Praktikum Isyarat dan Sistem Topik 5
Transformasi Fourier Waktu Diskrit 1. Tujuan Mahasiswa dapat menentukan dan menggunakan transformasi Fourier waktu diskrit dalam analisa suatu sistem LTI. Mahasiswa dapat menggunakan MATLAB sebagai alat bantu untuk mensimulasi suatu sistem LTI yang dinyatakan dengan transformasi Fourier waktu diskrit
2. Teori Singkat Rumus Dasar transformasi Fourier waktu diskrit Dalam analisa sinyal dan sistem kita perlu menganalisa dalam ranah frekuensi. Perlu menggunakan suatu metode untuk merepresentasikan sinyal maupun sistem yang sebelumnya kita kenal dalam ranah waktu (time-domain) diubah dalam ranah frekuensi (frequency domain). Pada praktikum sebelumnya telah dipelajari tentang transformasi Fourier waktu kontinu maupun transformasi Fourier balik waktu kontinu. Pada praktikum kali ini kita akan membahas mengenai transformasi Fourier waktu diskrit. Rumus dasar transformasi Fourier waktu diskrit Persamaan sintesis : x[n]
1 2
X e j e j nd 2
Persamaan analisa :
X ej
x[n]e
j n
n
Persamaan analisa digunakan untuk mengubah suatu isyarat atau tanggapan sistem dari ranah waktu menjadi ranah frekuensi. Sedangkan persamaan sintesis digunakan untuk mengubah suatu isyarat atau tanggapan sistem dari ranah frekuensi kembali menjadi ranah waktu.
“WHERE THERE IS A WILL, THERE IS A WAY” GOD BLES U
Sifat-sifat Transformasi Fourier waktu diskrit : Seperti pada transformasi Fourier waktu kontinu, transformasi Fourier waktu diskrit memiliki beberapa sifat-sifat penting, yaitu : Linieritas F
ax[n] by[n]
aX e j
bY e j
Pergeseran waktu
x[n n0 ]
F
j n0
e
X ej
Pergeseran frekuensi ej
0n
F
x[n]
X ej
0
Differensiasi (mirip differensiasi pada ranah waktu) x[n]
x[n 1]
F
1 e
j
X ej
Akumulasi (mirip integrasi pada ranah waktu) n
x[n]
1
F
1 e
k
j
X ej
Sifat konvolusi x[n] * y[n]
F
X ej Y ej
Sifat-sifat yang lainnya dapat dilihat pada tabel 5.1 halaman 363 dan pasangan-pasangan transformasi Fourier dapat dilihat pada tebel 6.2 pada halaman 364.
3. Contoh Implementasi menggunakan Program MATLAB 1. Mencari Tansformasi Fourier. MATLAB menyediakan fungsi bawaan untuk transformasi Fourier waktu diskrit, yaitu fungsi fft (fast fourier transform). Berikut ini adalah contoh penggunaan dari fft : t=-2*pi:0.1:2*pi; x=sin(t); % alih ragam fourier waktu diskrit X=fft(x); % mencari fungsi real real_X=real(X); % mencari fungsi imajiner imag_X=imag(X);
“WHERE THERE IS A WILL, THERE IS A WAY” GOD BLES U
% mencari magnitude magnitudo_X=abs(X); %mencari phase angle_X=angle(X); % mengubah angle_X dlm radian angle_deg_X=rad2deg(angle_X); % menentukan frekuensi radian (wf) w=0:(length(x)-1); wf=w/length(x)*pi; % mengubah sumbu x dalam ranah pi subplot(221); plot(wf,real_X);grid on; subplot(222); plot(wf,imag_X);grid on; subplot(223); plot(wf,magnitudo_X);grid on; subplot(224); plot(wf,angle_deg_X);grid on;
tambahan : jika ingin menentukan alih ragam Fourier pada N sample gunakan :
% fft(x,N)
jika ingin menyesuaikan hasil alih ragam pada interval –pi s.d pi gunakan :
% fftshift();
2. Mencari transformasi Fourier balik Untuk mencari transformasi Fourier balik dapat dilakukan dengan menggunakan fungsi ifft (inverse fast fourier transform). Berikut ini adalah contoh penggunaan dari fungsi ini : t=-2*pi:0.1:2*pi; x=sin(t); %%%%%%Cari transformasi Fourier%%%%%% X=fft(x); %%%%%%Cari inversenya%%%%%%% y=ifft(X); yreal=real(y); plot(t,x,'b',t,yreal,'o'); 3. Menampilkan tanggapan magnitudo dan fasa dari suatu tanggapan frekuensi sistem. MATLAB menyediakan fungsi untuk menampilkan tanggapan frekuensi dari sistem, yaitu meliputi tanggapan magnitudo dan tanggapan fasanya. Fungsi yang dapat digunakan adalah fungsi freqz. Jika ingin menampilkan tanggapan frekuensi dari sistem yang memiliki tanggapan frekuensi sebagai berikut : “WHERE THERE IS A WILL, THERE IS A WAY” GOD BLES U
2
H ej
3 1 e 4
1 e 8
j
. 2j
Kode program : b=[2 0 0]; a=[1 -3/4 1/8]; freqz(b,a);
4. Menghitung keluaran dari sistem yang dikarakterterisasi dengan tanggapan frekuensinya. MATLAB menyediakan fungsi untuk menghitung keluaran dari sistem yang dikarakterisasi dengan tanggapan frekuensinya jika diberi masukan tertentu. Fungsi yang dapat digunakan adalah fungsi filter. Perhatikan sistem pada point (3), jika diberi masukan impuls untuk
0 n 10 , maka keluarannya dapat dihitung dengan : n=0:10; b=[2 0 0]; a=[1 -3/4 1/8]; x=[1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0]; y=filter(b,a,x); stem(n,y);
5. Ekspansi Pecahan Parsial untuk sistem waktu diskrit. Misalkan diketahui suatu sistem dengan hubungan antara masukan dan keluaran yang dinyatakan dengan persamaan perbedaan sebagai berikut :
y[n 2] 13y[n 1] 30 y[n] 21x[n] Carilah tanggapan frekuensi dan tanggapan impuls dari sistem di atas ! Jika sistem tersebut diberi masukan x[n] sin n untuk 0 n 10 gambarlah keluaran sistem tersebut dengan menggunakan MATLAB ! Jawaban :
y[n 2] 13y[n 1] 30 y[n] 21x[n] . Dengan melakukan alih ragam Fourier akan didapatkan :
Y ej
He
e j
2j
13e
j
30
Y ej Xe
j
21X e j
.
21 e
2j
13e
j
tanggapan frekuensi dari sistem.
30
“WHERE THERE IS A WILL, THERE IS A WAY” GOD BLES U
21
H ej e
2j
21 j
13e
30
j
10 e
A
3 e
j
B j
3 e
10 e
j
. Dengan melakukan operasi pecahan parsial akan didapatkan : 21
A 10 e
j
10 e
j
3 e
j
3 e
j
e
21
B
10 e
j
21 7
j
3 e
3
21 7
j e
j
3.
10
3
Sehingga akan didapatkan : He
3
j
3 e
Tanggapan
3 j
10 e
impuls
1 j
1
sistem dapat
1 e 3
dicari
j
1
dengan
3 10 1 e 10
j
menggunakan tabel
Transformasi Fourier waktu diskrit, sehingga didapatkan hasil:
h[n]
1 3
n
3 u[n] 10
1 10
n
u[n] .
Contoh impelementasi program MATLAB pada sistem di atas: n=0:10; x=sin(pi*n); %tanggapan impuls sistem h=(-1/3).^n-(3/10)*(-1/10).^n; %alih ragam Fourier X=fft(x); H=fft(h); % konvolusi Y=X.*H; % invers alih ragam fourier y=ifft(Y); stem(n,real (y));
6. Melakukan operasi pecahan parsial dengan menggunakan MATLAB MATLAB menyediakan fungsi residue untuk melakukan operasi pecahan parsial. Perhatikan sistem pada point (5) di bawah ini :
H ej
Y ej X ej
21 e
2j
13e
j
.
30
Kode program-nya: b=[0 0 21]; a=[1 13 30];
“WHERE THERE IS A WILL, THERE IS A WAY” GOD BLES U
[R,P,K]=residue (b,a)
Hasilnya exekusi program tersebut: R = -3 3 P = -10 -3 K = []
Perhatikan hasil yang diperoleh dapat dinyatakan dengan :
3
H ej e
j
3 10
e
j
3
NB : Perhatikan bagaimana perbedaan penulisan vektor koefisien b dan a pada fungsi residue dengan filter atau freqz !
“WHERE THERE IS A WILL, THERE IS A WAY” GOD BLES U
