Probabilitas dan Statistika Variabel Acak dan Fungsi Distribusi Peluang Diskrit. Adam Hendra Brata

Probabilitas dan Statistika “Variabel Acak dan Fungsi Distribusi Peluang Diskrit”

Adam Hendra Brata

Variabel Acak Variabel Acak Variabel Acak Diskrit Distribusi Probabilitas Diskrit Distribusi Probabilitas Diskrit Kumulatif

Variabel Acak  Variabel acak adalah sebuah fungsi yang memetakan hasil kejadian yang ada di alam (seperti : buka dan tutup; terang, redup dan gelap; merah, kuning dan hijau; hidup dsb.) menjadi bilangan numerik. Semua kejadian yang mungkin muncul dalam suatu percobaan kita sebut sebagai anggota Ruang Sample yang dinotasikan dengan S. Sebuah fungsi yg mengaitkan sebuah bilangan real dengan setiap elemen di ruang sampel Notasi

Variabel Acak Variabel Acak Variabel Acak Diskrit

Variabel Acak 

Variabel Acak Diskrit Variabel X adalah variabel acak diskrit jika X banyak nilainya dapat dihiitung (berkorelasi 1 – 1 dengan bilangan bulat positif) Untuk variabel acak diskrit :



Variabel Acak Kontinu Variabel X adalah variabel acak kontinu jika banyaknya nilai xi tak dapat dihitung

Distribusi Probabilitas Diskrit Distribusi Probabilitas Diskrit Kumulatif

Variabel Acak Variabel Acak

Syarat Variabel Acak

Variabel Acak Diskrit

1.

Distribusi Probabilitas Diskrit

2.

Distribusi Probabilitas Diskrit Kumulatif

Fungsi yang dapat dinyatakan sebagai variabel acak adalah fungsi yang bukan bernilai ganda (Multivalued) Fungsi variabel acak hanya memiliki satu harga dari suatu elemen sampel eksperimen


Contoh Variabel Acak 

Kemungkinan besok akan turun hujan. Kemungkinan jawaban: Y = { Hujan, Tidak Hujan } atau Y = { 1 = Hujan, 0 = Tidak Hujan } atau Y = { 21 = Hujan, 200 = Tidak Hujan }


Contoh Variabel Acak  Dalam pemeriksaan lampu, ada dua kejadian yg mungkin: Baik (B) dan Mati (M). Pemeriksaan dilakukan dengan mengambil secara acak 3 buah lampu hasil produksi. Maka ruang sampelnya adalah ?


Contoh Variabel Acak S = { BBB, BBM, BMB, BMM, MBB, MBM, MMB, MMM } Langkah pertama, mendefinisikan X; adalah banyaknya lampu yg rusak dalam pengambilan tsb, maka X bisa mengambil nilai : 0,1,2,3 yang menyatakan lampu yang mati. X adalah contoh Variabel random: S = { BBB, BBM, BMB, BMM, MBB, MBM, MMB, MMM } X={0,1,1,2,1,2,2,3} Terlihat X = 2 untuk kejadian E = { MMB, MBM, BMM }, Jadi tiap nilai X berkenaan dengan sebuah himpunan bagian dari S.


Latihan Variabel Acak  2 bola diambil berturut-urut tanpa dikembalikan dari kotak yg berisi 4 bola merah (M) dan 3 bola biru (B). Buatlah semua kemungkinan nilai variabel random Y yang menggambarkan jumlah bola merah yang terambil. Ruang sampel

y

MM

2

MB

1

BM

1

BB

0

Variabel Acak Diskrit Variabel Acak Variabel Acak Diskrit Distribusi Probabilitas Diskrit Distribusi Probabilitas Diskrit Kumulatif

Variabel Acak Diskrit  Variabel acak diskrit adalah variabel acak yang tidak mengambil seluruh nilai yang ada dalam sebuah interval atau variabel yang hanya memiliki nilai tertentu.  Nilainya merupakan bilangan bulat dan asli, tidak berbentuk pecahan.  Variabel acak diskrit jika digambarkan pada sebuah garis interval, akan berupa sederetan titik-titik yang terpisah.  Untuk sebuah variabel acak diskrit X kita tentukan Fungsi Masa Probabilitas (Probability Mass Function) p(x) dengan :

Variabel Acak Diskrit - Ruang Sampel Variabel Acak Variabel Acak Diskrit Distribusi Probabilitas Diskrit Distribusi Probabilitas Diskrit Kumulatif

Ruang Sampel  Ruang Sampel adalah kumpulan semua even (kejadian) atau himpunan dari semua outcome yang mungkin dari suatu eksperimen random dinyatakan dengan S  Suatu elemen/unsur/anggota pada Ruang sampel (S ) disebut titik sampel (sample point)  Menurut banyaknya hasil dalam ruang sampel dibedakan menjadi ruang sampel diskrit dan ruang sampel kontinu

Variabel Acak Diskrit - Ruang Sampel Variabel Acak Variabel Acak Diskrit Distribusi Probabilitas Diskrit Distribusi Probabilitas Diskrit Kumulatif

Contoh Ruang Sampel  Eksperimen melempar sebuah mata koin dua kali (dua buah koin yang dilempar sekali), maka ruang sampelnya : S = { GG , GA , AG , AA} 

Eksperimen pelemparan sepasang dadu merah dan hijau, maka ruang sampelnya : S = {(x,y) | x = 1 , 2 , … , 6 ; y = 1 , 2 , … ,6 }



Eksperimen mengukur berat badan seseorang yang beratnya antara 45,5 dan 50,5 , maka ruang sampelnya : S = { x | 45,5 < x < 50,5 }

Distribusi Probabilitas Diskrit Variabel Acak Variabel Acak Diskrit Distribusi Probabilitas Diskrit Distribusi Probabilitas Diskrit Kumulatif

Distribusi Probabilitas Diskrit  Himpunan pasangan tersusun (x,f(x)) adalah sebuah fungsi peluang, fungsi massa peluang atau sebaran peluang dari variabel acak diskrit X bila untuk setiap keluaran x yang mungkin adalah:

; total probabilitas seluruh kejadian = 1


Distribusi Probabilitas Diskrit  Tiap nilai sebuah variabel acak memiliki probabilitas tertentu untuk muncul.  Contoh: Melempar 3 mata uang (tiap kali Gambar, Angka). Misal didefinisikan variabel randomnya X : banyak G dalam pelemparan tsb. Maka ruang sampelnya : S = {GGG,GGA,GAG,GAA, x = 0 → {AAA} x = 1 → {GAA,AGA,AAG} x = 2 → {GGA,GAG,AGG} x = 3 → {GGG}

GG,AGA,AAG,AAA} → P(X=0) = 1/8 → P(X=1) = 3/8 → P(X=2) = 3/8 → P(X=3) = 1/8


Latihan Distribusi Probabilitas Diskrit •

•

Diketahui ruang sampel dari sebuah percobaan : Percobaan

1

2

3

Jumlah mata angka

1

A

A

A

3

2

A

A

G

2

3

A

G

G

1

4

G

G

G

0

5

G

A

A

2

6

G

G

A

1

7

G

A

G

1

8

A

G

A

2

Tentukan distribusi probabilitas diskritnya !

Distribusi Probabilitas Diskrit Kumulatif Variabel Acak Variabel Acak Diskrit Distribusi Probabilitas Diskrit Distribusi Probabilitas Diskrit Kumulatif

Fungsi Distribusi Kumulatif  Sebaran kumulatif atau Fungsi distribusi kumulatif (CDF) dari X  F(x) adalah adalah suatu peubah acak X dengan sebaran peluang f(x) dinyatakan oleh :


Contoh Fungsi Distribusi Kumulatif  Mobil yg dijual sebuah dealer 50% dilengkapi dengan air-bag. - Tentukanlah distribusi probabilitas dari 4 buah mobil yang akan terjual berikutnya ! - Kemudian carilah fungsi distribusi kumulatifnya !


Contoh Fungsi Distribusi Kumulatif  Distribusi probabilitas : Probabilitas menjual sebuah mobil dg air-bag adalah ½ maka untuk 4 penjualan berikutnya ada 24 = 16 susunan yg mungkin. 



Secara umum banyaknya cara untuk menjual x mobil dengan air-bag dari 4 penjualan 4 mobil adalah : 4Cx. Maka probabilitas menjual x mobil dengan air bag dalam 4 penjualan adalah :

Distribusi Probabilitas Diskrit Kumulatif Variabel Acak

Contoh Fungsi Distribusi Kumulatif


Fungsi Distribusi Kumulatif :

Distribusi Probabilitas Diskrit Distribusi Probabilitas Diskrit Kumulatif

Peluang distribusi :

f(0) = 4C0/16 f(1) = 4C1/16 f(2) = 4C2/16 f(3) = 4C3/16 f(4) = 4C4/16

= 1/16 = 4/16 = 6/16 = 4/16 = 1/16

Distribusi Probabilitas Diskrit Kumulatif •

Grafik Fungsi Distribusi Probabilitas (F(x))


Contoh Fungsi Distribusi Kumulatif Distribusi probabilitas kumulatif F(x) dari sebuah variabel random X dengan fungsi probabilitas f(x) adalah jumlahan dari f(x) dari nilai x = - ∞ hingga x : F(x) = P(X<x) = ∑t<x f(t) untuk -∞< x < ∞ Sehingga fungsi distribusi kumulatifnya: F(0) = f(0) = 1/16, 0 ≤ x < 1 F(1) = f(0)+f(1) = 5/16, 1 ≤ x < 2 F(2) = f(0)+f(1)+f(2) = 11/16, 2 ≤ x < 3 F(3) = f(0)+f(1)+f(2)+f(3) = 15/16, 3 ≤ x < 4 F(4) = f(0)+f(1)+f(2)+f(3) = 1, x ≤ 4

Distribusi Probabilitas Diskrit Kumulatif •

Grafik Distribusi Probabilitas Kumulatif

Distribusi Probabilitas Diskrit Variabel Acak

Sifat – Sifat Fungsi Distribusi Peluang Diskrit




Distribusi Probabilitas Diskrit



Distribusi Probabilitas Diskrit Kumulatif



 

0 ≤ F (x) ≤ 1 F (x), fungsi yang tidak turun, sebagai kumulatif setiap x naik F (y) = 0, untuk setiap titik y yang lebih kecil dari nilai x terkecil (di ruang contoh) F (z) = 1, untuk setiap titik z yang lebih besar dari nilai x terbesar di ruang contoh F (x), merupakan fungsi tangga dengan tinggi f(x) = P(X = x)

Latihan Distribusi Probabilitas Diskrit Kumulatif •

•

Diketahui ruang sampel dari sebuah percobaan : Percobaan

1

2

3

Jumlah mata angka

1

A

A

A

3

2

A

A

G

2

3

A

G

G

1

4

G

G

G

0

5

G

A

A

2

6

G

G

A

1

7

G

A

G

1

8

A

G

A

2

Tentukan distribusi probabilitas kumulatifnya !

Terimakasih dan Semoga Bermanfaat v^^

Probabilitas dan Statistika Variabel Acak dan Fungsi Distribusi Peluang Diskrit. Adam Hendra Brata

Recommend Documents