MODEL DINAMIS UNTUK PENGELOLAAN DANA PENSIUN
TUGAS AKHIR
Diajukan Kepada Tim Penguji Tugas Akhir Jurusan Matematika Sebagai Salah Satu Syarat Guna Memperoleh Gelar Sarjana
MELISA PRAPITA SARI 83980
JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS NEGERI PADANG 2012
Untuk kehidupan yang bergulir serta ciptaanNya yang mensyukuri maupun meratapi
Kerjakanlah sesuatu dengan penuh kesabaran dan keikhlasan dan mintalah pertolongan kepada Allah, karena sesungguhnya Allah selalu bersama orang-orang yang shaleh. (QS. Al Baqarah:153) Belajarlah dengan sabar, kuatkan keyakinan dalam mencapai cita-cita, sedih, gembira, suka dan duka, pahit dan manis, jadikanlah semua itu sebagai cambuk dalam kehidupan, perlu diingat bahwa roda kehidupan terus berputar. Dari ini…. Kuucapkan syukur padamu ya Robbi, sebuah amanah dari orang tua dan kakak-kakak telah berhasil kueban dihari yang kunanti ini. Aku dating dengan secuil keberhasilan dan secercah harapan Sebuah karya yang kupersembahkan…. Seuntai kisah dalam penggalan hidupku ini kupersembahkan pada keluarga yang selalu mendampingiku, buat Ayahku Indra Bakti dan Ibuku Eliza Miarti terima kasih atas semua perjuanganmu…… Buat nenek, kak dewi, kak eni,bang riko yang telah banyak membantu baik moril maupun materil dan dorongan semangatnya, terima kasih… Buat adik-adikku, randi dan roni tetaplah berjuang untuk masa depan dan harapan keluarga…. Tidak lupa buat kakak-kakak iparku Bang Sul, bang St Mamen, dan Kak Mila terima kasih atas dukungannya… Dan tak lupa pula buat keluarga besarku uncu, pak uncu, om jub, om dedi, terima kasih atas doa dan dukungannya Buat reza dan Shila, rajin-rajin barajanyo yoh, daffa, capek pandai ngecek yo pepol… Pak Subhan dan Pak Suherman (“Makasih banyak Pak atas bimbingan dan dukungannya selama ini”) Buk Nel, Buk Meira, dan Buk Riri (“Makasih Buk atas kritik dan sarannya untuk kesempurnaan tulisan ini”). Juga untuk seluruh bapak/Ibuk Dosen dan staff jurusan Matematika FMIPA UNP (“Makasih atas Bantuannya selama ini”)
Last not but least To sobat terbaikqu… Hania, Wati, Mbak Ciez (akhirnya Ly nyusul kalian juga nama ly tambah panjang, ada S.Si nya…. Hehehehe…) Buat Chika (Jan talaik makan, jan stress bana, and sabar menghadapinyo yo ka… aza aza figthing.. ) Ayu.. ( semoga sukses di perantauan yu,,,) To Nk 07 Buat kawan-kawan seperjuangan di prodi math Nk 07, (terima kasih atas kebersamaan kalian beberapa tahun ini, ly masih pengen jalan-jalan bareng NK07 kayak dulu k pulau pisang, k lumin, pi ly tau kalian udah pada nyebar, mudah-mudahan nanti kita bisa ngumpul-ngumpul lagi….) Especially for Ismi and Vira, (akhirnya kita wisuda bareng, mudah2an habis wisuda langsung dapat kerja ya,,, amin,,,, Hohohoho…(^_≈)) Bety (perbanyak sabar ya ti “Hidup yang tak teruji bukanlah kehidupan yang berharga” itu kecek Socrates ti,,, hehe, ily sok bijak…^0^. Ciek lai, kapan2 kita tanding ngisi sodoku bareng vira, mida and ilen lagi ya, and klu ada film baru bagi-bagi ya… ^_^) To Anak2 Kost Gajah 2 no. 9 Tina, Ai, Tiara, Dor2, Yelly (thanks atas dukungan dan semangat yang kalian berikan untuk akak, akhirnya kak wisuda juga…) To Enda (akhirnya kita wisuda bareng2 ya…) Note for Tina(Na, klu putus cinta boleh2 aja nangis tapi jangan kayak si kunti, habis nangis ketawa trus nangis lagi, palagi klo malam2, ngeri tau… Piss,,,) To kawan-kawan semua, tetap Istiqomahdan lanjutkan secercah kisah yang kita mulai. Ini bukanlah akhir dari perjuangan tapi adalah awal dari perjalanan berikutnya. Semoga kita tetap akan memberi warna dimanapun kita berada…
ABSTRAK Melisa Prapita Sari
: Model Dinamis untuk Pengelolaan Dana Pensiun
Investasi dana pensiun tidak hanya bertujuan memperoleh hasil atau return yang maksimal, tetapi juga harus selalu menjaga keamanan dan ketersediaan dana yang dikelola. Dalam kegiatan investasi, pengalokasian aset sangat mempengaruhi, sehingga manajemen portfolio dan skema kontribusi jelas saling terkait. Karena berkaitan dengan cakupan jangka waktu yang sangat panjang maka keputusan yang dibuat lebih dari setahun belum tentu konsekuen untuk masa yang akan datang, sehingga diperlukan model matematika untuk membantu pengelolaan dana pensiun, dimana model yang dibentuk bersifat dinamis, sehingga menghasilkan keputusan yang konsekuen untuk masa yang akan datang serta membantu dalam meminimalkan aliran kontribusi dan mengoptimalkan pengalokasian aset. Berdasarkan uraian diatas rumusan masalah dalam penelitian ini adalah bagaimana model dinamis untuk pengelolaan dana pensiun. Metode yang digunakan dalam penelitian ini adalah menganalisis teoriteori yang relevan dengan permasalahan yang dibahas dengan berlandaskan pada kajian kepustakaan. Hasil penelitian yang diperoleh adalah berupa model optimasi untuk pengelolaan dana pensiun dengan kendala pembayaran pensiun ( ) dan nilai pasar portfolio ( ) yaitu: dengan batasan dengan menggunakan model diatas, diperoleh kebijakan optimal untuk kontribusi ( ) dan pengalokasian aset optimal pada aset beresiko( ) yaitu:
jika maka dana sepenuhnya di investasikan pada aset bebas resiko dan tidak menerima kontribusi. Jika maka sebagian dana akan diinvestasikan pada aset beresiko dan menerima kontribusi. Premi resiko ( yang tinggi akan memperkecil kontribusi , sebaliknya dengan volatilitas yang tinggi akan memperbesar kontribusi. Jika volatilitas tinggi premi resiko juga akan tinggi, dan akan menurunkan bagian yang diinvestasikan pada aset beresiko .
i
KATA PENGANTAR
Alhamdulillah, segala puji syukur penulis ucapkan kehadirat Allah Swt, atas rahmat dan hidayah-Nya yang telah diberikan kepada penulis berupa ketabahan, ketekunan dan keuletan, sehingga penulis dapat menyelesaikan Tugas Akhir ini dengan sebaik-baiknya yang diberi judul: “Model Dinamis untuk Pengelolaan Dana Pensiun”. Semua hambatan dan tantangan dalam penyusunan Tugas Akhir ini merupakan nikmat tersendiri yang dianugerahkan kepada penulis sebagai pengalaman hidup yang tak ternilai. Semuanya akan kembali kepada sumber segala sumber ilmu pengetahuan di jagad raya ini yaitu Allah Swt. Yang Maha Mengetahui sebagaimana yang telah tersirat dan tersurat. Pada kesempatan ini penulis mengucapkan terimakasih atas segala sesuatu yang telah diberikan kepada penulis baik berupa dorongan moril maupun materil, sehingga sangat membantu terselesaikannya Tugas Akhir, yaitu kepada: 1.
Bapak M. Subhan, M. Si. Dosen Pembimbing I sekaligus Sekretaris jurusan Matematika FMIPA UNP.
2.
Bapak Suherman, S.Pd, M.Si. Dosen Pembimbing II.
3.
Ibu Dra. Arnellis, M.Si, Ibu Meira Parma Dewi,S.Si, M.Kom, dan Ibu Riry Sriningsih, M.Sc. Dosen Penguji Tugas Akhir.
4.
Bapak dan Ibu staf Pengajar dan Labor Jurusan Matematika FMIPA UNP.
ii
5.
Seluruh rekan Mahasiswa Jurusan Matematika khususnya angkatan 2007 FMIPA UNP.
6.
Semua
pihak yang telah rela memberikan bantuan sampai
terlaksananya penyusunan Tugas Akhir ini. Semoga bimbingan, dorongan serta pengorbanan yang telah diberikan mendapat ridho dari Allah SWT. Kritik dan saran yang bersifat membangun dan bertujuan untuk perbaikan Tugas Akhir ini sangat penulis harapkan, sehingga dapat bermanfaat bagi semua pihak yang membutuhkan.
Padang, 10 Mei 2012
Penulis
iv
DAFTAR ISI
Halaman ABSTRAK ........................................................................................................
i
KATA PENGANTAR .....................................................................................
ii
DAFTAR ISI .................................................................................................... iii BAB I PENDAHULUAN A. Latar belakang ..................................................................................
1
B. Perumusan Masalah..........................................................................
4
C. Pendekatan Masalah dan Pertanyaan penelitian ..............................
5
D. Tujuan Penelitian..............................................................................
5
E. Manfaat Penelitian............................................................................
5
F. Metodologi Penelitian ......................................................................
6
BAB II KAJIAN TEORI A. Dana Pensiun ....................................................................................
7
B. Pengelolaan Dana Pensiun ...............................................................
8
C. Model Matematika ........................................................................... 11 D. Model Optimasi ................................................................................ 14 E. Model Dinamis ................................................................................. 18 F. Gerak Brown .................................................................................... 18 G. Persamaan Bellman .......................................................................... 19 H. Persamaan Differensial .................................................................... 22
v
BAB III PEMBAHASAN A. Model Dinamis Untuk Pengelolaan Dana Pensiun .......................... 25 B. Solusi ................................................................................................ 28 C. Interpretasi........................................................................................ 37 BAB IV PENUTUP.......................................................................................... 38 DAFTAR PUSTAKA ...................................................................................... 40
vi
BAB I PENDAHULUAN A. LATAR BELAKANG Setiap manusia bekerja untuk memenuhi kebutuhan dan mensejahterakan hidupnya. Seiring berjalannya waktu mereka akan memasuki usia pensiun yaitu usia dimana mereka tidak aktif lagi bekerja. Dalam usia pensiun pendapatan yang biasanya diterima secara teratur setiap bulannya tidak akan mereka terima lagi. Hal ini tentu akan merugikan bagi pekerja, selain itu kesejahteraan setelah pensiun tidak akan sebaik semasa masih bekerja. Karena itulah adanya badan hukum yang mengelola suatu program pensiun yang disebut dana pensiun. Dana pensiun merupakan Badan Hukum yang terpisah dari lembaga, organisasi atau perusahaan pendirinya, karena dana pensiun didirikan untuk berdiri sendiri, tidak dimiliki oleh pendirinya, atau oleh siapapun juga. Namun, memiliki pendiri yang bertanggungjawab terhadap kecukupan dana bagi penyelenggaraan program pensiun dan peserta yang berkepentingan sebagai penerima manfaat pensiun. Pendiri dana pensiun tidak menyisihkan dana atau kekayaannya sebagai “modal” bagi dana pensiun, tetapi menyerahkan dan mempercayakan pengelolaan himpunan dana yang secara khusus juga dipisahkan dari kekayaan pendirinya, untuk pembiayaan program pensiun. Prinsip yang mendasari dana pensiun sangat sederhana, dimana pekerja dan perusahaan memberikan kontribusi (iuran yang disetorkan oleh peserta program pensiun) ke dana pensiun, dimana mereka berinvestasi dalam jangka waktu panjang dan direalisasikan ketika 10mereka pensiun, dalam bentuk
1
2
pensiunan. Tentunya semakin banyak kontribusi semakin besar pensiunan yang diperoleh. Karena progran pensiun bertugas untuk mengumpulkan dan mengembangkan dana yang merupakan dana terakumulasi dari iuran peserta, di mana iuran tersebut diperlakukan seperti halnya tabungan. Selanjutnya iuran tersebut akan dikelola dan dikembangkan, yang nantinya di saat pensiun atau di akhir masa program, dana yang terkumpul akan digunakan untuk membayar manfaat pensiun peserta. Besarnya manfaat yang diterima oleh peserta sangat bergantung dengan akumulasi dana yang disetor dan hasil pengembangan dari iuran tersebut. Pengelolaan dana pensiun berkaitan dengan cakupan jangka waktu yang sangat panjang, jumlah peserta, dan jumlah dana kelolaan yang tidak sedikit serta bersifat dinamis, karena sepanjang kurun waktu tersebut jumlah peserta akan berkembang dan berubah. Sedangkan dalam pengembangan dana atau investasi dana pensiun tidak hanya bertujuan memperoleh hasil atau return yang maksimal, tetapi juga harus selalu menjaga keamanan dan ketersediaan (availability) dari dana yang dikelola. Kegiatan investasi dana pensiun juga sangat peka terhadap berbagai perkembangan dan perubahan sehingga sangat menuntut diterapkannya sikap kehati-hatian, risk-conciousness (kesadaran atas risiko), dan kecermatan berpikir. Kategori investasi menurut Ahmad (1996:2) ada dua jenis, yaitu aset rill (Real asset) dan aset keuangan (financial asset). Aset rill adalah bersifat berwujud seperti gedung, kendaraan dan lainnya. Sedangkan aset keuangan
3
merupakan dokumen (surat-surat) klaim tidak langsung pemegangnya terhadap aktiva rill pihak yang menerbitkan sekuritas tersebut. Dalam kegiatan investasi dana pensiun, pengalokasian aset sangat mempengaruhi, sejauh ini sedikit perbaikan pada aset portofolio sangat berarti. Misal, 1% atau 2% jika diakumulasikan selama 30 tahun akan mengalami peningkatan 40-100 % bagi dana pensiun. Disisi lain, terlalu banyak eksposur (tingkat dimana perusahaan dipengaruhi) terhadap fluktuasi pasar saham dan tidak adanya penanganan secara hati-hati terhadap aset portofolio dapat merusak nilai aktiva dan menyebabkan peningkatan kontribusi yang tidak diinginkan. Dalam hal ini, manajemen portofolio dan skema kontribusi jelas saling terkait. Selain itu, karna berkaitan dengan cakupan jangka waktu yang sangat panjang maka keputusan yang dibuat lebih dari setahun belum tentu konsekuen (sesuai) untuk masa yang akan datang. Oleh karena itu, mengoptimalkan beberapa cakupan akan lebih tepat. Karena keuntungan
saham yang tidak
menentu di pasaran efisien, maka kontrol stokastik akan membantu dalam menemukan kebijakan investasi yang optimal sebaik tingkat kecukupan kontribusi. Oleh karena itu diperlukan model matematika untuk membantu pengelolaan dana pensiun, dimana model yang dibentuk bersifat dinamis yaitu berubah terhadap waktu sehingga menghasilkan keputusan yang konsekuen (sesuai) untuk masa yang akan datang serta membantu dalam meminimalkan aliran kontribusi dan untuk mendapatkan alokasi aset yang optimal.
4
Model adalah suatu konsep yang digunakan untuk menggambarkan suatu permasalahan atau abstraksi dari kenyataan. Penggambaran fenomena yang terjadi dalam kehidupan dengan menggunakan bahasa matematika disebut juga dengan model matematika. Model matematika dapat diklasifikasikan dalam dua bagian yaitu, model statik dan model dinamis. Model statik adalah model yang memberikan informasi tentang peubah-peubah model hanya pada titik tunggal dari waktu, sedangkan model dinamis adalah model yang menunjukkan adanya perubahan setiap saat karna adanya aktivitas. Model matematika yang bersifat dinamis banyak digunakan dalam menyelesaikan permasalahan atau persoalan dalam berbagai bidang ilmu, salah satunya adalah dalam bidang ekonomi, khususnya dalam penentuan aliran kontribusi dan alokasi aset dana pensiun. Berdasarkan uraian di atas penulis tertarik untuk membahas tentang model pengelolaan dana pensiun. Untuk itu penelitian ini berjudul “Model Dinamis untuk Pengelolaan Dana Pensiun”.
B. RUMUSAN MASALAH Berdasarkan latar belakang di atas maka rumusan masalah dalam penelitian ini adalah “ Bagaimana Model Dinamis untuk Pengelolaan Dana Pensiun?”.
5
C. PENDEKATAN MASALAH DAN PERTANYAAN PENELITIAN Pendekatan yang digunakan dalam penelitian ini adalah studi kepustakaan dengan berpedoman pada berbagai buku dan sumber-sumber yang relevan terhadap permasalahan. Sesuai dengan perumusan masalah, maka pertanyaan penelitian yang diajukan pada penelitin ini adalah: 1. Bagaimana bentuk model dinamis untuk pengelolaan dana pensiun? 2. Bagaimana interpretasi model dinamis untuk pengelolaan dana pensiun?
D. TUJUAN PENELITIAN Adapun tujuan dari penelitian ini adalah: 1. Untuk membentuk model dinamis untuk pengelolaan dana pensiun. 2. Menginterpretasikan model yang diperoleh ke bahasa non matematika yang bisa dipahami oleh semua kalangan.
E. MANFAAT PENELITIAN. Adapun manfaat dari penelitian ini adalah: 1. Menambah pengetahuan dan wawasan penelitian dan pembaca dalam membentuk model matematika dari suatu objek atau masalah.
6
2. Menambah pengetahuan dan wawasan bagi peneliti dan pembaca tentang pengelolaan dana pensiun. 3. Masukan bagi pemerintah atau instansi terkait untuk dijadikan salah satu acuan dalam menentukan kebijakan untuk pengelolaan dana pensiun.
F. METODOLOGI PENELITIAN Penelitian ini merupakan penelitian dasar (teoritis) dengan metode diskriptif menganalisa teori-teori yang relevan terhadap permasalahan yang dibahas daan berdasarkan pada kajian kepustakaan. Dalam meninjau permasalahan yang dihadapi. Langkah kerja yang dilakukan adalah sebagai berikut: 1. Menelaah asumsi yang digunakan dalam pembentukan model. 2. Membentuk model dinamis untuk pengelolaan dana pensiun. 3. Menganalisis model dinamis untuk pengelolaan dana pensiun. 4. Menginterpretasikan model dinamis untuk pengelolaan dana pensiun.
BAB II TEORI PENDUKUNG A. Dana Pensiun Fungsi utama dari program pensiun adalah menyediakan pendapatan untuk para pegawai atau para pekerja saat mereka pensiun. Dana Pensiun memiliki beberapa jenis manfaat yaitu: manfaat pensiun normal, manfaat pensiun dipercepat, manfaat pensiun cacat dan manfaat pensiun ditunda. (Winklevoss, 1993:1). Menurut Suharsono (2011 : 3) dalam kajian etimology, disebutkan bahwa kata “pensiun” atau “pension” sudah dikenal dalam bahasa inggris abad pertengahan, yang berasal dari bahasa latin : “pensio”, sebagai pengembangan dari kata “pendere” yang berarti “membayar“. Dalam bahasa inggris ada beberapa pengertian pada kata “pension” yang antara lain sebagai berikut : a. “pension” sebagai kata benda (noun) (a fix sum regularly paid to a person) yaitu sejumlah uang/dana tertentu yang dibayarkan secara berkala kepada seseorang) payment under given conditions to a person following retirement from service or to surviving dependents. Yaitu pembayaran berdasarkan syarat – syarat tertentu kepada seseorang pada saat berhenti bekerja, atau kepada keluarganya yang masih hidup – dalam hal seseorang meninggal dunia
7
8
b.
”to pension” sebagai kata kerja transitif (transitive verb) : (to retire or to dismiss (someone) with pension) yaitu memberhentikan seseorang (dari pekerjaannya) dengan hak pensiun. Kata “pensiun” secara umum didefinisikan sebagai sebuah penghasilan
secara tetap dan berkala yang diberikan kepada seseorang setelah tidak bekerja lagi. Sedangkan “tidak bekerja lagi” dapat diartikan sebagai telah berhenti dan tidak bekerja lagi, baik karena telah mencapai umur tertentu, atau karena mengalami dan menjadi cacat sehingga tidak dapat bekerja lagi, atau karena meninggal dunia. Dengan kata lain, “pensiun” adalah merupakan sumber bagi pemenuhan kebutuhan bagi seseorang, ketika yang bersangkutan sudah tidak produktif lagi.
B. Pengelolaan Dana Pensiun Menurut Winklevoss (1993:1) ada dua tipe dasar dari pengelolaan program pensiun, yaitu : a. Program iuran pasti didefinisikan sebagai, iuran yang disisihkan setiap tahunnya dari suatu perusahaan dan karyawan dengan jumlah pasti yang sudah ditetapkan, atau merupakan persentase tertentu dari gaji. Imbalan pensiun karyawan ditentukan oleh ukuran akumulasi pada saat pensiun. b. Program pensiun manfaat pasti merupakan pengelolaan dana pensiun dimana manfaat pensiun adalah jumlah yang ditetapkan, biasanya dinyatakan dalam gaji karyawan dan masa kerja. Sebagai contoh, program tersebut memberikan imbalan 1,5 % setiap tahun dari rata-rata
9
gaji karyawan selama 5 tahun terakhir untuk jasa yang diberikan. Seorang karyawan dengan 20 tahun masa kerja akan menerima imbalan sebesar 30% dari rata-rata akhir gaji. Di Indonesia lembaga penyelenggara program pensiun dapat dibagi menjadi dua jenis yaitu: a. Dana Pensiun Pemberi Kerja Lembaga Dana Pensiun Pemberi Kerja (DPPK) didirikan untuk menyelenggarakan program pensiun manfaat pasti atau program pensiun iuran pasti.Dana Pensiun Pemberi Kerja akan mengelola setoran dana dari perusahaan yang menggunakan jasanya dan kemudian memberikan manfaat pada saat karyawan perusahaan tersebut memasuki usia pensiun atau mengalami kecelakaan. b. Dana Pensiun Lembaga Keuangan Dana Pensiun Lembaga Keuangan (DPLK) dapat dibentuk oleh bank atau
perusahaan
asuransi
jiwa
yang
memiliki
kemampuan
menyelenggarakan program pensiun pasti bagi perorangan. Peserta dana pensiun lembaga keuangan ini adalah masyarakat , baik yang terikat sebagai karyawan pada perusahaan tertentu maupun perorangan yang tidak terikat pada badan usaha apapun.
10
Dalam melakukan pembiayaan program pensiun pada umumnya dikenal 2 cara yaitu : a.
Metode Pay As You Go (current cost method) Pemberi kerja hanya membiayai manfaat pensiun seorang karyawan / peserta begitu diperlukan di luar gaji terakhir. Ciri ciri metode pay as you go adalah : 1) Tidak adanya ketentuan mengenai besarnya manfaat pensiun. 2) Manfaat pensiun tidak ditetapkan dan belum dijanjikan. 3) Pensiun merupakan bagian kecil dalam kaitannya dengan kegiatan usaha.
b.
Metode Sistem Pendanaan (funding system) Penghimpunan dana dilakukan agar dapat dipakai untuk pembayaran manfaat pada masa yang akan datang. Sistem pendanaan dibedakan dalam dua bentuk : 1) Single premium funding / unit benefit method Adalah setiap peserta program pensiun untuk suatu tahun tertentu di tentukan dengan faktor anuitas untuk menetapkan nilai
sekarang
dari
pensiun
tahunan
peserta
setelah
memperhitungkan masa kerja. Pembayaran pensiun untuk satu tahun tertentu merupakan satu unit manfaat yang besarnya sebagai berikut : ·
1. 2% dari gaji pada tahun tersebut.
·
2% dari gaji rata rata terakhir
11
2) Level premium funding/ flat benefit Adalah metode pendanaan yang dirancang untuk menghindari kenaikkan biaya pensiun yang terjadi pada saat usia peserta semakin bertambah dan pada saat kenaikkan gaji. Untuk itu perlu menetapkan premi tahunan yang apabila dibayarkan setiap tahun mendatang akan memberikan seluruh manfaat yang akan datang. Misalnya, sebesar Rp. 30.000 per bulan . Sistem pembayaran manfaat pensiun dapat dibagi menjadi dua jenis, yaitu: a.
Pembayaran sekaligus (lump sum) dan
b.
Pembayaran berkala (anuity).
C. Model Matematika Pemodelan matematika merupakan salah satu cabang ilmu matematika yang mampu memecahkan atau menjawab berbagai permasalahan dalam situasi nyata. Banyak sekali permasalahan dalam kehidupan ini yang dapat duselesaikan dengan menggunakan model matematika, melalui model matematika itulah permasalan-permasalahan yaang rumit dapat disederhanakan ke dalam bentubentuk tertentu sehingga nantinya akan mempermudah dalam menganalisa permasalahan yang ada. Langkah-langkah menyusun model menurut McQuarr (2006:2) adalah: 1. Merumuskan masalah. Disini akan dilakukan perumusan masalah dengan membuat daftar pertanyaan dari semua variabel dan konstanta pada permasalahan
12
termasuk unit yang sesuai dan tidak mengubah variaabel tetap (parameter model). Dan langkah yang terpenting adalah menyatakan asumsi manapun dari unit yang sesuai untuk semua variabel dan konstanta
yang
digunakan
dalam
permasalahan.
Kemudian
menyatakan objek permasalahan kedalam bahasa matematika yang tepat. 2. Pilih pendekatan model. Memilih
prosedur
solusi
umum
yang
diikuti
dengan
penyelesaiaannya. Pada langkah ini akan diputuskan pendekatan model seperti apa yang akan digunaka. Proses ini memerlukan pengalaman, keterampilan, dan sesuai dengan literatur yang relevan. 3. Formulasi model. Nyatakan kembali pertanyaan yang diajukan pada langkah 1 kedalam bentuk pendekatan model yang ditetapkan pada langkah 2. Pada langkah ini dapat dilakukan pemberian label ulang pada sebagian dari variabel yang ditetapkan guna menyepakati notasi yang umum digunakan dengan pendekatan model yang dipilih. Kemudian
mencatat
asumsi
tambahan
yang
dibuat
guna
mencocokkan gambaran masalah pada langkah 1 kedalam struktur matematika yang ditetapkan pada langkah 2. 4. Penyelesaian model. Menerapkan prosedur solusi umum yang ditetapkan pada langkah 2 kedalam
masalah
yang
dirumuskan
pada
langkah
3.
13
Implementasikan secara matematika proses yang digambarkan pada langkah 2 tersebut. Kemudian diperiksa kesalahan matematikanya dengan menggunakan teknologi yang sesuai seperti sistem aljabar komputer dan perangkat lunak numerik yang memperluas cakuan masalah dan mengurangi kesalahan proses matematikanya. 5. Menginterpretasikan penyelesaian. Menyatakan kembali hasil pada langkah 4 kedalam bentuk nonteknik dan menghindari adanya lambang matematika supaya siapapun yang membaca (termasuk yang tidak punya pengetahuan matematika sama sekali) dapat memahami kesimpulan yang diperoleh. Dan dilakukan peninjauan ulang terhadap permasalahan pada dunia nyata agar hasilnya tidak jauh berbeda. Dalam proses penyusunan model tidak ada istilah modelnya benar atau salah, yang ada ialah model itu baik atau jelek. Dengan kata lain, suatu model dikatakan baik jika model itu mampu memberikan penjelasan yang meghampiri keadaan yang sesungguhnya, sehingga tujuan dari pembentukan model tercapai. Adapun tujuan penyusunan model menurut Susanta dan Soedijono (1993:1.14) adalah: a. Mengenali prilaku objek dengan cara mencari keterkaian unsur-unsur b. Mengadakan pendugaan untuk memperbaiki keadaan objek c. Mengadakan optimasi dalam objek
14
Jadi fungsi suatu model adalah meniru atau menggambarkan semirip mungkin prilaku atau keadaan objek yang diamati sesuai dengan tujuan penyusunan model.
D. Model Optimasi Model optimasi adalah sebuah model yang digunakan untuk mencari pilihan terbaik dari serangkaian alternatif. Mungkin menggunakan ekspresi matematika dari masalah untuk memaksimalkan atau meminimalkan beberapa fungsi. Alternatif sering dibatasi oleh kendala pada nilai-nilai variabel. Menurut Kurdhi (2012:1) Dalam kehidupan sehari-hari, manusia cenderung
untuk
berprinsip
ekonomi, yaitu dengan sumber daya sedikit
mungkin dapat memperoleh hasil sebanyak-banyaknya. Banyak hal disekitar kita yang ingin dicari nilai optimumnya, seperti keuntungan maksimum, biaya minimum, dan sebagainya. Hal-hal tersebut menjadi dasar timbulnya masalah optimisasi. Jika masalah yang dioptimumkan bersifat kuantitatif, maka masalah tersebut merupakan masalah ekstrem (maksimum dan minimum). Berdasarkan kendala yang membatasi fungsi tujuannya, model optimasi dibagi atas dua : 1. Model Optimasi Satu Variabel Tanpa Kendala Dimisalkan
adalah variabel penentu dan
adalah fungsi
tujuan dari suatu masalah. Model optimasi dengan menyelesaikan masalah:
(Luknanto,2000;1-1)
15
Permasalahan
diatas
dapat
diselesaikan
dengan
kalkulus
differensial. 2. Model Optimasi Multi Variabel Tanpa Kendala cara analitis pada optimasi satu variabel dapat pula diterapkan pada optimasi multi variabel dengan menyelesaikan: Miniumkan/maksimumkan:
Dimana:
dengan syarat titik ekstrim:
(Luknanto,2000;1-7) Untuk mengetahui mana titik maksimum dan minimumnya, dapat diselidiki dengan menggunakan matrik Hessian:
definit positif atau
dengan
, dan
definit negatif atau 3. Model Optimasi Multi Variael Dengan Kendala Persamaan Bentuk umum dari Masalah Optimasi dengan kendala persamaan adalah: Minimumkan/maksimumkan
16
Dengan kendala: dengan Dimana:
(Luknanto,2000;1-12) Persoalan diatas dapat diselesaikan dengan Metode Pengali Langrange. Metode ini dimulai dengan pembentukan fungsi langrange yang didefenisikan sebagai:
Dengan syarat ekstrimum adalah derivasi parsial pertama dari fungsi langrangenya yang didefenisikan sebagai
dan
4. Model Optimasi Multi Variabel dengan Kendala Pertidaksamaan Bentuk umum dari Masalah Optimasi dengan kendala persamaan adalah: Minimum/maksimumkan: dengan Dengan kendala : , (Luknanto,2000;1-17) Kunci dari penanganan permasalahan diatas adalah merubah kendala pertidak-samaan menjadi persamaan dengan menambah
17
variable slack. Jadi permasalahan diatas dapat ditulis kembali sebagai: Minimum/maksimumkan: dengan Dengan kendala : dengan Dimana: adalah vektor variabel slack. Persoalan diatas dapat diselesaikan dengan Metode Pengali Langrange. Untuk itu dibentuk fungsi langrange sebagai berikut:
Dengan syarat extrimumnya adalah
,
dan
Permasalahan optimasi dengan kendala pertidak-samaan juga bisa diselesaikan dengan metode Kunch-Tucker yaitu: Minimumkan: dengan Dengan kendala : , dapat dinyatakan kedalam bentuk pernyataan sebagai berikut:
18
Catatan: Jika permasalahannya memaksimumkan, maka
dalam
persamaan. Jika kendalanya
maka
dalam persamaan.
Jika ermasalahannya adalah memaksimumkan dan jika kendalanya adalah
E.
maka
dalam persamaan
Model Dinamis Menurut Lundell (1997:1) Model Dinamis yaitu model yang mempunyai
unsur waktu dalam perumusannya dan menunjukkan perubahan setiap saat akibat aktivitas-aktivitasnya. Model dinamis biasanya diwakili dengan persamaan diferensial. Contoh dari model dinamis ini adalah: a. Model untuk perhitungan pengurangan kandungan kelembaban tanah b. Model pertumbuhan dan perkembangan populasi. c. Model laju perpindahan panas. d. Model yang berkaitan dengn investasi keuangan. e. Model matematika untuk manajemen perolehan penjualan
F.
Gerak Brown Dalam penelitian ini gerak brown sangat dibutuhkan dalam membentuk
model, karena variabel S(t) (nilai pasar aset beresiko) pada penelitian mengikuti standar gerak brown geometrik.
19
( Alexander, 2008;21-22) Dimana: St
: harga suatu aset pada saat t (Rp) : premi resiko (%)
r
: laju aset bebas resiko(%)
σ
: volatilitas (konstan)(%)
Wt
: proses wiener
Keterangan: Risk Premium (premi risiko) adalah pengembalian terhadap modal yang diperlukan untuk mengkonpensasi risiko kehilangan modal. Volatilitas adalah ukuran ketidakpastian dari pergerakan saham di waktu yang akan datang
G. Persamaan Bellman Menurut Bergman (2005:1) persamaan bellman juga dikenal sebagai persamaan pemograman dinamis, persamaan ini diperlukan untuk pengoptimal yang terkait dengan metode matematika optimasi yang dikenal sebagai pemrograman dinamis. Persamaan Bellman pertama kali diterapkan untuk rekayasa teori kontrol dan topik-topik lain dalam matematika terapan, dan kemudian menjadi alat yang penting dalam teori ekonomi. Dalam makalah ini persamaan bellman digunakan untuk meminimalkan suatu fungsi tujuan
, sehingga diperoleh suatu kebijakan untuk
.
20
Bentuk Persamaan Bellman dengan waktu kontinu adalah:
(Tang, 2011;2-3) Dimana: : fungsi tujuan : pembayaran pensiun (Rp) : nilai pasar portfolio (Rp) : waktu Dengan batasan
(Watkins,2010;2) Dimana: : return yang diharapkan : volatilitas Karena
berkembang berdasarkan Proses Ito, dengan menggunakan
teorema taylor di peroleh:
Jika x bukan variabel stokastik, dan jika kita membiarkan
maka:
21
Sejak istilah dalam
hilang. Dalam hal proses stokastik, yang kita
lakukan perlu mempertimbangkan istilah. Dengan asumsi bahwa proses diwakili dengan persamaan
, maka:
Dengan memisalkan
maka:
Sehingga untuk persamaan
kita
harus memiliki:
Untuk kasus fungsi
dimana x adalah suatu variabel stokastik,
sehingga:
Dengan memisalkan ,
dengan
,
,
, sehingga persamaan diatas menjadi:
substitusi
kepersamaan diperoleh:
persamaan
,
,
22
atau .
H. Persamaan differensial Persamaan differensial banyak muncul sebagai persamaan yang sangat penting dalam matematika terapan, karena banyak hukum dan hubungan fisis secara matematis yang muncul dalam bentuk persamaan ini. Salah satu permasalahan yang menggunakan persamaan differensial adalah model matematika. Dalam penelitian ini persamaan differential digunakan untuk mencari solusi dari model. Contoh-contoh persamaan diferensial: 1. 2. Definisi 1: Sebuah persamaan yang melibatkan turunan dari satu atau lebih variable terikat terhadap satu atau lebih variable bebas disebut dengan persamaan diferensial. (Ross ,1989;1) Definisi 2: Persamaan diferensial yang melibatkan turunan biasa dari satu atau lebih variable terikat terhadap satu(tunggal) variable bebas disebut dengan persamaan diferensial biasa. (Ross,1989;2)
23
Contoh:
Definisi 3: Persamaan diferensial yang melibatkan turunan parsial dari satu atau lebih variabel terikat terhadap lebih dari satu variabel bebas disebut dengan persamaan diferensial parsial. (Ross ,1989;2) Contoh:
Definisi 4: Turunan tertinggi yang terjadi dalam persamaan diferensial dinamakan orde dari persamaan diferensial. (Ross ,1989;3) Definisi 5: Persamaan diferensial linier orde n, dengan y variabel terikat dan x variabel bebas dapat dinyatakan dalam bentuk:
Dimana
. (Ross ,1989;3)
24
Definisi 6: Sebuah fungsi f(x,y) dalam dua variable x dan y termasuk homogen (berderajat nol) jika dan hanya jika berlaku:
Untuk tiap x dan y. (Kusumah,1989;95) Definisi 7: Persamaan diferensial orde satu
dikatakan
homogen jika ditulis dalam bentuk turunan
, terdapat
fungsi g dimana f(x,y) dapat diekspresikan dalam bentuk
.
(Ross ,1989;25)
BAB III PEMBAHASAN Penelitian ini membahas tentang model dinamis untuk pengelolaan dana pensiun serta penggunaan kontrol stokastik untuk mengoptimalkan alokasi aset beresiko dan kebijakan optimal untuk kontribusi dalam pengelolaan dana pensiun. Dalam pembentukan model dinamis untuk pengelolaan dana pensiun dengan kendala pembayaran pensiun
dan nilai pasar portfolio (
maka
langkah awal adalah dengan menentukan fungsi tujuan yag akan di optimasi. Dalam penelitian ini kita menganggap para kontributor enggan untuk membayarkan kontribusi yang lebih besar baik sekarang ataupun untuk masa yang akan datang, namun mereka memiliki penilaian sendiri terhadap tingkat diskon, yang disebut dengan tingkat psikologis diskon (β). Disini diasumsikan bahwa ketidakmampuan mereka merupakan fungsi pangkat dari kontribusi dan pangkat dari kontribusi akan dianggap 2, namun masih bisa diperumum. Dari pernyataan diatas kita akan mencoba untuk meminimalkan suatu fungsi. Fungsi dibawah merupakan bunga majemuk kontinu dengan faktor diskon:
Keterangan: : fungsi tujuan β : tingkat Psikologi diskon (%) s : waktu : kontribusi untuk aset beresiko (Rp)
25
26
Adapun kendala yang akan dipertimbangkan dalam pembentukan model ini adalah pembayar pensiun yang tercukupi dan nilai pasar portofolio yang positif. Maka pembentukan model akan dibahas sebagai berikut. A. Model Dinamis Untuk Pengelolaan Dana Pensiun Asumsi-asumsi yang digunakan dalam penelitian ini adalah: 1.
Besarnya pembayaran pensiun dimasa yang akan datang diketahui
2.
Laju pembayaran pensiun akan sebanding dengan besarnya pembayaran pensiun dan tingkat
pertumbuhan pensiun yang
dianggap konstan. …(1 )
Dimana : laju pertumbuhan pensiun : tingkat pertumbuhan pensiun (%) : pembayaran pensiun (Rp) 3. Investasi aset beresiko khusus kepada saham dan untuk aset bebas resiko khusus kepada obligasi. 4. Laju aset bebas resiko
dianggap konstan.
5. Nilai pasar aset beresiko mengikuti standar gerak brown geometrik …(2 )
Dimana : Nilai pasar aset beresiko (Rp)
27
: Premi Resiko (%) : laju aset bebas resiko (%) : volatilitas (konstan) (%) dan pensiun
setiap
merupakan kontribusi(iuran peserta pensiun) dan pembayaran waktu
dengan
diskon
yang
kontinu
(berkelanjutan).
Perkembangan dari portofolio digambarkan oleh persamaan dibawah: …(3 )
Persamaan pertama yang berada di sebelah kanan merupakan tingkat pertumbuhan /perkembangan dari portfolio yang diinvestasikan pada aset beresiko. Persamaan kedua merupakan nilai portfolio aset yang diinvestasikan pada aset bebas resiko. Persamaan ketiga mewakili aliran kewajiban antara keseimbangan kontribusi dan pembayaran pensiun. Substitusikan nilai
pada asumsi ke dalam persamaan (3):
Persamaan (3) dapat ditulis:
Dengan menggunakan Persamaan Bellman, fungsi dalam bentuk:
dapat diubah ke
28
Sehingga diperoleh sebuah model optimasi untuk pengelolaan dana pensiun. Jadi Model Dinamis Untuk Pengelolaan Dana Pensiun adalah:
Dengan batasan:
Dengan menggunakan model diatas kita akan mencoba untuk megoptimalkan pegalokasian aset beresiko dan menentukan kebijakan optimal untuk kontribusi. B. SOLUSI Fungsi
merupakan fungsi nilai dari masalah, berdasarkan
lemma ito dan substitusi persamaan (1) pada asumsi, maka Persamaan Bellman diatas dapat diubah menjadi:
...(4) Dengan
dan
, persamaan dalam kurung merupakan fungsi
polinomial dari u dan c, sehingga kebijakan optimal untuk
memenuhi:
1. Turunkan persamaan (4) terhadap
… (5 )
29
2. Turunkan persamaan (4) terhadap
...(6 )
Substitusikan persamaan (5) dan (6) ke persamaan (4):
Dengan substitusi persamaan (5) dan (6) ke persamaan (4) diperoleh:
30
Disini kita mengasumsikan:
Sehingga Persamaan Differensial dengan fungsi substitusi
diperoleh dengan
:
Bagi persamaan diatas dengan
sehingga:
Persamaan diatas merupakan persamaan homogen dengan variabel dengan menetapkan :
Sehingga Persamaan Differensial dengan fungsi substitusi
ke persamaan sehingga:
diperoleh dengan
31
Bagi persamaan diatas dengan
:
Sehingga: …(7 )
Solusi diperoleh dengan mencari prioritas untuk solusi dari persamaan yaitu:
Substitusi persamaan diatas ke persamaan (7) sehingga:
32
Dari persamaan diatas dimisalkan:
Bagi persamaan diatas dengan A sehingga:
Substitusi nilai A yang sudah diperoleh, sehingga:
33
Substitusikan nilai A dan B yang telah diperoleh kepersamaan diatas:
bagi persamaan diatas dengan
sehingga:
34
Substitusikan
dan
ke
, sehingga:
Sehingga persamaan diatas dapat difaktorkan dan diperoleh: …(8 )
Dari persamaan (8), di peroleh persamaan:
Dengan mengasumsikan
sehingga diperoleh:
35
Pertaksamaan diatas berarti bahwa premi resiko tercukupi oleh volatilitas yang tinggi. Ubah kembali persamaan (8) kedalam bentuk
sehingga:
Ubah kembali F(x,p) ke bentuk V(t,x,p) sehigga: …(9 )
Dengan substitusi langsung pada persamaan (4) solusi efektif untuk fungsi masalah dalam domain domain
, dimana
. Dalam
ternyata menghasilkan kebijakan optimal berupa nol kontribusi
dan tidak ada aset beresiko di dalam portfolio.
Substitusikan persamaan (9) ke persamaan (5) dan (6): 1. Substitusi persamaan (9) ke persamaan (5)
36
2. Substitusi persamaan (9) ke persamaan (6)
Dengan substitusi (9) ke persamaan (5) dan (6) di atas, sehingga diperoleh ekspresi terakhir kebijakan optimal untuk c* dan u* adalah:
Kondisi
memastikan bahwa batasan atas
dan
terpenuhi.
C. INTERPRETASI merupakan nilai batas bagi nilai pasar portofolio
yang sama
dengan nilai diskon dari semua pembayaran pensiun di masa yang akan datang,
37
untuk cakupan waktu yang tak terbatas. Jika
nilai pasar portofolio
lebih besar atau sama dengan nilai diskon dari semua pembayaran pensiun maka dana sepenuhnya di investasikan pada aset bebas resiko dan tidak menerima kontribusi. Jika
nilai pasar portofolio
lebih kecil atau
sama dengan nilai diskon dari semua pembayaran pensiun
maka sebagian
dana akan diinvestasikan pada aset beresiko dan menerima kontribusi. Premi resiko (
yang tinggi akan memperkecil kontribusi
sebaliknya dengan volatilitas volatilitas
,
yang tinggi akan memperbesar kontribusi. Jika
tinggi premi resiko
juga akan tinggi, dan akan menurunkan
bagian yang diinvestasikan pada aset beresiko
. Ketika volatilitas meningkat
maka resiko akan semakin meningkat, sehingga menambah kekhawatiran investor akan pergerakan harga saham yang semakin tidak menentu. Hal ini mengakibatkan Dana Pensiun akan cendrung melakukan penyeimbangan kembali antara saham dan obligasi. Dengan berinvestasi lebih banyak pada obligasi untuk meminimalkan resiko.
BAB IV PENUTUP
Berdasarkan pembahasan yang telah dilakukan dalam penelitian ini, dapat
disimpulkan
bahwa
Model
Dinamis
Untuk
Pengelolaan
Dana
Pensiun dengan kendala pembayaran pensiun ( ) dan nilai pasar portfolio ( ) yaitu:
Dengan batasan
Dengan menggunakan model diatas, diperoleh kebijakan optimal untuk kontribusi ( ) dan pengalokasian aset optimal pada aset beresiko( ) yaitu:
Jika
maka dana sepenuhnya di investasikan pada aset bebas resiko dan
tidak menerima kontribusi. Jika
maka sebagian dana akan diinvestasikan
pada aset beresiko dan menerima kontribusi. Premi resiko (
yang tinggi akan
memperkecil kontribusi
yang tinggi akan
, sebaliknya dengan volatilitas
memperbesar kontrribusi. Jika volatilitas
tinggi premi resiko
juga akan
tinggi, dan akan menurunkan bagian yang diinvestasikan pada aset beresiko
38
DAFTAR PUSTAKA Ahmad, Khamaruddin. (1996). Dasar-dasar Manajemen Investasi. Rineka Cipta: Jakarta. Alexander, Carol. (2010). Quantitative Methods In Finance. Jhon Wiley & Son, Ltd: Singapore. Bergman, U. Michael. (2005). Dynamic Programing and the Bellman Equation. (Online). http://translate.googleusercontent.com/translate_c?hl=id&langpair=en|id &rurl=translate.google.co.id&u=http://wiki.alfresco.com/wiki/Dynamic_ Models&usg=ALkJrhg6GIwyIK3en9MBQNOrKH0Wqlh0Iw diakses tanggal 20 Juni 2011. Boulier, Jean-Francois., Trussant, Etienne., Florens, Danielle. A Dynamic Model for Pension Funds. Journal. Paris: Universite De Paris IX Dauphine. Kurdhi, Nughthoh Arfawi. (2012). Introduction of NonLiniear Programing. (online) http://arfa.staff.mipa.uns.ac.id/files/2012/02/Lecture-1Introduction-of-PTL.pdf diakses tanggal 15 April 2012. Kusumah, Yaya.S. (1989). Persamaan Diferensial. Dekdipbud: Jakarta. Luknanto, Djoko. (2000). Pengantar Optimasi NonLinier. UGM: Yogyakarta. Lundell, Monika. (1997). Model Dinamis. (Online). http://translate.google.co.id/translate?hl=id&langpair=en|id&u=http://ww w.systems-thinking.org/dynmod/dynmod.htm diakses tanggal 16 Juni 2011. Ross, Shepley L. (1989). Introduction To Ordinary Differential Equations. Jhon Wiley & Son, Inc: Singapore. Suharsono. (2011). Tata Kelola yang Baik Dana Pensiun. (Online) http://www.adpi.or.id/downloads/8-download/100-dana-pensiun-bukansemata-mata-lembaga-investor diakses tanggal 24 Mei 2011. Tang, Jenny. (2011). Continuous-time Stochastic Processes. (Online) http://isites.harvard.edu/fs/docs/icb.topic951256.files/Section5.pdf diakses tanggal 9 Desember 2011 Watkins, Thayer. ().ito’s lemma and it’s derivation. (Online) http://www.appletmagic.com/ito.htm diakses tanggal 9 Desember 2011
Winklevoss, Howard. E. (1993). Pension Mathematic With Numerical Illustration. University of Pennsylvania: Philadelpia.
