Breuken: fragmentarische Beheersing en gedeeltelijk Begrip?

Breuken: fragmentarische Beheersing en gedeeltelijk Begrip? Een kwalitatief onderzoek naar procedurele vaardigheden en conceptueel begrip bij het algebraïsch manipuleren van breuken door leerlingen met Wiskunde A in de vierde klas van het vwo.

Onderzoek van René Wagenaar Master Wiskunde, HvA Begeleider: Sonia Abrantes Garcez Palha 22 november 2013

1

2

Inhoudsopgave Samenvatting ........................................................................................................................................ 6 Geschiedenis van de onderzoeksvraag ........................................................................ 7

1 1.1

Aanleiding .............................................................................................................................. 7

1.2

Achtergronden ....................................................................................................................... 7

2

Onderzoeksdoel ................................................................................................................ 8

3

Vraagstelling .................................................................................................................... 10 3.1

Hoofdvraag .......................................................................................................................... 10

3.2

Deelvragen........................................................................................................................... 10 Theoretisch kader ........................................................................................................... 11

4 4.1

Procedurele vaardigheid .................................................................................................... 11

4.2

Conceptueel begrip ............................................................................................................ 11

4.3

Terminologie bij Sfard en Kilpatrick ................................................................................. 11

4.4

Onderscheid en verwevenheid ......................................................................................... 11

4.5

Bruin-Muurling: conceptuele begrippen, big ideas ........................................................ 12

4.5.1 Relatieve vergelijking ......................................................................................................... 12 4.5.2 Van geheel getal naar rationaal getal ( van ℤ naar ℚ ) ................................................. 12 4.5.3 Relatie vermenigvuldiging en deling ................................................................................ 13 4.5.4 Equivalentie ......................................................................................................................... 13 4.6

Bruin-Muurling: procedurele vaardigheden, complicerende factoren ......................... 13

4.7

Conceptueel model............................................................................................................. 14

5

Methode ........................................................................................................................... 15

5.1

Operationalisering van variabelen................................................................................ 15

5.1.1 Procedurele vaardigheden. ............................................................................................... 15 5.1.2 Conceptueel begrip ............................................................................................................ 15 5.2

Typering van het onderzoek ............................................................................................. 16

5.3

Instrumenten........................................................................................................................ 16

5.3.1

De opgaven ................................................................................................................. 16

5.3.2

De videosessies .......................................................................................................... 17

5.4

Analyse ................................................................................................................................. 17

5.4.1 De interviews: opnamepraktijk en transcriptie................................................................ 17 5.4.2 Beschrijving en interpretatie per opgave en invullen van de matrix ........................... 18 5.4.3 Profielschetsen.................................................................................................................... 18 5.6

Proefsessie .......................................................................................................................... 18 3

Resultaten ........................................................................................................................ 20

6 6.1

Enige opmerkingen vooraf ................................................................................................ 20

6.1.1 Toelichting en verantwoording bij de tabellen gegevensanalyse per leerling. ......... 20 6.2

Resultaten per leerling ...................................................................................................... 23

6.3

Samenhangen op individueel niveau ............................................................................... 32

6.4

Verdere resultaten .............................................................................................................. 33

6.4.1 Optellen van gelijknamige breuken en vermenigvuldigen van breuken. .................... 33 6.4.2 Alle leerlingen beheersen het concept van de breuk als relatieve vergelijking......... 34 6.4.3 Het concept van equivalentie, het vereenvoudigen van breuken en het omgekeerde van vereenvoudigen. ...................................................................................................... 34 6.4.4 Verwarring rond het concept delen als inverse van vermenigvuldigen ...................... 36 6.4.5 De behandeling van het minteken bij breuken. .............................................................. 37 6.4.6 De inverse bewerkingen aftrekken en delen worden verwisseld. ............................... 39 Discussie .......................................................................................................................... 40

7 7.1

Vermenigvuldigen van breuken en conceptueel begrip................................................ 40

7.2

De concepten equivalentie en delen als inverse van vermenigvuldigen ................... 41

7.3

Verwisseling van inverse bewerkingen bij van Stiphout ............................................... 41

7.4

Generaliseerbaarheid......................................................................................................... 42

7.5

Validiteit en betrouwbaarheid............................................................................................ 42

7.6

Heuristiek en conceptueel begrip ..................................................................................... 43

8

Conclusies en aanbevelingen ....................................................................................... 44

9

Docent en onderzoek. Een kort persoonlijk slotwoord .............................................. 46

Literatuur .............................................................................................................................................. 48 Bijlage 1: De opgaven ........................................................................................................................ 50 Bijlage 2: de opgavenmatrix .............................................................................................................. 52 Bijlage 3: Taak gebaseerd onderzoeksinterview, protocol en verantwoording ......................... 53 Bijlage 2.1 ............................................................................................................................................ 56 Overzichtsmatrix voor Suzanne ................................................................................................... 56 Overzichtsmatrix voor Rob ............................................................................................................ 57 Overzichtsmatrix voor Nursen ...................................................................................................... 58 Overzichtsmatrix voor Storm......................................................................................................... 59 Overzichtsmatrix voor Thomas ..................................................................................................... 60 Overzichtsmatrix voor Misha......................................................................................................... 61

4

5

Samenvatting In dit kwalitatieve onderzoek wilde ik achterhalen welke belemmeringen leerlingen ondervinden op het gebied van conceptueel begrip en procedurele vaardigheden bij het verwerven van competentie in de algebraïsche manipulatie van breuken. Met dit onderzoek sluit ik aan op de constatering binnen mijn sectie wiskunde dat tekort schietende algebraïsche vaardigheden met betrekking tot breuken een belemmering vormen voor de leerlingen in de bovenbouw. In de literatuur is brede steun te vinden voor deze constatering (Bruin-Muurling, 2010; van de Craats, 2007; KNAW, 2009). De leerlingen hebben hierdoor grote moeite met onder meer het differentiëren van functies en met het oplossen van gebroken vergelijkingen. Het theoretisch kader voor dit onderzoek is onder meer ontleend aan het werk van Bruin-Muurling (2010), Kilpatrick, Swafford & Findell (2001), Polychroniadis, Pradeep & Stragalinou (2011), RittleJohnson, Siegler & Wagner Alibali (2001), Sfard (1991) en van Stiphout (2011). In dit onderzoek is bij zes leerlingen in de vierde klas van een grootstedelijk gymnasium een taakgebaseerd interview afgenomen. Op basis van het werk van met name Bruin-Muurling (2010) werden verschillende procedurele en conceptuele vaardigheden met betrekking tot breuken onderscheiden. Vervolgens is per leerling een individueel profiel opgesteld dat laat zien welke procedures en welke concepten elke leerling beheerst en welke moeilijk zijn voor de leerling. In dit onderzoek komt naar voren dat de vaardigheden optellen en aftrekken van gelijknamige en – met name – van ongelijknamige breuken op zichzelf staande vaardigheden lijken te zijn die de leerlingen vloeiend beheersen. De procedure vermenigvuldigen van breuken hebben de leerlingen minder goed onder de knie. Dit is opvallend omdat de procedure eenvoudiger is. Voorts laat het onderzoek zien dat alleen het concept van de breuk als relatieve vergelijking door alle leerlingen wordt beheerst. De concepten equivalentie en delen als inverse van vermenigvuldigen worden door geen van de leerlingen goed beheerst. Het laatste concept is verwarrend voor de leerlingen. Op basis van de eindcijfers van de leerlingen, betrokken bij dit onderzoek, voor het vak wiskunde A aan het einde van het vierde leerjaar betoog ik dat de leerlingen representatief zijn voor de vwoleerling in het vierde jaar met wiskunde A als vak. Maar gezien het kleine aantal leerlingen is terughoudendheid bij het doen van generaliseringen geboden. Dit onderzoek heeft als praktisch resultaat de ontwikkeling van een methode die de docent in staat stelt om voor de individuele leerling te achterhalen welke onderscheiden procedurele vaardigheden de leerling al dan niet beheerst en welke conceptuele begrippen moeilijk zijn voor de leerling. Een verdere didactische aanpak kan worden gebaseerd op de resulterende profielschets. Echter, de profielschetsen werden opgesteld na een complexe en tijdrovende analyse op basis niet alleen van de schriftelijke uitwerkingen van de opgave, maar ook van de mondelinge toelichting van de leerling. In de praktijk van het lesgeven is de hier gemaakte analyse daarom niet onmiddellijk realiseerbaar. Dat neemt niet weg dat de in dit onderzoek onderscheiden procedurele vaardigheden en de conceptuele begrippen met betrekking tot breuken wellicht een goede basis kunnen vormen voor een didactiek van breuken in een leerlijn die passend is voor het vwo en die, voortbouwend op rekenen met breuken, de leerling begeleidt bij het leren bedrijven van algebra met breuken. Dit onderzoek laat enerzijds zien dat sommige basisvaardigheden, met name vermenigvuldigen van breuken, onvoldoende zijn geautomatiseerd. Wij moeten daarom als wiskundesectie voorzien in meer gelegenheid voor de leerlingen om deze basisvaardigheid te oefenen. Tegelijk komt naar voren dat in de lespraktijk het stimuleren en bijbrengen van conceptueel begrip van breuken bij de leerling en dus het praten over het waarom van procedures van doorslaggevend belang is.

6

1

Geschiedenis van de onderzoeksvraag

1.1

Aanleiding

Rekenkundige vaardigheden schieten tekort bij leerlingen in de eerste klas van het vwo. Dit is vooral zo bij het rekenen met breuken. Eigen onderzoek in het kader van de opleiding tot tweedegraads docent wiskunde toont dit aan (Wagenaar, 2010). De oorzaak moet wellicht worden gezocht in het rekenonderwijs op de basisscholen (Bruin-Muurling, 2010; Van de Craats, 2007). Dit is ook landelijk een punt van zorg (Van de Craats, 2007; KNAW, 2007). In een survey-studie laat Bruin-Muurling (2010) bovendien zien dat de verdere ontwikkeling van deze vaardigheden in de onderbouw van het voortgezet onderwijs stagneert. Deze rekenkundige vaardigheden bereiden voor op meer abstracte algebraïsche vaardigheden die in het wiskundeonderwijs in de bovenbouw steeds belangrijker worden. In het hoger onderwijs zijn dan ook aansluitingsproblemen voor het vak wiskunde geconstateerd, en dan vooral op het gebied van algebraïsche vaardigheden (Nationale Kennisbank Basisvaardigheden Wiskunde, 2010, blz. 15). Kortom, in de doorlopende leerlijn van basis- en voortgezet onderwijs schieten prestaties van leerlingen bij rekenen en algebra met breuken tekort. Daarom wil ik mij in dit onderzoek in het kader van mijn masteropleiding richten op de algebraïsche vaardigheden van leerlingen met betrekking tot breuken in de bovenbouw van het vwo. Waarom vinden leerlingen breuken zo moeilijk? Met dit onderzoek sluit ik aan op de constatering binnen mijn sectie wiskunde dat tekort schietende algebraïsche vaardigheden met betrekking tot breuken een belemmering vormen voor de leerlingen in de bovenbouw. De leerlingen hebben hierdoor grote moeite met onder meer het differentiëren van functies en met het oplossen van gebroken vergelijkingen.

1.2

Achtergronden

Bruin-Muurling (2010) analyseert de prestaties van de leerlingen op het gebied van breuken op twee niveaus (blz. 14). Zij kijkt enerzijds naar de vaardigheden ( bijvoorbeeld breuken optellen of breuken vermenigvuldigen) die leerlingen al dan niet beheersen, anderzijds naar het begrip dat leerlingen hebben van onderliggende concepten met betrekking tot breuken. In de literatuur over het leren van wiskunde worden deze twee niveaus veelal aangeduid met procedurele vaardigheden en conceptueel begrip (Kilpatrick, Swafford & Findell, 2001; Polychroniadis, Pradeep & Stragalinou, 2011; RittleJohnson, Siegler & Wagner Alibali, 2001; Sfard, 1991; van Stiphout, 2011). Deze begrippen vormen een theoretisch kader voor mijn onderzoek. Ik ga daar verderop dieper op in. Bruin-Muurling (2010) en ook Van Stiphout (2011) beschrijven weliswaar lacunes in conceptueel begrip en in procedurele vaardigheden van leerlingen bij het bedrijven van algebra met breuken, maar het gaat hier om analyses op basis van eindantwoorden (Bruin-Muurling) of er wordt slechts incidenteel naar schriftelijke uitwerkingen gekeken (Van Stiphout). Vaak valt dan niet nauwkeurig vast te stellen waarom een leerling een bepaalde fout maakt en of een goed antwoord niet het resultaat is van geluk. In mijn onderzoek wil ik dit juist wel kunnen vaststellen. Het hier voorgestelde onderzoek ligt dan ook in lijn met een aanbeveling van Bruin-Muurling (2010) voor verder onderzoek, waarbij op gedetailleerder niveau wordt gekeken naar het werk van de leerlingen en naar de (denk)processen die ten grondslag liggen aan hun aanpak.

7

2

Onderzoeksdoel

Mijn onderzoeksdoel is te komen tot een advies voor een didactiek voor het rekenen met, en algebraïsch manipuleren van breuken die is toegespitst op de individuele lacunes in procedurele vaardigheden en conceptueel begrip van leerlingen. Dit advies is in lijn met de wens van de sectie wiskunde om de vaardigheden van leerlingen in de bovenbouw bij het werken met breuken te verbeteren. Daarmee bouw ik voort op het werk van Bruin-Muurling (2010), maar zoals ik hierboven reeds heb aangeduid is een aanvullende analyse op microniveau nodig. Bij die analyse biedt het onderscheiden van vaardigheden houvast. Ik onderscheid de volgende procedurele vaardigheden: de leerling beheerst… • • • • • • • • • • • •

het optellen van gelijknamige breuken het optellen van ongelijknamige breuken het aftrekken van gelijknamige breuken het aftrekken van ongelijknamige breuken het vermenigvuldigen van gelijknamige breuken het vermenigvuldigen van ongelijknamige breuken het vereenvoudigen van breuken werken met een gebroken getal werken met een oneigenlijke breuk werken met opgaven met een geheel getalnotatie en breuknotatie toepassen van het kruisproduct links en rechts delen

Natuurlijk kan het onderscheid van verschillende procedurele vaardigheden meer of minder fijnmazig zijn. Ik volg hier de indeling van Bruin-Muurling, met dien verstande dat sommige procedurele vaardigheden in het werk van Bruin-Muurling ook wel worden aangeduid met ‘complicerende factoren’. Dit geldt bijvoorbeeld voor het vereenvoudigen van breuken en voor het werken met geheel getalnotatie en breuknotatie. Ik kom hier later op terug. Ook heb ik toepassen van kruisproduct en links en rechts delen toegevoegd als procedurele vaardigheden omdat ze in de onderbouw apart benoemd en geoefend worden. Op het niveau van conceptueel begrip maak ik gebruik van wat Bruin-Muurling aanduidt als ‘big ideas’. Bruin-Muurling onderscheidt 5 big ideas. Het zijn relatieve vergelijking, reïficatie, equivalentie, van geheel getalstelsel naar rationaal getalstelsel (van Z naar Q), en relatie vermenigvuldiging en deling. Nu merkt Slavit (1997) op dat reïficatie, ofwel het beschikken over een object-georiënteerd begrip van een wiskundige entiteit, geen kwestie van wel of niet is. Veeleer wordt reïficatie gradueel bereikt. Opdrachten die het wiskundige object (in dit onderzoek breuken, bij Slavit functies) presenteren los van enige context zijn het meest geëigend om reïficatie aan te tonen. Slavit gebruikt in zijn onderzoek bijvoorbeeld veel functiegrafieken en gaat na of in de loop van de tijd leerlingen op een andere manier naar functies gaan kijken. In mijn onderzoek gaat het niet om het vaststellen van een ontwikkeling, maar om het vaststellen van de mate van beheersing op conceptueel niveau en op het gebied van vaardigheden. Om die reden zal ik deze big idea bij dit onderzoek buiten beschouwing laten. Wat betreft de relatie vermenigvuldiging en deling gaat het met name om het inzicht in delen als inverse van vermenigvuldigen. Dat resulteert in het volgende rijtje conceptuele begrippen: • • • •

Relatieve vergelijking van geheel getal naar rationaal getal Inzicht in delen als inverse van vermenigvuldigen equivalentie

8

Deze conceptuele begrippen worden verderop nader toegelicht.

9

3

Vraagstelling

3.1

Hoofdvraag

Op grond van de bestudeerde theorie en in samenhang met het gestelde onderzoeksdoel kom ik tot de volgende hoofdvraag: 1.0 Welke belemmeringen ondervinden leerlingen op het gebied van conceptueel begrip en procedurele vaardigheden bij het verwerven van competentie in de algebraïsche manipulatie van breuken? 3.2

Deelvragen

Aan de hand van de hierboven onderscheiden procedurele vaardigheden en ‘big ideas’ kan deze hoofdvraag in een aantal deelvragen worden opgesplitst. Deze deelvragen stellen mij in staat om voor de individuele leerling een profiel op te stellen met betrekking tot de mate van beheersing van de verschillende procedurele vaardigheden en de mate van conceptueel begrip op het gebied van de algebraïsche manipulatie van breuken. Ook de samenhangen tussen vaardigheden onderling, tussen concepten onderling, en tussen vaardigheden en concepten komen aan bod.

1.1 1.2 1.3 1.4 1.5

Welke van de onderscheiden procedurele vaardigheden kunnen de leerlingen goed aan en welke vaardigheden beheersen zij onvoldoende? Welke samenhang kan hierin worden aangewezen? Welke van de onderscheiden conceptuele begrippen beheersen de leerlingen goed, en welke beheersen of begrijpen zij onvoldoende? Welke samenhang kan hierin worden aangewezen? Welke samenhang is er tussen de verschillende procedurele vaardigheden enerzijds, en het begrip van relevante concepten anderzijds?

10

4

Theoretisch kader

4.1

Procedurele vaardigheid

Kilpatrick et al.(2001) definiëren procedurele vaardigheid (procedural fluency) als bedrevenheid in het flexibel en foutloos uitvoeren van procedures. De auteurs benadrukken het belang van procedurele vaardigheden om vlot en foutloos wiskunde te kunnen bedrijven. Ook Sfard (1991) wijst procedurele vaardigheden en kennis aan als noodzakelijke ingrediënten van wiskundige competentie. De studie van Polychroniadis et al. (2011) laat zien dat basaal conceptueel begrip alleen niet voldoende is voor competentie in de algebraïsche manipulatie van breuken, maar dat ook procedurele vaardigheden nodig zijn. Procedurele vaardigheid is niet alleen het in een bepaalde volgorde kunnen uitvoeren van een aantal stappen of bewerkingen, maar ook het vermogen om deze procedures bij onderling verwante problemen efficiënt en met inzicht in te zetten.

4.2

Conceptueel begrip

Kilpatrick et al. (2011) definiëren conceptueel begrip als begrip van wiskundige concepten, operaties en relaties. Leerlingen met een goed conceptueel begrip kunnen het belang inschatten van een wiskundig idee en zij zien in op welke gebieden je het kunt inzetten. Met andere woorden, hun wiskundige kennis is gestructureerd. Zij zijn in staat om feiten of methodes die ze vergeten zijn te reconstrueren op basis van inzicht. (Kilpatrick et al., 2011). Conceptueel begrip is generaliseerbaar (Rittle-Johnson et al., 2001). De leerling kan conceptuele begrippen waarover hij of zij wel degelijk beschikt niet altijd onder woorden brengen (Kilpatrick et al., 2011, Rittle-Johnson et al., 2001).

4.3

Terminologie bij Sfard en Kilpatrick

In de terminologie van Sfard vinden we procedurele vaardigheden en conceptuele begrippen terug als operationele en structurele concepten. Operationele concepten hebben betrekking op hoe je een concreet rekenkundig of wiskundig probleem aanpakt, bijvoorbeeld het optellen van twee ongelijknamige breuken. Een operationeel concept kan worden beschreven als een stapsgewijs uit te voeren rekenkundig of algebraïsch algoritme. Bij structurele concepten gaat het om het maken van mentale abstracties, bijvoorbeeld het inzicht dat een breuk een getal is. Operationeel gezien is een breuk het resultaat van een deling ‘die niet uitkomt’. Structureel gezien is de breuk een getal waarmee desgewenst kan worden verder gerekend. Kilpatrick et al. gebruikt de termen procedural fluency en conceptual understanding. Conceptual understanding beschrijft hij als “an integrated and functional grasp of mathematical ideas” (Kilpatrick et al., 2001, blz. 5). Procedural fluency verwijst volgens Kilpatrick naar ”knowledge of procedures, knowledge of when and how to use them appropriately, and skill in performing them flexibly, accurately, and efficiently” (idem, blz. 8).

4.4

Onderscheid en verwevenheid

Wat is de rol van procedurele vaardigheden bij het bedrijven van wiskunde? Procedurele vaardigheden stellen ons in staat om snel en foutloos tot een antwoord te komen op uiteenlopende rekenkundige en wiskundige vraagstukken. De leerling die over goede procedurele vaardigheden beschikt weet niet alleen procedures foutloos toe te passen, hij weet ook wanneer hij welke procedure

11

moet gebruiken. Tegelijk echter, en hier komt de verwevenheid van procedurele vaardigheden en conceptueel begrip duidelijk naar voren, vormt juist de beheersing van een procedurele vaardigheid vaak de basis voor het begrip van de leerling op conceptueel niveau (Sfard, 1991, blz. 11). Sfard (1991) karakteriseert procedurele vaardigheden en conceptueel begrip als complementair, niet als tegengesteld.

En wat is de rol van conceptueel begrip bij het bedrijven van wiskunde? Volgens Kilpatrick et al. (2001, blz. 5) komt de ontwikkeling van conceptueel begrip neer op de organisatie van (wiskundige) kennis tot een coherent geheel van onderling verbonden (wiskundige) ideeën. Pas wanneer de leerling zijn kennis op een dergelijke manier heeft gestructureerd is hij in staat om grotere hoeveelheden kennis te assimileren en zo nodig zelfs vergeten kennis opnieuw te construeren. Maar ook de conceptuele begrippen zelf kunnen niet worden beschreven zonder dat sprake is van een zekere overlap (Bruin-Muurling, 2010, blz. 15). Tegelijk is conceptueel begrip doorgaans impliciete kennis die dus niet direct kan worden gemeten (Sfard, 1991, blz. 19). Vandaar dat kwalitatief onderzoek als hier beoogd waardevol is in het vaststellen van (het stadium van en belemmeringen in ) de wiskundige conceptuele begripsvorming bij leerlingen. 4.5

Bruin-Muurling: conceptuele begrippen, big ideas

Bij Bruin-Muurling ga ik eerst in op de conceptuele begrippen. Bruin-Muurling spreekt van onderliggende concepten binnen het domein van breuken. De vijf big ideas die Bruin-Muurling onderscheidt benoemen verschillende aspecten van deze onderliggende concepten (Bruin-Muurling, 2010, blz. 15). Het stuk voor stuk en afzonderlijk begrijpen van deze vijf big ideas is volgens BruinMuurling niet genoeg voor de leerling om tot een dieper inzicht te komen in het domein van breuken: de leerling moet de big ideas in hun samenhang begrijpen (blz. 15). De big ideas zijn weliswaar van elkaar te onderscheiden, maar tegelijk overlappen ze elkaar. In dit onderzoek gebruik ik vier van de vijf big ideas. Het zijn relatieve vergelijking, equivalentie, van geheel getalstelsel naar rationaal getalstelsel (van  naar  ), en relatie vermenigvuldiging en deling. Reïficatie, de vijfde big idea die Bruin-Muurling onderscheidt, laat ik buiten beschouwing omdat, zoals eerder al opgemerkt, deze big idea moeilijk te operationaliseren is binnen het bestek van dit onderzoek. 4.5.1

Relatieve vergelijking

Bruin-Muurling (2010, blz. 16 e.v.) merkt op dat in didactisch onderzoek onderscheid wordt gemaakt tussen maesurement division en partitive division. Een typerend voorbeeld van maesurement division is: hoeveel stukken van ¾ meter kun je snijden van een touw dat 6 ¾ meter lang is. Een typerend voorbeeld van partitive division is: als je met zijn drieën een pizza deelt, hoeveel krijgt ieder dan? Maar deling speelt ook een rol bij een grootheid als snelheid, die we bijvoorbeeld uitdrukken in km/uur. Al deze ‘soorten’ deling verenigt Bruin-Muurling onder de noemer van relatieve vergelijking. De leerling die zich afvraagt hoeveel keer de noemer in de teller past begrijpt een breuk in termen van een relatieve vergelijking. 4.5.2

Van geheel getal naar rationaal getal ( van ℤ naar ℚ )

Aspecten van deze big idea zijn bijvoorbeeld de notie dat we elk geheel getal a kunnen schrijven als 𝑎 . Verder kunnen we er in ℚ niet langer op vertrouwen dat, als in ℕ, vermenigvuldiging groter maakt 1

en deling kleiner. Dat hangt weer samen met de verschillende rol die teller en noemer spelen in een breuk. Bijvoorbeeld: bij gelijke positieve teller vertegenwoordigt de breuk met de grootste positieve noemer het kleinste getal. Inzicht in de rol van teller en noemer is noodzakelijk om te begrijpen dat gelijknamig maken van breuken bij optellen en aftrekken nodig is, terwijl dit bij vermenigvuldigen niet

12

hoeft. Verder is het zo dat binnen een gegeven interval we in ℚ, anders dan in ℤ, oneindig veel getallen vinden. 4.5.3

Relatie vermenigvuldiging en deling

Inzicht in delen als inverse van vermenigvuldigen is het onderliggende concept dat procedures als vereenvoudigen van breuken en wegstrepen van overeenkomstige factoren in teller en noemer verbindt. Wie dit concept beheerst ziet direct dat bijvoorbeeld 3 4

31× 17 31 = 17 . Hij doorziet dat

= 3 × 14 = 3 ÷ 4 = 14 × 3 = 1 ÷ 43 (blz. 20).

4.5.4

Equivalentie

Equivalentie ten slotte is een basisbegrip bij de vorming van rationale getallen. Er is niet langer een unieke relatie tussen getal en symbolische representatie, zoals bij de natuurlijke getallen. In principe kunnen oneindig veel breuknotaties hetzelfde getal voorstellen. Deze notaties zijn voor te stellen als een reeks met als eerste lid de vereenvoudigde breuk, die daarom een speciale rol heeft. 4.6

Bruin-Muurling: procedurele vaardigheden, complicerende factoren

We hebben gezien dat je conceptueel begrip niet direct bij leerlingen kunt bevragen. Leerlingen kunnen immers soms wel degelijk over conceptueel begrip beschikken zonder dat zij dit kunnen verwoorden (zie 4.2) Je kunt ze wel opgaven voorleggen en uit hun aanpak en hun uitleg daarbij conclusies trekken over conceptueel begrip. Bruin-Muurling koppelt daartoe bepaalde typen opgaven aan de big ideas. Zo’n type opgave kan bijvoorbeeld zijn: het optellen van twee ongelijknamige breuken. Ik benoem dit als een procedurele vaardigheid: het optellen van twee ongelijknamige breuken. Zelf gebruikt Bruin-Muurling het begrip procedurele vaardigheden overigens niet. Complicerende factoren in de opgaven bij Bruin-Muurling zorgen vervolgens voor een oplopende moeilijkheidsgraad. Deze complicerende factoren voorkomen dat leerlingen intuïtief of op grond van vertrouwdheid met het type probleem de juiste oplossing vinden. Zo helpen de complicerende factoren om conclusies te trekken over belemmeringen in conceptueel begrip bij leerlingen. Tegelijk is elke complicerende factor te zien als een probleem dat met behulp van een passende procedurele aanpak kan worden opgelost. Zo is het vóórkomen van een gebroken getal bij Bruin-Muurling een complicerende factor. Ik benoem in dit onderzoek de techniek die nodig is om opgaven met een gebroken getal tot een goed einde te brengen als een procedurele vaardigheid.

13

4.7

Conceptueel model

Het conceptuele model hieronder toont de kernbegrippen bij dit onderzoek in hun samenhang.

Figuur 1

14

5

Methode

Als onderzoekseenheid kies ik de vwo-leerling in het eerste jaar van de bovenbouw die voor het vak Wiskunde A heeft gekozen. Ik doe dat om de volgende reden. Het ligt voor de hand dat leerlingen die wiskunde B hebben gekozen beter presteren op het gebied van wiskunde. Belemmeringen bij het toepassen van conceptuele begrippen en procedurele vaardigheden zijn bij deze groep leerlingen minder aanwezig. Ik wil echter juist een groep leerlingen onderzoeken die zwakker is en dus meer belemmeringen ondervindt. Ik geef zelf les aan een groep leerlingen die wiskunde A doen in het vierde jaar van hun gymnasiumopleiding. Uit deze groep heb ik 6 leerlingen gevraagd mee te doen aan het onderzoek. Dit betekende voor de leerlingen een tijdsinvestering van een uur of meer. Zij declareerden deze uren als schoolstage-uren. De onderzoekssessies vonden plaats op school. Het gaat in dit onderzoek dus om een kleine steekproef van gymnasiumleerlingen uit een stedelijk milieu. De sociaaleconomische achtergrond van de leerlingen is uiteenlopend. Er is geen reden om aan te nemen dat belemmeringen in conceptueel begrip en in procedurele vaardigheden die in dit onderzoek aan het licht komen typisch zouden zijn voor leerlingen van deze school, of voor gymnasiumleerlingen. In zoverre zijn de gegevens dus generaliseerbaar naar de populatie leerlingen in het vwo in Nederland. Echter, dit onderzoek is kwalitatief van aard, niet kwantitatief. Over de frequentie waarmee, bijvoorbeeld, een bepaalde belemmering in procedurele vaardigheid op populatieniveau voorkomt wordt geen uitspraak gedaan. Ons onderzoek beoogt daarentegen om bij te dragen aan een gedetailleerder inzicht in de belemmeringen die leerlingen ondervinden, op het niveau van procedurele vaardigheden en conceptueel begrip, bij het algebraïsch manipuleren van breuken. Juist de verwevenheid van vaardigheid en begrip maakt dit nodig.

5.1

Operationalisering van variabelen

5.1.1

Procedurele vaardigheden.

Ik heb de leerlingen een aantal opgaven voorgelegd, waarin de operationele vaardigheden zoals hierboven opgesomd aan bod kwamen. Deze vaardigheden kwamen niet geïsoleerd per opgave voor: één opgave doet vaak een beroep op verschillende operationele vaardigheden. Ook is bij een aantal opgaven meer dan één aanpak mogelijk. De leerling werd gevraagd zijn keuze toe te lichten. Bij de bespreking van het onderzoeksinstrument ga ik hier verder op in. 5.1.2

Conceptueel begrip

Om belemmeringen in conceptueel begrip op te sporen was het zaak de leerling opgaven aan te bieden die nieuw voor hem zijn (Rittle-Johnson et al., 2001). Bij zulke opgaven kon de leerling niet terugvallen op gememoriseerde algoritmen voor een reeds bekend probleem. Hij moest inventief en met inzicht te werk gaan. Verder was het belangrijk bij de leerling navraag te kunnen doen als hij een fout maakte of als hij vastliep in een opgave. Zo kon aan het licht komen welke conceptuele belemmeringen eventueel een rol speelden. Bij de keuze voor een bepaalde aanpak van de opgave werd de leerling gevraagd die keuze toe te lichten. Ook dit gaf inzicht in het begrip van de leerling op conceptueel niveau.

15

5.2

Typering van het onderzoek

Het onderzoek bestond uit een reeks klinische interviews (taak gebaseerde interviews) ter verdieping van survey-onderzoeken van onder meer Bruin-Muurling (2010), NKBW (2010) en Polychroniadis et al (2011). Het ging dus om kwalitatief, interpreterend onderzoek. Leerlingen kregen een aantal opgaven voorgelegd. De instructie aan de leerlingen was om de opgaven met pen en papier op te lossen en daarnaast het eigen denkproces hierbij te verwoorden. De sessies werden vastgelegd middels videoopnames. Deze opnames werden vervolgens getranscribeerd en geanalyseerd met het doel belemmeringen in conceptueel begrip en procedurele vaardigheden aan het licht te brengen.

5.3

Instrumenten

5.3.1

De opgaven

Ik heb 20 opgaven ( zie bijlage 1) opgesteld waarin een aantal procedurele vaardigheden en concepten op het gebied van breuken aan bod komt (zie matrix in bijlage 2). Deze opgaven zijn deels ontleend aan de literatuur. Zie ook hiervoor de matrix. Zeer eenvoudige opgaven die naar verwachting door veel leerlingen goed worden beheerst heb ik niet opgenomen. Voorbeelden zijn de optelling of aftrekking van twee gelijknamige breuken en de vermenigvuldiging van twee eigenlijke breuken. De eerste opgaven zijn alleen rekenwerk. Deze rekenopgaven, die voor de leerlingen meer vertrouwd zijn dan de algebraopgaven, stelden de leerling in de gelegenheid om even te wennen aan het werken met breuken. In de vervolgopgaven speelt algebra een rol. Soms konden de rekenopgaven worden gebruikt als model bij de aanpak van de algebraïsche opgaven. Dit was het geval bij de opgaven 1 en 9, 2 en 10, en 5 en 18. De behandeling van het minteken bij breuken kreeg speciale aandacht in de opgaven 8 en 20. Hierbij ging het erom dat −

a −a a . Ook bij de opgaven 14 tot en met 17 speelde de behandeling van = = b b −b

het minteken een belangrijke rol. Deze opgaven stelden mij in staat om heel gericht te kijken naar welke fouten de leerlingen maken met het minteken en of deze fouten al dan niet losstaan van het feit dat het minteken in een breuk is opgenomen. Opgave 11 behelst de toepassing van een specifieke techniek, namelijk het kruisproduct, dat veel geoefend is in jaar 3 en belangrijk bij het oplossen van vergelijkingen. Bij opgaven 7 en 13 speelt het inzicht een rol dat ‘hoe groter de noemer, hoe kleiner de breuk’. Ik heb 11 van de 20 opgaven aangemerkt als minder vertrouwd (of geheel nieuw) voor de leerling. Deze opgaven zijn van belang bij de identificatie van conceptuele begrippen (Rittle-Johnson et al., 2001). In de matrix zijn 4 van de 5 ‘big ideas’ van Bruin-Muurling opgenomen. Reïficatie is niet opgenomen omdat deze big idea binnen de opzet van dit onderzoek moeilijk te operationaliseren is, zoals hierboven al is opgemerkt. Belangrijk voor het succes van het onderzoek was de inschatting of de opgaven al dan niet betrekkelijk nieuw waren voor de leerlingen. Alleen zo kan immers conceptueel begrip worden aangesproken. Ook de toewijzing van procedurele vaardigheden en big ideas aan de verschillende opgaven is belangrijk. Daarom heb ik de opgaven voorgelegd aan een collega met de vraag ze te maken en de matrix in te vullen. Ook de moeilijkheidsgraad van de opgaven is belangrijk. Ik heb daarom in een proefsessie de opgaven voorgelegd aan een leerling.

16

5.3.2

De videosessies

Op basis van de proefsessie is voor deze videosessies een protocol gemaakt. Dit protocol is bovendien opgesteld volgens 10 richtlijnen die Goldin (2000) geeft voor onderzoek middels taak gebaseerde interviews. Ik verwijs naar bijlage 3 voor een uitgebreide beschrijving en verantwoording van dit protocol aan de hand van deze 10 kwaliteitscriteria. Hieronder beschrijf ik kort de opzet van de sessies. De leerlingen werkten gedurende 90 tot ongeveer 120 minuten aan 20 opgaven met breuken. Dit werd op video vastgelegd. De camera zoemde in op het opgavenblad . Bij de sessies was de proefleider aanwezig. De proefleider gaf een korte uitleg. Daarna overhandigde hij de opgaven en vroeg hij de leerling om ze eerst rustig allemaal door te nemen en aan te tekenen welke vragen hij als makkelijk inschatte en welke als moeilijk. Daarna begon de leerling met het maken van de opgaven. Per ongeveer drie opgaven keek de proefleider samen met de leerling terug naar het werk en vroeg hij de leerling om een toelichting. Ook moedigde de proefleider de leerling, als deze niet verder kwam, aan om te verwoorden wat zijn twijfel was of waar volgens de leerling de moeilijkheden lagen. In het algemeen waren de interrupties van de proefleider erop gericht om de leerling aan te moedigen inzicht te verschaffen in zijn denkproces met betrekking tot de opgaven. De proefleider gaf in eerste instantie geen enkele hint. In het tweede deel van de sessie echter, wanneer de leerling alle opgaven gemaakt had, nam de proefleider samen met de leerling de opgaven nog eens door en besprak de moeilijkheden en de gekozen aanpak met de leerling. Doel was hier om zoveel mogelijk aanvullende informatie te verkrijgen over (belemmeringen in ) procedurele vaardigheden en conceptueel begrip bij de leerling. In deze fase van de sessie kon het nuttig zijn om de leerling bijvoorbeeld een alternatieve strategie voor te leggen, of een aanwijzing te geven die de leerling in staat stelde om (alsnog) tot een oplossing te komen. Naar aanleiding van de proefsessie (zie 5.6) zijn twee van de oorspronkelijke 20 opgaven aangepast. 5.4

Analyse

Eerst werd van de sessies een transcriptie gemaakt. De analyse gebeurde op basis van de videobeelden en de transcripties. De opgavenmatrix was bij de analyse een belangrijke leidraad. Per leerling werd vastgesteld welke van de onderscheiden procedurele vaardigheden, al dan niet correct, zijn toegepast (deelvraag 1.1). Conceptuele begrippen werden per leerling op basis van expliciete uitlatingen of, meer indirect, op grond van de door de leerling gekozen probleemaanpak geïdentificeerd (deelvraag 1.3). Omdat, zoals we gezien hebben, deze begrippen elkaar deels overlappen viel een dergelijke identificatie niet geheel eenduidig te doen. Eventuele meerduidigheid werd in de analyse zo goed mogelijk benoemd. Op basis van deze eerste, inventariserende, analyse kon de onderlinge interactie tussen procedurele vaardigheden en tussen conceptuele begrippen worden vastgesteld (deelvragen 1.2 en 1.4). Ten slotte werd op basis van deze eerste analyse de samenhang tussen procedurele vaardigheden en conceptuele begrippen vastgelegd. Zo werd het mogelijk om een antwoord te geven op de hoofdvraag van dit onderzoek.

5.4.1

De interviews: opnamepraktijk en transcriptie

De zes interviews werden afgenomen in de periode van april tot begin juli 2013. Elk interview nam, zoals eerder al opgemerkt, tussen de anderhalf en twee uur in beslag. Vier leerlingen waren afkomstig uit de leerlingencluster aan wie ik in het schooljaar 2012 – 2013 zelf les gaf. De overige twee leerlingen waren afkomstig uit mijn mentorklas. Ik kende dus alle leerlingen. Hun motivatie om mee te doen aan het onderzoek bestond erin dat ze (verplichte) schoolstage-uren konden verdienen. Alle leerlingen hadden als eindcijfer in klas vier voor wiskunde A een ruime voldoende (Thomas 6,9; Suzanne 6,5; Misha 6,9; Storm 7,0; Rob 7,7; Nursen 7,1).

17

Het gehele interview werd met een videocamera opgenomen. Daarbij stond de camera gericht op het werkblad van de leerling. Zo kon ik naderhand nauwkeurig vaststellen wat de werkwijze van de leerling geweest was en hoe lang hij of zij over elke stap in de aanpak van de opgaven deed. De transcriptie op basis van geluidsopnamen en beelden is nagenoeg volledig. Alleen incidenteel zijn korte passages weggelaten die op geen enkele wijze bijdroegen aan het inzicht in procedurele of conceptuele vaardigheid van de leerling. De sessies vonden steeds op school plaats in een leeg klaslokaal.

5.4.2

Beschrijving en interpretatie per opgave en invullen van de matrix

Op basis van de transcriptie en onder incidenteel terugkijken van het videomateriaal is vervolgens per opgave, per leerling een beschrijving gegeven van hoe de leerling de opgave aanpakte. In deze beschrijving is de toelichting van de leerling op de eigen aanpak verwerkt. Op basis hiervan is, eveneens per opgave en per leerling, een interpretatie en conclusie geschreven waarin de vertaalslag werd gemaakt naar de theorie die de basis vormt voor dit onderzoek. Op basis van bovenstaande interpretaties per opgave is vervolgens een eerste overzicht van de onderzoeksresultaten gemaakt door invullen van de matrix in bijlage 2.1. In deze matrix is per leerling en per opgave te zien welke vaardigheid aan bod komt en of de leerling in de betreffende opgave al dan niet laat zien de vaardigheid ook te beheersen.

5.4.3

Profielschetsen

Dit proces van stapsgewijze analyse resulteerde onder meer in individuele profielschetsen van de leerlingen met betrekking tot de mate van beheersing op procedureel en op conceptueel niveau van de algebraïsche manipulatie van breuken. Deze profielschetsen staan hieronder in het hoofdstuk resultaten. In de profielschetsen is sprake van beheersing van een vaardigheid of van gedeeltelijke beheersing. Soms spreek ik van beheersing op een basaal niveau. En uiteraard oordeel ik ook dat de leerling een procedure of een concept niet beheerst. In deze oordelen probeer ik de resultaten van de gegevensanalyses per leerling samen te vatten. Om te kunnen spreken van beheersing is niet alleen nodig dat de leerling een procedure correct toepast, maar ook dat de procedure vlot en efficiënt wordt uitgevoerd. Waar het gaat om conceptueel begrip betekent beheersing hier dat de leerling in alle of in de meeste gevallen waar dit conceptuele begrip in de opgaven aan de orde was, dit begrip ook toont. Als de leerling een procedure correct uitvoert maar niet vlot en efficiënt, kan eventueel de frase beheerst de procedure op basaal niveau worden gebruikt. Doorgaans wordt dan een kleine toelichting gegeven.

5.6

Proefsessie

Op 14 februari heb ik een proefsessie gedaan. Hierbij was een collega aanwezig, Wim van der Hulst, die vergelijkbaar onderzoek gaat doen en graag wilde meekijken. In paragraaf 5.3.2 is al opgemerkt dat op basis van de hier opgedane ervaringen, en zeker ook onder gebruikmaking van de opmerkingen van Wim, een interviewprotocol is gemaakt en twee vragen zijn aangepast. Het protocol is in de bijlage opgenomen. De veranderde opgaven zijn opgaven 13 en 19. Opgave 13 was aanvankelijk als volgt:

18

13.

1 2 < met a, b > 0 . a b

Schrijf in de vorm a <…… of a >……..

Deze opgave bleek te lastig voor de leerling, zozeer dat het ondoenlijk bleek de aanpak van de leerling op een zinnige wijze te analyseren. Hij werd vervangen door:

13.

4 : 3t = 1

Los op:

Zonder inzicht in delen en vermenigvuldigen als inverse bewerkingen lijkt deze opgave moeilijk op te lossen en dat is precies de bedoeling. Ook deze opgave bleek erg lastig:

19.

a2 ÷ 6 ⋅ b ⋅

Herleid:

1 ÷ b ⋅ 3b a

Ook hier gaat het erom in te zien dat delen door a hetzelfde is als vermenigvuldigen met 1/a, de sleutel tot het herleiden van deze uitdrukking. De uitdrukking is onbekend voor leerlingen omdat vergelijkbare opgaven in de leermethodes al gelijk als breuk worden geschreven. Bij de leerling bleek tijdens de proefsessie dat hij niet begreep dat je de uitdrukking gewoon van links naar rechts kunt ‘lezen’. Hij begon haakjes te plaatsen en produceerde vervolgens een woest en zeer onjuist stuk algebra. De hoop is dat door de opgave iets te vereenvoudigen, of eigenlijk te verkorten, leerlingen minder in de wat raken. De aangepast opgave is:

19.

a 2 ÷ 6 ⋅ b ⋅ a3 ÷ b

Herleid:

19

6

Resultaten

In dit hoofdstuk zal ik puntsgewijs de resultaten van het onderzoek bespreken, na enige opmerkingen vooraf. Per leerling wordt in paragraaf 6.2 een profielschets gegeven van vaardigheden, zowel procedureel als conceptueel, op het gebied van de algebraïsche manipulatie van breuken, en van lacunes in die vaardigheden. Samenhangen op individueel niveau worden besproken in paragraaf 6.3. Dan volgen de overige resultaten.

6.1

Enige opmerkingen vooraf

Al tijdens de interviews werd duidelijk dat de opgaven elf en twintig, om verschillende redenen die ik hieronder toelicht, voor dit onderzoek niet bruikbaar waren. De resultaten van deze opgaven zijn daarom bij de verdere gegevensanalyse buiten beschouwing gelaten. In de bijlagen zijn de resultaten van deze opgaven wel terug te vinden. Opgave elf was bedoeld om na te gaan of leerlingen in staat waren de techniek van het kruisproduct toe te passen. Maar geen van de leerlingen bediende zich van deze techniek. De opgave kon ook anders worden opgelost en de leerlingen verkozen deze alternatieven. De leerlingen maakten daarbij gebruik van heel verschillende methoden die wel veel onthulden over hun algebraïsche vaardigheden in het algemeen, maar niet zozeer specifiek over algebraïsche vaardigheden bij het werken met breuken. Om die reden is opgave elf in de verdere analyse weggelaten. Bij opgave twintig werd door alle leerlingen ‘het natuurkundedriehoekje’ erbij gehaald als ezelsbruggetje bij de vergelijking waar het in de opgave dan ook om draait: a = b/c. Alleen een minteken compliceerde de opgave. Weliswaar liet het laatste onderdeel van deze opgave zich niet met behulp van dit ezelsbruggetje tot een goed einde brengen, maar de resultaten werden door inzet van het ezelsbruggetje moeilijk interpreteerbaar. Ook deze opgave is daarom in de verdere analyse weggelaten. In de matrix per opgave die werd gebruikt voor een eerste overzicht van de resultaten (zie bijlage 2.1) zijn alle in hoofdstuk twee genoemde, aan Bruin-Muurling (2010) ontleende procedurele vaardigheden opgenomen. Twee van deze vaardigheden zijn echter alleen relevant voor rekenkundige opgaven, namelijk werken met een gebroken getal en werken met oneigenlijke breuken. De vaardigheden zijn in de verdere analyse daarom buiten beschouwing gelaten. De vaardigheden toepassen van kruisproduct en links en rechts delen hingen nauw samen met opgave elf en zijn dus niet in de verdere analyse opgenomen. Opgave zeven is wel in de verdere analyse opgenomen, ofschoon het hier om een rekenkundige opgave gaat. De opgave vraagt echter om een niet-rekenkundige aanpak. We vinden dit terug in de benadering van de leerlingen: vijf van de zes (en uiteindelijk alle zes) berekenen het antwoord niet, maar beredeneren het. Het is de enige opgave die het concept van relatieve vergelijking toetst. Daarom is de opgave toch in de analyse opgenomen.

6.1.1

Toelichting en verantwoording bij de tabellen gegevensanalyse per leerling.

Het hierboven beschreven proces van gegevensverwerking resulteert in zes tabellen gegevensanalyse per leerling. Deze tabellen (genummerd 1 tot en met 6) zijn een belangrijk hulpmiddel om per leerling vast te stellen over welke vaardigheden hij of zij beschikt en wat de eventuele samenhang is tussen die vaardigheden. Maar raadpleging van met name de opgavebeschrijvingen blijft veelal noodzakelijk om tot een genuanceerd en gefundeerd oordeel te

20

komen. Dit zal duidelijk worden bij de bespreking, per leerling, van de vaardigheden op het gebied van de algebraïsche manipulatie van breuken waarover hij of zij beschikt of van de lacunes in deze vaardigheden. Eerder is opgemerkt dat bij intercollegiale toetsing van het meetinstrument bleek dat het onderscheid tussen het concept delen als inverse van vermenigvuldigen en het concept equivalentie niet altijd gemakkelijk te maken was. Deze moeilijkheid lijkt inherent aan het feit dat de twee conceptuele aspecten zo nauw verweven zijn dat wiskundigen geneigd zijn te oordelen: het gaat om hetzelfde. Bij de gegevensanalyse is in dit onderzoek besloten om heel strikte criteria voor het onderscheid aan te houden. Ik zal dit duidelijk maken aan de hand van twee voorbeelden. Suzanne werkt opgave achttien als volgt uit:

x⋅

y xy = = y x x

We zien dat zij de factor x eerst in de noemer brengt, dan vereenvoudigt. Op grond van plaatsing van de factoren x in teller en noemer en het (impliciet) wegstrepen ervan wordt geoordeeld dat Suzanne het concept van equivalentie beheerst. Net als bij Bruin-Muurling (2010) wordt het concept van equivalentie dus geoperationaliseerd in opgaven en procedures die vereenvoudigen van breuken behelzen (Bruin-Muurling, 2010, p. 40). Rob noteert het volgende:

x⋅

y = y x

Hij plaatst de vermenigvuldigingsfactor x niet in de teller, dus wordt zijn aanpak geduid in termen van het concept van delen als inverse van vermenigvuldigen (Bruin-Muurling, 2010, p. 54,55) Hij komt tot het juiste antwoord, maar de toelichting die hij geeft is als volgt: Rob: Ja…Ik had gewoon een getallenvoorbeeld genomen…stel je voor x is twee en y is één, krijg je dus twee keer één tweede, en da’s één. Dus y. Ik dacht misschien is dat toevallig dus neem ik nog een andere…bijvoorbeeld x is drie en y is één…dan krijg ik drie keer een derde is ook één. Int: Hmhm… Rob: Dus ik dacht van…dan is het gewoon y. Int: Dus je hebt met twee keer een getallenvoorbeeld gecheckt van uh…nou dat is wat eruit komt…da’s de uitkomst…ja…Je nam trouwens wel in beide getallenvoorbeelden één voor y, klopt dat? Rob: Ja… Int: En als je iets anders neemt voor y? Rob: Uh…Nou bijvoorbeeld x is drie en y is twee…da’s drie keer twee derde da’s twee… Int: Ja…Dus dan lukt het ook? Rob: Dan klopt het ook. Overwegende dat uit de toelichting van Rob geen inzicht blijkt maar dat hij niettemin tot het goede antwoord komt wordt geconcludeerd dat het concept delen als inverse van vermenigvuldigen wellicht onvoldoende ontwikkeld is. In tabel 2 hieronder bij Rob verschijnt een 2 voor twijfelachtig bij opgave achttien in de rij inzicht in delen als inverse van vermenigvuldigen.

21

Bij het omzetten van een variabele of een getal in getalnotatie naar breuknotatie wordt het concept van gehele getallen naar rationale getallen (van ℤ naar ℚ , c2 in de tabellen 1 t/m 6) ingezet. Als de geïntroduceerde breuk een andere factor dan 1 in de noemer heeft beschouw ik dit tevens als een blijk van conceptuele beheersing van het begrip equivalentie. Dit is aan de orde in de opgaven twaalf en veertien. In de tabellen 1 tot en met 6 hieronder vinden we een kolom getiteld uitvoering vlot en efficiënt. Voor de beoordeling op dit aspect spelen een aantal criteria een rol. Ten eerste de tijd die een leerling aan een opgave besteedt. In het voorbeeld hierboven besteedt Rob ruim een minuut aan de opgave. Ter vergelijking: Misha besteedt negen seconden aan de opgave, Storm ruim een halve minuut. Die halve minuut is als werktijd voor deze opgave wellicht lang. Wellicht leidt niet tot een negatief oordeel. Ruim een minuut is zeker lang dus de uitvoering wordt beoordeeld als niet vlot en efficiënt. In de tabel (tabel 4) verschijnt een 0. Een ander criterium is het vermijden van onnodige tussenstappen. Een voorbeeld is opgave 10:

Schrijf als één breuk:

a 2 − ab b

Meteen vereenvoudigen levert de meest eenvoudige procedure op. Ziet de leerling dit over het hoofd dan is vermenigvuldigen van de tweede breuk met de factor a in teller en noemer voldoende om de breuken gelijknamig te maken. Leerlingen doen geen van beide: de uitvoering is niet vlot en efficiënt. Overigens wordt de uitwerking van de opgave ook geanalyseerd na het gelijknamig maken van de breuken. Het kan zijn dat de verdere uitwerking onberispelijk is. Dan vinden we in de tabel bij opgave 10 bij de procedurele vaardigheid aftrekken van twee gelijknamige breuken bij deze leerling een vlotte en efficiënte uitvoering. Een volgend criterium is de toelichting die de leerling geeft. In het voorbeeld hierboven kiest Rob getallenvoorbeelden. Dit is op zichzelf misschien al niet een vlotte en efficiënte aanpak. Maar hij kiest voor y het getal één als voorbeeld en dit is een ongelukkige keuze. Het laatste criterium ten slotte is het feit of de leerling al dan niet een kleine hint heeft (moeten) krijgen van de interviewer. Is dit het geval, dan wordt de aanpak geanalyseerd als niet vlot en efficiënt. Het spreekt vanzelf dat als een belangrijke hint nodig was de hele procedure als niet correct wordt beoordeeld. De leerling was dan niet in staat om zelf een correcte aanpak te ontwikkelen. In de tabellen (1 t/m 6) vinden we niet bij elke leerling bij een gegeven vaardigheid, bijvoorbeeld aftrekken van gelijknamige breuken, dezelfde opgaven vermeld. Dit is het gevolg van verschillen in uitwerking bij leerlingen. Een voorbeeld is opgave 14:


−

p+2 +1 p

Suzanne schrijft het getal 1 als p/p en gaat verder met de aftrekking van twee gelijknamige breuken. We vinden dus opgave 14 vermeld bij aftrekken van twee gelijknamige breuken in de tabel gegevensanalyse van Suzanne (tabel 1). Nursen komt niet tot die stap. We vinden opgave 14 niet vermeld in de tabel gegevensanalyse van Nursen (tabel 3) bij aftrekken van twee gelijknamige breuken.

22

6.2

Resultaten per leerling

Ik benadruk nog eens dat het in deze paragraaf in principe om de algebraïsche vaardigheden van de leerlingen gaat. Ik vermeld dat niet steeds om onnodige woordherhaling te voorkomen. In de profielschetsen (ik herhaal hier de toelichting die in paragraaf 5.4.3 al eens is gegeven) is sprake van beheersing van een vaardigheid of van gedeeltelijke beheersing. Soms spreek ik van beheersing op een basaal niveau. En uiteraard oordeel ik ook dat de leerling een procedure of een concept niet beheerst.. In deze oordelen probeer ik de resultaten van de gegevensanalyses per leerling samen te vatten. Om te kunnen spreken van beheersing is niet alleen nodig dat de leerling een procedure correct toepast, maar ook dat de procedure vlot en efficiënt wordt uitgevoerd. Waar het gaat om conceptueel begrip betekent beheersing hier dat de leerling in alle of in de meeste gevallen waar dit conceptuele begrip in de opgaven aan de orde was, dit begrip ook toont. Als de leerling een procedure correct uitvoert maar niet vlot en efficiënt, kan eventueel de frase beheerst de procedure op basaal niveau worden gebruikt. Doorgaans wordt dan een kleine toelichting gegeven.

Tabel 1 Gegevensanalyse voor Suzanne Opgaven die een rol spelen

Correcte procedure

Uitvoering vlot/ efficiënt

p1

Optellen van gelijknamige breuken

9

1

1

p2

Optellen van ongelijknamige breuken

9, 12

1, 2

1, 0

p3

Aftrekken van gelijknamige breuken

10, 14, 16

1, 0, 1

0, 0, 1

p4

Aftrekken van ongelijknamige breuken

10

1

0

p5

Vermenigvuldigen van gelijknamige breuken

19

0

0

p6

Vermenigvuldigen van ongelijknamige breuken

19

0

0

p7

Vereenvoudigen van breuken

10, 14, 15, 19

0, 0, 0, 2

0, 0, 0, 2

p8

Opgave met geheel getalnotatie en breuknotatie

12, 14, 17, 18

1, 1, 1, 1

0, 1, 1, 1

Toont beheersing op conceptueel niveau c1


7

1

c2

Van ℤ naar ℚ

12,14

1, 1

13 8, 10, 12, 14, 15, 18, 19

2

c3 c4

Inzicht in delen als inverse van vermenigvuldigen Equivalentie

0, 0, 0, 1, 0, 1, 0

0 = nee, 1 = ja, 2 = twijfelachtig. De volgorde van de nullen en enen correspondeert met die van de opgaven.

Suzanne beheerst de procedures voor optellen van gelijknamige en van ongelijknamige breuken op een basaal niveau. Datzelfde geldt voor het aftrekken van gelijknamige algebraïsche breuken. Als de algebraïsche uitdrukking iets ingewikkelder is (bijvoorbeeld meer termen in de teller) of afwijkt van wat gebruikelijk is (de opgave geeft eerst een negatieve algebraïsche breuk, dan een positieve breuk) wordt het minteken niet goed verwerkt. Verder moet worden opgemerkt dat zij tussentijdse vereenvoudigingen nalaat wat de procedure onnodig compliceert. Dit punt komt verder aan bod bij vereenvoudigen van breuken. Suzanne beheerst de procedure voor het aftrekken van ongelijknamige breuken op een basaal niveau. Zij maakt gelijknamig en behandelt het minteken correct. Echter, de procedure wordt niet vlot en efficiënt uitgevoerd, onder meer omdat zij niet kiest voor het kleinste gemene veelvoud. Bij het vereenvoudigen maakt zij grote fouten.

23

Suzanne beheerst de procedure voor het vermenigvuldigen van (gelijknamige en ongelijknamige) algebraïsche breuken niet. Zij volgt min of meer de procedure voor het optellen van breuken en maakt dus eerst gelijknamig. Dan vermenigvuldigt zij tellers maar de noemers niet. Overigens liet ze eerder zien, bij de rekenkundige opgaven, dat ze de procedure weliswaar niet paraat had maar kon reconstrueren op basis van een getallenvoorbeeld. Suzanne beheerst de procedure voor het vereenvoudigen van algebraïsche breuken niet. Zij verzuimt eenvoudige algebraïsche breuken als a/(ab) te vereenvoudigen. Bij breuken met meer termen in de noemer of teller streept ze afzonderlijke termen in teller en noemer tegen elkaar weg in plaats van factoren weg te strepen. Ook bij eenvoudige breuken met getallen ziet zij gelegenheden om te vereenvoudigen snel over het hoofd. Suzanne beheerst de procedure voor het werken met algebraïsche breuken in combinatie met een geheel getalnotatie. Bij opgave twaalf gaat het weliswaar mis, maar zij past in eerste instantie de juiste procedure toe en herschrijft

1 x

+ x als 1x +

x2 x

. Zij verwerpt echter dit resultaat en staakt haar poging.

Ik concludeer dat de procedure juist is en dat de lacune conceptueel van aard is. Suzanne beheerst het concept van de breuk als relatieve vergelijking. Suzanne toont in verschillende voorbeelden dat ze inziet dat een geheel getal(notatie) kan worden omgezet in een breuknotatie. Bij opgave twaalf echter (zie hierboven) zien we dat het misgaat. Ze begrijpt dat

x = 1x

maar ze verwerpt

x 1

=

x2 x

. Ik heb dit opgevat als een lacune in het concept van

equivalentie. Suzanne laat niet overtuigend zien dat zij inzicht heeft in het concept delen als inverse van vermenigvuldigen. Zij maakt weliswaar een aantal keer gebruik van de regel dat delen door een getal hetzelfde is als vermenigvuldigen met ‘het omgekeerde getal’ (bedoeld wordt het inverse getal onder de bewerking vermenigvuldigen). Dit doet ze in opgaven zes en zeven. Het lijkt erop dat zij bij opgaven die vertrouwd zijn of die niet algebraïsch zijn de regel weet toe te passen maar dat zij dit bij minder vertrouwde, algebraïsche opgaven zoals opgave dertien niet doet. Suzanne toont geen inzicht in het concept van equivalentie.

24

Tabel 2 Gegevensanalyse voor Rob Opgaven die een rol spelen

Correcte procedure


p1


_

_

_

p2


9

0

0

p3


16

1

1

p4


10

0

0

p5


_

_

_

p6


19

1

1

p7


10, 15, 19

0, 0, 0

0, 0, 0

p8


12, 14, 17, 18

0, 0, 1, 1

0, 0, 1, 0



7

1

Van ℤ naar ℚ

12,14

0, 0

c3

Inzicht in delen als inverse van vermenigvuldigen

13, 18, 19

0, 2, 0

c4

Equivalentie

8, 10, 11, 13, 15, 19

2, 0, 2, 0, 0, 0

c2


Op grond van de aanpak bij opgave zestien concludeer ik dat Rob de procedure voor het optellen van twee algebraïsche breuken beheerst. Bij de opgaven negen, twaalf en veertien komt de procedure niet aan bod omdat Rob er niet in slaagt de breuken gelijknamig te maken. Ook de procedure voor het aftrekken van gelijknamige breuken beheerst Rob. Maar optellen en aftrekken van ongelijknamige breuken gaat bij Rob fout, en dit ondanks voorafgaande analoge rekenkundige voorbeelden. Op grond van de gegevens kan niet worden geconcludeerd of Rob al dan niet de procedure voor het vermenigvuldigen van gelijknamige breuken beheerst. Maar het vermenigvuldigen van ongelijknamige breuken verloopt goed. Rob beheerst de procedure voor het vereenvoudigen van breuken niet. In het rekenkundige deel gaat het wel goed, maar een gemakkelijk te vereenvoudigen breuk als a/(ab) wordt toch niet vereenvoudigd. In opgave vijftien worden bij een breuk met meertermige teller en noemer teller en noemer niet gedeeld maar van elkaar afgetrokken. In het algemeen beheerst Rob de procedure voor het werken met geheel getalnotatie en breuknotatie niet. Hierbij kan worden opgemerkt dat bij optellen en aftrekken Rob niet de juiste procedure toepast, bij vermenigvuldigen echter wel, ook als sprake is van meer complexe algebraïsche breuken. Rob beheerst het concept van de breuk als relatieve vergelijking. Rob toont op algebraïsch niveau geen inzicht in de relatie tussen gehele getallen en rationale getallen. Het is meteen al frappant dat Rob het opnemen van het gehele getal in de breuk bij opgave vier (in het rekenkundig deel) nalaat. Zijn aanpak bij deze opgave is verder correct, maar zeer omslachtig. In het algebraïsche deel schrijft hij in geen enkel geval een geheel getalnotatie om naar een breuknotatie. Dit leidt bij optellingen tot een verkeerde aanpak. Rob beheerst het concept van delen als inverse van vermenigvuldigen niet. Bij opgave achttien komt hij weliswaar tot de juiste eindconclusie, maar in de toelichting ontbreekt elke verwijzing naar het feit dat de twee factoren x tegen elkaar wegvallen. De analogie met opgave vijf, die Rob niet correct oploste, wordt bovendien niet opgemerkt. Rob beheerst het concept van equivalentie niet.

25

Tabel 3 Correcte procedure

Gegevensanalyse voor Nursen

Opgaven die een rol spelen


p1


_

_

_

p2


9

0

0

p3


16

0

0

p4


10

0

0

p5


_

_

_

p6


_

_

_

p7


10, 14, 15, 18

0, 0, 0, 1

0, 0, 0, 1

p8


10, 12, 17, 18

0, 0, 0, 0

0, 0, 0, 0



7

1

Van ℤ naar ℚ

_

_

c3


13, 19

2, 2

c4

Equivalentie

8, 10, 14, 15, 18

2, 0, 0, 0, 1

c2


Nursen gaf bij aanvang van de sessie meteen aan dat ze heel slecht is in breuken. Die voorspelling bleek juist. Ze bracht slechts twee van de dertien algebraïsche opgaven tot een goed einde. De grote lacunes in haar vaardigheden zorgden ervoor dat stappen in de uitwerking achterwege bleven waardoor weer andere vaardigheden domweg niet aan bod kwamen. Op grond van de aanpak bij opgave zestien concludeer ik dat Nursen de procedure voor het optellen van twee algebraïsche breuken beheerst. Zij rondt opgave zestien weliswaar niet goed af maar dat is uitsluitend te wijten aan de behandeling van het minteken. Bij de opgaven negen, twaalf en veertien komt de procedure helaas niet aan bod omdat Nursen er niet in slaagt de breuken gelijknamig te maken. Nursen beheerst de procedures voor het optellen en aftrekken van twee ongelijknamige breuken niet. het aftrekken van twee gelijknamige breuken laat Nursen alleen zien in opgave zestien, waarbij een breuk met meertermige teller een rol speelt. De fout die ze maakt komt neer op het niet goed overbrengen van het minteken op een tweetermige teller. Plaatsing van het minteken in de teller doet Nursen goed. Ik concludeer dat Nursen het aftrekken van twee gelijknamige breuken op een basaal algebraïsch niveau beheerst, maar dat het overbrengen van het minteken op een meertermige teller verkeerd wordt uitgevoerd. Ik concludeer op grond van het rekenkundig deel van de opgaven dat Nursen (ook) de procedure voor het algebraïsch vermenigvuldigen van breuken niet beheerst. De procedures voor het vereenvoudigen van breuken en voor het werken met geheel getalnotatie en breuknotatie beheerst Nursen niet. Nursen toont beheersing op conceptueel niveau van de breuk als relatieve vergelijking. Nursen laat niet zien dat zij het concept van gehele getallen naar rationale getallen beheerst. Het is onzeker of Nursen een goed inzicht heeft in de inverse relatie van delen en vermenigvuldigen. Bij opgave 19 bijvoorbeeld ziet ze dat in

a 2 ÷ 6 ⋅ b ⋅ a3 ÷ b 26

De factoren b wegvallen. Maar zij weet de uitdrukking

a 2 ÷ 6 ⋅ a3 niet verder te vereenvoudigen, al vermoedt ze dat het zou moeten kunnen. Tenslotte concludeer ik op grond van de tabel dat Nursen het concept van equivalentie niet beheerst.

27

Tabel 4 Gegevensanalyse voor Storm Opgaven die een rol spelen

Correcte procedure


p1


7, 9, 12

1, 1, 1

1, 1, 0

p2


7, 9, 12

1, 1 ,1

1, 1, 0

p3


10, 14, 16

1, 1, 1

1, 1, 1

p4


10

1

0

p5


_

_

_

p6


17,18, 19

1, 1, 1

1, 1, 0

p7


10, 12, 15, 18, 19

1, 0, 0, 1, 2

0, 0, 0, 1, 0

p8


13, 14, 17, 18

1, 1, 2, 1

1, 1, 0, 1

Toont beheersing op conceptueel niveau c1 c2


7

1

Van ℤ naar ℚ

12, 14, 17, 18

1, 1, 1, 1

c3


13, 18, 19

0, 2, 2

c4

Equivalentie

8, 10, 12, 14, 15, 18, 19

2, 1, 2, 1, 0, 1, 2


Storm beheerst de procedures voor het optellen en aftrekken van gelijknamige en ongelijknamige breuken. Maar bij opgave tien, het aftrekken van twee ongelijknamige breuken, kiest hij niet voor het kleinste gemeenschappelijk veelvoud, wat de procedure compliceert. Ook een aanvankelijke vereenvoudiging wordt niet uitgevoerd. Ik concludeer op grond van het rekenkundig deel dat Storm de procedure voor het vermenigvuldigen van twee gelijknamige breuken beheerst. Hij beheerst ook de procedure voor het vermenigvuldigen van twee ongelijknamige breuken. Bij de opgaven zeventien en achttien kan worden opgemerkt dat het bij één van de te vermenigvuldigen breuken gaat om een breuk met een één in de noemer, wat geen ‘mooie’ voorbeelden zijn van de vermenigvuldiging van twee ongelijknamige breuken. Opgave negentien vormt echter wel een goed voorbeeld. Hier maakt Storm kleine rekenfouten en verzuimt hij een vereenvoudiging. Kleine slordigheden spelen Storm in alle opgaven parten en lijken een algemene trek in zijn wiskundige werk. Hij merkt dit zelf op. Storm beheerst de procedure voor het vereenvoudigen van algebraïsche breuken alleen op het meest basale niveau. Bij breuken met meertermen in teller of noemer volgt hij niet de juiste procedure. Ook ziet hij vereenvoudigingen die de opgave aanzienlijk vergemakkelijken over het hoofd. Storm beheerst de procedure voor het werken met opgaven met geheel getalnotatie en breuknotatie. Ook bij de vermenigvuldiging van een breuk met een variabele in geheel getalnotatie kiest hij ervoor de variabele als breuk met noemer één te schrijven. Storm toont inzicht in het concept van de breuk als relatieve vergelijking. Storm toont inzicht in het concept van Gehele getallen naar rationale getallen. Hij laat onder meer (functioneel) de volgende herschrijvingen zien:

x p x2 = x = 1 = x x p 1 Storm lijkt het concept van delen als inverse van vermenigvuldigen niet volledig te beheersen. Bij opgave achttien bijvoorbeeld is zijn uitwerking als volgt:

28

Hij ziet wel degelijk dat hij de uitkomst ook in één keer had kunnen opschrijven. Hij ziet ook de analogie met opgave vijf ( 13 * 7/13). Juist in die opgave kwam naar voren dat Storm niet goed kan uitleggen waarom de rekenregel werkt en twijfelt hij ook of zijn aanpak juist is. De tussenstap die we hem hier zien doen geeft hem wel meer vertrouwen dat zijn aanpak goed is. De tabel laat zien dat het niet gemakkelijk is te beslissen of Storm het concept van equivalentie nu wel of niet beheerst. Beheersing van het concept zou de leerling in staat moeten stellen om ook in meer onbekende en complexere opgaven tot een juiste manier van vereenvoudigen te komen. Opgave tien is hiervan een voorbeeld: het is een type opgave dat Storm niet ziet als gemakkelijk op te lossen, maar hij weet tot een goed antwoord met correcte vereenvoudigingen te komen. Vlot echter gaat het niet. Bij opgave vijftien gaat het helemaal fout. Bij opgave achttien, we zagen het hierboven, wordt een correcte vereenvoudiging gedaan maar toegepast op stap twee in de uitwerking is die vereenvoudiging routinematig. In opgave negentien laat Storm de breuk (9ab)/6 na een voorgaande correcte vereenvoudiging als eindantwoord staan. …Ik concludeer dat het concept van equivalentie door Storm niet volledig wordt beheerst.

29

Tabel 5 Gegevensanalyse voor Thomas Opgaven die een rol spelen

Correcte procedure


p1


9, 12, 14

1, 1, 1

1, 1, 1

p2


9

1

1

p3


10, 14, 16

1, 2, 2

1, 0, 0

p4


10

1

0

p5


_

_

_

p6


_

_

_

p7


10, 14, 15, 18

0, 1, 0, 1

0, 1, 0, 1

p8


12, 14, 17, 18, 19

0, 1, 1, 1, 0

0, 1, 1, 1, 0



7, 13

1, 1

Van ℤ naar ℚ

12, 14

0, 1

c3


13, 18, 19

2, 1, 0

c4

Equivalentie

8, 10, 12, 14, 15, 19

2, 0, 0, 1, 0, 0

c2


Thomas beheerst de procedures voor optellen en afrekken van gelijknamige en ongelijknamige breuken. Wel moet worden opgemerkt dat Thomas bij het gelijknamig maken van breuken niet kiest voor het kleinste gemeenschappelijke veelvoud, hetgeen de procedure compliceert. Verder maakt hij bij het overbrengen van het minteken op een meertermige teller fouten. In het rekenkundige deel van de opgaven laat Thomas zien dat hij niet weet hoe hij breuken moet vermenigvuldigen. Thomas beheerst de procedure voor het vereenvoudigen van breuken niet. Heel basale vereenvoudigingen doet hij weliswaar goed ((xy)/x), maar (ab)/(ab^2) laat hij als eindantwoord staan en opgave vijftien met meertermige teller en noemer gaat helemaal fout. Thomas beheerst de procedure voor het vermenigvuldigen van een geheel getalnotatie met een breuknotatie. Hij weet dat hij het gehele getal alleen met de teller van de breuk moet vermenigvuldigen. Uit de toelichting van Thomas wordt duidelijk dat hij dit voorafgaande aan de sessie misschien niet meer wist, maar dat hij deze ontdekking opnieuw heeft gedaan in het rekenkundige deel. De procedure voor het optellen van een variabele in geheel getalnotatie en een breuk beheerst hij niet. Hij slaagt er wel in om het getal één bij een complexe algebraïsche breuk op te tellen. Thomas beheerst het concept van een breuk als relatieve vergelijking. Het concept van gehele getallen naar rationale getallen beheerst Thomas niet. Hij weet dat hij het getal één kan schrijven als het quotiënt van twee keer dezelfde variabele, maar niet hoe hij een losse variabele kan schrijven als breuk. Thomas toont geen beheersing van het concept delen als inverse van vermenigvuldigen. In verband met een heel elementaire opgave (x * y/x) toont hij dit inzicht overigens wel en verwoordt het ook goed. Een voorgaande rekenkundige opgave ( 13 * 7/13) ondersteunt hem bij dit inzicht. Bij andere, wat minder bekende opgaven weet hij het inzicht niet of niet goed genoeg in te zetten. Thomas toont geen beheersing van het concept equivalentie.

30

Tabel 6 Gegevensanalyse voor Misha Opgaven die een rol spelen

Correcte procedure


p1


9

1

1

p2


9

1

1

p3


10, 16

1, 0

0, 0

p4


10

1

0

p5


-

-

-

p6


19

1

1

p7


10, 15, 19

0, 0, 1

0, 0, 1

p8


12, 14, 17, 18, 19

0, 2, 0, 1, 1

0, 0, 0, 1, 1



7

1

Van ℤ naar ℚ

12, 14, 17

0, 2, 0

c3


13, 18, 19

0, 1, 1

c4

Equivalentie

8, 10, 14, 15, 19

1, 0, 1, 0, 1

c2

Misha beheerst de procedures voor het optellen en aftrekken van gelijknamige en ongelijknamige breuken. Echter, het aftrekken van breuken beheerst hij alleen op een heel basaal niveau. Bij meertermige teller wordt het minteken niet goed verwerkt. Verder kiest Misha niet voor het kleinste gemeenschappelijke veelvoud. Op grond van het rekenkundig deel concludeer ik dat Misha weet hoe hij twee gelijknamige breuken moet vermenigvuldigen. Ook beheerst hij de procedure voor het vermenigvuldigen van twee ongelijknamige algebraïsche breuken. Misha beheerst de procedure voor het vereenvoudigen van algebraïsche breuken niet. Bij opgave tien laat hij –b/b^2 als eindantwoord staan. In de toelichting zegt hij: Alleen twijfelde ik heel erg of je min b gedeeld door b in het kwadraat kan oplossen tot wortel b. Bij opgave vijftien vindt hij het juiste antwoord met een getallenvoorbeeld, maar de algebraïsche vereenvoudiging die hij probeert komt neer op het aftrekken van teller en noemer. De beheersing van opgaven met geheel getalnotatie en breuknotatie is wisselend. Beide opgaven met daarin een optelling gaan fout. Opgave twaalf is zonder meer fout uitgewerkt, bij opgave veertien slaagt Misha erin, met de hulp van getallenvoorbeelden, om de juiste oplossing te vinden maar een correct uitgevoerde procedure verschijnt niet op papier. De opgaven zeventien en achttien gaan beide om de vermenigvuldiging van een geheel getalnotatie met een breuknotatie. Opgave achttien is basaal en gaat goed. In opgave zeventien gaat het om een complexere breuk met meertermige teller. Bij de uitwerking verschijnt de vermenigvuldigingsfactor -3 zowel in de teller als in de noemer. Na een moeizame worsteling met getallenvoorbeelden verschijnt de correcte en onwaarschijnlijke tussenoplossing waarbij de inverse van de oorspronkelijke vermenigvuldigingsfactor in de noemer is opgenomen. Ik concludeer: Misha beheerst de procedure voor het werken met opgaven met geheel getalnotatie en breuknotatie niet. Misha beheerst het concept van de breuk als relatieve vergelijking. Het concept van gehele getallen naar rationale getallen weet Misha niet in te zetten bij de opgaven waar dit nodig is. Bij opgave veertien komt hij tot het goede antwoord, maar zijn begrip leunt zwaar op getallenvoorbeelden. De ondersteunende algebraïsche uitwerking waar het hier om gaat ontbreekt. Hij beheerst het concept dus niet.

31

In opgave dertien slaagt Misha er niet in het inzicht in te zetten dat delen door een breuk hetzelfde is als vermenigvuldigen met de omgekeerde breuk. Maar in opgave achttien ziet hij onmiddellijk de overeenkomst met opgave vijf, waar hij het concept van delen als inverse van vermenigvuldigen fraai verwoordt door het te vergelijken met kwadrateren en wortel trekken. Ook bij opgave negentien wordt het concept voortvarend ingezet om de factoren b weg te werken. Ik concludeer dat Misha het concept van delen als inverse van vermenigvuldigen gedeeltelijk beheerst. Het concept equivalentie weet Misha bij drie opgaven succesvol in te zetten, en bij twee opgaven niet. Bij opgave tien lijkt de te vereenvoudigen breuk eenvoudig genoeg, we zagen dat hierboven al: –b/b^2. Toch gaat het hier mis. Het concept van equivalentie te gelde maken bij een complexere breuk met meertermige teller en noemer is echt een brug te ver, zoals blijkt uit de uitwerking. Misha beheerst het concept ten dele.

6.3

Samenhangen op individueel niveau

Op individueel niveau toont dit onderzoek de verwachte samenhangen tussen concepten en vaardigheden. Sommige samenhangen vloeien direct voort uit de theorie en de daaruit volgende operationaliseringen, zoals al beschreven in het werk van Bruin-Muurling (2010). Zo hangt c4, het concept van equivalentie, samen met vereenvoudigen van breuken (p7) en dus ook met vermenigvuldigen van breuken (p5 en p6), in zoverre bij die procedure tussentijdse vereenvoudigingen aan de orde zijn. Op die manier hangen ook de vaardigheid omgaan met een opgave met geheel getalnotatie en breuknotatie (p8) en het concept van gehele getallen naar rationale getallen (c2) samen. Gezien de verwantschap van de concepten delen als inverse van vermenigvuldigen en equivalentie (c3 en c4), zoals besproken in paragraaf 7.1.2, leek het redelijk om te verwachten dat de mate van beheersing van beide concepten per leerling niet veel zou verschillen. Dit is inderdaad het geval. Moeilijk te interpreteren is de samenhang tussen de procedurele vaardigheid ‘vermenigvuldigen van breuken’ en concepten. In dit onderzoek is niet voldoende doorgevraagd op dit aspect. Ik kom hier in de discussie nog op terug. Meer specifiek: wat betekent het in termen van concept dat twee van de zes leerlingen (Nursen en Thomas) de procedure voor het vermenigvuldigen van breuken niet kunnen achterhalen? En wat betekent het dat één van die twee leerlingen en een derde leerling (Nursen en Suzanne) niet met schattend rekenen kunnen achterhalen wat de vermenigvuldiging in opgave drie ongeveer oplevert, zoals blijkt bij de interviews?

32

6.4

Verdere resultaten

De stapsgewijze gegevensanalyse per leerling, zoals hierboven beschreven, heeft mij in staat gesteld om per leerling een profiel te schetsen van vaardigheden, zowel procedureel als conceptueel, op het gebied van de algebraïsche manipulatie van breuken, en van lacunes in die vaardigheden. Ik bespreek nu de verdere resultaten.

6.4.1

Optellen van gelijknamige breuken en vermenigvuldigen van breuken.

Vier van de zes leerlingen beheersen het optellen van ongelijknamige breuken op basaal niveau. Drie van de zes leerlingen beheersen het vermenigvuldigen van breuken. Dat is op zichzelf opvallend, want de procedure voor het optellen van ongelijknamige breuken is een stuk complexer dan die voor het vermenigvuldigen van breuken. Het punt komt nog sterker naar voren als we terugkijken naar het rekenkundig deel van de opgaven. Alle leerlingen slagen erin om, bij opgave één, twee ongelijknamige breuken op te tellen. Slechts twee van de zes voeren de vermenigvuldiging bij opgave drie goed en vlot uit, en de gebroken getallen in de opgave zijn hier niet de oorzaak. Dit verschil is nog weer frappanter als we bedenken dat feitelijk bij de optelling van ongelijknamige breuken twee keer een vermenigvuldiging van breuken wordt uitgevoerd. De leerlingen zijn zich hier kennelijk niet van bewust. Als zij bij opgave drie in moeilijkheden komen kijken ze dan ook niet terug naar opgave één. Bij Storm en Misha is een hint van de interviewer nodig. De hint is om een eenvoudig getallenvoorbeeld te kiezen. Storm bijvoorbeeld vergewist zich ervan dat teller met teller en noemer met noemer moet worden vermenigvuldigd door 1� ∙ 1� en 2� ∙ 1� te berekenen, waarbij hij het antwoord al kent. Misha kiest voor 1� ∙ 1� . 2 2 4 2 2 2 Thomas komt er helemaal niet uit, ondanks de aansporing van de interviewer om een eenvoudig getallenvoorbeeld te kiezen. Suzanne doet de vermenigvuldiging goed maar zij kan niet met schattend rekenen nagaan of de uitkomst ongeveer zou kunnen kloppen. Het lijkt erop dat de optelling van twee ongelijknamige breuken een op zichzelf staande procedurele vaardigheid is, waarbij de leerlingen niet goed inzien dat zij breuken vermenigvuldigen en dat het concept equivalentie een belangrijke rol speelt. Storm en Suzanne verklaren dat ze niet in staat zijn om met schattend rekenen na te gaan wat er uitkomt bij opgave drie. Suzanne legt uit: Suzanne: Ja je kan wel ongeveer bedenken dat het niet heel veel groter gaat zijn dan bijvoorbeeld zes of zeven of zo. Tenminste, blijkbaar niet groter dan vier één derde als ik het goed heb. Maar. Omdat één keer twee, dat is dan sowieso…Ik weet niet, je zou…Ik weet niet zo goed, want als je iets keer een breuk doet wordt het meestal kleiner, maar er staat ook nog een…wordt het kleiner maar als je iets keer een heel getal doet, dus keer twee, dan wordt het groter, tenzij het het getal één is. Interviewer: Ja. Suzanne: Dus dan weet ik niet zo goed of het getal groter moet worden, of juist kleiner, want het is en een heel getal, en een breuk. Ook voor Nursen is het schattend rekenen bij opgave drie moeilijk: Nursen: …en hier (wijst naar begin uitwerking opgave drie) moet je gewoon maal doen en omdat het allebei grote getallen zijn, gehele getallen dus, moet het sowieso al twee keer één…als je gewoon de breuken even vergeet…twee keer één is ongeveer twee…en dan die breuken erbij maakt het één vierde…

33

Uit deze rekenkundige opgaven en de antwoorden en toelichtingen van de leerlingen blijkt dat een deel van hen de procedure voor het vermenigvuldigen van breuken is vergeten en dat zij moeite hebben te begrijpen wat er gebeurt bij de vermenigvuldiging van breuken. Verder doorvragen in de twee voorbeelden hierboven zou wellicht duidelijker hebben gemaakt waarom het schattend rekenen zo moeilijk is voor Suzanne en Nursen. Verder blijft het een open vraag hoeveel leerlingen de algebraïsche vermenigvuldiging van breuken correct zouden hebben uitgevoerd zonder voorafgaand leermoment bij opgave drie.

6.4.2

Alle leerlingen beheersen het concept van de breuk als relatieve vergelijking.

Beheersing van het concept van de breuk als relatieve vergelijking is geoperationaliseerd in een opgave die strikt genomen rekenkundig is. Echter, de opzet van de opgave en de toelichtingen van de leerlingen zijn van dien aard dat bovenstaande conclusie gerechtvaardigd lijkt. De opgave is onbekend voor de leerlingen (een reeks breuken in de noemer van een grotere breuk). Alle leerlingen formuleren het inzicht dat het breukgetal (bij gelijke teller) als geheel groter is naarmate de noemer kleiner is. Vier leerlingen rekenen de opgave niet verder uit, waaruit blijkt dat hun aanpak conceptueel is. Twee leerlingen doen dat althans gedeeltelijk wel maar formuleren het uiteindelijke inzicht overtuigend. Thomas bijvoorbeeld rekent de twee noemers helemaal uit. Hij doet dit met behulp van een decimale notatie. Daarna trekt hij de juiste conclusie. Als hij dat doet ziet hij in dat hij zich al zijn rekenwerk had kunnen besparen Thomas: Deze is kleiner, want het is sowieso makkelijk…Dat had ik niet eens hoeven uitrekenen. Bij de verantwoording van zijn conclusie zegt hij: Thomas: Die noemer is het kleinste getal, dus het moet meer vermenigvuldigd worden om veertig te krijgen. Storm slaat ook aan het rekenen maar trekt zijn conclusie als hij beide noemers als één breuk heeft geschreven: Storm: En…dees (wijst naar 1 5/60) is groter dus je moet door meer delen dus dan wordt deze…uiteindelijk wordt-ie kleiner.

6.4.3 Het concept van equivalentie, het vereenvoudigen van breuken en het omgekeerde van vereenvoudigen.

Het concept van equivalentie impliceert dat elk rationaal getal op oneindig veel manieren kan worden geschreven. Er is een eenvoudigste schrijfwijze, namelijk als teller en noemer geen delers gemeen hebben. De breuk is dan vereenvoudigd. Anderzijds is het altijd mogelijk twee rationale getallen gelijknamig te maken. Met de beheersing van deze twee vaardigheden, het gelijknamig maken van breuken (deze vaardigheid is niet apart benoemd in dit onderzoek maar maakt onder andere deel uit van de vaardigheid optellen van ongelijknamige breuken) en het vereenvoudigen van breuken, in relatief onbekende algebraïsche opgaven toont de leerling dat hij het concept (al dan niet) beheerst. Het concept van equivalentie speelt in veel opgaven een rol. Het onderzoek laat zien dat twee van de leerlingen het concept in elk geval ten dele beheersen. Vier leerlingen beheersen het concept niet.

34

In opgave tien zien vijf van de zes leerlingen een simpele vereenvoudiging, die de opgave aanzienlijk makkelijker maakt (de twee breuken worden dan immers gelijknamig) over het hoofd. Ook bij de toelichting ziet geen van deze leerlingen de mogelijkheid tot vereenvoudigen. De enige die wel vereenvoudigt, Nursen, doet dit verkeerd. Uiteindelijk heeft één leerling de opgave helemaal goed. Verkeerde vereenvoudigingen, en in één geval een ontbrekende eindvereenvoudiging, zijn hier (mede) oorzaak van. Bij opgave vijftien, waarbij een tweeterm in teller en noemer tegen elkaar kunnen worden weggestreept, doen alle leerlingen foutieve vereenvoudigingen. De meest gemaakte fout is het wegstrepen in teller en noemer van afzonderlijke termen. Rob komt het dichtst bij een goed antwoord maar hij trekt uiteindelijk noemer van teller af in plaats van ze te delen, net als Misha. (Aftrekken in plaats van delen zien we ook bij Suzanne. Deze intrigerende fout zal ik straks nog eens apart bespreken). Rob: Uh…alleen…zo kan je het opschrijven, alleen…ik zag wel meteen dat uh…dit (wijst naar noemer in voorlaatste stap) de helft is van dit (wijst nu naar teller)… Interviewer: Ja.. Rob: Dus uh…van de Interviewer: Dan wijs je naar de min twee b en die min b? Rob: Van deze hele term Interviewer: O de hele term, oke, ja… Rob: De helft van dit… Interviewer: Ja… Rob: Dus…had ik ook…dus…ja, ik had ook het antwoord twee kunnen opschrijven. Is hetzelfde alleen dan valt die a weg… Interviewer: Maar twee is niet hetzelfde als drie a kwadraat min b. Dus wat is nou goed? Rob: Ja dat weet ik niet (lacht) maar…Ja ik dacht van ik zal die a er wel in moeten houden dus heb ik het zo gedaan… Beheersing van het concept van equivalentie blijkt ook wanneer de leerling juist het tegengestelde moet doen van vereenvoudigen. Dit is het geval bij de opgaven twaalf en veertien. Bij opgave twaalf moet de variabele x worden herschreven als x^2/ x om tot een goede eindoplossing te komen. De opgave wordt door geen enkele leerling goed gemaakt, zij het dat Storm de juiste oplossing laat zien die hij echter in de toelichting foutief vereenvoudigt. Suzanne schrijft in een tussenstap 1/x + x^2/x maar verwerpt dit: Suzanne: Dus toen stopte ik maar toen dacht ik, o nee wacht want als ik dit keer dat ga doen, dit keer dat ga doen dan wordt het wel anders want dan wordt het x tot de tweede plus…en dan x keer één is (mompelt iets)…toen kwam ik uit op dit maar toen dacht ik het kan nooit dat dit gelijk is aan dit (wijst naar beide leden van de vergelijking in regel drie van de uitwerking). Want hoe kan je in één keer tot de tweede erbij verzinnen? Dat kan niet. Toen klopte het niet meer. En toen snapte ik er helemaal niks meer van. Bij opgave veertien gaat het om het herschrijven van het getal één als p/p. Drie leerlingen doen dit goed. Twee leerlingen doen dit niet goed. Misha komt met getallenvoorbeelden tot het juiste inzicht maar schrijft de uitdrukking p/p niet op. Het lijkt erop dat gebrek aan inzicht in equivalentie hier voor Misha niet het probleem is waardoor hij zo lang over de opgave doet. Het is het herschrijven zelf van het getal één als algebraïsche breuk dat hij lastig vindt en dat hij als het ware ontdekt als uitkomst van een lastige puzzel. Als Misha vier minuten aan de opgave werkt vraagt de interviewer om uitleg. Misha legt uit dat hij nog bezig is. Hij zegt:

35

Misha: Bijvoorbeeld een mogelijk antwoord [proberen, RW] en dan kijken of het overeen komt. Ik ga nu bijvoorbeeld die één onderaan zetten. (schrijft regel vier). En dan kijk ik gewoon of ik op hetzelfde antwoord uitkom als hier (wijst naar antwoord regel twee)…Dat blijkt niet het geval. Na nog een kleine twee minuten van nadenken schrijft Misha zijn eindantwoord op. Hij legt uit: Ja, en toen heb ik eigenlijk bedacht steeds van eh, in mijn hoofd heb ik dit gezien (omcirkelt de eerste breuk in regel twee van de uitwerking) als min vier tweede, en daar kwam dus steeds twee tweede bij. Of hier in dit geval (wijst naar regel eronder) dus drie derde. Maar omdat het negatief is doe ik eigenlijk p…Ik heb hier (wijst naar regel één van uitwerking) eigenlijk min p bijgezet en dat valt dan eigenlijk tegen elkaar weg. En dan heb ik hier dus twee gedeeld door p (wijst twee aan in teller en p in de noemer). Min twee gedeeld door p, die min kan je ook daar neerzetten. En dat heb ik toen vervolgens gecheckt met deze twee getallenvoorbeelden en dat klopte inderdaad. Kortom, bij opgave veertien lijken vier van de leerlingen het concept equivalentie te beheersen. Het gaat dan om het als een breuk schrijven van het getal 1. Opgave twaalf, die uitdagender is (het als een breuk schrijven van de letter x) laat zien dat het concept equivalentie toch niet wordt beheerst.

6.4.4

Verwarring rond het concept delen als inverse van vermenigvuldigen

Bij vijf van de zes leerlingen blijkt dat het concept van delen als inverse van vermenigvuldigen, c3, verwarrend is. Ik wil drie voorbeelden geven om dit nader te illustreren. Ik begin met Nursen, die opgave dertien afrondt met een goed antwoord. Dit is haar uitwerking:

Nursen werkt één en een kwart minuut aan deze opgave. In de toelichting verantwoordt ze de eerste stap als volgt: Nursen: Nou kijk, hier doe je het gedeeld door (wijst naar stap één in uitwerking) dus vier gedeeld door dit (wijst naar 3/t) dus ik dacht, als ik dan die naar de andere kant breng is het maal, net als als je een kwadraat hebt en dan wordt het een wortel. Nu ontstaat verwarring: Int: Hmhm…Oke…jajajaja…en dat heb je hier opnieuw gedaan hè? (wijst naar stap twee in de uitwerking van opgave dertien)… Nursen: Ja…Drie gedeeld door t dus dan is het…O nee, dan moet je drie keer vier dan eigenlijk doen. Dus dan is t twaalf. Int: Ja nou ja, is dat nou omdat ik je aan het twijfelen breng of is dat?...Je moet je van mij niks aantrekken hè. Nursen: Nee, nee, omdat ik nu zie dat ik het hier (wijst naar stap één opgave dertien)...gedeeld door is doe je ’t keer , dus als je ’t dan hier (wijst naar stap twee opgave dertien) ook gedeeld door doet dan moet het hier ook keer zijn. De interviewer vraagt of ze voor t = 12 het antwoord kan controleren. Nu komt Nursen erachter dat dat niet kan en dat t = ¾ toch wel zou kunnen kloppen. Later zegt Nursen dat ze de opgave helemaal niet begrijpt.

36

Bij Storm kijken we naar opgave 7, een rekenkundige opgave:

Storm rondt de opgave af in tien seconden. Hij weet niet zeker of het goed is maar denkt van wel. Int: Als je er zo naar kijkt, kan je vertellen wat je redenering is? Storm: Ja. Ik heb die dertien keer zeven gedaan, omdat die twee (wijst op de twee getallen dertien in de opgave), nou ja, gelijk zou zijn, en als je dan deelt door, als je dat …dan moet je dus delen door dertien…om hieronder één uit te krijgen…dan krijg je zeven…één en dat is zeven. Ja ik heb mezelf… Int: Je hebt die dertien vermenigvuldigd met de zeven? Storm: Ja. Int: En daarna zeg je, kennelijk vallen ze weg? Hoe zit dat? Klopt dat? Storm: Ja dat weet ik… Int: Wat ik daar zeg? Storm: …dat weet ik niet, ik heb mezelf op de basisschool heel rare dingen aangeleerd, qua rekenen. Int: Jaja. Maar het werkte wel toen kennelijk… Storm: Jaja, het heeft in ieder geval gewerkt. En dat is waarschijnlijk ook de reden waarom ik wel moeite heb met wiskunde op de middelbare, op de middelbare school.

Bij Suzanne kijken we naar twee fragmenten van haar uitwerking van opgave dertien:

Zij weet zich te bedienen van de rekenregel dat delen door een getal hetzelfde is als vermenigvuldigen met het omgekeerde getal. Maar zij ziet niet in dat als 3/t = 4, dan 4t = 3.

6.4.5

De behandeling van het minteken bij breuken.

Bij de behandeling van het minteken bij breuken kunnen we drie aspecten onderscheiden: 1. Het inzicht dat plaatsing van het minteken in teller of noemer de waarde van de breuk niet verandert. 2. De correcte behandeling van het minteken bij aftrekken van twee breuken.

37

3. Het correct overbrengen van het minteken, geplaatst voor de breuk, op een veelterm in de teller.

Het eerste inzicht speelt een rol in opgave acht. Vijf van de zes leerlingen beantwoorden die opgave correct. Misha onderzoekt met getallenvoorbeelden en concludeert: Misha: Het maakt niet uit waar in de deelsom of in het product de min staat. Het komt op hetzelfde uit. Nursen heeft enige aansporing nodig maar komt dan tot dezelfde conclusie. Rob licht toe: Rob: min a gedeeld door b is hetzelfde als a gedeeld door min b…En min één gedeeld door één is hetzelfde als één gedeeld door min één. Hij ziet dus in dat plaatsing van het minteken in teller of noemer niet uitmaakt, maar beziet tegelijk in deze, wat complexere opgave teller en noemer niet als twee factoren. Storm trekt de juiste conclusie maar zijn verantwoording is niet correct. Hij zegt dat als je het linkerlid in de vergelijking bij opgave acht met min één vermenigvuldigt je het rechterlid krijgt. Hij ziet niet in dat hij teller én noemer met min één vermenigvuldigt. Suzanne beschouwt teller en noemer afzonderlijk en komt tot de verkeerde conclusie. Eerder, in opgave twee, plaatst ze het minteken dat aanvankelijk in de teller staat spontaan voor de breuk in het eindantwoord. Thomas gebruikt een getallenvoorbeeld en een decimale benadering. Hij legt uit: Thomas: Toen dacht ik nou ja, breuken zijn eigenlijk deelsommen, anders opgeschreven, dus min vijf gedeeld door tien dat wordt min nul komma vijf. Maar vijf gedeeld door min tien is ook min nul komma vijf. Dus het is wel…dit is wel gelijk aan dit, dus de som is goed. Int: Ja. En eigenlijk geeft die decimale benadering je dan die zekerheid van ja, het is echt hetzelfde. Thomas: Het is echt hetzelfde. En even later: Thomas: Ik heb veel meer zekerheid bij decimale getallen dan bij breuken, omdat je bij decimale getallen iets altijd ten opzichte van één ziet, of ten opzichte eigenlijk van tien als je die komma weglaat. Ik kan op grond van deze studie niet stellig concluderen dat alle zes leerlingen op een basaal niveau begrijpen dat plaatsing van het minteken in teller of noemer de waarde van de breuk niet verandert. Duidelijk is dat de vertaling van dit inzicht naar complexere algebraïsche breuken problematisch is voor sommige van de leerlingen. Bij aftrekken van twee breuken wordt het minteken in de teller verwerkt. Deze procedure komt aan bod in de opgaven tien en zestien, en in zekere zin ook in opgave veertien. Zij wordt ook toegepast in twee rekenkundige opgaven. De procedure wordt, als we de kwestie van meertermige tellers voor een ogenblik negeren (dit komt meteen hieronder aan bod) in alle gevallen correct uitgevoerd. De enige kanttekening is dat Misha bij opgave zestien verward raakt door het minteken. Uiteindelijk komt hij tot de juiste oplossing. De leerlingen behandelen het minteken bij aftrekken van breuken dus correct. Deze behandeling is het eigenlijk onderscheidende tussen optellen van breuken en aftrekken van breuken. Het correct overbrengen van het minteken, geplaatst voor de breuk, op een veelterm in de teller gaat in ruim 70 % van de gevallen goed. Zie de tabel hieronder.

38

Tabel 7

Overbrengen minteken bij meertermige teller Misha Thomas Suzanne Opgave 14 goed twijfelachtig fout Opgave 16 goed fout goed Opgave 17 goed goed goed

Nursen n.v.t. fout fout

Storm goed goed goed

Rob n.v.t. goed goed

Op basis van dit onderzoek kan niet worden geconcludeerd dat deze fout opvallend vaker wordt gemaakt bij breuken dan bij het ‘gewone’ wegwerken van haakjes.

6.4.6

De inverse bewerkingen aftrekken en delen worden verwisseld.

Bij vereenvoudigingen bij breuken met meertermige teller en/of noemer kunnen we twee typen fouten onderscheiden. Ofwel behandelen de leerlingen teller en noemer niet als twee factoren die op elkaar gedeeld worden, maar worden de termen in teller en noemer afzonderlijk tegen elkaar weggestreept (de meest voorkomende fout) ofwel worden ze niet op elkaar gedeeld, maar van elkaar afgetrokken. Die laatste fout is intrigerend en theoretisch interessant. Bij Suzanne zien we:

6a 2 − 2b 4a 2 − 2b 3a 2 − 2b = = = 3a 2 − b 2 2 2 2a − b + a −b + a −b Het intrigerende is dat hier twee inverse bewerkingen worden verwisseld, namelijk de deling en de aftrekking. We zien deze werkwijze ook bij Rob en bij Misha, steeds in opgave vijftien. Bij Rob vinden we:

6a 2 − 2b 6a 2 − 2b 6a 2 − 2b = = = 3a 2 − b 2 2 2 2 2 2a − (b − a ) 2a − b + a 3a − b Ook Misha vereenvoudigt het derde lid in de vergelijkingen hierboven aanvankelijk tot 3a^2 – b. Maar bij de uitleg verandert hij het minteken in een plusteken. In de discussie komen we terug op dit type fout.

39

7

Discussie

In dit onderzoek wilde ik achterhalen welke belemmeringen leerlingen ondervinden op het gebied van conceptueel begrip en procedurele vaardigheden bij het verwerven van competentie in de algebraïsche manipulatie van breuken. Het is de hoofdvraag van dit onderzoek. Op basis van een gegevensanalyse per leerling zijn individuele profielen opgesteld die laten zien welke procedures en welke concepten elke leerling beheerst en welke moeilijk zijn voor de leerling (deelvragen 1.1 en 1.3). Hier is vervolgens ook op groepsniveau naar gekeken. In dit onderzoek komt naar voren dat de vaardigheden optellen en aftrekken van gelijknamige en – met name – van ongelijknamige breuken (p1 t/m p4) op zichzelf staande vaardigheden lijken te zijn (deelvraag 1.2) die vier van de zes leerlingen vloeiend beheersen. De procedure vermenigvuldigen van breuken ( p5 en p6) hebben de leerlingen minder goed onder de knie. Dit is opvallend omdat de procedure eenvoudiger is. Vier leerlingen van de zes hebben de procedure niet paraat, twee leerlingen weten de procedure überhaupt niet te achterhalen. Hieronder ga ik daar verder op in (deelvraag 1.2). Voorts laat het onderzoek zien dat alleen het concept van de breuk als relatieve vergelijking door alle leerlingen wordt beheerst. De concepten equivalentie (c4) en delen als inverse van vermenigvuldigen (c3) worden door geen van de leerlingen goed beheerst. Het laatste concept is verwarrend voor de leerlingen. Met name dat laatste wil ik hieronder nader interpreteren. 7.1

Vermenigvuldigen van breuken en conceptueel begrip

Terwijl althans op rekenkundig niveau de procedure voor het optellen (en aftrekken) van ongelijknamige breuken lijkt te zijn geautomatiseerd, is dit voor het vermenigvuldigen van breuken niet het geval. (Deze bevinding rechtvaardigt nog eens de extra aandacht die in de modernste wiskundemethodes wordt gegeven aan oefeningen in het rekenen in het algemeen, en in rekenen met breuken meer in het bijzonder). Bovendien lijkt een substantiële minderheid van de vierde klas vwo-leerlingen niet te begrijpen wat er bij het vermenigvuldigen van breuken gebeurt. Twee leerlingen weten immers de procedure niet te achterhalen. Twee leerlingen hebben moeite met schattend rekenen bij vermenigvuldiging van breuken. Doorvragen bij de interviews zou misschien meer licht hebben geworpen op de aard van het probleem bij de leerlingen. Dat is helaas niet gebeurd. De vraag is nu: wat betekent het in termen van conceptueel begrip dat twee van de zes leerlingen (Nursen en Thomas) de procedure voor het vermenigvuldigen van breuken niet kunnen achterhalen? En wat betekent het dat één van die twee leerlingen en een derde leerling (Nursen en Suzanne) niet met schattend rekenen kunnen achterhalen wat de vermenigvuldiging in opgave drie ongeveer oplevert? (deelvraag 1.5). Ik wil op deze plek voor beide vragen een veronderstelling doen. Andere veronderstellingen zijn uiteraard ook mogelijk. Bij het schattend rekenen lijkt het doorslaggevend om de getallen waarom het gaat voor te stellen als liggend op de getallenlijn. Vervolgens kun je de uitkomst benaderen door het ene getal iets groter, het andere iets kleiner te maken zó dat je gemakkelijk uit het hoofd kunt rekenen. In geval van opgave drie is een mogelijke schatting: 1 2�3 × 2 3�5 ≈ 1 1�2 × 3 = 4 1�2

Het onvermogen om tot een dergelijke schatting te komen hangt in dit geval samen met een lacune in het concept van gehele getallen naar rationale getallen(c2). Om de procedure voor het vermenigvuldigen van breuken te achterhalen kan het behulpzaam zijn de vermenigvuldiging met een breuk op te vatten als een samengestelde procedure: eerst delen door het getal dat in de noemer van de breuk staat, dan vermenigvuldigen met het getal dat in de teller staat (Skemp, 1971). Zo opgevat hangt het onvermogen om de procedure te achterhalen samen met een lacune in het concept delen als inverse van vermenigvuldigen (c3).

40

Het is niet zo dat de gegevensanalyse een patroon laat zien dat deze veronderstellingen bekrachtigt. Noch is het tegendeel het geval. Dat heeft twee redenen: ten eerste scoren alle zes leerlingen op c3 niet goed. Ten tweede is op het aspect van c2 dat bij schattend rekenen een rol speelt hier niet geoperationaliseerd, juist omdat het om rekenen gaat. Samenvattend merk ik op dat aanvullend onderzoek nodig is om meer licht te werpen op de samenhang tussen de procedurele vaardigheid vermenigvuldigen van breuken en conceptueel begrip van breuken. 7.2

De concepten equivalentie en delen als inverse van vermenigvuldigen

Er is eerder al iets gezegd (paragraaf 7.1.2) over de nauwe verwantschap van deze concepten. Daarom is het niet verwonderlijk dat voor beide concepten de resultaten in deze studie vergelijkbaar zijn (deelvraag 1.4). Met name het verwarrende karakter van het concept delen als inverse van vermenigvuldigen (c3) wil ik hier verder bespreken. Het onderzoek van Bruin-Muurling (2010) laat zien dat leerlingen in de derde klas van havo en vwo opgaven waarbij gedeeld wordt door een breuk bijzonder moeilijk vinden. De worsteling van de leerlingen in dit onderzoek met opgave dertien bevestigt dat nog eens. Op grond van de resultaten bij dergelijke opgaven concludeert Bruin-Muurling (2010, p. 54) dat de leerlingen niet vertrouwd zijn met het concept van delen als inverse van vermenigvuldigen en dat zij breuken niet flexibel kunnen manipuleren. Dit onderzoek weerspreekt deze conclusie niet maar stelt ons in staat te nuanceren. Het laat zien dat op het niveau van de individuele leerling de schriftelijke uitwerking van de opgave alleen geen afdoende inzicht geeft in het begrip van de leerling op conceptueel niveau. Suzanne bijvoorbeeld past in het rekenkundig deel de regel ‘vermenigvuldigen met een getal is hetzelfde als delen door het omgekeerde getal’ correct toe en doet dit in het algebraïsch deel op sommige plaatsten. Op andere plekken doet zij dit weer niet. Uit haar toelichting komt naar voren dat ze het concept c3 niet beheerst maar in geïsoleerde gevallen de rekenregel weet toe te passen. Nursen laat in opgave dertien een onberispelijke schriftelijke uitwerking zien. Bij de toelichting echter blijkt hoe wankel haar begrip is. Thomas geeft in opgave dertien bij de toelichting blijk van gedeeltelijke beheersing van de concepten c1 en c3, maar kan de vertaalslag naar abstracte algebraïsche manipulatie niet maken. Kortom, het onderzoek biedt veel voorbeelden waaruit blijkt dat de studie van uitwerkingen én van de toelichting van de leerling nodig is om tot een goed beeld te komen van vaardigheden en van lacunes daarin bij de individuele leerling, op zowel procedureel als conceptueel niveau.

7.3

Verwisseling van inverse bewerkingen bij van Stiphout

Uit dit onderzoek komt naar voren dat leerlingen bij de manipulatie van breuken soms de bewerkingen delen en aftrekken verwarren (paragraaf 7.4.6). Bij van Stiphout (p. 35) vinden we de volgende voorbeelduitwerking:

41

In een commentaar oppert van Stiphout dat het onvermogen om de algebraïsche structuur van de uitdrukking te zien de fout kan verklaren, of een diepgeworteld wanbegrip van breuken, of de gewoonte om van een uitdrukking een nulvergelijking te maken. Het huidige onderzoek suggereert als aanvullende en gerichte hypothese: de leerling verwisselt aftrekken en delen bij het vereenvoudigen van teller en noemer. Het toepassen van een bepaalde procedure in een verkeerde algebraïsche context gebeurt algemeen. In dit onderzoek zien we bijvoorbeeld, naast de zojuist besproken verwisseling van delen en aftrekken, het gelijknamig maken van breuken bij vermenigvuldigen (wat de procedure compliceert maar niet per se tot fouten leidt) in opgave negentien bij Suzanne, of het optellen van tellers en noemers bij vermenigvuldiging van breuken (Nursen bij opgave drie). Mack (1995, p.432) beschrijft overgeneralisatie, bijvoorbeeld in de foutieve uitwerking 1� + 1� = 2� 8 8 16

als algemeen voorkomend verschijnsel in de fase van aanleren van nieuwe procedures en concepten.

7.4

Generaliseerbaarheid

De zes leerlingen die betrokken waren bij dit onderzoek presteerden voldoende tot ruim voldoende bij wiskunde A in leerjaar vier. Op grond hiervan lijkt het redelijk om te veronderstellen dat zij als representatief te beschouwen zijn voor leerlingen in het vierde jaar van een opleiding vwo, die wiskunde A hebben gekozen. Hun aantal is klein. Dit legt beperkingen op aan elke generalisering die we zouden willen doen.

7.5

Validiteit en betrouwbaarheid

Het moge duidelijk zijn dat niet het meten van procedurele vaardigheden, maar juist het meten van conceptueel begrip van breuken bij leerlingen het meest problematisch is. In dit onderzoek is gebruik gemaakt van vier van vijf big ideas (c1 t/m c4 in dit onderzoek) van Bruin-Muurling (2010). Bij de operationalisering is steeds gekeken naar voorbeeldopgaven die Bruin-Muurling (2010) ook zelf gebruikt. In paragraaf 7.1.2 is dit uitgebreid verantwoord. Zo heb ik getracht de validiteit van met name de conceptuele vaardigheden te borgen. Voorts heeft bij het invullen van de matrix (zie bijlage 1) intercollegiale toetsing plaatsgevonden. In de tabellen gegevensanalyse valt op dat bijvoorbeeld conclusies over het concept equivalentie een bredere basis hebben dan conclusies over de andere conceptuele begrippen. Een dergelijke

42

onevenwichtigheid zien we ook bij de procedurele vaardigheden. Dit is deels een gevolg van de brede opzet van de studie: om alle vaardigheden ruim aan bod te laten komen zouden veel meer opgaven nodig zijn. Het is ook een gevolg van de verschillende manieren waarop de leerlingen de opgaven uitwerken. En het hangt samen met het feit dat, bijvoorbeeld, opgaven met een geheel getal notatie en breuknotatie veel zijn opgenomen in het meetinstrument omdat dit type opgaven iets zegt over c2, c3 en c4, terwijl in dit onderzoek het omgaan met zulke opgaven ook als aparte vaardigheid is benoemd. Tot op zekere hoogte is de genoemde onevenwichtigheid dus moeilijk te vermijden. Er moet echter worden opgemerkt dat met name conclusies over c1 een smalle basis hebben, namelijk alleen de verrichtingen bij opgave zeven. De reden is dat de voorbeeldopgaven bij BruinMuurling (2010) veelal contextopgaven zijn. Voor dit onderzoek is besloten zulke opgaven niet te gebruiken. Ze liggen te ver af van het aandachtsgebied van dit onderzoek, namelijk de algebra. En zo werd maar één geschikte opgave gevonden die op conceptueel niveau begrip van de breuk als relatieve vergelijking leek te kunnen meten. Het gevonden resultaat (alle leerlingen beheersen het concept van de breuk als relatieve vergelijking) moet dus met enige terughoudendheid worden bezien. Ik meen dat het feit dat sommige procedurele vaardigheden slechts in één opgave aan bod komen minder problematisch is. Immers, de volgende opmerking, waarin Slavit (1993, p.266) Schoenfeld et al. (1993, p. 88) citeert geldt veel minder voor procedurele vaardigheden, als wel voor diepgaand begrip op conceptueel niveau (object perspective): Saying when a student actually 'has' the object perspective is not a simple matter. It is not a yes/no kind of knowledge, but one of degrees, and the process of learning is not of simple monotonic growth, but one that includes a fair amount of oscillation (p. 88). Het in dit onderzoek gemaakte onderscheid tussen vermenigvuldiging van gelijknamige en van ongelijknamige breuken (p5 en p6) hindert het onderzoek weliswaar niet, maar lijkt evenmin erg relevant. Vermenigvuldigen van breuken vonden de leerlingen moeilijker dan bij aanvang van de studie werd voorzien. Opname in het meetinstrument van een aanvullende opgave hierover zou wenselijk zijn geweest.

7.6

Heuristiek en conceptueel begrip

In dit onderzoek zijn de leerlingen in staat gesteld om aan de hand van rekenkundige opgaven, voorafgaand aan algebraïsche opgaven, de procedure voor het vermenigvuldigen van breuken opnieuw te vinden. Boven is al opgemerkt dat het een open vraag blijft hoe de algebraïsche vermenigvuldiging van breuken zou zijn verlopen als dit niet het geval was geweest. Twee leerlingen waren overigens niet in staat om de procedure te hervinden, zoals hierboven al is besproken. Natuurlijk zegt het al dan niet kunnen hervinden van een procedure iets over het begrip op conceptueel niveau van de leerling (Kilpatrick, 2001, blz. 5). Dit onderzoek biedt veel voorbeelden van zulke heuristische inspanningen. Tegelijk is ervoor gekozen om conceptueel begrip te operationaliseren in termen van het al dan niet succesvol toepassen van op zichzelf bekende procedures in opgaven die niet standaard zijn voor de leerling. De toelichtingen van de leerlingen spelen een belangrijke rol in dit onderzoek, maar er is niet gericht gekeken naar die heuristische inspanningen. Ik merk op dat het type onderzoek dat hier is gedaan zich leent om vanuit de invalshoek van heuristiek te kijken naar begrip van breuken op conceptueel niveau.

43

8

Conclusies en aanbevelingen

Aanleiding voor dit onderzoek zijn tegenvallende prestaties van leerlingen in de bovenbouw van het vwo bij het bedrijven van algebra met breuken, zoals blijkt uit de eigen ervaring als bovenbouwdocent vwo en wordt bevestigd in de literatuur (Nationale Kennisbank Basisvaardigheden Wiskunde, 2010). Ik wilde nader onderzoeken waarom leerlingen breuken zo moeilijk vinden. En ik wilde een stap zetten richting een didactiek voor het leren werken met breuken op het niveau van de individuele leerling, in aanvulling op survey-onderzoek van met name Bruin-Muurling (2010) en van Stiphout (2011). Zo’n didactiek voorziet bij de sectie wiskunde van mijn school in een behoefte: breuken vormen een probleem voor de leerlingen, waardoor in de bovenbouw ook onder meer het leren differentiëren en het oplossen van gebroken vergelijkingen wordt bemoeilijkt. In dit kwalitatieve onderzoek zijn zes taakgebaseerde interviews afgenomen bij leerlingen in de vierde klas van het vwo. De leerlingen werkten aan rekenkundige en algebraïsche opgaven met breuken. De sessies werden op video opgenomen en getranscribeerd. Hun werk werd vervolgens geanalyseerd in termen van procedurele vaardigheden en conceptueel begrip. Het theoretisch kader hiervoor werd ontleend aan onder meer Kilpatrick (2001) en Bruin-Muurling (2010). De belangrijkste bevindingen zijn dat optellen en aftrekken van met name ongelijknamige breuken een op zichzelf staande procedurele vaardigheid lijkt te zijn die bij de leerlingen ook op algebraïsch niveau goed geautomatiseerd is. Opvallend genoeg vinden de leerlingen het vermenigvuldigen van breuken – een eenvoudiger procedure – moeilijker. Sommige leerlingen lijken überhaupt niet goed te begrijpen wat er bij de vermenigvuldiging van breuken gebeurt. Nader onderzoek naar vermenigvuldigen van breuken in samenhang met conceptueel begrip bij leerlingen lijkt geboden (aanbeveling 1). Geen van de leerlingen beheerst het concept van equivalentie met betrekking tot breuken volledig. Het concept delen als inverse van vermenigvuldigen lijken zij verwarrend te vinden. De concepten zijn nauw verweven en spelen een rol in uiteenlopende opgaven met breuken. Het niet of onvolledig beheersen van deze conceptuele begrippen vormt bij het werken met breuken een flinke belemmering. Leerlingen kunnen hierdoor niet flexibel met breuken werken en hebben moeite met de procedurele vaardigheid vereenvoudigen van breuken. Een opvallende fout bij een aantal leerlingen is de verwisseling van de bewerkingen delen en aftrekken. Dit is in overeenstemming met resultaten bij van Stiphout ( 2011, p. 35). Het is mogelijk geen toeval dat het twee inverse bewerkingen zijn die hier verwisseld worden. Dit zou nader onderzoek verdienen (aanbeveling 2). De onderliggende kwestie is: als dit het geval blijkt, wat betekent dat dan voor de cognitieve schema’s van leerlingen en meer in het bijzonder voor hun begrip van inversiteit? Een praktische opbrengst van dit onderzoek is de ontwikkeling van een methode die de docent in staat stelt om voor de individuele leerling te achterhalen welke onderscheiden procedurele vaardigheden de leerling al dan niet beheerst en welke conceptuele begrippen moeilijk zijn voor de leerling. De resulterende profielschets kan dienen als uitgangspunt voor een verdere didactische aanpak (aanbeveling 3). Echter, de profielschetsen zijn het resultaat van een complexe en tijdrovende analyse op basis niet alleen van de schriftelijke uitwerkingen van de opgave, maar ook van de mondelinge toelichting van de leerling. In de praktijk van het lesgeven is de hier gemaakte analyse daarom niet onmiddellijk realiseerbaar. Dat neemt niet weg dat de in dit onderzoek onderscheiden procedurele vaardigheden en de conceptuele begrippen met betrekking tot breuken wellicht een goede basis kunnen vormen voor een didactiek van breuken in een leerlijn die passend is voor het vwo en die, voortbouwend op rekenen met breuken, de leerling begeleidt bij het leren bedrijven van algebra met breuken. Dit onderzoek laat enerzijds zien dat sommige basisvaardigheden, met name vermenigvuldigen van breuken, onvoldoende zijn geautomatiseerd. Wij moeten daarom als sectie in de lespraktijk voorzien in meer gelegenheid voor de leerlingen om deze basisvaardigheid te oefenen (aanbeveling 4). Tegelijk komt

44

naar voren dat het stimuleren en bijbrengen van conceptueel begrip van breuken bij de leerling en dus het praten over het waarom van procedures van doorslaggevend belang is (aanbeveling 5). Deze constatering is in lijn met aanbevelingen van Bruin-Muurling (2010, p.112) en kan onmiddellijk worden vertaald naar de praktijk van het lesgeven.

45

9

Docent en onderzoek. Een kort persoonlijk slotwoord

Waarom vinden leerlingen breuken zo moeilijk? Dat is, in een notendop, de vraag waar het in dit onderzoek om draait. En de eigen nieuwsgierigheid naar de kwestie is, los van wat een opleiding van mij wil en van mijn ambitie om die opleiding af te ronden, toch de belangrijkste drijfveer geweest achter mijn tweevoudige poging om er iets verder in door te dringen. Tweevoudig, want ook mijn onderzoek voor de tweedegraads opleiding ging over breuken. Toen richtte ik mij op de vraag hoe leerbaar de procedures zijn bij het rekenen met breuken. Ik ontdekte dat ze prima leerbaar zijn…en snel weer worden vergeten. Ditmaal draaide het veel meer om de samenhang tussen kunnen en snappen. Immers, procedures zouden beter worden onthouden door de leerling als hij of zij begrijpt waarom ze werken. Twee aspecten van het wiskundig bedrijf, kunnen en snappen, die in de literatuur over de didactiek en de psychologie van de wiskunde flink zijn toegelicht, uitgediept, omgespit, en in de loop van een lange traditie tegenover elkaar zijn geplaatst en weer verstrengeld zijn geraakt. De huidige tendens is om die onderliggende verwevenheid te benadrukken, een tendens waar ik mij prima in kan vinden. De eisen en conventies waaraan een onderzoek als dit, met name in de verslaglegging, moet voldoen zijn menigvuldig en hebben mij soms tot wanhoop gedreven. Veel van die eisen zijn ballast voor wie maar één keer in zijn leven zo’n onderzoek doet: APA-richtlijnen, de conventies van een wetenschappelijke retoriek. Maar er is een kern die ik koester: wees precies. Zorg dat je wat je zegt ook waar kunt maken door naar je gegevens te verwijzen. En: stel al je bevindingen in termen van een theoretisch raamwerk dat je eerder hebt beschreven. …En heeft mij dat als docent wiskunde iets opgeleverd? Ja. Ik noem een paar punten. Ik ben er meer nog dan voorheen van doordrongen dat je het werk van een leerling heel goed moet bestuderen, en de leerling uitgebreid moet bevragen wil je als docent inzicht krijgen in wat de leerling wel en niet snapt, weet, en kan. Het onderzoek laat ook zien dat je in de lespraktijk niet de prioriteit bij oefening van procedures, dan wel bij het stimuleren van begrip moet leggen: beide zijn nodig. Nog krachtiger dan voorheen zal ik de bij leerlingen populaire notie bestrijden dat, als je een wiskundig onderdeel eenmaal snapt, je er geen aandacht meer aan hoeft te besteden. Begrip is vluchtiger dan leerlingen veelal denken. Het niet beheersen van basisvaardigheden is voor de leerling ontmoedigend, en voor zijn werk desastreus. De leerling heeft in het curriculum overigens genoeg gelegenheid om het rekenen met breuken te oefenen. Maar hij doet dit niet: hij pakt de rekenmachine. Tot wat voor merkwaardige staaltjes dit leidt is te zien in de transcripties horend bij dit onderzoek. Het maken van die transcripties was veel tijdrovender dan ik had voorzien. Maar het minutieus inzoemen op de verrichtingen van de leerlingen en hun uitleg daarbij – de eigenlijke kern van dit onderzoek – vond ik erg leuk om te doen. Verder kan ik bevestigen wat in de literatuur wordt gezegd over onderzoek naar conceptueel begrip bij leerlingen, namelijk dat het bijzonder lastig is (Slavit, 1993, p.266). Persoonlijk intrigerend vind ik de observatie, gedaan in dit onderzoek en in de praktijk van mijn werk, dat leerlingen bij de verwisseling van procedures of bewerkingen nooit, of zelden, een inverse en een niet inverse bewerking betrekken. De bewerkingen zijn beide of het één, of het ander. Het is wellicht een geschikt onderzoeksonderwerp op basis waarvan meer te zeggen valt over de rol van wiskundige intuïtie bij het begrijpen en bedrijven van wiskunde. Ik dank mijn begeleiders Pauline Vos en vooral Sonia Abrantes Garcez Palha, die het stokje overnam van Pauline, voor hun onvermoeibare pogingen om dit werkstuk naar het gewenste niveau te tillen. Ik dank Wim van de Hulst voor zijn inhoudelijk meedenken en het aandragen van wetenschappelijke artikelen.

46

Waarom vinden leerlingen breuken zo moeilijk? Mijn nieuwsgierigheid naar deze vraag is niet gestild bij dit onderzoek, maar verder verdiept. Een mooi resultaat.

47

Literatuur Bruin-Muurling, G, (2010). The development of proficiency in the fraction domain. Proefschrift. Eindhoven: Technische Universiteit Eindhoven. Craats, J. van de (2007). Waarom Daan en Sanne niet kunnen rekenen. Nieuw Archief voor Wiskunde, 5/8 nr. 2, 132-136. Goldin, G.A. (2000). A Scientific Perspective on Structured, Task-based Interviews in Mathematics Education Research. In A.E. Kelly & R.A. Lesh (Eds), Handbook of Resesearch Design in Mathematics en Science Education (pp 517-545). Mahwah, NJ: Lawrence Erlbaum Associates, Publishers. Kilpatrick, J., Swafford, J. & Findell, B. (2001). Adding It Up: Helping Children Learn Mathematics. Washington, DC: National Academy Press. Koninklijke Nederlandse Academie van Wetenschappen (2009). Rekenonderwijs op de basisschool. Rapport. Amsterdam: Koninklijke Nederlandse Academie van Wetenschappen.

Mack, N.K. (1995). Confounding Whole-Number and Fraction Concepts When Building on Informal Knowledge, Journal for Research in Mathematics Education, Vol. 26, No. 5, pp. 422-441 Nationale Kennisbank Basisvaardigheden Wiskunde (2010). Aansluitmonitor VO – HO. Amsterdam: Universiteit van Amsterdam Polychroniadis, P., Pradeep, R. & Stragalinou, A. (2011). Aspects Of Understanding Fractions In rd

Secondary School Level. In B. Ubuz (ed.), Proceedings of the 35 International Conference on Psychology in Mathematics Education (PME35), Volume 1 (p. 395). Ankara, Turkey: Middle East University. Rittle-Johnson, B., Siegler, R.S., & Wagner Alibali, M. (2001). Developing conceptual understanding and procedural skill in mathematics: an iterative process. Journal of Educational Psychology, 93/2, 346-362. Sfard, A. (1991). On the dual nature of mathematical conceptions: reflections on processes and objects as different sides of the same coin. Educational studies in Mathematics, 22, 1-36. Skemp, R.R. (1971). The psychology of learning mathematics. London: Penguin Books. Slavit, D. (1997). An Alternate Route to the Reification of Function. Educational Studies in Mathematics, Volume 33, No. 3 (pp. 259 – 281). Springer.

48

Stiphout, I. van (2011). the Development of Algebraic Proficiency. Proefschrift. Eindhoven: Technische Universiteit Eindhoven. Wagenaar, R. (2010). Ik reken mij een breuk. Bachelor thesis. Amsterdam: Hogeschool van Amsterdam. http://www.hbokennisbank.nl/nl/page/hbosearch.results/?query=ik+reken+mij+een+breuk

49

Bijlage 1: De opgaven

1.

Bereken:

2 3 + 7 5

2.

Bereken:

4 2 − 12 3

3.

Bereken:

2 3 1 ×2 3 5

4.

Bereken:

4

5.

Bereken:

13 ⋅

6.

Bereken (geef een exact antwoord):

1 :7 3

7.

Vul in

8.

Goed of fout? Waarom?

− a −1 a +1 = b +1 − b −1

9.


3 4 + x y

10.


a 2 − ab b

11.

Los op:

3+ x x = 2 4

12.


1 +x x

13.

Los op:

4 : 3t = 1

14.


−

<

of

>

:

1 2

50

1 5 −3 4 6 7 13

40 + 13 + 14

p+2 +1 p

1 3

40 + 14 +

1 5

15.

16.

6a 2 − 2b 2a 2 − (b − a 2 )

Herleid:

x2 5 − x2 − 7 7


a −1 b

Herleid:

− 3⋅

18.

Herleid:

x⋅

19.

Herleid:

a 2 ÷ 6 ⋅ b ⋅ a3 ÷ b

Schrijf de uitdrukking hiernaast in de vorm a =…. Schrijf de uitdrukking hiernaast in de vorm b =…. Schrijf de uitdrukking hiernaast in de vorm c =…. Schrijf de uitdrukking hiernaast in de vorm 1 =….

−a =

17.

20.

51

y x

b c

Bijlage 2: de opgavenmatrix

Rekenen

1

2

3

4

5

6

1

1

1

1

1

1

Algebra Optellen van gelijknamige breuken Optellen van ongelijknamige breuken Aftrekken van gelijknamige breuken Aftrekken van ongelijknamige breuken Vermenigvuldigen van gelijknamige breuken Vermenigvuldigen van ongelijknamige breuken Vereenvoudigen van breuken Gebroken getal Oneigenlijke breuk Opgave met geheel getalnotatie en breuknotatie Kruisproduct Links en rechts delen (balansmethode)

1 1 1 1

1

1 1 1

1 1 1

Relatieve vergelijking Van ℤ naar ℚ Inzicht in delen als inverse van vermenigvuldigen Equivalentie Vertrouwde opgave/ veel mee geoefend Bron

7

1

1

1

1

1

1

1

1

1

naar BM

rw

BM

BM

naar BM

rw

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1 1

1 1 1

1

1

1 1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1 1 1 1

NKBW

rw

1 1

1

rw

rw

1

1

1 1

1 1

1

1 1

7 13 3 3 4 1 0 4 5 2 1 8 0 1

1

1

Totalen

1

1 3 6 8 7

rw

Poly

Poly

rw

52

naar vS

Poly

rw

rw

rw

rw

Bijlage 3: Taak gebaseerd onderzoeksinterview, protocol en verantwoording Goldin (2000) stelt 10 criteria op waaraan volgens hem het taakgericht onderzoeksinterview moet voldoen. Ik bespreek de opzet van het interview en de keuze van de opdrachten aan de hand van deze criteria. Ik formuleer de criteria hier als aanbevelingen.

1. Ontwerp taakgebaseerde interviews met het doel om van tevoren geformuleerde onderzoeksvragen te beantwoorden. Deze onderzoeksvragen zijn mede bepalend voor de keuze van taken die de leerlingen worden voorgelegd, voor beslissingen over welke aspecten van gedrag worden geobserveerd, en voor criteria bij het interpreteren van het geobserveerde gedrag. De onderzoeksvragen werden inderdaad van tevoren geformuleerd. Gebruik van een matrix (zie bijlage) maakte bij het kiezen van de opdrachten (taken) zichtbaar of alle procedurele vaardigheden en alle aspecten van conceptueel begrip, zoals benoemd in het onderzoeksplan, aan de orde komen. Reïficatie bleek van meet af aan een lastig te operationaliseren concept. Na een proefinterview is besloten af te zien van opname in het onderzoek van deze big idea. De theorie geeft aan dat het belangrijk is dat, teneinde iets te kunnen zeggen over conceptueel begrip bij leerlingen, opdrachten worden aangeboden die relatief onbekend zijn. We vinden ook dit aspect terug in de matrix. Omdat dit onderzoek gaat over algebraïsche vaardigheden is besloten om met de videocamera in te zoomen op het antwoordenblad van de leerling. Zo wordt vastgelegd hoelang de leerling over een opgave doet en hoeveel tijd een opdracht vergt. Bovendien bleek tijdens de proefsessie dat de leerling bij het geven van toelichtingen vaak naar de notities op het werkblad wijst. Dat is waardevolle extra informatie die nu wordt vastgelegd. Ook wordt zichtbaar op welk moment de leerling een afwijkende oplossingsstrategie probeert, bijvoorbeeld een getallenvoorbeeld om een algebraïsch probleem op te lossen waarin hij dreigt vast te lopen. Opvallende gebeurtenissen die aan de geluidsregistratie of aan de videoregistratie ontsnappen maar die relevant lijken voor het onderzoek zal ik aantekenen (met tijdstip) tijdens de sessie. Bij het interpreteren van het waargenomen gedrag moeten incidentele fouten van systematische fouten worden onderscheiden. Alleen bij die laatste kunnen we het gedrag interpreteren in termen van belemmeringen in procedurele vaardigheden. Patronen in deze belemmeringen kunnen vervolgens worden geïnterpreteerd in termen van de big ideas. Voor interpretaties met betrekking tot conceptueel begrip (big ideas) zijn de minder vertrouwde opgaven van groter belang. 2. Bied opdrachten aan die toegankelijk zijn voor de leerling. Het kan behulpzaam zijn te kiezen voor een oplopende graad van moeilijkheid. Met 9 van de 20 opgaven is veel geoefend door de leerlingen. Zij behoren tot het standaard curriculum en mogen als toegankelijk worden beschouwd. Verder is ervoor gekozen om eerst de rekenopgaven aan te bieden, dan letterrekenopgaven, in de veronderstelling dat rekenopgaven toegankelijker, want minder abstract zijn. Kennis over hoe moeilijk de leerling de opgaven inschat is ongetwijfeld nuttig. De vraag wordt in het begin van het interview opgenomen (zie hieronder). 3. Bied opdrachten aan die op verschillende manieren kunnen worden aangepakt. De opdrachten vergen bij voorkeur enig strategisch denken. In de proefsessie blijkt dat de opdrachten deze mogelijkheid bieden. De opdrachten buiten beschouwing latend die van meet af aan op een verkeerde manier worden aangepakt, tel ik er toch 7 waarbij de leerling een andere aanpak kiest dan ikzelf. Het zijn de opdrachten 2, 3, 4, 6, 10, 13 en 20.

53

Ook opdracht 11 en opdracht 19 kunnen op verschillende manieren worden opgelost. Strategisch denken vereisen de opdrachten 6, 7, 8, 11, 13, 15, 19 en 20. 4. Stel interviewvragen en andere interventies en interrupties van tevoren op, en wel zo nauwkeurig mogelijk. Zorg dat de leerling de kans krijgt zichzelf te corrigeren. Het kan nuttig zijn naderhand een aantal evaluerende vragen te stellen, hetzij na het beëindigen van alle opdrachten, of na het beëindigen van elke opdracht afzonderlijk. Ter introductie van de sessie zal ik me als onderzoeker houden aan de volgende tekst: Je gaat zo meteen 20 opdrachten doen die allemaal over breuken gaan. De videocamera is gericht op je antwoordenblad en neemt ook op wat we zeggen. De sessie zal in elk geval een uur duren en kan eventueel uitlopen. Is dat een probleem? …… Neem nu eerst de vragen allemaal rustig door en zet een kruisje voor elke opgave waarvan je denkt: die kan ik wel oplossen. Noteer een +/- als je denkt: deze opgave lijkt me erg moeilijk. [onderzoeker deelt opgaven en wacht tot de leerling ze heeft doorgenomen en de kruisjes heeft gezet]… Nog een paar opmerkingen: als de bedoeling van een vraag je niet duidelijk is zeg het dan. Ik geef weliswaar geen hints maar het moet wel duidelijk zijn wat er van je gevraagd wordt. Af en toe stel ik jou een vraag. Dat doe ik in elk geval om de 3 of 4 opgaven. Dan kijken we even terug naar je werk. Hoe je de opgaven aanpakt is helemaal jouw zaak. Wees creatief waar nodig. Je mag beginnen. Ik kies ervoor terug te kijken na opgave 3, 6, 8, 10, 13, 15, 18, 20. Ik stel vragen aan de hand van het geschreven werk. De vragen dienen neutraal te zijn en informatie op te leveren over het denkproces van de leerling, daarbij inbegrepen de eigen inschatting of het antwoord correct is. Voorbeeldvragen zijn: • • • • • •

Kun je uitleggen waarom deze stap waar is? Kun je je antwoord controleren? Waarom doe je deze stap? Kun je me deze stap uitleggen? Kun je je tussenstappen één voor één uitleggen? Hoe kwam je op het idee de opgave zo aan te pakken?

Het kan gebeuren dat de leerling bij dit terugvragen een rekenfout ziet of een fout in de aanpak ontdekt. Als de leerling voorstelt de fout te corrigeren of de opgave opnieuw te doen zal ik dit toestaan. De oorspronkelijke aanpak wordt uiteraard niet doorgestreept. De leerling zal af en toe vastlopen. Als de leerling gedurende ongeveer een minuut niet verder komt met een opdracht interrumpeer ik. Dat kan bijvoorbeeld met de volgende opmerkingen en vragen: • •

Het lijkt alsof je niet weet hoe je verder moet. Klopt dat? Kun je uitleggen wat je moeilijk vindt aan deze opgave?

5. Moedig een vrije probleemaanpak aan. Geef geen hints, dat leidt tot informatieverlies. In de proefsessie bleek dat de leerling af en toe iets uitprobeert, bijvoorbeeld een getallenvoorbeeld kiest, en daarna weer doorkrast. Ik kan zeggen: laat maar staan, het is prima dat je dat probeert/onderzoekt. Eerder is tegen de leerling al gezegd: wees creatief waar nodig. Alleen aan het

54

einde van de sessie, als alle opgaven gemaakt zijn, kan ik overwegen hints te geven of de leerling op fouten te wijzen in de hoop dat de reactie van de leerling extra informatie oplevert. 6. Optimaliseer de interactie met de externe leeromgeving. Voor dit onderzoek vormen de rekenen algebraopgaven feitelijk de leeromgeving. Door ze niet afzonderlijk aan te bieden maar juist allemaal tegelijk, en door de leerling te vragen de opgaven eerst door te nemen hoop ik te bereiken, dat de leerling overeenkomsten ziet tussen met name de rekenen algebraopgaven en tot oplossingsstrategieën komt door de aanpak bij een rekenopgave toe te passen op een – overeenkomstig gestructureerde – algebraopgave. De leerling laat zo zien dat zijn begrip van wiskunde gestructureerd is en dat hij in staat is te generaliseren. Dit zijn kenmerken van conceptueel begrip. 7. Besluit wat wordt vastgelegd en doe dit zo uitgebreid mogelijk. Hier is boven al het nodige over gezegd. 8. Oefen de onderzoeker en voer een proefsessie uit van het interview. Deze aanbeveling is opgevolgd. 9. Sta open voor nieuwe of onvoorziene mogelijkheden. Ik merkte al op dat tijdens de proefsessie de leerling soms een aanpak koos die afweek van de eigen (i.e. die van de onderzoeker) manier om een opgave op te lossen. Het is zaak hier alert op te zijn als onderzoeker en de leerling te bevragen over zijn aanpak. De al eerder geformuleerde voorbeeldvragen kunnen hier worden ingezet. 10. Geef toe op de hierboven geformuleerde uitgangspunten waar dit gepast is. Het kan natuurlijk gebeuren dat afwijken van de hier geformuleerde voornemens het onderzoek juist ten goede komt. Bijvoorbeeld wanneer de leerling al in de eerste opgaven ‘blokkeert’. Een hint kan de leerling weer op gang brengen. Natuurlijk dient een dergelijke interventie in de analyse van het interview te worden besproken.

55

Bijlage 2.1 Overzichtsmatrix voor Suzanne

56

Overzichtsmatrix voor Rob

57

Overzichtsmatrix voor Nursen

58

Overzichtsmatrix voor Storm

59

Overzichtsmatrix voor Thomas

60

Overzichtsmatrix voor Misha

61

Breuken: fragmentarische Beheersing en gedeeltelijk Begrip?

Recommend Documents