Review Teori Probabilitas Rekayasa Trafik
Rekayasa Trafik
1
Outline Arti Probabilitas Counting Method Random Variable
Discrete RV Continuous RV
Multiple RVs
Rekayasa Trafik
2
Arti Probabilitas
Rekayasa Trafik
3
Apakah Probabilitas Arti probabilitas
– Situasi tdk dp secara eksak direplikasi – Tetapi tdk chaotic (memp suatu pola)
Rekayasa Trafik
4
Probabilitas Definisi
– Logika probabilitas Aksioma
– Fakta tanpa bukti/proof Teorema
– Diturunkan dari Definisi, Aksioma, atau Teorema lainnya
Rekayasa Trafik
5
Matematik Probabilitas Teori set – Operasi set – Set properties
Rekayasa Trafik
6
Set Properties Penting
Rekayasa Trafik
7
Eksperimen Apakah suatu eksperimen? – Metoda utk mencari sejumlah fakta/konklusi Berikan suatu contoh? – Utk film “Matrix Reloaded”, apakah fun? – Berdiri di depan bioskop – Tanya audiences, fun atau tdk? Komposisi dari suatu eksperimen – Prosedure – Observasi Mengapa eksperimen diperlukan? – Ketidakpastian Rekayasa Trafik
8
Eksperimen Concern mengenai film “Matrix Reloaded” – Apakah sebaiknya saya tanya laki-laki dewasa, perempuan dewasa atau remaja? – Pengalaman dari audiences – Pengetahuan dari audiences
Complicated experiment perlu Model – Eksperiment nyata: terlalu rumit – Tangkap hanya bagian penting – Contoh Model: • Perlakukan semua audiences sama • Jawaban hanya akan suka/tdk suka Rekayasa Trafik
9
Eksperimen
Contoh: – Lempar suatu coin 3 kali, observasi deretan heads/tails – Lempar suatu coin 3 kali, observasi jumlah heads
Rekayasa Trafik
10
Definisi dalam Probabilitas Outcome – Sembarang observasi yg mungkin Sample Space – Finest-grain: masing-masing outcome berbeda – Mutually exclusive: jika satu outcome muncul, lainnya tdk akan – Collectively exhaustive: tiap outcome harus dlm sample space Event – Set dari outcomes (harus tahu semua outcomes) – Event ⊂ Sample Space Rekayasa Trafik
11
Contoh-Contoh Event
Outcomes: bilangan = 1,2,3,4,5,6
Sample space: S = {1,2,3,…,6}
Event examples: E1 = {bilangan < 3} = {1,2} E2 = {bilangan ganjil} = {1,3,5} Rekayasa Trafik
12
Set vs Probabilitas
Rekayasa Trafik
13
Probabilitas dari Event P[ ]
Dari eksperimen: Lempar dadu
Outcomes: bilangan = 1,2,3,4,5,6
Sample space: S = {1,2,3,…,6}
Event examples: E1 = {bilangan < 3} = {1,2} E2 = {bilangan ganjil} = {1,3,5}
Rekayasa Trafik
14
Aksioma-Aksioma Probabilitas Aksioma 1: Utk sembarang event A, P[A] ≥ 0 Aksioma 2: P[S] = 1 Aksioma 3: Utk events A1, A2,…, An yg mutual
exclusive events
Rekayasa Trafik
15
Contoh Teorema-Teorema Teorema: Jika A dan B disjoint maka
Teorema: Jika B = B1 B2 B3 … Bn dan Bi
Bj = maka
Rekayasa Trafik
16
Equally Likely Teorema:
Utk suatu eksperimen dg sample space S={s1,…, sn} Jika tiap outcome adalah equally likely,
Rekayasa Trafik
17
Konsekuensi Dari Aksioma-Aksioma Teorema: P[∅] = 0 P[Ac] = 1 - P[A]
Utk sembarang A dan B (tdk harus disjoint) – P[A ∪ B] = P[A] + P[B] – P[A∩B] – Jika A ⊂ B , maka P[A] ≤ P[B]
Rekayasa Trafik
18
Suatu Teorema yg Berguna Mis B1, B2,…,Bn eventEvent yg mutual exclusive Dimana gabungannya (union) Sama dg sample space S partisi dari S Utk sembarang event A
Teorema
Rekayasa Trafik
19
Conditional Probability Dlm praktek, mungkin tdk mungkin utk menemukan
outcome yg persis dari suatu eksperimen Namun, jika kita tahu bhw Event B telah terjadi
(outcome dari Event A adalah dlm set B) – Probabilitas dari A jika B muncul dp dinyatakan – Masih belum tahu P[A]
Rekayasa Trafik
20
Conditional Probability Notasi: P[A|B] – Probabilitas dari A diberikan B – Condition probability dari event A diberikan kemunculan dari event B Definisi:
Rekayasa Trafik
21
Penjelasan Lanjut
Rekayasa Trafik
22
Law of Total Probability Mis B1, B2,…,Bn event-
event mutual exclusive dimana union sama dg sample space S P[Bi] > 0
Rekayasa Trafik
23
Bayes’ Theorem
Rekayasa Trafik
24
2 Independent Events
Rekayasa Trafik
25
Independent Interpretation
Rekayasa Trafik
26
Independent vs Disjoint
Rekayasa Trafik
27
3 Independent Events
Rekayasa Trafik
28
Most Common Application
Asumsi bhw events dari eksperiments terpisah adalah independent
Contoh: –
Asumsi bhw outcome dari suatu toss coin toss independent dari outcomes dari semua toss coin sebelum dan sesudahnya P[H] = P[T] = ½ P[HTH] = P[H]P[T]P[H] = 1/2*1/2*1/2 = 1/8
Rekayasa Trafik
29
Eksperimen Sekuensial Eksperimen: secara sekuensial
subexperiments subexperiments Tiap subexp. bisa tergantung pd yg sebelumya Direpresentasikan dg suatu Tree Diagram Model Conditional Prob. Sequential Experiment
Rekayasa Trafik
30
Contoh Sekuensial
Koordinasi waktu 2 lampu lalu lintas – P[lampuke-2 berwarna sama dg yg pertama] = 0.8 – Asumsi lampu ke-1 memp kemungkinan sama utk hijau atau merah Cari P[lampu ke-2 adalah hijau] ? Rekayasa Trafik
31
Contoh Sekuensial
Rekayasa Trafik
32
Contoh Sekuensial
P[lampu ke-2 adalah hijau] ?
Rekayasa Trafik
33
Counting Method
Rekayasa Trafik
34
Prinsip Counting Method
Rekayasa Trafik
35
K-permutations
Rekayasa Trafik
36
Pilih dengan Replacement
Rekayasa Trafik
37
K-combination
Rekayasa Trafik
38
Independent Trials Laksanakan pengulangan percobaan (trials) p = probabilitas sukses (1-p) = probabilitas gagal Tiap percobaan adalah independent Sk,n = event bahwa k sukses dlm n percobaan
Rekayasa Trafik
39
Independent Trial: Contoh 3 percobaan dg 2 sukses 000 001 010 011 100 101 110 111 Berapa banyak cara utk memilih 2 dari 3
– Berapa probabilitas sukses utk tiap cara? – p2 * (1-p)
Rekayasa Trafik
40
Independent Trial: Contoh Contoh: pd ronde pertama dari makanan, probabilitas suatu
piring akan lulus test adalah 0.8 Dari 10 kandidat, berapa probabilitas bhw x kandidat akan lolos? P[x = 8]? Solusi: A = {suatu piring lolos test}, P[A] = 0.8 Testing suatu piring adalah suatu independent trial
Rekayasa Trafik
41
Independent Trials: Reliabilitas
Mis probabilitas suatu komputer bekerja = p Series: P[A] = P[A1A2] = p2 Paralel: P[B] = ? P[B] = 1 – P[Bc] = 1 – P[B1cB2c] = 1 – (1 – p)2 Rekayasa Trafik
42
Random Variabel
Rekayasa Trafik
43
Random Variable Suatu varibel yg menggambarkan outcome dari suatu
aktivitas random seperti rolling a die Mendefinisikan sebuah pemetaan dari outcome menjadi suatu nilai (value) Has a range of values over which it can vary and a probability distribution with which it takes on these values Discrete random variable – can take on a finite or countable set of values, e.g., number of customers in system Continuous random variable – can take on values over a continuous interval, e.g., waiting time Rekayasa Trafik
44
Random Variable Eksperimen (Model Fisik)
Komposisi dari prosedur & observasi Dari observasi, kita dapat outcomes Dari semua outcomes, kita mendapatkan model probabilitas (matematis) disebut “Sample space” Dari model, kita dapat P[A], A S
Rekayasa Trafik
45
Random Variable Dari suatu model probabilitas Mis.: 2 lampu lalu lintas, observasi urutan dari lampu S = {R1R2,R1G2,G1R2,G1G2} Jika dialokasikan suatu bilangan pd tiap outcome pd S, tiap bilangan yg kita observasi disebut “Random Variable” Observasi jumlah lampu merah SX = {0,1,2}
Rekayasa Trafik
46
Random Variable
Rekayasa Trafik
47
2 Tipe Random Variable Discrete Random Variable Contoh: X = # jumlah shuttle-cocks yg digunakan pd suatu pertandingan badminton
Continuous Random Variable Contoh: Z = # menit dari lama panggilan Rekayasa Trafik
48
Discrete Random Variabel
Rekayasa Trafik
49
Discrete Random Variable Definisi: – X adalah suatu discrete random variable jika rentang/range dari X dp dihitung/ countable
Sx = {x1,x2,…} – X adalah suatu finite random variable jika semua nilai dg probabilitas tdk nol ada dlm set terbatas Sx = {x1,x2,…,xn}
Rekayasa Trafik
50
Mengapa Kita Memerlukan suatu RV Utk suatu model probabilitas (eksperimen), outcome
pd S dp dlm berbagai bentuk sembarang Jika kita implementasikan suatu Random Variable,
kita dp kalkulasi rata-rata! Dlm Probabilitas, rata-rata disebut “expected value”
dari suatu random variable
Rekayasa Trafik
51
Probability Mass Function Utk suatu model probabilitas (discrete),
P[A] =
[0,1] Utk suatu discrete random variable, model
probabilitas disebut suatu “Probability Mass Function (PMF)”
Rekayasa Trafik
52
Probability Mass Function
Rekayasa Trafik
53
Contoh PMF
Contoh:
2 lampu lalu lintas, observasi urutan lampu S = { R1R2 , R1G2 , G1R2 , G1G2} Cari PMF dari T, jumlah dari lampu merah
Rekayasa Trafik
54
Contoh PMF T adalah suatu random variable dari # lampu merah
Cari PT(t) PT(t) = P[T = t] Pertama-tama, cari probabilitas utk tiap t Tiap outcome adalah equally likely 1/4 P[T=0] = P[{G1G2}] = 1/4 P[T=1] = P[{R1G2 , G1R2 }] = 2/4 = 1/2 P[T=2] = P[{R1R2}] = 1/4
Rekayasa Trafik
55
Contoh PMF
Rekayasa Trafik
56
Teorema PMF
Rekayasa Trafik
57
Discrete RV Yg Berguna Discrete Uniform Random Variable Bernoulli Random Variable Geometric Random Variable
Binomial Random Variable Pascal Random Variable Poisson Random Variable
Rekayasa Trafik
58
Discrete RV Yg Berguna
Rekayasa Trafik
59
Discrete RV Yg Berguna
Rekayasa Trafik
60
Cumulative Distribution Function (CDF)
Memuat informasi lengkap mengenai model probabilitas dari random variable
Rekayasa Trafik
61
Teorema CDF
Rekayasa Trafik
62
Contoh CDF Utk suatu binomial RV, # durian jatuh dlm 5 test dg p
= 0.2
Rekayasa Trafik
63
Contoh CDF
Rekayasa Trafik
64
Rata-Rata Study RV rata-rata Berapakah rata-rata dari suatu RV? – Satu bilangan tunggal yg dp menggambarkan RV – Suatu contoh dari statistik Apakah Statistik? – Bilangan yg mengumpulkan semua informasi yg dibawah perhatian kita – Rata-rata: mean, mode, dan median
Rekayasa Trafik
65
Rata-Rata Mean: – Sum / #terms Mode: – Nilai yg paling sering – PX(xmod) ≥ PX(x) x Median: – Pertengahan dari set data – P[X < xmed] = P[X > xmed] Rekayasa Trafik
66
Mean Expected Value Menambahkan semua pengukuran/ #terms
Contoh:
E[T] = ?
= 0(1/4) + 2(3/4) = 3/2 Rekayasa Trafik
67
Expected Value
Rekayasa Trafik
68
Discrete RV yg Berguna
Rekayasa Trafik
69
Discrete RV yg Berguna
Rekayasa Trafik
70
Variance & Standard Deviation Kita tahu rata-rata, E[X], kenapa kita perlu Variance
& Standard Deviation? Seberapa jauh dari rata-rata? T = X – µx
E[T] = E[X – µx] =0
Rekayasa Trafik
71
Variance Ukuran yg berguna adalah E[|T|] E[T2] = E[(X – µx)2] Variance
Rekayasa Trafik
72
Standard Deviation
σX andingkan dg µx Ex. σX = 15, Score +6 dari mean
OK. Pertengahan kelas Ex. σX = 3,Score +6 dari mean Sangat baik dlm grup Top class Rekayasa Trafik
73
Derived Random Variable
Rekayasa Trafik
74
Mengapa Kita Perlu Derived Random Variable Dari harga sampel dari random variable, harga-harga
ini utk menghitung quantities lain Contoh: – cari bentuk harga suatu decibel dari signal-to-noise ratio Y = g(X)
Rekayasa Trafik
75
Contoh-1 Random Variable X = # hal dlm satu fax
PX(x) = jumlah hal dlm tiap fax Charging plan – Hal ke-1 = 100 Rupiah – Hal ke-2 = 90 Rupiah – … – Hal ke-5 = 60 Rupiah – Hal 6 – 10 = 500 Rupiah Cari charge dlm Rupiah utk mengirim satu fax Rekayasa Trafik
76
Contoh-1 Random Variable Y = charge dlm Rupiah utk
mengirim satu fax
Rekayasa Trafik
77
PMF dari Y
P[Y=y] = Σ dari semua outcomes X = x dimana Y = y
Rekayasa Trafik
78
Conditional PMF
Rekayasa Trafik
79
Continuous Random Variabel
Rekayasa Trafik
80
Random Variable
Rekayasa Trafik
81
Continuous Sample Space
Utk Discrete: Set bilangan countable – SX = {-1,0,1,3,4} – SX = {-1,0,9,0,0,5,1,1,8,2.25,2.9,3}
Utk continuous: Set bilangan uncountable – SX = Interval antara 2 limit – SX = (x1,x2) = (-1,3) Rekayasa Trafik
82
Probabilitas dari Suatu Continuous RV Mengukur T, waktu download
ST= {t | 0 < t < 12} Tebak waktu download adalah (0, 10] menit Tebak waktu download adalah [5, 8] menit Tebak waktu download adalah [5, 5.5] menit Kemungkinan tebakan kita benar makin kecil Tebak waktu download adalah tepat 5.25 menit Probabilitas utk tiap outcome individual adalah nol. Probabilitas yg jadi perhatian adalah suatu interval
Rekayasa Trafik
83
CDF Utk Discrete: – Probability Mass Function PMF, PX(X) Utk Continuous: – Tdk mungkin utk mendefinisikan PMF – Cumulative Distribution Function (CDF)
Rekayasa Trafik
84
Teorema CDF
Rekayasa Trafik
85
Probability Density Function
Rekayasa Trafik
86
Probability Density Function Slope dari CDF pd suatu region dekat x Probabilitas dari random variable X dekat x Prob. Pd suatu region keci (∆) = slope * ∆ – Slope dari CDF PDF
Rekayasa Trafik
87
Teorema PDF
Rekayasa Trafik
88
Expected Values
Rekayasa Trafik
89
Expected Value & Varaiance
Rekayasa Trafik
90
Beberapa Continuous RV Berguna Uniform Exponential Gaussian
Rekayasa Trafik
91
Uniform Continuous RV
Rekayasa Trafik
92
Uniform Continuous RV
Rekayasa Trafik
93
Exponential Continuous RV
Rekayasa Trafik
94
Contoh Exponential
Rekayasa Trafik
95
Exponential Continuous RV
Rekayasa Trafik
96
Gaussian Random Variables
Rekayasa Trafik
97
Gaussian Random Variables
Rekayasa Trafik
98
Mixed Random Variable Discrete RV PMF & Summation Continuous RV PDF & Integral Kombinasi dari Discrete dan Continuous RV
Unit impulse function Dp menggunakan formulas sama utk menyatakan kedua RVs
Rekayasa Trafik
99
PMF PDF
Rekayasa Trafik
100
PMF PDF
Rekayasa Trafik
101
Contoh
Rekayasa Trafik
102
Summary Probability and Random Variable Discrete Random Variable – Uniform/Bernoulli/Geometric/… – PMF & CDF – Expected Value – Variance & Standard Deviation Continuous Random Variable – PDF – Uniform/Exponential/Gaussian
Multiple Random Variables Stochastic Process Rekayasa Trafik
103
