures

Leerlingen kunnen bij opgaven op het gebied van breuken, procenten, kommagetallen en verhoudingen het netwerk van getalrelaties gebruiken dat ze in de loop van de tijd hebben opgebouwd. Ze weten bijvoorbeeld dat 3-4 even veel is als 1-2 + 1-4 en kunnen dat bij een opgave als 3-4 + 3-4 = inzetten. We bedoelen hier dus het gebruik maken van getalrelaties die, wanneer daar aanleiding toe is, direct bij de leerling opkomen. Het daadwerkelijk benutten van deze kennis vormt dan nog maar een kleine stap. Leerlingen komen echter ook situaties tegen waarvoor hun kennis van getalrelaties niet toereikend is. In dat geval zullen ze vaak al redenerend, vanuit hun inzicht in betekenis en samenhang, toch een antwoord kunnen vinden. Bij dat redeneren wordt uiteraard teruggegrepen op dezelfde kennis, maar die wordt dan ingezet in een activiteit die veel meer het karakter heeft van probleemoplossen. De leerling zal in dit geval meer tijd nodig hebben om tot een oplossing te komen. Tenslotte zullen er ook leerlingen zijn die inmiddels routines of standaardprocedures hebben ontwikkeld die ze met inzicht kunnen inzetten. In dit hoofdstuk werken we wat we geschreven hebben over kerninzichten uit in een serie doelen. Bij de ordening van die doelen volgen we het onderscheid dat we hierboven maakten tussen gebruik maken van getalrelaties, redeneren en gebruikmaken van vaste

Algemeen

1

procedures We beginnen echter met een aantal doelen die het beste rechtstreeks aan inzicht kunnen worden gekoppeld. Inzicht vormt de basis van alles. Het neemt een een aparte positie in omdat het daarbij gaat om een algemene kwaliteit waar alle activiteiten van doortrokken zijn. Het leren beheersen van vaste rekenprocedures vormt géén voor alle leerlingen na te streven doel. Vanwege het gevaar van trucmatige routine is terughoudendheid geboden. In plaats daarvan geven we de voorkeur aan het op een inzichtelijke manier gebruiken van de zakrekenmachine. Procedures kunnen echter differentiële doelen vormen voor een deel van de leerlingen. We ordenen de doelen in de volgende paragrafen: – inzicht in betekenis en samenhang; – kennen en gebruiken van getalrelaties; – redeneren; – inzichtelijk gebruik van de zakrekenmachine; – gebruiken van procedures (differentieel doel). Waar nodig worden de doelen voorzien van een toelichting en voorbeelden.

Inzicht in betekenis en samenhang Kenmerkend voor het leerstofgebied is de sterke samenhang tussen breuken, procenten, kommagetallen en verhoudingen Deze samenhang komt voort uit het feit dat breuken, verhoudingen, kommagetallen en procenten in zekere zin allemaal variaties vormen op hetzelfde thema, namelijk verhoudingen. Bij breuken, kommagetallen en procenten wordt de onderliggende verhouding niet met meerdere getallen beschreven, maar met slechts één enkel getal. We spreken in navolging van Freudenthal van meet- of verhoudingsgetallen. Naast inzicht in deze samenhang moeten de leerlingen ook inzicht hebben in de verschillen tussen breuken, verhoudingen, kommagetallen en procenten. Het zijn verschillen die te maken hebben met de ontstaansgrond van de begrippen, de betekenis die ze hebben en de manier waarop ze in de praktijk worden gebruikt. Breuken beschrijven

2

Tal-uitwerking einddoelen breuken, verhoudingen, kommagetallen en procenten

verhoudingen als deel-geheel relaties. Bij kommagetallen staat het meetaspect op de voorgrond. Ze zijn in contextsituaties meestal gekoppeld aan grootheden. Procenten vergemakkelijken het rekenen en vergelijken door verhoudingen terug te brengen tot standaardverhoudingen, namelijk zoveel op de honderd. Dit alles leidt tot de volgende doelen. Inzicht in de samenhang tussen breuken, verhoudingen, kommagetallen en procenten

De leerling is zich bewust van de verwantschap tussen breuken, verhoudingen, kommagetallen en procenten en begrijpt de relaties tussen de verschillende beschrijvingsvormen. Breuken, verhoudingen, kommagetallen en procenten als meet- of verhoudingsgetallen

De leerling weet dat het bij breuken, verhoudingen, kommagetallen en procenten in contextopgaven steeds gaat om meet- of verhoudingsgetallen en blijft zich realiseren wat de eenheid is, waar breuk, verhouding, kommagetal of percentage aan refereren. Dit betekent ook dat de leerling breuken, kommagetallen en procenten primair associeert met deel-geheel relaties (al dan niet op basis van het (mentale) beeld van de dubbele strook) en niet zozeer met procedures als: ‘ 3-4 is in vier stukjes delen en drie stukjes nemen’ of: ‘15% is delen door 100 en vermenigvuldigen met 15’. Kommagetallen als een manier van systematisch verfijnen

De leerling kan de opeenvolgende decimalen in een kommagetal interpreteren als een reeks ‘gewone tiendelige breuken’, met de noemers met oplopende machten van tien en realiseert zich dat deze overeenkomen met systematisch verfijnde (maat)eenheden. Procenten als een standaardisering via ‘honderdsten’ of ‘op de honderd’

De leerling beseft dat beschrijvingen met procenten een alternatief vormen voor beschrijvingen met breuken of verhoudingen en doorziet

Inzicht in betekenis en samenhang

3

de voor- en nadelen van deze gestandaardiseerde beschrijving. Verhoudingen als verhoudingsgewijs en absoluut redeneren

De leerling realiseert zich dat je getallen of grootheden in contextsituaties verhoudingsgewijs dan wel absoluut kunt vergelijken en kan beide benaderingswijzen ook zinvol gebruiken. De leerling is zich er van bewust dat verhoudingsgewijs vergelijken soms ook wordt toegepast in situaties waar we slechts doen alsof er sprake is van recht-evenredigheid. Toelichting

Wanneer er bijvoorbeeld een vergelijking wordt gemaakt tussen de criminaliteit in twee steden, dan redeneren we vaak alsof er sprake is van een recht-evenredig verband, dat wil zeggen dat we doen alsof het aantal gevallen van criminaliteit recht evenredig is met het aantal inwoners van een stad.

Getalrelaties Hierboven beschreven we inzicht in de samenhang tussen de verschillende deelgebieden als één van de hoofdthema’s voor het leerstofgebied. Deze samenhang komt ook naar voren te in: – het kennen en benutten van getalrelaties binnen en tussen de deelgebieden. – het inzetten van getalrelaties en inzichten voor flexibel en globaal rekenen. Tussen deze onderdelen zit overlap maar voor de overzichtelijkheid beschrijven we ze hieronder als los van elkaar. Getalrelaties kennen en benutten

De leerling kan flexibel omgaan met eenvoudige getalrelaties tussen breuken, verhoudingen, kommagetallen en procenten. Toelichting

Met getalrelaties bedoelen we zowel relaties binnen een deelgebied als

4


relaties tussen breuken, procenten, kommagetallen en verhoudingen onderling. Leerlingen moeten bij het rekenen kunnen overstappen van de ene soort breuken naar een andere, of van de ene verhouding naar een andere, maar ook van verhoudingen naar breuken, van breuken naar procenten, enzovoort. Het gaat bij deze doelen om eenvoudige breuken - breuken met de noemers 2, 3, 4, 5, 8, 10, 100 en 1000 - en daarmee overeenkomende verhoudingen, kommagetallen, en procenten. Voor wat betreft procenten betekent het dat de leerling beschikt over referentiepunten voor het beoordelen van de orde van grootte van percentages. Daarbij moet gedacht worden aan veelvouden van 10% en van 25% en 33 1--3- %, via de associatie met overeenkomstige breuken. De kennis van veelvouden van 12 1--2- % kan gelden als een mogelijke uitbreiding voor sommige leerlingen. Het gaat met name om percentages boven de 100, zoals 150% is 1 -12 keer en 200% is twee keer zoveel. Voorbeelden

Getalrelaties binnen een deelgebied – De leerling kent de breuk 3-4 als 1-2 + 1-4 , als 3 x 1-4 , als 1 - 1-4 en kan deze kennis inzetten bij het oplossen van een opgave als 3-4 + 3-4 = door te bedenken dat 3-4 + 3-4 = 1-2 + 1-4 + 1-2 + 1-4 = 1 + 1-2 . Of door 3-4 + 3-4 te interpreteren als 1 – 1-4 + 1-4 + 1-2 = 1 1-2 , of door 3-4 + 3-4 3 × 1-4 + 3 × 1-4 = 6 × 1-4 = 1 1-2 . – De leerling associeert 0,25 met 4 × 0,25 = 1 en met 3 × 0,25 = 0,75. – De leerling is vertrouwd met relaties als 10 × 0,1 = 1; 10 × 0,01 = 0,1 en 0,1 × 0,1 = 0,01. – De leerling kent veelvouden van 25%, zoals 2 × 25% = 50%, 3 × 25% = 75%, 4 × 25% = 100%, 5 × 25% = 125%. Getalrelaties tussen breuken, verhoudingen, kommagetallen en procenten 3 ---- deel’, of ‘iets minder – De leerling associeert 31% met ‘ongeveer 10 1 dan --3- deel’. – De leerling herkent een verhouding als 24 : 36 als 2 : 3. – Een verhouding als 80 op 320 - bijvoorbeeld in de context van 80 gram suiker op 320 gram snoep - wordt door de leerling geïnterpreteerd als een deel-geheelrelatie die kan worden voorgesteld met een strook en kan worden vereenvoudigd tot 1 op de

Getalrelaties

5

(of 1 van de) 4. De leerling realiseert zich dat dit overeenkomt met 25 1 -4 deel, wat geassocieerd wordt met 0,25, of te wel ------ en 25%. De 100 leerling kan dit weer terugkoppelen door gebruik te maken van de wetenschap dat 25% overeen komt met 25 van de 100, wat gelijk is aan 1 van de 4 en aan 80 van de 320 en de leerling weet dat dit gecontroleerd kan worden door 80 : 320 = 0,25 op de rekenmachine uit te rekenen. – De leerling kan een opgave als: ‘Hoeveel kost 0,750 kg appels à € 3,80?’, oplossen door dit te vertalen in 3-4 van € 3,80, wat weer kan worden gesplitst in 1--2- van € 3,80 en 1-4 van € 3,80 en resulteert in € 1,90 + € 0,95 = € 2,85. De leerling kan de opgave ook oplossen door 0,750 op te vatten als 750 -------- en de berekening uit te voeren als 3,80 : 1000 = 0,0038 en 750 × 1000 0,0038 = 2,8500. Of door te bedenken dat 2 × 0,750 = 1,5 en eerst de prijs van 1,5 kg uit te rekenen; 1,5 kilo kost € 3,80 + € 1,90 = € 5,70 en € 5,70 gedeeld door 2 is € 2,85. Getalrelaties inzetten voor globaal rekenen

De leerling is in staat om de getallen in (context)opgaven op het gebied van breuken, verhoudingen, procenten en kommagetallen zo aan te passen dat met een eenvoudige berekening met 'mooie getallen' een globaal antwoord verkregen kan worden. Toelichting

Het gaat hier niet om het toepassen van een vaste procedure voor afronden maar om het vereenvoudigen van een berekening door ‘mooie’ getallen te kiezen waarmee je handig kunt rekenen. Wat mooie getallen zijn heeft weer te maken met de hierboven beschreven getalrelaties en de mate waarin de leerling daarover beschikt. Bij dit globaal rekenen is differentiatie in nauwkeurigheid mogelijk, waarbij het van belang is dat de leerling inzicht heeft in hoeverre de nauwkeurigheid van de uitkomst passend is voor de situatie. Voorbeelden

– De leerling herkent 0,762 in een opgave als: ‘Hoeveel kost 0,762 kg appels à € 3,80?’, ongeveer 0,750 of 0,75. Of de leerling realiseert zich dat 762/1000 ofwel 762 van de 1000 overeenkomt met

6


ongeveer 3-4 deel. – De leerling brengt gegeven percentages in verband met ‘mooie’ percentages als 25% en 33 1-3 %, maar kan ze ook relateren aan de dichtstbijzijnde tienvouden. Zoals bijvoorbeeld bij het interpreteren van de uitslag van een stemming waar 60% vóór is, waar de leerling uit afleidt dat er wel een meerderheid is (meer dan de helft), maar geen 2-3 meerderheid.

Redeneren Beredeneren van operaties met breuken

De leerling kan in eenvoudige situaties op beredeneerde wijze bewerkingen met breuken uitvoeren. Toelichting

Het betreft hier primair het bepalen van som en verschil. Het beredeneren van een product of quotiënt blijft beperkt tot gevallen waarin een breuk en een geheel getal gecombineerd worden. Het doel is niet het kennen en toepassen van vaste procedures; wanneer de leerling een regel gebruikt moet hij deze kunnen uitleggen in termen van de concrete situatie. Voorbeelden

– De leerling kan bij een opgave als 1-2 + 1-3 = … uitleggen hoe je van halven en derden zesden kunt maken, tot op het niveau van een redenering als, ‘Een twee keer zo grote noemer betekent dat er twee keer zoveel stukjes in een hele gaan en dat die stukjes dus twee keer zo klein, of half zo groot, zijn.’ – De leerling realiseert zich dat een opgave als 12 × 1 1-2 = … kan worden opgelost met herhaald optellen. – De leerling kan een opgave als 2 1-2 keer 12 vertalen in ‘twee keer 12 plus de helft van 12’ (zie ook multiplicatief redeneren) – De leerling kan uitleggen dat een opgave als 3-4 : 2 = … kan worden opgelost door alle ‘stukjes’ in tweeën te delen en beredeneren dat je zo op 3-8 komt.

Redeneren

7

– De leerling beseft dat je delen van een getal door een breuk kunt vertalen in het herhaald afpassen van die breuk op dat getal of door de verhouding tussen het getal en de breuk te bepalen De voorbeelden zijn hier als kale sommen beschreven, maar het gaat er vooral om dat de leerlingen dergelijke opgaven aankunnen wanneer ze in contextvorm worden aangeboden. Van de betere leerlingen wordt wel verwacht dat ze deze redeneringen los van een context kunnen uitvoeren. Beredeneren van operaties met kommagetallen

De leerling kan kennis en inzicht in de structuur en betekenis van kommagetallen inzetten bij het uitvoeren van bewerkingen met kommagetallen en maakt in voorkomende gevallen handig gebruik van maatwisseling, zowel om komma’s weg te werken, als om te redeneren over relaties tussen breuken en kommagetallen. Toelichting

De moeilijkheid van de bewerking wordt bepaald door de vraag of er slechts een, of meer dan een kommagetal in betrokken is. Voor delen van een geheel getal door een kommagetal en voor het vermenigvuldigen van een kommagetal met een geheel getal kan de leerling gebruik maken van kolomsgewijs rekenen.1 De basis daarvan ligt in het herhaald aftrekken respectievelijk herhaald optellen. Voor vermenigvuldigen van een kommagetal met een kommagetal en voor het opdelen van de rest in decimalen achter de komma kan de leerling gebruik maken van maatwisseling. Voorbeelden

Gebruik van de relatie met gewone tiendelige breuken – De leerling kan de uitkomst van 2,195 + 1,9 = , respectievelijk 2,195 2195 900 9 - en 0,9 in ---- = -------- om - 1,9 =… berekenen door hetzij 2,195 in ----------1000 1000 10 te zetten, dan wel met deze relaties in het achterhoofd te bedenken dat de opgaven overeenkomen met 2,195 + 1,900 = en 2,195 – 1,900 =: – De leerling lost een opgave als 24 × 3,47 = … bijvoorbeeld op via herhaald optellen en een opgave als 269 : 25,8 = … via herhaald aftrekken.

8


Ook hier geldt weer dat de opgaven hierboven weliswaar als kale sommen zijn beschreven, maar dat het er vooral om gaat dat de leerlingen dergelijke opgaven aankunnen wanneer ze in contextvorm worden aangeboden. Gebruik van maatwisseling – De leerling kan opgaven als de hierboven genoemde 24 × 3,47 = … en 269 : 25,8 = … oplossen met behulp van maatwisseling. Bijvoorbeeld door in een contextopgave € 3,47 te vervangen door 347 cent. (Sommige leerlingen zullen dit ook op een meer formeel niveau kunnen door 24 × 3,47 tijdelijk te vervangen door 24 × 347 om daarna het resultaat weer door 100 te delen.) – De leerling kan een opgave als € 2,89 + € 3,65 = oplossen door eerst de centen en dan de hele euro’s bij elkaar op te tellen, of door de bedragen eerst in eurocenten om te zetten. – De leerling kan 1-4 liter omzetten in 0,250 liter door te bedenken dat 1 liter overeenkomt met 1000 ml en dat 1-4 liter dus gelijk is aan 250 ml. – De leerling kan het antwoord op een opgave als: ‘Hoeveel kost 1,8 kilogram appels à € 1,20?’ berekenen dan wel benaderen door te wisselen tussen kilogrammen en grammen en tussen euro’s en centen. Beredeneren van operaties met procenten

De leerling kan kennis en inzicht in de structuur en betekenis van procenten inzetten bij het berekenen van en het rekenen met percentages en maakt in voorkomende gevallen handig gebruik van de dubbele strook, getallenlijn of verhoudingstabel om de verhoudingsgetallen stapsgewijs aan te passen. Toelichting

We kunnen onderscheid maken tussen situaties waarin het percentage moet worden berekend (‘Hoeveel procent is 130 van de 520?’), het deel (‘Hoeveel is 25% van 520?’), of het geheel (‘Hoeveel is 100% als 25% 130 is?’). Het is overigens niet de bedoeling deze drie situaties te onderscheiden als opzichzelfstaande ‘gevallen’ die de leerlingen als zodanig zouden moeten kennen. Een combinatie van getalkennis en inzicht moet

Redeneren

9

voldoende zijn om in alle gevallen tot een beredeneerd antwoord te komen. Daarbij kan een onderscheid worden gemaakt tussen handig gebruik van getalrelaties en meer algemene aanpakken die onafhankelijk zijn van de getallen in de opgave. Bij het handig gebruik van getalrelaties gaat het om aanpakken waarbij de leerling verhoudingsgetallen stapsgewijs aanpast. (Zie ook ‘Redeneren met evenredigheden’.) Wanneer de getallen zich niet lenen voor handig rekenen, kan de leerling de tussenstap maken van het berekenen van één procent. Om een percentage te vinden kan de leerling bijvoorbeeld eerst uitrekenen hoeveel 1% van het ‘geheel’ is, om vervolgens te onderzoeken hoe vaak dit op het gegeven ‘deel’ past. En om een percentage van het ‘geheel’ te nemen, kan de leerling eerst uitrekenen hoeveel 1% van ‘het geheel’ is, om dit vervolgens met het gegeven percentage te vermenigvuldigen. Merk op dat het laatste in de praktijk op hetzelfde neerkomt als het percentage omzetten in ‘zoveel honderdste deel’. Ook dat kun je vertalen in het ‘geheel’ eerst delen door honderd en daarna met het percentage vermenigvuldigen. Voorbeelden

– De leerling bepaalt hoeveel procent 175 van de 625 geënquêteerden is, via het stapsgewijs aanpassen van de getallen, Ja-stemmers

175

35

7

28

Geënquêteerden

625

125

25

100

Of door eerst 1% van 625 te berekenen en vervolgens 175 door de uitkomst (6,25) te delen. – De leerling berekent hoeveel gram zuiver goud een ketting van 396 gram bevat die voor 35% uit zuiver goud bestaat, via het stapsgewijs aanpassen van de getallen.

10

Percentage

100%

25%

10%

35%

Gewicht

396

99

39,6

138,6


Of door eerst 1% van 396 te berekenen en vervolgens de uitkomst (3,96) met 35 te vermenigvuldigen (35% is 35 x 3,96 gram = 138,6 gram). Redeneren met evenredigheden

De leerling kan bij een gegeven paar verhoudingsgetallen een reeks gelijkwaardige getallenparen construeren en kan de door deze getallenparen beschreven verhouding ook uitdrukken in een breuk of een percentage. De leerling is bovendien vertrouwd met de strategieën die je kunt gebruiken om equivalente getallenparen te produceren. Toelichting

Het gaat hier om strategieën die met de verhoudingstabel zichtbaar gemaakt kunnen worden als verdubbelen, halveren, samennemen, verschil bepalen en met hetzelfde getal vermenigvuldigen, c.q. door hetzelfde getal delen. Voorbeelden

– De leerling vergelijkt de prijzen van twee verschillende verpakkingen van hetzelfde product, 250 gram à € 3,65 en 200 gram à € 3,25, met elkaar door te berekenen wat een bepaalde hoeveelheid (bijvoorbeeld 1000 gram, 100 gram of 50 gram) in beide gevallen kost. – Op basis van de werkelijke aantallen kan de leerling vaststellen dat er in Frankrijk in totaal meer fietsen zijn dan in Nederland, maar dat wij er verhoudingsgewijs – naar aantallen inwoners – meer hebben. – De leerling kan 14% van € 720 benaderen door 15% te berekenen met behulp van een verhoudingstabel. Percentage Bedrag

100%

10%

5%

15%

€ 720,=

€ 72,=

€ 36,=

€ 108

Conclusie: 14% van € 720 is dus iets minder dan €108. Wanneer de leerling bedenkt dat 1% ongeveer € 7 is, kan 14% van € 720 op ongeveer € 100 geschat worden. Desgewenst kan dit nog preciezer

Redeneren

11

door 1% uit te rekenen: Percentage

100%

10%

5%

15%

1%

14%

Bedrag

€ 720

€ 72

€ 36

€ 108

€ 7,2

€ 108,80

Maar wanneer een precieze uitkomt beoogd wordt, is een meer directe methode meer voor de hand liggend, hetzij via: Percentage

100%

1%

14%

Bedrag

€ 720

€ 7,20

€ 101,80

dan wel via: Percentage

100%

1400%

14

Bedrag

€ 720

€ 10180

€ 101,80

– De leerling kan een vaststelling als: ‘Zo’n 500 van de 800 auto’s die op het vrachtschip vervoerd werden gingen verloren,’ omzetten in een percentage door gebruik te maken van de verhoudingstabel: Deel

500

250

125

62,5

Geheel

800

400

200

100

Met behulp van de verhoudingstabel kan zo geconstateerd worden dat 500 van de 800 overeenkomt met 62,5% van het geheel. Wat kan worden afgerond op ruim 60%. Multiplicatief redeneren

De leerling weet hoe je contextgebonden beschrijvingen van multiplicatieve relaties in termen van breukrelaties, kommagetallen en percentages kan omzetten in vermenigvuldigingen.

12


Toelichting

Dit is een lastige doelstelling en om die te halen zal hier meer aandacht aan moeten worden besteed dan nu gebruikelijk is. Voorbeelden

– De leerling weet dat 2--3- deel van … kan worden uitgerekend als 2--3- × ... – De leerling weet dat 0,64 gram à … kan worden uitgerekend als 0,64 × ... – De leerling weet dat 150% van … kan worden uitgerekend als 1,50 × … – De leerling kan beredeneren dat je een onbekend percentage kunt vinden door het quotiënt te bepalen van deel en geheel. Bijvoorbeeld bij het in procenten omzetten van de resultaten van een enquête waaruit blijkt dat 358 van de 987 geënquêteerden te kennen geven hinder te hebben van het vliegtuiglawaai. – Een mogelijke uitloop voor een deel van de leerlingen zou kunnen zijn: De leerling kan beredeneren dat een prijs inclusief 17,5% btw neerkomt op 117,5 keer de oorspronkelijke prijs.

Zakrekenmachine Het werken met de zakrekenmachine ligt in het verlengde van het beredeneren van operaties. Strategieën voor handig rekenen, waarbij de leerling zich laat leiden door de getallen in de opgave, zijn voor het rekenen op de zakrekenmachine echter minder geschikt. Bij procent rekenen geldt dit met name voor aanpakken waarbij de uitkomst in stapjes benaderd wordt. Een meer algemene strategie, waarin bijvoorbeeld eerst één procent berekend wordt, leent zich veel beter voor het inzetten van de zakrekenmachine. Na het verlaten van de basisschool zal veel rekenwerk met de zakrekenmachine worden uitgevoerd. Het met de hand of uit het hoofd rekenen met breuken, kommagetallen, verhoudingen en procenten betreft in de praktijk vooral het rekenen met eenvoudige getallen en het globaal rekenen. Het complexere rekenwerk wordt met de zakrekenmachine uitgevoerd. We onderscheiden in dit verband de volgende doelen. Zakrekenmachine

13

Breuken omzetten in kommagetallen met behulp van de zakrekenmachine

De leerling begrijpt dat je breuken met behulp van de zakrekenmachine kunt omzetten in kommagetallen door teller en noemer op elkaar te delen. Met kommagetallen werken op de zakrekenmachine

De leerlingen kunnen enkelvoudige berekeningen (+,-, ×, en :) waar kommagetallen in voorkomen op de zakrekenmachine uitvoeren. De leerlingen zijn zich ervan bewust dat het aanbeveling verdient de uitkomst van een berekening op de zakrekenmachine achteraf door een globale berekening controleren. Procentrekenen met de zakrekenmachine

De leerling kan de zakrekenmachine met inzicht inzetten bij het berekenen van en het rekenen met percentages. Toelichting

Het gaat hier met name om algemene strategieën voor het beredeneren van operaties met procenten die onafhankelijk zijn van de getallen in de opgave. Dit zijn bijvoorbeeld strategieën die steunen op het berekenen van één procent. Zo kan de leerling beredeneren dat je: – een ‘deel’-‘geheel’relatie kunt omzetten in een percentage, door het geheel’ door 100 te delen om vervolgens te bepalen hoe vaak de uitkomst op ‘het deel’ past – je het’ deel’ kunt berekenen door eerst de waarde van 1 procent te uit te rekenen (door ‘het geheel’ door 100 te delen) en dit met het percentage te vermenigvuldigen. – het ‘geheel’ kunt berekenen door eerst de waarde van 1 procent te berekenen en die vervolgens met 100 te vermenigvuldigen. Leerlingen die zich het multiplicatief redeneren op een formeel niveau hebben eigen gemaakt zullen ook een percentage van een ‘geheel’ kunnen nemen, door het percentage om te zetten in een kommagetal en ‘het geheel’ met dit kommagetal te vermenigvuldigen. Zo zullen er ook leerlingen zijn, die inzien dat je een deel-geheel relatie via een deling kunt omzetten in een kommagetal dat je weer in een percentage kunt omzetten.

14


Procedures (differentieel) Zoals eerder is opgemerkt vormt het beheersen van procedures geen doel dat voor alle leerlingen moet worden nagestreefd. Bovendien geldt dat veel van de doelen die we hier opnoemen overeenkomen met de doelen die hierboven voor het rekenen met de zakrekenmachine zijn geformuleerd. Daarmee wordt tevens het belang van het beheersen van procedures binnen dit domein gerelativeerd. Daarbij moet wel worden aangetekend dat veel wiskundige procedures een culturele waarde hebben en dat het beheersen van procedures de wiskunde in het voortgezet onderwijs kan vergemakkelijken. Er zijn uiteraard verschillende procedures mogelijk. Hieronder noemen we procedures die goed passen bij de beoogde leerlijn. Routinematig optellen en aftrekken van breuken

De leerling kan breuken routinematig optellen en aftrekken; bijvoorbeeld door middel van gelijknamig maken, dan wel door het kiezen van een passende ondermaat. Routinematig vermenigvuldigen van breuken

De leerling kan breuken routinematig vermenigvuldigen; bijvoorbeeld door tellers en noemers te scheiden. (Een vermenigvuldiging als 4--5- × 2--31 8 1 -----wordt dan via 4--5- × 2--3- = 4 × 1--5- × 2 × 1--3- omgezet in 4 × 2 × ----15 = 15 ). Toelichting

Hierbij past het model van een tegelpleintje, waarbij de oorspronkelijke 1 - tegel). oppervlaktemaat (1 tegel) wordt vervangen door een kleinere ( ----15 Routinematig delen van breuken

De leerling kan delen met breuken routinematig oplossen; bijvoorbeeld door de deling op te vatten als een verhouding om de deling zo om te zetten in een deling waar geen breuken meer in voorkomen. (Een deling als 8 --12- : 1 --14- wordt dan omgezet in 34 : 5 door deeltal en delen met vier te vermenigvuldigen.)

Procedures (differentieel)

15

Routinematig optellen en aftrekken van kommagetallen

De leerling kan voor het optellen en aftrekken van kommagetallen gebruik maken van de voor gehele getallen ontwikkelde procedure1, door rekening te houden met de positie van de komma. Routinematig vermenigvuldigen en delen van kommagetallen

De leerling kan voor het vermenigvuldigen en delen van kommagetallen gebruik maken van de voor gehele getallen ontwikkelde procedures, door de komma’s achtereenvolgens weg te laten en terug te plaatsen. Routinematig omzetten van verhoudingen

De leerling kan de verhoudingstabel op een standaardmanier gebruiken om een getallenpaar om te zetten in een equivalent getallenpaar, bijvoorbeeld via één vaste tussenstap. Voorbeeld

– De leerling bepaalt hoeveel procent 175 van de 625 geënquêteerden is, via een tussenstap, ja-stemmers

175

0,28

28

geênquêteerden

625

1

100

Routinematig rekenen met procenten

De leerling kan berekenen hoeveel het deel is dat bij een gegeven percentage van ‘een geheel’ behoort, bijvoorbeeld door eerst de waarde van 1 procent te berekenen en het resultaat dan met het percentage te vermenigvuldigen, of door het percentage op te vatten als een factor en ‘het geheel’ daarmee te vermenigvuldigen. De leerling kan bovendien een percentage berekenen wanneer het deel en het geheel gegeven zijn; bijvoorbeeld door ‘het deel’ en ‘het geheel’ op elkaar te delen en de uitkomst te vermenigvuldigen met 100, of door eerst 1% van het ‘geheel’ te berekenen en dat op het ‘deel’ te delen.

16


noten 1 Zie ook de TAL-brochure Hele Getallen Bovenbouw Basisschool.

Procedures (differentieel)

17

18


Tal-uitwerking einddoelen breuken, verhoudingen, kommagetallen en procenten

Recommend Documents