Handboek Rekenen 3. hele getallen, kommagetallen en breuken bewerken. Extra uitleg bij Zakboek Rekenen 3

Handboek Rekenen 3 hele getallen, kommagetallen en breuken bewerken

L EERH U

L P. N L

Extra uitleg bij Zakboek Rekenen 3

Handboek Rekenen 3 INLEIDING Dit handboek hoort bij de DiKiBO uitgave: Zakboek Rekenen 3 hele getallen, kommagetallen en breuken bewerken Hierin staat de stof van groep 7 en 8 van de basisschool aangaande het rekenen met hele getallen, kommagetallen en breuken. In het zakboek is de rekenstof op kaarten weergegeven. Iedere kaart behandelt een bepaald soort som en geeft er uitleg over via voorbeelden, schema’s, tips en stappenplannen. Het zakboek en de handleiding zijn gebaseerd op de kerndoelen 23 t/m 33 die zijn opgesteld door het ministerie van Onderwijs, Cultuur en Wetenschap (OCW). Deze kerndoelen dienen per 1 augustus 2009 volledig te zijn ingevoerd in het primair onderwijs. Het traditionele rekenen gaat uit van cijferen en van vaste stappenplannen, die altijd toepasbaar zijn. Tot dertig jaar geleden bestond het rekenen op de basisschool vooral uit cijferen. Hierbij reken je met de cijfers 0 tot en met 9. Deze kunnen we ‘los’ gebruiken en we kunnen er getallen mee maken. Een getal bestaat uit meerdere cijfers. Bij cijferen bestaat het getal 7.825 uit een 7, een 8, een 2 en een 5. Werken met cijfers heeft een aantal voordelen: 1. Er is geen getalinzicht nodig. 2. De aan te leren procedures zijn altijd hetzelfde en toepasbaar bij alle bewerkingen (optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen). 3. Ook sommen met grote getallen en dus veel cijfers zijn makkelijk uit te rekenen. Tegenwoordig leren de meeste kinderen ook realistisch rekenen aan, hierbij ligt de nadruk op inzicht en context. Kinderen krijgen alledaagse problemen en situaties aangeboden en leren deze op te lossen met behulp van zelf gekozen strategieën en inzichten. Bij dit rekenen speelt taal een belangrijke rol. Het bedenken van de goede som en het kiezen van een handige rekenmanier is belangrijk bij dit rekenen. DiKiBO is methode-onafhankelijk en past in haar producten zowel het traditionele als het realistische rekenen toe. Zo kan een kind een rekenmanier kiezen die het prettig vindt. De DiKiBO-boeken zijn bruikbaar naast het lesmateriaal dat op scholen wordt aangeboden, ze fungeren als aanvulling en hulp. In 1. 2. 3. 4. 5.

dit digitale handboek vind je de volgende delen: Hoe gebruik je het zakboek in de praktijk? Pagina 2 Inhoudsopgave van Zakboek Rekenen 3. Pagina 3 Toelichting bij de kaarten uit Zakboek Rekenen 3. Pagina 5 Toelichting op de kerndoelen. Pagina 30 Leertips. Pagina 31

1 DiKiBOleerhulp.nl

Handboek Rekenen 3 1. HOE GEBRUIK JE HET ZAKBOEK IN DE PRAKTIJK? TIPS VOOR KINDEREN BIJ HET GEBRUIK VAN HET ZAKBOEK Het DiKiBO-zakboek is een opzoek-boek. 1. De rekenmanieren waaruit je kunt kiezen staan per bewerking (optellen,aftrekken, vermenigvuldigen, delen) bij elkaar. Als één van deze manieren favoriet is, dan kun je een sticker of memoblaadje op deze kaart plakken. Zo vind je de kaart makkelijk terug. 2. Mocht een bepaalde rekenmanier op school besproken zijn en je weet niet meer hoe deze gaat of je snapt het niet, zoek het op in het zakboek! Dan kun je toch zelfstandig verder met je rekenwerk. Tijdens de les, maar ook tijdens het maken van je huiswerk. 3. Gebruik het zakboek zo veel mogelijk. Hoe vaker je een schema ziet en ermee rekent, des te beter je het op den duur voor je ziet en kunt onthouden. 4. Als je zelfstandig verder mag werken aan stof die nog niet is uitgelegd, dan kun je in het zakboek opzoeken hoe je de som uit kunt rekenen. 5. Zowel je ouders als jijzelf weten door middel van het zakboek precies wat je moet kennen en kunnen in groep 7 en 8. 6. Je ouders of grootouders kunnen je met behulp van de kaarten in het zakboek helpen bij het maken van je huiswerk. LEERMANIEREN Op school Traditioneel draait het op school om taal, ook bij het rekenen. De stof wordt verbaal uitgelegd en kinderen moeten aandachtig luisteren en gaan daarna aan de slag. De hersenen Bij leren gebruik je de hersenen. Hersenen bestaan uit een linker en een rechter helft. De linker hersenhelft stuurt de rechterkant van je lichaam aan. Andersom doet de rechter helft dat met de linkerkant van het lichaam. Ieder mens gebruikt beide hersenhelften De meeste mensen gebruiken echter één van beide helften beter. Deze helft noemen we in dat geval dominant. De linker hersenhelft gebruik je bijvoorbeeld voor taal, getallen, nummers, stappenplannen, rijtjes en logisch denken. Op school wordt vooral gewerkt vanuit deze linker hersenhelft. Als die helft bij jou dominant is dan kun je vaak goed leren. Verandering Door internet verandert het leren. Kijken wordt nu belangrijker dan luisteren. Je kunt vrijwel alles opzoeken. Plaatjes, iconen en buttons zijn nu net zo belangrijk als woorden en getallen. Voor dit leren gebruik je vooral de rechter hersenhelft. Die helft heb je namelijk nodig voor plaatjes, kleuren, muziek, creativiteit en ruimtelijk inzicht. Voordeel van deze ontwikkeling is dat mensen met een dominante rechterhersenhelft nu vaak makkelijker leren.

2 DiKiBOleerhulp.nl

Handboek Rekenen 3

Nieuwe kansen DiKiBO biedt de kaarten aan met rekenstof in kleuren, plaatjes èn stappenplannen. Hiermee slaan we een brug tussen beide hersenhelften. Hoe vaker je zo’n brug slaat des te makkelijker zul je beide helften kunnen inzetten bij het leren. Door beeld, kleur èn taal te gebruiken, leer je beter. Leren is anders geworden en dat biedt nieuwe kansen! 2. INHOUDSOPGAVE VAN ZAKBOEK REKENEN 3 De kaarten van het zakboek: Nummer: 2 3 4 5-6 7 8 9 10 11 12 13-16 17-18 19 20 21-22 23 24 25-26 27-28 29-30 31-34 35-36 37-42 43-46 47-54 55-60 61-68 69-70 71-72 73-74 75 76 77 78 79 80 81-84

Titel:

Toelichting in dit handboek: Pagina:

dit is het DiKiBO-zakboek van.............................................5 colofon uitleg bij de kaarten .......................................................... 6 inhoudsopgave tabblad algemeen .......................................................... 6 aantekeningen stappenplan rekenen ......................................................... 7 stappenplan verhaalsommen .............................................. 7 stappenplan meerkeuzevragen ........................................... 8 rekenregels.................................................................... 10 rekenen met de rekenmachine ......................................... 10 tabblad hele getallen ................................................... 11 plaats-waarde schema..................................................... 12 grote getallen................................................................. 13 negatieve getallen .......................................................... 13 kwadraten ..................................................................... 13 priemgetallen ................................................................. 13 ontbinden in factoren ...................................................... 14 Romeinse getallen .......................................................... 14 optellen ......................................................................... 15 optellen onder elkaar ...................................................... 15 aftrekken....................................................................... 15 aftrekken onder elkaar .................................................... 16 vermenigvuldigen ........................................................... 16 vermenigvuldigen onder elkaar ......................................... 17 delen...... ...................................................................... 18 de staartdeling ............................................................... 19 het gemiddelde .............................................................. 20 schattend rekenen .......................................................... 20 tabblad breuken: ......................................................... 20 breuken algemeen .......................................................... 21 teller en noemer ............................................................. 21 gemengde getallen ......................................................... 21 gemengd getal als echte breuk ......................................... 21 stappenplan breuken....................................................... 21 aantekeningen breuken gelijknamig maken ............................................. 22

3 DiKiBOleerhulp.nl

Handboek Rekenen 3 85 86-88 89-90 91-92 93-96 97 98-102 103-106 107 108 109-110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121-128 129-130 131-134 135-138 139-146 147-150 151-156 157-158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175

helen uit een breuk halen ................................................ 22 breuken vereenvoudigen ................................................. 22 helen verdelen ............................................................... 22 breuken optellen............................................................. 22 breuken aftrekken .......................................................... 22 aantekeningen breuken vermenigvuldigen ............................................... 23 delen door een breuk ...................................................... 23 breuk als verhouding....................................................... 23 breuk als procent............................................................ 23 breuk als kommagetal ..................................................... 23 tabblad kommagetallen: .............................................. 24 aantekeningen kommagetallen-lijnen...................................................... 24 kommagetal als breuk ..................................................... 24 kommagetal, breuk, procent en verhouding........................ 24 komma verschuiven ........................................................ 24 de waarde van een kommagetal ....................................... 25 kommagetallen vergelijken .............................................. 25 kommagetallen afronden ................................................. 25 aantekeningen kommagetallen optellen................................................... 25 meerdere kommagetallen optellen .................................... 26 kommagetallen aftrekken ................................................ 26 kommagetallen aftrekken ................................................ 27 kommagetallen vermenigvuldigen ..................................... 27 kommagetallen delen ...................................................... 27 kommagetallen delen ...................................................... 28 tabblad (deel)tafels: .................................................... 28 de tafels van 0 en 1 ........................................................ 30 de tafels van 2 en 3 ........................................................ 30 de tafels van 4 en 5 ........................................................ 30 de tafels van 6 en 7 ........................................................ 30 de tafels van 8 en 9 ........................................................ 30 de tafel van 10 ............................................................... 30 de tafels van 12 en 12,5 .................................................. 30 de tafels van 15 en 25..................................................... 30 de tafels van 50 en 100 ................................................... 30 de deeltafels van 1 en 2 .................................................. 30 de deeltafels van 3 en 4 .................................................. 30 de deeltafels van 5 en 6 .................................................. 30 de deeltafels van 7 en 8 .................................................. 30 de deeltafels van 9 en 10................................................. 30 de deeltafels van 12 en 12,5 ............................................ 30 de deeltafels van 15 en 25 ............................................... 30 de deeltafels van 50 en 100 ............................................. 30

4 DiKiBOleerhulp.nl

Handboek Rekenen 3 3. TOELICHTING BIJ DE KAARTEN VAN ZAKBOEK REKENEN 3 Kaart 2: DIT IS HET DIKIBO-ZAKBOEK VAN: Op deze kaart stelt DiKiBO de karakters voor die door het hele zakboek heen te vinden zijn. Zodra je een van hen ziet dan volgt er iets belangrijks. De groene figuur met de brede, lachende mond geeft handige tips. De rode figuur met de mond vol scherpe tanden zegt dat je op moet passen om niet in een bekende valkuil te trappen. De andere rode figuur vraagt zich af HOE iets wordt berekend, meestal volgt er dan een uitleg.

',7,6+(7'L.L%2=$.%2(.9$1 BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB BBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBBB

7,3

3$6 23

+2("

+RLLNEHQ'L.L%2 6DPHQPHWPLMQYULHQGHQ KHOSLNMRXELMKHWOHUHQ

/ ((5+ 8

/ 3 1 /

Kaart 4: UITLEG BIJ DE KAARTEN Alle kaarten hebben een titel. Deze staat met witte letters weergegeven in de groene balk bovenin. Op de kaarten zie je ook een vakje met een kaartnummer. In het zakboek geven gekleurde tabbladen ieder een categorie van het rekenen aan. De kaarten die bij een bepaalde categorie horen, staan op het gekleurde tabblad vermeld. Het vakje met het kaartnummer heeft steeds dezelfde kleur als het tabblad. Er staan veel kaarten in het zakboek. Daarom kan het handig zijn om de kaarten die je op een bepaald moment veel gebruikt te markeren. Hiervoor kun je een paperclip gebruiken of een papiertje met een plakrand.

5 DiKiBOleerhulp.nl

Handboek Rekenen 3

8,7/(*%,-'(.$$57(1 ,Qµ=DNERHNUHNHQHQ¶VWDDWGHUHNHQVWRIYDQJURHSHQGLHJDDW RYHUKHWEHZHUNHQYDQKHOHJHWDOOHQNRPPDJHWDOOHQHQEUHXNHQ ,HGHUHNDDUWEHKDQGHOWHHQEHSDDOGVRRUWVRPHQJHHIWHUXLWOHJRYHU YLDYRRUEHHOGVRPPHQVFKHPD¶VHQVWDSSHQSODQQHQ

'L.L%2ZHUNWPHWNOHXUHQV\PEROHQHQ¿JXUHQ]RGDWMHGHVWRI PDNNHOLMNHUNXQWEHJULMSHQHQRQWKRXGHQ 'HUHNHQVWRILVYHUGHHOGLQGHKRRIGVWXNNHQ$OJHPHHQ+HOHJHWDOOHQ %UHXNHQ.RPPDJHWDOOHQHQ'HHO WDIHOV 'HJHNOHXUGHWDEEODGHQJHYHQGH]HYHUGHOLQJDDQ2RNVWDDQGH NDDUWQXPPHUVHQWLWHOVHURSYHUPHOG=RLVDOOHVPDNNHOLMNWHUXJWHYLQGHQ

'L.L%2OHHUKXOSQOQHHPWJHHQYHUDQWZRRUGLQJYRRU RQHLJHQOLMNJHEUXLNYDQKHW'L.L%2PDWHULDDO

/ ((5+ 8

/ 3 1 /

De hand die op sommige kaarten rechtsonder staat, verwijst naar de achterkant van de betreffende kaart. Hier wordt extra uitleg gegeven in de vorm van een voorbeeld, stappenplan, schema of tip. De kaarten zijn in de ik-vorm geschreven. Dit is een actieve vorm waardoor je eerder geneigd zal zijn iets met de informatie te doen. Het gebruik van kleuren is doelgericht toegepast. De kleuren geven aan welke informatie belangrijk is, waar een verschil zit of wat bij elkaar hoort. Door het boek heen staan kaarten met als titel: ‘Aantekeningen’, het gebruik hiervan spreekt voor zich. Kaart 7: TABBLAD ALGEMEEN De volgende onderwerpen worden achter dit tabblad behandeld: Kaartnummer:

Titel:

9 10 11 12 13-16

stappenplan rekenen stappenplan verhaalsommen stappenplan meerkeuzevragen rekenregels rekenen op de rekenmachine

6 DiKiBOleerhulp.nl

Handboek Rekenen 3

Kaart 9: STAPPENPLAN REKENEN Veel rekenfouten worden gemaakt door even snel een som op te lossen in plaats van systematisch te werk te gaan. DiKiBO brengt structuur in het rekenen aan door middel van stappenplannen. De stappen zijn genummerd en in de ik-vorm opgeschreven. Dit zijn de stappen voor het rekenen: Stap 1. Kan ik hoofdrekenen? Als het mogelijk is, geniet hoofdrekenen de voorkeur. Het gaat snel en geeft de minste kans op fouten. Hoe pas je hoofdrekenen toe? 1. Je weet het antwoord uit het hoofd. of 2. Je kiest de makkelijkste rekenmanier en rekent de som in het hoofd uit. Stap 2. Moet ik een precies antwoord geven of mag ik schatten? Kijk goed naar wat er in de som wordt gevraagd. Staat het woord ‘ongeveer’ in de som dan kan je rekenen met afgeronde getallen. Stap 3. Welke rekenmanier past bij deze som? Afhankelijk van de getallen die je ziet, kun je een rekenmanier of strategie kiezen. In dit handboek komen vele rekenmanieren aan bod. Door de juiste strategie te kiezen, reken je de som snel en handig uit. Sommige kinderen raken echter in de war door de grote hoeveelheid rekenmanieren die er zijn en komen daardoor nauwelijks aan het uitrekenen toe. Zij kunnen het beste werken met één strategie die ze snappen en die ze kunnen toepassen bij verschillende soorten sommen. Stap 4. Heb ik hulpmiddelen nodig? Zorg dat je altijd dingen als kladpapier, liniaal, potlood, puntenslijper, gum en de rekenmachine klaar hebt liggen als je gaat rekenen. Stap 5. Ik reken de som uit. Stap 6. Ik check het antwoord. Veel foute antwoorden kunnen worden voorkomen als kinderen hun werk controleren en indien nodig verbeteren. Daarom geeft DiKiBO dit zo vaak mogelijk aan. Kaart 10: STAPPENPLAN VERHAALSOMMEN Verhaalsommen werden vroeger redactiesommen genoemd. Veel kinderen vinden verhaalsommen lastig. Toch zijn het belangrijke sommen omdat er een relatie met de werkelijkheid wordt gelegd. Met behulp van dit stappenplan kan een kind in een verhaalsom een rekensom vinden, die het uit kan rekenen. Stap 1. Ik lees het verhaal goed! In het verhaal staat belangrijke informatie die je goed kunt gebruiken maar ook vaak informatie die er NIET toe doet. Stap 2. Ik bekijk de illustratie, staat hier informatie in? De illustratie, tekening, plaatjes of foto, geven vrijwel altijd informatie die nodig is om de opgave goed op te lossen maar ook weer informatie die er niet toe doet en die je afleidt.

7 DiKiBOleerhulp.nl

Handboek Rekenen 3 Bij stap 1 en 2 is het belangrijk dat je focust op de goede informatie. Als je werkt op een eigen werkblad, dan kan je deze informatie markeren met een stift. Als je uit een boek of met de computer werkt is de DiKiBO Hocus Focus een handig hulpmiddel. Stap 3. Wat weet ik nu? Schrijf op wat je nu weet. Soms lijkt iets niet belangrijk en heb je die informatie toch nodig. Stap 4. Wat moet ik uitrekenen? De sommen zijn verstopt in het verhaal. Kijk dus goed wat er precies wordt gevraagd. Stap 5. Ik bedenk de som. Nu heb je de rekensommen die antwoord geven op de vraag. Deze schrijf je op. Let op: er kunnen meerdere tussen-sommen zijn. Stap 6. Heb ik hulpmiddelen nodig? Zorg dat je altijd dingen als kladpapier, liniaal, potlood, puntenslijper, gum en rekenmachine klaar hebt liggen als je gaat rekenen. Stap 7. Ik reken de som uit. Stap 8. Ik check het antwoord. Veel foute antwoorden kunnen worden voorkomen als je het antwoord controleert en eventueel verbetert. Kaart 11: STAPPENPLAN MEERKEUZEVRAGEN Waarom staat er in het zakboek een stappenplan meerkeuzevragen? Nog niet zo lang geleden rekenden kinderen op papier de sommen uit en werden deze door de leerkracht nagekeken. Toetsen die horen bij de methode op school, eindtoetsen en Cito-toetsen werden op papier gemaakt en handmatig nagekeken. Inmiddels werken steeds meer scholen met computers. Ook rekentoetsen worden in veel gevallen op de computer gemaakt. Voor sommige kinderen is dit een voordeel omdat zij op de computer beter presteren. Andere kinderen maken op de computer meer fouten. Dit is iets om in de gaten te houden omdat dit hun rekenresultaten kan vertekenen. Deze kinderen moeten wel zo snel mogelijk leren rekenen op de computer want op den duur zullen vrijwel alle toetsen zo worden afgenomen. Deze ontwikkeling neemt met zich mee dat toetsen steeds meer in de vorm van meerkeuzevragen zullen worden afgenomen. Om de simpele reden dat dit digitaal beter te verwerken is. Meerkeuze vragen werken vaak in het voordeel van handige rekenaars. Zij gebruiken de vier gegeven antwoorden om tot het juiste antwoord te komen. Dat scheelt een hele boel rekenwerk en het geeft inzicht in de som. Deze strategie kun je leren. Het is belangrijk dat kinderen zich deze manier eigen maken en zo leren om de toetsen handig te maken met de resultaten die zij verdienen. Stap 1. Ik kijk naar de som. Wat voor een soort som is het? Wordt er een precies antwoord gevraagd of staat het woord ‘ongeveer’ in de som. Als dat zo is dan mag ik schatten.

8 DiKiBOleerhulp.nl

Handboek Rekenen 3 Is het een echte uitrekensom of meer een som waarvan ik het antwoord eigenlijk zo al zie. Als de som uit tekst bestaat dan lees ik deze heel nauwkeurig. Stap 2. Ik kijk naar de illustratie. De illustraties geven vrijwel altijd informatie die onmisbaar is bij het oplossen van de som! Stap 3. Wat weet ik nu? Je combineert stap 1 en 2. Zo mogelijk markeer je de informatie met een stift . Stap 4. Waar gaat het om in deze som? Doordat sommen worden aangeboden met tekst en plaatjes krijg je heel veel informatie. Daarom moet je selecteren en je afvragen waar het in deze opgave om gaat. Soms lijkt het alsof een som bijvoorbeeld het metriek stelsel betreft terwijl het eigenlijk om een keersom gaat. Stap 5. Ik kijk naar de antwoorden. Aan de antwoorden zie ik vaak waar het om gaat in de som. De antwoorden geven meestal een aanwijzing. Ze lijken bijvoorbeeld erg op elkaar. Is het enige verschil tussen de antwoorden het aantal nullen? Dan gaat het daarom in die som. Stap 6. Zie ik al foute antwoorden? Van de vier antwoorden vallen er, door logisch denken, meestal één of twee af. Soms kunnen er 3 niet dan heb je geluk want dan hoef je niets uit te rekenen. Stap 7. Deze streep ik weg. Door de foute antwoorden weg te strepen, wordt de keuze makkelijker. Stap 8. Welk antwoord lijkt mij goed? Kies het antwoord dat je goed lijkt en gebruik dit antwoord om de som uit te rekenen. Bijvoorbeeld: Hoeveel glazen cola van 25 cl haal ik uit 10 flessen van 1 liter? De antwoorden waaruit ik moet kiezen zijn: A 4 B 25 C 40 D 250 4 glazen dat kan niet uit 10 flessen dus antwoord A valt af. 250 glazen kan ook niet want dat zouden er 25 glazen uit 1 fles gaan. Dus antwoord D valt ook af. Je moet kiezen tussen 25 en 40. Je kijkt naar de getallen. De vraag is hoeveel glazen van 25 cl uit 10 flessen van 1 liter kunnen. De kans is groot dat je kiest voor antwoord C want 4 x 25 = 100 Stap 9. Ik reken de som uit. 4 x 25 cl = 100 cl= 1 liter. Dus 40 x 25 cl = 10 liter Antwoord C is goed. Stap 10. Ik check mijn antwoord met dat van stap 8. Meestal is het antwoord goed maar het kan zijn dat er toch een nul meer of minder moet staan, of iets dergelijks. Controleer dus ALTIJD! Tip: als je het antwoord niet weet dan kies je uit de antwoorden die over zijn na stap 7 degene die je het beste lijkt. Je hebt altijd een kans van minimaal 25 % dat je het antwoord goed hebt. Sommige kinderen vinden het zo erg om fouten te maken dat ze niets invullen en dan is het in ieder geval 100 % fout.

9 DiKiBOleerhulp.nl

Handboek Rekenen 3 Kaart 12: REKENREGELS Staan er in een som meerdere bewerkingen, dan gelden er internationale afspraken over de volgorde van het uitrekenen. Deze volgorde staat op kaart 12. De regels gelden voor het rekenen met alle getallen dus ook kommagetallen, negatieve getallen en breuken. Ze gelden ook voor het rekenen met de rekenmachine. Dit is de rekenvolgorde op de basisschool, bij meerdere bewerkingen in een opgave: 1. Ik reken alle sommen tussen haakjes uit. 2. Ik ga vermenigvuldigen en delen of andersom want deze bewerkingen zijn gelijkwaardig. 3. Ik ga optellen en aftrekken of andersom want deze bewerkingen zijn ook gelijkwaardig. Bij punt 2 en 3 werk je van links naar rechts, dus in de volgorde van de som. Op sommige scholen wordt deze ezelsbruggetjes aangeleerd: ‘Hoe moeten wij van de onvoldoendes afkomen’. of ‘Het mooie witte veulentje draaft op en af’. Rekenen vindt plaats in deze volgorde: Haakjes - machtsverheffen - worteltrekken - vermenigvuldigen - delen - optellen - aftrekken. De volgorde komt overeen met de geldende afspraken, alleen zie je in deze zinnetjes niet de gelijkwaardigheid: vermenigvuldigen en delen zijn gelijkwaardig aan elkaar, optellen en aftrekken zijn ook gelijkwaardig aan elkaar. Bij gelijkwaardige bewerkingen werk je in de volgorde waarin ze voorkomen dus van links naar rechts. Sinds de 19e eeuw werd in Nederland dit ezelsbruggetje aangeleerd: ‘Meneer van Dalen wacht op antwoord’. Machtsverheffen - vermenigvuldigen - delen - worteltrekken - optellen - aftrekken. Nu Nederland zich aan internationale afspraken houdt, is deze volgorde verouderd en mag ‘Meneer van Dalen’ NIET meer worden toegepast! Het verschil in antwoord kan groot zijn als de rekenregels niet worden toegepast. Er zijn rekenmethodes die in groep 6 de kinderen gewoon van links naar rechts laten rekenen en pas in groep 7 of 8 de correcte volgorde vragen. Dit is verwarrend voor de kinderen. Het kan voorkomen dat een kind de som correct uitrekent en het antwoord toch fout wordt gerekend omdat de methode nog niet volgens de regels van de volgorde werkt. Als een kind hier problemen mee heeft overleg dan met de leerkracht wat de juiste manier van handelen is. Kaart 13-16: REKENEN OP DE REKENMACHINE In groep 7 beginnen de meeste leerlingen de rekenmachine te gebruiken. De rekenmachine is handig om lastige sommen uit te rekenen en om je

10 DiKiBOleerhulp.nl

Handboek Rekenen 3 werk na te kijken. Bij rekenen op de rekenmachine moet je weten WAT je doet en WAAROM je dat doet. Het is belangrijk dat een kind zoveel mogelijk uit het hoofd kan rekenen want dit gaat sneller en geeft minder kans op fouten. Eenduidige regels voor het werken op de rekenmachine zijn niet te geven. De regels hieronder gelden voor de meeste rekenmachines: 1. De rekenregels die de volgorde van bewerkingen aangeven gelden ook op de rekenmachine. 2. Duizendtallen en miljoentallen voer je in zonder punt. 3. Een kommagetal voer je in met een punt in plaats van de komma. 4. Een breuk is op de rekenmachine een kommagetal. 5. Digitale tijden reken je nooit uit op de rekenmachine omdat de rekenmachine via het tientallig stelsel rekent. Tijd bereken je echter via eenheden van 60. 6. Je moet altijd het antwoord controleren door te schatten of het ongeveer klopt. Delen met rest geeft de rekenmachine als een kommagetal. Bijvoorbeeld: 295 : 19 = 15,526319. Meestal rond je zo’n getal af op 2 cijfers achter de komma: 15,53. Soms moet je de rest noteren als een breuk: 15 53/100. Een andere keer moet je de rest opschrijven als een heel getal: 295 : 19 = 15,53 295 : 19 = 15 rest 10 Hoe heb ik dit berekend? Ik vermenigvuldig het hele deel van de uitkomst met de deler: 15 x 19 = 285. Dit houd ik over: 295 - 285 = 10. Op papier zou het er zo uitzien: 19 / 2 9 5 \ 15 19 | 105 95 10

1 x 19 = 19 5 x 19 = 95 De rest is 10.

Kaart 17-18: TABBLAD HELE GETALLEN De volgende onderwerpen worden achter dit tabblad behandeld: Kaartnummer:

Titel:

19 20 21-22 23 24 25-26 27-28 29-30 30-34

plaats-waarde schema namen voor getalgrootte negatieve getallen kwadraten priemgetallen ontbinden in factoren Romeinse getallen optellen optellen onder elkaar


Handboek Rekenen 3 35-36 37-42 43-46 47-53 55-60 61-68 69-70 71-72

aftrekken aftrekken onder elkaar vermenigvuldigen vermenigvuldigen onder elkaar delen de staartdeling het gemiddelde schattend rekenen

Kaart 19: PLAATS-WAARDE SCHEMA In groep 6 is begonnen met het werken met grote getallen. Getallen die zo groot zijn dat ze abstract zijn want je kunt je de hoeveelheden niet voorstellen. Het verschil tussen een miljoen en een miljard, bijvoorbeeld, is moeilijk visueel te maken. DiKiBO brengt structuur in grote getallen aan op de volgende manier: 1. PLaats consequent een punt te bij iedere 3 nullen vanaf rechts. 2. Combineer de namen van de getallen met de juiste hoeveelheid nullen. Bijvoorbeeld: 1 duizend heeft 3 nullen, 1 miljoen heeft 6 nullen en 1 miljard heeft 9 nullen. 3. Een goed hulpmiddel bij het verkrijgen van inzicht in grote getallen is het plaats-waardeschema. Let erop dat ook hier de punten in worden gezet.

Md. 2.

HM 3

TM 8

Mn. 4.

HD 9

TD 0

D. 4.

H 0

T 0

E 0

Met een lege rij eronder kun je makkelijk sommen maken met 1 meer of 1 minder. Voorbeeld 1 minder: Md. 2. 2.

HM 3 3

TM 8 8

Mn. 4. 4.

HD 9 9

TD 0 0

D. 4. 3.

H 0 9

T 0 9

E 0 9

4. Met een plaats-waardeschema moet net zolang worden gewerkt totdat het rekenen met grote getallen wordt beheerst. Bijvoorbeeld: Md. 2. 3.

HM 9 1 1

TM 8 2 0

Mn. 4. 4. 8.

HD 9 0 9

TD 6 0 6

D. 8. 0. 8.

H 6 0 6

T 8 0 8

E 9 0+ 9


Handboek Rekenen 3 In (Cito)toetsen wordt regelmatig gevraagd naar de WAARDE VAN EEN GETAL. Omdat dit in de meeste methodes niet wordt behandeld missen kinderen de kennis om zo'n vraag juist te beantwoorden. Met behulp van het plaats-waarde schema ziet een kind wat de waarde van het getal is. Een voorbeeld toetsvraag is deze: 'Wat is de waarde van de 5 in dit getal: 65092' De 5 staat op de plaats van de Duizend en is daarom 5.000 waard. Kaart 20: NAMEN VOOR GETALGROOTTE Het is handig om de voorvoegsels te kennen die een getalgrootte aangeven. In het zakboek staan deze in een schema. De voorvoegsels van ‘milli’ tot ‘kilo’ hebben de leerlingen in groep 6 al gehad. In groep 7 en 8 komen daar ‘nano’, ‘micro’, ‘mega’ en ‘giga’ bij. Woorden die de meeste jongeren kennen uit hun dagelijks spraakgebruik.

Kaart 21-22: NEGATIEVE GETALLEN Negatieve getallen worden in groep 7 en 8 aangeleerd met behulp van de thermometer. Het mooie aan een thermometer is dat iedereen deze herkent als een gebruiksvoorwerp uit het dagelijks leven, als hulpmiddel bij het rekenen heeft de thermometer de functie van een getallenlijn. Sommen als - 1 - 2 = - 3 worden minder abstract via het denken in graden, zoals op de thermometer. Want iedereen weet dat als de temperatuur buiten -1º Celsius is en het wordt 2 graden kouder dat de temperatuur dan -3º is. Op de basisschool blijft het rekenen met negatieve getallen hierbij.

Kaart 23: KWADRATEN Voor het kwadraat van een getal vermenigvuldig je dat getal met zichzelf: 12 x 12 Dit wordt genoteerd met een tweetje rechtsboven het getal: 122. Dit tweetje geeft aan dat het getal tot de tweede macht verheven moet worden. Voorbeeld: 12 x 12 = 122 = 144 In het Zakboek Rekenen 3 worden de kwadraten van de getallen 1 tot en met 20 weergegeven. In de basisschool-rekenstof zijn kwadraten vooral opgenomen in verband met het verbeteren van het getalinzicht. Deze kaart is ook bruikbaar in de eerste jaren van het vervolgonderwijs.

Kaart 24: PRIEMGETALLEN Een priemgetal is een getal groter dan 1 dat je alleen kunt delen door 1 en door zichzelf. Het eerste priemgetal is 2, dit is een even getal, hierna zijn alle priemgetallen oneven. Er zijn oneindig veel priemgetallen, één van de grootste heeft 13 miljoen (!) cijfers. Waarom zijn priemgetallen belangrijk? Priemgetallen staan op zichzelf. Je kunt ze niet verder delen.


Handboek Rekenen 3 Deze wetenschap kan handig zijn bij het vereenvoudigen van breuken, bij verhoudingen en bij het ontbinden in factoren. Net als kwadraten zijn priemgetallen in het basisonderwijs vooral handig bij het verbeteren van het getalinzicht. Deze kennis is ook bruikbaar bij wiskunde in het vervolg onderwijs. Kaart 25-26: ONTBINDEN IN FACTOREN Alle getallen kun je schrijven als een keersom. Dit heet het ontbinden in factoren. Alleen de priemgetallen zijn zichzelf keer 1. Kijk maar: 1, 2 en 3 zijn priemgetallen. 4 kun je opschrijven als 2x2. 5 is een priemgetal. 6 kun je opschrijven als 2x3 en 3x2. 7 is een priemgetal. 8 kun je opschrijven als 2x4 en 4x2. 9 kun je opschrijven als 3x3 10 kun je opschrijven als 2x5 en 5x2. 11 is een priemgetal. 12 kun je opschrijven als 2x6 en 6x2, 3x4 en 3x4. 13 is een priemgetal. 14 kun je opschrijven als 2x7 en 7x2. 15 kun je opschrijven als 3x5 en 5x3. 16 kun je opschrijven als 4x4. 17 is een priemgetal. 18 kun je opschrijven als 2x9 en 9x2, 3x6 en 6x3. 19 is een priemgetal. 20 kun je opschrijven als 2x10 en 10x2, 4x5 en 5x4. 21 kun je opschrijven als 3x7. 22 kun je opschrijven als 2x11. 23 is een priemgetal. 24 kun je opschrijven als 2x12 en 12x2, 3x8 en 8x3, 4x6 en 6x4. 25 kun je opschrijven als 5x5. En zo voort. Kaart 27-28: ROMEINSE GETALLEN Romeinse cijfers vormen een getalstelsel dat in het oude Rome werd gebruikt. Dit getalstelsel is een optel-stelsel in plaats van een plaatswaarde stelsel. Er is geen symbool voor de 0, hierdoor is rekenen met dit stelsel bewerkelijk. Moslims brachten bij hun Europese veroveringen het Arabische getalstelsel met zich mee. Dit gebruiken we tegenwoordig nog steeds. In dit systeem is de 0 wel opgenomen. Romeinse getallen kun je nog tegenkomen op bijvoorbeeld klokken, bij spelletjes en in jaartallen die op gebouwen staan. Romeinse getallen ontcijferen gaat zo: 1. Je leest van links naar rechts. 2. Je vertaalt de letters in cijfers. 3. Je telt de cijfers bij elkaar op.


Handboek Rekenen 3 Bij Romeinse getallen staat de letter met de grootste waarde links en de letter met de kleinste waarde rechts. Staat er een letter met een lagere waarde aan de linkerkant van een letter met een hogere waarde dan moet je de lage waarde van de hoge waarde aftrekken. Bijvoorbeeld: IV → 5 – 1 = 4. Op kaart 28 is dit ook weergegeven voor de getallen 9, 14, 19, 90 en 400. Een mooi voorbeeld is het jaartal 1499 → MCDXCIX M = 1.000 CD = 500 – 100 = 400 XC = 100 – 10 = 90 IX = 10 – 1 = 9

Kaart 29-30: OPTELLEN 6.000 +

4.000 =

10.000 want 6 + 4 = 10

Een fout die bij deze rekenmanier vaak wordt gemaakt, is dat de verkeerde hoeveelheid nullen wordt teruggeplaatst. Op de kaart wordt daarvoor gewaarschuwd. Soms komen de fouten door slordigheid, soms raken kinderen in de war en tellen ze de nullen bij elkaar op. Dat mag niet bij optelsommen. Hoe ga je te werk? 1. Je haalt aan beide kanten van het plusteken evenveel nullen weg . 2. Je rekent de eenvoudige som uit. 3. Je zet de nullen achter het antwoord van de echte som. Hoeveel? Aan beide kanten 0 weg dan 0 erachter. Aan beide kanten 00 weg dan 00 erachter. Aan beide kanten 000 weg dan 000 erachter. Kaart 31-34: OPTELLEN ONDER ELKAAR De vier kaarten behandelen het verkort optellen met onthouden. Met behulp van duidelijke voorbeeldsommen en bijbehorende stappenplannen. Kaart 35-36: AFTREKKEN 64.000 -

18.000 =

46.000 want 64 - 18 = 46

Een fout die bij deze rekenmanier vaak wordt gemaakt, is dat de verkeerde hoeveelheid nullen wordt teruggeplaatst. Op de kaart wordt daarvoor gewaarschuwd. Soms komen deze fouten door slordigheid, soms raken kinderen in de war en tellen ze de nullen bij elkaar op. Dat mag niet bij minsommen. Hoe ga je te werk? 1. Je haalt aan beide kanten van het minteken evenveel nullen weg . 2. Je rekent de eenvoudige som uit. 3. Je zet de nullen achter het antwoord van de echte som. Hoeveel? Aan beide kanten 0 weg dan 0 erachter. Aan beide kanten 00 weg dan 00 erachter. Aan beide kanten 000 weg dan 000 erachter.


Handboek Rekenen 3 Kaart 37-42: AFTREKKEN ONDER ELKAAR Op kaart 37 wordt het 'aftrekken onder elkaar' met lenen weergegeven. Hoe gaat aftrekken met lenen? 1. Je zet het grootste getal boven en het kleinste getal eronder. 2. Je zet de cijfers precies onder elkaar. 3. Je werkt van rechts naar links en start bij de eenheden. 4. Je trekt de cijfers die onder elkaar staan van elkaar af. 5. Als je tekort komt, leen je er 1 bij het cijfer ervoor. Als je leent, moet je onthouden dat het cijfer waarvan je leent, 1 minder wordt. Het beste is om dit in je hoofd te onthouden. Je kunt ook je vingers gebruiken. Sommige kinderen strepen het cijfer waarvan geleend wordt door en zetten het nieuwe cijfer erbij. Dit kan kans op fouten geven, zeker als de getallen groter worden. Je kunt ook een leenstreep zetten onder het cijfer waarvan je leent. Op de kaarten wordt deze leenstreep toegepast. De kaarten 39 en 40 gaan over het lenen van 0. Veel kinderen vinden dit lastig en op de kaarten zie je hoe je dit handig kunt doen. Als je bij aftrekken onder elkaar tekort komt, ga je lenen of kopen. Lenen van 0, van niets, dat kan niet. Daarom neem je de 0, of 00 en het cijfer dat ervoor staat samen. Nu ontstaat er een getal waar je wel van kunt lenen. Bijvoorbeeld: 2006 159 1847 De aftreksom 6 - 9 kan niet. Je komt tekort en gaat lenen. Lenen van 0 kan niet, lenen van 00 kan ook niet. Lenen van 200 kan wel. Je leent één tiental van 200 tientallen (2.000 = 200 tientallen). 200 tientallen worden 199 tientallen. En 6 eenheden worden 16 eenheden. 16 - 9 = 7 199 - 15 = 184

Deze 7 schrijf je meteen op. Deze cijfers komen voor de 7.

De twee laatste kaarten gaan over het aftrekken van meerdere getallen. Kaart 43-46: VERMENIGVULDIGEN De kaarten 43 en 44 behandelen de manier: ik gebruik een eenvoudige som die eigenlijk hetzelfde is. Bijvoorbeeld: 500 x 400 = Je zet eerst alle nullen tussen haakjes: 5(00) x 4(00) = Je rekent de eenvoudige som uit die nu ontstaat: 4 x 5 = 20 Achter het antwoord plaats je alle nullen die je tussen haakjes hebt gezet. 500 x 400 = 200.000 Het weghalen en terugplaatsen van de nullen is een precies werkje. Hierbij worden al snel fouten gemaakt. Zeker als de uitkomst van de eenvoudige som een getal is dat ook eindigt op een 0, zoals in het


Handboek Rekenen 3 voorbeeld hierboven. Het antwoord controleren is bij dit soort sommen dan ook een ‘must’! De kaarten 45 en 46 gaan over het vermenigvuldigen met ronde getallen: x 10, x 100, x 1.000, x 10.000. Deze keersommen komen heel veel voor. Kinderen rommelen vaak met het aantal nullen, waardoor fouten worden gemaakt. Deze kaarten geven duidelijk aan hoeveel nullen er bij het antwoord moeten worden gezet. Kaart 47-53: VERMENIGVULDIGEN ONDER ELKAAR Vermenigvuldigen onder elkaar is een traditionele manier van cijferen die veel wordt toegepast. Deze manier kun je ALTIJD gebruiken. 56 38 x 8 8 x 6 = 48 8 opschrijven 4 onthouden 56 38 x 448

8 x 5 = 40 erbij 4 is 44

56 38 x 448 0 je schrijft een 0 op omdat je gaat vermenigvuldigen met een tiental. De 3 is eigenlijk 30. 56 38 x 448 80 3 x 6 = 18 56 38 x 448 1680

8 opschrijven 1 onthouden

3 x 5 = 15 erbij 1 is 16

56 38 x 448 1680 + 2128 Tip: Onthouden kun je uit het hoofd doen, je kunt ook je vingers gebruiken of het cijfer opschrijven. Kaart 53 is schematisch weergegeven. Het gaat hier om de nullen die je neer moet zetten. Dit is de volledige som:


Handboek Rekenen 3 2343 5127 x 16401 46860 234300 11715000 + 12.012.561

20x is x een tiental dus je schrijft eerst 0 op. 100x is x een honderdtal dus je schrijft eerst 00 op. 5000x is x een duizendtal dus je schrijft eerst 000 op.

Kaart 55-60: DELEN De kaarten 55 en 56 behandelen de manier: ik gebruik een eenvoudige som die eigenlijk hetzelfde is. Bijvoorbeeld: 400.000 : 500 = 1. Je streept aan beide kanten van het deelteken evenveel nullen weg. 4000∅∅ : 5∅∅ = 2. Je zet de nullen die je niet nodig hebt tussen haakjes. 40(00)∅∅ : 5∅∅ = 3. Je rekent de eenvoudige som uit die nu ontstaat: 40 : 5 = 8 4. Je zet de nullen tussen de haakjes achter het antwoord. 400.000 x 500 = 800 5. Je controleert het antwoord: 800 x 500 = 400.000 Het antwoord klopt. De kaarten 57 en 58 gaan over delen door getallen met nullen. : 10 dan streek je deze nullen weg: ∅ : 100 dan streek je deze nullen weg:∅∅ : 1.000 dan streek je deze nullen weg:∅∅∅ : 10.000dan streek je deze nullen weg:∅∅∅∅ Deze deelsommen komen heel veel voor. Kinderen rommelen vaak met het aantal nullen, waardoor er fouten worden gemaakt. De kaarten geven in schema duidelijk aan hoeveel nullen er moeten worden weggestreept. Op kaart 59 staat de manier van delen die in rekenmethodes gebaseerd op het realistisch reken wordt aangeleerd. Soms heet deze manier de 'hapmethode', soms 'schattend rekenen', soms 'herhaald aftrekken' en soms 'de staartdeling'. Deze laatste naam is verwarrend omdat de staartdeling in het traditionele rekenen in een andere vorm voorkomt. Op de kaarten staat als manier: ik maak er een keersom van. 1404 : 9 = Je vraagt je af: hoe vaak past 9 in 1404? Kinderen leren dit schematisch aan te pakken met de volgende hulpsommen: __9______ 1x9= 9 2 x 9 = 18 (het dubbele van 9) 4 x 9 = 36 (het dubbele van 18)


Handboek Rekenen 3 8 x 9 = 72 (het dubbele van 36) 10 x 9 = 90 5 x 9 = 45 100 x 9 = 900 1404 : 9 = 900504 360144 9054 540

100 x 40 x 10 x 6x + 156

1404 : 9 = 156 Handige rekenaars passen deze manier van delen makkelijk toe. Kinderen die meer moeite hebben met rekenen vinden deze manier soms lastig. In dat geval is de traditionele staartdeling een uitkomst. Deze wordt uitgelegd op kaart 61 tot en met 68. Op kaart 60 staat uitgelegd hoe je handig kunt delen. Bij delen geldt dat als de deler groter wordt dan wordt het antwoord met dezelfde factor kleiner. En andersom. Bijvoorbeeld: Als de deler 2x zo groot wordt dan wordt het antwoord 2x zo klein. 100 : 2 = 50 100 : 4 = 25 100 : 8 = 12,5 Kaart 61-68: DE STAARTDELING De klassieke staartdeling die nu aan bod komt, leren kinderen vaak niet aan. De reden hiervoor is dat het een foefje zou zijn en kinderen niet zouden begrijpen wat ze doen. Toch wordt tegenwoordig de staartdeling soms weer opgenomen in het rekenprogramma. De reden hiervoor is dat de staartdeling altijd kan worden toegepast. Bij kleine en heel grote deelsommen, met en zonder rest. Je hoeft geen manier te kiezen en wint daarmee tijd. Het maakt de staartdeling uitermate geschikt voor onzekere rekenaars. Maar ook sterke rekenaars hebben er baat bij omdat je met de staartdeling uitgebreide delingen kunt uitvoeren, die met de methode hiervoor niet of nauwelijks lukken. De uitleg van de staartdeling lijkt wellicht omslachtig maar staat op de betreffende kaarten mooi in schema. 592 : 8 = Je schrijft de som zo op: 8 / 592 \ Hoe vaak gaat 8 in 5? 0 keer dus je pakt de 9 erbij.


Handboek Rekenen 3 Hoe vaak gaat 8 in 59? 7 keer want 7 x 8 = 56. Deze 7 schrijf je naast de schuine streep \. 8 / 59 2 \ 7 56-| 32

59 - 56 = 3 deze schrijf je onder de _

Je pakt de 2 erbij. Hoe vaak gaat 8 in 32? 4 keer want 4 x 8 = 32. Deze 4 schrijf je naast de 7. 8 / 59 2 \ 74 56-| 32 32 0 592 : 8 = 74 Op de kaarten worden allerlei varianten uitgelegd. Tip: De staartdeling kan altijd! Als je hem veel oefent, dan kun je hem snel en goed maken. Kaart 69-70: HET GEMIDDELDE Een voorbeeld en bijbehorend stappenplan geven duidelijk aan hoe je het gemiddelde uitrekent. Kaart 71-72: SCHATTEND REKENEN In sommige situaties is precies tellen en rekenen nodig. In andere gevallen is schatten handiger. Schatten gebruiken we bij grote getallen zoals het aantal inwoners van Nederland, de omtrek van de aarde, de afstand naar de maan, kortom bij getallen waar het niet aankomt op één meer of minder. Bij schattend rekenen gebruik je afgeronde getallen waarmee je snel uit het hoofd kunt rekenen. Vaak gebruik je schattend rekenen om het antwoord van een som die je precies hebt uitgerekend te controleren. De uitkomst van de 'schatsom' moet in de buurt liggen van die van de 'echte' som. Zeker als sommen worden uitgerekend met een rekenmachine, is het aan te raden om de uitkomst schatten. Met een rekenmachine kun je namelijk snel fouten maken bij het intoetsen. Kaart 73-74: TABBLAD BREUKEN De volgende onderwerpen worden achter dit tabblad behandeld: Kaartnummer: 75 76 77

Titel: breuken algemeen teller en noemer gemengde getallen


Handboek Rekenen 3 78 79 81-84 85 86-88 89-90 91-92 93-96 98-102 103-106 107 108 109-110

gemengd getal als echte breuk stappenplan breuken breuken gelijknamig maken helen uit een breuk halen breuken vereenvoudigen helen verdelen breuken optellen breuken aftrekken breuken vermenigvuldigen delen door een breuk breuk als verhouding breuk als procent breuk als kommagetal

Kaart 75: BREUKEN ALGEMEEN Een breuk is kleiner dan één hele en je schrijft een breuk zo: 1 4 of 1/4 Kaart 76: TELLER EN NOEMER teller_ noemer

de teller telt het aantal delen de naam van de breuk, het aantal stukken waarin de hele is verdeeld.

Kaart 77: GEMENGD GETAL Een gemengd getal bestaat uit helen en een breuk. Op de kaart is dit visueel gemaakt.

Kaart 78: GEMENGD GETAL ALS ECHTE BREUK Het omzetten van een gemengd getal naar een breuk is iets dat je vaak moet toepassen bij het rekenen met breuken. In de meeste rekenmethodes wordt dit realistisch aangeleerd: van de helen maak je een breuk. In 9 3/5 is de 9 = 45/5 en daar tel je de breuk bij op: 45/5 + 3/5 = 48/5. DiKiBO zet dit verkort op de kaart, zoals het vroeger werd aangeleerd: 9 3/5 is 9 x 5 + 3 is 48/5. 5 Kaart 79: STAPPENPLAN BREUKEN Een duidelijke kaart. Kinderen vergeten deze stappen nogal eens: 1. Moet ik gelijknamig maken? En bij het antwoord:


Handboek Rekenen 3 2. haal ik de helen uit de breuk en 3. vereenvoudig ik de breuk. Kaart 81-84: BREUKEN GELIJKNAMIG MAKEN Bij gelijknamig maken zorg je dat de noemers hetzelfde worden. Kaart 83 en 84 gaan over het kgv: het kleinste gemeenschappelijke veelvoud. Deze term leren kinderen vrijwel niet meer aan. Goede rekenaars gebruiken het kgv automatisch. Op deze 2 kaarten laat DiKiBO zien hoe je door het kgv te zoeken op een handige manier breuken gelijknamig kunt maken. Je vergelijkt hiervoor de antwoorden van de tafels van de noemers. Het antwoord dat als eerste in beide tafels voorkomt is het kgv. Kaart 85: HELEN UIT EEN BREUK HALEN 8/2 = 8:2 = 4 Kaart 86-88: BREUKEN VEREENVOUDIGEN Je deelt teller en noemer door hetzelfde getal en blijft delen totdat het niet meer kan. Zo vind je de kleinste breuk. Het vereenvoudigen doe je het snelst via de ggd: de grootste gemeenschappelijke deler. Op kaart 87 en 88 laat DiKiBO zien hoe je handig kunt rekenen via de ggd. Hoe vind je de ggd? Je schrijft op door welke getallen de teller kan worden gedeeld. Daarnaast schrijf je door welke getallen de noemer kan worden gedeeld. Het grootste getal waardoor zowel teller als noemer kunnen worden gedeeld is de ggd. Kaart 89-90: HELEN VERDELEN Toetsen staan vol met dit soort sommen en wat vinden kinderen ze vaak moeilijk. Als je het eerlijk verdelen helemaal niet meer weet dan gebruik je een eenvoudig voorbeeld: 2 kinderen verdelen 1 reep dus ieder krijgt 1/2. Kaart 91-92: BREUKEN OPTELLEN Kaart 93-96: BREUKEN AFTREKKEN Twee manieren om gemengde getallen op te tellen of af te trekken. Met voorbeeldsommen en stappenplannen. Bij manier 1 maak je breuken van de gemengde getallen. Je maakt de breuken gelijknamig en je rekent de som uit. Bij het antwoord haal je als dat kan de helen eruit en vereenvoudig je de breuk. Deze manier is voor optellen en aftrekken hetzelfde en is altijd toepasbaar. Voor de meeste rekenaars heeft deze manier voorkeur.


Handboek Rekenen 3 Bij manier 2 ga je rekenen met de helen en de breuken. Kinderen vergeten bij optellen nogal eens om bij stap 4 de helen uit de breuk te halen en deze op te tellen bij de helen die er al zijn. Ook het aftrekken op deze manier kan voor verwarring zorgen. Kaart 98-102: BREUKEN VERMENIGVULDIGEN Aan bod komen: het wegstrepen, een heel getal x een breuk en een breuk x een breuk. Vermenigvuldigen van breuken gaat zo: teller x teller en noemer x noemer. Soms kun je voor het vermenigvuldigen al vereenvoudigen. Dit noemen we 'wegstrepen'. Op kaart 99 en 100 wordt het wegstrepen uitgelegd.

Kaart 103-106: DELEN DOOR EEN BREUK Delen door een breuk is vermenigvuldigen met het omgekeerde. Voorheen leerden alle kinderen deze regel aan. Hij is altijd toepasbaar en je hoeft er niet bij na te denken. Op kaart 104 wordt de regel uitgelegd. Op de kaarten 105 en 106 wordt de manier op kaarten getoond die kinderen tegenwoordig meestal op school leren namelijk via de verhoudingstabel.

Kaart 107: BREUK ALS VERHOUDING Kaart 108: BREUK ALS PROCENT Kaart 109-110: BREUK ALS KOMMAGETAL Een breuk is eigenlijk een verhouding: 1/4 = 1 van de 4. Omdat het rekenen met hele getallen de voorkeur heeft boven het rekenen met breuken zijn in de financiële wereld procenten bedacht. Een procent is een breuk met als noemer 100: 1/4 = 25/100 = 25 %. En zeg nu zelf: 'uw korting is 25 % dat klinkt beter dan: uw korting is 1/4. Het noteren van en rekenen met breuken kan lastig zijn bijvoorbeeld bij het rekenen met de rekenmachine. Hierom worden breuken meestal omgezet naar decimale breuken, dat wil zeggen naar kommagetallen: 1/4 = 25/100 = 0,25 In feite kun je stellen dat: een breuk = een verhouding = een procent = een kommagetal. Op kaart 109 staat een aantal veel voorkomende breuken met het bijbehorende kommagetal. Een belangrijk schema want op den duur moet een kind deze getallen uit het hoofd kennen.


Handboek Rekenen 3 Kaart 111: TABBLAD KOMMAGETALLEN De volgende onderwerpen worden achter dit tabblad behandeld: Kaartnummer:

Titel:

113 114 115 116 117 118 119 121-128 129-130 131-138 139-146 147-156

Kommagetallen-lijnen Kommagetal als breuk Kommagetal als breuk, procent en verhouding Komma verschuiven De waarde van een kommagetal Kommagetallen vergelijken Kommagetallen afronden Kommagetallen optellen Meerdere kommagetallen optellen Kommagetallen aftrekken Kommagetallen vermenigvuldigen Kommagetallen delen

Kaart 113: KOMMAGETALLEN-LIJNEN Een handig overzicht van de getallenlijnen van tienden, honderdsten en duizendsten. Kaart 114: KOMMAGETAL ALS BREUK Een schema dat het verband aangeeft tussen het kommagetal (bv 0,01), de bijbehorende breuk (1/100), de naam van het kommagetal (1 honderdste) het aantal nullen dat je ziet (ik zie 2 nullen)en de plaats van de 1 (2e plaats achter de komma). Een bruikbaar overzicht om vertrouwd te raken met die op het eerste gezicht lastige kommagetallen. Kaart 115: KOMMAGETAL ALS BREUK, PROCENT EN VERHOUDING Dit kleurige schema laat het verband zien tussen enkele veelvoorkomende getallen. Je ziet dat een procent, een breuk is met 100 als noemer. En een honderdste komt ook voor in een kommagetal namelijk op de tweede plaats achter de komma. Zo kun je van een kommagetal makkelijk een breuk en een procent maken en wordt de verhouding zichtbaar. Dit is stof die je uit het hoofd moet leren. Kaart 116: KOMMA VERSCHUIVEN Als je de komma moet verschuiven dan is het handig als je nullen voor of achter het kommagetal zet of weghaalt. Deze kaart laat zien hoe je dat moet doen.


Handboek Rekenen 3

Kaart 117: DE WAARDE VAN EEN KOMMAGETAL Het inmiddels vertrouwde plaats-waarde schema. Nu met tienden, honderdsten en duizendsten erbij. Kaart 118: KOMMAGETALLEN VERGELIJKEN Kommagetallen vergelijken: welk getal is groter? Dit is goed te zien in het plaats-waarde schema. Zorg er voor dat in beide getallen evenveel cijfers achter de komma staan. Dit doe je door eventueel aan te vullen met nullen. Kaart 119: KOMMAGETALLEN AFRONDEN De regel is: Is het laatste cijfer dat weggaat kleiner dan 5? Dan blijft het laatste cijfer dat blijft staan hetzelfde. Is het laatste cijfer dat weggaat groter dan 5? Dan wordt het laatste cijfer dat blijft staan 1 meer. Kaart 121-122: KOMMAGETALLEN OPTELLEN Samen 1. Op deze kaarten zie je de basis voor het rekenen met kommagetallen tot en met 3 cijfers achter de komma.

Kaart 123: KOMMAGETALLEN OPTELLEN Rekenen via een heel getal. Bijvoorbeeld: 5,42 + 4,99 = 5,41 + 5 = 10,41 De regel is: Als ik aan de ene kant van het plusteken iets erbij doe dan haal ik dat aan de andere kant eraf. Kaart 124: KOMMAGETALLEN OPTELLEN Soms kan het handig zijn om de getallen te splitsen. Deze kaart laat zien hoe dat gaat. Dit is een manier die handige rekenaars vanzelf in hun hoofd toepassen. Voor zwakke rekenaars kan het lastig zijn om zo'n manier aan te leren, in dat geval kan je splitsen als rekenmanier beter overslaan. Kaart 125-126: KOMMAGETALLEN OPTELLEN Optellen door de getallen aan elkaar te rijgen.


Handboek Rekenen 3 In groep 5 hebben de meeste kinderen rekenmanieren als rijgen en splitsen geleerd met hele getallen. Bij kommagetallen zijn dit extra handige manieren. 12,8 + 17,4 = 12,8 + 0,2 + 17,2 = 13 + 17.2 = 30,2 Op de 2 kaarten wordt dit rijgen visueel gemaakt. Kaart 127-128: KOMMAGETALLEN OPTELLEN Optellen onder elkaar. Dit is de traditionele manier die je ALTIJD kunt toepassen. Op de kaarten zie je hoe je kommagetallen bij elkaar optelt. (je zet de komma's precies onder elkaar) en hoe je zorgt dat er evenveel cijfers achter de komma staan (je schrijft er zo nodig nullen bij). Kaart 129-130: MEERDERE KOMMAGETALLEN OPTELLEN Meerdere kommagetallen optellen dat doe je het makkelijkst onder elkaar. Je zet de getallen met de komma's onder elkaar en zorgt ervoor dat er evenveel cijfers achter de komma staan. Kaart 131-132: KOMMAGETALLEN AFTREKKEN Kaart 131 laat aftreksommen waarbij kommagetallen van 1 worden afgetrokken. Kaart 132 behandelt aftrekken via een heel getal. Bijvoorbeeld: 23,5 - 6,9 = 23,6 - 7 = 16,6 De regel is: aan beide kanten van het minteken doe je hetzelfde. Kaart 133-134: KOMMAGETALLEN AFTREKKEN Manier: rijgen. 12,2 - 7,6 = 4,6 Het eerste getal blijft heel. Als tussenstap maak je van het tweede getal handige stukken die je stap voor stap van het eerste getal aftrekt. In groep 5 hebben de meeste kinderen rekenmanieren als rijgen en splitsen geleerd met hele getallen. Bij kommagetallen zijn dit extra handige manieren. 12,2 - 7,6 = 12,2 - 0,2 - 7,4 = 12 - 7 - 0,4 = 5 - 0,4 = 4,6 Op de 2 kaarten wordt dit rijgen visueel gemaakt. Kaart 135-136: KOMMAGETALLEN AFTREKKEN Soms kan het handig zijn om de getallen te splitsen. Deze kaarten laten zien hoe dat gaat. Dit is een manier die handige rekenaars vanzelf in hun hoofd toepassen. Voor zwakke rekenaars kan het lastig zijn om zo'n manier aan te leren. In dat geval kan je splitsen als rekenmanier beter overslaan.


Handboek Rekenen 3 Kaart 137-138: KOMMAGETALLEN AFTREKKEN Aftrekken onder elkaar. Dit is de traditionele manier die je ALTIJD kunt toepassen. Op de kaarten zie je hoe je kommagetallen van elkaar aftrekt. (je zet de komma's precies onder elkaar) en je zorgt dat er evenveel cijfers achter de komma staan (je schrijft er zo nodig nullen bij).

Kaart 139-140: KOMMAGETALLEN VERMENIGVULDIGEN Vermenigvuldigen met een rond getal, een getal met nullen. Per 0 verschuift de komma 1 plaats naar rechts. x 10 dan verschuift de komma 1 plaats naar rechts. x 100 dan verschuift de komma 2 plaatsen naar rechts. Dit moet een kind automatisch kunnen toepassen. Het schema op kaart 140 is een bruikbaar hulpmiddel om het verschuiven van de komma goed aan te leren.

Kaart 141-142: KOMMAGETALLEN VERMENIGVULDIGEN Manier: splitsen Goede rekenaars doen dit als vanzelf uit het hoofd. Kinderen die rekenen moeilijk vinden kunnen in de war raken van splitsen. Op de kaarten staat het splitsen duidelijk uitgelegd. Vindt een kind deze manier lastig, laat het splitsen dan achterwege en leer alleen vermenigvuldigen onder elkaar aan. Kaart 143-146: KOMMAGETALLEN VERMENIGVULDIGEN 1,2 0,4 x 0,48

Kommagetallen onder elkaar vermenigvuldigen. Je schrijft de getallen onder elkaar. Je zet de komma's precies onder elkaar. Je rekent de som uit zonder komma's. Van de getallen samen tel je hoeveel cijfers er achter de komma staan Zoveel cijfers moeten er ook in het antwoord achter de komma! Kaart 147-148: KOMMAGETALLEN DELEN Manier: ik maak er een keersom van. Op deze kaarten staat de manier van delen die in rekenmethodes gebaseerd op het realistisch reken wordt aangeleerd. Soms heet deze manier de 'hapmethode', soms 'schattend rekenen', soms herhaald aftrekken en soms 'de staartdeling'. Deze laatste naam is verwarrend omdat de staartdeling in het traditionele rekenen in een andere vorm voorkomt. Op de kaarten staat als manier: ik maak er een keersom van.


Handboek Rekenen 3 138 : 9,2 = Eerst werk je de komma weg. In deze som door beide getallen te vermenigvuldigen met 10. De som wordt nu: 1380: 92. Je vraagt je af: hoe vaak past 92 in 1380? Kinderen leren dit schematisch aan te pakken: Via keersommen met 1, 5 en 10 Deze zijn makkelijk want keersommen met 1 en met 10 ken je uit je hoofd. En keersommen met 5 zijn de helft van keersommen met 10. 1 x 92 = 92 10 x 92 = 920 5 x 92 = 460 (de helft van 920) Of via dubbelen 1 x 92 = 92 2 x 92 = 184 (het dubbele van 92) 4 x 92 = 368 (het dubbele van 184) 8 x 92 = 736 (het dubbele van 368) Op de kaarten staat de deling schematisch uitgewerkt. Kaart 149-150: KOMMAGETALLEN DELEN Manier: splitsen Soms kan het handig zijn om de getallen te splitsen. Deze kaart laat zien hoe dat gaat. 7,2 : 3 = 7,2 splitst je in 6 en 1,2 want deze getallen zijn makkelijk te delen door 3. 6 : 3 = 2 en 1,2 : 3 = 0,4 7,2 : 3 = 2,4 Op de kaarten wordt dit met functioneel gebruikte kleuren uitgelegd. Kaart 151-152: KOMMAGETALLEN DELEN Delen door een rond getal, een getal met nullen. Per 0 verschuift de komma 1 plaats naar links. : 10 dan verschuift de komma 1 plaats naar links. : 100 dan verschuift de komma 2 plaatsen naar links. Dit moet een kind automatisch kunnen toepassen. Het schema op kaart 152 is een bruikbaar hulpmiddel om het verschuiven van de komma aan te leren. Delen , de komma gaat naar links. Kaart 153-156: KOMMAGETALLEN DELEN Manier: de traditionele staartdeling. De klassieke staartdeling die op deze kaarten aan bod komt was een tijd lang verdwenen uit de meeste schoolboeken. Tegenwoordig wordt de staartdeling soms weer opgenomen in het rekenprogramma. De reden hiervoor is dat de staartdeling altijd kan worden toegepast. Op kleine en heel grote deelsommen, met en zonder rest. Je hoeft geen manier te


Handboek Rekenen 3 kiezen en wint daarmee tijd. Met de staartdeling kun je uitgebreide delingen uitvoeren die met de manier van delen die op kaart 147 en 148 is uitgelegd, nauwelijks lukken. De uitleg van de staartdeling lijktomslachtig maar staat op de betreffende kaarten in een duidelijk schema. Voort de staartdeling geldt dat je er veel mee moet oefenen want je moet deze manier bij iedere deelsom zonder na te denken kunnen toepassen. 72,8 : 4 = Je schrijft de som zo op: 4/ 7 2, 8\18,2 1x4 = 4 4- | | 8x4 = 32 32 | Je zet de komma in het antwoord. 3 2- | 2x4 = 8 0 8 80 De kaarten 155 en 156 behandelen sommen met een kommagetal als deler. 36 : 1,5= Je werkt de komma weg door beide getallen te vermenigvuldigen met 10. De som wordt dan: 360: 15 = Deze som los je snel en makkelijk op met de staartdeling.

Kaart 157-158: TABBLAD (DEEL)TAFELS De volgende onderwerpen worden achter dit tabblad behandeld:

Kaartnummer:

Titel:

159 160 161 162 163 164 165 166 167

de tafels van 0 en 1 de tafels van 2 en 3 de tafels van 4 en 5 de tafels van 6 en 7 de tafels van 8 en 9 de tafel van 10 de tafels van 12 en 12,5 de tafels van 15 en 25 de tafels van 50 en 100

168 169 170 171 172 173

de de de de de de

174 175

de deeltafels van 15 en 25 de deeltafels van 50 en 100

deeltafels deeltafels deeltafels deeltafels deeltafels deeltafels

van van van van van van

1 en 2 3 en 4 5 en 6 7 en 8 9 en 10 12 en 12,5


Handboek Rekenen 3

Kaart 159-167: DE TAFELS Op deze kaarten worden de tafels op de DiKiBO manierweergegeven. Daardoor zie je in een oogopslag de keersommen als breuk en als verhouding. In groep 7 en 8 kennen de meeste kinderen de tafels wel uit hun hoofd. Deze kaarten zijn opgenomen in zakboek Rekenen 3 omdat kinderen deze kaarten kunnen gebruiken bij rekenen met breuken en verhoudingen.

Kaart 168-175: DE DEELTAFELS Ook deze tafels zijn handig bij rekenen met verhoudingen en breuken. Ze hoeven niet uit het hoofd te worden geleerd. Er vaak naar kijken en ze gebruiken bij sommen kan ervoor zorgen dat een kind deze tafels automatisch opslaat in het hoofd en als dat nodig is snel te voorschijn kan toveren. 4. TOELICHTING OP DE KERNDOELEN Per 1 augustus 2009 moeten de kerndoelen primair onderwijs (PO), die het ministerie van OCW in 2006 heeft opgesteld, in zijn geheel binnen de basisscholen zijn ingevoerd. Dit betekent dat in sommige gevallen methodes aanvulling behoeven. In de kerndoelen PO ligt vast wat een leerling aan het einde van de basisschool moet kennen en kunnen. Kerndoelen zijn streefdoelen die aangeven waarop basisscholen zich moeten richten. Ze beschrijven het onderwijsaanbod op de basisschool in grote lijnen zodat scholen de ruimte hebben om een eigen invulling te geven aan onderwijs. De kerndoelen zorgen ervoor dat het onderwijs op de basisschool goed aansluit op het voortgezet onderwijs. Er zijn in totaal 58 kerndoelen. Bij de vakken ‘Nederlands’ en ‘Rekenen/ Wiskunde’ worden ze precies omschreven. Bij de overige vakken en leergebieden zijn ze globaal weergegeven. De kerndoelen zijn doorgenummerd van 1 tot en met 58. In dit handboek richt DiKiBO zich op de kerndoelen 23 tot en met 33. Deze horen bij het leergebied ‘Rekenen/Wiskunde’ en zijn hier letterlijk weergegeven: Wiskundig inzicht en handelen 23 De leerlingen leren wiskundetaal gebruiken. 24 De leerlingen leren praktische en formele rekenwiskundige problemen op te lossen en redeneringen helder weer te geven. 25 De leerlingen leren aanpakken bij het oplossen van rekenwiskundeproblemen te onderbouwen en leren oplossingen te beoordelen.


Handboek Rekenen 3

Getallen en bewerkingen 26 De leerlingen leren structuur en samenhang van aantallen, gehele getallen, kommagetallen, breuken, procenten en verhoudingen op hoofdlijnen te doorzien en er in praktische situaties mee te rekenen. 27 De leerlingen leren de basisbewerkingen met gehele getallen in elk geval tot 100 snel uit het hoofd uitvoeren, waarbij optellen en aftrekken tot 20 en de tafels van buiten gekend zijn. 28 De leerlingen leren schattend tellen en rekenen. 29 De leerlingen leren handig optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen. 30 De leerlingen leren schriftelijk optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen volgens meer of minder verkorte standaardprocedures. 31 De leerlingen leren de rekenmachine met inzicht te gebruiken. Meten en meetkunde 32 De leerlingen leren eenvoudige meetkundige problemen op te lossen. 33 De leerlingen leren meten en leren te rekenen met eenheden en maten, zoals bij tijd, geld, lengte, omtrek, oppervlakte, inhoud, gewicht, snelheid en temperatuur. De kerndoelen geven een algemene omschrijving van de vaardigheden die een kind aan het eind van de basisschool moet beheersen. Om houvast te geven bij het vertalen van de kerndoelen naar de praktijk, zijn deze uitgewerkt in een publicatie van SLO, het nationaal expertisecentrum Leerplanontwikkeling. Deze SLO-publicatie heeft als titel ‘TULE - Rekenen en wiskunde’ (TUssendoelen en LEerlijnen bij kerndoelen). In deze publicatie zijn de kerndoelen per twee leerjaren uitgewerkt. DiKiBO heeft bij het ontwikkelen van de zakboeken deze richtlijnen zoveel mogelijk gevolgd. 5. LEERTIPS Voor de kinderen: 1. Ik kijk naar de som en kies het beste stappenplan. 2. De stappenplannen en rekenmanieren ken ik uit mijn hoofd. Als ik iets niet weet dan gebruik ik de kaarten uit het DiKiBO-zakboek. 3. Ik zeg hardop wat ik ga doen en als het stil moet zijn dan ‘zeg’ ik het in mijn hoofd.


Handboek Rekenen 3 4. Bij rekenen op (klad)papier schrijf ik de som op en check of ik goed heb overgeschreven. 5. Ik werk rustig door en let alleen op mijn werk. 6. Ik controleer het antwoord en verbeter eventuele fouten. 7. Ik maak zelf kaarten bij de stof die ik lastig vind. Hierbij gebruik ik plaatjes, tekeningen, kleuren en schema’s. Voor de begeleider: 1. Laat het kind bij een bepaald soort som steeds met hetzelfde stappenplan werken. 2. Laat het kind het stappenplan al rekenend hardop verwoorden. 3. Corrigeer direct of vul direct aan als het kind een verkeerd of omslachtig stappenplan gebruikt. Zeg het juiste stappenplan hardop voor. 4. Herhaal dit net zolang totdat het kind automatisch het goede stappenplan kiest. 5. Laat het kind belangrijke basiskennis uit het hoofd leren. Indien nodig kan het kind de kaarten uit het DiKiBO-zakboek als hulpmiddel gebruiken. Hoe vaker het kind de kaarten gebruikt des te makkelijker ziet het de inhoud voor zich. 6. Zorg dat het kind op verschillende momenten het werk controleert en zonodig verbetert. 7. Kijk wat het kind aankan en daag het op een positieve manier uit. Let er op dat het kind ontspannen aan het leren begint. 8. Zorg voor weinig afleiding. Denk vooral aan de televisie, computer en mobiele telefoon (van het kind). Je kunt je moeilijk concentreren als je sms’jes hoort binnenkomen. En al lijkt het alsof kinderen meerdere dingen tegelijk kunnen, dit zogeheten multi-tasking gaat altijd ten koste van deconcentratie. Bij leren moet je één ding tegelijk doen. 9. Las geregeld een pauze in. 10. Hersenen verbruiken tijdens het leren veel energie. Zorg voor frisse lucht, gezond eten en voldoende beweging. 11.Rekenen leer je vooral door veel te oefenen. Daarom maakt DiKiBO bij het zakboek online oefeningen. Op de DiKiBO-site kun je lezen wat er beschikbaar is aan oefeningen bij Zakboek Rekenen 3. Succes! Het DiKiBO-team


Handboek Rekenen 3. hele getallen, kommagetallen en breuken bewerken. Extra uitleg bij Zakboek Rekenen 3

Recommend Documents