Breuken in het basisonderwijs: Wat werkt?

Faculteit Psychologie en Pedagogische Wetenschappen

Breuken in het basisonderwijs: Wat werkt? Een meta-analyse van onderzoek in de laatste 20 jaar

Masterproef neergelegd tot het behalen van de graad van master in de Pedagogische Wetenschappen, afstudeerrichting Pedagogiek en Onderwijskunde

Promotor: Prof. Dr. M. Valcke Begeleider: Dhr. H. Van Steenbrugge

Tine Librecht

Academiejaar 2010-2011

2

1 DANKWOORD

Een thesis schrijf je niet alleen, daarom zou ik deze mogelijkheid willen benutten om enkele mensen te bedanken zonder wie de realisatie van deze thesis niet mogelijk was geweest. Graag wil ik in de eerste plaats Dhr. Hendrik Van Steenbrugge hartelijk bedanken voor zijn uitstekende begeleiding de afgelopen maanden. Steeds kon ik terecht met vragen en opmerkingen, wat ervoor zorgde dat ik gemotiveerd bleef tot het einde. Daarnaast wil ook Professor Martin Valcke bedanken om mij tijdens de lessen Wiskundedidactiek te inspireren en vervolgens bereid te zijn mijn promotor te worden, zodat ik een thesis kon uitwerken rond een onderwerp dat mij interesseert. Een speciale dank gaat uit naar mijn ouders voor hun onvoorwaardelijke steun, liefde en vertrouwen, niet alleen met betrekking tot mijn studies maar mijn hele leven lang. Ook dank je wel aan mijn broer, om mijn pauzes op te fleuren en me nooit het belang van humor te laten vergeten. Tot slot wil ik graag mijn mede-pedagogen en vrienden bedanken voor alle fantastische momenten de afgelopen vijf jaren. We did it!

Enorm bedankt iedereen!

Tine Librecht

3

4

Faculteit Psychologie en Pedagogische Wetenschappen

Breuken in het basisonderwijs: Wat werkt? Een meta-analyse van onderzoek in de laatste 20 jaar

Masterproef neergelegd tot het behalen van de graad van master in de Pedagogische Wetenschappen, afstudeerrichting Pedagogiek en Onderwijskunde

Promotor: Prof. Dr. M. Valcke Begeleider: Dhr. H. Van Steenbrugge

Tine Librecht

Academiejaar 2010-2011 5

2 INHOUDSTAFEL

1

DANKWOORD ............................................................................................................... 3

2

INHOUDSTAFEL ........................................................................................................... 6

3

INLEIDING ..................................................................................................................... 9

4

METHODOLOGIE .........................................................................................................11

5

4.1

Procedure ..............................................................................................................11

4.2

Onderverdeling van de studies ...............................................................................13

RESULTATEN ..............................................................................................................16 5.1

Onderzoeksgerichte studies ...................................................................................16

5.1.1

Breuken leren ..................................................................................................16

5.1.1.1

Voorkennis ...............................................................................................16

5.1.1.1.1 Informele voorkennis .............................................................................16 5.1.1.1.2 Formele voorkennis...............................................................................22 5.1.1.2

Breukenkennis .........................................................................................27

5.1.1.3

Leersequenties.........................................................................................33

5.1.1.3.1 Breukenschema‟s .................................................................................33 5.1.1.3.2 Taxonomie ............................................................................................42 5.1.1.3.3 Bevorderende variabelen ......................................................................44 5.1.2

Breukenkennis meten......................................................................................49

5.1.2.1

Leerlingen ................................................................................................49

5.1.2.2

Leerkrachten ............................................................................................56

5.1.3

Breuken onderwijzen .......................................................................................63

5.1.4

Curriculum.......................................................................................................72

5.1.4.1

Alledaags materiaal ..................................................................................72

5.1.4.2

Technologie .............................................................................................72

5.1.4.3

Modellen ..................................................................................................77

5.1.4.4

Geschreven leermateriaal ........................................................................82

6

5.2

6

Praktijkgerichte studies ..........................................................................................93

5.2.1

Breuken leren, breuken onderwijzen ...............................................................93

5.2.2

Curriculum.....................................................................................................101

5.2.2.1

Alledaags materiaal ................................................................................101

5.2.2.2

Technologie ...........................................................................................104

5.2.2.3

Modellen ................................................................................................106

5.2.2.4

Geschreven leermateriaal ......................................................................112

5.3

Studies rond leerlingen met (leer)moeilijkheden ...................................................113

5.4

Overkoepelende studies .......................................................................................122

DISCUSSIE EN CONCLUSIE .....................................................................................130 6.1

Inhoudelijke bevindingen ......................................................................................130

6.1.1

Breuken als probleemgebied .........................................................................130

6.1.2

Concrete aanbevelingen ...............................................................................132

6.2

Leerlingen met (leer)moeilijkheden.......................................................................138

6.3

Effectiviteitstudies ................................................................................................138

6.4

Beperkingen en aanbevelingen voor verder onderzoek ........................................139

7

REFERENTIES ...........................................................................................................141

8

BIJLAGEN ..................................................................................................................150 8.1

Bijlage 1: Studies onderverdeeld volgens de tien opgenomen tijdschriften (n=119) ... .............................................................................................................................151

8.1.1

American Educational Research Journal (n=3) .............................................151

8.1.2

Computers & Education (n=5) .......................................................................151

8.1.3

Educational Studies in Mathematics (n=20)...................................................151

8.1.4

Journal for Research in Mathematics Education (n=23) ................................153

8.1.5

Journal of Mathematical Behavior (n=10) ......................................................154

8.1.6

Learning and Instruction (n=7).......................................................................155

8.1.7

Remedial and Special Education (n=4) .........................................................155

8.1.8

Review of Educational Research (n=0) .........................................................156

8.1.9

Teaching Children Mathematics (n=42) .........................................................156

7

8.1.10

The Elementary School Journal (n=5) ...........................................................158

8.2

Bijlage 2: Boekreferenties en omvattende studies (n=18) .....................................159

8.3

Bijlage 3: Studies die niet in de meta-analyse opgenomen werden (n=21) ...........161

8.4

Bijlage 4: Effectiviteitstudies (n=18) ......................................................................165

8.5

Bijlage 5: Lijst van tabellen ...................................................................................166

8.6

Bijlage 6: Lijst van figuren.....................................................................................167

8

3 INLEIDING

Een basiskennis van wiskunde is noodzakelijk om volwaardig in een samenleving te kunnen participeren (Kilpatrick, Swafford, & Findell, 2001). Wiskunde vormt dan ook een essentieel onderdeel van het curriculum in het lager onderwijs (Keijzer & Terwel, 2003). Binnen het wiskundecurriculum is breuken een heel belangrijk onderwerp. Breuken vormen immers de basis voor meer geavanceerde wiskundegebieden in de verdere schoolcarrière, zoals bijvoorbeeld algebra (Kilpatrick, et al., 2001; Siegler, et al., 2010; Van de Walle, 2010). Onderzoek heeft echter aangetoond dat leerlingen veel problemen ervaren bij het aanleren en begrijpen van breuken (Bulgar, 2003; Charalambous & Pitta-Pantazi, 2007; Cramer, Post, & delMas, 2002; Newton, 2008; Sáenz-Ludlow, 1995; Van de Walle, 2010). Er wordt zelfs gesteld dat het leren van breuken waarschijnlijk één van de grootste obstakels is in de wiskundige ontwikkeling van kinderen (Behr & et al., 1984). Ook in Vlaanderen worden deze moeilijkheden met breuken duidelijk wanneer wordt gekeken naar de peilingresultaten die afgenomen worden in het laatste jaar van het basisonderwijs. De meest recente wiskundepeiling vond plaats in 2009 en toonde aan dat slechts 64% van de leerlingen de eindtermen voor breuken en kommagetallen beheerst. Men concludeerde hierbij dat leerlingen breuken voldoende blijken te beheersen om een deel van een geheel te beschrijven, maar onvoldoende vertrouwd zijn met breuken om er ook bewerkingen mee uit te kunnen voeren (Vlaamse Overheid, 2010). De daaraan voorafgaande wiskundepeiling werd afgenomen in 2002. Leerlingen behaalden toen exact hetzelfde percentage voor breuken en kommagetallen (Ministerie van de Vlaamse Gemeenschap, 2004). Dit gebrek aan verbetering duidt op breuken als een blijvend probleemgebied. Internationaal vinden we dezelfde trend terug, ook in Amerika werd vastgesteld dat een groot deel van de leerlingen een zwak breukenbegrip heeft (Siegler, et al., 2010). Niet alleen leerlingen, maar ook leerkrachten ervaren grote moeilijkheden bij het leren en onderwijzen van breuken (Khoury & Zazkis, 1994; Newton, 2008; Post, Cramer, Behr, Lesh, & Harel, 1993). De inhoudelijke en pedagogische kennis die noodzakelijk is om de concepten en vaardigheden met betrekking tot breuken op een betekenisvolle manier te onderwijzen, is bij veel leerkrachten onvoldoende (Carpenter, Fennema, & Romberg, 1993; Post, et al., 1993). Helaas beperkt dit gebrek aan kennis zich niet tot breuken alleen, maar blijkt wiskunde algemeen een problematisch onderwerp te zijn voor leerkrachten (Verschaffel, Janssens, & Janssen, 2005). 9

Uit bovenstaande uiteenzetting kunnen we afleiden dat breuken geen eenvoudig concept is om te vatten, en dat reeds behoorlijk wat onderzoek werd verricht met betrekking tot dit onderwerp. Een volledig en concreet overzicht van gevonden inzichten ontbreekt echter, veel onderzoek is immers toegespitst op slechts één van de verschillende interpretaties of representaties van breuken waardoor het globale begrip verloren kan gaan. Dit onderzoek tracht hierop een antwoord te geven door, net zoals Slavin & Lake (2008) deden voor benaderingen om wiskundeonderwijs te verbeteren, een overzicht te bieden van informatie, programma‟s en praktijken die het meest waarschijnlijk zijn om een verschil te maken bij de leerlingen. Het is de bedoeling om op basis van dit overzicht een aanzet te geven tot het benaderen van lessen en lessenreeksen rond breuken vanuit een „good practices‟ perspectief.

10

4 METHODOLOGIE

4.1 Procedure Voor de selectie van studies werd gebruik gemaakt van zeven zoektermen en vijf verschillende zoekmachines. Deze zoektermen omvatten: teach* fraction*, learn* fraction*, fraction* educat* math*, fraction* didactic*, problem* fraction* math*, fraction* instruct* en fraction* acquisit*. De gebruikte zoekmachines waren EBSCO, ERIC, JSTOR, PsycInfo en Web of Science. Hierbij werd gezocht op zowel titel als abstract, en dat voor de periode 1990 tot en met 2010. Daarnaast werd, indien mogelijk, als extra optie ingegeven dat de studies een peer review dienden ondergaan te hebben. De zoektocht leverde 1340 referenties op, waarvan na het verwijderen van de dubbels 1189 referenties overbleven. Uit deze 1189 referenties werden enkel de studies geselecteerd die specifiek op breuken focusten, dit leverde 329 studies op. Zo werd de studie “Dietary cholesterol impairs memory and memory increases brain cholesterol and sulfatide levels” van Darwish, Wang, Konat & Scheurs (2010) bijvoorbeeld niet verder opgenomen omdat deze duidelijk niet over breuken handelt. Er werden eveneens enkele verwante artikelen door de zoekmachines zelf aangegeven; en deze werden – indien relevant - ook opgenomen in het uiteindelijke databestand. Een voorbeeld van zo een studie is “Equivalent fractions: their difficulty and educational implications” van Kamii & Clark (1995). Dit zorgt voor een totaal van 365 studies: 329 studies uit de initiële referenties en 36 extra studies die door de zoekmachines werden aangeraden. Zes van deze 365 studies omvatten referenties naar boeken. Hierbij werd verder ook het boek van Ma (1999) opgenomen, omdat dit niet naar voor kwam uit de zoekmachines, maar wel een erg belangrijke rol speelt in wiskundeonderzoek. De neerslag van het zoekproces tot hier werd in een bijgevoegde map en CD-ROM opgenomen, gezien de omvangrijkheid ervan te groot is om het als bijlage bij deze metaanalyse te voegen. Verder stappen van de zoekprocedure werden wel in bijlage opgenomen (zie Bijlagen 1, 2 en 3). Vervolgens werd een selectie doorgevoerd naar vooraanstaande en relevante tijdschriften omdat er te veel irrelevante artikelen en tijdschriften in het databestand opgenomen bleken te zijn. Een voorbeeld van een studie die in deze stap uit de uiteindelijke meta-analyse verwijderd werd is “A study of two-term unit fraction expansions via geometric approach” van

11

Man (2009) uit het tijdschrift „Teaching Mathematics and Its Applications: An International Journal of the IMA‟.

De studies werden geselecteerd op de volgende 10 tijdschriften: 

American Educational Research Journal



Computers & Education



Educational Studies in Mathematics



Journal for Research in Mathematics Education



Journal of Mathematical Behavior



Learning & Instruction



Remedial & Special Education



Review of Educational Research



Teaching Children Mathematics



The Elementary School Journal

Hierna bleven er 119 studies over (zie Bijlage 1). Voor de zes betrokken boeken werden relevante hoofdstukken geselecteerd, en werd elk hoofdstuk verder als afzonderlijke studie behandeld en onderverdeeld. Er werden zo 14 hoofdstukken geselecteerd. Ook 4 omvattende rapporten werden verder opgenomen, zoals bijvoorbeeld “Developing Effective Fractions Instruction for Kindergarten through 8th Grade. IES Practice Guide” van Siegler et al. (zie Bijlage 2). Dat brengt het totaal op 137 studies (Bijlage 1 + Bijlage 2). In een laatste stap werden de studies geweerd die niet specifiek focusten op het basisonderwijs als doelgroep, en werden eveneens drie studies verwijderd omdat deze enkel erg korte boekbesprekingen bleken te omvatten. Ook de studie van Adjiage & Pluvinage (2007) werd niet verder opgenomen omdat deze onvoldoende beschrijft wat de experimentele conditie precies inhoudt (zie Bijlage 3). Studies met leerlingen uit het eerste en tweede jaar secundair onderwijs (leeftijd 12 en 13 jaar) werden alsnog opgenomen indien ook leerlingen uit het basisonderwijs deel uitmaakten van de steekproef. In deze laatste stap vielen in totaal 21 referenties af, waarna 116 studies overbleven die opgenomen werden in de uiteindelijke meta-analyse. Om tot een werkbaar kader te komen, werden de studies en de boeken onderverdeeld in onderstaand rooster. Dit rooster werd tijdens het lezen van de betrokken studies opgesteld en is deel van het onderzoeksproces. De meeste studies werden in één categorie onderverdeeld. Sommige studies (n=15) vielen echter niet in één enkele categorie te plaatsen en werden daarom in meerdere categorieën besproken.

12

4.2 Onderverdeling van de studies Twee grote afdelingen werden onderscheiden, de onderzoeksgerichte en de praktijkgerichte studies (zie rijen in Tabel 1). De onderzoeksgerichte studies zijn academisch georiënteerd en onderzoeken theoretische hypothesen met betrekking tot het leren en onderwijzen van breuken. De praktijkgerichte studies focussen meer op concrete onderwijs- en leerpraktijken bij breuken en beogen expliciet leerkrachten basisonderwijs als doelpubliek. Elke afdeling werd opgesplitst in verschillende luiken. De onderzoeksgerichte studies werden opgesplitst in vier luiken: „Breuken leren‟, „Breukenkennis meten‟, „Breuken onderwijzen‟ en „Curriculum‟. „Breuken leren‟ focust op de manier waarop leerlingen breukenkennis verwerven, en op welke manier deze verwervings- en verwerkingsprocessen bevorderd kunnen worden. Dit onderdeel werd verder opgedeeld in drie categorieën. De eerste categorie is „Voorkennis‟, of de manieren waarop onderwijs kan inspelen op de reeds aanwezige kennisstructuren van kinderen bij het leren van breuken. Dit omvat zowel informele voorkennis, niet-opzettelijk ontwikkelde kennis in alledaagse activiteiten, en formele voorkennis, kennis die leerlingen reeds op school ontwikkelden en die het leren van breuken faciliteren. De tweede categorie „Breukenkennis‟ focust enerzijds op de inhoudelijke breukenconcepten en anderzijds op procedures die leerlingen dienen te vergaren met betrekking tot breuken. De derde categorie in dit onderdeel heeft tot slot betrekking op „Leersequenties‟, waarmee geduid wordt op de volgorde waarop leerlingen breukenkennis blijken te verwerven. Dit onderdeel bestaat uit drie delen. Er zijn in de eerste plaats studies onderscheiden die focussen op de breukenschema‟s, verder zijn er studies waarin sprake is van een taxonomie bij het verwerven van breukenconcepten, en de studies in het derde deel „Bevorderende variabelen‟ gaan het effect van een bepaalde variabele na op de breukenkennis en –vaardigheden van leerlingen. Het tweede luik „Breukenkennis meten‟ is verder onderverdeeld in twee categorieën, „Leerlingen‟ en „Leerkrachten‟. Hierbij werd dus een onderscheid gemaakt tussen studies die breukenkennis bij leerlingen nagaan, en studies die de breukenkennis van leerkrachten en toekomstige leerkrachten nagaan. In een derde luik „Breuken onderwijzen‟ worden studies gebundeld die specifiek focussen op het onderwijzen van breuken. Het vierde luik „Curriculum‟ legt de nadruk op het gebruik van concrete materialen en programma‟s in het leren en onderwijzen van breuken, en werd verder onderverdeeld in vier 13

categorieën. De eerste categorie omvat „Alledaags materiaal‟, waarmee geduid wordt op een variëteit aan alledaagse situaties die in onderzoek naar voor worden geschoven om breukenconcepten op een betekenisvolle manier aan te brengen. De tweede categorie „Technologie‟ omvat studies die de nadruk leggen op het gebruik van allerlei vormen van technologie, zoals computerprogramma‟s en whiteboards, als ondersteuning voor de ontwikkeling van breukenconcepten. In een derde categorie „Modellen‟ wordt het onderscheid van Van de Walle (2007) gevolgd, die drie soorten breukenmodellen aangeeft, namelijk oppervlaktemodellen, lengtemodellen en setmodellen. De laatste categorie binnen het onderdeel „Curriculum‟ bevat „Geschreven leermateriaal‟. Deze studies handelen dus over specifieke curricula of leerboeken. De praktijkgerichte studies zijn opgesplitst in slechts twee onderdelen: „Breuken leren, breuken onderwijzen‟ en „Curriculum‟. Breuken leren en breuken onderwijzen wordt hier samengenomen omdat de praktijkgerichte studies focussen op concrete onderwijs- en leerpraktijken bij breuken en zich rechtstreeks richten op leerkrachten. Het onderdeel „Breuken leren, breuken onderwijzen‟ focust op de eigenlijke pedagogische en didactische acties van de leerkrachten, en op aandachtspunten tijdens het leren van breuken. Het tweede onderdeel, „Curriculum‟, volgt dezelfde onderverdeling in vier categorieën als bij de onderzoeksgerichte studies. Deze categorieën zijn „Alledaags materiaal‟, „Technologie‟, „Modellen‟ en „Geschreven leermateriaal‟. Er werd daarnaast eveneens een onderscheid gemaakt tussen studies die specifiek focussen op leerlingen met (leer)moeilijkheden en studies die dit niet doen (zie kolommen Tabel 1). Omdat de studies die focussen op leerlingen met (leer)moeilijkheden zeer beperkt zijn in aantal, worden deze studies samen besproken voor zowel onderzoeksgerichte als praktijkgerichte studies, en dus niet onderverdeeld in de besproken categorieën en luiken. Ten slotte werd een laatste onderdeel „Overkoepelende studies‟ aangemaakt waarin de studies van Kilpatrick et al. (2001), Pitkethly & Hunting (1996) en Siegler et al. (2010), en twee hoofdstukken uit het boek van Van de Walle (2010) opgenomen werden. Deze studies zijn in die mate omvattend dat ze niet in één of zelfs enkele categorieën vallen te plaatsen. De bevindingen uit deze studies worden in de categorieën van toepassing aangehaald. In de bespreking van de resultaten worden voor elk van de 116 studies die opgenomen zijn, de leeftijd van de respondenten, de grootte van de steekproef en de centrale bevindingen weergegeven in een tabel. Deze bevindingen worden nadien per categorie besproken.

14

Tabel 1: Onderverdeling van de studies

Algemeen

Leerlingen met moeilijkheden

ONDERZOEKSGERICHTE STUDIES 1. Breuken leren 1.1. Voorkennis 1.1.1. Informele voorkennis 1.1.2. Formele voorkennis 1.2. Breukenkennis 1.3. Leersequenties 1.3.1. Breukenschema’s 1.3.2. Taxonomie 1.3.3. Bevorderende variabelen 2. Breukenkennis meten 2.1. Leerlingen 2.2. Leerkrachten 3. Breuken onderwijzen 4. Curriculum 4.1. Alledaags materiaal 4.2. Technologie 4.3. Modellen 4.4. Geschreven leermateriaal PRAKTIJKGERICHTE STUDIES 1. Breuken leren, breuken onderwijzen 2. Curriculum 2.1. Alledaags materiaal 2.2. Technologie 2.3. Modellen 2.4. Geschreven leermateriaal OVERKOEPELENDE STUDIES

15

5 RESULTATEN

5.1 Onderzoeksgerichte studies De onderzoeksgerichte studies omvatten in totaal zesenzeventig van de 116 studies, waarvan dertien studies in meer dan één categorie werden opgenomen.

5.1.1 Breuken leren In dit onderdeel werden achtendertig studies opgenomen, verdeeld over de drie categorieën:   

Voorkennis (n=14) Breukenkennis (n=4) Leersequenties (n=20)

5.1.1.1 Voorkennis Er werden veertien studies opgenomen in deze categorie. Acht studies focusten op informele voorkennis en zes studies legden de nadruk op formele voorkennis bij het ontwikkelen van breukenkennis.

5.1.1.1.1 Informele voorkennis Acht studies werden in dit deel opgenomen, en ook de overkoepelende studies van Kilpatrick, Swafford, & Findell (2001), Pitkethly & Hunting (1996), Siegler et al. (2010) en Van de Walle (2010) werden hier vermeld (zie Tabel 20). Een eerste groep studies duidt op het belang van „partitioning‟, het verdelen van een geheel in gelijke delen, als informele basis om breukenkennis te ontwikkelen. Aansluitend hierbij worden equal-sharing taken, het gelijk verdelen van enkele items onder enkele personen, aangehaald als vertrekpunt bij het construeren van breukenkennis. Een tweede groep studies duidt op intuïtief begrip van ratio, zoals het gebruik van perceptuele beoordelingen om gelijkwaardigheid van breuken vast te stellen, en tot slot wordt ook kennis van een half als informele basis voor breukenkennis vermeld. 16

Tabel 2: Informele voorkennis

Referentie

Respondenten

Grootte van de steekproef

Centrale bevindingen

Carraher, D. W. (1996). Learning about fractions. In L. P. Steffe, P. Nesher, P. Cobb, G. A. Goldin & B. Greer (Eds.), Theories of mathematical learning (pp. 241-266). New Jersey: Lawrence Erlbaum Associates. Kieren, T. E. (1993). Rational and fractional numbers: from quotient fields to recursive understanding. In T. Carpenter, E. Fennema & T. Romberg (Eds.), Rational numbers: an integration of research (pp. 49-84). New Jersey: Lawrence Erlbaum.

/

/



/

/





Leerlingen kunnen zich baseren op twee soorten voorkennis bij het aanleren van breuken: o Intuïtieve kennis van ratio: perceptuele beoordelingen om de gelijkwaardigheid van hoeveelheden vast te stellen o Kennis van berekeningen met natuurlijke getallen: een breuk kan worden gedefinieerd door een verhouding als resultaat van deling en vermenigvuldiging van natuurlijke getallen (bijvoorbeeld: 2/3 is het resultaat van 1 gedeeld door 3, vermenigvuldigd met 2) Rationale getallen en breuken zijn pas volledig gekend als: o Leerlingen begrijpen dat rationale getallen tegelijk quotiënten (hoeveel krijgt elk kind bij het gelijk verdelen van koekjes?) en ratio‟s (relatie tussen een hoeveelheid en het geheel) zijn o Leerlingen rationale getallen simultaan in hun verschillende vormen begrijpen: ratio, quotiënt, maat, operator Breukenkennis construeren is recursief (steeds terugkerend naar iets wat al gekend is) en bestaat uit het verweven van intuïtief en formeel begrip.

De studie van Carraher (1996) werd ook opgenomen in het deel „Formele voorkennis‟, en de studie van Kieren (1993) werd eveneens vermeld in het onderdeel „Breukenkennis‟.

17

Lamon, S. J. (1993). Ratio Leerlingen uit het and proportion: 6e leerjaar Children‟s cognitive and metacognitive processes. In T. Carpenter, E. Fennema & T. Romberg (Eds.), Rational numbers: an integration of research (pp. 113-156). New Jersey: Lawrence Erlbaum.

24

 



Mack, N. K. (1990). Leerlingen uit het Learning fractions with 6e leerjaar understanding: Building on informal knowledge. Journal for Research in Mathematics Education, 21(1), 16-32.

8







Bij het oplossen van problemen rond ratio en proportietonen kinderen aan dat ze reeds cognitieve en metacognitieve kennis ontwikkeld hebben, zonder instructie hier omtrent. Cognitief: de leerlingen bezitten een repertoire aan sterke intuïtieve strategieën voor het oplossen van ratio problemen o Unitizing (bijvoorbeeld: je betaalt 2 euro voor 3 ballonnen, hoeveel betaal je voor 24 ballonnen?)  Single unit strategy (de kost van 1 ballon berekenen en deze 24 keer vermenigvuldigen)  Building-up strategy (2 euro voor 3 ballonnen, 4 euro voor 6 ballonnen, …, 16 euro voor 24 ballonnen)  Composite unit strategy (om van 3 naar 24 ballonnen te gaan is het x8, dus 2 euro x8 = 16 euro voor 24 ballonnen) Metacognitief: Leerlingen kiezen strategieën door ze te af te stemmen op de context en condities van de problemen, en hierbij kunnen ze de accuraatheid van de strategieën inschatten o Satisficing: gebruik van een strategie die goed genoeg is om tot de oplossing te komen i.p.v. de meest optimale strategie o Fallback method: gebruik van de minder geavanceerde strategieën (zoals tellen) Kinderen hebben een rijke bron aan informele, intuïtieve breukenkennis die gebaseerd is op partitioning, het verdelen van een geheel in gelijke delen, en vervolgens deze delen behandelen als natuurlijke getallen. Kennis van vanbuiten geleerde procedures belemmert het verder bouwen op informele kennis doordat leerlingen de neiging hebben te focussen op symbolische manipulaties (a/b) in plaats van op hun informele kennis van partitioning. Instructie moet breukenkennis op een betekenisvolle manier opbouwen door te vertrekken van partitioning, en procedures pas aan te leren na concepten.

18

Mack, N. K. (1995). Confounding wholenumber and fraction concepts when building on informal knowledge. Journal for Research in Mathematics Education, 26(5), 422. Mack, N., K. (2000). Longterm effects of building on informal knowledge in a complex content domain: The case of multiplication of fractions. Journal of Mathematical Behavior, 19(3), 307-332. Mack, N. K. (2001). Building on informal knowledge through instruction in a complex content domain: Partitioning, units, and understanding multiplication of fractions. Journal for Research in Mathematics Education, 32(3), 267-295.

Leerlingen uit het 3e en 4e leerjaar

7

 


4





Leerlingen uit het 5e leerjaar

6

 



De mogelijkheid van leerlingen om breuksymbolen te relateren aan hun informele voorkennis wordt beïnvloed door voorkennis van natuurlijke getallen. Leerlingen veralgemenen de betekenis van natuurlijke getallen naar breuken en omgekeerd, zo wordt de breuk 2/3 bijvoorbeeld gezien als 2 van de 3 delen in plaats van als hoeveelheid op zich. Leerlingen bouwen verder op hun informele kennis van partitioning om problemen rond het vermenigvuldigen van breuken op betekenisvolle manieren op te lossen: ¼ x 2/3 wordt bijvoorbeeld opgelost door concreet 2/3 te tekenen en vervolgens elke derde in 4 te delen Informele kennis van partitioning kan gebruikt worden om de algoritmische berekeningen te rechtvaardigen. Leerlingen bezitten informele breukenkennis die gebaseerd is op het „partitioning‟ van concreet materiaal. Leerlingen kunnen verder bouwen op hun informele kennis om vermenigvuldigingen van breuken op betekenisvolle manieren op te lossen: ¼ x 2/3 wordt bijvoorbeeld opgelost door concreet 2/3 te tekenen en vervolgens elke derde in 4 te delen. De informele kennis van partitioning kan ook belemmerend zijn doordat leerlingen breuken hierdoor enkel zien als een aantal delen waarbij elk deel een onafhankelijke hoeveelheid voorstelt (3/4 betekent bijvoorbeeld „3 van de 4 delen‟), hierdoor kunnen ze problemen als 2/3 van 9/10 bijvoorbeeld niet oplossen.

De studie Mack (1995) werd ook opgenomen in het deel „Formele voorkennis‟.

19

Mack, N. K. (1993). Learning rational numbers with understanding: The case of informal knowledge. In T. Carpenter, E. Fennema & T. Romberg (Eds.), Rational numbers: an integration of research (pp. 49-84). New Jersey: Lawrence Erlbaum.

/

/

 



De informele kennis is initieel beperkend voor breukenkennis. (bijvoorbeeld: 3/4 wordt gezien als „3 van de 4 delen‟, i.p.v. als een hoeveelheid op zich) Deze misvattingen kunnen aangepakt worden, door geschikte instructie, waarbij breukproblemen zowel symbolisch (a/b) voorgesteld worden als aan de hand van herkenbare contexten (zoals het verdelen van een pizza). Hierdoor relateren leerlingen breuksymbolen en procedures aan hun informele kennis. Een betekenisvolle connectie tussen informele voorkennis en de formele breukensymbolen werkt een instrumenteel begrip tegen

20

Informele voorkennis wordt door Mack (1993) gedefinieerd als toegepaste, realistische kennis die door leerlingen geconstrueerd wordt op basis van reële ervaringen, en niet door instructie. Een eerste groep studies duidt op „partitioning‟, het verdelen van een geheel in gelijke delen, en „iterating‟, het herhalen van een breukdeel tot het geheel opnieuw gereconstrueerd is, als informele breukenkennis en als centrale startpunten voor de ontwikkeling van breukenkennis (Kilpatrick, et al., 2001; Mack, 1990, 1993, 1995, 2000, 2001; Van de Walle, 2010). Mack (1993, 2001) stelt echter dat informele kennis van partitioning initieel belemmerend is voor de constructie van breukenkennis. ¾ wordt zo bijvoorbeeld gezien als „3 van de 4 delen‟ in plaats van als een hoeveelheid op zich, hierdoor kunnen leerlingen problemen als 2/3 van 9/10 bijvoorbeeld niet oplossen (Mack, 1993, 2001). Deze misvattingen kunnen aangepakt worden door geschikte instructie, die breukenkennis op betekenisvolle manieren opbouwt door breukproblemen zowel symbolisch (in de vorm a/b) als aan de hand van herkenbare contexten voor te stellen (Mack, 1993). Procedures en algoritmen dienen pas te worden aangeleerd nadat de onderliggende concepten verworven zijn (Mack, 1990; Van de Walle, 2010). Kieren (1993) stelt hierbij dat breukenkennis construeren recursief is, waarbij steeds teruggekeerd wordt naar iets wat al gekend is, en intuïtief en formeel begrip verweven wordt. Aansluitend bij partitioning worden ook „equal-sharing‟ taken in verschillende studies aangehaald als een goed vertrekpunt voor de ontwikkeling van breukenkennis (Pitkethly & Hunting, 1996; Siegler, et al., 2010; Van de Walle, 2010). Een voorbeeld van een equalsharing taak is „Als drie kinderen vijf koeken eerlijk verdelen, hoeveel krijgt elk kind dan?‟ (Siegler, et al., 2010). Een tweede groep studies halen intuïtieve kennis van ratio aan als een bron van informele breukenkennis (Carraher, 1996; Lamon, 1993; Pitkethly & Hunting, 1996; Siegler, et al., 2010). Carraher (1996) duidt hierbij op het vertrouwen op perceptuele beoordelingen om de gelijkwaardigheid van hoeveelheden vast te stellen als intuïtieve kennis van ratio. Tot slot duiden Pitkethly & Hunting (1996) op informele kennis van een half als belemmerend voor breukenkennis omdat het de ontwikkeling van kennis van breuken met een oneven getal als noemer, zoals derden, in de weg staat.

21

5.1.1.1.2 Formele voorkennis Zes studies werden in dit onderdeel opgenomen, daarnaast werden ook de overkoepelende studies van Pitkethly & Hunting (1996) en Van de Walle (2010) vermeld (zie Tabel 20). De studies halen vooral voorkennis van natuurlijke getallen aan, die de ontwikkeling van breukenkennis zowel blijkt te belemmeren als te stimuleren.

22

Tabel 3: Formele voorkennis

Referentie

Respondenten


Biddlecomb, B. D. (2002). Leerling uit het 3e Numerical knowledge as tot het 6e leerjaar enabling and constraining fraction knowledge: an example of the reorganization hypothesis. Journal of Mathematical Behavior, 21, 167-190.

1

Carraher, D. W. (1996). Learning about fractions. In L. P. Steffe, P. Nesher, P. Cobb, G. A. Goldin & B. Greer (Eds.), Theories of mathematical learning (pp. 241-266). New Jersey: Lawrence Erlbaum Associates.

/

/

Centrale bevindingen  



Reorganisatie hypothese: breukenkennis komt voort uit kennis van natuurlijke getallen. Kennis van natuurlijke getallen maakt de ontwikkeling van breukenkennis mogelijk maar beperkt ze ook. o Kennis van tellen en vermenigvuldigen van natuurlijke getallen vormt de basis voor het construeren van „connected numbers‟ (1/n wordt n maal herhaal om een geheel te construeren), wat de basis vormt voor het ontwikkelen van breukenkennis. o De kennis van natuurlijke getallen beperkt de constructie van breukenkennis doordat breuken als 2 onafhankelijek natuurlijke getallen worden aanzien, en breukdelen niet in relatie tot elkaar of tot het geheel waarvan ze deel zijn worden gezien. Leerlingen kunnen zich baseren op twee soorten voorkennis bij het aanleren van breuken: o Intuïtieve kennis van ratio: perceptuele beoordelingen om de gelijkwaardigheid van hoeveelheden vast te stellen o Kennis van berekeningen met natuurlijke getallen: een breuk kan worden gedefinieerd door een verhouding als resultaat van deling en vermenigvuldiging van natuurlijke getallen (bijvoorbeeld: 2/3 is het resultaat van 1 gedeeld door 3, vermenigvuldigd met 2)

De studie van Carraher (1996) werd eveneens vermeld in het deel „Informele voorkennis‟.

23

Hartnett, P., & Gelman, R. Leerlingen uit het (1998). Early 3e kleuterklas, 1e understandings of en 2e leerjaar numbers: Paths or barriers to the construction of new understandings? Learning and Instruction, 8(4), 341-374.

204







Hunting, R. P., Davis, G., Leerlingen van 8 & Pearn, C. A. (1996). en 9 jaar Engaging whole-number knowledge for rationalnumber learning using a computer-based tool. Journal for Research in Mathematics Education, 27(3), 354-379.

2







Conceptuele ontwikkeling wordt bevorderd als bestaande conceptuele structuren overlappen met de structuur van de te leren data. o Kennis van tellen en optellen bevordert het verwerven van het „Successor principle‟, het gegeven dat elk natuurlijk getal een opvolger heeft. De leerlingen zijn niet in staat om aan te geven welk natuurlijk getal het dichtst in de buurt komt van een gegeven breuk of om breuken correct van klein naar groot te ordenen, ook de oudste leerlingen niet. De fouten met breuken ontstaan omdat de gekende telprincipes voor natuurlijke getallen onjuist worden veralgemeend naar breuken, zo wordt ¼ groter aanzien dan ½ omdat 4 groter is dan 2.. Door problemen rond het vergelijken en de gelijkwaardigheid van breuken in het computer programma Copycat op te lossen (operator subconstruct) wordt de kennis van natuurlijke getallen geactiveerd en verdiepen leerlingen hun begrip van breuken. Drie cognitieve schema‟s zijn bij de leerlingen geïdentificeerd: o Equal-outputs schema: beperkt in effectiviteit tot het vergelijken van eenheidsbreuken o Equal-inputs schema: dit activeert de strategieën om een gemeenschappelijk veelvoud te bepalen o Scaling schema: ratio wordt gebruikt om breuken tussen twee gegeven breuken te vinden. De ontwikkeling van breukenkennis en kennis van natuurlijke getallen zijn onderling afhankelijk: operator-taken met rationale getallen stimuleren en breiden de kennis van natuurlijke getallen uit, en gemak met relaties tussen natuurlijke getallen stelt leerlingen in staat om vergelijkingsproblemen tussen breuken op te lossen.

De studie van Hunting, Davis, & Pearn (1996) werd ook opgenomen in het onderdeel „Curriculum - Technologie'.

24

Mack, N. K. (1995). Confounding wholenumber and fraction concepts when building on informal knowledge. Journal for Research in Mathematics Education, 26(5), 422. Stafylidou, S., & Vosniadou, S. (2004). The development of students' understanding of the numerical value of fractions. Learning and Instruction, 14(5), 503518.


7

 

Leerlingen van 10 tot 16 jaar

200







De mogelijkheid van leerlingen om breuksymbolen te relateren aan hun informele voorkennis wordt beïnvloed door voorkennis van natuurlijke getallen. Leerlingen veralgemenen de betekenis van natuurlijke getallen naar breuken en omgekeerd, zo wordt de breuk 2/3 bijvoorbeeld gezien als 2 van de 3 delen in plaats van als hoeveelheid op zich Leerlingen gebruiken 3 soorten strategieën bij het bepalen welke van twee breuken de grootste is: o (1) Breuken bestaan uit twee onafhankelijke natuurlijke getallen. Deze misvatting komt rechtstreeks voort uit initiële kennis van natuurlijke getallen. o (2) Breuken zijn delen van een geheel, en een breuk is altijd kleiner dan een geheel. o (3) De relatie tussen de teller en de noemer wordt begrepen. Breuken kunnen kleiner, groter en gelijk zijn aan een geheel. Leerlingen interpreteren breuken op manieren die aantonen dat ze hun initiële ideeën over natuurlijke getallen proberen verzoenen met de nieuwe informatie rond breuken, hierdoor ontstaan systematische misvattingen. Dit sluit aan bij de „conceptual change theory‟: o Het verwerven van nieuwe kennis kan door verrijking van bestaande conceptuele structuren, maar soms is een radicale reorganisatie van wat reeds gekend is, noodzakelijk. o Leren dat een reorganisatie van bestaande kennisstructuren vereist, is moeilijker en meer tijdrovend en het is waarschijnlijk dat leerlingen in het proces misvattingen zullen creëren. o Veel misvattingen zijn het resultaat van pogingen van leerlingen om nieuwe informatie te verzoenen met hun bestaande kennisbasis.

De studie van Mack (1995) werd eveneens vermeld in het deel „Informele voorkennis‟.

25

Met formele voorkennis wordt gedoeld op schoolse kennis die leerlingen vergaard hebben voordat ze in aanraking komen met breuken, en die een rol kan spelen in het aanleren van breukenkennis. In de studies wordt vooral kennis van natuurlijke getallen aangehaald als bepalende invloed bij het aanleren van breuken (Biddlecomb, 2002; Carraher, 1996; Hartnett & Gelman, 1998; Hunting, et al., 1996; Mack, 1995; Stafylidou & Vosniadou, 2004). Er heerst echter een verdeelde opinie in onderzoek over de invloed van kennis van natuurlijke getallen: deze wordt zowel bekeken als een hefboom voor en als een barrière tegen de ontwikkeling van breukenkennis (Pitkethly & Hunting, 1996; Van de Walle, 2010). Kennis van natuurlijke getallen werkt bevorderend voor het ontwikkelen van breukenkennis, als het als basis dient voor het ontwikkelen van breukenkennis (Pitkethly & Hunting, 1996). Leerlingen bouwen zo voort op wat ze al weten over natuurlijke getallen bij het construeren van breukenkennis (Van de Walle, 2010). Hunting et al. (1996) stellen zelfs dat de ontwikkeling van breukenkennis en kennis van natuurlijke getallen onderling afhankelijk zijn. Kennis van natuurlijke getallen wordt echter ook al belemmerend gezien voor de ontwikkeling van breukenkennis, doordat misvattingen ontstaan wanneer leerlingen hun voorkennis van natuurlijke getallen initieel proberen verzoenen met de nieuwe kennis rond breuken (Stafylidou & Vosniadou, 2004). Leerlingen zien breuken daardoor als bestaand uit twee natuurlijke getallen en veralgemenen van rekenkundige regels voor natuurlijke getallen verkeerdelijk ook naar breuken (Hartnett & Gelman, 1998; Pitkethly & Hunting, 1996; Stafylidou & Vosniadou, 2004; Van de Walle, 2010). Zo wordt 1/5 bijvoorbeeld als kleiner dan 1/10 aanzien omdat 5 kleiner is dan 10, en wordt ½ + ½ opgelost als ¼ (Van de Walle, 2010). Twee theorieën worden in aansluiting hierbij aangehaald. De eerste theorie is de „Conceptual change theory‟. Deze theorie stelt dat het verwerven van nieuwe kennis enerzijds gebeurt door een verrijking van bestaande kennisstructuren, maar dat anderzijds soms een radicale reorganisatie nodig is van wat reeds gekend is (Stafylidou & Vosniadou, 2004). Zo komen we bij de tweede theorie, de reorganisatie hypothese, die ervan uitgaat dat kennis van natuurlijke getallen gereorganiseerd moet worden tot breukenkennis (Biddlecomb, 2002). Pitkethly & Hunting (1996) onderscheiden naast kennis van natuurlijke getallen nog andere constructieve elementen om breukenkennis op te bouwen. Kwantitatieve vergelijkingen waardoor

breuken

gezien

worden

als

metingen,

en

het

vaststellen

van

de

gelijkwaardigheid van breuken, vormen eveneens een goede basis voor de formele ontwikkeling van breukenkennis. 26

5.1.1.2 Breukenkennis Er werden vier studies opgenomen in dit onderdeel. Daarnaast werden ook de overkoepelende studies van Kilpatrick et al. (2001), Pitkethly & Hunting (1996) en Van de Walle (2010) vermeld (zie Tabel 20). Er wordt in de bespreking een onderscheid gemaakt tussen conceptuele en procedurele breukenkennis.

27

Tabel 4: Breukenkennis

Referentie

Respondenten


Behr, M. J., Harel, G., Post, T. R., & Lesh, R. (1993). Rational numbers: toward a semantic analysis-emphasis on the operator construct. In T. Carpenter, E. Fennema & T. Romberg (Eds.), Rational numbers: an integration of research (pp. 13-47). New Jersey: Lawrence Erlbaum.

/

/


  

Het operator subconstruct ziet een breuk als een functie die toegepast wordt op een bepaald getal, object of set. Verschillende opvattingen van de noemer en de teller leiden tot verschillende interpretaties van het operator subconstruct, waarbij breuken als een ruilfunctie worden gezien: o „Duplicator/partition-reducer‟: ¾ ruilt 4 eenheden van een bepaalde grootte voor 3 eenheden van dezelfde grootte o „Stretcher/shrinker‟: ¾ ruilt aan aantal eenheden van grootte 4 voor evenveel eenheden van grootte 3 Wanneer een breuk als operator gebruikt wordt, kan dit een getal, object of set vergroten indien de teller groter is dan de noemer, of verkleinen indien de noemer groter is dan de teller. Inzicht in breuken als operators vergroot het begrip van de vermenigvuldiging van breuken Leerlingen moeten mogelijkheden krijgen om de verschillende interpretaties te ervaren om diepgaande breukenkennis op te kunnen bouwen.

28

Charalambous, C., & Leerlingen uit het Pitta-Pantazi, D. (2007). 5e en 6e leerjaar Drawing on a theoretical model to study students‟ understandings of fractions. Educational Studies in Mathematics, 64(3), 293-316.

646







Het breukenconcept is een set van 5 subconstructen, die allen aan bod moeten komen in instructie. o Deel-geheel subconstruct: situatie waarbij een continue hoeveelheid of een set van discrete objecten verdeeld worden in gelijke delen. Dit vormt de basis voor de andere subconstructen. o Ratio subconstruct: omvat een vergelijking tussen twee hoeveelheden, het is de basis voor de gelijkwaardigheid van breuken o Maat: 2 verbonden noties, de getal-notie duidt op de grootte van breuk(zo is ¾ gelijk aan 0.75), de interval-notie duidt op de maat van een breuk in een interval o Quotiënt: breuk als resultaat van een deling, equal-sharing problemen helpen dit construeren o Operator: breuken als een functie die wordt toegepast op een getal, object of set De prestaties van leerlingen zijn verschillend voor de vijf subconstructen, en deze verschillen weerspiegelen de ongelijke nadruk die op de subconstructen wordt gelegd tijdens instructie. o De leerlingen zijn het meest succesvol voor bewerkingen met het deel-geheel subconstruct en het minst competent met betrekking tot het maat-subconstruct. o Het deel-geheel construct komt het meeste aan bod in het lagere school curriculum, de andere subconstructen worden pas in de laatste 3 jaren geïntroduceerd. Een diep begrip van de verschillende subconstructen van breuken verhoogt de prestaties van leerlingen bij bewerkingen met breuken en de gelijkwaardigheid van breuken.

De studie van Charalambous & Pitta-Pantazi (2007)werd ook opgenomen in het onderdeel „Breukenkennis meten – Leerlingen‟.

29

Kieren, T. E. (1993). Rational and fractional numbers: from quotient fields to recursive understanding. In T. Carpenter, E. Fennema & T. Romberg (Eds.), Rational numbers: an integration of research (pp. 49-84). New Jersey: Lawrence Erlbaum.

/

/





Rationale getallen en breuken zijn pas volledig gekend als: o Leerlingen begrijpen dat rationale getallen tegelijk quotiënten (hoeveel krijgt elk kind bij het gelijk verdelen van koekjes?) en ratio‟s (relatie tussen een hoeveelheid en het geheel) zijn o Leerlingen rationale getallen simultaan in hun verschillende vormen begrijpen: ratio, quotiënt, maat, operator Breukenkennis construeren is recursief (steeds terugkerend naar iets wat al gekend is) en bestaat uit het verweven van intuïtief en formeel begrip.

De studie van Kieren (1993) werd eveneens opgenomen in de categorie „Informele voorkennis‟.

30

Marshall, S. P. (1993). Assessment of rational number understanding: a schema-based approach. In T. Carpenter, E. Fennema & T. Romberg (Eds.), Rational numbers: an integration of research (pp. 261-288). New Jersey: Lawrence Erlbaum.

/

/

 



Een schema ontwikkelt vanuit de nood om een probleem op te lossen, en is een netwerk van kennis rond een bepaalde situatie. Voor de ontwikkeling van coherente schema‟s moet aandacht besteed worden aan alle vijf de subconstructen, op een manier die betekenisvol is voor de leerlingen aan de hand van realistische situaties: o Deel-geheel: situatie waarbij iets in delen van gelijke grootte verdeeld moet worden, zoals: kleur ½ van de rechthoek o Quotiënt: representeert een deling (a/b) waarbij a elementen over b groepen verdeeld worden, zoals: hoe zou je 3 pizza‟s (a) verdelen onder 4 vrienden (b), en hoeveel krijgt elk? o Maat: de breuk 1/b wordt herhaald om een afstand te bepalen, meestal a.d.h.v. een getallenas of een foto van een meetlat o Ratio: 2 hoeveelheden zijn gerelateerd aan elkaar en worden vergeleken, zoals: voor het maken van limonade voegt Susie 1 kop suiker toe voor elke 3 koppen water. Hoeveel suiker moet ze toevoegen voor 6 koppen water? o Operator: een waarde moet bewerkt worden om een tweede waarde te creëren, zoals: hoe kan ik een geometrische figuur transformeren in een nieuwe figuur met grootte ¾ van het origineel? Schema‟s kunnen gebruikt worden om de kennis van rationale getallen van leerlingen te beoordelen: o Schema-gebaseerde beoordeling is theorie-gedreven waarbij vragen over alle subconstructen gesteld worden. o Schema-gebaseerde beoordeling is zo meer precies en meer accuraat om het breukenbegrip van leerlingen te bepalen.

De studie van Marshall (1993) werd eveneens vermeld in de categorie „Leersequenties – Breukenschema‟s‟.

31

Onder breukenkennis wordt zowel conceptuele als procedurele kennis verstaan. Conceptuele breukenkennis wordt gekarakteriseerd door een set van vijf gerelateerde maar onderscheiden subconstructen. Om een volledig begrip van breuken te ontwikkelen is het noodzakelijk dat leerlingen betekenis geven aan breuken op een geïntegreerde manier waarbij alle subconstructen begrepen en betrokken worden (Behr, Harel, Post, & Lesh, 1993; Charalambous & Pitta-Pantazi, 2007; Kieren, 1993). Het eerste subconstruct is het deel-geheel subconstruct, wat verwijst naar een situatie waarin een continue hoeveelheid of een aantal objecten verdeeld worden in gelijke delen (Charalambous & Pitta-Pantazi, 2007; Marshall, 1993). Het deel-geheel subconstruct vormt de basis voor de ontwikkeling van de vier andere subconstructen, dit is de reden waarom dit subconstruct het vaakst in het leerboeken en curricula wordt vermeld en frequent een dominante positie in instructie krijgt (Charalambous & Pitta-Pantazi, 2007; Van de Walle, 2010). Een typisch voorbeeld van een deel-geheel taak is “Kleur ½ van de gegeven rechthoek in” (Marshall, 1993). Het ratio subconstruct omvat een vergelijking of verhouding tussen twee hoeveelheden. Het vormt de basis voor de notie van gelijkwaardigheid van breuken (Charalambous & Pitta-Pantazi, 2007). Een voorbeeld van een ratio-taak is “Voor het maken van limonade voegt Susie 1 kop suiker toe voor elke 3 koppen water. Hoeveel suiker moet ze toevoegen voor 6 koppen water?” (Marshall, 1993). Het operator subconstruct duidt op breuken die gebruikt kunnen worden om bewerkingen mee uit te voeren, of op een functie die wordt toegepast op een getal, object of set (Charalambous & Pitta-Pantazi, 2007). Zo kan bijvoorbeeld gevraagd worden om 4/5 van 20 km² te bepalen (Van de Walle, 2010), of om een geometrische figuur te transformeren in een nieuwe figuur met grootte ¾ van het origineel (Marshall, 1993). Wanneer een breuk als operator gebruikt wordt kan dit een getal, object of set vergroten indien de teller groter is dan de noemer, of verkleinen indien de noemer groter is dan de teller. Inzicht in breuken als operators vergroot het begrip van de vermenigvuldiging van breuken (Behr, et al., 1993). Binnen het quotiënt subconstruct kan elke breuk gezien worden als het resultaat van een deling. Veelgebruikte activiteiten om leerlingen te helpen dit construct te construeren omvatten problemen waarbij leerlingen continue hoeveelheden eerlijk moeten verdelen, zoals bijvoorbeeld het verdelen van drie pizza‟s onder vier vrienden zodat iedereen precies even veel pizza krijgt (Charalambous & Pitta-Pantazi, 2007; Marshall, 1993). In het laatste subconstruct maat worden breuken geassocieerd met twee onderling sterk verbonden noties. De getal-notie duidt op de grootte van breuk, zo is ¾ gelijk aan 0.75. De interval-notie duidt op de maat van een breuk in een interval (Charalambous & PittaPantazi, 2007). Om deze maat te bepalen wordt een bepaalde lengte of afstand 32

geïdentificeerd (vaak 1/b) om vervolgens deze afstand te gebruiken als meetinstrument om de lengte van een object te bepalen (Marshall, 1993; Van de Walle, 2010). Er wordt vaak gebruik gemaakt van een getallenas of een meetlat om dit te illustreren (Marshall, 1993). Naast conceptuele breukenkennis is er ook procedurele breukenkennis. Dit verwijst naar de mogelijkheid om vlot procedures uit te kunnen voeren om zo snel en efficiënt mogelijk problemen op te lossen. Instructie richt zich traditioneel voornamelijk op deze procedurele breukenkennis en het aanleren van regels, zonder dat leerlingen de onderliggende concepten ervan begrijpen. Leerlingen leren zo dat het niet belangrijk is om te begrijpen waarom een procedure werkt, enkel het volgen van de voorgeschreven stappen om het juiste antwoord te bekomen wordt in de kijker gesteld (Kilpatrick, et al., 2001).

5.1.1.3 Leersequenties Er werden in totaal twintig studies opgenomen die de volgorde van het ontwikkelen van breukenkennisen vaardigheden bespreken.

5.1.1.3.1 Breukenschema’s Er werden dertien studies opgenomen in deze categorie. Deze studies bespreken de cognitieve breukenschema‟s van leerlingen en halen theoretische leertrajecten aan.

33

Tabel 5: Leersequenties - Breukenschema's

Referentie

Respondenten

Hackenberg, A. J. (2007). Leerlingen uit het Units coordination and 6e leerjaar the construction of improper fractions: A revision of the splitting hypothesis. Journal of Mathematical Behavior, 26(1), 27-47.

Grootte van de steekproef 4

Centrale bevindingen 

  

Hackenberg, A. J., & Leerlingen uit het Tillema, E. S. (2009). 6e leerjaar Students' whole number multiplicative concepts: A critical constructive resource for fraction composition schemes. Journal of Mathematical Behavior, 28(1), 1-18.

4

 



De constructie van onechte breuken (zoals 4/3) vereist dat leerlingen drie niveaus van eenheden verinnerlijkt hebben: 4/3 als een onechte breuk begrijpen omvat 4/3 zien als een eenheid (1) bestaande uit 4 eenheden (2) waarvan elke eenheid drie keer herhaald kan worden om een andere eenheid (het geheel) (3) te produceren. De leerlingen kunnen taken rond splitting (dit is een combinatie van partitioning en iterating) oplossen maar hebben slechts de eerste twee niveaus verinnerlijkt. Een herziening van Steffe‟s (2002) splitting-hypothese is noodzakelijk: Steffe stelt dat bij de constructie van splitting de breukenschema‟s van leerlingen onechte breuken bevatten. Splitting is cruciaal om onechte breuken te construeren, maar de verinnerlijking van de drie niveaus van eenheden zijn hiervoor niet noodzakelijk. Kennis van vermenigvuldigen met natuurlijke getallen is cruciaal voor de constructie van „fraction composition schemes‟, schema‟s voor het vermenigvuldigen van breuken. De verinnerlijking van twee niveaus van eenheden (zie Hackenberg, 2007) is noodzakelijk voor de constructie van een „unit fraction composition scheme‟, waarbij de nadruk ligt op het nemen van een deel van een deel, zoals 1/2 van 1/15. De verinnerlijking van drie niveaus van eenheden is noodzakelijk voor de constructie van een „general fraction composition scheme‟, voor het oplossen van een probleem als 2/5 van 3/4.

34

Marshall, S. P. (1993). Assessment of rational number understanding: a schema-based approach. In T. Carpenter, E. Fennema & T. Romberg (Eds.), Rational numbers: an integration of research (pp. 261-288). New Jersey: Lawrence Erlbaum.

/

/

 



Een schema ontwikkelt vanuit de nood om een probleem op te lossen, en is een netwerk van kennis rond een bepaalde situatie. Voor de ontwikkeling van coherente schema‟s moet aandacht besteed worden aan alle vijf de subconstructen, op een manier die betekenisvol is voor de leerlingen aan de hand van realistische situaties: o Deel-geheel: situatie waarbij iets in delen van gelijke grootte verdeeld moet worden, zoals: kleur ½ van de rechthoek o Quotiënt: representeert een deling (a/b) waarbij a elementen over b groepen verdeeld worden, zoals: hoe zou je 3 pizza‟s (a) verdelen onder 4 vrienden (b), en hoeveel krijgt elk? o Maat: de breuk 1/b wordt herhaald om een afstand te bepalen, meestal a.d.h.v. een getallenas of een foto van een meetlat o Ratio: 2 hoeveelheden zijn gerelateerd aan elkaar en worden vergeleken, zoals: Susie voegt 1 kop suiker toe voor elke 3 koppen water. Hoeveel suiker moet ze toevoegen voor 6 koppen water? o Operator: een waarde moet bewerkt worden om een tweede waarde te creëren, zoals: hoe kan ik een geometrische figuur transformeren in een nieuwe figuur met grootte ¾ van het origineel? Schema‟s kunnen gebruikt worden om de kennis van rationale getallen van leerlingen te beoordelen: o Schema-gebaseerde beoordeling is theorie-gedreven waarbij vragen over alle subconstructen gesteld worden. o Schema-gebaseerde beoordeling is zo meer precies en meer accuraat om het breukenbegrip van leerlingen te bepalen.

De studie van Marshall (1993) werd ook beschreven bij het onderdeel „Breukenkennis‟.

35

Norton, A. (2008). Josh's Leerling uit het 6e operational conjectures: leerjaar Abductions of a splitting operation and the construction of new fractional schemes. Journal for Research in Mathematics Education, 39(4), 401-430.

1





 Norton, A., & D'Ambrosio, Leerlingen uit het B. S. (2008). ZPC and 6e leerjaar ZPD: Zones of teaching and learning. Journal for Research in Mathematics Education, 39(3), 220-246.

2





 

Door „operational conjectures‟, het toepassen van concepten bij probleemoplossen zonder zeker te zijn dat deze zullen werken, ontwikkelt Josh nieuwe manieren van handelen en evolueert hij van een part-whole fraction scheme (1) naar een partitive unit fraction scheme (2) (zie Steffe, 2002). Josh beheerst splitting nog voor dat hij het partitive unit fraction scheme(2) geconstrueerd heeft. Een herziening van Steffe‟s (2002) splitting-hypothese is hierdoor nodig aangezien deze stelt dat splitting pas verworven wordt vanaf het „reversible partitive fraction scheme (4)‟, na een reconstructie van het partitive fraction scheme. Splitting kan parallel met en zelfs voor breukenschema‟s ontwikkeld worden. De „zone of proximal development‟ (ZPD) van een kind duidt op de afstand tussen het huidige niveau van ontwikkeling, bepaald door zelfstandig probleemoplossen, en het potentieel niveau van ontwikkeling, bepaald door probleemoplossen in samenwerking met verder ontwikkelde peers. De „zone of potential construction‟ (ZPC) wordt bepaald door de aanpassingen aan een concept die leerlingen zouden maken als resultaat van interactieve communicatie in een wiskundige omgeving. ZPC en ZPD zijn gelijkaardig en verenigbaar om de ontwikkeling van breukconcepten te bevorderen. Werken binnen de ZPD maar buiten de ZPC heeft invloed op de leermogelijkheden en de constructies van leerlingen. o Hulp van de leerkracht om over te gaan naar het volgende breukenschema is pas succesvol als de leerkracht naast het waargenomen succes van de leerling op taken, ook rekening houdt met zijn huidige manieren van handelen. o Het is belangrijk rekening te houden met taal en sociale interactie tussen leerling en leerkracht, en daarnaast ook met het intern niveau van ontwikkeling van leerlingen bij het leren van breuken.

De studie van Norton & D‟Ambrosio (2008) werd ook opgenomen in de categorie „Bevorderende variabelen‟

36

Norton, A., & Wilkins, J. Leerlingen uit het L. M. (2009). A 4e en 5e leerjaar quantitative analysis of children's splitting operations and fraction schemes. Journal of Mathematical Behavior, 28(2), 150-161. Norton, A. H., & / McCloskey, A. V. (2008). Modeling students' mathematics using Steffe's fraction schemes. Teaching Children Mathematics, 15(1), 48-54.

84



De hiërarchie van Steffe‟s (2002) breukenschema‟s wordt bevestigd door kwantitatieve testen die nagaan of de leerlingen al dan niet overeenstemmend met een bepaald breukenschema handelen.

/



Breukenschema‟s zijn een tool om inzicht te krijgen in het redeneren van leerlingen: leerkrachten moeten deze schema‟s gebruiken om de manieren waarop leerlingen met breuken omgaan te begrijpen en te beoordelen en moeten manieren vinden om binnen de handelingsmethoden van leerlingen te werken terwijl ze een nood om meer krachtige handelingen te ontwikkelen ondersteunen. Een beschrijving van Steffe‟s (2002) breukenschema‟s wordt gegeven: o Partitioning scheme  Simultaneous partitioning scheme  Equi-partitioning scheme o Part-whole scheme o Partitive unit fractional scheme o Partitive fractional scheme



37

Olive, J., & Vomvoridi, E. Leerling uit het 6e (2006). Making sense of leerjaar instruction on fractions when a student lacks necessary fractional schemes: The case of Tim. Journal of Mathematical Behavior, 25(1), 18-45.

1





 Sáenz-Ludlow, A. (1994). Leerling uit het 3e Michael's fraction leerjaar schemes. Journal for Research in Mathematics Education, 25(1), 50-85.

1

 

 

Er bestaat een kloof tussen de veronderstelde breukenkennis van leerlingen door de leerkracht en instructiemateriaal, die ervan uitgaan dat het concept van de eenheidsbreuk als een van verschillende gelijke delen van een geheel begrepen wordt, en de eigenlijke breukenkennis van de leerling. Hierdoor kan de leerling niet mee met instructie. Pas wanneer instructie wordt aangepast zodat effectief gebruikt wordt gemaakt van geschikte breukenrepresentaties die aansluiten bij de aanwezige kennis van de leerling, slaagt deze erin om partitioning en de betekenis van de eenheidsbreuk onder de knie te krijgen. De instructie van leerkrachten moet gericht worden door de cognitieve schema‟s en beperkingen van hun eigen leerlingen. Leerlingen baseren hun redeneren met breuken op hun kwantitatief redeneren met natuurlijke getallen. De constructie van breukenschema‟s is ontwikkelingsgericht, waarbij voorgaande breukenschema‟s de basis vormen voor nieuwe. Een hiërarchie van drie breukenschema‟s worden geïdentificeerd bij Micheal: o (1) Metric part-whole scheme o (2) Multiple-partitioning coordinating scheme o (3) Part-partitioning coordinating scheme De ontwikkeling van de breukenschema‟s is het product van de cognitieve activiteiten van Michael en doelgerichte ondersteuning van de leerkracht. Breukconcepten kunnen initieel ontwikkeld worden in de afwezigheid van breuksymbolen, aan de hand van breuktaal.

De studie van Olive & Vomvoridi (2006) werd eveneens vermeld bij „Breuken onderwijzen‟.

38

Sáenz-Ludlow, A. (1995). Leerling uit het 3e Ann's fraction schemes. leerjaar Educational Studies in Mathematics, 28(2), 101132.

1

   

Steffe, L., P. (2002). A new Leerlingen uit het hypothesis concerning 4e leerjaar children‟s fractional knowledge. Journal of Mathematical Behavior, 20, 267-307.

2



 



De breukconcepten bouwen verder op kennis van tellen en deelgeheel bewerkingen met natuurlijke getallen. Breukenkennis wordt ontwikkeld zonder breuksymbolen (a/b) te gebruiken, maar aan de hand van natuurlijke taal en breukwoorden (zoals bijvoorbeeld een half en derden). Ann construeert het „metric part-whole scheme‟ (zie SaenzLudlow, 1994), de indicatie hiervoor is dat ze constante gehelen gebruikt bij het oplossen van taken. De ontwikkeling van de breukenschema‟s is het product van Ann‟s cognitieve activiteiten en samenwerking met de leerkracht: de taken die de leerkracht presenteert bevorderen de constructies van Ann, maar Ann‟s antwoorden op de taken richten ook de vragen en tussenkomsten van de leerkracht. Een schema bestaat volgens von Glaserfeld (1980) uit drie delen: o Een activerende situatie waarmee een bepaalde activiteit geassocieerd wordt. o Specifieke activiteit of procedure van het kind, geassocieerd met de situatie. o Resultaat van de activiteit, geproduceerd door het kind. Reorganisatie hypothese: breukenschema‟s ontwikkelen als aanpassingen/reorganisaties van schema‟s voor natuurlijke getallen Leerlingen construeren breukenschema‟s volgens een hiërarchische volgorde: o (1) Part-whole fraction scheme o (2) Partitive unit fraction scheme o (3) Partitive fraction scheme o (4) Reversible partitive fraction scheme: splitting o (5) Iterative fraction scheme In het vierde leerjaar beheerst Jason het partitive fraction scheme (3), en Laura beheerst het part-whole fraction scheme (1).

39

Steffe, L., P. (2003). Leerlingen uit het Fractional 5e leerjaar commensurate, composition, and adding schemes. Learning trajectories of Jason and Laura: Grade 5. Journal of Mathematical Behavior, 22(3), 237-295.

2







Tzur, R. (1999). An Leerlingen uit het integrated study of 4e leerjaar children's construction of improper fractions and the teacher's role in promoting that learning. Journal for Research in Mathematics Education, 30(4), 390-416.

2



 

Naast de hiërarchie van breukschema‟s worden drie soorten breukenschema‟s voor bewerkingen met breuken aangeduid: o Commensurate fractional scheme: gelijkwaardige breuken o Fractional composition scheme: vermenigvuldigen o Fractional adding scheme: optellen van breuken Jason beheerst splitting en het reversible partitive fraction scheme(4) in het vijfde leerjaar. Het iterative fraction scheme(5) ligt buiten zijn bereik. Hij vergaart daarnaast ook het „Commensurate fractional scheme‟ door verder te bouwen op zijn kennis van vermenigvuldigen met natuurlijke getallen. Laura construeert het part-whole fraction scheme(1) in het vierde leerjaar en maakt geen verdere vooruitgang naar andere manieren van handelen. De leerlingen evolueren van een partitive breukenschema(3) naar een iteratief breukenschema(5) (zie Steffe (2002), gestimuleerd door de taken in het computerprogramma Sticks, waarbij leerlingen allerlei acties kunnen uitvoeren met repen in verschillende vormen en kleuren (zoals deze op verschillende manieren verdelen in gelijke delen, lengtes vergelijken,...). De constructie van breukenschema‟s is verbonden aan de aanpassingen van leersituaties en de leerkracht-leerling interactie. Drie types van taken zijn op basis van de hypothetische leertrajecten geïdentificeerd om de constructie van het iteratieve breukenschema te bevorderen. Deze taken tonen de link tussen de drie onderdelen van een schema en de mogelijke interventies van de leerkracht. o Initiële taak: herkenning van een bepaalde activiteit bevorderen o Reflectieve taak: bewustzijn van de activiteit-resultaat-relatie bevorderen o Anticiperende taak: abstractie van de activiteit-resultaat-relatie bevorderen in afwezigheid van de activiteit

De studie van Tzur (1999) werd eveneens opgenomen bij „Curriculum-Technologie‟.

40

Een (breuken)schema is een netwerk van kennis rond een bepaalde situatie, en is ontwikkeld vanuit de nood om een probleem op te lossen (Marshall, 1993). Het bestaat uit drie delen: het eerste deel is een activerende situatie waarmee een bepaalde activiteit geassocieerd wordt, het tweede deel is deze specifieke activiteit van het kind, en het derde deel is het resultaat van de activiteit, geproduceerd door het kind (L. P. Steffe, 2002). Breukenschema‟s vormen (hiërarchische) leertrajecten volgens dewelke leerlingen breukenkennis

en

vaardigheden

ontwikkelen.

Centraal

hierbij

is

de

stelling

dat

breukenkennis verder bouwt op kennis en redeneren met natuurlijke getallen (Sáenz-Ludlow, 1994, 1995). Steffe (2001) duidt dit aan als de „reorganisatie-hypothese‟. Deze stelt dat breukenschema‟s ontwikkelen als aanpassingen of reorganisaties van schema‟s voor natuurlijke getallen. Verschillende onderzoekers schuiven verschillende hiërarchieën naar voor, maar de onderliggende concepten zijn gelijkaardig. Sáenz-Ludlow (1994, 1995) duidt op een hiërarchie bestaande uit drie breukenschema‟s, waarbij voorgaande breukenschema‟s de basis vormen voor nieuwe. Het eerste schema is het „Metric part-whole scheme, daarna volgt het „Multiple-partitioning coordinating scheme‟, en als laatste is er het „Part-partitioning coordinating scheme‟. Sáenz-Ludlow (1994, 1995) stelt hierbij dat breukconcepten initieel ontwikkeld kunnen worden in de afwezigheid van breuksymbolen, door gebruik te maken van natuurlijke taal en breukwoorden. De meest besproken hiërarchie van breukenschema‟s is deze van Steffe (2002, 2003), waarbij vijf centrale breukenschema‟s worden aangehaald. Het eerste breukenschema is het „Part-whole fraction scheme‟, daarna volgt het „Partitive unit fraction scheme‟, als derde is er het „Partitive fraction scheme‟, nadien het „Reversible partitive fraction scheme‟, en als laatste is er het „Iterative fraction scheme‟. Een centrale rol wordt toegekend aan „splitting‟, dit is de combinatie van partitioning en iterating, en wordt volgens Steffe (2002) pas vanaf het vierde breukenschema beheerst. Verschillende onderzoekers zijn de waarachtigheid van Steffe‟s (2002) breukenhiërarchie nagegaan met specifieke aandacht voor de rol van splitting (Hackenberg, 2007; Norton, 2008; Norton & Wilkins, 2009). De breukenhiërarchie werd zowel bevestigd als herzien. Hackenberg (2007) en Norton (2008) komen zo tot de conclusie dat Steffe‟s (2002) splittinghypothese herzien moet worden aangezien blijkt dat leerlingen taken rond splitting veel vroeger kunnen oplossen dan Steffe (2002) in zijn hiërarchie voor mogelijk houdt. Splitting kan parallel met en zelfs voor breukenschema‟s ontwikkeld worden. Norton & Wilkins (2009) komen hier echter op terug in een volgend grootschaliger onderzoek waar Steffe‟s (2002)

41

breukenhiërarchie bevestigd wordt door kwantitatieve testen die nagaan of leerlingen al dan niet overeenstemmend met een bepaald breukenschema handelen. Breukenschema‟s zijn een tool om inzicht te krijgen in het redeneren van leerlingen. Leerkrachten moeten deze schema‟s gebruiken om de manieren waarop leerlingen met breuken omgaan meer precies te begrijpen en te beoordelen. Dit stelt leerkrachten in staat om instructie af te stemmen op de handelingsmethoden en het intern niveau van ontwikkeling van hun leerlingen, om hen zo te helpen overgaan naar het volgende breukenschema (Marshall, 1993; Norton & D'Ambrosio, 2008; Norton & McCloskey, 2008; Olive

&

Vomvoridi,

2006).

Sáenz-Ludlow

(1994)

stelt

dat

de

ontwikkeling

van

breukenschema‟s het product is van de cognitieve activiteiten van de leerlingen en doelgerichte ondersteuning en collaboratie met de leerkracht. De taken die leerkrachten presenteren, bevorderen de kennisconstructies van leerlingen en de antwoorden van leerlingen op de taken richten ook de vragen en tussenkomsten van de leerkracht (SáenzLudlow, 1995).

5.1.1.3.2 Taxonomie Twee studies werden in deze categorie opgenomen die beiden een taxonomie van strategieën aanhalen waaronder de breukenkennis en –vaardigheden van leerlingen vallen onder te verdelen.

42

Tabel 6: Leersequenties - Taxonomie

Referentie

Respondenten

Charles, K., & Nason, R. Leerlingen uit het (2000). Young children's 3e leerjaar partitioning strategies. Educational Studies in Mathematics, 43(2), 191221.





Tzur, R. (2007). Fine grain Leerlingen uit het assessment of students‟ 3e leerjaar mathematical understanding: participatory and anticipatory stages in learning a new mathematical conception. Educational Studies in Mathematics, 66(3), 273291.

28







Een taxonomie van partitioning-strategieën van leerlingen is ontwikkeld (Bijvoorbeeld: verdelen van x pizza‟s over y personen): o Klasse 1: gebruik van gelijke delen + juiste aantal delen (overeenkomstig met aantal personen: y) + conceptual mapping (verbinding tussen aantal personen y en de naam van elk deel (y-den), en verbinding tussen het aantal pizza‟s (x) en het aantal y-den in elk deel (x y-den)) o Klasse 2: gebruik van gelijke delen + juiste aantal delen + geen conceptual mapping o Klasse 3: gebruik van gelijke delen + geen juiste aantal delen + geen conceptual mapping o Klasse 4: geen gebruik van gelijke delen + geen juiste aantal delen + geen conceptual mapping De taxonomie kan gebruikt worden om kwalitatief de vooruitgang van leerlingen te meten, en om instructie overeenkomstig met het ontwikkelingsniveau van de leerlingen te plannen, om zo beter gebruik te maken van de informele partitioning-strategieën van leerlingen (klasse 4). Een theoretische taxonomie rond het ontwikkelen van een nieuw wiskundig concept is ontwikkeld: o (1)Participatieve fase: wiskundig begrip dat afhankelijk is van aanmoediging (prompting) door een concrete activiteit. o (2)Anticiperende fase: wiskundig begrip dat onafhankelijk door de leerder opgeroepen en gebruikt kan worden. De theoretische taxonomie wordt empirisch bevestigd: 90% van de leerlingen lijkt de omgekeerde volgorde van eenheidsbreuken (1/7 is groter dan 1/10, ook al is 10 groter dan 7) te kunnen uitleggen, maar slechts de helft ervan bevindt zich in de anticiperende fase. De taxonomie laat toe om de ontwikkeling van leerlingen na te gaan, risicoleerlingen te identificeren en in te spelen op hoe de ontwikkeling aangemoedigd kan worden. 43

Twee taxonomieën werden ontwikkeld die beiden gebruikt kunnen worden om zowel de wiskundige vooruitgang van leerlingen te beoordelen en risicoleerlingen te identificeren, als om instructie specifiek aan te passen aan het ontwikkelingsniveau van de leerlingen en instructie op maat te voorzien (Charles & Nason, 2000; Tzur, 2007). Charles & Nason (2000) ontwikkelden een taxonomie voor partitioning-strategieën die een onderscheid maakt tussen vier klassen van strategieën. Tzur (2007) bevestigde een theoretische taxonomie rond het ontwikkelen van een nieuw wiskundig concept aan de hand van een empirische studie. Twee fasen werden onderscheiden: de participatieve fase waarbij wiskundig begrip afhankelijk is van een concrete activiteit, en de anticiperende fase waarbij wiskundig begrip onafhankelijk van activiteiten door de leerder opgeroepen en gebruikt kan worden.

5.1.1.3.3 Bevorderende variabelen In dit deel werden vijf studies opgenomen die de impact van een variabele op de breukenkennis en –vaardigheden van leerlingen nagaan.

44

Tabel 7: Leersequenties - Bevorderende variabelen

Referentie

Respondenten


Clarke, D. M., & Roche, A. Leerlingen uit het (2009). Students' fraction 6e leerjaar comparison strategies as a window into robust understanding and possible pointers for instruction. Educational Studies in Mathematics, 72(1), 127-138.

323

Kazemi, E., & Stipek, D. Leerkrachten uit het (2001). Promoting 4e en 5e leerjaar conceptual thinking in four upper-elementary mathematics classrooms. The Elementary School Journal, 102(1), 59-80.

4


Leerlingen die het meeste succes hebben bij selecteren van de grootste breuk gebruiken benchmark (transitief) en rest- denken. o Bij benchmark-denken vergelijken leerlingen twee te vergelijken breuken met een derde referentie-breuk, vaak ½ of 1. (Bijvoorbeeld: 5/8 is groter dan 3/7 omdat 5/8 groter is dan ½ en 3/7 niet.) o Rest-denken verwijst naar het benadrukken van het deel dat nodig is om een geheel te construeren. (Bijvoorbeeld: 5/6 heeft nog 1/6 nodig om een geheel te construeren, terwijl 7/8 slechts 1/8 meer nodig heeft, daarom is 7/8 groter dan 5/6.)  Lessen die aanmoedigen tot conceptueel denken, gericht op dieper begrip van wiskundige ideeën i.p.v. te focussen op berekeningen, worden gekenmerkt door de volgende sociowiskundige normen: o Een uitleg bestaat uit een wiskundig argument, niet enkel een procedurele beschrijving. o Wiskundig denken omvat het begrijpen van relatie tussen verschillende strategieën. o Fouten voorzien mogelijkheden tot het herconceptualiseren van een probleem, het verkennen van contradicties in oplossingen en het nastreven van alternatieve strategieën. o Samenwerken omvat individuele verantwoordelijkheid en het bereiken van consensus aan de hand van wiskundige argumentatie.

45

Norton, A., & D'Ambrosio, Leerlingen uit het B. S. (2008). ZPC and 6e leerjaar ZPD: Zones of teaching and learning. Journal for Research in Mathematics Education, 39(3), 220-246.

2





 

De „zone of proximal development‟ (ZPD) van een kind duidt op de afstand tussen het huidige niveau van ontwikkeling, bepaald door zelfstandig probleemoplossen, en het potentieel niveau van ontwikkeling, bepaald door probleemoplossen in samenwerking met verder ontwikkelde peers. De „zone of potential construction‟ (ZPC) wordt bepaald door de aanpassingen aan een concept die leerlingen zouden maken als resultaat van interactieve communicatie in een wiskundige omgeving. ZPC en ZPD zijn gelijkaardig en verenigbaar om de ontwikkeling van breukconcepten te bevorderen. Werken binnen de ZPD maar buiten de ZPC heeft invloed op de leermogelijkheden en de constructies van leerlingen. o Hulp van de leerkracht om over te gaan naar het volgende breukenschema is pas succesvol als de leerkracht naast het waargenomen succes van de leerling op taken, ook rekening houdt met zijn huidige manieren van handelen. o Het is belangrijk rekening te houden met taal en sociale interactie tussen leerling en leerkracht, en daarnaast ook met het intern niveau van ontwikkeling van leerlingen bij het leren van breuken.

De studie van Norton & D‟Ambrosio (2008) werd ook opgenomen in de categorie „Leersequenties – Breukenschema‟s.

46

Saxe, G. B., Taylor, E. V., Leerlingen uit het McIntosh, C., & Gearhart, 4e, 5e en 6e leerjaar M. (2005). Representing fractions with standard notation: A developmental analysis. Journal for Research in Mathematics Education, 36(2), 137-157.

384





Kennis van leerlingen over breuknotaties (a/b) en over de deelgeheel-relatie van breuken kunnen onafhankelijk ontwikkelen. Het gebruik van breukennotaties (zoals a/b) in de pretest leidt niet tot voordeel voor het ontwikkelen van deel-geheel concepten bij de posttest. Klaspraktijken die voortbouwen op het denken van leerlingen zijn meer waarschijnlijk om gebruik van breuknotaties ( in de vorm a/b) te ondersteunen. o Leerlingen in de onderzoeksgerichte klassen (gericht op het onderzoeken van breuknotaties aan de hand van klasdiscussies en modellen) maken meer vooruitgang op conceptueel breukenbegrip dan leerlingen uit de traditionele klas (gericht op vergaren van procedurele vaardigheden), en hun beheersing van feiten en procedures komt hierdoor niet in het gedrang. o De leerlingen in de onderzoeksgerichte klassen maken meer vooruitgang op begrip van de deel-geheel-relatie van breuken. o Geen verschil is vastgesteld tussen de klassen met betrekking tot de breukennotaties.

47

Wearne, D. (1990). Leerlingen uit het Acquiring meaning for 4e en 5e leerjaar. decimal fraction symbols: A one year follow-up. Educational Studies in Mathematics, 21(6), 545564.

69



 



Laagpresterende leerlingen uit de experimentele groep, waarbij gewerkt wordt aan de hand van conceptueel-gebaseerde instructie (die de nadruk legt op het gebruik van base-10 blokken bij het oplossen van bewerkingen met decimale breuken en deze vervolgens verbinden met geschreven symbolen) scoren significant beter voor bewerkingen met decimale breuken dan laagpresterende leerlingen uit de controlegroep, die volgens het traditionele leerboek onderwezen worden (dat zich richt op vertalingen tussen breuken en decimale breuken en het procedureel oplossen van bewerkingen met decimale breuken). Hoogpresterende leerlingen uit de experimentele groep scoren niet significant beter dan hoogpresterende leerlingen uit de controlegroep. Als leerlingen conceptueel-gebaseerde strategieën gebruiken als basis om problemen met decimale breuken op te lossen onmiddellijk na instructie, dan doen ze dit nog steeds 1 jaar later voor zowel vertrouwde als niet vertrouwde taken, onafhankelijk van hun initiële prestatieniveau. Hoogpresterende leerlingen hebben meer kans dan laagpresterende leerlingen om gebruik van conceptueelgebaseerde strategieën toe te passen, 1 jaar na instructie.

48

Centraal wordt instructie aangehaald die de nadruk legt op het denken van de leerlingen, gericht op het verdiepen van onderliggend breukenbegrip eerder dan het vergaren van procedurele breukenkennis (Kazemi & Stipek, 2001; Norton & D'Ambrosio, 2008; Saxe, Taylor, McIntosh, & Gearhart, 2005; Wearne, 1990). Conceptueel-gerichte instructie, waarbij onder andere gebruik gemaakt wordt van concrete modellen, klasdiscussies, samenwerking tussen leerlingen, het specifiek behandelen van fouten en het benadrukken van de connectie tussen modellen en geschreven symbolen (a/b) blijkt flexibele prestaties van leerlingen te bevorderen en een langdurige verbetering van breukenkennis met zich mee te brengen (Clarke & Roche, 2009; Kazemi & Stipek, 2001; Saxe, et al., 2005; Wearne, 1990). Daarnaast blijken ook de interacties tussen leerlingen onderling, en tussen de leerlingen en leerkrachten, essentieel als basis voor vooruitgang in breukenkennis (Norton & D'Ambrosio, 2008).

5.1.2 Breukenkennis meten In totaal werden achttien studies opgenomen in dit onderdeel, die allen breukenkennis en – vaardigheden nagaan. Hierbij werd een onderscheid gemaakt tussen studies die focussen op leerlingen (n=9) en studies die de nadruk leggen bij leerkrachten en toekomstige leerkrachten (n=9).

5.1.2.1 Leerlingen Negen studies die de breukenkennis en -vaardigheden van leerlingen meten, werden opgenomen in deze categorie. Daarnaast werd ook de overkoepelende studie van Kilpatrick et al. (2001) vermeld (zie Tabel 20). Verschillende aspecten van de breukenkennis van leerlingen werden nagegaan, waarbij onder andere kennis van de verschillende subconstructen, het gebruik van breuknotaties en de contextgebondenheid van breukenkennis aan bod kwamen. Daarnaast werden ook de leerlingen hun oplossingsstrategieën voor breukproblemen onderzocht.

49

Tabel 8: Breukenkennis meten - Leerlingen

Referentie

Respondenten

Brenner, M. E., Herman, Leerlingen uit het S., Ho, H.-Z., & Zimmer, J. 6e leerjaar M. (1999). Cross-national comparison of representational competence. Journal for Research in Mathematics Education, 30(5), 541-557.



 

Brizuela, B. M. (2006). Leerlingen uit het Young children's 3e kleuterklas en 1e notations for fractions. leerjaar Educational Studies in Mathematics, 62(3), 281305.

24



 

Een test met 11 oefeningen (waarvan er 3 niet breuk-gerelateerd zijn, maar binnen het domein meten vallen) wordt afgenomen bij leerlingen uit de Verenigde Staten, China, Japan en Taiwan. Leerlingen uit alle landen hebben meer moeilijkheden met het oplossen van representatietaken (bijvoorbeeld: bepaal of de volgende voorbeelden een juiste of foute representatie geven van 3/6), dan met oplossingstaken (bijvoorbeeld: 1 ¾ + 2 ½ = ?) Aziatische leerlingen scoren significant beter dan Amerikaanse leerlingen. De kloof tussen Aziatische en Amerikaanse leerlingen is groter voor representatietaken dan voor oplossingstaken. De meeste kinderen gebruiken geen breukensymbolen (a/b) om breuken aan te duiden. De meerderheid van de leerlingen maakt wel gebruik van cijfers, en vaak ook van een lijn (zoals de lijn om de teller en noemer te scheiden). De leerlingen geven verschillende betekenissen aan breuken, afhankelijk van de context. Leeftijd heeft een invloed op de gebruikte notaties en het begrip van breuken: o Meer leerlingen van het 1e leerjaar dan van de 3e kleuterklas denken dat een half duidt op „een klein beetje‟. o De leerlingen van de 3e kleuterklas zijn beter in het ordenen van breuken volgens grootte dan het 1e leerjaar. o Leerlingen van het eerste leerjaar maken meer gebruik van een breuksymbool (a/b) dan leerlingen van de 3e kleuterklas.

50

Bulgar, S. (2003). Leerlingen uit het Childrens' sense-making 4e leerjaar of division of fractions. Journal of Mathematical Behavior, 22, 319-334.

25



 

Drie oplossingsmethoden worden onderscheiden bij het oplossen van een breukdeling (hoeveel strikken van 1/3m kan je maken uit 2m lint?), vóór formele instructie hieromtrent: o Met natuurlijke getallen: omzetten van 2m naar 200cm, en daarna 200 delen door 3 o Met metingen: lengte van 1/3m creëren en die vervolgens afpassen tegen 2m om te zien hoeveel keer deze erin past o Met breuken: erkenning dat 1m bestaat uit 3 gelijke delen van 1/3, en deze daarna vermenigvuldigen met 2 Zeven-en-een-half jaar later worden bij een andere groep leerlingen dezelfde oplossingsmethodes teruggevonden. De leerlingen zijn in staat om begrip op te bouwen rond het delen van breuken voordat ze instructie rond algoritmen gekregen hebben.

51

Charalambous, C., & Leerlingen uit het Pitta-Pantazi, D. (2007). 5e en 6e leerjaar Drawing on a theoretical model to study students‟ understandings of fractions. Educational Studies in Mathematics, 64(3), 293-316.

646







Het breukenconcept is een set van 5 subconstructen, die allen aan bod moeten komen in instructie. o Deel-geheel subconstruct: situatie waarbij een continue hoeveelheid of een set van discrete objecten verdeeld worden in gelijke delen. Dit vormt de basis voor de andere subconstructen. o Ratio subconstruct: omvat een vergelijking tussen twee hoeveelheden, het is de basis voor de gelijkwaardigheid van breuken o Maat: 2 verbonden noties, de getal-notie duidt op de grootte van breuk(zo is ¾ gelijk aan 0.75), de interval-notie duidt op de maat van een breuk in een interval o Quotiënt: breuk als resultaat van een deling, equal-sharing problemen helpen dit construeren o Operator: breuken als een functie die wordt toegepast op een getal, object of set De prestaties van leerlingen zijn verschillend voor de vijf subconstructen, en deze verschillen weerspiegelen de ongelijke nadruk die op de subconstructen wordt gelegd tijdens instructie. o De leerlingen zijn het meest succesvol voor bewerkingen met het deel-geheel subconstruct en het minst competent met betrekking tot het maat-subconstruct. o Het deel-geheel construct komt het meeste aan bod in het lagere school curriculum, de andere subconstructen worden pas in de laatste 3 jaren geïntroduceerd. Een diep begrip van de verschillende subconstructen van breuken verhoogt de prestaties van leerlingen bij bewerkingen met breuken en de gelijkwaardigheid van breuken.

De studie van Charalambous & Pitta-Pantazi (2007) werd ook opgenomen in het onderdeel „Breukenkennis‟.

52

Empson, S. B., Junk, D., Leerlingen uit het Dominguez, H., & Turner, 1e, 3e, 4e en 5e E. (2006). Fractions as the leerjaar coordination of multiplicatively related quantities: A crosssectional study of children's thinking. Educational Studies in Mathematics, 63(1), 1-28.

112

Johanning, D. I. (2008). Learning to use fractions: examining middle school students' emerging fraction literacy. Journal for Research in Mathematics Education, 39(3), 281-310. Kamii, C., & Clark, F. B. (1995). Equivalent fractions: Their difficulty and educational implications. Journal of Mathematical Behavior, 14(4), 365-378.

55

Leerlingen uit het 6e leerjaar en het 1e middelbaar



 






120





Twee categorieën van strategieën zijn vastgesteld bij het oplossen van equal-sharing problemen (bijvoorbeeld: 10 chocoladerepen gelijk verdelen over 4 kinderen): o Parts quantities strategy: elke chocoladereep in 4 verdelen o Ratio quantities strategy: fysieke associatie tussen de set van delers en de set van items die verdeeld moeten worden De meerderheid van de leerlingen gebruikt de parts quantities strategie. Getalcombinaties met gemeenschappelijke factoren (zoals 12 taarten verdelen over 8 personen en erkennen dat beiden deelbaar zijn door 4) ontlokken meer kennis van natuurlijke getallen en ondersteunen op deze manier rijkere verbindingen. Het breukenbegrip van leerlingen is gebonden aan hun begrip van de situaties waarin ze gebruikt kunnen worden: leerlingen passen niet zomaar hun breukenkennis toe in nieuwe situaties, maar beoordelen eerst de geschiktheid van breuken in elke situatie. Het is noodzakelijk om situationeel begrip te ontwikkelen in samenhang met wiskundig begrip: leerlingen hebben mogelijkheden nodig om met breuken te werken buiten formele breuken om diepgaande betekenis over breuken te construeren. Slechts de helft van de leerlingen van het 5e (44%) en 6e (51%) leerjaar geven aan dat de helft van een vierkant dat vertikaal in 2 verdeeld werd gelijk is aan de helft van een vierkant dat diagonaal in 2 verdeeld werd. De leerlingen uit beide leerjaren benaderen een taak rond de gelijkwaardigheid van breuken (3/4 = ?/8) eerder perceptueel, door concreet te kijken hoeveel achtsten in ¾ van een rechthoek gepast kunnen worden, in plaats van (rekenkundig) gebruik te maken van gelijkwaardige breuken, een concept wat ze net geleerd hebben in de klas.

53

Levenson, E. (2010). Fifth- Leerlingen uit het grade students' use and 5e leerjaar preferences for mathematically and practically based explanations. Educational Studies in Mathematics, 73(2), 121-142.

105







Watanabe, T. (1996). Leerlingen uit het Ben's understanding of 2e leerjaar one-half. Teaching Children Mathematics, 2(8), 460.

1

   

Leerlingen gebruiken meer wiskundig gebaseerde verklaringen, waarbij wiskundige definities en redeneren toegepast wordt, dan praktijkgebaseerde verklaringen, waarbij dagelijkse contexten of concrete materialen gebruikt worden om betekenis te geven aan wiskundige uitdrukkingen. Dit is zo voor zowel problemen rond pariteit (14=even?, 9=oneven?) als voor problemen rond gelijkwaardige breuken (2/4 = 6/12?). Nadat beide soorten verklaringen gepresenteerd worden, verkiezen leerlingen vooral praktijkgebaseerde verklaringen bij problemen rond pariteit. Voor problemen rond de gelijkwaardigheid van breuken is er geen voorkeur voor één van beide strategieën. Praktijkgebaseerde verklaringen worden verkozen omdat deze gebaseerd zijn op vertrouwde, alledaagse situaties. Wiskundig gebaseerde verklaringen worden verkozen voor de beknoptheid ervan. Kennis van een half is initieel concreet en contextgebonden, zoals het verdelen van koekjes, en is gebaseerd op fysieke acties, zoals in twee breken of concreet verdelen van materialen. Er is nood aan meerdere taken wanneer we het wiskundige begrip van leerlingen willen evalueren omdat leerlingen hun breukenbegrip continu aanpassen. De leerling is in staat om zijn begrip van een half te ontwikkelen zonder formeel symbolisme (1/2). Kennis van oppervlakte beïnvloedt het begrip van een half: door de beperkte kennis van oppervlakte kan de leerling niet bepalen of figuren al dan niet voor de helft ingekleurd zijn.

54

Verschillende zaken vallen te zeggen over de breukenkennis van leerlingen. Een eerste bevinding is dat leerlingen verschillend presteren voor de vijf subconstructen van breuken (deel-geheel, ratio, maat, quotiënt en operator), en dat hun kennis van deze subconstructen losgekoppeld is. De verschillen in prestaties weerspiegelen de ongelijkheid in nadruk die op de constructen gelegd wordt tijdens instructie (Charalambous & Pitta-Pantazi, 2007; Kilpatrick, et al., 2001). Als tweede bevinding blijkt de breukenkennis van leerlingen contextgebonden te zijn (Brenner, Herman, Ho, & Zimmer, 1999; Brizuela, 2006; Johanning, 2008; Watanabe, 1996). Verschillende contexten zorgen voor verschillende betekenissen van breuken, zoals bijvoorbeeld het delen van koekjes of het meten van tijd (Brizuela, 2006), en representatietaken blijken moeilijker te zijn dan zuivere oplossingstaken (Brenner, et al., 1999). Deze contextgebondenheid van breukenkennis leidt tot een nood aan meerdere taken om het breukenbegrip van leerlingen te evalueren (Watanabe, 1996). Verder werden ook de breuknotaties van leerlingen onderzocht. Volgens Kilpatrick et al. (2001) dragen breuksymbolen (in de vorm a/b) bij tot de moeilijkheden die leerlingen hebben met breuken, omdat deze symbolen bestaan uit twee natuurlijke getallen, wat voor verwarring zorgt. Brizuela (2006) ontdekte dat de meeste kinderen in het onderzoek geen conventionele breuknotaties (a/b) voor breuken gebruiken, en dat leeftijd een invloed heeft op de betekenis en de notaties die leerlingen aan breuken toekennen. Enkele studies gaan, naast de breukenkennis van leerlingen, ook de strategieën na waarop leerlingen zich baseren bij het oplossen van breukproblemen (Bulgar, 2003; Empson, Junk, Dominguez, & Turner, 2006; Kamii & Clark, 1995; Levenson, 2010; Watanabe, 1996). Levenson (2010) ondervond zo dat leerlingen meer wiskundig-gebaseerde verklaringen gebruiken dan praktijkgebaseerde verklaringen, aan de hand van dagelijkse contexten of concrete materialen. Kamii & Clark (1995) kwamen daarentegen tot een tegengestelde conclusie toen bleek dat leerlingen de gelijkwaardigheid van breuken eerder perceptueel benaderen in plaats van rekenkundig gebruik te maken van gelijkwaardige breuken. Watanabe (1996) sluit hierbij aan en stelt dat het initiële breukenbegrip van leerlingen concreet en gebaseerd is op hun fysieke acties. Leerlingen blijken in staat te zijn breukenkennis te ontwikkelen voordat ze algoritmen en formeel breukensymbolisme (in de vorm a/b) aangeleerd werden (Bulgar, 2003; Watanabe, 1996).

55

5.1.2.2 Leerkrachten Negen studies werden opgenomen in deze categorie. Zes studies focussen op de breukenkennis van toekomstige leerkrachten, en drie studies focussen op de breukenkennis van leerkrachten die reeds in het onderwijs actief zijn. Ook de overkoepelende studie van Siegler et al. (2010) werd hier opgenomen, omdat er specifieke aanbevelingen met betrekking tot de professionele ontwikkeling van leerkrachten in worden vermeld (zie Tabel 20).

56

Tabel 9: Breukenkennis meten - Leerkrachten

Referentie D'Ambrosio, B. S., & Campos, T. M. M. (1992). Pre-service teachers' representations of children's understanding of mathematical concepts: Conflicts and conflict resolution. Educational Studies in Mathematics, 23(3), 213230. Edwards, L. D. (2009). Gestures and conceptual integration in mathematical talk. Educational Studies in Mathematics, 70(2), 127141.

Respondenten Leerkrachten opleiding

in





Leerkrachten opleiding

in

12







Door het verkennen van onderzoeksliteratuur rond het breukenbegrip van kinderen krijgen de toekomstige leerkrachten meer inzicht in de formele en informele breukenkennis van leerlingen, en trekken ze typische leersequenties en beoordelingsmethodes in vraag. De toekomstige leerkrachten ontwikkelen hypothesen over mogelijke alternatieve instructiebenaderingen op basis van kennis van de breukenkennis van leerlingen, en worden meer kritisch ten opzichte van hun eigen werk. 251 gebaren, waarvan er 81 naar breuken verwijzen, zijn vastgesteld bij leerkrachten in opleiding, aan wie vragen als “Hoe zou u breuken definiëren?” en “Hoe werden breuken geïntroduceerd aan u?” werden gesteld. De gebaren worden verdeeld in 3 categorieën (McNeill, 1992): o Iconic gestures o Metaphoric gestures o Deixis De abstracte aard van breuken wordt duidelijk gemaakt door het gebruik van een hoge proportie aan gebaren ( gemiddeld 5.9 per minuut).

57

Khoury, H. A., & Zazkis, Leerkrachten R. (1994). On fractions opleiding and non-standard representations: Preservice teachers' concepts. Educational Studies in Mathematics, 27(2), 191-204

in

124



  

Lehrer, R., & Franke, M. L. Leerkrachten van (1992). Applying personal het 2e en 5e construct psychology to leerjaar the study of teachers' knowledge of fractions. Journal for Research in Mathematics Education, 23(3), 223-241.

2







87 van de 124 leerkrachten in opleiding lossen taak 1 “Is (0.2)drie gelijk aan (0.2)vijf?” correct op, en slechts 30 van de 124 leerkrachten lossen taak 2 “Is het getal „een half‟ in base 3 gelijk aan „een half‟ in base 5?” De meerderheid van de leerkrachten geloven dat breuken van numerieke waarde veranderen bij verschillende symbolische representaties. De toekomstige leerkrachten hebben de neiging om problemen rond place value en rationale getallen algoritmisch te benaderen. Hoge percentages van toekomstige leerkrachten hebben losgekoppelde kennis van place value, breuken en decimalen. De personal construct psychology wordt gebruikt om de kennis van leerkrachten te onderzoeken en haalt 4 types kennis aan die onderling verbonden zijn: o Kennis over breuken o Algemene pedagogische kennis o Pedagogische kennis specifiek met betrekking tot breuken o Cognitieve kennis: kennis over het denken van leerlingen De eerste leerkracht vertoont minder constructen in alle vier de types en zelfs geen constructen over het denken van leerlingen, dit uit zich in haar onderwijspraktijken: de leerkracht voelt zich oncomfortabel om breuken te onderwijzen en vertrouwt sterk op het gepresenteerde materiaal in leerboeken. De tweede leerkracht bezit meer kennisconstructen en meer conditionele relaties ertussen, die ervoor zorgen dat ze weet wanneer ze wat moet toepassen tijdens instructie, voortbouwend op wat de leerlingen al weten.

58

Ma, L. (1999). Knowing Leerkrachten van and teaching elementary het basisonderwijs mathematics: Teacher's understanding of fundamental mathematics in China and the United States: Lawrence Erlbaum Associates, Inc., Publishers, 10 Industrial Avenue, Mahwah, NJ 07430.

95

  



McLeman, L. K., & Cavell, Leerkrachten H. A. (2009). Teaching opleiding fractions. Teaching Children Mathematics, 15(8), 494-501.

in

23





Minder dan de helft van de Amerikaanse leerkrachten kan de berekening 1¾ : ½ oplossen, en geen enkel van hen lijkt het algoritme (a/b : c/b = a/b x d/c) te begrijpen. De Chinese leerkrachten slagen er allemaal in om de berekening op te lossen, geven rechtvaardiging voor hun oplossing aan en vertonen daarbij zelfvertrouwen en flexibiliteit. Slechts 1 Amerikaanse leerkracht kan de berekening op een betekenisvolle manier illustreren (zoals bijvoorbeeld door het verdelen van koekjes), terwijl de meerderheid van de Chinese leerkrachten minstens één correcte en gepaste representatie kan vertonen. De mogelijkheden van de Chinese leerkrachten om representaties te ontwikkelen zijn gebaseerd op een stevige kennis van het onderwerp. Een leerkracht moet eerst een omvattend begrip ontwikkelen over een onderwerp opdat hij/zij een sterke pedagogische representatie van dit onderwerp kan ontwikkelen. “Mathematical knowledge for teaching fractions” (MKTF) omvat onder andere, begrip van concepten die aan de grondslag liggen van procedures, een foutenanalyse om vast te leggen waar de fouten van de leerlingen liggen en het kiezen van effectieve representaties om concepten voor te stellen. Door de toekomstige leerkrachten authentieke werkstukken van leerlingen te laten onderzoeken en deze onderling te laten bediscussiëren krijgen ze inzicht in hun eigen overtuigingen wat het betekent om wiskunde te kennen en te doen, en verwerven ze daarnaast MKTF die ze nodig hebben om breuken te kunnen onderwijzen.

59

Newton, K. J. (2008). An Leerkrachten extensive analysis of opleiding preservice elementary teachers' knowledge of fractions. American Educational Research Journal, 45(4), 1080-1110.

in

85

 



Breukenkennis wordt onderzocht op 5 manieren: berekeningen, basisvaardigheden, woordproblemen (vraagstukken in context), flexibiliteit en transfer (van kennis naar nieuwe situaties). De pretest aan het begin van het semester toont dat de toekomstige leerkrachten erg beperkte en versnipperde breukenkennis bezitten: o Algoritmen worden vaak verkeerd toegepast. o Er is weinig flexibiliteit bij het oplossen van problemen: leerkrachten bezitten weinig inzicht in waar en wanneer hun breukenkennis toe te passen. De resultaten van de posttest aan het eind van het semester tonen aan dat de leerkrachten een dieper begrip van breuken hebben: o De fouten die ze maken zijn enkel nog te wijten aan een tekort aan vaardigheden, maar niet meer aan misvattingen. o Kwantitatieve en kwalitatieve verschuivingen in breukenkennis hebben plaatsgevonden doorheen de cursus, maar flexibiliteit bij het oplossen van problemen en transfer blijven echter laag. o De leerkrachten hebben de neiging om algoritmen te gebruiken ook wanneer deze niet efficiënt blijken, en de cursus is niet voldoende om dit patroon te doorbreken.

60

Schleppenbach, M., Leerkrachten en Flevares, L. M., Sims, L. leerlingen van het M., & Perry, M. (2007). 1e, 4e en 5e leerjaar Teachers' responses to student mistakes in Chinese and U.S. mathematics classrooms. The Elementary School Journal, 108(2), 131-147.

44





Tirosh, D. (2000). Leerkrachten Enhancing prospective opleiding teachers' knowledge of children's conceptions: The case of division of fractions. Journal for Research in Mathematics Education, 31(1), 5-25.

in

30







Amerikaanse en Chinese leerlingen maken ongeveer evenveel fouten, maar dat de leerkrachten uit beide landen reageren er verschillend op: o De Amerikaanse leerkrachten maken meer verklaringen dan de Chinese leerkrachten, waarbij ze tegen de leerlingen zeggen dat iets fout is of een leerling onmiddellijk verbeteren. o De Chinese leerkrachten stellen meer follow-up vragen over de gemaakte fouten, om zo de discussie te richten op de fout en de leerlingen zelf door hun fouten heen te laten werken. Vier implicaties voor instructie worden hieruit afgeleid: o Het is belangrijk om een klasomgeving te creëren waar leerlingen zich vrij voelen om fouten te maken, deze op te merken en vervolgens te bediscussiëren. o Leerkrachten moeten leerlingen stimuleren om na te denken over hun fouten door vragen te stellen die onderzoek promoten. o Leerkrachten moeten de fouten van leerlingen pas verbeteren nadat leerlingen de kans hebben gekregen om deze eerst zelf te proberen verbeteren. o Leerkrachten moeten de fouten van leerlingen anticiperen wanneer ze hun lessen plannen, en hierbij nadenken hoe ze op deze fouten zullen reageren. De pre-test toont dat de toekomstige leerkrachten zich onbewust zijn van de vaak voorkomende fouten van leerlingen bij het oplossen van problemen rond het delen van breuken, en evenmin van de grootste oorzaken van deze fouten. De meesten vermelden enkel fouten als resultaat van een verkeerd toegepast algoritme of het verkeerd lezen van de opgave. Na de cursus zijn de toekomstige leerkrachten meer vertrouwd met de fouten van leerlingen en de bronnen van deze fouten, zoals de neiging van leerlingen om de regels voor het delen van natuurlijke getallen ook op breuken toe te passen. Lerarenopleidingen moeten toekomstige leerkrachten vertrouwd maken met de opvattingen en misvattingen van leerlingen rond het delen van breuken. 61

Uit de studies blijkt in de eerste plaats dat het niet zo goed gesteld is met de breukenkennis van zowel toekomstige leerkrachten als leerkrachten die reeds in het onderwijs actief zijn. Hoge percentages van toekomstige leerkrachten hebben beperkte en losgekoppelde breukenkennis, en hebben daarnaast ook de neiging om sterk op algoritmen te vertrouwen bij het oplossen van breukproblemen (Khoury & Zazkis, 1994; Newton, 2008). Tirosh (2000) vond verder dat toekomstige leerkrachten zich onbewust zijn van vaak voorkomende fouten van leerlingen en de grootste oorzaken van deze fouten. Dezelfde resultaten werden terug gevonden bij leerkrachten die reeds actief zijn in het basisonderwijs (Siegler, et al., 2010). Uit internationale vergelijkingen kwam naar voren dat Amerikaanse leerkrachten sterk overtroffen worden door Chinese leerkrachten, dit zowel voor breukenkennis als voor pedagogische manieren om breuken te benaderen (Ma, 1999; Schleppenbach, Flevares, Sims, & Perry, 2007). Deze bevindingen zijn erg onrustwekkend gezien de verbondenheid die lijkt te bestaan tussen de kennis van leerkrachten en hun onderwijspraktijken (Lehrer & Franke, 1992). Het is belangrijk om kennis van leerkrachten te ontwikkelen op vier gebieden: kennis over breuken, algemene pedagogische kennis, pedagogische kennis specifiek met betrekking tot breuken en tot slot kennis over het denken van leerlingen. Leerkrachten moeten eerst een omvattend begrip ontwikkelen over een onderwerp, opdat hij of zij een sterke, pedagogische representatie van dit onderwerp kan ontwikkelen (Ma, 1999). Een belangrijke rol wordt hierbij toebedeeld aan de lerarenopleidingen die een hoge prioriteit moeten geven aan het verbeteren van zowel de breukenkennis als de manieren om breuken te onderwijzen (Siegler, et al., 2010). De “mathematical knowledge for teaching fractions” (MKTF) van leerkrachten dient te worden verhoogd (McLeman & Cavell, 2009). Als manieren om dit te realiseren wordt in de eerste plaats aangehaald dat toekomstige leerkrachten de kans moeten krijgen om authentiek werk van leerlingen te onderzoeken en onderling te bediscussiëren (McLeman & Cavell, 2009). Verder wordt ook het belang benadrukt om leerkrachten onderzoeksliteratuur met betrekking tot breuken en de breukenkennis van leerlingen te laten verkennen. Hierdoor worden toekomstige leerkrachten zich bewust van de breukenkennis van leerlingen, en worden ze uitgedaagd te reflecteren over bestaande instructiepraktijken en typische leersequenties, om zo alternatieven te overwegen (D'Ambrosio & Campos, 1992). Het is essentieel dat leerkrachten vertrouwd worden met wat leerlingen weten over breuken voor de instructie start en hoe ze hiermee omgaan, zoals bijvoorbeeld de neiging kennis van natuurlijke getallen ook toe te passen bij breuken.

Toekomstige

leerkrachten

kennis

bijbrengen

over

de

opvattingen

en 62

misvattingen van leerlingen over breuken is daarom een centrale taak van de lerarenopleiding (Siegler, et al., 2010; Tirosh, 2000). Edwards (2009) duidt daarnaast op de waarde van het begrijpen van de gebaren en lichaamstaal die mensen maken wanneer ze met breuken omgaan. Siegler et al. (2010) halen tenslotte aan dat leerkrachten voorbereid moeten worden om een variatie aan picturale en concrete representaties van breuken te kunnen gebruiken.

5.1.3 Breuken onderwijzen In dit onderdeel werden tien studies opgenomen die focussen op de manier waarop breuken onderwezen worden. De overkoepelende studies van Kilpatrick et al. (2001), Pitkethley & Hunting (1996), Siegler et al. (2010) en Van de Walle (2010) werden hier eveneens aangehaald (zie Tabel 20). De studies schuiven een grote variëteit aanbevelingen voor het onderwijzen van breuken naar voor, zowel inhoudelijk als praktijkgericht.

63

Tabel 10: Breuken onderwijzen

Referentie

Respondenten


Baroody, A. J., & Hume, J. (1991). Meaningful mathematics instruction: The case of fractions. Remedial and Special Education, 12(3), 54-68.

/

/


  

Bell, A. (1993). Some Leerlingen van experiments in diagnostic 10-11 jaar teaching. Educational Studies in Mathematics, 24(1), 115-137.

27

 

  

Breukeninstructie moet verder bouwen op de informele kennis van leerlingen aan de hand van fair-sharing activiteiten, en leerlingen moeten veel mogelijkheden krijgen om concreet met breuken te werken aan de hand van een variëteit aan modellen voordat ze formeel geïntroduceerd (in de vorm a/b) worden. Instructie rond bewerkingen met breuken moet beginnen met woordproblemen, en leerlingen moeten aangemoedigd worden om zelf oplossingen te bedenken o.b.v. hun informele kennis. Instructie moet de nadruk leggen op „waarom‟ en niet alleen op „hoe‟: instructie moet focussen op het ontwikkelen van begrip, niet het vanbuiten leren van feiten en procedures. (Vijf leerboeken voor breuken worden eveneens besproken, maar deze werden voor 1990 uitgegeven en hier dus niet opgenomen) Er worden drie experimenten besproken, hier worden enkel de resultaten van het tweede experiment rond breuken opgenomen. Een standaardmethode (A), waarbij leerlingen individueel werken aan de hand van leerboekjes (die voorbeelden aangeven en leerlingen nadien vragen laten beantwoorden om zo breukconcepten aan te brengen), wordt vergeleken met een conflict- en discussiemethode (B), waarbij leerlingen in groepjes van 3 een centrale vraag krijgen voorgeschoteld (zoals: vind het resultaat van 1/2 +1/3) en zelf op zoek moeten gaan naar een antwoord en rechtvaardiging voor dit antwoord. De leerlingen volgens methode B scoren beter op de posttest dan leerlingen volgens methode A. Leerlingen uit methode B behouden hun leerresultaten ook 7 weken na de posttest, terwijl de leerlingen uit methode A beduidend lager scoren 7 weken later. De betrokkenheid en leerplezier van leerlingen is veel groter volgens methode B.

64

Inagaki, K., Hatano, G., & Leerlingen uit het Morita, E. (1998). 4e en 5e leerjaar Construction of mathematical knowledge through whole-class discussion. Learning and Instruction, 8(6), 503-526.

283



 



Keijzer, R., & Terwel, J. Leerlingen uit het (2003). Learning for 6e leerjaar mathematical insight: a longitudinal comparative study on modelling. Learning and Instruction, 13(3), 285-304.

24





Leerlingen moeten verschillende oplossingsmethoden voor het optellen van breuken met verschillende noemers beoordelen (eerst individueel, nadien in een klasdiscussie en tot slot nogmaals individueel): o De noemers en tellers afzonderlijk optellen (1/2+1/5 = 2/7) o Breuken omzetten in decimale getallen voordat ze opgeteld worden.(1/2+1/5 = 0.5+0.2 = 0.7) o Standaardmethode: breuken omzetten naar gelijke noemers voordat ze opgeteld worden (1/2+1/5 = 5/10+2/10 = 7/10) De leerlingen kunnen individueel aannemelijke argumenten voor of tegen elk van de drie alternatieven aangeven. Zowel vocale als stille leerlingen kunnen een optelling van breuken met verschillende noemers correct oplossen bij de post-test en hierbij de ideeën van andere leerlingen uit de groepsdiscussie op een juiste manier betrekken. De leerlingen kunnen redelijke verklaringen die door andere leerlingen gegeven worden in de klasdiscussie herkennen en onthouden. Het getalbegrip van de leerlingen uit de experimentele groep, waar breuken geïntroduceerd worden aan de hand van een getallenas en een horizontale balk en de leerlingen onderling discussieerden over formele wiskunde, is veel groter dan bij leerlingen uit de controle groep, waarbij breuken geïntroduceerd worden aan de hand van fair sharing activiteiten en een cirkelmodel, en waarbij de leerlingen individueel werken. De experimentele groep overtreft de controle groep in zowel algemene wiskundige vaardigheden als in domein-specifieke bekwaamheden met betrekking tot breuken.

De studie van Keijzer & Terwel (2003) werd ook in het onderdeel „Curriculum - Modellen‟ opgenomen.

65

O'Connor, M. C. (2001). Leerlingen uit het "Can any fraction be 5e leerjaar turned into a decimal?" A case study of a mathematical group discussion. Educational Studies in Mathematics, 46(1/3), 143-185.

25

Olive, J., & Vomvoridi, E. Leerlingen uit het (2006). Making sense of 6e leerjaar instruction on fractions when a student lacks necessary fractional schemes: The case of Tim. Journal of Mathematical Behavior, 25(1), 18-45.

1



 





Een positie-gedreven discussie rond de vraag “Kan elke breuk omgezet worden in een decimaal getal?” bevordert het denken van leerlingen over breuken en zorgt ervoor dat leerlingen de logica van beweringen, de eigenschappen van het bewijsmateriaal onderzoeken, zoeken naar tegenvoorbeelden en definities verfijnen om beweringen te verscherpen. Het is essentieel dat leerkrachten zowel wiskundige kennis als kennis over de posities en argumenten die leerlingen kunnen innemen bezitten om de discussies te kunnen begeleiden. Er bestaat een kloof tussen de veronderstelde breukenkennis van leerlingen door de leerkracht en instructiemateriaal, die ervan uitgaan dat het concept van de eenheidsbreuk als een van verschillende gelijke delen van een geheel begrepen wordt, en de eigenlijke breukenkennis van de leerling. Hierdoor kan de leerling niet mee met instructie. Pas wanneer instructie wordt aangepast zodat effectief gebruik wordt gemaakt van geschikte breukenrepresentaties die aansluiten bij de aanwezige kennis van de leerling, slaagt deze erin om partitioning en de betekenis van de eenheidsbreuk onder de knie te krijgen. De instructie van leerkrachten moet gericht worden door de cognitieve schema‟s en beperkingen van hun eigen leerlingen

De studie van Olive & Vomvoridi (2006) werd eveneens in het onderdeel „Leersequenties – Breukenschema‟s‟ besproken.

66

Steiner, G. F., & Leerlingen uit het Stoecklin, M. (1997). 6e leerjaar Fraction calculation - A didactic approach to constructing mathematical networks. Learning and Instruction, 7(3), 211-233.

76









Progressive transformation (PT) didactiek volgt 5 stappen: o Expositie: start met een goed begrepen basisprobleem o Transformatie: van het basisprobleem o Anticipatie: schattingen over de resultaten o Verificatie: oplossing verifiëren door algoritmische berekening o Herziening: proces herbekijken en focussen op de relaties tussen elementen en de berekeningen PT didactiek bevordert conceptueel wiskundig denken: leerlingen uit de experimentele groep, die volgens PT didactiek onderwezen worden; zijn superieur in het omgaan met breukenproblemen die meer vereisen dan zuivere algoritmische procedures volgen, in vergelijking met leerlingen uit de controlegroep, die traditioneel onderwezen worden en een leerboek volgen. De leerlingen uit de experimentele groep hebben minder de neiging om enkel algoritmisch tot oplossingen te komen, en zijn superieur in het maken van schattingen voor hun oplossingen in vergelijking met de controlegroep. Leerlingen met een hoog IQ ondervinden het meeste voordeel uit PT-didactiek: zij hebben meer kans om hun mogelijkheden tot conceptueel probleemoplossen efficiënt te gebruiken dan leerlingen met een laag IQ.

67

Stipek, D., Salmon, J. M., Leerlingen en Givvin, K. B., Kazemi, E., leerkrachten uit het Saxe, G., & MacGyvers, V. 4e, 5e en 6e leerjaar L. (1998). The value (and convergence) of practices suggested by motivation research and promoted by mathematics education reformers. Journal for Research in Mathematics Education, 29(4), 465-488.

624 leerlingen en 24 leerkrachten







Motivatieonderzoek en onderzoek naar wiskundeonderwijs schuiven dezelfde instructiepraktijken naar voren om wiskundeonderwijs te verbeteren: o Focus op conceptuele breukenkennis o Zorg dat leerlingen zelfvertrouwen hebben. o Moedig leerlingen aan risico‟s te nemen om uitdagende, multidimensionele real-life taken te benaderen o Zorg dat leerlingen plezier beleven aan wiskunde en stimuleer hun positieve gevoelens ten opzichte van wiskunde. o Geef inhoudelijke feedback in plaats van punten toe te kennen. o Laat leerlingen wiskundige conversaties aangaan met elkaar. o Neem de fouten van leerlingen op in instructie als een natuurlijk en hulpvol onderdeel van wiskunde. Onderwijspraktijken uit beide onderzoeksgebieden hebben een positieve invloed op zowel motivatie als conceptueel leren, en positieve motivatie wordt geassocieerd met verhoogde vaardigheden ten opzichte van breuken. Een affectief klimaat is de sterkste voorspeller van motivatie van leerlingen. Als leerkrachten inzet, leren, begrip en autonomie boven presteren benadrukken, leidt dit tot meer positieve emoties met betrekking tot breuken en meer conceptueel leren (maar niet procedureel) bij leerlingen.

68

Streefland, L. (1993). The design of a mathematics course: A theoretical reflection. Educational Studies in Mathematics, 25(1/2), 109-135.

/

/

Streefland, L. (1993). Fractions: A realistic approach. In T. Carpenter, E. Fennema & T. Romberg (Eds.), Rational numbers: an integration of research (pp. 289-325). New Jersey: Lawrence Erlbaum.

/

1

De principes van realistisch rekenonderwijs worden onderzocht, onder andere met betrekking tot het onderwijzen van breuken:  De realiteit wordt als bron en toepassingsgebied gebruikt.  De wiskundige context moet voldoende rijk en betekenisvol zijn (zoals een restaurant met tafelschikking en het verdelen van eten onder een bepaald aantal mensen)  Schattingen zijn essentieel  De activiteiten zijn zo gekozen zodat nagestreefde inzichten niet belemmerd kunnen worden door voorbarig aangeleerde regels.  Het veranderen van perspectief is belangrijk. Hierbij wordt een deel van informatie uit de probleemsituatie verwisseld met datgene wat gevraagd wordt, en wordt een context volledig verkend. Hierbij worden verschillende leergebieden verweven (zoals bijvoorbeeld breuken en ratio)  Realistisch rekenonderwijs gaat ervan uit dat de realiteit gebruikt moet worden als bron en toepassingsgebied van wiskunde.  Door visuele modellen en diagrammen te gebruiken, wordt de kloof tussen abstract en concreet overbrugd bij het leren van breuken.  Equal-sharing situaties en de context van tafelschikkingen zijn geschikte startactiviteiten bij het aanleren van breukenkennis.  Het aanleren van breuken en ratio zijn verweven.  N-distractors of natural-number-distractors duiden op de neiging van leerlingen om rekenkundige regels voor natuurlijke getallen te gebruiken bij het omgaan met breuken. Het vroegtijdig verlaten van concrete bronnen voor breuksymbolen (a/b) zorgt voor dit soort fouten.  Er zijn vijf indicatoren om de vooruitgang van het denken van leerlingen te bepalen: o Verwerving van concepten en N-distractor fouten o Vooruitgang in schematisering o Flexibel gebruik van modellen en toepassing van diagrammen o Mogelijkheid om symboolproblemen (als ½ + ¼) op te lossen o Individuele constructies en producties op symbolisch niveau 69

Wat de inhoud van het breukenonderwijs betreft, is het in de eerste plaats cruciaal dat instructie de nadruk legt op „waarom‟ en niet alleen op „hoe‟: er moet gefocust worden op het ontwikkelen van begrip, niet het vanbuiten leren van feiten en procedures (Baroody & Hume, 1991). Leerlingen dienen hierbij voldoende ervaring te hebben met elk van de verschillende subconstructen van breuken, als ze breuken echt willen begrijpen. Bekwaamheid met breuken is afhankelijk van instructie die veel tijd geeft aan leerlingen om de verschillende subconstructen en de relaties ertussen te construeren (Kilpatrick, et al., 2001). Steiner & Stoecklin (1997) schuiven hierbij progressieve transformatiedidactiek (PT) naar voor, wat gericht is op het creëren van een wiskundig netwerk en het benadrukken van de relaties tussen de verschillende representaties van breuken. Verder is het belangrijk dat leerlingen vanaf het begin van breukeninstructie ook ervaring hebben met onechte breuken (zoals 3/2) en mixed numbers (zoals 3½). Dit wordt momenteel echter vaak vergeten (Van de Walle, 2010). Een volgende centraal concept dat leerlingen dienen aan te leren is de gelijkwaardigheid van breuken (zoals 6/8=3/4). Leerlingen moeten dit zowel conceptueel als procedureel begrijpen. Dit kan gerealiseerd worden aan de hand van concrete modellen waardoor leerlingen verschillende benamingen kunnen vinden voor eenzelfde breuk of het vergelijken van breuken (welke is de grootste breuk?) (Baroody & Hume, 1991; Van de Walle, 2010). Met betrekking tot bewerkingen met breuken is het belangrijk dat leerlingen de kans krijgen om zelf oplossingen voor breukproblemen te bedenken, waardoor ze verder bouwen op hun formele en informele voorkennis (Van de Walle, 2010). Dit kan bevorderd worden door berekeningen in te bedden in een realistische context of te starten vanuit meetactiviteiten aan de hand van getallenassen (Kilpatrick, et al., 2001; Siegler, et al., 2010). Ook bij het aanleren van algoritmen voor bewerkingen met breuken (zoals voor het vermenigvuldigen van breuken: a/b x c/d = axc/bxd) is het best om leerlingen deze zelf te laten ontdekken door hen te laten focussen op patronen bij het oplossen van breukproblemen (Siegler, et al., 2010; Van de Walle, 2010). Baroody & Hume (1991) stellen tot slot dat instructie moet beginnen met woordproblemen (vraagstukken), zodat leerlingen begrijpen wat het betekent om breuken op te tellen, af te trekken, te vermenigvuldigen en te delen, en dat geschreven breuksymbolen (zoals ½ en ¼) pas geïntroduceerd moeten worden nadat leerlingen vertrouwd zijn met concrete situaties om breuken weer te geven. De praktijkgerichte aanbevelingen richten zich op wat Van de Walle (2010) aanduidt als een „probleem-gebaseerde benadering‟ om breukenbegrip te ontwikkelen. Hierbij wordt vertrokken van rijke, contextuele taken (Kilpatrick, et al., 2001; Pitkethly & Hunting, 1996), waarbij leerlingen de kans krijgen om zelf hun eigen oplossingsmethoden voor problemen 70

te bedenken. Ook het verder bouwen op de informele voorkennis van leerlingen (Baroody & Hume, 1991) en het benadrukken van schatten is essentieel (Siegler, et al., 2010). Verder dienen bewerkingen met breuken verbonden te worden met bewerkingen met natuurlijke getallen, zodat verder kan worden gebouwd op wat leerlingen al weten. En tot slot moet elke bewerking met breuken verkend worden aan de hand van een variëteit aan concrete modellen om diepgaand breukenbegrip te ondersteunen (Baroody & Hume, 1991; Kilpatrick, et al., 2001; Streefland, 1993a). De principes van het realistisch rekenonderwijs van Streefland (1993a, 1993b), waarbij de realiteit zowel als bron voor en als toepassingsgebied van wiskunde gezien wordt, sluiten hierop aan. Equal-sharing activiteiten in realistische contexten, zoals het verdelen van pizza‟s, worden gezien als de centrale startactiviteit om breukenkennis te ontwikkelen. Door dit soort activiteiten als vertrekpunt te nemen, wordt rekening gehouden met de intuïtieve, informele kennis van leerlingen, en wordt het starten van het leren van breuken op een te abstract niveau vermeden (Baroody & Hume, 1991; Pitkethly & Hunting, 1996; Siegler, et al., 2010; Streefland, 1993b). Een andere startactiviteit die door Streefland (1993b) wordt aangehaald is een tafelschikking in een restaurant. Verschillende studies halen verder het belang van een klasdiscussie aan, om zo leren over breuken bij leerlingen te verdiepen (Bell, 1993; Inagaki, Hatano, & Morita, 1998; Keijzer & Terwel, 2003; O'Connor, 2001; Siegler, et al., 2010; Van de Walle, 2010). Het houden van een klasdiscussie zorgt ervoor dat leerlingen de logica van beweringen onderzoeken en verscherpen (O'Connor, 2001), het denken van leerlingen wordt uitgedaagd, en de ideeën en misvattingen van leerlingen worden blootgelegd (Bell, 1993; Van de Walle, 2010). Daarnaast blijken klasdiscussies ook voor meer betrokkenheid en leerplezier bij de leerlingen te zorgen (Bell, 1993). Het is belangrijk dat vaakvoorkomende misvattingen met betrekking tot bewerkingen met breuken behandeld worden samen met de leerlingen, als een natuurlijk onderdeel van instructie (Siegler, et al., 2010; Stipek, et al., 1998). Leerkrachten kunnen deze misvattingen presenteren in discussie over hoe en waarom bepaalde procedures tot correcte antwoorden leiden en waarom andere dit niet doen (Siegler, et al., 2010). Op deze manier worden leerlingen niet alleen geholpen om accurate breukenkennis te ontwikkelen, maar kunnen leerkrachten ook te weten komen wat leerlingen al dan niet begrijpen (Van de Walle, 2010). Bij dit alles is het essentieel dat leerkrachten de gepaste inhoudelijke en pedagogische kennis hebben om de discussies te ondersteunen (O'Connor, 2001). Instructie dient aangepast te zijn aan de aanwezige kennis en beperkingen van de leerlingen (Olive & Vomvoridi, 2006). 71

Tot slot geven Stipek, et al. (1998) aan dat het belangrijk is een affectief klimaat te creëren, waarbij inzet, begrip en autonomie boven presteren benadrukt worden, en leerlingen zelfvertrouwen en leerplezier ontwikkelen in het werken met breuken. Positieve motivatie wordt immers geassocieerd met verhoogde vaardigheden ten opzichte van breuken.

5.1.4 Curriculum Er werden in totaal tweeëntwintig studies in dit onderdeel opgenomen, verdeeld over de volgende vier categorieën:    

Alledaags materiaal (n=0) Technologie (n=7) Modellen (n=5) Geschreven leermateriaal (n=10)

De studies van Keijzer & Terwel (2001) en Moss & Case (1999) werden zowel in de categorie „Modellen‟ als in de categorie „Geschreven leermateriaal‟ opgenomen.

5.1.4.1 Alledaags materiaal In deze categorie werden geen specifieke studies opgenomen. Zoals in de vorige categorie duidelijk werd, halen verschillende studies wel het belang aan om problemen te presenteren in real-life, realistische contexten met plausibele getallen, om zo de intuïtieve probleemoplossingsvaardigheden van leerlingen te stimuleren. Realistische meetcontexten, zoals linten en linialen, en voedsel kunnen hierbij erg bruikbaar zijn. De leerlingen zelf kunnen een bron zijn om ideeën voor relevante contexten te vergaren (Siegler, et al., 2010; Streefland, 1993a; Van de Walle, 2007).

5.1.4.2 Technologie In deze categorie werden zeven studies opgenomen, deze bespreken allen een concrete toepassing van technologie bij het aanleren van breuken.

72

Tabel 11: Curriculum - Technologie

Referentie

Respondenten

Hunting, R. P., Davis, G., Leerlingen van 8 & Pearn, C. A. (1996). en 9 jaar Engaging whole-number knowledge for rationalnumber learning using a computer-based tool. Journal for Research in Mathematics Education, 27(3), 354-379.







Hwang, W.-Y., Chen, N.- Leerlingen uit het S., & Hsu, R.-L. (2006). 6e leerjaar Development and evaluation of multimedia whiteboard system for improving mathematical problem solving. Computers & Education, 46(2), 105-121.

38





 

Door problemen rond het vergelijken en de gelijkwaardigheid van breuken in het computer programma Copycat op te lossen (operator subconstruct) wordt de kennis van natuurlijke getallen geactiveerd en verdiepen leerlingen hun begrip van breuken. Drie cognitieve schema‟s zijn bij de leerlingen geïdentificeerd: o Equal-outputs schema: beperkt in effectiviteit tot het vergelijken van eenheidsbreuken. o Equal-inputs schema: dit activeert de strategieën om een gemeenschappelijk veelvoud te bepalen. o Scaling schema: ratio wordt gebruikt om een breuk tussen twee gegeven breuken te vinden. De ontwikkeling van breukenkennis en kennis van natuurlijke getallen zijn onderling afhankelijk: operator-taken met breuken stimuleren en breiden de kennis van natuurlijke getallen uit, en gemak met relaties tussen natuurlijke getallen stelt leerlingen in staat om vergelijkingsproblemen tussen breuken op te lossen. Leerlingen hebben plezier in het werken met het web-based multimedia whiteboard system, waarbij ze hun oplossingen neerschrijven op het whiteboard en orale verklaringen opnemen om hun denkproces te verduidelijken. Het web-based whiteboard system is nuttig voor samenwerkend leren: het delen van breuken wordt gemakkelijk en effectief bediscussieerd met peers, waardoor hun wiskundige mogelijkheden verbeteren. De meisjes presteren beter dan de jongens voor zowel communicatie (probleemoplossingen verduidelijken) als probleemoplossen (delingen van breuken correct oplossen). De hoger scorende leerlingen hebben betere wiskundige vaardigheden om kritieken en argumenten te geven bij hun oplossingen.

De studie van Tzur (1999) werd ook in het onderdeel „Leersequenties-Breukenschema‟s‟ opgenomen.

73

Kong, S. C. (2008). The Leerlingen uit het development of a 4e leerjaar cognitive tool for teaching and learning fractions in the mathematics classroom: A design-based study. Computers & Education, 51(2), 886-899.

48



   

Kong, S. C., & Kwok, L. F. (2003). A graphical partitioning model for learning common fraction: Designing affordances on a websupported learning environment. Computers & Education, 40(2), 137155.

/

/

 

Er zijn geen significante verschillen vastgesteld tussen de leerresultaten van de experimentele groep, die per twee werken met het graphical partitional model (GPM, zie Kong & Kwok (2003)), en de controlegroep die individueel een traditioneel werkboek en instructie van de leerkracht volgen. Het GPM zorgt voor stimulatie van de leermotivatie en enthousiasme bij de leerlingen. Het GPM realiseert diep leren zoals een spontane associatie tussen voorkennis en het oproepen van nieuw verworven concepten in het leerproces. Het GPM stimuleert samenwerkend leren: het stimuleert wederkerig tutoring waarbij leerlingen onderling discussieerden over het onderwerp. Het GPM is nuttig voor risicoleerlingen omdat het toelaat de verschillende mogelijkheden van leerlingen aan te boren en actief leren in een samenwerkende leeromgeving vergemakkelijkt. Centraal aan het begrijpen van procedures bij bewerkingen met breuken (optellen en aftrekken) is het concept van gelijkwaardigheid van breuken. Daartoe werd het graphical partitional model (GPM) ontworpen met drie centrale functies: o Functie 1: het verslepen van repen (fraction bars) om de gelijkwaardigheid ervan na te gaan. o Functie 2: partitioning device die het verdelen in breukdelen grafisch representeert. o Functie 3: testbed voor hypothesen in de vorm a/b = axc/bxd. Er wordt aan leerlingen gevraagd om mogelijke gelijkwaardige breuken te testen door de parameters c en d aan te passen.

74

Kong, S. C., & Kwok, L. F. Leerlingen uit het (2005). A cognitive tool 4e leerjaar for teaching the addition/subtraction of common fractions: A model of affordances. Computers & Education, 45(2), 245-265.

48





 

Roschelle, J., Rafanan, Leerlingen uit het K., Estrella, G., 4e leerjaar Nussbaum, M., & Claro, S. (2010). From handheld collaborative tool to effective classroom module: Embedding CSCL in a broader design framework. Computers & Education, 55(3), 10181026.

Het aantal leerlingen wordt niet specifiek aangegeven





Het graphical partitional model (GPM) (zie Kong & Kwok (2003)) stelt leerlingen in staat om een concept van de gelijkwaardigheid van breuken te ontwikkelen en zo procedurele kennis voor het optellen en aftrekken van breuken met ongelijke noemers te vergaren. Het GPM werkt erg bevorderend voor leerlingen met hoge en gemiddelde wiskunderesultaten, maar stelt slechts enkele laagpresterende leerlingen in staat om procedurele kennis te ontwikkelen omdat het GPM hen niet kan helpen om het concept van gelijkwaardige breuken te ontwikkelen. Geen verschillen in interactiepatronen met het GPM zijn vastgesteld tussen leerlingen met verschillende prestatieniveaus. Leerlingen verkiezen de eerste functie van het GPM: het verslepen van repen (fractionbars) om de gelijkwaardigheid ervan na te gaan. TechPals, een Computer Supported Collaborative Learning (CSCL) – tool uit Chili, bestaat uit vier activiteiten: o Consensus activiteit: leerlingen moeten in groepjes van 3 tot hetzelfde antwoord op een multiple choice vraag komen o Uitwisselingsactiviteit: leerlingen wisselen onderling representaties van breuken uit tot ze twee gelijkwaardige breuken vinden o Orden-activiteit: leerlingen moeten breuken gezamenlijk volgens stijgende grootte ordenen o Ertussen richten activiteit: leerlingen moeten op zoek gaan naar een breuk die binnen een gegeven interval op de getallenas valt TechPALS zorgt ervoor dat: o Leerlingen grotere vooruitgang maken op breukenkennis dan leerlingen uit de controlegroep, die individueel in een online leeromgeving breuken verkennen. o Leerlingen meer samenwerken.

75

Tzur, R. (1999). An Leerlingen uit het integrated study of 4e leerjaar children's construction of improper fractions and the teacher's role in promoting that learning. Journal for Research in Mathematics Education, 30(4), 390-416.

2



 

De leerlingen evolueren van een partitive breukenschema(3) naar een iteratief breukenschema(5) (zie Steffe (2002)), gestimuleerd door de taken in het computerprogramma Sticks, waarbij leerlingen allerlei acties kunnen uitvoeren met repen in verschillende vormen en kleuren (zoals deze op verschillende manieren verdelen in gelijke delen, lengtes vergelijken,...). De constructie van breukenschema‟s is verbonden aan de aanpassingen van leersituaties en de leerkracht-leerling interactie. Drie types van taken zijn op basis van de hypothetische leertrajecten geïdentificeerd om de constructie van het iteratieve breukenschema te bevorderen. Deze taken tonen de link tussen de drie onderdelen van een schema en de mogelijke interventies van de leerkracht. o Initiële taak: herkenning van een bepaalde activiteit bevorderen o Reflectieve taak: bewustzijn van de activiteit-resultaat-relatie bevorderen o Anticiperende taak: abstractie van de activiteit-resultaat-relatie bevorderen in afwezigheid van de activiteit

De studie van Tzur (1999) werd ook in het onderdeel „Leersequenties-Breukenschema‟s‟ opgenomen.

76

Verschillende studies halen het gebruik van computerprogramma‟s aan waarbij leerlingen aan de hand van horizontale balken van verschillende lengtes en kleuren de gelijkwaardigheid van breuken verkennen (Kong, 2008; Kong & Kwok, 2003, 2005; Tzur, 1999). Het concept van gelijkwaardigheid van breuken is immers centraal voor het begrijpen van bewerkingen met breuken (Kong & Kwok, 2003), en bouwt verder op kennis van natuurlijke getallen (Hunting, et al., 1996). Het werken aan de hand van deze programma‟s verdiept het breukenbegrip van leerlingen door verder te bouwen op hun voorkennis (Hunting, et al., 1996), en blijkt verder ook de leermotivatie en het enthousiasme van leerlingen te stimuleren (Kong, 2008). Daarnaast wordt technologie in enkele studies ook gebruikt om de samenwerking tussen leerlingen te bevorderen (Hwang, Chen, & Hsu, 2006; Kong, 2008; Roschelle, Rafanan, Estrella, Nussbaum, & Claro, 2010). Roschelle et al. (2010) spreken hierbij van Computer Supported Collaborative Learning. Door leerlingen onderling hun oplossingen voor breukproblemen te laten bediscussiëren en tot overeenstemming te laten komen, helpen leerlingen elkaar niet alleen maar worden ze ook meer betrokken bij het oplossen van wiskundige problemen en wordt hun breukenkennis zo verdiept (Hwang, et al., 2006; Kong, 2008; Roschelle, et al., 2010). Hwang, Chen & Hsu (2006) duiden hierbij op het gebruik van een elektronisch whiteboard en een spraakopname-apparaat waarop leerlingen hun oplossing neer kunnen schrijven en achterliggende gedachten kunnen delen met elkaar.

5.1.4.3 Modellen In deze categorie werden vijf studies opgenomen. Voor de bespreking van de modellen volgden we de onderverdeling van Van de Walle (2010) (zie Tabel 20). Hij maakt een onderscheid tussen oppervlaktemodellen, lengtemodellen en setmodellen. Drie van de studies focussen op het gebruik van een getallenas bij het aanleren van gelijkwaardigheid en het optellen van breuken, en vallen dus onder te verdelen bij de lengtemodellen. De overige twee studies leggen de nadruk op oppervlaktemodellen. Daarnaast werd ook de overkoepelende studie van Siegler et al. (2010) hier aangehaald omdat er verschillende modellen in vermeld worden, waarbij vooral de getallenas een belangrijke rol toebedeeld krijgt (zie Tabel 20).

77

Tabel 12: Curriculum - Modellen

Referentie

Respondenten

Ball, D. L. (1993). Halves, Leerlingen van het pieces and twoths: 3e leerjaar Constructing and using representational contexts in teaching fractions. In T. Carpenter, E. Fennema & T. Romberg (Eds.), Rational numbers: an integration of research (pp. 157-195). New Jersey: Lawrence Erlbaum.

Grootte van de steekproef /




Izsak, A., Tillema, E., & Leerlingen uit het Tunc-Pekkan, Z. (2008). 6e leerjaar Teaching and learning fraction addition on number lines. Journal for Research in Mathematics Education, 39(1), 33-62.

19 leerlingen en 1  leerkracht





Bij de selectie van geschikte breukenrepresentaties moeten leerkrachten aandacht hebben voor zowel de inhoudelijke breukenkennis die ze willen aanbrengen, als voor de manieren waarop leerlingen nadenken over breuken en de effecten die verschillende representaties hierbij op hen hebben. o Rechthoekige oppervlaktemodellen blijken bijvoorbeeld gemakkelijker te zijn voor kinderen om te verdelen dan cirkelmodellen, omdat rechthoeken beter toelaten om patronen te ontdekken (zoals: om x delen te creëren trek je x1 verticale lijnen) Vruchtbare representatiecontexten voor breuken moeten gecreëerd worden samen met leerlingen, aangepast aan hun begrip en ingebed in voor hen betekenisvolle contexten (zoals koekjes). Een drie-stappen patroon wordt door de leerkracht aangebracht om de optelling van breuken op een getallenas uit te werken: o (1) Bepaal hoe lang de getallenas moet zijn door het resultaat te schatten o (2) Verdeel de getallenas in eenheidsbreuken en benoem de delen o (3) Teken pijlen op de getallenas om de opgetelde breuken aan te duiden en omcirkel het uiteindelijke antwoord De manier van tekenen van de getallenassen zorgde voor miscommunicatie tussen de leerlingen en de leerkracht wanneer de leerkracht bij het verdelen van de getallenas (stap 2) de breedte van de eenheidsbreuken verkeerd inschat, en de getallenas verlengt zodat de delen juist uitkomen. Dit is onbegrijpelijk voor de leerlingen en zorgt ervoor dat ze moeite hebben om een „fixed whole‟ (vast geheel) te behouden. Leerlingen hebben moeite om gelijkwaardige breuken aan te duiden op eenzelfde punt op de getallenas. 78

Keijzer, R., & Terwel, J. (2001). Audrey's acquisition of fractions: A case study into the learning of formal mathematics. Educational Studies in Mathematics, 47(1), 53-73.

De leeftijd van de respondent wordt niet concreet aangegeven.

1





 Keijzer, R., & Terwel, J. Leerlingen uit het (2003). Learning for 6e leerjaar mathematical insight: a longitudinal comparative study on modelling. Learning and Instruction, 13(3), 285-304.

24





Een experimenteel curriculum voor breuken wordt ontwikkeld, waarbij klasdiscussies, verschillende contexten, verschillende modellen aan bod komen, vertrokken wordt vanuit de informele voorkennis van leerlingen, en de nadruk ligt op de ontwikkeling van „number sense‟ De onderwijsstrategie bestaat uit 4 stappen: o (1) Breukentaal verwerven om eenheidsbreuken te benoemen o (2) Getallenas gebruiken om breuken te leren o (3) Breuken vergelijken o (4) Formele breuken (in de vorm a/b) aanleren De leerling ontwikkelt een volledig begrip van breuken door het experimentele curriculum te volgen. Het getalbegrip van de leerlingen uit de experimentele groep, waar breuken geïntroduceerd worden aan de hand van een getallenas en een horizontale balk en de leerlingen onderling discussieerden over formele wiskunde, is veel groter dan bij leerlingen uit de controle groep, waarbij breuken geïntroduceerd worden aan de hand van fair sharing activiteiten en een cirkelmodel, en waarbij de leerlingen individueel werken. De experimentele groep overtreft de controle groep in zowel algemene wiskundige vaardigheden als in domein-specifieke bekwaamheden met betrekking tot breuken.

De studie van Keijzer & Terwel (2001) werd ook besproken in de categorie „Curriculum –Geschreven leermateiaal‟.

79

Moss, J., & Case, R. (1999). Leerlingen uit het Developing children's 4e leerjaar understanding of the rational numbers: A new model and an experimental curriculum. Journal for Research in Mathematics Education, 30(2), 122-147.

29





  

Centrale functies van het nieuwe curriculum zijn: o Meer nadruk op de betekenis (concepten) van rationale getallen dan op de procedures. o Meer nadruk op de proportionele aard van rationale getallen, om het verschil met natuurlijke getallen te benadrukken. o Een grotere nadruk op de informele kennis van leerlingen o Het gebruik van de getallenas o Volgorde: (1) percent in een lineaire meetcontext, (2) decimalen, (3) breuken Leerlingen van de experimentele groep, die het nieuwe curriculum volgen, bouwen een dieper begrip over rationale getallen op, vertrouwen minder op strategieën met natuurlijke getallen bij het oplossen van nieuwe problemen en gebruiken meer frequent proportionele concepten bij het rechtvaardigen van hun antwoorden dan leerlingen uit de controlegroep die een traditioneel breukencurriculum volgen. De leerlingen in de experimentele groep gebruiken een variëteit aan strategieën wat hun zelfvertrouwen, flexibiliteit en vindingrijkheid bevordert. Er zijn geen verschillen tussen de experimentele en de controlegroep met betrekking tot berekeningen met breuken. Het cirkelmodel is één van de oorzaken achter de moeilijkheden die leerlingen hebben met breuken doordat, die het denken over breuken als bestaand uit twee natuurlijke getallen bevordert.

De studie van Moss & Case (1999) werd ook opgenomen in de categorie „Curriculum –Geschreven leermateiaal‟.

80

Van de Walle (2010) onderscheidt drie soorten modellen bij het werken met breuken. De eerste soort zijn oppervlaktemodellen. Breuken worden bij deze modellen gepresenteerd als een deel van een oppervlakte. Dit is een goed startpunt, en is noodzakelijk voor sharing taken waarbij een oppervlakte in kleinere delen verdeeld wordt. Enkele voorbeelden van oppervlaktemodellen zijn cirkelmodellen, pattern blocks, het vouwen van papier en papieren roosters (Van de Walle, 2010). Het cirkelmodel is het meest gebruikte oppervlaktemodel. Een voordeel van dit model is dat het deel-geheel concept van breuken benadrukt wordt (Cramer, Wyberg & Leavitt, 2008 in Van de Walle, 2010). Moss & Case (1999) wijzen echter op de beperkingen van het cirkelmodel als één van de oorzaken achter de moeilijkheden die leerlingen hebben met breuken. De reden hiervoor is dat het cirkelmodel het denken over een breuk als bestaand uit twee natuurlijke getallen bevordert, omdat leerlingen om bijvoorbeeld de breuk ¾ te benoemen enkel 3 van de 4 delen moeten tellen, zonder rekening te houden met de relaties tussen de getallen. Ball (1993) duidt er verder op dat rechthoekige oppervlaktemodellen gemakkelijker te begrijpen zijn voor kinderen, omdat deze toelaten om patronen te herkennen bij het oplossen van breukproblemen. De tweede soort modellen zijn de lengtemodellen. Bij deze modellen worden lengtes vergeleken in plaats van oppervlaktes. Lengtemodellen zijn verbonden met meten, wat een natuurlijke en realistische context vormt om breuken te verkennen (Siegler, et al., 2010). Enkele voorbeelden van lengtemodellen zijn Cuisenaire rods, dit zijn blokken die bestaan in lengtes van 1 tot 10 en die gemeten worden in termen van het kleinste blokje, stroken papier en de getallenas (Van de Walle, 2010). Verschillende onderzoekers zijn tot de conclusie gekomen dat de getallenas een essentieel model is dat meer benadrukt moet worden in het onderwijzen van breuken (Siegler, et al., 2010), en diverse experimentele curricula kennen getallenassen dan ook een centrale plaats toe bij het aanleren van breuken (Keijzer & Terwel, 2001, 2003; Moss & Case, 1999). De getallenas benadrukt zowel dat een breuk één getal is, evenals zijn relatieve grootte ten opzichte van andere getallen. Dit is niet duidelijk bij oppervlaktemodellen (Van de Walle, 2010). Verder wordt ook het begrip dat er altijd een breuk kan gevonden worden tussen twee andere breuken (Van de Walle, 2010), en het begrip van negatieve breuken versterkt door het gebruik van een getallenas. Getallenassen zijn daarnaast ook heel bruikbaar voor het vergelijken van breuken en om begrip van de gelijkwaardigheid van breuken te bevorderen door leerlingen bijvoorbeeld te vragen om 2/5 en 4/10 te lokaliseren op eenzelfde getallenas (Siegler, et al., 2010). Izsak, Tillema & TuncPekkan (2008) wijzen echter wel op de mogelijke moeilijkheden die leerlingen kunnen hebben met het aanduiden van gelijkwaardige breuken op eenzelfde punt op een getallenas,

81

en op het feit dat het tekenen van getallenassen voor miscommunicatie kan zorgen tussen de leerlingen en de leerkracht. Zorgvuldig en consequent te werk gaan is dus de boodschap. De derde soort modellen zijn de setmodellen. In setmodellen wordt het geheel gezien als een set van objecten, waarbij de deelverzamelingen de breukdelen voorstellen. Setmodellen zijn moeilijk om te begrijpen voor sommige kinderen door het idee om naar een collectie te verwijzen als een enkele entiteit. Leerlingen focussen vaak op de grootte van de deelverzamelingen in plaats van op het aantal gelijke deelverzamelingen waaruit het geheel bestaat. Desalniettemin helpen setmodellen om belangrijke connecties te leggen met alledaags gebruik van breuken en met ratioconcepten. Een voorbeeld van een setmodel zijn damschijven met een verschillende kleur aan elke zijde. Deze kunnen gemakkelijk omgedraaid worden om van kleur te veranderen en kunnen zo verschillende breukdelen van een volledige set vormen (Van de Walle, 2010). Deze verschillende modellen bieden elk verschillende leermogelijkheden. Het is belangrijk om modellen van elke soort te gebruiken, waardoor het breukenbegrip van leerlingen verdiept en verbreedt (Van de Walle, 2010). De visuele representaties laten toe om bewerkingen met breuken concreet voor te stellen en zo de leerlingen hun begrip van algoritmen te verbeteren (Siegler, et al., 2010). Vruchtbare representatiecontexten voor breuken moeten tot slot gecreëerd worden samen met leerlingen, aangepast aan hun begrip en ingebed in voor hen betekenisvolle contexten (Ball, 1993).

5.1.4.4 Geschreven leermateriaal Tien studies werden opgenomen in dit onderdeel. Deze studies handelen over een mogelijke impact die een curriculum kan hebben op de leerervaringen van leerlingen. Er wordt geduid op tekorten in huidige breukencurricula, en als reactie daarop worden verschillende

aanbevelingen

gegeven

voor

de

ontwikkeling

van

een

nieuw

breukencurriculum. Verder spitsen twee studies zich toe op een internationale vergelijking tussen breukencurricula, en er wordt tot slot gewezen op de centrale rol van leerkrachten bij het uitdragen van curricula.

82

Tabel 13: Curriculum - Leermateriaal

Referentie

Respondenten



Carnine, D., Jitendra, A. K., & Silbert, J. (1997). A descriptive analysis of mathematics curricular materials from a pedagogical perspective A case study of fractions. Remedial and Special Education, 18(2), 66-81. Cramer, K. A., Post, T. R., & delMas, R. C. (2002). Initial fraction learning by fourth- and fifth-grade students: A comparison of the effects of using commercial curricula with the effects of using the rational number project curriculum. Journal for Research in Mathematics Education, 33(2), 111-144.

3 curricula voor het 5e leerjaar

/

Probleemgebieden worden geïdentificeerd in drie curricula:  Centrale ideeën worden zelden aangeduid, geïntroduceerd of geïntegreerd.  Inhoud wordt te snel geïntroduceerd.  Demonstraties zijn vaak niet expliciet en niet duidelijk.  Manipulatieve activiteiten zijn vrijblijvend en niet effectief.  Er wordt geen adequate feedback voorzien.


Meer dan 1600 (uit 66 klassen)









Het experimentele Rational Number Project (RNP) curriculum benadrukt actieve betrokkenheid van leerlingen, onderlinge discussie, het gebruik van diverse fysieke modellen en vertalen binnen en tussen deze vormen van representatie (picturaal, concreet, verbaal, realistisch en symbolisch). Leerlingen die het RNP breukencurriculum volgen, presteren beter op de posttest en hebben ook een beter behoud van leerresultaten dan leerlingen die uit de controle groep die commerciële curricula (CC) voor het leren van breuken volgen. RNP leerlingen benaderen taken m.b.t. het schatten en ordenen (van klein naar groot) van breuken conceptueel door verder te bouwen op hun geconstrueerde mentale beelden over breuken terwijl CC leerlingen meer gebruik maken van standaard, vaak vanbuiten geleerde, procedures (algoritmen). De RNP leerlingen presteren zo goed omdat ze omgaan met breuken op verschillende manieren en voldoende tijd krijgen om begrip te ontwikkelen over de betekenis van de formele symbolen.

83

Dorgan, K. (1994). What Curricula voor het textbooks offer for 1e tot 5e leerjaar instruction in fraction concepts. Teaching Children Mathematics, 1(3), 150.

/





In drie leerboekenseries wordt vastgesteld dat: o Het percentage pagina‟s gewijd aan breuken stijgt naarmate de leerlingen ouder worden, gaande van 2% in het eerste leerjaar tot 34% in het vijfde leerjaar. o Vooral foto‟s worden gebruikt om breuken te representeren, en eens een concept geïntroduceerd is, wordt vooral teruggevallen op geschreven symbolen (in de vorm a/b). o Verschillende concrete modellen voor breuken worden beschreven, voor zowel discrete als continue hoeveelheid. o De meerderheid van de leerboeken omvat instructie om procedures voor berekeningen te ontwikkelen. o Partitioning wordt slechts heel beperkt herkend als startpunt om breukenkennis te ontwikkelen. Implicaties voor leerkrachten worden aangegeven: o Leerkrachten moeten zorgen voor aanvullende en alternatieve activiteiten, het leerboek is slechts één van vele tools om breuken aan te brengen.  Leerkrachten moeten leerlingen helpen om connecties maken over de verschillende representaties heen.  Diep, kwalitatief begrip en redeneren over breuken construeren kost tijd: leerlingen hebben verschillende ervaringen en tijd om te denken en praten nodig, en de leerkracht moet dit voorzien.

84

Gearhart, M., Saxe, G. B., Hoogste jaren van Seltzer, M., Schlackman, het lager onderwijs J., Ching, C. C., Nasir, N. i., et al. (1999). Opportunities to learn fractions in elementary mathematics classrooms. Journal for Research in Mathematics Education, 30(3), 286-315.

21 klassen









Drie groepen leerlingen volgen een verschillend breukencurriculum en ook de professionele ontwikkeling van de leerkrachten van de drie groepen verschilt: o (1) Integrating Mathematics Assessment (IMA)-groep: probleemoplossingsgericht curriculum ( gericht op actieve betrokkenheid van leerlingen, nadruk op conceptueel begrip, gebruik van verschillende modellen, groepsdiscussie, open vragen en probleemoplossen), en professionele ontwikkeling van de leerkracht gericht op vergroten van zowel breukenkennis, de manier waarop kinderen breuken leren en pedagogie die verder bouwt op het denken van leerlingen. o (2) Controlegroep: probleemoplossingsgericht curriculum en professionele ontwikkeling van de leerkracht gericht op reflecteren over eigen onderwijspraktijken in een gemeenschap met andere leerkrachten (collegial support) o (3) Traditioneel onderwezen groep: traditioneel curriculum dat het ontwikkelen van vaardigheden met breuken benadrukt, en geen professionele ontwikkeling voor de leerkracht. Het probleemoplossingsgericht curriculum heeft een positief effect op de leermogelijkheden van leerlingen: de traditioneel onderwezen groep scoort lager dan de controlegroep en de IMAgroep op een specifiek ontworpen schaal om leermogelijkheden te meten. Het gebruik van een probleemoplossingsgericht curriculum vermindert de mogelijkheden van leerlingen om zich te engageren met breuksymbolen (a/b): de controlegroep scoort lager dan de traditioneel onderwezen en IMA-groep voor berekeningen met breuksymbolen. Ondersteuning voor de kennis van leerkrachten is nodig opdat een probleemoplossingsgericht curriculum bevorderlijk kan zijn voor de leermogelijkheden van leerlingen.

85

Keijzer, R., & Terwel, J. (2001). Audrey's acquisition of fractions: A case study into the learning of formal mathematics. Educational Studies in Mathematics, 47(1), 53-73.

De leeftijd van de respondent wordt niet concreet aangegeven.

1





 Lamon, S. J. (2001). Leerlingen uit het Presenting and 3e, 4e, 5e en 6e representing: from leerjaar fractions to rational numbers. In A. Cuoco & F. Curcio (Eds.), The roles of representations in school mathematics 2001 yearbook (pp. 146165). Reston: NCTM.

111



 

Een experimenteel curriculum voor breuken wordt ontwikkeld, waarbij klasdiscussies, verschillende contexten, verschillende modellen aan bod komen, vertrokken wordt vanuit de informele voorkennis van leerlingen, en de nadruk ligt op de ontwikkeling van „number sense‟ De onderwijsstrategie bestaat uit 4 stappen: o (1) Breukentaal verwerven om eenheidsbreuken te benoemen o (2) Getallenas gebruiken om breuken te leren o (3) Breuken vergelijken o (4) Formele breuken (in de vorm a/b) aanleren De leerling ontwikkelt een volledig begrip van breuken door het experimentele curriculum te volgen. Zes klassen worden 4 jaar lang verschillend onderwezen rond breuken: 5 experimentele klassen starten elk vanuit een verschillend subconstruct om breuken (a/b) aan te leren zonder dat algoritmen worden aangebracht, en de zesde klas wordt als controlegroep traditioneel onderwezen volgens het deel-geheel subconstruct en gericht op het vanbuiten leren van regels. Op korte termijn (de eerste 2.5 jaar) kunnen de experimenteel onderwezen leerlingen niet concurreren met de controlegroep voor berekeningen met breuken. Na 4 jaar hebben alle leerlingen in de 5 experimentele groepen een dieper begrip van rationale getallen ontwikkeld dan de controle groep: o Leerlingen uit de experimentele groepen scoren hoger voor proportioneel redeneren en voor berekeningen met breuken. o Leerlingen uit de controlegroep beheersen in het 6e leerjaar maximum 2 subconstructen, terwijl leerlingen uit de experimentele groepen tot 4 subconstructen beheersen. o Leerlingen die starten met de deel-geheel, maat en ratio subconstructen scoren het beste.

De studie van Keijzer & Terwel (2001) werd eveneens beschreven in de categorie „Curriculum – Modellen‟.

86

Moss, J., & Case, R. Leerlingen uit het (1999). Developing 4e leerjaar children's understanding of the rational numbers: A new model and an experimental curriculum. Journal for Research in Mathematics Education, 30(2), 122-147.

29





  

Centrale functies van het nieuwe curriculum zijn: o Meer nadruk op de betekenis (concepten) van rationale getallen dan op de procedures. o Meer nadruk op de proportionele aard van rationale getallen, om het verschil met natuurlijke getallen te benadrukken. o Een grotere nadruk op de informele kennis van leerlingen o Het gebruik van de getallenas o Volgorde: (1) percent in een lineaire meetcontext, (2) decimalen, (3) breuken Leerlingen van de experimentele groep, die het nieuwe curriculum volgen, bouwen een dieper begrip over rationale getallen op, vertrouwen minder op strategieën met natuurlijke getallen bij het oplossen van nieuwe problemen en gebruiken meer frequent proportionele concepten bij het rechtvaardigen van hun antwoorden dan leerlingen uit de controlegroep die een traditioneel breukencurriculum volgen. De leerlingen in de experimentele groep gebruiken een variëteit aan strategieën wat hun zelfvertrouwen en flexibiliteit bevordert. Er zijn geen verschillen tussen de experimentele en de controlegroep met betrekking tot berekeningen met breuken. Het cirkelmodel is één van de oorzaken achter de moeilijkheden die leerlingen hebben met breuken doordat die het denken over breuken als bestaand uit twee natuurlijke getallen bevordert.

De studie van Moss & Case (1999) werd ook opgenomen in de categorie „Curriculum – Modellen‟.

87

Post, T., Cramer, K., Behr, M., Lesh, R., & Harel, G. (1993). Curriculum implementations of research on the learning, teaching and assessing of the rational number concepts. In T. Carpenter, E. Fennema & T. Romberg (Eds.), Rational numbers: an integration of research (pp. 327-362). New Jersey: Lawrence Erlbaum.

/

/

 

  

 



Een uitgebreider curriculum voor breuken is noodzakelijk. Er moet meer vertrouwd worden op de interrelaties tussen de verschillende representaties van rationale getallen, zoals in het vertalingsmodel van Lesh (1979): foto‟s, gesproken symbolen (zoals derden), concrete manipulatiematerialen, realistische situaties en geschreven symbolen (in de vorm a/b). De ontwikkeling van concepten van volgorde, gelijkwaardigheid en eenheid moeten verkozen worden boven rekenkundige bewerkingen met rationale getallen. Het curriculum moet de complexiteit van rationale getallen reflecteren en meer instructietijd toewijzen aan dit onderwerp. Begrip komt voort uit het construeren van mentale denkbeelden. De nadruk moet liggen op het vertalen binnen en tussen de verschillende manieren van representatie wat het vergelijken, contrasteren en synthetiseren van ideeën vereist (Lesh, 1979). Een instructieprogramma moet een grote variëteit aan manipulatiematerialen gebruiken. Beoordeling van leerlingen moet meer fantasierijk worden, een grotere variëteit aan bronnen zoals onder andere de computer gebruiken, en meer parallel lopen met instructie. Het vertalingsmodel heeft belangrijke implicaties voor de beoordeling. Aangezien leerkrachten diegenen zijn die curricula implementeren, moet de relatie tussen inhoudelijke kennis van leerkrachten en didactische beslissingen van leerkrachten verder onderzocht worden.

88

Son, J.-W., & Senk, S. Curricula voor het (2010). How reform 5e en 6e leerjaar curricula in the USA and Korea present multiplication and division of fractions. Educational Studies in Mathematics, 74(2), 117142.

/



 

  

Het vermenigvuldigen van breuken wordt een semester vroeger geïntroduceerd in het Koreaanse curriculum (KM) dan in Everyday Mathematics (EM) in de Verenigde Staten, maar het aantal lessen dat aan het onderwerp gewijd wordt, is ongeveer gelijk. Het delen van breuken wordt gelijktijdig geïntroduceerd in beide curricula, maar KM bevat vijf maal zoveel lessen en acht maal zoveel problemen rond het delen van breuken dan EM. Beide curricula voorzien mogelijkheden om zowel conceptuele als procedurele breukenkennis te ontwikkelen. Bij EM wordt eerst conceptuele kennis ontwikkeld en nadien procedurele kennis, terwijl deze bij KM gelijktijdig ontwikkeld worden. KM heeft meer berekeningsproblemen met meerdere tussenstappen dan EM, en de antwoordtypes zijn daarnaast ook meer gevarieerd in KM. Er wordt gesteld dat de verschillen in leerboeken zorgen voor verschillen in leermogelijkheden en op deze manier bijdragen tot verschillen in leerlingenprestaties. Vijf kenmerken van leerboeken werden geïdentificeerd die kunnen zorgen voor de superieure prestaties van Aziatische leerlingen internationaal: o Er wordt meer tijd toegewezen aan centrale onderwerpen. o De leerlingen krijgen de mogelijkheid om concepten en procedures simultaan te ontwikkelen (i.p.v. sequentieel) o De leerlingen krijgen de mogelijkheid om aanvullende computationele strategieën te leren. o De leerlingen krijgen mogelijkheden om zich te engageren voor meer uitdagende problemen. o De leerlingen krijgen de mogelijkheid om verschillende modellen te gebruiken bij het oplossen van problemen.

89

Watanabe, T. (2006). The Curricula voor het teaching and learning of 4e, 5e en 6e leerjaar fractions: A Japanese perspective. Teaching Children Mathematics, 12(7), 368-374.

/

   

 

Breuken worden later geïntroduceerd in het Japanse curriculum dan in het Amerikaanse. De onderwerpen in elk leerjaar lijken meer gefocust te zijn in het Japanse curriculum. Breuken worden in het Japanse curriculum meestal aan de hand van een meetcontext geïntroduceerd en bediscussieerd, in plaats van via de deel-geheel benadering. Er wordt vaak gebruik gemaakt van het lineaire lengtemodel in het Japanse curriculum waarbij breuken worden afgebeeld aan de hand van foto‟s van meetlinten, om leerlingen zo vloeiend te laten worden in het werken met getallenassen. Er wordt (bijna) geen gebruik gemaakt van oppervlaktemodellen of setmodellen in het Japanse curriculum. Niet-eenheidsbreuken (zoals 2/5) worden gezien als een collectie van eenheidsbreuken (zoals 1/5) in het Japanse curriculum.

90

Verschillende tekorten in breukencurricula worden aangehaald. Ten eerste worden breuken te snel aangebracht en worden centrale ideeën hierbij zelden aangeduid. Verder komen te weinig verschillende representatievormen voor breuken aan bod, blijken concrete activiteiten en demonstraties met modellen vaak niet effectief, en is de meerderheid van instructie gericht op de ontwikkeling van algoritmen in plaats van op het vergaren van conceptuele breukenkennis (Carnine, Jitendra, & Silbert, 1997; Dorgan, 1994). Als reactie op deze tekorten worden allerlei aanbevelingen gemaakt voor de ontwikkeling van een nieuw breukencurriculum. Verschillende van deze aanbevelingen zijn het resultaat van een vergelijkende studie tussen een experimenteel en traditioneel breukencurriculum, waaruit de positieve effecten van de experimentele curricula bleken voor zowel de breukenkennis en flexibiliteit in strategieën, als voor het zelfvertrouwen van de leerlingen (Cramer, et al., 2002; Gearhart, et al., 1999; Lamon, 2001; Moss & Case, 1999). Gearhart et al. (1999) vatten de aanbevelingen samen als een probleemoplossingsgericht curriculum. Centrale kenmerken hiervan zijn de gerichtheid op actieve betrokkenheid van leerlingen, het construeren van conceptueel begrip (Cramer, et al., 2002; Keijzer & Terwel, 2001; Moss & Case, 1999), het gebruik van verschillende modellen (Cramer, et al., 2002; Post, et al., 1993), en het houden van groepsdiscussies met open vragen (Cramer, et al., 2002; Keijzer & Terwel, 2001, 2003). Het is eveneens

belangrijk

om

leerlingen te

helpen begrijpen dat rationale getallen op verschillende

manieren

kunnen

voorgesteld worden: als breuk, decimaal of percent (Moss & Case, 1999; Siegler, et al., 2010). Daarnaast wordt gesteld dat het essentieel is de interrelaties tussen de Figuur 1. Vertalingsmodel van Lesh (1979). Overgenomen uit Rational numbers: an integration of research (p.352), door T. Carpenter, E. Fennema, en T. Romberg, 1993, New Jersey: Lawrence Erlbaum.

verschillende

representaties

van

breuken te beklemtonen in instructie. Hierbij wordt het vertalingsmodel van Lesh

(1979 in Post et al., 1993) besproken (zie Figuur 1) (Cramer, et al., 2002; Post, et al., 1993). De reden waarom de leerlingen die de nieuwe curricula volgen zo goed presteren, is omdat ze op verschillende manieren met breuken omgaan en omdat ze voldoende tijd krijgen om begrip te ontwikkelen over de betekenis van de formele breuksymbolen (Cramer, et al., 2002; Lamon, 2001; Post, et al., 1993). Dit heeft ook belangrijke gevolgen voor de beoordeling van leerlingen, deze moet immers verder gaan dan het bepalen van procedureel begrip bij berekeningen (Cramer, et al., 2002; Post, et al., 1993).

91

Ook vanuit internationale vergelijkingen tussen breukencurricula uit de Verenigde Staten en Azië (Japan en Korea) komen aanbevelingen naar voor (Son & Senk, 2010; Watanabe, 2006). Op basis van deze vergelijkingen worden kenmerken geïdentificeerd die kunnen zorgen voor de superieure prestaties van Aziatische leerlingen, vermits verschillen in leerboeken voor verschillen in leermogelijkheden zorgen. Een eerste kenmerk is dat in Aziatische leerboeken meer tijd toegewezen wordt aan centrale onderwerpen. De leerlingen krijgen daarnaast ook de mogelijkheid om concepten en procedures simultaan te ontwikkelen, in plaats van sequentieel. Tenslotte wordt vastgesteld dat Aziatische leerlingen de mogelijkheid krijgen om zich te engageren voor meer uitdagende problemen en om verschillende modellen te gebruiken bij het oplossen van problemen (Son & Senk, 2010). Bij dit alles is het cruciaal hoe leerkrachten omgaan met instructiemateriaal (Post, et al., 1993). Het ontwikkelen van diepgaande breukenkennis is uiteindelijk meer afhankelijk van de manier waarop de leerkracht een leerboek gebruikt dan door de keuze van het leerboek zelf. Zo moeten leerkrachten zorgen voor aanvullingen en alternatieve oefeningen bij het leerboek, aangezien het leerboek slechts één van de vele tools vormt die gebruikt kunnen worden bij het onderwijzen van breuken. Leerlingen dienen verder ook te worden geholpen om connecties te leggen over de verschillende breukenrepresentaties heen (Dorgan, 1994). Gearhart, et al. (1999) duiden tot slot op het belang van professionele ontwikkeling van leerkrachten, aangezien ondersteuning voor de kennis van leerkrachten noodzakelijk blijkt opdat een experimenteel, probleemoplossingsgericht curriculum bevorderlijk kan zijn voor de leermogelijkheden van leerlingen.

92

5.2 Praktijkgerichte studies De praktijkgerichte studies zijn allen afkomstig uit het tijdschrift Teaching Children Mathematics en omvatten in totaal eenendertig van de 116 studies. De studies van Alcaro (2000) en Chick, Tierney, & Storeygard (2007) werden zowel in het onderdeel „Breuken leren, breuken onderwijzen‟ als in het onderdeel „Curriculum‟ opgenomen.

5.2.1 Breuken leren, breuken onderwijzen In dit onderdeel werden vijftien studies opgenomen die focussen op de eigenlijke pedagogische en didactische acties van de leerkrachten en op aandachtspunten tijdens het leren van breuken. In de analyse van deze studies werden enkele invalshoeken vastgesteld, volgens welke de studies besproken zullen worden: 

Computational fluency (rekenvaardigheid)



Concrete activiteiten



Belang van kennis van de leerkracht

93

Tabel 14: Breuken leren, breuken onderwijzen

Referentie

Respondenten

Alcaro, P. C. (2000). Leerlingen uit het Fractions attack! 4e leerjaar Teaching Children Mathematics, 6(9), 562.

Grootte van de steekproef Een klas (Geen precies aantal van respondenten wordt aangegeven)




 Chick, C., Tierney, C., & Leerlingen uit het Storeygard, J. (2007). 5e leerjaar Seeing students' knowledge of fractions: Candace's inclusive classroom. Teaching Children Mathematics, 14(1), 52-57.

2

Empson, S. B. (2001). Leerlingen uit het Equal sharing and the 4e en 5e leerjaar roots of fraction equivalence. Teaching Children Mathematics, 7(7), 421-425.

Een klas (Geen precies aantal van respondenten wordt aangegeven)

  

 

Leerlingen worden gevraagd een methode te ontwikkelen om te ontdekken hoelang mensen moeten sporten om de calorieën te verbranden die ze opgegeten hebben. Hierbij wordt per sport aangegeven hoeveel calorieën verbrand worden voor 10 minuten sporten. Het gebruik van gevouwen papieren stroken om optellingen van breuken te representeren helpt leerlingen bij het verder ontwikkelen van hun intuïtief begrip van ratio en proportie en tot betekenisvolle oplossingen te komen. Klasdiscussies bevorderen het checken van de (eigen) oplossingen. Het gebruik van een klok als cirkelmodel, waarbij de wijzers gebruikt worden om verschillende breukdelen aan te duiden, zet leerlingen ertoe aan om breuken als getallen te zien. Samenwerken bevordert breukenkennis, het zelfvertrouwen van leerlingen en het opbrengen van respect voor elkaar. Het is belangrijk een gemeenschap te creëren waarin wiskundig begrip gewaardeerd wordt en waar leerlingen zich comfortabel voelen om hun ideeën te delen, te luisteren naar elkaar en samen te werken. Leerlingen gebruiken wat ze weten over delen en vermenigvuldigen om gelijkwaardige breuken te creëren bij het oplossen van equal-sharing problemen. Leerlingen moeten voldoende tijd krijgen om een betekenisvolle basis voor hun breukenkennis te ontwikkelen op basis van intuïtieve strategieën bij equal-sharing problemen.

De studies van Alcaro (2000) en Chick, Tierney, & Storeygard (2007) werden ook in het onderdeel „Curriculum‟ opgenomen.

94

Empson, S., B. (1995). Leerlingen uit het Research into practice: 1e leerjaar Using sharing situations to help children learn fractions. Teaching Children Mathematics, 2(2),110-114

17







Flores, A., & Klein, E. (2005). From students' problem-solving strategies to connections in fractions. Teaching Children Mathematics, 11(9), 452-457. Flores, A., Turner, E. E., & Bachman, R. C. (2005). Posing problems to develop conceptual understanding: Two teachers make sense of division of fractions. Teaching Children Mathematics, 12(3), 117.

Leerlingen uit het 3e leerjaar

Leerkrachten van het 4e en 5e leerjaar




2





 

Verder bouwen op intuïtieve kennis bevordert het begrijpen van breuken. Dit kan door vraagstukken die verder bouwen op de kennis van leerlingen, betekenisvolle contexten te gebruiken en door leerlingen aan te moedigen om hun eigen oplossingsstrategieën te gebruiken. Equal-sharing situaties (zoals: verdeel 8 pannenkoeken gelijk over 6 kinderen, hoeveel krijgt elk kind?) bevorderen het begrip dat breukdelen dezelfde grootte moeten hebben en laten kinderen reflecteren over de verschillende manieren waarop een geheel verdeeld kan worden. Een klasdiscussie over de verschillende oplossingswijzen van equal-sharing problemen bevordert een begrip over de gelijkwaardigheid van breuken. Het is belangrijk rekening te houden met de informele wiskundige ideeën van leerlingen, zoals de verbinding tussen natuurlijke getallen en breuken. Deze kunnen fout en weerbarstig zijn. Equal-sharing is een springplank om de gelijkwaardigheid van breuken te verkennen omdat leerlingen in aanraking komen met verschillende manieren om een geheel op te delen (zoals in tweeden, derden,...). Door de leerkrachten een grote variëteit aan problemen in verband met het delen van een breuk door een andere breuk te laten uitproberen, ontwikkelen beide leerkrachten diepe conceptuele en didactische breukenkennis. De leerkrachten ontdekken verschillende manieren om de problemen op te lossen, en ontwikkelen een betekenisvolle basis voor het algoritme. De leerkrachten ervaren verschillende moeilijkheidsgraden van problemen en ontwikkelen zo een volgorde om het delen van breuken aan te leren aan leerlingen.

95

Goral, M. B., & Wiest, L. Leerlingen uit het R. (2007). An arts-based 4e en 5e leerjaar approach to teaching fractions. Teaching Children Mathematics, 14(2), 74-80.

Twee klassen (Geen precies aantal van respondenten wordt aangegeven)

Lo, J.-J., & McCrory, R. Toekomstige (2010). Teaching teachers leerkrachten lager through justifying onderwijs activities. Teaching Children Mathematics, 17(3), 149-155.


Mack, N. K. (1998). Leerlingen uit het Building a foundation for 5e leerjaar understanding the multiplication of fractions. Teaching Children Mathematics, 5(1), 34.




Leerlingen een gedicht over breuken laten opzeggen, de afstand van verschillende breuken laten springen op een getallenas en hen het ritme van een lied (halve noten, kwart noten,…) laten drummen met drumstokjes, heeft zowel positieve cognitieve als affectieve resultaten: o De leerlingen genieten erg van de lessen. o De leerlingen hebben een diep begrip van gelijkwaardige breuken geconstrueerd Vier soorten kennis zijn essentieel bij een rechtvaardiging van een oplossing:  Weten wat telt als een geldige rechtvaardiging voor een gegeven antwoord.  Vertrouwd worden met de problemen die leerlingen uit het basisonderwijs hebben met wiskunde.  Begrijpen hoe wiskundige onderwerpen verbonden zijn over verschillende bewerkingen en getalsystemen heen, zoals het delen van natuurlijke getallen en van breuken.  Weten hoe te onderwijzen op een manier die wiskundig redeneren ondersteunt: door leerlingen vragen te stellen die connecties blootleggen.  Equal-sharing problemen helpen leerlingen om hun begrip te verdiepen over de noodzaak dat alle breukdelen dezelfde grootte moeten hebben, en over de betekenis van partitioning. Deze breukenkennis is noodzakelijk om vermenigvuldigen met breuken te begrijpen.  Verder bouwen op de informele kennis aan de hand van. problemen uit hun eigen leefwereld helpt leerlingen het vermenigvuldigen van breuken te begrijpen.

96

Mack, N. K. (2004). Leerlingen uit het Connecting to develop hoogste jaren computational fluency with fractions. Teaching Children Mathematics, 11(4), 226-232.






  Mokashi, N. A. (2009). Math fair: Focus on fractions. Teaching Children Mathematics, 15(9), 542-551.

Leerlingen uit het kleuteronderwijs tot en met het 4e leerjaar

Ploger, D., & Rooney, M. Leerlingen uit het (2005). Teaching 4e en 5e leerjaar fractions: Rules and reason. Teaching Children Mathematics, 12(1), 12.

/



 /



Centraal staat de ontwikkeling van „computational fluency‟ (rekenvaardigheid) bij leerlingen. Dit stelt hen in staat om problemen efficiënt en accuraat op te lossen op manieren die betekenisvol voor hen zijn. Leerkrachten kunnen de ontwikkeling hiervan bevorderen door leerlingen aan te moedigen te focussen op centrale ideeën (zoals het belang van het werken met eenheden van gelijke grootte bij het optellen en aftrekken van breuken), en hen te stimuleren om connecties te maken door hen frequent te vragen om overeenkomsten te zoeken tussen verschillende types problemen en hun oplossingsstrategieën. Leerlingen laten focussen op de grootte van de breukdelen helpt hen om te realiseren dat ze bewerkingen uitvoeren met delen van gelijke grootte bij het optellen en aftrekken van breuken. Een snelle overgang van problemen met gelijke naar ongelijke noemers is vaak een te grote cognitieve sprong voor leerlingen. Op een wiskundebeurs worden breuken aangebracht a.d.h.v. posters, die breuksymbolen (a/b) en bewerkingen met breuken woordelijk verklaren, en concrete materialen (zoals een getallenas en tangram) die deze breuksymbolen en bewerkingen illustreren. Een wiskundebeurs rond breuken bevordert de motivatie en het zelfvertrouwen van leerlingen, leerkrachten en ouders. Regels kunnen het breukenbegrip van leerlingen vergroten indien ze met begrip gepresenteerd worden, dit kan aan de hand van concrete modellen (zoals cirkelmodellen) die nadien op een betekenisvolle manier gekoppeld worden aan breuksymbolen (in de vorm a/b).

97

Siebert, D., & Gaskin, N. Leerlingen uit het (2006). Creating, naming, 6e en 7e leerjaar and justifying fractions. Teaching Children Mathematics, 12(8), 394400.

/

Stump, S. L. (2003). Toekomstige Designing fraction- leerkrachten counting books. Teaching Children Mathematics, 9(9), 546-549.

/

Wu, Z. (2001). Multiplying fractions. Teaching Children Mathematics, 8(3), 174.

/

/



 





„Partitioning‟ en „iterating‟ zijn krachtige beelden om na te denken over breuken en verder te gaan dan deel-geheel redeneren. Dit wordt ontwikkeld door leerlingen mogelijkheden te geven om breukdelen uit gehelen en gehelen uit breukdelen te creëren en hun redeneren hierbij te laten verantwoorden. Leerkrachten moeten aandacht besteden aan het taalgebruik van leerlingen en op basis daarvan hun instructie aanpassen om aanwezige ideeën te ondersteunen of te vermijden. Toekomstige leerkrachten houden een “fraction counting book” bij waarbij breuken in levensechte situaties gepresenteerd worden en breukentaal gebruikt wordt om de delen van de breuken te benoemen (zoals tweeden, derden,…). De fraction counting books helpen toekomstige leerkrachten en leerlingen om de formele taal van breuken te verkennen in een betekenisvolle context. Het stelt hen in staat om de breukdelen te verkennen voordat ze over de symbolen om breuken te representeren leren (in de vorm a/b). Om tot een betekenisvolle overgang van vermenigvuldigen van natuurlijke getallen naar vermenigvuldigen van breuken te komen, wordt een model voorgesteld: o (1) Herhaalde optelling als link tussen vermenigvuldigen en optellen (mama kocht 3 zakken met in elke zak ¾ kg appels, hoeveel appels heeft mama gekocht?) o (2) Vermenigvuldiging is noodzakelijk om een breukdeel van een geheel te tonen (4/5 van 120 boeken zijn fictie, hoeveel boeken zijn fictie?) o (3) Vermenigvuldigen om een deel van geheel te bepalen waarbij het geheel zelf deel is van een geheel (een boek kost 0.96 euro, nu is er ¼ korting, hoeveel kost het boek nu?) o Combinatie van beide interpretaties (kool kost 0.39 per kg, Julie koopt 3 1/3 kg kool, hoeveel heeft Julie betaald?)

98

In een eerste reeks studies wordt aandacht besteed aan de ontwikkeling van „computational fluency‟ of rekenvaardigheid met breuken bij leerlingen. Het is hierbij essentieel om te vertrekken vanuit de informele kennis en strategieën van leerlingen bij het opbouwen van breukenkennis (Empson, 1995, 2001; Flores & Klein, 2005; Mack, 1998), ook al kunnen deze fout en weerbarstig zijn (Flores & Klein, 2005). Het is belangrijk om leerlingen aan te moedigen hun eigen oplossingsstrategieën te creëren en als leerkracht de leerlingen niet steeds voor te tonen hoe een probleem op te lossen. Op deze manier ontwikkelen leerlingen strategieën die betekenisvol zijn voor hen (Empson, 1995). Leerkrachten dienen daarnaast te focussen op centrale wiskundige ideeën, zoals het belang dat eenheden van gelijke grootte zijn bij het optellen en aftrekken van breuken (Mack, 2004), en leerlingen ondersteunen bij het verbinden van deze wiskundige concepten (Empson, 2001). Door leerlingen frequent te vragen om overeenkomsten te zoeken tussen verschillende types problemen en de bijhorende oplossingsstrategieën, worden leerlingen gestimuleerd tot het maken van deze connecties (Empson, 1995). Een analyse van de oplossingsstrategieën van leerlingen kan duidelijkheid verschaffen over de mate waarin leerlingen deze verbindingen kunnen maken (Flores & Klein, 2005). Siebert & Gaskin (2006) geven hierbij aan dat leerkrachten aandacht moeten besteden aan het taalgebruik van leerlingen en op basis daarvan hun instructie aanpassen om aanwezige beelden te ondersteunen of te vermijden. Ploger en Rooney (2005) wijzen er tenslotte op dat regels voor breuken het begrip van leerlingen kunnen vergroten op voorwaarde dat ze met begrip gepresenteerd worden. Dit begrip kan gerealiseerd worden door breuksymbolen steeds te relateren aan betekenisvolle concepten en situaties (Empson, 1995; Ploger & Rooney, 2005). Een tweede groep studies geeft voorbeelden van concrete activiteiten voor het onderwijzen van breuken. Een centrale activiteit die in verschillende studies wordt aangehaald als het startpunt voor de ontwikkeling van breukenkennis, is „equal-sharing‟ (Empson, 1995, 2001; Mack, 1998). Zo begint instructie rond breuken vaak met een probleem als “Verdeel 8 pannenkoeken over 6 kinderen zodat ieder evenveel krijgt, hoeveel krijgt elk kind?” (Empson, 1995). Deze activiteiten helpen leerlingen om hun begrip te verdiepen over de noodzaak dat alle breukdelen dezelfde grootte moeten hebben bij het werken met breuken (Empson, 1995; Mack, 1998), en is daarnaast een springplank om de gelijkwaardigheid van breuken te verkennen (Empson, 2001; Flores & Klein, 2005). In aansluiting met equal-sharing worden ook partitioning en iterating vermeld als krachtige beelden om na te denken over breuken en verder te gaan dan deel-geheel redeneren (Siebert & Gaskin, 2006). Een andere manier om verder te bouwen op de informele kennis van leerlingen is aan de hand van realistische problemen uit hun eigen leefwereld (Mack, 1998; Wu, 2001). 99

Stump (2003) duidt hierbij op het gebruik van fraction counting books om de formele taal van breuken te verkennen in een levensechte, betekenisvolle context. Verder wordt gesteld dat het betrekken van visuele en kinesthetische activiteiten, zoals een gedicht over breuken voordragen en de noten van een lied drummen, bij het onderwijzen van breuken zowel positieve cognitieve als affectieve resultaten met zich mee brengt (Goral & Wiest, 2007). Ook het houden van een wiskundebeurs waar breuken aangebracht worden aan de hand van posters en concrete materialen en activiteiten, werkt erg bevorderend voor het zelfvertrouwen en de motivatie van zowel leerlingen en leerkrachten als ouders (Mokashi, 2009). Als laatste blijkt ook onderlinge samenwerking tussen leerlingen cruciaal te zijn (Chick, et al.,

2007).

Het

houden van een

klasdiscussie

waarbij

leerlingen verschillende

oplossingswijzen vergelijken, bevordert bijvoorbeeld het checken van oplossingen (Alcaro, 2000) en eveneens het breukenbegrip van leerlingen (Empson, 1995). Het is belangrijk om een gemeenschap te creëren waar leerlingen zich comfortabel voelen om hun ideeën te delen, te luisteren naar elkaar en samen te werken (Chick, et al., 2007). De derde en laatste groep studies wijst op het belang dat leerkrachten een goede kennis van zowel breukenconcepten als van een repertoire aan alternatieve, pedagogische benaderingen dienen te bezitten om breuken te onderwijzen (Flores & Klein, 2005; Lo & McCrory, 2010). Leerkrachten moeten daarnaast ook op de hoogte zijn van vaak voorkomende problemen die leerlingen ervaren bij het leren van breuken (Lo & McCrory, 2010). Flores, Turner, & Bachman (2005) duiden hierbij op de taak om (toekomstige) leerkrachten een grote variëteit aan breukproblemen zelf te laten uitwerken, op deze manier wordt zowel hun conceptuele als didactische breukenkennis bevorderd.

100

5.2.2 Curriculum Er werden in totaal achttien studies in dit onderdeel opgenomen, die net als bij de Onderzoeksgerichte studies verdeeld werden over de volgende vier categorieën:    

Alledaags materiaal (n=5) Technologie (n=2) Modellen (n=11) Geschreven leermateriaal (n=0)

5.2.2.1 Alledaags materiaal In deze categorie werden vijf studies opgenomen. De studies tonen aan dat wiskunde aanwezig is in een variëteit aan alledaagse situaties waar niet altijd bij wordt stilgestaan. Deze vertrouwde situaties kunnen een basis zijn voor leerlingen om betekenisvolle breukenconcepten te ontwikkelen.

101

Tabel 15: Curriculum - Alledaags materiaal

Referentie

Respondenten



Anderson, C. L., Leerlingen uit het Anderson, K. M., & 6e leerjaar Wenzel, E. J. (2000). Oil and water don't mix, but they do teach fractions. Teaching Children Mathematics, 7(3), 174.




Brinker, L. (1998). Using Leerlingen uit het recipes and ratio tables. 4e en 5e leerjaar Teaching Children Mathematics, 5(4), 218.

3



Chick, C., Tierney, C., & Leerlingen uit het Storeygard, J. (2007). 5e leerjaar Seeing students' knowledge of fractions: Candace's inclusive classroom. Teaching Children Mathematics, 14(1), 52-57.

2





 

Het gebruik van gekleurd water en olie zorgt ervoor dat het begrip van leerlingen over de proportionaliteit van breuken stijgt doordat de leerlingen de visuele afbakeningen van breukdelen zeer concreet zien. 2/3 wordt bijvoorbeeld aangetoond door eerst 3 kopjes gekleurd water af te meten en in een maatbeker te gieten, dit stelt het geheel voor (3/3). Het water wordt uit de maatbeker gehaald en er worden nu 2 kopjes olie in gegoten, aangevuld met een kopje gekleurd water. Doordat het water en de olie scheiden, zien de leerlingen duidelijk 2/3 olie en 1/3 water. Drie factoren dragen bij tot de mogelijkheden van leerlingen om de gepresenteerde problemen met recepten op te lossen: o (1) informele voorkennis van richtnormen zoals ½, 1/3 en ¼, o (2) het gebruik van een vertrouwde en betekenisvolle context; namelijk recepten o (3) het gebruik van ratio tabellen om bewerkingen met breuken te organiseren Het gebruik van een klok als cirkelmodel, waarbij de wijzers gebruikt worden om verschillende breukdelen aan te duiden, zet leerlingen ertoe aan om breuken als getallen aan het visuele model te relateren. Samenwerken bevordert de breukenkennis, het zelfvertrouwen van leerlingen en het opbrengen van respect voor elkaar. Het is belangrijk een gemeenschap te creëren waarin wiskundig begrip gewaardeerd wordt en waar leerlingen zich comfortabel voelen om hun ideeën te delen, te luisteren naar elkaar en samen te werken.

De studie van Chick, et al. (2007) werd ook in het onderdeel „Breuken leren, breuken onderwijzen‟ opgenomen.

102

Hartweg, K. (2002). Leerlingen uit het Measuring hot chocolate. 6e leerjaar Teaching Children Mathematics, 8(5), 275.

/

 



Swarthout, M., Mann, R., Leerlingen uit het & Hartweg, K. (2002). 6e leerjaar Fractionberry pie. Teaching Children Mathematics, 9(2), 120.

/



Breuken kunnen informeel geïntroduceerd worden aan jongere leerlingen door concrete modellen te gebruiken. Een recept voor chocomelk wordt gebruikt om de gelijkwaardigheid van breuken aan te brengen: 1 kop melk is nodig, maar dit is gelijk aan 2 kleinere ½-kopjes, of 4 nog kleinere ¼-kopjes. Leerlingen hebben tijd en ervaring nodig om hun eigen denkprocessen te ontwikkelen over de relatieve grootte van breukdelen. Een taart wordt voorgesteld als informele manier om het concept van de gelijkwaardigheid van breuken te introduceren: er ligt 6/8 taart waarvan je 2/3 mag opeten als vieruurtje, hoeveel taart blijft er over na je vieruurtje?

103

De keuken lijkt de context bij uitstek te zijn om ideeën over breuken op een betekenisvolle manier aan te brengen. Anderson, Anderson & Wenzel (2000) wijzen op het gebruik van gekleurd water en olie om leerlingen zeer concreet de visuele afbakeningen van breukdelen te laten zien, wat een dieper begrip over de proportionaliteit van breuken met zich mee brengt. Daarnaast kan ook het volgen van recepten met een stijgend of dalend aantal porties (Brinker, 1998), het maken van chocomelk uit een aantal kopjes melk en cacao van verschillende grootte (Hartweg, 2002), of het verdelen van taart (Swarthout, Mann, & Hartweg, 2002) ingang bieden om leerlingen de gelijkwaardigheid van breuken te laten verkennen en de oplossingsmogelijkheden van leerlingen te bevorderen. Chick, Tierney en Storeygard (2007) verlaten de context van de keuken en duiden op het gebruik van een klok als cirkelmodel, waarbij de wijzers van de klok worden gebruikt om breukdelen van verschillende grootte aan te duiden.

Figuur 2. Klok als cirkelmodel. Overgenomen uit “Seeing students' knowledge of fractions: Candace's inclusive classroom,” door C. Chick, C. Tierney en J. Storeygard, 2007, Teaching Children Mathematics, 14(1), p.55.

5.2.2.2 Technologie Twee studies werden in deze categorie opgenomen. De studies halen twee verschillende manieren aan om technologie te gebruiken als ondersteuning voor de ontwikkeling van breukenkennis.

104

Tabel 16: Curriculum - Technologie

Referentie

Respondenten

Canada, D. L. (2009). Toekomstige Fraction photo frenzy: A leerkrachten new exploration. Teaching Children Mathematics, 15(9), 552557.





Olive, J. (2002). Bridging Leerling uit het the gap: Using interactive 3e en 4e leerjaar computer tools to build fraction schemes. Teaching Children Mathematics, 8(6), 356.

1

 

Het gebruik van een camera en een SMART board om oplossingsmethodes te documenteren en delen, zorgt ervoor dat toekomstige leerkrachten een dieper breukenbegrip over het delen van breuken ontwikkelen en een rijkere omgeving hebben om met elkaar te communiceren over hun redeneren bij het oplossen van een breukenprobleem. De toekomstige leerkrachten leren aandachtig te zijn voor de manier waarop hun eigen studenten zouden reageren in een gegeven wiskundige situatie. Het denken van leerlingen over breuken kan heel krachtig zijn wanneer het verder bouwt op kennis van natuurlijke getallen. Het TIMA-sticks programma, waarbij horizontale balken van verschillende lengtes en kleuren gecreëerd en opgedeeld kunnen worden (partitioning en iterating), ondersteunt de connectie tussen het vermenigvuldigen van natuurlijke getallen en het zien van een breuk als deel van een geheel.

105

Canada (2009) ziet technologie, in dit geval een fotocamera en een SMART board, als een middel om het denkproces van toekomstige leerkrachten weer te geven, en om dit denken vervolgens te delen en te bediscussiëren met anderen. Op deze manier werd niet alleen de breukenkennis van de leerkrachten versterkt, maar leerden ze ook aandachtig te zijn voor de manier waarop hun eigen studenten zouden reageren op de breukproblemen. Olive (2002), daarentegen, gebruikt technologie als middel om de kloof tussen kennis over natuurlijke getallen en breukenkennis te overbruggen. Het computerprogramma TIMA-sticks stelt leerlingen in staat horizontale balken te creëren van verschillende lengtes, waarbij, door het partitioning en iterating van deze balken, de connectie tussen het vermenigvuldigen van natuurlijke getallen en het zien van een breuk als deel van een geheel gestimuleerd wordt.

5.2.2.3 Modellen In deze categorie werden elf studies opgenomen die elk het gebruik van concrete modellen tijdens het onderwijzen van breuken bespreken. De onderverdeling van Van de Walle (2010) werd opnieuw gehanteerd, waarbij drie soorten breukenmodellen worden onderscheiden: oppervlaktemodellen, lengtemodellen en setmodellen. In de onderstaande bespreking worden eerst enkele algemene bevindingen aangehaald, waarna wordt overgegaan tot de bespreking van elk van de modellen. Twee studies bespreken in meer algemene zin het gebruik van breukenmodellen, zes studies focussen op het oppervlaktemodel, waarbij vooral aandacht gegeven wordt aan pattern blocks, twee studies handelen over lengtemodellen, en één studie legt tenslotte de nadruk op setmodellen.

106

Tabel 17: Curriculum - Modellen

Referentie

Respondenten

Alcaro, P. C. (2000). Leerlingen uit het Fractions attack! Teaching 4e leerjaar Children Mathematics, 6(9), 562.





 Bray, W. S., & Abreu- Leerlingen uit het Sanchez, L. (2010). Using 3e leerjaar number sense to compare fractions. Teaching Children Mathematics, 17(2), 90-97.




 

Leerlingen worden gevraagd een methode te ontwikkelen om te ontdekken hoelang mensen moeten sporten om de calorieën te verbranden die ze opgegeten hebben. Hierbij wordt per sport aangegeven hoeveel calorieën verbrand worden voor 10minuten sporten. Het gebruik van gevouwen papieren stroken om optellingen van breuken te representeren, helpt leerlingen bij het verder ontwikkelen van hun intuïtief begrip van ratio en proportie en tot betekenisvolle oplossingen te komen. Klasdiscussies bevordert het checken van de (eigen) oplossingen. Het cirkelmodel is een ideaal startpunt voor het verkennen van breuken omdat de taartachtige breukdelen leerlingen helpen om de relatie tussen een breukdeel en de maatstaf van een half en één geheel te zien. Cirkelmodellen tonen maar één manier om een gegeven breuk op te bouwen, wat verwarring voorkomt De afstand-van-een-benchmark-strategie (1 geheel, ½, ¼) bij het vergelijken van breuken blijkt moeilijker voor leerlingen dan verwacht. De nadruk moet, naast het gebruik van modellen, ook op mentale beeldvorming en het onderling delen van redeneerstrategieën liggen. o Conjecture: mentale beeldvorming over de grootte van breuken, om twee breuken te kunnen vergelijken o Verify: a.d.h.v. een concreet model de oplossing van het vergelijkingsprobleem verifiëren o Discuss: groepsdiscussie over de bekomen oplossingen

De studie van Alcaro (2000) werd ook in het onderdeel „Breuken leren, breuken onderwijzen‟ opgenomen.

107

Caldwell, J. H. (1995). Hoogste jaren van Communicating about het basisonderwijs fractions with pattern blocks. Teaching Children Mathematics, 2(3), 156.

/



 

Colomb, J., & Kennedy, K. Leerlingen uit het (2005). Your better half. 2e, 3e en 4e leerjaar Teaching Children Mathematics, 12(4), 180.

/



  Ellington, A. J., & 5e leerjaar Whitenack, J. W. (2010). Fractions and the funky cookie. Teaching Children Mathematics, 16(9), 532539.


 

Het is nuttig voor leerlingen om breuken te verkennen aan de hand van concrete materialen zoals pattern blocks en deze vervolgens te koppelen aan de orale, geschreven, symbolische en picturale representatie van dezelfde situatie. Leerlingen laten praten en schrijven over hun begrip van basisconcepten helpt hen om begrip van wiskundige ideeën te krijgen. Door te communiceren met anderen worden de eigen denkwijzen meer expliciet en worden de leerlingen zich bewust van andere denkwijzen van anderen. Door leerlingen een half te laten verkennen in een realistische context aan de hand van oppervlakte- en setmodellen ontwikkelen de leerlingen een diep begrip en een hoger niveau van denken over “wat is een half?”. Het gebruik van modellen heeft een positief effect op de motivatie van de leerlingen. De leerlingen zijn zich meer bewust van hun alledaags gebruik van een half als resultaat van de lessen. De standaardset van pattern blocks bestaat uit zes geometrische vormen: groene gelijkzijdige driehoeken, blauwe ruiten, beige ruiten, oranje vierkanten, rode trapeziums en gele zeshoeken. Pattern blocks zijn een goede manier om leerlingen te helpen begrijpen dat de breukdelen van een geheel dezelfde grootte moeten hebben: in een klasdiscussie wordt verkend dat een figuur opgebouwd uit verschillende pattern blocks, nooit eerlijk verdeeld kan worden in gelijke delen, tenzij alle blokken van dezelfde grootte en soort zijn.

108

Moone, G., & De Groot, C. Leerlingen uit het (2006). Fraction action. 4e leerjaar Teaching Children Mathematics, 13(5), 266271.

Moyer, P. S., & Mailley, E. Leerlingen uit het (2004). Inchworm and a 1e leerjaar half: Developing fraction and measurement concepts using mathematical representations. Teaching Children Mathematics, 10(5), 244-252. Neumer, C. (2007). Mixed 4e, 5e en 6e leerjaar numbers made easy: Building and converting mixed numbers and improper fractions. Teaching Children Mathematics, 13(9), 488492.









 

Beschrijving van mogelijke opdrachten





De motivatie en het leerplezier van leerlingen wordt bevorderd door het gebruik van een reeks-model: een eierkarton wordt voorgesteld als een schuur met 12 stallen, waarbij leerlingen op zoek gaan naar verschillende manieren om 6 van de 12 stallen te onderscheiden (als 6/12, 3/6, 2/4 en 1/2 van alle stallen). De leerlingen ontwikkelen een meer concreet begrip over de gelijkwaardigheid van breuken. Papieren wormen worden gebruikt als niet-standaard lengtemodellen: er zijn 1geheel-wormen, ½-wormen, ¼-wormen, … Het gebruik van fysieke modellen en visuele representatie laat toe om verder te bouwen op het intuïtief begrip van leerlingen over meten en gelijkwaardigheid. Frequente en gevarieerde mogelijkheden voor het herkennen en creëren van gelijkwaardige representaties voor eenzelfde getal helpen om leerlingen een brede en diepe basis te laten creëren voor betekenisgeving aan en operaties met breuken. Pattern blocks zijn geschikt om verder te bouwen op de voorkennis van leerlingen en de gelijkwaardigheid van breuken aan te brengen door te demonstreren dat 1 rood trapezium (het geheel) gelijk is aan 3 groene gelijkzijdige driehoeken (3 keer 1/3) Unifix cubes (blokjes van 1cm die aan elkaar geklikt kunnen worden) zijn effectief om mixed numbers (zoals 3½) en onechte breuken (zoals 3/2) te representeren omdat leerlingen zien hoe de deling van een geheel in breukdelen plaatsvindt en waar de rest bij mixed numbers vandaan komt.

109

Rigdon, & Raleigh, D. / (1999). Pattern-block explorations. Teaching Children Mathematics, 6(3), 182. Roddick, C., & Silvas- Leerlingen uit het Centeno, C. (2007). 6e leerjaar Developing understanding of fractions through pattern blocks and fair trade. Teaching Children Mathematics, 14(3), 140145.

/



Het gebruik van pattern blocks en andere manipulatiematerialen helpt leerlingen om de wiskundige patronen en verschillen te zien bij het oplossen van taken, en abstracte wiskundige strategieën te ontwikkelen op basis hiervan.




Leerlingen worden aangemoedigd om zelf wiskundige ideeën te construeren over gelijkwaardige breuken aan de hand van pattern blocks in plaats van vanbuiten geleerde algoritmen te gebruiken, hierdoor ontwikkelen ze een groter zelfvertrouwen en dieper breukenbegrip. Hoogpresterende leerlingen kunnen de connectie maken tussen het gebruik van de pattern blocks en geschreven breuksymbolen (a/b). Laagpresterende leerlingen ervaren meer moeilijkheden met de connectie tussen pattern blocks en breuksymbolen. Er zijn drie algemene modellen om breuken voor te stellen: het oppervlaktemodel, het lengtemodel en het setmodel. Elk van deze methoden kan op zijn minst op twee verschillende methodes voorgesteld worden: volgens de deel-geheel methode (waarbij breukdeel ingebed is in het geheel) en volgens de vergelijkende methode (waarbij breukdeel en geheel afzonderlijk bestaan). De gebruikte representaties kunnen de probleemoplossingsstrategieën van leerlingen beïnvloeden, leerkrachten moeten rekening houden met welke modellen geschikt zijn. o Werken met een getallenas is moeilijker voor leerlingen. o De vergelijkende methode is nuttiger omdat de deel-geheel methode onvoldoende het idee van een breuk als afzonderlijke hoeveelheid benadrukt. o Het simultaan introduceren van breuksymbolen (a/b) en breukenconcepten is te veeleisend voor vele leerlingen in de eerste leerjaren. Een alternatief hiervoor is in het begin van breukeninstructie breukwoorden in plaats van de standaardnotatie (a/b) te gebruiken

 

Watanabe, T. (2002). Representations in teaching and learning fractions. Teaching Children Mathematics, 8(8), 457-463.

/

/

 



110

Enkele studies bespreken meer algemeen het gebruik van breukenmodellen. In de eerste plaats wordt gesteld dat concrete materialen, zoals modellen, nuttig zijn als startpunt om breuken te verkennen, om deze pas nadien te koppelen aan breuksymbolen (in de vorm a/b) (Caldwell,

1995).

Het

simultaan

introduceren

van

breuksymbolen

samen

met

breukenconcepten kan immers te veeleisend zijn voor leerlingen in de eerste leerjaren (Watanabe, 2002). Frequente en gevarieerde mogelijkheden voor het creëren van gelijkwaardige representaties voor dezelfde breuk, helpen leerlingen om een brede en diepe basis te creëren voor betekenisgeving aan en operaties met breuken (Moyer & Mailley, 2004). Door leerlingen zelf oplossingsstrategieën te laten ontwikkelen aan de hand van modellen verdiept daarnaast ook hun breukenkennis (Roddick & Silvas-Centeno, 2007). Watanabe (2002) stelt verder dat voor elk van de drie modellen minstens twee methodes gebruikt kunnen worden om breuken weer te geven, namelijk de deel-geheel methode en de vergelijkingsmethode. De manier waarop breuken gerepresenteerd worden beïnvloedt de probleemoplossingstrategieën van leerlingen. Het is dus belangrijk dat leerkrachten hier rekening mee houden wanneer ze breukeninstructie plannen. Zo blijkt bijvoorbeeld dat vergelijkende methodes nuttiger zijn, omdat deel-geheel methodes onvoldoende het idee van een breuk als een afzonderlijke hoeveelheid benadrukken. Enkele onderzoekers duiden daarnaast ook op het belang om een klasdiscussie te houden waarbij leerlingen hun ideeën en oplossingen aan de hand van modellen met elkaar delen en bespreken (Alcaro, 2000; Bray & Abreu-Sanchez, 2010; Caldwell, 1995; Colomb & Kennedy, 2005; Ellington & Whitenack, 2010). Leerlingen laten praten over hun begrip van breukconcepten helpt hen om hun begrip verder te ontwikkelen. Door te communiceren met anderen worden de eigen denkwijzen van leerlingen meer expliciet en worden de leerlingen zich bewust van andere denkwijzen van anderen (Caldwell, 1995). Het gebruik van modellen blijkt tot slot ook een positief effect te hebben op de motivatie en leerplezier van de leerlingen (Colomb & Kennedy, 2005; Moone & De Groot, 2006). Een eerste groep modellen zijn de oppervlaktemodellen. Het cirkelmodel wordt hierbij aangehaald als ideaal startpunt voor het verkennen van breuken omdat de taartachtige delen leerlingen helpen om de relatie tussen een breukdeel en de maatstaf van een half en één geheel te zien. Cirkelmodellen bieden in tegenstelling tot andere modellen maar één manier om een gegeven breuk op te bouwen, wat verwarring voorkomt (Bray & Abreu-Sanchez, 2010). Naast cirkelmodellen zijn ook pattern blocks een vaak gebruikt oppervlaktemodel. Dit zijn geometrische vormen in verschillende kleuren (zie Figuur 3). Verschillende studies halen aan dat pattern blocks zeer geschikt zijn om verder te bouwen op de voorkennis van leerlingen en de gelijkwaardigheid van breukdelen te verkennen (Caldwell, 1995; Ellington & 111

Whitenack, 2010; Neumer, 2007; Roddick & Silvas-Centeno, 2007), door bijvoorbeeld te demonstreren dat 1 rood trapezium (het geheel) gelijk is aan 3 groene gelijkzijdige driehoeken (Neumer, 2007). Pattern blocks zijn daarnaast ook een goede manier om leerlingen te helpen begrijpen dat de delen van een geheel dezelfde grootte moeten hebben (Ellington & Whitenack, Figuur 3. Pattern blocks. Overgenomen uit “Fractions and the Funky Cookie,” door A. J. Ellington en J. W. Whitenack, 2010, Teaching Children Mathematics, 16(9), p.534.

2010). De

tweede

groep

modellen

zijn

de

lengtemodellen.

Getallenassen zijn een veel gebruikt lengtemodel om breuken te representeren. Watanabe (2002) wijst er echter op dat

leerlingen moeilijkheden ervaren bij het werken met getallenassen bij breuken, getallenassen helpen leerlingen immers niet per definitie om begrip te ontwikkelen over breuken als getallen. De leerlingen in de studie van Alcaro (2000) maakten daarnaast gebruik van gevouwen papieren stroken om de breuken te representeren; dit hielp hen bij het verder ontwikkelen van hun intuïtief begrip van ratio en proportie. Ook Moyer & Mailley (2004) halen het gebruik van papier aan, namelijk papieren wormen als niet-standaard lengtemodellen. Dit gebruik van fysieke modellen en visuele representaties laat toe om verder te bouwen op het intuïtief begrip van leerlingen over meten en gelijkwaardigheid. De derde groep modellen zijn tot slot de setmodellen. Moone & De Groot (2006) maken in hun studie concreet gebruik van een reeks („array‟), en deze context zorgde ervoor dat leerlingen een meer concreet begrip ontwikkelden over de gelijkwaardigheid van breuken.

5.2.2.4 Geschreven leermateriaal Er werden geen studies opgenomen in deze categorie.

112

5.3 Studies rond leerlingen met (leer)moeilijkheden Slechts vier van de 116 studies focussen expliciet op de breukenkennis en –vaardigheden bij leerlingen met (leer)moeilijkheden en werden opgenomen in dit onderdeel. Omdat het aantal studies zo beperkt is, werden deze studies niet ingedeeld volgens het schema zoals bovenstaande studies (zie ook Methodologie), maar werden de resultaten samen besproken. Daarnaast werd bij zeven van de reeds besproken studies een onderscheid gemaakt tussen hoog- en laagpresterende leerlingen in de bespreking van de resultaten. Deze resultaten worden hier nogmaals kort aangehaald.

113

Tabel 18: Leerlingen met moeilijkheden - Studies die specifiek focussen op leerlingen met moeilijkheden

Referentie

Respondenten

Baker, J., Young, M., & Leerlingen uit het Martin, M. (1990). The 5e leerjaar effectiveness of small-group versus one-to-one remedial instruction for six students with learning difficulties. The Elementary School Journal, 91(1), 65-76.





  Empson, S. B. (2003). Low- Leerlingen uit het performing students and 1e leerjaar teaching fractions for understanding: An interactional analysis. Journal for Research in Mathematics Education, 34(4), 305-343.

2



Zes leerlingen met leermoeilijkheden (maar met normale intelligentiescores) nemen deel aan het onderzoek waarbij zowel kennis van breuken als van spelling onderzocht wordt. Hier worden enkel resultaten van breukenkennis besproken. Leerlingen in de one-to-one instructiegroep, waarbij elke leerling individueel les krijgt van een leerkracht, bereiken sneller een aanvaardbaar niveau van breukenkennis (201.8minuten) dan leerlingen in de direct-instruction groepsinstructie-groep, waarbij één leerkracht een groep leerlingen onderwijst (253.3 minuten). (Inhoud, leersequenties en taken zijn dezelfde in beide groepen.) One-to-one instructie heeft voordelen bij remediëring om leerlingen met moeilijkheden sneller hun klasgenoten te laten inhalen. Er is geen verschil tussen beide groepen met betrekking tot de tijd die leerlingen spenderen aan het oplossen van oefeningen. Drie eigenschappen van instructie dragen bij tot de verbetering van het breukenbegrip van beide laagpresterende leerlingen: o Het gebruik van taken die verder bouwen op de voorkennis van leerlingen: woordproblemen die leerlingen oplossen door hun eigen uitgevonden strategieën te gebruiken, en equal-sharing situaties (zoals het gelijk verdelen van 5 cupcakes tussen 2 kinderen) o Het creëren van participantnetwerken (waarbij de nadruk ligt op sociale interacties tussen leerlingen en de leerkracht) waarin leerlingen als wiskundig competent behandeld worden o Door frequente mogelijkheden om productieve bijdragen te leveren aan groepsdiscussies, leren leerlingen de waarde van hun ideeën kennen en groeit hun begrip.

114

Hiebert, J., Wearne, D., & Leerlingen uit het Taber, S. (1991). Fourth 4e leerjaar graders' gradual construction of decimal fractions during instruction using different physical representations. The Elementary School Journal, 91(4), 321-341.

25







Kemp, C. C. (1995). Adding Leerlingen uit het taste to mathematics. 2e, 3e, 4e en 5e Teaching Children leerjaar Mathematics, 2(4), 224.

/

 

Continue materialen om decimalen breuken voor te stellen (zoals een getallenas), zijn moeilijker te begrijpen en te gebruiken dan discrete materialen (zoals base-10 blokken, bestaand uit verschillende soorten blokken die telkens 10 keer groter zijn), omdat leerlingen hierbij zelf een eenheid moeten bepalen om het geheel onder te verdelen terwijl discrete hoeveelheden reeds opgedeeld zijn. Het begrip van decimale breuken groeit gradueel en complex: doorheen instructie werd kennis van decimale breuken vier keer nagegaan en blijkt dat leerlingen telkens gedeeltelijke kennis vergaren in plaats van een plots volledig begrip. Aanvullende instructie die focust op conceptueel begrip kan laagpresterende leerlingen helpen om van gedeeltelijk naar volledig begrip te evolueren. Dit spreekt traditionele instructieprogramma‟s tegen, waarin ervan wordt uitgegaan dat laagpresterende leerlingen niet in staat zijn om wiskundige ideeën te begrijpen en hun tijd beter spenderen met het oefenen van routinevaardigheden. Ongemotiveerde risicoleerlingen hebben visueel georiënteerde instructie nodig met concrete, kindgerichte activiteiten die relevant zijn voor hen. Door het computerprogramma „Bake & Taste‟ te gebruiken, waarin leerlingen recepten dienen te volgen, ingrediënten moeten afwegen en zo kennis maken met breuken, leren de leerlingen dat de wiskunde die ze op school leren, gerelateerd is aan de echte wereld en zijn ze meer gemotiveerd om dit te leren.

115

Tabel 19: Leerlingen met moeilijkheden - Studies die in de resultaten een onderscheid maken tussen hoog- en laagpresterende leerlingen

Referentie

Respondenten

Hwang, W.-Y., Chen, N.-S., & Leerlingen uit het Hsu, R.-L. (2006). 6e leerjaar Development and evaluation of multimedia whiteboard system for improving mathematical problem solving. Computers & Education, 46(2), 105-121.





 

Keijzer, R., & Terwel, J. Leerlingen uit het (2003). Learning for 6e leerjaar mathematical insight: a longitudinal comparative study on modelling. Learning and Instruction, 13(3), 285304.

24





Leerlingen hebben plezier in het werken met het web-based multimedia whiteboard system, waarbij ze hun oplossingen neerschrijven op het whiteboard en orale verklaringen opnemen om hun denkproces te verduidelijken. Het web-based whiteboard system is nuttig voor samenwerkend leren: het delen van breuken wordt gemakkelijk en effectief bediscussieerd met peers, waardoor hun wiskundige mogelijkheden verbeteren. De meisjes presteren beter dan de jongens voor zowel communicatie (probleemoplossingen verduidelijken) als probleemoplossen (delingen van breuken correct oplossen). De hoger scorende leerlingen hebben betere wiskundige vaardigheden om kritieken en argumenten te geven bij hun oplossingen. Het getalbegrip van de leerlingen uit de experimentele groep, waar breuken geïntroduceerd worden aan de hand van een getallenas en een horizontale balk en de leerlingen onderling discussieerden over formele wiskunde, is veel groter dan bij leerlingen uit de controle groep, waarbij breuken geïntroduceerd worden aan de hand van fair sharing activiteiten en een cirkelmodel, en waarbij de leerlingen individueel werken. De experimentele groep overtreft de controle groep in zowel algemene wiskundige vaardigheden als in domein-specifieke bekwaamheden met betrekking tot breuken.

116

Kong, S. C. (2008). The Leerlingen uit het development of a cognitive 4e leerjaar tool for teaching and learning fractions in the mathematics classroom: A design-based study. Computers & Education, 51(2), 886-899.

48



   

Kong, S. C., & Kwok, L. F. Leerlingen uit het (2005). A cognitive tool for 4e leerjaar teaching the addition/ subtraction of common fractions: A model of affordances. Computers & Education, 45(2), 245-265.

48





 

Er zijn geen significante verschillen vastgesteld tussen de leerresultaten van de experimentele groep, die per twee werken met het graphical partitional model (GPM, zie Kong & Kwok (2003)), en de controlegroep die individueel een traditioneel werkboek en instructie van de leerkracht volgen. Het GPM zorgt voor stimulatie van de leermotivatie en enthousiasme bij de leerlingen. Het GPM realiseert diep leren zoals een spontane associatie tussen voorkennis en het oproepen van nieuw verworven concepten in het leerproces. Het GPM stimuleert samenwerkend leren: het stimuleert wederkerig tutoring waarbij leerlingen onderling discussieerden over het onderwerp. Het GPM is nuttig voor risicoleerlingen omdat het toelaat de verschillende mogelijkheden van leerlingen aan te boren en actief leren in een samenwerkende leeromgeving vergemakkelijkt. Het graphical partitional model (GPM) (zie Kong & Kwok (2003)) stelt leerlingen in staat om een concept van de gelijkwaardigheid van breuken te ontwikkelen en zo procedurele kennis voor het optellen en aftrekken van breuken met ongelijke noemers te vergaren. Het GPM werkt erg bevorderend voor leerlingen met hoge en gemiddelde wiskunderesultaten, maar stelt slechts enkele laagpresterende leerlingen in staat om procedurele kennis te ontwikkelen omdat het GPM hen niet kan helpen om het concept van gelijkwaardige breuken te ontwikkelen. Geen verschillen in interactiepatronen met het GPM zijn vastgesteld tussen leerlingen met verschillende prestatieniveaus. Leerlingen verkiezen de eerste functie van het GPM: het verslepen van repen (fractionbars) om de gelijkwaardigheid ervan na te gaan.

117

Roddick, C., & Silvas- Leerlingen uit het Centeno, C. (2007). 6e leerjaar Developing understanding of fractions through pattern blocks and fair trade. Teaching Children Mathematics, 14(3), 140-145.




 

Steiner, G. F., & Stoecklin, M. Leerlingen uit het (1997). Fraction calculation - 6e leerjaar A didactic approach to constructing mathematical networks. Learning and Instruction, 7(3), 211-233.

76









Leerlingen worden aangemoedigd om zelf wiskundige ideeën te construeren over gelijkwaardige breuken aan de hand van pattern blocks in plaats van vanbuiten geleerde algoritmen te gebruiken, hierdoor ontwikkelen ze een groter zelfvertrouwen en dieper breukenbegrip. Hoogpresterende leerlingen kunnen de connectie maken tussen het gebruik van de pattern blocks en geschreven breuksymbolen (a/b). Laagpresterende leerlingen ervaren meer moeilijkheden met de connectie tussen pattern blocks en breuksymbolen. Progressive transformation (PT) didactiek volgt 5 stappen: o Expositie: start met een goed begrepen basisprobleem o Transformatie: van het basisprobleem o Anticipatie: schattingen over de resultaten o Verificatie: oplossing verifiëren door algoritmische berekening o Herziening: proces herbekijken en focussen op de relaties tussen elementen en de berekeningen PT didactiek bevordert conceptueel wiskundig denken: leerlingen uit de experimentele groep, die volgens PT didactiek onderwezen worden, zijn superieur in het omgaan met breukenproblemen die meer vereisen dan zuivere algoritmische procedures volgen in vergelijking met leerlingen uit de controlegroep, die traditioneel onderwezen worden en een leerboek volgen. De leerlingen uit de experimentele groep hebben minder de neiging om enkel algoritmisch tot oplossingen te komen, en zijn superieur in het maken van schattingen voor hun oplossingen in vergelijking met de controlegroep. Leerlingen met een hoog IQ ondervinden het meeste voordeel uit PT-didactiek: zij hebben meer kans om hun mogelijkheden tot conceptueel probleemoplossen efficiënt te gebruiken dan leerlingen met een laag IQ.

118

Wearne, D. (1990). Acquiring Leerlingen uit het Meaning for Decimal Fraction 4e en 5e leerjaar. Symbols: A One Year FollowUp. Educational Studies in Mathematics, 21(6), 545-564.

69



 



Laagpresterende leerlingen uit de experimentele groep, waarbij gewerkt wordt aan de hand van conceptueel-gebaseerde instructie (die de nadruk legt op het gebruik van base-10 blokken bij het oplossen van bewerkingen met decimale breuken en deze vervolgens verbinden met geschreven symbolen) scoren significant beter voor bewerkingen met decimale breuken dan laagpresterende leerlingen uit de controlegroep, die volgens het traditionele leerboek onderwezen worden (dat zich richt op vertalingen tussen breuken en decimale breuken en het procedureel oplossen van bewerkingen met decimale breuken). Hoogpresterende leerlingen uit de experimentele groep scoren niet significant beter dan hoogpresterende leerlingen uit de controlegroep. Als leerlingen conceptueel-gebaseerde strategieën gebruiken als basis om problemen met decimale breuken op te lossen onmiddellijk na instructie, dan doen ze dit nog steeds 1 jaar later voor zowel vertrouwde als niet vertrouwde taken, onafhankelijk van hun initiële prestatieniveau. Hoogpresterende leerlingen hebben meer kans dan laagpresterende leerlingen om gebruik van conceptueelgebaseerde strategieën toe te passen, 1 jaar na instructie.

119

Slechts vier studies focussen specifiek op leerlingen met (leer)moeilijkheden en laagpresterende leerlingen, en schuiven zaken naar voor die de breukenkennis en vaardigheden van deze leerlingen faciliteren. Zo blijkt in de eerste plaats dat one-to-one instructie ervoor zorgt dat leerlingen met leermoeilijkheden sneller een aanvaardbaar niveau van breukenkennis bereiken, en dus sneller hun leerachterstand kunnen inhalen om hun klasgenoten bij te benen (Baker, Young, & Martin, 1990). Verdere aanbevelingen zijn gelijklopend met deze voor leerlingen zonder specifieke moeilijkheden. Empson (2003) haalt aan dat taken die verder bouwen op de voorkennis van de leerlingen, ervoor zorgen dat het breukenbegrip van laagpresterende leerlingen verbetert. Ook aanvullende instructie die focust op conceptueel begrip, kan laagpresterende leerlingen helpen om van gedeeltelijk naar volledig begrip te evolueren (Hiebert, Wearne, & Taber, 1991). Daarnaast zorgen het creëren van participantnetwerken, waarbij de nadruk ligt op sociale interacties tussen leerlingen en de leerkracht en waarin leerlingen als wiskundig competent behandeld worden, en het houden van klasdiscussies voor eenzelfde positief effect (Empson, 2003). Kemp (1995) duidt tenslotte op het feit dat, vaak ongemotiveerde, risicoleerlingen nood hebben aan visueel georiënteerde instructie met concrete, kindgerichte activiteiten die relevant zijn voor hen. De leerlingen ervaren zo dat de wiskunde die ze op school leren gerelateerd is aan de echte wereld en worden zo meer gemotiveerd om dit te leren. Enkele andere studies maken bij het bespreken van de resultaten een onderscheid tussen laagpresterende en hoogpresterende leerlingen. Erg duidelijke aanbevelingen komen hier echter niet naar boven. Zo ondervinden zowel Hwang, et al. (2006), Keijzer & Terwel (2003) als Steiner & Stoecklin (1997) dat de impact van hun conceptueel ontworpen methode groter is voor hoogpresterende leerlingen of leerlingen met een hoog IQ dan voor laagpresterende leerlingen of leerlingen met een laag IQ. Als redenen hiervoor wordt aangegeven dat hoogpresterende leerlingen gemakkelijker kunnen leren (Keijzer & Terwel, 2003), en betere wiskundige vaardigheden hebben om kritieken en argumenten te geven bij hun oplossingen (Hwang, et al., 2006). In aansluiting hierbij geven Roddick & Silvas-Centeno (2007) aan dat hoogpresterende leerlingen de connectie kunnen maken tussen pattern blocks en geschreven breuksymbolen, wat positieve leerresultaten met zich meebrengt, terwijl dit voor laagpresenterende leerlingen net voor problemen blijkt te zorgen. Wearne (1990) ondervindt net het omgekeerde effect en ontdekt dat zijn conceptueel-gebaseerde instructie net meer positieve effecten heeft voor laagpresterende dan voor hoogpresterende leerlingen. Ook Kong & Kwok (2005) en Kong (2008) komen tot enigszins tegenstrijdige resultaten: enerzijds blijkt het GPM leerlingen met hoge en gemiddelde wiskunderesultaten in staat te stellen om een sterk concept van de gelijkwaardigheid van breuken te ontwikkelen, terwijl dit voor laagpresterende leerlingen niet mogelijk bleek te zijn (Kong & Kwok, 2005), maar anderzijds 120

blijkt het GPM nuttig te zijn voor risicoleerlingen omdat het toelaat de verschillende mogelijkheden van leerlingen aan te boren en actief leren in een samenwerkende leeromgeving vergemakkelijkt (Kong, 2008).

121

5.4 Overkoepelende studies Vijf van de 116 studies werden in dit luik opgenomen. Deze studies waren te omvattend om binnen één bepaald luik onder te verdelen, de bevindingen ervan werden reeds in verschillende van de bovenstaande categorieën aangehaald.

122

Tabel 20: Overkoepelende studies

Referentie


Kilpatrick, J., Swafford, J.,  & Findell, B. (2001). Developing proficiency with other numbers. Adding it up: helping  children learn mathematics (pp. 231-254). Washington: National Academy Press.

    

Leerlingen hebben informele kennis van partitioning en meten, wat startpunten zijn voor het ontwikkelen van kennis over rationale getallen. o Leerkrachten moeten relevante ervaringen voorzien om deze informele kennis uit te breiden en te ontwikkelen tot meer formele concepten en procedures. In traditionele instructie is de bekwaamheid die leerlingen ontwikkelen met rationale getallen ongelijk verdeeld over de verschillende subconstructen (deel-geheel, quotiënt, maat, ratio en operator), en zijn deze subconstructen losgekoppeld van elkaar. o Algoritmen en regels worden van buiten geleerd, maar leerlingen begrijpen de onderliggende concepten niet. Instructie moet vertrekken vanuit informele breukenkennis zodat leerlingen eerst conceptuele kennis ontwikkelen en ze later betekenis kunnen geven aan procedures. o Bekwaamheid met rationale getallen is afhankelijk van instructie die veel tijd geeft aan leerlingen om de verschillende subconstructen en de relaties ertussen te construeren. De breukensymbolen, bestaande uit twee natuurlijke getallen, dragen bij tot de moeilijkheden die leerlingen hebben met breuken. Leerlingen moeten tijd krijgen om breuken te verkennen aan de hand van modellen en in realistische contexten zodat ze betekenis kunnen geven aan de breuksymbolen. Specifieke aandacht moet gegeven worden aan de betekenis van het geheel, zoals in de context van meten, als basis voor het ontwikkelen van breukenkennis. Om bewerkingen met breuken te kunnen uitvoeren, moeten breuken gezien worden als getallen. Leerlingen moeten wat ze al weten over natuurlijke getallen verbinden met nieuwe breukenkennis, dit kan door berekeningen die ingebed zijn in een realistische context.

123

Pitkethly, A., & Hunting, R.  (1996). A review of recent research in the area of initial fraction concepts. Educational Studies in Mathematics, 30(1), 5-38.





Initiële breukenconcepten: Breukenkennis is het resultaat van het verweven van intuïtieve kennis, wat een leerlingen al weet door alledaagse ervaringen, en formele kennis, wat geleerd wordt op school. o Het deel-geheel subconstruct, continue of discrete hoeveelheid in gelijke delen verdelen, vormt de basis om kennis van rationale getallen op te bouwen. o Equal-sharing wordt als centraal aanzien als basis voor het ontwikkelen van breukenkennis, omdat het toelaat om flexibel te denken over een geheel als één eenheid die gevormd wordt door een collectie van eenheden, waarbij verschillende groeperingen van deze eenheden mogelijk zijn. o Ratio is ook belangrijk voor de initiële breukenconcepten van kinderen: de deel-geheel relatie van breuken is consistent met de proportionele relatie tussen eenheden en iteraties van deze eenheden. Onderzoek heeft vier constructieve mechanismen vastgesteld om breukenkennis op te bouwen: o Whole-number schemes: kennis van natuurlijke getallen en tellen als basis voor breukenkennis o Partitioning schemes: verdelen, halveren of opsplitsen van continue of discrete elementen in gelijke delen o Measuring schemes: kwantitatieve vergelijkingen waardoor breuken worden gezien als metingen o Equivalencing schemes: het vaststellen van de gelijkwaardigheid van breuken, en nieuwe breuken creëren die gelijk zijn aan de som van de delen Onderzoek heeft drie belemmerende mechanismen vastgesteld bij het opbouwen van breukenkennis: o Kennis van natuurlijke getallen: deze kan het leren van breuken belemmeren doordat kinderen een breuk zien als bestaand uit twee getallen in plaats van als één hoeveelheid, en rekenkundige strategieën voor natuurlijke getallen (verkeerdelijk ook) op breuken toepassen. o Beperkte deel-geheel contexten: te veel vertrouwen op het deel-geheel subconstruct verhindert kinderen om breuken te zien als getallen, en beperkt de ontwikkeling van de andere subconstructen. o Kennis van ½: de informele kennis van iets in het midden te verdelen belemmert de ontwikkeling van deelstrategieën bij breuken met een oneven getal als noemer, zoals derden.

124

Siegler, R., Carpenter, T.,  Fennell, F., Geary, D., Lewis, J., Okamoto, Y., et al. (2010). Developing effective fractions instruction for kindergarten through 8th grade. IES Practice Guide. NCEE 20104039: What Works Clearinghouse. P.O. Box 2393, Princeton, NJ 085432393. Tel: 866-503-6114; email:  [email protected]; Web site: http://ies.ed.gov/ncee/wwc.



(1) Bouw verder op informele kennis van leerlingen van delen (sharing) en proportionaliteit (gelijkwaardige proporties) om initiële breukenconcepten te ontwikkelen. o Gebruik equal-sharing situaties (zoals: verdeel 5 koeken onder 3 kinderen zodat elk kind evenveel krijgt) om breuken te introduceren, zowel voor het verdelen van een set van objecten (zoals: 12 koeken voor 4 kinderen) als voor volledige objecten (zoals: 1 koek voor 2 kinderen). o Breidt equal-sharing activiteiten uit om begrip van volgorde en gelijkwaardigheid van breuken te ontwikkelen.  Deel objecten in grotere en kleinere delen.  Deel het aantal delers en aantal te verdelen items verder op o Bouw verder op de informele kennis van leerlingen voor een meer geavanceerd begrip van proporties. Begin met activiteiten rond gelijkaardige proporties, en ga verder met activiteiten rond het ordenen van verschillende proporties van klein naar groot. (2) Help leerlingen erkennen dat breuken getallen zijn en dat ze een uitbreiding zijn van natuurlijke getallen. Getallenassen moeten gebruikt worden om breuken te representeren en breukenconcepten aan te leren. o Gebruik meetactiviteiten en getallenassen om leerlingen te helpen begrijpen dat breuken getallen zijn. o Voorzie mogelijkheden voor leerlingen om breuken op getallenassen te plaatsen en onderling te vergelijken. o Gebruik getallenassen om leerlingen hun begrip van gelijkwaardige breuken, de dichtheid van breuken (het concept dat er een oneindig aantal breuken tussen twee breuken bestaan) en negatieve breuken te bevorderen. o Help leerlingen begrijpen dat breuken uitgedrukt kunnen worden als breuken, decimalen en percenten; en dat leerlingen vertalingen kunnen maken tussen deze vormen. (3) Help leerlingen begrijpen waarom procedures voor bewerkingen met breuken zinvol zijn. Leg de nadruk op zowel conceptueel begrip als procedurele vaardigheden. o Gebruik oppervlaktemodellen, getallenassen en andere visuele representaties van breuken om het begrip van algoritmen te bevorderen.  Vind gemeenschappelijke noemers bij het optellen en aftrekken van breuken.  Duid het geheel aan bij het vermenigvuldigen van breuken  Deel een getal in gelijke breukdelen o Voorzie mogelijkheden voor leerlingen om schattingen te gebruiken om de redelijkheid van oplossingen bij berekeningen na te gaan. o Geef aandacht aan vaak voorkomende misvattingen van leerlingen bij berekeningen met breuken.  Het geloof dat tellers en noemers als afzonderlijke natuurlijke getallen behandeld moeten worden (2/4 + 5/4 = 7/8) 125







Geen gemeenschappelijke noemers gebruiken bij het optellen en aftrekken van breuken ( 4/5 + 4/10 = 8/10)  Het geloof dat enkel de natuurlijke getallen gebruikt moeten worden in berekeningen met breuken groter dan 1 (5 3/5 – 2 1/7 = 3)  De noemers hetzelfde behandelen bij het optellen en het vermenigvuldigen met breuken (2/3 x 1/3 = 2/3)  Falen in het begrijpen van de draai-om-en-vermenigvuldig-procedure voor het oplossen van problemen rond het delen van breuken (2/3 gedeeld door 4/5 = 8/15) o Presenteer realistische contexten met aannemelijke getallen voor problemen rond berekeningen met breuken. (4) Ontwikkel de leerlingen hun conceptueel begrip van strategieën om ratio en proportie problemen op te lossen, alvorens hen bloot te stellen aan kruisvermenigvuldiging (a/b : c/d = a/b x d/c) als oplossing voor zulke problemen. o Ontwikkel leerlingen hun begrip van proportionele relaties alvorens hen procedures aan te leren die te moeilijk zijn voor hen (zoals kruisvermenigvuldiging). Bouw verder op de strategieën die leerlingen zelf ontwikkelen om problemen rond ratio en proportie op te lossen. o Moedig leerlingen aan om visuele modellen te gebruiken om ratio en proportie problemen op te lossen. o Voorzie mogelijkheden voor leerlingen om alternatieve strategieën voor het oplossen van ratio en proportieproblemen te gebruiken en bediscussiëren. (5) Programma‟s voor professionele ontwikkeling (lerarenopleidingen) moeten grote prioriteit geven aan het verbeteren van de breukenkennis van leerkrachten en de manieren om breuken te onderwijzen. o Ontwikkel diep begrip van breuken en berekeningen met breuken bij leerkrachten. o Bereid leerkrachten voor om verschillende picturale en concrete representaties van breuken te gebruiken. o Ontwikkel de mogelijkheden van leerkrachten om het begrip en de misvattingen van leerlingen te beoordelen.

126

Van de Walle, J. A. (2010).  Developing fraction concepts. In Elementary and middle school mathematics: teaching developmentally (7 ed.) (pp. 286-308). Boston: Allyn & Bacon.









Leerlingen moeten ervaring hebben met de verschillende subconstructen van breuken als ze breuken echt willen begrijpen: o Deel-geheel: wordt het meest benadrukt in leerboeken. Het cirkelmodel is heel effectief in het illustreren van de deel-geheel relatie van breuken. o Maat: betreft het bepalen van een lengte en deze lengte vervolgens gebruiken als meetstuk om de lengte van een object te bepalen. o Quotiënt: omvat breuken als delingen, dit subconstruct wordt vaak vergeten. o Operator: breuken kunnen gebruikt worden om een bewerking aan te duiden zoals 4/5 van 20 km² of 2/3 van een groep mensen. Dit subconstruct wordt onvoldoende benadrukt in curricula (Usiskin, 2007). o Ratio: kunnen deel-deel zijn of deel-geheel. De ratio ¾ kan bijvoorbeeld duiden op de ratio mensen die jassen dragen t.o.v. de ratio mensen die geen jassen dragen (deel-deel), of het kan duiden op de mensen die jassen dragen t.o.v. de volledige groep (deel-geheel). Voorkennis van natuurlijke getallen ondersteunt en verhindert het werken met breuken: o Leerlingen bouwen verder op wat ze al weten over natuurlijke getallen bij het opbouwen van breukenkennis. o Kennis van natuurlijke getallen wordt vaak ook toegepast op breuken:  Leerlingen denken dat de teller en noemer afzonderlijke waarden zijn.  Leerlingen denken dat 2/3 twee van de drie delen betekent, maar daarom niet gelijke delen.  Leerlingen denken dat 1/5 kleiner is dan 1/10 omdat 5 minder is dan 10.  Leerlingen passen de rekenkundige regels voor natuurlijke getallen ook onjuist toe op breuken; zoals bijvoorbeeld ½ + ½ = ¼ Er bestaan drie soorten modellen om met breuken te werken, leerlingen moeten de kans krijgen om met elk van de modellen te werken omdat de verschillende modellen verschillende leermogelijkheden bieden: o Oppervlaktemodellen: benadrukt de deel-geheel benadering (bijvoorbeeld: 1/3 van een tuin) o Lentemodellen: vergelijking van lengtes, meestal door een getallenas (bijvoorbeeld: ¾ van een meter) o Setmodellen: nemen van een deel van een groep of set (bijvoorbeeld: ½ van een klas) „Partitioning‟, het verdelen van een geheel in gelijke delen, en „iteraring‟, het herhalen of tellen van een breukdeel om een geheel te construeren (zoals 3 keer 1/3) zijn essentieel om leerlingen de betekenis van breuken (de teller en de noemer) te laten begrijpen: o De teller telt het aantal delen dat we hebben, de noemer zegt wat geteld wordt. o Verdeeltaken (zoals: verdeel 5 koekjes onder 2 kinderen zodat ieder evenveel krijgt) zijn een goed startpunt voor de ontwikkeling van breukenkennis Klasdiscussies dagen het denken van leerlingen uit en leggen hun gedachten bloot: dit is een goede manier om de breukenkennis van leerlingen te beoordelen en leerlingen te helpen om accurate kennis op te bouwen. 127

  



Van de Walle, J. A. (2010).  Developing strategies for fraction computation. In Elementary and middle school mathematics: teaching developmentally (7 ed.) (pp. 309-327). Boston: Allyn & Bacon.

Leerlingen moeten ook ervaring hebben met onechte breuken (breuken groter dan 1 zoals 5/2), dit wordt vaak vergeten in instructie. Om breukenbegrip van leerlingen te beoordelen worden best deel-geheel vragen gesteld (toon 1/3 van de rechthoek) omdat leerlingen hierdoor reflecteren over de betekenis van teller en noemer. Door concrete materialen te gebruiken, kunnen leerlingen trial-and-error gebruiken om hun antwoord te bepalen. Leerlingen hebben ervaring nodig met schatten van breuken, zodat leerlingen intuïtieve breukenkennis ontwikkelen. o De belangrijkste referentiepunten hierbij zijn 0, ½ en 1. o Leerlingen breuken laten vergelijken (welke is de grootste breuk?) helpt om hen begrip te laten ontwikkelen van de relatieve grootte van breukdelen. Het is belangrijk dat leerlingen de gelijkwaardigheid van breuken (zoals 6/8 en 3/4) begrijpen: o Leerlingen moeten dit zowel conceptueel (2 breuken zijn gelijkwaardig als ze dezelfde hoeveelheid voorstellen) als procedureel (om een gelijkwaardige breuk te krijgen moet je de teller en de noemer met hetzelfde getal vermenigvuldigen of delen) begrijpen. o Door modellen te gebruiken kunnen leerlingen verschillende benamingen vinden voor eenzelfde breuk en zo kennis van gelijkwaardige breuken ontwikkelen. o Leerlingen moeten uitgedaagd worden om zelf een algoritme voor gelijkwaardige breuken te construeren door te zoeken naar patronen bij het oplossen van breukproblemen. Breukenbegrip en algoritmes voor breuken ontwikkelen: conceptuele ontwikkeling kost tijd o Stel het gebruik van regels en algoritmen uit tot leerlingen de onderliggende concepten begrijpen: slecht begrepen algoritmen worden snel vergeten, en zonder onderliggend begrip kunnen leerlingen hun resultaten niet beoordelen om te zien om ze zinvol zijn o Probleem-gebaseerde benadering om breukenbegrip te ontwikkelen:  Begin met simpele contextuele taken: laat leerlingen hun eigen methoden ontwikkelen  Verbind berekeningen met breuken met berekeningen met natuurlijke getallen  Schatten en informele methodes zijn belangrijk bij het ontwikkelen van eigen strategieën  Verken elke bewerking aan de hand van modellen o Gebruik van schatten voordat strategieën voor berekeningen geïntroduceerd worden.

128







Breuken optellen en aftrekken: de teller geeft het aantal delen aan, en de noemer het type delen. Het aantal delen wordt opgeteld of afgetrokken. o Laat leerlingen zelf uitgevonden methodes gebruiken voordat het algoritme aangeleerd worden: leerlingen moeten verschillende manieren vinden om problemen met breuken op te lossen zoals aan de hand van cirkelmodellen en getallenassen. o Om het algoritme voor optellen en aftrekken van breuken te ontwikkelen kunnen leerlingen verder bouwen op hun uitgevonden strategieën en kennis van gelijkwaardige breuken. o Neem onechte breuken (zoals 5/2) en mixed numbers (zoals 3 ½ ) van bij het begin op. Breuken vermenigvuldigen: herhaalde optelling en oppervlakte modellen ondersteunen de ontwikkeling van het algoritme om breuken te vermenigvuldigen (a/b x c/d = axc/bxd). o Vertrek vanuit het vinden van een breuk van een natuurlijk getal (zoals 1/5 van 45), daarna pas het vinden van een breuk van een breuk (zoals 1/3 van 9/10). o Om het algoritme te ontwikkelen moeten leerlingen focussen op patronen hoe de tellers en de noemers te oplossing beïnvloeden. Aandacht voor de betekenis ervan is hierbij essentieel. Breuken delen: er zijn 2 interpretaties van deling, leerlingen moeten beide interpretaties verkennen o Partitive interpretation: verdelen  Deler = natuurlijk getal (zoals 1 ¼ gedeeld door 3): de drie soorten modellen kunnen gebruikt worden om tot een oplossing te komen  Deler = breuk (zoals 2 ½ gedeeld door ¾) o Measurement interpretation: herhaalde aftrekking, een gelijke groep wordt verschillende keren van een totaal afgetrokken (hoeveel keer kan ik ½ koekje halen uit ¾ van een koekje?) o Er zijn twee algoritmen voor het delen van breuken:  Gemeenschappelijke-noemer-algoritme: herhaalde aftrekking (5/3 gedeeld door ½ betekent: hoeveel sets van ½ zitten in 5/3?)  Draai-om-en-vermenigvuldig-algoritme (a/b gedeeld door c/d = a/b x d/c): leerlingen aanmoedigen om patronen te zoeken bij het oplossen van breukproblemen helpt leerlingen om hen zelf het algoritme te laten ontdekken.

129

6 DISCUSSIE EN CONCLUSIE

6.1 Inhoudelijke bevindingen Deze meta-analyse heeft getracht een antwoord te bieden op de vraag “Breuken in het basisonderwijs: wat werkt?”. De aandacht die onderzoekers geven aan breuken reflecteert zowel de moeilijkheden die leerlingen met dit onderwerp hebben, als hun blijvend belang in curricula (Usiskin, 2007). Door zowel onderzoeksgerichte als praktijkgerichte studies op te nemen in het onderzoek wordt getracht een omvattend beeld te geven van de bevindingen uit huidig onderzoek en van de mate waarin deze bevindingen ook in de praktijk weerklank vinden, iets wat tot nu toe niet eenduidig voor handen was. Uit de resultaten blijkt dat de onderzoeksgerichte studies (n=76) en de praktijkgerichte (n=31) studies tot gelijkaardige bevindingen komen. De overeenkomsten en verschillen tussen deze twee groepen studies worden kort aangehaald in Tabel 21.

6.1.1 Breuken als probleemgebied De resultaten van deze meta-analyse wijzen uit dat breuken een probleemgebied vormen voor zowel leerlingen, toekomstige leerkrachten en leerkrachten die reeds in het onderwijs staan. Losgekoppelde, versnipperde en beperkte breukenkennis, en de neiging om breukproblemen algoritmisch op te lossen in plaats van op concrete, betekenisvolle manieren op basis van onderliggend begrip, worden in meerdere onderzoeksgerichte studies vastgesteld (Charalambous & Pitta-Pantazi, 2007; Khoury & Zazkis, 1994; Levenson, 2010; Newton, 2008). Er worden in de onderzoeksgerichte studies verschillende oorzaken aangegeven voor deze breukenproblematiek. In de eerste plaats wordt voorkennis van natuurlijke getallen aangehaald (Biddlecomb, 2002; Mack, 1995; Pitkethly & Hunting, 1996; Stafylidou & Vosniadou, 2004). Leerlingen maken intuïtief gebruik van hun kennis van natuurlijke getallen om de nieuwe informatie rond breuken te interpreteren (Stafylidou & Vosniadou, 2004). Dit kan leiden tot misvattingen zoals bijvoorbeeld het zien van een breuk als bestaand uit twee onafhankelijke natuurlijke getallen, en het verkeerdelijk toepassen van regels voor bewerkingen met natuurlijke getallen op breuken (bijvoorbeeld: ½ + ½ = ¼) (Hartnett & Gelman, 1998; Van de Walle, 2010). Om deze foute veralgemeningen te overwinnen en de 130

overgang van natuurlijke getallen naar breuken te maken, moeten verschillende veranderingen in de concepties van leerlingen plaatsvinden en moeten ze een nieuw begrip van getallen construeren. Dit is echter geen eenvoudige taak, want om een volledig conceptueel beeld van breuken te krijgen moeten leerlingen betekenis kunnen geven aan breuken op een geïntegreerde manier waarbij de vijf subconstructen allen begrepen en betrokken worden: deel-geheel, ratio, operator, quotiënt en maat (Charalambous & PittaPantazi, 2007; Marshall, 1993; Van de Walle, 2010). Hiertoe moeten deze subconstructen uitgebreid en gelijkwaardig aan bod komen tijdens instructie, en moeten de connecties tussen de verschillende subconstructen benadrukt worden. Dit blijkt momenteel niet het geval te zijn (Charalambous & Pitta-Pantazi, 2007; Kieren, 1993). Daarnaast blijkt ook een enorme kloof te bestaan tussen de nadruk die in instructie wordt gelegd

op

de

ontwikkeling

van

procedurele

breukenkennis

en

conceptuele

breukenkennis. Instructie lijkt zich traditioneel voornamelijk te richten op het vanbuiten leren van regels en het uitwerken van procedures. Leerlingen passen deze regels toe zonder de onderliggende redenering ervan te begrijpen. Wanneer een eenzijdige nadruk wordt gelegd op slechts één of enkele subconstructen, of enkel op het vanbuiten leren van regels in plaats van op het begrip ontwikkelen van de onderliggende concepten, kan dit leerlingen achterlaten met een inadequate basis om de ontwikkeling van een volledig breukenbegrip te ondersteunen (Baroody & Hume, 1991; Kilpatrick, et al., 2001). Toekomstige leerkrachten, maar ook leerkrachten zelf, blijken vaak een versnipperde en beperkte breukenkennis te bezitten (Khoury & Zazkis, 1994; Newton, 2008; Siegler, et al., 2010). Daarnaast wijzen verschillende studies aan dat leerkrachten eveneens een beperkte kennis bezitten van de problemen die leerlingen ervaren wanneer zij breukenkennis trachten te verwerven, en een gebrek aan pedagogische kennis en vaardigheden hebben om hier efficiënt op in te spelen (Ma, 1999; Tirosh, 2000). Een centrale verantwoordelijkheid ligt bij de lerarenopleiding om deze drie fronten te versterken. Ook in de praktijkgerichte studies wordt dit gegeven benadrukt (Flores & Klein, 2005; Lo & McCrory, 2010), en wordt aangehaald om leerkrachten zelf een grote variëteit aan breukproblemen te laten oplossen om zo hun conceptuele en didactische breukenkennis te bevorderen (Flores, et al., 2005). Wanneer breukeninstructie verbetert, zullen ook leerlingen minder moeilijkheden ervaren bij het leren van breuken (Lehrer & Franke, 1992). Niet het leermateriaal, maar de manier waarop de leerkrachten deze uitdragen spelen de grootste rol (Post, et al., 1993).

131

6.1.2 Concrete aanbevelingen In zowel de onderzoeksgerichte als de praktijkgerichte studies wordt in de eerste plaats aangegeven tijdens breukeninstructie te vertrekken vanuit de intuïtieve, informele kennis van leerlingen (Empson, 1995; Flores & Klein, 2005; Mack, 1990, 1993; Pitkethly & Hunting, 1996; Siegler, et al., 2010). Leerkrachten moeten relevante ervaringen voorzien om zo de informele breukenkennis van leerlingen uit te breiden en te ontwikkelen tot meer formele concepten en procedures (Kilpatrick, et al., 2001). Beide groepen studies halen hiertoe dezelfde centrale startactiviteiten aan: partitioning en iterating (Siebert & Gaskin, 2006; Van de Walle, 2010), en in aansluiting daarmee equal-sharing activiteiten zoals “Verdeel 3 koeken onder 2 kinderen zodat elk kind evenveel krijgt. Hoeveel krijgt elk kind?” (Baroody & Hume, 1991; Empson, 1995; Mack, 1998; Pitkethly & Hunting, 1996; Streefland, 1993b; Van de Walle, 2010). In de onderzoeksgerichte studies worden daarnaast ook meten (subconstruct maat), en ratio en proportie gezien als goede vertrekpunten voor de ontwikkeling van breukenkennis (Carraher, 1996; Kilpatrick, et al., 2001; Lamon, 1993; Pitkethly & Hunting, 1996; Siegler, et al., 2010). Meten, omdat dit een realistische context is waar leerlingen ook in het dagelijkse leven regelmatig mee in contact komen (Kilpatrick, et al., 2001), en ratio omdat leerlingen zich intuïtief op perceptuele beoordelingen baseren om de

gelijkwaardigheid

van

hoeveelheden

vast

te

stellen

(Carraher,

1996).

De

onderzoeksgerichte studies geven verder aan de voorkennis van natuurlijke getallen als stimulerende, in plaats van als belemmerende, invloed dient worden aangewend tijdens instructie (Baroody & Hume, 1991; Kilpatrick, et al., 2001). Klasdiscussies rond de verschillen tussen natuurlijke getallen en breuken kunnen hier zeer hulpvol zijn om deze en andere misvattingen bloot te leggen en een stevige basis te vormen voor het ontwikkelen van verder begrip (Siegler, et al., 2010). Beide groepen studies duiden op het belang van het houden van klasdiscussies (Alcaro, 2000; Bell, 1993; Caldwell, 1995; Empson, 1995; Inagaki, et al., 1998; O'Connor, 2001; Van de Walle, 2010). Klasdiscussies dagen immers het denken van leerlingen uit, maken hun denkwijzen meer expliciet, leggen misvattingen bloot, en zorgen ervoor dat ze in contact komen met andere ziens- en oplossingswijzen voor breukproblemen (Alcaro, 2000; Bell, 1993; O'Connor, 2001; Siegler, et al., 2010). Ook de samenwerking en betrokkenheid tussen leerlingen wordt erdoor bevorderd, wat een positieve invloed blijkt te hebben op het zelfvertrouwen en de breukenkennis van leerlingen (Chick, et al., 2007). Er wordt verder gesteld dat men leerlingen voldoende tijd moet geven om alle breukeninterpretaties (de vijf subconstructen) aan bod te laten komen tijdens instructie, en om leerlingen de kans te geven op een betekenisvolle manier begrip te ontwikkelen voor elk 132

van deze interpretaties (Baroody & Hume, 1991; Dorgan, 1994; Lamon, 2001; Post, et al., 1993). Een actieve betrokkenheid van leerlingen is hierbij essentieel (Cramer, et al., 2002). Tijdens instructie moet de nadruk liggen op de ontwikkeling conceptueel begrip (Kazemi & Stipek, 2001; Norton & D'Ambrosio, 2008). De onderzoeksgerichte en de praktijkgerichte studies geven allebei aan dat het essentieel is om leerlingen de kans te geven zelf hun eigen, betekenisvolle oplossingsmethoden voor breukproblemen te ontwikkelen (Baroody & Hume, 1991; Empson, 1995). Dit kan op basis van hun reeds aanwezige kennis en op basis van schatten (Van de Walle, 2010). Door te schatten leren leerlingen de redelijkheid van hun eigen oplossingen nagaan, en het biedt een tegengewicht voor de neiging van leerlingen om enkel te focussen op algoritmen bij het oplossen van breukproblemen (Steiner & Stoecklin, 1997; Van de Walle, 2010). Verschillende studies, zowel onderzoeksgerichte als praktijkgerichte, halen aan om het aanleren van procedures pas later aan bod te laten komen, wanneer leerlingen zelf algoritmen (zoals a/b x c/d = axc/bxd voor het vermenigvuldigen van breuken) kunnen ontdekken door te focussen op patronen bij het oplossen van breukproblemen (Empson, 1995; Siegler, et al., 2010; Van de Walle, 2010). Ook het gebruik van breuksymbolen (in de vorm a/b) dient te worden uitgesteld tot wanneer leerlingen de onderliggende betekenis ervan begrijpen en de symbolen kunnen relateren aan betekenisvolle concepten (Baroody & Hume, 1991; Cramer, et al., 2002; Keijzer & Terwel, 2001; Moss & Case, 1999; Sáenz-Ludlow, 1994). Breuksymbolen blijken immers initieel bij te dragen tot de moeilijkheden die leerlingen hebben met breuken, doordat ze lijken te bestaan uit twee natuurlijke getallen (Kilpatrick, et al., 2001). Als alternatief kan daarom eerst gebruik worden gemaakt van woordproblemen en breukentaal (zoals tweeden en derden), en de eigen notaties van kinderen vooraleer wordt overgegaan op formele breuksymbolen (Baroody & Hume, 1991; Ploger & Rooney, 2005). Wat verder eveneens in zowel onderzoeksgerichte als praktijkgerichte studies als cruciaal benadrukt wordt, is het gebruik van concrete, realistische contexten die betekenisvol zijn voor de leerlingen (Mack, 1993, 1998; Streefland, 1993a; Wu, 2001). De context van de keuken wordt hiertoe verschillende malen aangehaald in de praktijkgerichte studies, zoals het volgen van recepten of het eerlijk verdelen van voedselwaren zoals koeken (Brinker, 1998; Hartweg, 2002; Swarthout, et al., 2002). Deze alledaagse contexten uit de leefwereld van de leerlingen maken de betekenis van breuken niet alleen zinvol voor de leerlingen, maar zorgen er eveneens voor dat hun motivatie vergroot, wat ook weer de leerresultaten ten goede komt (Colomb & Kennedy, 2005; Kilpatrick, et al., 2001). Met betrekking tot het „concrete‟ wordt in de beide groepen studies gewezen op het gebruik van manipulatiemateriaal om breuken en bewerkingen met breuken voor te stellen, hier modellen genoemd. Breukenkennis blijkt initieel steeds gebaseerd te zijn op fysieke, 133

concrete bewerkingen met reële materialen (Watanabe, 1996). De modellen laten toe dat leerlingen het effect van hun bewerkingen concreet zien gebeuren en dit via trial-and-error kunnen uittesten (Van de Walle, 2010). Van de Walle (2010) onderscheidt drie soorten modellen, namelijk oppervlaktemodellen, lengtemodellen en setmodellen, elk met hun eigen specifieke kenmerken en voor- en nadelen. Alle drie deze modellen komen zowel in de onderzoekgerichte als in de praktijkgerichte studies aan bod. In de onderzoeksgerichte studies wordt vooral het gebruik van een getallenas (lengtemodel) benadrukt (Keijzer & Terwel, 2003; Moss & Case, 1999; Siegler, et al., 2010), terwijl in de praktijkgerichte studies de aandacht voornamelijk naar pattern blocks (oppervlaktemodel) gaat (Caldwell, 1995; Ellington & Whitenack, 2010; Neumer, 2007). Het wordt beklemtoond dat leerlingen de kans moeten krijgen om met een grote variëteit aan concreet materiaal te werken, en in contact dienen te komen met elk van de modellen (Siegler, et al., 2010; Streefland, 1993a). Leerkrachten moeten zich echter wel bewust zijn van de voor- en nadelen van elk van deze modellen en deze in overweging nemen bij het opstellen van lessen (Watanabe, 2002). Wanneer leerkrachten een verscheidenheid aan strategieën en materialen ter hand hebben, kunnen ze beslissen onder welke omstandigheden welke strategie het meest geschikt is (Siegler, et al., 2010). Daarnaast blijkt ook het gebruik van technologie allerlei voordelen te bieden, zowel met betrekking tot mogelijkheden om breuken op concrete manieren te ervaren als om samenwerking tussen leerlingen te bevorderen (Hunting, et al., 1996; Kong, 2008; Roschelle, et al., 2010). Er worden zo in beide groepen studies verschillende computerprogramma‟s aangehaald die gebruik maken van horizontale balken in verschillende lengtes en kleuren die elk een bepaalde breuk voorstellen (Kong, 2008; Kong & Kwok, 2003; Olive, 2002; Tzur, 1999). Hierdoor kunnen leerlingen bijvoorbeeld zelf ontdekken dat 3 balken van lengte 1/3 passen in de balk van één geheel (Kong & Kwok, 2003; Olive, 2002). Ook de gelijkwaardigheid van breuken is een dankbaar concept om via deze technologie te verkennen (Kong & Kwok, 2005). Het gebruik van audio- en videomateriaal kan als hulpmiddel ingeschakeld worden zodat leerlingen hun oplossingen voor breukproblemen, en meer specifiek hun onderliggende ideeën hierbij, met elkaar kunnen bespreken, wat het leren bevordert (Canada, 2009; Hwang, et al., 2006). Het is bij dit alles cruciaal dat leerkrachten inzien wat het huidige cognitieve niveau van hun leerlingen is, en instructie afstemmen op de aanwezige kennis van hun leerlingen (Olive & Vomvoridi, 2006). Dit wordt dan ook in zowel onderzoeksgerichte als praktijkgerichte studies benadrukt. Leerlingen kunnen geen zin geven aan breukeninstructie als zij de onderliggende concepten (nog) niet verworven hebben, daarom is het belangrijk dat leerkrachten hier een zicht op hebben zodat ze de instructie daarop kunnen afstemmen 134

(Olive & Vomvoridi, 2006). Omdat breukenkennis contextgebonden is, zijn meerdere taken nodig om de precieze breukenkennis en –vaardigheden van leerlingen te kunnen bepalen (Brizuela, 2006; Johanning, 2008; Watanabe, 1996). De aangehaalde leersequenties en hiërarchieën van breukenschema‟s in de onderzoeksgerichte studies kunnen hiervoor een richtlijn vormen, en een tool zijn voor leerkrachten om inzicht te krijgen in het redeneren van leerlingen (Marshall, 1993; Norton & D'Ambrosio, 2008; Norton & McCloskey, 2008). Ook het verkennen van onderzoeksliteratuur (D'Ambrosio & Campos, 1992) of het in diepte analyseren van de antwoorden van leerlingen kunnen in dit opzicht hulpvol zijn (McLeman & Cavell, 2009). Kennis van vaak voorkomende misvattingen en fouten bij leerlingen is hierbij eveneens belangrijk, zodat er specifieke aandacht aan kan worden gegeven tijdens instructie (Siegler, et al., 2010; Stipek, et al., 1998). Een klasomgeving waar leerlingen zich vrij voelen om fouten te maken en gestimuleerd worden om na te denken over hun eigen fouten, en waar leerkrachten daarnaast anticiperen op de fouten die leerlingen zullen maken, verdiept het leren van leerlingen over breuken en zorgt ervoor dat leerkrachten beter kunnen inspelen op hun leerlingen (Kazemi & Stipek, 2001; Schleppenbach, et al., 2007; Stipek, et al., 1998).

135

Tabel 21: Overeenkomsten en verschillen tussen de onderzoeksgerichte en praktijkgerichte studies

Bevindingen uit de onderzoeksgerichte studies Overeenkomsten

 



Bevindingen uit de praktijkgerichte studies

Breukenkennis: o Informele breukenkennis o Focus op centrale ideeën en connecties tussen verschillende concepten Breuken onderwijzen: o Vertrekpunten voor de ontwikkeling van breukenkennis: verder bouwen op informele voorkennis  Partitioning  Iterating  Equal-sharing activiteiten o Focus op conceptuele breukenkennis en begrip, in plaats van op het aanleren van procedures en algoritmen o Leerlingen de kans geven om eigen oplossingsstrategieën te ontwikkelen o Procedures en algoritmen aanbrengen op betekenisvolle manieren, door leerlingen te laten focussen op patronen bij het oplossen van breukproblemen o Breuksymbolen uitstellen tot leerlingen onderliggende concepten begrijpen, en relateren aan betekenisvolle situaties o Belang van klasdiscussies en samenwerking tussen leerlingen o Gebruik van concrete, realistische contexten die betekenisvol zijn voor de leerlingen o Instructie aanpassen aan aanwezige cognitieve niveau van leerlingen o Belang dat leerkrachten zowel een goede breukenkennis, als pedagogische kennis en kennis van vaak voorkomende fouten bij leerlingen bezitten Curriculum o Gebruik van technologie:  Computerprogramma‟s met horizontale balken  Audio- en videomateriaal  Stimulatie van samenwerking tussen leerlingen aan de hand van technologie o Modellen:  Drie soorten:  Oppervlaktemodellen  Lengtemodellen  Setmodellen  Oppervlaktemodellen, lengtemodellen en setmodellen moeten allemaal aan bod komen tijdens instructie  Belang dat leerkracht op de hoogte is van de voor- en nadelen van elk model 136

Bevindingen uit de onderzoeksgerichte studies Verschillen









Bevindingen uit de praktijkgerichte studies

Breukenkennis:  o Formele breukenkennis: kennis van natuurlijke getallen als belemmerend en stimulerend o 5 subconstructen van breuken o Procedurele en conceptuele breukenkennis, met een kloof tussen beide o Vaststelling van breukproblematiek bij leerlingen,  toekomstige leerkrachten en leerkrachten in het onderwijs Breuken leren: theoretische leertrajecten o Breukenschema‟s o Taxonomieën o Contextgebondenheid van breukenkennis Breuken onderwijzen: o Vertrekpunten:  Ratio  Meten o Voldoende tijd voor alle subconstructen o Actieve betrokkenheid van de leerlingen o Aandacht voor de fouten en misvattingen van leerlingen Curriculum o Modellen: nadruk op getallenas (lengtemodel) o Leermateriaal  Tekorten in huidige breukencurricula  Aanbevelingen voor een nieuw breukencurriculum

Breuken onderwijzen: o Ideeën voor concrete klasactiviteiten:  Fraction counting books  Wiskundebeurs  Visuele en kinesthetische activiteiten  … Curriculum o Alledaags materiaal: context van de keuken o Modellen: nadruk op pattern blocks (oppervlaktemodel)

137

6.2 Leerlingen met (leer)moeilijkheden Het is opmerkelijk dat slechts een heel beperkt aantal studies focust op het leren en onderwijzen van breuken aan leerlingen met moeilijkheden (n=4). Enkele andere studies maken bij het bespreken van de bevindingen wel een onderscheid tussen leerlingen met een hoog IQ of hoogpresteerders en leerlingen met een laag IQ of laagpresteerders (n=7), maar de aandacht die aan deze groep leerlingen gegeven wordt in onderzoek, is opvallend klein. Gezien breuken globaal genomen een probleemgebied blijken te vormen op school, is het vreemd dat niet meer aandacht besteed wordt aan de verwerving van het concept breuken bij leerlingen met leermoeilijkheden. Inhoudelijk schuiven de studies die wel focussen op leerlingen met (leer)moeilijkheden vrijwel dezelfde bevindingen en aanbevelingen naar voor als in de andere resultaten werden teruggevonden. De nadruk ligt op conceptueel-gebaseerde instructie, waarbij leerlingen de tijd moeten krijgen om gradueel hun kennis te construeren op basis van hun eigen voorkennis (Hiebert, et al., 1991). Equal-sharing problemen en woordproblemen worden aangehaald, waarbij leerlingen de kans dienen te krijgen deze op te lossen aan de hand van hun eigen oplossingsmethoden (Empson, 2003). Daarnaast is het belangrijk om visueel georiënteerde instructie te organiseren met concrete, kindgerichte activiteiten (Kemp, 1995). Er wordt eveneens aangegeven dat one-on-one instructie, waarbij leerlingen individueel begeleid worden door een leerkracht, bevorderend werkt voor leerlingen met moeilijkheden om hun achterstand sneller in te halen (Baker, et al., 1990). Daarnaast wordt echter ook aangehaald dat klasdiscussies en participantnetwerken, waarbij de interacties tussen leerlingen centraal staan en leerlingen als wiskundig competent behandeld worden, ook sterk bevorderend werken voor de leerresultaten (Empson, 2003). Verder onderzoek dient te worden uitgevoerd naar manieren waarop leerlingen met (leer)moeilijkheden extra ondersteund kunnen worden bij het verwerven van breukenkennisen vaardigheden.

6.3 Effectiviteitstudies Uit de resultaten kan eveneens worden afgeleid dat slechts een heel beperkt aantal studies de effectiviteit van bepaalde onderwijspraktijken nagaat. Binnen de praktijkgerichte studies werd geen enkele effectiviteitstudie vastgesteld, maar aangezien deze studies focussen op concrete onderwijs- en leerpraktijken bij breuken en expliciet leerkrachten basisonderwijs als doelpubliek beogen, is dit niet erg verwonderlijk. Wat meer vragen oproept, is het feit dat 138

slechts achttien studies van de zesenzeventig onderzoeksgerichte studies effectiviteitstudies omvatten (zie Bijlage 4). Het merendeel van de studies die in deze meta-analyse werden opgenomen, zijn kwalitatief en beschrijvend van aard (casestudies). Het belang van casestudies dient niet onderkent te worden, maar een te eenzijdige nadruk op gevalsstudies heeft tot gevolg dat de veralgemeenbaarheid van de gevonden resultaten niet met volledige zekerheid kan worden gesteld. Meer grootschalig en kwantitatief onderzoek is nodig om bovenstaande aanbevelingen te staven en alternatieve manieren om breuken te onderwijzen te onderzoeken.

6.4 Beperkingen en aanbevelingen voor verder onderzoek Tijdens het uitvoeren van het onderzoek werd in de eerste plaats duidelijk dat erg weinig studies de effectiviteit van specifieke onderwijspraktijken nagaan. Door het gebrek aan kwantitatieve resultaten kan de veralgemeenbaarheid van de beschreven resultaten dan ook niet met volledige zekerheid gesteld worden. Er is nood aan meer omvattende kwantitatieve studies die specifiek focussen op breuken, net zoals deze reeds in grote mate bestaan rond natuurlijke getallen (Siegler, et al., 2010). Verder bleek ook dat slechts een heel beperkt aantal studies focussen op leerlingen met (leer)moeilijkheden. Dit is mogelijks deels te wijten aan de selectie die werd uitgevoerd volgens de tien tijdschriften en de beperkte leeftijdsgroep van het basisonderwijs. In dit onderzoek werden tien vooraanstaande en zeer relevante tijdschriften betrokken. Toekomstig onderzoek kan een meer uitgebreide en grootschalige analyse uit voeren met betrekking tot breuken, en ook tijdschriften zoals bijvoorbeeld „Journal of Learning Disabilities‟ opnemen in de analyse. Er werd bij het bespreken van de resultaten eveneens geen onderscheid gemaakt met betrekking tot de leeftijd van de respondenten. Het basisonderwijs is een vrij ruime leeftijdscategorie en verder onderzoek kan de aanbevelingen mogelijk verfijnen en toepassen op de verschillende leerjaren. Daarnaast kan het verdienstelijk zijn om ook oudere leerlingen te betrekken in het onderzoek, zodat niet alleen aanbevelingen kunnen worden gemaakt voor de basisjaren van breukenonderricht maar ook de follow-up van deze resultaten mogelijk wordt. De belangrijkste voorzet voor vervolgonderzoek is echter het nagaan in welke mate de bevindingen van deze meta-analyse in klassen geïmplementeerd worden. Dit kan worden nagegaan door het uitvoeren van lesobservaties. Dit onderzoek biedt een overzicht van de 139

bevindingen uit zowel onderzoeksliteratuur als praktijkgerichte studies, maar het ultieme doel is het nagaan van de klaspraktijk zelf. Dit onderzoek biedt daartoe aangrijpingspunten. Daarnaast kan dit onderzoek zowel (toekomstige) leerkrachten als curriculumontwikkelaars informeren. Gezien het gebrek aan pedagogische kennis bij (toekomstige) leerkrachten om breuken te onderwijzen (Ma, 1999; Tirosh, 2000) en de tekorten in huidige curricula (Carnine, et al., 1997; Dorgan, 1994; Post, et al., 1993), kunnen de aanbevelingen die uit deze meta-analyse naar boven komen een basis vormen bij het beoordelen, ontwikkelen en uitdragen van instructie gericht op het verhogen van de breukenkennis en –vaardigheden van leerlingen. Hiermee wordt tegemoet gekomen aan de problematische resultaten die zowel in Vlaanderen als internationaal werden vastgesteld.

140

7 REFERENTIES Adjiage, R., & Pluvinage, F. (2007). An experiment in teaching ratio and proportion. Educational Studies in Mathematics, 65(2), 149-175. Alcaro, P. C. (2000). Fractions attack! Teaching Children Mathematics, 6(9), 562. Anderson, C. L., Anderson, K. M., & Wenzel, E. J. (2000). Oil and water don't mix, but they do teach fractions. Teaching Children Mathematics, 7(3), 174. Baker, J., Young, M., & Martin, M. (1990). The effectiveness of small-group versus one-toone remedial instruction for six students with learning difficulties. The Elementary School Journal, 91(1), 65-76. Ball, D. L. (1993). Halves, pieces and twoths: Constructing and using representational contexts in teaching fractions. In T. Carpenter, E. Fennema & T. Romberg (Eds.), Rational numbers: an integration of research (pp. 157-195). New Jersey: Lawrence Erlbaum. Baroody, A. J., & Hume, J. (1991). Meaningful mathematics instruction: The case of fractions. Remedial and Special Education, 12(3), 54-68. Behr, M. J., & et al. (1984). Order and equivalence of rational numbers: A clinical teaching experiment. Journal for Research in Mathematics Education, 15(5), 323-341. Behr, M. J., Harel, G., Post, T. R., & Lesh, R. (1993). Rational numbers: toward a semantic analysis-emphasis on the operator construct. In T. Carpenter, E. Fennema & T. Romberg (Eds.), Rational numbers: an integration of research (pp. 13-47). New Jersey: Lawrence Erlbaum. Bell, A. (1993). Some experiments in diagnostic teaching. Educational Studies in Mathematics, 24(1), 115-137. Biddlecomb, B. D. (2002). Numerical knowledge as enabling and constraining fraction knowledge: an example of the reorganization hypothesis. Journal of Mathematical Behavior, 21, 167-190. Bray, W. S., & Abreu-Sanchez, L. (2010). Using number sense to compare fractions. Teaching Children Mathematics, 17(2), 90-97. Brenner, M. E., Herman, S., Ho, H.-Z., & Zimmer, J. M. (1999). Cross-national comparison of representational competence. Journal for Research in Mathematics Education, 30(5), 541-557. Brinker, L. (1998). Using recipes and ratio tables. Teaching Children Mathematics, 5(4), 218. Brizuela, B. M. (2006). Young children's notations for fractions. Educational Studies in Mathematics, 62(3), 281-305.

141

Bulgar, S. (2003). Childrens' sense-making of division of fractions. Journal of Mathematical Behavior, 22, 319-334. Caldwell, J. H. (1995). Communicating about fractions with pattern blocks. Teaching Children Mathematics, 2(3), 156. Canada, D. L. (2009). Fraction photo frenzy: A new exploration. Teaching Children Mathematics, 15(9), 552-557. Carnine, D., Jitendra, A. K., & Silbert, J. (1997). A descriptive analysis of mathematics curricular materials from a pedagogical perspective - A case study of fractions. Remedial and Special Education, 18(2), 66-81. Carpenter, T., Fennema, E., & Romberg, T. (1993). Toward a unified discipline of scientific inquiry. In T. Carpenter, E. Fennema & T. Romberg (Eds.), Rational numbers: an integration of research. New Jersey: Lawrence Erlbaum. Carraher, D. W. (1996). Learning about fractions. In L. P. Steffe, P. Nesher, P. Cobb, G. A. Goldin & B. Greer (Eds.), Theories of mathematical learning (pp. 241-266). New Jersey: Lawrence Erlbaum Associates. Charalambous, C., & Pitta-Pantazi, D. (2007). Drawing on a theoretical model to study students‟ understandings of fractions. Educational Studies in Mathematics, 64(3), 293-316. Charles, K., & Nason, R. (2000). Young children's partitioning strategies. Educational Studies in Mathematics, 43(2), 191-221. Chick, C., Tierney, C., & Storeygard, J. (2007). Seeing students' knowledge of fractions: Candace's inclusive classroom. Teaching Children Mathematics, 14(1), 52-57. Clarke, D. M., & Roche, A. (2009). Students' fraction comparison strategies as a window into robust understanding and possible pointers for instruction. Educational Studies in Mathematics, 72(1), 127-138. Colomb, J., & Kennedy, K. (2005). Your better half. Teaching Children Mathematics, 12(4), 180. Cramer, K. A., Post, T. R., & delMas, R. C. (2002). Initial fraction learning by fourth- and fifthgrade students: A comparison of the effects of using commercial curricula with the effects of using the rational number project curriculum. Journal for Research in Mathematics Education, 33(2), 111-144. D'Ambrosio, B. S., & Campos, T. M. M. (1992). Pre-service teachers' representations of children's understanding of mathematical concepts: Conflicts and conflict resolution. Educational Studies in Mathematics, 23(3), 213-230. Darwish, D. S., Wang, D., Konat, G. W., & Schreurs, B. G. (2010). Dietary cholesterol impairs memory and memory increases brain cholesterol and sulfatide levels. Behavioral Neuroscience, 124(1), 115-123. 142

Dorgan, K. (1994). What textbooks offer for instruction in fraction concepts. Teaching Children Mathematics, 1(3), 150. Edwards, L. D. (2009). Gestures and conceptual integration in mathematical talk. Educational Studies in Mathematics, 70(2), 127-141. Ellington, A. J., & Whitenack, J. W. (2010). Fractions and the funky cookie. Teaching Children Mathematics, 16(9), 532-539. Empson, S. B. (1995). Research into practice: Using sharing situations to help children learn fractions. Teaching Children Mathematics, 2(2), 110-114. Empson, S. B. (2001). Equal sharing and the roots of fraction equivalence. Teaching Children Mathematics, 7(7), 421-425. Empson, S. B. (2003). Low-performing students and teaching fractions for understanding: An interactional analysis. Journal for Research in Mathematics Education, 34(4), 305343. Empson, S. B., Junk, D., Dominguez, H., & Turner, E. (2006). Fractions as the coordination of multiplicatively related quantities: A cross-sectional study of children's thinking. Educational Studies in Mathematics, 63(1), 1-28. Flores, A., & Klein, E. (2005). From students' problem-solving strategies to connections in Fractions. Teaching Children Mathematics, 11(9), 452-457. Flores, A., Turner, E. E., & Bachman, R. C. (2005). Posing problems to develop conceptual understanding: Two teachers make sense of division of fractions. Teaching Children Mathematics, 12(3), 117-121. Gearhart, M., Saxe, G. B., Seltzer, M., Schlackman, J., Ching, C. C., Nasir, N. i., et al. (1999). Opportunities to learn fractions in elementary mathematics classrooms. Journal for Research in Mathematics Education, 30(3), 286-315. Goral, M. B., & Wiest, L. R. (2007). An arts-based approach to teaching fractions. Teaching Children Mathematics, 14(2), 74-80. Hackenberg, A. J. (2007). Units coordination and the construction of improper fractions: A revision of the splitting hypothesis. Journal of Mathematical Behavior, 26(1), 27-47. Hackenberg, A. J., & Tillema, E. S. (2009). Students' whole number multiplicative concepts: A critical constructive resource for fraction composition schemes. Journal of Mathematical Behavior, 28(1), 1-18. Hartnett, P., & Gelman, R. (1998). Early understandings of numbers: Paths or barriers to the construction of new understandings? Learning and Instruction, 8(4), 341-374. Hartweg, K. (2002). Measuring hot chocolate. Teaching Children Mathematics, 8(5), 275. Hiebert, J., Wearne, D., & Taber, S. (1991). Fourth graders' gradual construction of decimal fractions during instruction using different physical representations. The Elementary School Journal, 91(4), 321-341. 143

Hunting, R. P., Davis, G., & Pearn, C. A. (1996). Engaging whole-number knowledge for rational-number learning using a computer-based tool. Journal for Research in Mathematics Education, 27(3), 354-379. Hwang, W.-Y., Chen, N.-S., & Hsu, R.-L. (2006). Development and evaluation of multimedia whiteboard system for improving mathematical problem solving. Computers & Education, 46(2), 105-121. Inagaki, K., Hatano, G., & Morita, E. (1998). Construction of mathematical knowledge through whole-class discussion. Learning and Instruction, 8(6), 503-526. Izsak, A., Tillema, E., & Tunc-Pekkan, Z. (2008). Teaching and learning fraction addition on number lines. Journal for Research in Mathematics Education, 39(1), 33-62. Johanning, D. I. (2008). Learning to use fractions: Examining middle school students emerging fraction literacy. Journal for Research in Mathematics Education, 39(3), 281-310. Kamii, C., & Clark, F. B. (1995). Equivalent fractions: Their difficulty and educational implications. Journal of Mathematical Behavior, 14(4), 365-378. Kazemi, E., & Stipek, D. (2001). Promoting conceptual thinking in four upper-elementary mathematics classrooms. The Elementary School Journal, 102(1), 59-80. Keijzer, R., & Terwel, J. (2001). Audrey's acquisition of fractions: A case study into the learning of formal mathematics. Educational Studies in Mathematics, 47(1), 53-73. Keijzer, R., & Terwel, J. (2003). Learning for mathematical insight: a longitudinal comparative study on modelling. Learning and Instruction, 13(3), 285-304. Kemp, C. C. (1995). Adding taste to mathematics. Teaching Children Mathematics, 2(4), 224. Khoury, H. A., & Zazkis, R. (1994). On fractions and non-standard representations: Preservice teachers' concepts. Educational Studies in Mathematics, 27(2), 191-204. Kieren, T. E. (1993). Rational and fractional numbers: from quotient fields to recursive understanding. In T. Carpenter, E. Fennema & T. Romberg (Eds.), Rational numbers: an integration of research (pp. 49-84). New Jersey: Lawrence Erlbaum. Kilpatrick, J., Swafford, J., & Findell, B. (2001). Adding it up: helping children learn mathematics. Washington: National Academy Press. Kong, S. C. (2008). The development of a cognitive tool for teaching and learning fractions in the mathematics classroom: A design-based Study. Computers & Education, 51(2), 886-899. Kong, S. C., & Kwok, L. F. (2003). A graphical partitioning model for learning common fraction: designing affordances on a web-supported learning environment. Computers & Education, 40(2), 137-155.

144

Kong, S. C., & Kwok, L. F. (2005). A cognitive tool for teaching the addition/subtraction of common fractions: a model of affordances. Computers & Education, 45(2), 245-265. Lamon, S. J. (1993). Ratio and proportion: children‟s cognitive and metacognitive processes. In T. Carpenter, E. Fennema & T. Romberg (Eds.), Rational numbers: an integration of research (pp. 49-84). New Jersey: Lawrence Erlbaum. Lamon, S. J. (2001). Presenting and representing: from fractions to rational numbers. In A. Cuoco & F. Curcio (Eds.), The roles of representations in school mathematics - 2001 yearbook (pp. 146-165). Reston: NCTM. Lehrer, R., & Franke, M. L. (1992). Applying personal construct psychology to the study of teachers' knowledge of fractions. Journal for Research in Mathematics Education, 23(3), 223-241. Levenson, E. (2010). Fifth-grade students' use and preferences for mathematically and practically based explanations. Educational Studies in Mathematics, 73(2), 121-142. Lo, J.-J., & McCrory, R. (2010). Teaching teachers through justifying activities. Teaching Children Mathematics, 17(3), 149-155. Ma, L. (1999). Knowing and teaching elementary mathematics: Teacher's understanding of fundamental mathematics in China and the United States: Lawrence Erlbaum Associates, Inc., Publishers, 10 Industrial Avenue, Mahwah, NJ 07430. Mack, N. K. (1990). Learning fractions with understanding: Building on informal knowledge. Journal for Research in Mathematics Education, 21(1), 16-32. Mack, N. K. (1993). Learning rational numbers with understanding: The case of informal knowledge. In T. Carpenter, E. Fennema & T. Romberg (Eds.), Rational numbers: an integration of research (pp. 49-84). New Jersey: Lawrence Erlbaum. Mack, N. K. (1995). Confounding whole-number and fraction concepts when building on informal knowledge. Journal for Research in Mathematics Education, 26(5), 422-441. Mack, N. K. (1998). Building a foundation for understanding the multiplication of fractions. Teaching Children Mathematics, 5(1), 34. Mack, N., K. (2000). Long-term effects of building on informal knowledge in a complex content domain: The case of multiplication of fractions. Journal of Mathematical Behavior, 19(3), 307-332. Mack, N. K. (2001). Building on informal knowledge through instruction in a complex content domain: Partitioning, units, and understanding multiplication of fractions. Journal for Research in Mathematics Education, 32(3), 267-295. Mack, N. K. (2004). Connecting to develop computational fluency with fractions. Teaching Children Mathematics, 11(4), 226.

145

Man, Y.-K. (2009). A study of two-term unit fraction expansions via geometric approach. Teaching Mathematics and Its Applications: An International Journal of the IMA, 28(1), 43-47. Marshall, S. P. (1993). Assessment of rational number understanding: a schema-based approach. In T. Carpenter, E. Fennema & T. Romberg (Eds.), Rational numbers: an integration of research (pp. 261-288). New Jersey: Lawrence Erlbaum. McLeman, L. K., & Cavell, H. A. (2009). Teaching fractions. Teaching Children Mathematics, 15(8), 494-501. Ministerie van de Vlaamse Gemeenschap, 2004. Eerste peiling wiskunde en leren in het basisonderwijs. Brussel: Departement Onderwijs, Ministerie van de Vlaamse Gemeenschap. Mokashi, N. A. (2009). Math fair: Focus on fractions. Teaching Children Mathematics, 15(9), 542-551. Moone, G., & De Groot, C. (2006). Fraction action. Teaching Children Mathematics, 13(5), 266-271. Moss, J., & Case, R. (1999). Developing children's understanding of the rational numbers: A new model and an experimental curriculum. Journal for Research in Mathematics Education, 30(2), 122-147. Moyer, P. S., & Mailley, E. (2004). Inchworm and a half: Developing fraction and measurement concepts using mathematical representations. Teaching Children Mathematics, 10(5), 244-252. Neumer, C. (2007). Mixed numbers made easy: Building and converting mixed numbers and improper fractions. Teaching Children Mathematics, 13(9), 488-492. Newton, K. J. (2008). An extensive analysis of preservice elementary teachers' knowledge of fractions. American Educational Research Journal, 45(4), 1080-1110. Norton, A. (2008). Josh's operational conjectures: Abductions of a splitting operation and the construction of new fractional schemes. Journal for Research in Mathematics Education, 39(4), 401-430. Norton, A., & D'Ambrosio, B. S. (2008). ZPC and ZPD: Zones of teaching and learning. Journal for Research in Mathematics Education, 39(3), 220-246. Norton, A., & McCloskey, A. (2008). Teaching experiments and professional development. Journal of Mathematics Teacher Education, 11(4), 285-305. Norton, A., & Wilkins, J. L. M. (2009). A quantitative analysis of children's splitting operations and fraction schemes. Journal of Mathematical Behavior, 28(2), 150-161. O'Connor, M. C. (2001). "Can any fraction be turned into a decimal?" A case study of a mathematical group discussion. Educational Studies in Mathematics, 46(1/3), 143185. 146

Olive, J. (2002). Bridging the gap: Using interactive computer tools to build fraction schemes. Teaching Children Mathematics, 8(6), 356. Olive, J., & Vomvoridi, E. (2006). Making sense of instruction on fractions when a student lacks necessary fractional schemes: The case of Tim. Journal of Mathematical Behavior, 25(1), 18-45. Pitkethly, A., & Hunting, R. (1996). A review of recent research in the area of initial fraction concepts. Educational Studies in Mathematics, 30(1), 5-38. Ploger, D., & Rooney, M. (2005). Teaching fractions: Rules and reason. Teaching Children Mathematics, 12(1), 12. Post, T., Cramer, K., Behr, M., Lesh, R., & Harel, G. (1993). Curriculum implementations of research on the learning, teaching and assessing of the rational number concepts. In T. Carpenter, E. Fennema & T. Romberg (Eds.), Rational numbers: an integration of research (pp. 327-362). New Jersey: Lawrence Erlbaum. Roddick, C., & Silvas-Centeno, C. (2007). Developing understanding of fractions through pattern blocks and fair trade. Teaching Children Mathematics, 14(3), 140-145. Roschelle, J., Rafanan, K., Estrella, G., Nussbaum, M., & Claro, S. (2010). From handheld collaborative tool to effective classroom module: Embedding CSCL in a broader design framework. Computers & Education, 55(3), 1018-1026. Sáenz-Ludlow, A. (1994). Michael's fraction schemes. Journal for Research in Mathematics Education, 25(1), 50-85. Sáenz-Ludlow, A. (1995). Ann's fraction schemes. Educational Studies in Mathematics, 28(2), 101-132. Saxe, G. B., Taylor, E. V., McIntosh, C., & Gearhart, M. (2005). Representing fractions with standard notation: A developmental analysis. Journal for Research in Mathematics Education, 36(2), 137-157. Schleppenbach, M., Flevares, L. M., Sims, L. M., & Perry, M. (2007). Teachers' responses to student mistakes in Chinese and U.S. mathematics classrooms. The Elementary School Journal, 108(2), 131-147. Siebert, D., & Gaskin, N. (2006). Creating, naming, and justifying fractions. Teaching Children Mathematics, 12(8), 394-400.

147

Siegler, R., Carpenter, T., Fennell, F., Geary, D., Lewis, J., Okamoto, Y., et al. (2010). Developing effective fractions instruction for kindergarten through 8th grade. IES Practice Guide. NCEE 2010-4039: What Works Clearinghouse. P.O. Box 2393, Princeton, NJ 08543-2393. Tel: 866-503-6114; e-mail: [email protected]; Web site: http://ies.ed.gov/ncee/wwc. Slavin, R. E., & Lake, C. (2008). Effective programs in elementary mathematics: A bestevidence synthesis. Review of Educational Research, 78(3), 427-515. Son, J.-W., & Senk, S. L. (2010). How reform curricula in the USA and Korea present multiplication and division of fractions. Educational Studies in Mathematics, 74(2), 117-142. Stafylidou, S., & Vosniadou, S. (2004). The development of students' understanding of the numerical value of fractions. Learning and Instruction, 14(5), 503-518. Steffe, L. P. (2002). A new hypothesis concerning children‟s fractional knowledge. Journal of Mathematical Behavior, 20, 267-307. Steffe, L. P. (2003). Fractional commensurate, composition, and adding schemes. Learning trajectories of Jason and Laura: Grade 5. Journal of Mathematical Behavior, 22(3), 237-295. Steiner, G. F., & Stoecklin, M. (1997). Fraction calculation - A didactic approach to constructing mathematical networks. Learning and Instruction, 7(3), 211-233. Stipek, D., Salmon, J. M., Givvin, K. B., Kazemi, E., Saxe, G., & MacGyvers, V. L. (1998). The value (and convergence) of practices suggested by motivation research and promoted by mathematics education reformers. Journal for Research in Mathematics Education, 29(4), 465-488. Streefland, L. (1993a). The design of a mathematics course: A theoretical reflection. Educational Studies in Mathematics, 25(1/2), 109-135. Streefland, L. (1993b). Fractions: A realistic approach. In T. Carpenter, E. Fennema & T. Romberg (Eds.), Rational numbers: an integration of research (pp. 289-325). New Jersey: Lawrence Erlbaum. Stump, S. L. (2003). Designing fraction-counting books. Teaching Children Mathematics, 9(9), 546-549. Swarthout, M., Mann, R., & Hartweg, K. (2002). Fractionberry pie. Teaching Children Mathematics, 9(2), 120. Tirosh, D. (2000). Enhancing prospective teachers' knowledge of children's conceptions: The case of division of fractions. Journal for Research in Mathematics Education, 31(1), 525.

148

Tzur, R. (1999). An integrated study of children's construction of improper fractions and the teacher's role in promoting that learning. Journal for Research in Mathematics Education, 30(4), 390. Tzur, R. (2007). Fine grain assessment of students' mathematical understanding: participatory and anticipatory stages in learning a new mathematical conception. Educational Studies in Mathematics, 66(3), 273-291. Usiskin, Z. P. (2007). The future of fractions. Mathematics Teaching in the Middle School, 12(7), 366-369. Van de Walle, J. A. (2010). Elementary and middle school mathematics: Teaching developmentally (7 ed.). Boston: Allyn & Bacon. Verschaffel, L., Janssens, S., & Janssen, R. (2005). The development of mathematical competence in flemish preservice elementary school teachers. Teaching and Teacher Education: An International Journal of Research and Studies, 21(1), 49-63. Vlaamse Overheid en Katholieke Universiteit Leuven, 2010. Tweede peiling wiskunde in het basisonderwijs. Brussel: Vlaamse Overheid. Watanabe, T. (1996). Ben's understanding of one-half. Teaching Children Mathematics, 2(8), 460. Watanabe, T. (2002). Representations in teaching and learning fractions. Teaching Children Mathematics, 8(8), 457. Watanabe, T. (2006). The teaching and learning of fractions: A Japanese perspective. Teaching Children Mathematics, 12(7), 368-374. Wearne, D. (1990). Acquiring meaning for decimal fraction symbols: A one year follow-up. Educational Studies in Mathematics, 21(6), 545-564. Wu, Z. (2001). Multiplying fractions. Teaching Children Mathematics, 8(3), 174-177.

149

8 BIJLAGEN

Bijlage 1: Studies onderverdeeld volgens de tien opgenomen tijdschriften (n=119) Bijlage 2: Boekreferenties en omvattende studies (n=18) Bijlage 3: Studies die niet in de meta-analyse opgenomen werden (n=21) Bijlage 4: Effectiviteitstudies (n=18) Bijlage 5: Lijst van tabellen Bijlage 6: Lijst van figuren

150

8.1 Bijlage 1: Studies onderverdeeld volgens de tien opgenomen tijdschriften (n=119) 8.1.1 American Educational Research Journal (n=3) 1. Hafner, A. L. (1993). Teaching-method scales and mathematics-class achievement: What works with different outcomes? American Educational Research Journal, 30(1), 71-94. 2. Newton, K. J. (2008). An extensive analysis of preservice elementary teachers' knowledge of fractions. American Educational Research Journal, 45(4), 1080-1110. 3. Webb, N. M., & Farivar, S. (1994). Promoting helping behavior in cooperative small groups in middle school mathematics. American Educational Research Journal, 31(2), 369-395.

8.1.2 Computers & Education (n=5) 1. Hwang, W.-Y., Chen, N.-S., & Hsu, R.-L. (2006). Development and evaluation of multimedia whiteboard system for improving mathematical problem solving. Computers and Education, 46(2), 105-121. 2. Kong, S. C. (2008). The development of a cognitive tool for teaching and learning fractions in the mathematics classroom: A design-based study. Computers & Education, 51(2), 886-899. 3. Kong, S. C., & Kwok, L. F. (2003). A graphical partitioning model for learning common fraction: designing affordances on a web-supported learning environment. Computers & Education, 40(2), 137-155. 4. Kong, S. C., & Kwok, L. F. (2005). A cognitive tool for teaching the addition/subtraction of common fractions: a model of affordances. Computers & Education, 45(2), 245-265. 5. Roschelle, J., Rafanan, K., Estrella, G., Nussbaum, M., & Claro, S. (2010). From handheld collaborative tool to effective classroom module: embedding CSCL in a broader design framework. Computers & Education, 55(3), 1018-1026.

8.1.3 Educational Studies in Mathematics (n=20) 1. Adjiage, R., & Pluvinage, F. (2007). An experiment in teaching ratio and proportion. Educational Studies in Mathematics, 65(2), 149-175. 2. Bell, A. (1993). Some experiments in diagnostic teaching. Educational Studies in Mathematics, 24(1), 115-137. 3. Boaler, J. (1993). Encouraging the transfer of 'school' mathematics to the 'real world' through the integration of process and content, context and culture. Educational Studies in Mathematics, 25(4), 341-373. 151

4. Brizuela, B. M. (2006). Young children's notations for fractions. Educational Studies in Mathematics, 62(3), 281-305. 5. Charalambous, C., & Pitta-Pantazi, D. (2007). Drawing on a theoretical model to study students‟ understandings of fractions. Educational Studies in Mathematics, 64(3), 293-316. 6. Charles, K., & Nason, R. (2000). Young children's partitioning strategies. Educational Studies in Mathematics, 43(2), 191-221. 7. Clarke, D. M., & Roche, A. (2009). Students' fraction comparison strategies as a window into robust understanding and possible pointers for instruction. Educational Studies in Mathematics, 72(1), 127-138. 8. D'Ambrosio, B. S., & Campos, T. M. M. (1992). Pre-service teachers' representations of children's understanding of mathematical concepts: Conflicts and conflict resolution. Educational Studies in Mathematics, 23(3), 213-230. 9. Edwards, L. D. (2009). Gestures and conceptual integration in mathematical talk. Educational Studies in Mathematics, 70(2), 127-141. 10. Empson, S. B., Junk, D., Dominguez, H., & Turner, E. (2006). Fractions as the coordination of multiplicatively related quantities: A cross-sectional study of children's thinking. Educational Studies in Mathematics, 63(1), 1-28. 11. Keijzer, R., & Terwel, J. (2001). Audrey's acquisition of fractions: A case study into the learning of formal mathematics. Educational Studies in Mathematics, 47(1), 5373. 12. Khoury, H. A., & Zazkis, R. (1994). On fractions and non-standard representations: pre-service teachers' concepts. Educational Studies in Mathematics, 27(2), 191-204. 13. Levenson, E. (2010). Fifth-grade students' use and preferences for mathematically and practically based explanations. Educational Studies in Mathematics, 73(2), 121142. 14. O'Connor, M. C. (2001). "Can any fraction be turned into a decimal?" A case study of a mathematical group discussion. Educational Studies in Mathematics, 46(1/3), 143185. 15. Pitkethly, A., & Hunting, R. (1996). A review of recent research in the area of initial fraction concepts. Educational Studies in Mathematics, 30(1), 5-38. 16. Sáenz-Ludlow, A. (1995). Ann's fraction schemes. Educational Studies in Mathematics, 28(2), 101-132. 17. Son, J.-W., & Senk, S. L. (2010). How reform curricula in the USA and Korea present multiplication and division of fractions. Educational Studies in Mathematics, 74(2), 117-142. 18. Streefland, L. (1993). The design of a mathematics course: A theoretical reflection. Educational Studies in Mathematics, 25(1/2), 109-135. 19. Tzur, R. (2007). Fine grain assessment of students' mathematical understanding: participatory and anticipatory stages in learning a new mathematical conception. Educational Studies in Mathematics, 66(3), 273-291. 20. Wearne, D. (1990). Acquiring meaning for decimal fraction symbols: A one year follow-up. Educational Studies in Mathematics, 21(6), 545-564.

152

8.1.4 Journal for Research in Mathematics Education (n=23) 1. Borko, H., Eisenhart, M., Brown, C. A., Underhill, R. G., Jones, D., & Agard, P. C. (1992). Learning to teach hard mathematics: Do novice teachers and their instructors give up too easily? Journal for Research in Mathematics Education, 23(3), 194-222. 2. Brenner, M. E., Herman, S., Ho, H.-Z., & Zimmer, J. M. (1999). Cross-national comparison of representational competence. Journal for Research in Mathematics Education, 30(5), 541-557. 3. Cramer, K. A., Post, T. R., & delMas, R. C. (2002). Initial fraction learning by fourthand fifth-grade students: A comparison of the effects of using commercial curricula with the effects of using the rational number project curriculum. Journal for Research in Mathematics Education, 33(2), 111-144. 4. Empson, S. B. (2003). Low-performing students and teaching fractions for understanding: An interactional analysis. Journal for Research in Mathematics Education, 34(4), 305-343. 5. Gearhart, M., Saxe, G. B., Seltzer, M., Schlackman, J., Ching, C. C., Nasir, N. i., et al. (1999). Opportunities to learn fractions in elementary mathematics classrooms. Journal for Research in Mathematics Education, 30(3), 286-315. 6. Hanson, S. A., & Hogan, T. P. (2000). Computational estimation skill of college students. Journal for Research in Mathematics Education, 31(4), 483-499. 7. Heller, P. M., Post, T. R., Behr, M., & Lesh, R. (1990). Qualitative and numerical reasoning about fractions and rates by seventh- and eighth-grade students. Journal for Research in Mathematics Education, 21(5), 388-402. 8. Hunting, R. P., Davis, G., & Pearn, C. A. (1996). Engaging whole-number knowledge for rational-number learning using a computer-based tool. Journal for Research in Mathematics Education, 27(3), 354-379. 9. Izsak, A., Tillema, E., & Tunc-Pekkan, Z. (2008). Teaching and learning fraction addition on number lines. Journal for Research in Mathematics Education, 39(1), 3362. 10. Johanning, D. I. (2008). Learning to use fractions: Examining middle school students emerging fraction literacy. Journal for Research in Mathematics Education, 39(3), 281-310. 11. Lehrer, R., & Franke, M. L. (1992). Applying personal construct psychology to the study of teachers' knowledge of fractions. Journal for Research in Mathematics Education, 23(3), 223-241. 12. Mack, N. K. (1990). Learning fractions with understanding: Building on informal knowledge. Journal for Research in Mathematics Education, 21(1), 16-32. 13. Mack, N. K. (1995). Confounding whole-number and fraction concepts when building on informal knowledge. Journal for Research in Mathematics Education, 26(5), 422441. 14. Mack, N. K. (2001). Building on informal knowledge through instruction in a complex content domain: Partitioning, units, and understanding multiplication of fractions. Journal for Research in Mathematics Education, 32(3), 267-295. 15. Moss, J., & Case, R. (1999). Developing children's understanding of the rational numbers: A new model and an experimental curriculum. Journal for Research in Mathematics Education, 30(2), 122-147.

153

16. Norton, A. (2008). Josh's operational conjectures: Abductions of a splitting operation and the construction of new fractional schemes. Journal for Research in Mathematics Education, 39(4), 401-430. 17. Norton, A., & D'Ambrosio, B. S. (2008). ZPC and ZPD: Zones of teaching and learning. Journal for Research in Mathematics Education, 39(3), 220-246. 18. Pepper, K. L., & Hunting, R. P. (1998). Preschoolers' counting and sharing. Journal for Research in Mathematics Education, 29(2), 164-183. 19. Sáenz-Ludlow, A. (1994). Michael's fraction schemes. Journal for Research in Mathematics Education, 25(1), 50-85. 20. Saxe, G. B., Taylor, E. V., McIntosh, C., & Gearhart, M. (2005). Representing fractions with standard notation: A developmental analysis. Journal for Research in Mathematics Education, 36(2), 137-157. 21. Stipek, D., Salmon, J. M., Givvin, K. B., Kazemi, E., Saxe, G., & MacGyvers, V. L. (1998). The value (and convergence) of practices suggested by motivation research and promoted by mathematics education reformers. Journal for Research in Mathematics Education, 29(4), 465-488. 22. Tirosh, D. (2000). Enhancing prospective teachers' knowledge of children's conceptions: The case of division of fractions. Journal for Research in Mathematics Education, 31(1), 5-25. 23. Tzur, R. (1999). An integrated study of children's construction of improper fractions and the teacher's role in promoting that learning. Journal for Research in Mathematics Education, 30(4), 390.

8.1.5 Journal of Mathematical Behavior (n=10) 1. Biddlecomb, B. D. (2002). Numerical knowledge as enabling and constraining fraction knowledge: an example of the reorganization hypothesis. Journal of mathematical behavior, 21, 167-190. 2. Bulgar, S. (2003). Childrens' sense-making of division of fractions. Journal of mathematical behavior, 22, 319-334. 3. Hackenberg, A. J. (2007). Units coordination and the construction of improper fractions: A revision of the splitting hypothesis. Journal of Mathematical Behavior, 26(1), 27-47. 4. Hackenberg, A. J., & Tillema, E. S. (2009). Students' whole number multiplicative concepts: A critical constructive resource for fraction composition schemes. Journal of Mathematical Behavior, 28(1), 1-18. 5. Kamii, C., & Clark, F. B. (1995). Equivalent fractions: Their difficulty and educational implications. Journal of Mathematical Behavior, 14(4), 365-378. 6. Mack, N., K. (2000). Long-term effects of building on informal knowledge in a complex content domain: The case of multiplication of fractions. The Journal of Mathematical Behavior, 19(3), 307-332. 7. Norton, A., & Wilkins, J. L. M. (2009). A quantitative analysis of children's splitting operations and fraction schemes. Journal of Mathematical Behavior, 28(2), 150-161. 8. Olive, J., & Vomvoridi, E. (2006). Making sense of instruction on fractions when a student lacks necessary fractional schemes: The case of Tim. Journal of Mathematical Behavior, 25(1), 18-45. 154

9. Steffe, L. P. (2001). A new hypothesis concerning children‟s fractional knowledge. Journal of mathematical behavior, 20, 267-307. 10. Steffe, L., P. (2003). Fractional commensurate, composition, and adding schemes Learning trajectories of Jason and Laura: Grade 5. Journal of mathematical behavior, 22(3), 237-295.

8.1.6 Learning and Instruction (n=7) 1. Hartnett, P., & Gelman, R. (1998). Early understandings of numbers: Paths or barriers to the construction of new understandings? Learning and Instruction, 8(4), 341-374. 2. Inagaki, K., Hatano, G., & Morita, E. (1998). Construction of mathematical knowledge through whole-class discussion. Learning and Instruction, 8(6), 503-526. 3. Keijzer, R., & Terwel, J. (2003). Learning for mathematical insight: a longitudinal comparative study on modelling. Learning and Instruction, 13(3), 285-304. 4. Prediger, S. (2008). The relevance of didactic categories for analysing obstacles in conceptual change: Revisiting the case of multiplication of fractions. Learning and Instruction, 18(1), 3-17. 5. Stafylidou, S., & Vosniadou, S. (2004). The development of students' understanding of the numerical value of fractions. Learning and Instruction, 14(5), 503-518. 6. Steiner, G. F., & Stoecklin, M. (1997). Fraction calculation - A didactic approach to constructing mathematical networks. Learning and Instruction, 7(3), 211-233. 7. Vamvakoussi, X., & Vosniadou, S. (2004). Understanding the structure of the set of rational numbers: a conceptual change approach. Learning and Instruction, 14(5), 453-467

8.1.7 Remedial and Special Education (n=4) 1. Baroody, A. J., & Hume, J. (1991). Meaningful mathematics instruction: The case of fractions. Remedial and Special Education, 12(3), 54-68. 2. Calhoon, M. B., Emerson, R. W., Flores, M., & Houchins, D. E. (2007). Computational fluency performance profile of high school students with mathematics disabilities. Remedial and Special Education, 28(5), 292-303. 3. Carnine, D., Jitendra, A. K., & Silbert, J. (1997). A descriptive analysis of mathematics curricular materials from a pedagogical perspective - A case study of fractions. Remedial and Special Education, 18(2), 66-81. 4. Gersten, R., & Kelly, B. (1992). Coaching secondary special education teachers in implementation of an innovative videodisc mathematics curriculum. Remedial and Special Education, 13(4), 40-51.

155

8.1.8 Review of Educational Research (n=0) Geen enkele van de 365 studies was afkomstig uit het tijdschrift “Review of Educational Research”.

8.1.9 Teaching Children Mathematics (n=42) 1. Alcaro, P. C. (2000). Fractions attack! Teaching Children Mathematics, 6(9), 562. 2. Anderson, C. L., Anderson, K. M., & Wenzel, E. J. (2000). Oil and water don't mix, but they do teach fractions. Teaching Children Mathematics, 7(3), 174. 3. Bray, W. S., & Abreu-Sanchez, L. (2010). Using number sense to compare fractions. Teaching Children Mathematics, 17(2), 90-97. 4. Brinker, L. (1998). Using recipes and ratio tables. Teaching Children Mathematics, 5(4), 218. 5. Buyea, R. (2006). Activities for advanced learning series: Camp fraction! Solving exciting word problems using fractions, grades 4-6/math problem solvers: Using word problems to enhance mathematical problem solving skills, Grades 2-3/puzzled by math!. Teaching Children Mathematics, 13(5), 287-288. 6. Buyea, R. W. (2003). Making sense of fractions, ratios, and proportions: 2002 Yearbook. Teaching Children Mathematics, 9(6), 366. 7. Caldwell, J. H. (1995). Communicating about fractions with pattern blocks. Teaching Children Mathematics, 2(3), 156. 8. Canada, D. L. (2009). Fraction photo frenzy: A new exploration. Teaching Children Mathematics, 15(9), 552-557. 9. Chick, C., Tierney, C., & Storeygard, J. (2007). Seeing students' knowledge of fractions: Candace's inclusive classroom. Teaching Children Mathematics, 14(1), 5257. 10. Colomb, J., & Kennedy, K. (2005). Your better half. Teaching Children Mathematics, 12(4), 180. 11. Dorgan, K. (1994). What textbooks offer for instruction in fraction concepts. Teaching Children Mathematics, 1(3), 150. 12. Ellington, A. J., & Whitenack, J. W. (2010). Fractions and the funky cookie. Teaching Children Mathematics, 16(9), 532-539. 13. Empson, S. B. (2001). Equal sharing and the roots of fraction equivalence. Teaching Children Mathematics, 7(7), 421-425. 14. Empson, S. B. (1995). Research into practice: Using sharing situations to help children learn fractions. Teaching Children Mathematics, 2(2), 110-114. 15. Flores, A., & Klein, E. (2005). From students' problem-solving strategies to connections in fractions. Teaching Children Mathematics, 11(9), 452-457. 16. Flores, A., Turner, E. E., & Bachman, R. C. (2005). Posing problems to develop conceptual understanding: Two teachers make sense of division of fractions. Teaching Children Mathematics, 12(3), 117-121. 17. Goral, M. B., & Wiest, L. R. (2007). An arts-based approach to teaching fractions. Teaching Children Mathematics, 14(2), 74-80. 156

18. Hartweg, K. (2002). Measuring hot chocolate. Teaching Children Mathematics, 8(5), 275. 19. Kemp, C. C. (1995). Adding taste to mathematics. Teaching Children Mathematics, 2(4), 224. 20. Leff, R. (2004). Vive la difference! Gifted kindergartners and mathematics. Teaching Children Mathematics, 11(3), 155-157. 21. Lo, J.-J., & McCrory, R. (2010). Teaching teachers through justifying activities. Teaching Children Mathematics, 17(3), 149-155. 22. Mack, N. K. (1998). Building a foundation for understanding the multiplication of fractions. Teaching Children Mathematics, 5(1), 34. 23. Mack, N. K. (2004). Connecting to develop computational fluency with fractions. Teaching Children Mathematics, 11(4), 226. 24. McLeman, L. K., & Cavell, H. A. (2009). Teaching fractions. Teaching Children Mathematics, 15(8), 494-501. 25. Mokashi, N. A. (2009). Math fair: Focus on fractions. Teaching Children Mathematics, 15(9), 542-551. 26. Moone, G., & De Groot, C. (2006). Fraction action. Teaching Children Mathematics, 13(5), 266-271. 27. Moyer, P. S., & Mailley, E. (2004). Inchworm and a half: Developing fraction and measurement concepts using mathematical representations. Teaching Children Mathematics, 10(5), 244-252. 28. Neumer, C. (2007). Mixed numbers made easy: Building and converting mixed numbers and improper fractions. Teaching Children Mathematics, 13(9), 488-492. 29. Norton, A. H., & McCloskey, A. V. (2008). Modeling students' mathematics using Steffe's fraction schemes. Teaching Children Mathematics, 15(1), 48-54. 30. Olive, J. (2002). Bridging the gap: Using interactive computer tools to build fraction schemes. Teaching Children Mathematics, 8(6), 356. 31. Ploger, D., & Rooney, M. (2005). Teaching fractions: Rules and reason. Teaching Children Mathematics, 12(1), 12. 32. Riddle, M., & Rodzwell, B. (2000). Fractions: What happens between kindergarten and the army? Teaching Children Mathematics, 7(4), 202. 33. Rigdon, & Raleigh, D. (1999). Pattern-block explorations. Teaching Children Mathematics, 6(3), 182. 34. Ritchhart. (2000). Teaching Fractions and ratios for understanding: Essential content knowledge and instructional. Teaching Children Mathematics, 6(5), 338. 35. Roddick, C., & Silvas-Centeno, C. (2007). Developing understanding of fractions through pattern blocks and fair trade. Teaching Children Mathematics, 14(3), 140145. 36. Siebert, D., & Gaskin, N. (2006). Creating, naming, and justifying Fractions. Teaching Children Mathematics, 12(8), 394-400. 37. Stump, S. L. (2003). Designing fraction-counting books. Teaching Children Mathematics, 9(9), 546-549. 38. Swarthout, M., Mann, R., & Hartweg, K. (2002). Fractionberry pie. Teaching Children Mathematics, 9(2), 120. 39. Watanabe, T. (1996). Ben's understanding of one-half. Teaching Children Mathematics, 2(8), 460. 40. Watanabe, T. (2002). Representations in teaching and learning fractions. Teaching Children Mathematics, 8(8), 457. 157

41. Watanabe, T. (2006). The teaching and learning of fractions: A Japanese perspective. Teaching Children Mathematics, 12(7), 368-374. 42. Wu, Z. (2001). Multiplying fractions. Teaching Children Mathematics, 8(3), 174.

8.1.10

The Elementary School Journal (n=5)

1. Baker, J., Young, M., & Martin, M. (1990). The effectiveness of small-group versus one-to-one remedial instruction for six students with learning difficulties. The Elementary School Journal, 91(1), 65-76. 2. Hiebert, J., Wearne, D., & Taber, S. (1991). Fourth graders' gradual construction of decimal fractions during instruction using different physical representations. The Elementary School Journal, 91(4), 321-341. 3. Izsák, A., Orrill, C. H., Cohen, A. S., & Brown, R. E. (2010). Measuring middle grades teachers' understanding of rational numbers with the mixture rasch model. The Elementary School Journal, 110(3), 279-300. 4. Kazemi, E., & Stipek, D. (2001). Promoting conceptual thinking in four upperelementary mathematics classrooms. The Elementary School Journal, 102(1), 59-80. 5. Schleppenbach, M., Flevares, L. M., Sims, L. M., & Perry, M. (2007). Teachers' responses to student mistakes in Chinese and U.S. mathematics classrooms. The Elementary School Journal, 108(2), 131-147.

158

8.2 Bijlage 2: Boekreferenties en omvattende studies (n=18) 1. Ball, D. L. (1993). Halves, pieces and twoths: Constructing and using representational contexts in teaching fractions. In T. Carpenter, E. Fennema & T. Romberg (Eds.), Rational numbers: an integration of research (pp. 157-195). New Jersey: Lawrence Erlbaum. 2. Behr, M. J., Harel, G., Post, T. R., & Lesh, R. (1993). Rational numbers: toward a semantic analysis-emphasis on the operator construct. In T. Carpenter, E. Fennema & T. Romberg (Eds.), Rational numbers: an integration of research (pp. 13-47). New Jersey: Lawrence Erlbaum. 3. Carraher, D. W. (1996). Learning about fractions. In L. P. Steffe, P. Nesher, P. Cobb, G. A. Goldin & B. Greer (Eds.), Theories of mathematical learning (pp. 241-266). New Jersey: Lawrence Erlbaum Associates. 4. Garet, M. S., Wayne, A. J., Stancavage, F., Taylor, J., Walters, K., Song, M., et al. (2010). Middle School Mathematics Professional Development Impact Study: Findings After the First Year of Implementation. NCEE 2010-4009: National Center for Education Evaluation and Regional Assistance. Available from: ED Pubs. P.O. Box 1398, Jessup, MD 20794-1398. Tel: 877-433-7827; Web site: http://ies.ed.gov/ncee/. 5. Kieren, T. E. (1993). Rational and fractional numbers: from quotient fields to recursive understanding. In T. Carpenter, E. Fennema & T. Romberg (Eds.), Rational numbers: an integration of research (pp. 49-84). New Jersey: Lawrence Erlbaum. 6. Kilpatrick, J., Swafford, J., & Findell, B. (2001). Adding it up: helping children learn mathematics. Washington: National Academy Press. 7. Lamon, S. J. (1993). Ratio and proportion: children‟s cognitive and metacognitive processes. In T. Carpenter, E. Fennema & T. Romberg (Eds.), Rational numbers: an integration of research (pp. 49-84). New Jersey: Lawrence Erlbaum. 8. Lamon, S. J. (2001). Presenting and representing: from fractions to rational numbers. In A. Cuoco & F. Curcio (Eds.), The roles of representations in school mathematics 2001 yearbook (pp. 146-165). Reston: NCTM. 9. Ma, L. (1999). Knowing and teaching elementary mathematics: Teacher's understanding of fundamental mathematics in China and the United States: Lawrence Erlbaum Associates, Inc., Publishers, 10 Industrial Avenue, Mahwah, NJ 07430. 10. Mack, N. K. (1993). Learning rational numbers with understanding: The case of informal knowledge. In T. Carpenter, E. Fennema & T. Romberg (Eds.), Rational numbers: an integration of research (pp. 49-84). New Jersey: Lawrence Erlbaum. 11. Marshall, S. P. (1993). Assessment of rational number understanding: a schemabased approach. In T. Carpenter, E. Fennema & T. Romberg (Eds.), Rational numbers: an integration of research (pp. 261-288). New Jersey: Lawrence Erlbaum. 12. Martinie, S. L. (2007). Middle school rational number knowledge. Unpublished Doctoral dissertation, Kansas State university, Manhattan, Kansas. 13. NCES. (2000). The NAEP 1999 long term trend mathematics summary data tables for age 17 student. Retrieved 1 November, 2010, from http://nces.ed.gov/naep3/tables/Ltt1999/

159

14. Post, T., Cramer, K., Behr, M., Lesh, R., & Harel, G. (1993). Curriculum implementations of research on the learning, teaching and assessing of the rational number concepts. In T. Carpenter, E. Fennema & T. Romberg (Eds.), Rational numbers: an integration of research (pp. 327-362). New Jersey: Lawrence Erlbaum. 15. Siegler, R., Carpenter, T., Fennell, F., Geary, D., Lewis, J., Okamoto, Y., et al. (2010). Developing Effective Fractions Instruction for Kindergarten through 8th Grade. IES Practice Guide. NCEE 2010-4039: What Works Clearinghouse. P.O. Box 2393, Princeton, NJ 08543-2393. Tel: 866-503-6114; e-mail: [email protected]; Web site: http://ies.ed.gov/ncee/wwc. 16. Streefland, L. (1993). Fractions: A realistic approach. In T. Carpenter, E. Fennema & T. Romberg (Eds.), Rational numbers: an integration of research (pp. 289-325). New Jersey: Lawrence Erlbaum. 17. Van de Walle, J. A. (2010). Developing fraction concepts. In Elementary and middle school mathematics: teaching developmentally (7 ed.) (pp. 286-308). Boston: Allyn & Bacon. 18. Van de Walle, J. A. (2010). Developing strategies for fraction computation. In Elementary and middle school mathematics: teaching developmentally (7 ed.) (pp. 309-327). Boston: Allyn & Bacon.

160

8.3 Bijlage 3: Studies die niet in de meta-analyse opgenomen werden (n=21)

Tabel 22: Studies die niet in de meta-analyse opgenomen werden

Artikels

Reden voor eliminatie

Adjiage, R., & Pluvinage, F. (2007). An

Experimentele conditie onvoldoende

experiment in teaching ratio and proportion.

besproken

Educational Studies in Mathematics, 65(2), 149-175. Boaler, J. (1993). Encouraging the transfer

Geen geschikte leeftijd van de steekproef

of 'school' mathematics to the 'real world'

8th grade – te oud

through the integration of process and content, context and culture. Educational Studies in Mathematics, 25(4), 341-373. Borko, H., Eisenhart, M., Brown, C. A.,


Underhill, R. G., Jones, D., & Agard, P. C.

Middle school – te oud

(1992). Learning to teach hard mathematics: do novice teachers and their Instructors give up too easily? Journal for Research in Mathematics Education, 23(3), 194-222. Buyea, R. (2006). Activities for advanced

Beknopte boekbespreking

learning series: Camp fraction! Solving exciting word problems using fractions, grades 4-6/math problem solvers: Using word problems to enhance mathematical problem solving skills, grades 2-3/puzzled by math! Using puzzles to Teach. Teaching Children Mathematics, 13(5), 287-288. Buyea, R. W. (2003). Making sense of fractions, ratios,


and proportions: 2002

yearbook. Teaching Children Mathematics, 9(6), 366.

161

Calhoon, M. B., Emerson, R. W., Flores, M.,


& Houchins, D. E. (2007). Computational

High school – te oud

fluency performance profile of high schools students

with

mathematics

disabilities.

Remedial and Special Education, 28(5), 292303. Garet, M. S., Wayne, A. J., Stancavage, F.,


Taylor, J., Walters, K., Song, M., et al.


(2010).

Middle

School

Mathematics

Professional Development Impact Study: Findings

After

the

First

Year

of

Implementation. NCEE 2010-4009: National Center

for

Education

Evaluation

and

Regional Assistance. Available from: ED Pubs. P.O. Box 1398, Jessup, MD 207941398.

Tel:

877-433-7827;

Web

site:

http://ies.ed.gov/ncee/. Gersten, R., & Kelly, B. (1992). Coaching


secundary special-education teachers in

Secundary education – te oud

implementation of an innovative videodisc mathematics

curriculum.

Remedial

and

Special Education, 13(4), 40-51. Hafner, A. L. (1993). Teaching-method


scales and mathematics-class achievement:

8th grade –te oud

what

works

with

different

outcomes?

American Educational Research Journal, 30(1), 71-94. Hanson, S. A., & Hogan, T. P. (2000).


Computational estimation skill of college

College students – te oud

students.

Journal

for

Research

in

Mathematics Education, 31(4), 483-499.

162

Heller, P. M., Post, T. R., Behr, M., & Lesh, R.

(1990).

Qualitative

and

numerical

Geen geschikte leeftijd van de steekproef 7th-8th grade - te oud

reasoning about fractions and rates by seventh- and eighth-grade students. Journal for Research in Mathematics Education, 21(5), 388-402. Izsák, A., Orrill, C. H., Cohen, A. S., &


Brown, R. E. (2010). Measuring middle

Middle grade – te oud

grades teachers' understanding of rational numbers with the mixture rasch Model. Elementary School Journal, 110(3), 279-300. Leff, R. (2004). Vive la difference! Gifted


kindergartners and mathematics. Teaching

Kindergarten – te jong

Children Mathematics, 11(3), 155-157. Martinie, S. L. (2007). Middle school rational


number knowledge. Unpublished Doctoral


dissertation,

Kansas

State

university,

Manhattan, Kansas. NCES. (2000). The NAEP 1999 long term


trend mathematics summary data tables for

17 jaar – te oud

age 17 student. Retrieved 1 November, 2010,

from

http://nces.ed.gov/naep3/tables/Ltt1999/ Pepper, K. L., & Hunting, R. P. (1998).


Preschoolers' counting and sharing. Journal

Preschool – te jong

for Research in Mathematics Education, 29(2), 164-183. Prediger, S. (2008). The relevance of


didactic categories for analyzing obstacles in


conceptual change: Revisiting the case of multiplication of fractions. Learning and Instruction, 18(1), 3-17. Riddle, M., & Rodzwell, B. (2000). Fractions:


What happens between kindergarten and

Te oud

the army? Teaching Children Mathematics, 7(4), 202.

163

Ritchhart. (2000). Teaching fractions and


ratios for understanding: Essential content knowledge

and

instructional.

Teaching

Children Mathematics, 6(5), 338. Vamvakoussi, X., & Vosniadou, S. (2004).


Understanding the structure of the set of


rational numbers: a conceptual change approach. Learning and Instruction, 14(5), 453-467. Webb, N. M., & Farivar, S. (1994). Promoting


helping behavior in cooperative small groups


in middle school mathematics. American Educational Research Journal, 31(2), 369395.

164

8.4 Bijlage 4: Effectiviteitstudies (n=18) 1. Bell, A. (1993). Some experiments in diagnostic teaching. Educational Studies in Mathematics, 24(1), 115-137. 2. Brenner, M. E., Herman, S., Ho, H.-Z., & Zimmer, J. M. (1999). Cross-national comparison of representational competence. Journal for Research in Mathematics Education, 30(5), 541-557. 3. Cramer, K. A., Post, T. R., & delMas, R. C. (2002). Initial fraction learning by fourthand fifth-grade students: A comparison of the effects of using commercial curricula with the effects of using the rational number project curriculum. Journal for Research in Mathematics Education, 33(2), 111-144. 4. Gearhart, M., Saxe, G. B., Seltzer, M., Schlackman, J., Ching, C. C., Nasir, N. i., et al. (1999). Opportunities to learn fractions in elementary mathematics classrooms. Journal for Research in Mathematics Education, 30(3), 286-315. 5. Hartnett, P., & Gelman, R. (1998). Early understandings of numbers: Paths or barriers to the construction of new understandings? Learning and Instruction, 8(4), 341-374. 6. Hwang, W.-Y., Chen, N.-S., & Hsu, R.-L. (2006). Development and evaluation of multimedia whiteboard system for improving mathematical problem solving. Computers & Education, 46(2), 105-121. 7. Keijzer, R., & Terwel, J. (2003). Learning for mathematical insight: A longitudinal comparative study on modelling. Learning and Instruction, 13(3), 285-304. 8. Kong, S. C. (2008). The development of a cognitive tool for teaching and learning fractions in the mathematics classroom: A design-based study. Computers & Education, 51(2), 886-899. 9. Kong, S. C., & Kwok, L. F. (2005). A cognitive tool for teaching the addition/subtraction of common fractions: a model of affordances. Computers & Education, 45(2), 245-265. 10. Lamon, S. J. (2001). Presenting and representing: from fractions to rational numbers. In A. Cuoco & F. Curcio (Eds.), The roles of representations in school mathematics 2001 yearbook (pp. 146-165). Reston: NCTM. 11. Moss, J., & Case, R. (1999). Developing children's understanding of the rational numbers: A new model and an experimental curriculum. Journal for Research in Mathematics Education, 30(2), 122-147. 12. Newton, K. J. (2008). An extensive analysis of preservice elementary teachers' knowledge of fractions. American Educational Research Journal, 45(4), 1080-1110. 13. Roschelle, J., Rafanan, K., Estrella, G., Nussbaum, M., & Claro, S. (2010). From handheld collaborative tool to effective classroom module: Embedding CSCL in a broader design framework. Computers & Education, 55(3), 1018-1026. 14. Saxe, G. B., Taylor, E. V., McIntosh, C., & Gearhart, M. (2005). Representing fractions with standard notation: A developmental analysis. Journal for Research in Mathematics Education, 36(2), 137-157. 15. Steiner, G. F., & Stoecklin, M. (1997). Fraction calculation - A didactic approach to constructing mathematical networks. Learning and Instruction, 7(3), 211-233. 16. Stipek, D., Salmon, J. M., Givvin, K. B., Kazemi, E., Saxe, G., & MacGyvers, V. L. (1998). The value (and convergence) of practices suggested by motivation research and promoted by mathematics education reformers. Journal for Research in Mathematics Education, 29(4), 465-488. 17. Tirosh, D. (2000). Enhancing prospective teachers' knowledge of children's conceptions: The case of division of fractions. Journal for Research in Mathematics Education, 31(1), 5-25. 18. Wearne, D. (1990). Acquiring meaning for decimal fraction symbols: A one year follow-up. Educational Studies in Mathematics, 21(6), 545-564. 165

8.5 Bijlage 5: Lijst van tabellen Tabel 1: Onderverdeling van de studies ...............................................................................15 Tabel 2: Informele voorkennis ..............................................................................................17 Tabel 3: Formele voorkennis ................................................................................................23 Tabel 4: Breukenkennis ........................................................................................................28 Tabel 5: Leersequenties - Breukenschema's ........................................................................34 Tabel 6: Leersequenties - Taxonomie ..................................................................................43 Tabel 7: Leersequenties - Bevorderende variabelen ............................................................45 Tabel 8: Breukenkennis meten - Leerlingen .........................................................................50 Tabel 9: Breukenkennis meten - Leerkrachten .....................................................................57 Tabel 10: Breuken onderwijzen ............................................................................................64 Tabel 11: Curriculum - Technologie ......................................................................................73 Tabel 12: Curriculum - Modellen ...........................................................................................78 Tabel 13: Curriculum - Leermateriaal ...................................................................................83 Tabel 14: Breuken leren, breuken onderwijzen .....................................................................94 Tabel 15: Curriculum - Alledaags materiaal ........................................................................102 Tabel 16: Curriculum - Technologie ....................................................................................105 Tabel 17: Curriculum - Modellen .........................................................................................107 Tabel 18: Leerlingen met moeilijkheden - Studies die specifiek focussen op leerlingen met moeilijkheden .....................................................................................................................114 Tabel 19: Leerlingen met moeilijkheden - Studies die in de resultaten een onderscheid maken tussen hoog- en laagpresterende leerlingen ...........................................................116 Tabel 20: Overkoepelende studies .....................................................................................123 Tabel 21: Overeenkomsten en verschillen tussen de onderzoeksgerichte en praktijkgerichte studies ................................................................................................................................136 Tabel 22: Studies die niet in de meta-analyse opgenomen werden ....................................161

166

8.6 Bijlage 6: Lijst van figuren Figuur 1. Vertalingsmodel van Lesh (1979). Overgenomen uit Rational numbers: an integration of research (p.352), door T. Carpenter, E. Fennema, en T. Romberg, 1993, New Jersey: Lawrence Erlbaum. ..................................................................................................91 Figuur 2. Klok als cirkelmodel. Overgenomen uit “Seeing students' knowledge of fractions: Candace's inclusive classroom,” door C. Chick, C. Tierney en J. Storeygard, 2007, Teaching Children Mathematics, 14(1), p.55. .....................................................................................104 Figuur 3. Pattern blocks. Overgenomen uit “Fractions and the Funky Cookie,” door A. J. Ellington en J. W. Whitenack, 2010, Teaching Children Mathematics, 16(9), p.534. ...........112

167

Breuken in het basisonderwijs: Wat werkt?

Recommend Documents