MOCNINY A ODMOCNINY
Eva Zummerová 1
1. Mocniny s prirodzeným exponentom
Zápis an (čítame „a na n-tú“), kde a ∈ R, n ∈ N a platí : an
= a .a . ... .a
n činiteľov
sa nazýva n-tá mocnina čísla a. Číslo a sa nazýva základ mocniny a číslo n sa nazýva mocniteľ, alebo exponent. Platí teda : a1 = a, a2 = a . a, a3 = a . a . a, a4 = a . a . a . a, a5 = a . a . a . a . a, ⋮ Príklad :
2 2
Vypočítajte : 24; (− 3)2 ; −32; (−2)3; − (−5)2; 117; 05; �3� . • • • • • • •
24 = 2.2.2.2 = 16 (− 3)2 = (−3) . (−3) = 9 −32 = −3.3 = − 9 (−2)3 = (−2). (−2) . (−2) = − 8 2 − (−5) = − (−5) . (−5) = −25 117 = 1.1.1 ... .1 = 1 05 = 0.0.0.0.0 = 0
•
�3� =
2 2
2 3
2
∙3=
4
9
Priamo z definície mocniny pre ľubovoľné a ∈ R, n ∈ N vyplývajú pre počítanie s mocninami tieto pravidlá :
• • • • •
1n = 1 0n = 0
napr. :
ar. as = ar + s (ar)s = a r . s (a.b)n = an . bn 𝒂𝒂 𝒏𝒏
• � � = 𝒃𝒃
𝒂𝒂𝒏𝒏 𝒃𝒃𝒏𝒏
• ak r > s, tak
32.35 = (3.3).(3.3.3.3.3) = 37 = 32+5 (42)3 = 42. 42. 42 = 4.4.4.4.4.4 = 46 = 42.3 (5.a)3 = 5.a . 5.a . 5.a = 5.5.5.a.a.a = 53.a3 4 2
�3 � =
(resp. (a : b)n = an : bn) 𝒂𝒂𝒓𝒓 𝒂𝒂𝒔𝒔
𝟐𝟐𝟏𝟏𝟏𝟏
= 𝒂𝒂𝒓𝒓−𝒔𝒔
𝟐𝟐𝟖𝟖
2
=
4 3
4
∙ = 3
4.4 3.3
𝟐𝟐.𝟐𝟐.𝟐𝟐.𝟐𝟐.𝟐𝟐.𝟐𝟐.𝟐𝟐.𝟐𝟐.𝟐𝟐.𝟐𝟐 𝟐𝟐.𝟐𝟐.𝟐𝟐.𝟐𝟐.𝟐𝟐.𝟐𝟐.𝟐𝟐.𝟐𝟐
=
=
42
32
𝟐𝟐.𝟐𝟐 𝟏𝟏
= 𝟐𝟐𝟐𝟐 = 𝟐𝟐𝟏𝟏𝟏𝟏−𝟖𝟖
• ak a < 0, tak an je : kladné, ak n je párne číslo, záporné, ak n je nepárne číslo.
o o 1.1. Vypočítajte :
2 4
a.) 28 : 25 =
c.) 25. 55 =
b.) (3.10)3 =
d.) (0,4)3 =
e.) �3� =
c.) (𝑎𝑎5 )2 . a14 . (𝑎𝑎3 )6 = d.) y12 : y6 =
e.) (𝑎𝑎3 )4 ∶ (𝑎𝑎2 )5 = f.) y15 : (y5 . y2 ) 2 =
c.) [(2y6)3. (3y7)2 ] : (24y32) =
e.) [3x. (2a4x3)3] : (12x4a) =
1.2. Zjednodušte : a.) x3 . x4 . x9 = b.) 6x4. 5x8 =
1.3. Zjednodušte : a.) (3a)2 . (5a3)2 = b.)
𝑥𝑥 7 .𝑥𝑥 9 𝑥𝑥 4 .𝑥𝑥 8
=
d.)
511 .58
f.) 513 .54 =
(5𝑢𝑢 2 )2 .(2𝑣𝑣 3 )2 (10𝑢𝑢 𝑣𝑣 2 )2
=
f.)
𝑚𝑚 7 .𝑘𝑘 4 .(4𝑚𝑚 𝑘𝑘 5 )2 .𝑚𝑚 3 (2𝑚𝑚 3 𝑘𝑘 3 )4
=
2. Mocniny s celočíselným exponentom 𝑎𝑎 𝑟𝑟
Už vieme, že ak r > s , tak 𝒂𝒂𝟑𝟑 𝒂𝒂𝟓𝟓
=
𝑎𝑎.𝑎𝑎.𝑎𝑎
𝑎𝑎.𝑎𝑎.𝑎𝑎.𝑎𝑎.𝑎𝑎
=
𝑎𝑎.𝑎𝑎.𝑎𝑎
=
𝑎𝑎.𝑎𝑎.𝑎𝑎.𝑎𝑎.𝑎𝑎 𝑎𝑎 𝑟𝑟
ak by sme použili pravidlo
𝑎𝑎 𝑠𝑠
𝑎𝑎 𝑠𝑠
= 𝑎𝑎𝑟𝑟−𝑠𝑠 . Ako by to bolo, keby r < s ? Čomu sa rovná
𝟏𝟏
𝒂𝒂𝟐𝟐
= 𝑎𝑎𝑟𝑟−𝑠𝑠 , tak
spojením oboch vzťahov dostávame :
𝒂𝒂𝟑𝟑 𝒂𝒂𝟓𝟓
=
𝒂𝒂𝟑𝟑 𝒂𝒂𝟓𝟓 𝟏𝟏
𝒂𝒂𝟐𝟐
𝑎𝑎 3 𝑎𝑎 5
?
= 𝒂𝒂−𝟐𝟐
= 𝒂𝒂−𝟐𝟐
Zistili sme : Ak má mocnina záporný exponent, znamená to, že sa celá mocnina preklopí do menovateľa zlomku. Môžeme teda definovať mocninu s celočíselným exponentom : Pre každé reálne číslo a ≠ 0 a každé prirodzené číslo m platí :
Ako je to s a0 ?
𝑎𝑎0 = 𝑎𝑎3−3 =
𝑎𝑎 3 𝑎𝑎 3
=
00 nie je definovaná !
𝑎𝑎.𝑎𝑎.𝑎𝑎 𝑎𝑎.𝑎𝑎.𝑎𝑎
=
𝑎𝑎.𝑎𝑎.𝑎𝑎 1 𝑎𝑎.𝑎𝑎.𝑎𝑎 1
𝒂𝒂−𝒎𝒎 =
𝟏𝟏 𝒂𝒂𝒎𝒎
= 1, teda a0 = 1 , pre všetky a∈R, a ≠ 0. 3
A čo sa stane, ak máme mocninu so záporným exponentom v menovateli zlomku? Preklopí sa do čitateľa a exponent sa zmení na opačné číslo. Postupujeme presne podľa definície a potom upravíme zložený zlomok : 1
𝑎𝑎 −2
=
1
1 𝑎𝑎 2
1 1 1 𝑎𝑎 2
=
=
1.𝑎𝑎 2 1.1
𝑎𝑎 2
=
1
= 𝑎𝑎2
Mocniny so zápornými exponentami teda presúvame z čitateľa do menovateľa a naopak.
Príklad : 2 −4
Vypočítajte bez použitia kalkulačky : 4−2; (−4)−3; �3� ; 56.5−7. 52; 1
•
4−2 =
•
(−4)−3 = 2 −4
• � � 3 • •
42
6
−7
=
1
16 1
(−4)3
= 2
2−4 3−4
9−3 .4 2
=
1
−64 34
= −
=
24
6 + (−7) + 2
5 .5 . 5 = 5
22 .3−2
=
81 16
1 −3 2
9−3 .4 2
.
1
64
= 51 = 5
= ? – mocniny najprv musíme upraviť na rovnaký základ 2 a 3 : 22 .3−2
9−3 .4 2
22 .3−2
=
(32 )−3 . (22 )2
22 .3−2
= 3−6 .24 =
2.1. Vypočítajte bez použitia kalkulačky : a.) 7−2 c.) 4−1 b.) � �
22 .3−2
22 .36 32 .24
= 22−4 . 36−2 = 2−2 . 34 =
e.) 34. 3−3 : 32
5 −2
d.) � �
f.)
6
74 .7 −9 7−5
81 4
g.) (3−2)3 . 38 h.)
5 −8 . 5 5 −4
2.2. Vypočítajte bez použitia kalkulačky: a.)
25 .27 210
b.)
(−3)3 .(−3)6
c.)
(−3)5 . 32
(23 . 32 )3
((−2)2 .3)4
10−15 . 104
d.) − �
10−12
2.3. Vypočítajte bez použitia kalkulačky. (Ak treba, upravte mocniny na rovnaký základ.) : a.)
(−2)3 . 22 (−2)2 . 2
c.)
15 3 .5 −2 32 .2 −1
e.)
b.)
(23 .3)3 (2.3)2
d.)
392 .13 −3 63 .2−2
f.)
4
213 .6 −3
492 . 14 −1
g.)
4 −3 . 5
h.)
9−3 .45 2 .6−2
33 −3 .112 .35
11−1 .12 .6 −2 3 −1 . 2 . 9 3 .2 −1 . 4
2
�
Príklad : Zjednodušte : [(2𝑥𝑥 3 )2 𝑦𝑦 4 ]3 . (𝑥𝑥𝑦𝑦 2 )−4 ;
𝑎𝑎 8
𝑏𝑏 2 𝑐𝑐 3
𝑎𝑎 6 𝑏𝑏
: 𝑐𝑐 4 (𝑎𝑎 −1 𝑏𝑏 2 )3 .
V oboch úlohách použijeme pravidlá pre počítanie s mocninami. Pri násobení mocnín s rovnakým základom exponenty spočítame, pri delení mocnín s rovnakým základom exponenty odpočítame. •
•
[(2𝑥𝑥 3 )2 𝑦𝑦 4 ]3 . (𝑥𝑥𝑦𝑦 2 )−4 = [22 𝑥𝑥 6 𝑦𝑦 4 ]3 . 𝑥𝑥 −4 𝑦𝑦 −8 = 26 𝑥𝑥18 𝑦𝑦12 . 𝑥𝑥 −4 𝑦𝑦 −8 = 26 𝑥𝑥18 𝑥𝑥 −4 𝑦𝑦 12 𝑦𝑦 −8 = = 64𝑥𝑥18+(−4) 𝑦𝑦12+(−8) = 64𝑥𝑥14 𝑦𝑦 4 𝑎𝑎 8
𝑏𝑏 2 𝑐𝑐
: 3
𝑎𝑎 6 𝑏𝑏
𝑐𝑐 4 (𝑎𝑎 −1 𝑏𝑏 2 )3
= 𝑎𝑎8 𝑏𝑏 −2 𝑐𝑐 −3 : = 𝑎𝑎−1 𝑏𝑏 3 𝑐𝑐
= 𝑎𝑎8 𝑏𝑏 −2 𝑐𝑐 −3 ∶
𝑎𝑎 9
𝑐𝑐 4 𝑏𝑏 5
𝑎𝑎 6 𝑏𝑏
𝑐𝑐 4 𝑎𝑎 −3 𝑏𝑏 6
2 −3 −4
1
−1 2
c.) (2𝑚𝑚 𝑛𝑛 ) . �2 𝑚𝑚 𝑛𝑛 � 2 −1
d.) (2𝑥𝑥. 3𝑥𝑥 )
.18𝑥𝑥
𝑎𝑎 6 𝑏𝑏𝑎𝑎 3 𝑐𝑐 4 𝑏𝑏 6
=
= 𝑎𝑎8 𝑏𝑏 −2 𝑐𝑐 −3 : 𝑎𝑎9 𝑏𝑏 −5 𝑐𝑐 −4 = 𝑎𝑎8−9 𝑏𝑏 −2−(−5) 𝑐𝑐 −3−(−4) =
2.4. Zjednodušte : a.) (5. 𝑥𝑥 −4 𝑦𝑦 3 𝑧𝑧 8 ). (2𝑥𝑥 5 𝑦𝑦 −1 𝑧𝑧 −6 ) b.) (30 𝑎𝑎16 𝑏𝑏 7 ) ∶ (6𝑎𝑎9 𝑏𝑏10 )
= 𝑎𝑎8 𝑏𝑏 −2 𝑐𝑐 −3 ∶
e.) [(3𝑥𝑥 −1 𝑦𝑦 2 )3 ]−1 f.)
−5
𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎
𝑏𝑏 −2 1
∶
𝑎𝑎 2 𝑐𝑐
g.) � ∙ � 𝑎𝑎
𝑐𝑐 −3
h.) �
7
𝑎𝑎𝑏𝑏 2
𝑏𝑏 −1
𝑏𝑏 2
3 3
� � ∙ 𝑐𝑐 −2 −4
�
𝑏𝑏 −20 . 𝑎𝑎 𝑐𝑐 15
𝑎𝑎 2
1
3 −1
: � ∙ � 3� � 𝑏𝑏 𝑐𝑐
2.5. Zjednodušte : a.)
2.(𝑎𝑎𝑎𝑎 )3 3𝑎𝑎 2 𝑏𝑏
b.)
5𝑎𝑎 3 𝑏𝑏 7
c.)
2𝒙𝒙𝟓𝟓 𝒚𝒚𝟒𝟒
2𝑎𝑎 𝑏𝑏 6
∙
𝑎𝑎 5 𝑏𝑏 3
2𝑎𝑎 2 𝑏𝑏 3
∙�
(2𝒙𝒙𝟐𝟐 𝒚𝒚)2
(3𝑎𝑎 3 𝑏𝑏 2 )2 𝑎𝑎𝑏𝑏 2
𝑥𝑥𝑥𝑥
𝑎𝑎 2 𝑏𝑏 −4 𝑐𝑐 0
d.) �
3
�
e.) �
𝑐𝑐 −3 𝑑𝑑 −2
−3
�
𝑎𝑎 −3 𝑏𝑏 −7 𝑐𝑐 0
𝑎𝑎 −5 𝑏𝑏 −11 𝑐𝑐 13
3
∶ � 𝟐𝟐 � 2𝑥𝑥𝒚𝒚
𝑎𝑎 2 𝑏𝑏 −3
f.) ��
𝑐𝑐 3
∙
𝑑𝑑 −1 𝑐𝑐
: � −2 −2 � 𝑐𝑐 𝑑𝑑
−4
�
−2
𝑎𝑎 4 𝑏𝑏 −3
𝑎𝑎 2 𝑏𝑏 −3 𝑐𝑐 −4
∙ �
−1 2
𝑎𝑎 4 𝑏𝑏 7
𝑎𝑎 2 𝑐𝑐 −4
� � :�
𝑏𝑏 3 𝑑𝑑
−2
�
−2
�
3. Zápis čísla v tvare a.10n
Niekedy potrebujeme zapísať veľmi veľké číslo (napr. hmotnosť Slnka či Zeme), alebo naopak veľmi malé číslo (napr. hmotnosť čiastočky prachu). V zápise sa potom vyskytuje veľa núl, ktoré spôsobujú ťažkosti pri čítaní čísla a zaberajú veľa miesta – napr. 0, 000000000715. Preto také čísla výhodne zapisujeme pomocou súčinu s mocninou desiatky, v tvare a. 10n, pričom n je celé 5
číslo. Potrebujeme preto ovládať mocniny desiatky. 100 = 1 101 = 10 102 = 100 103 = 1000 104 = 10 000 105 = 100 000 106 = 1 000 000 ⋮
1
10−1 = 10 1 = 0,1 1
1
10−2 = 10 2 = 100 = 0,01 1
1
10−3 = 10 3 = 1000 = 0,001 1
1
10−4 = 10 4 = 10000 = 0,0001 1
1
10−5 = 10 5 = 100000 = 0,00001 1
1
10−6 = 10 6 = 1000000 = 0,000001
Platí : •
•
ak je n kladné, tak 10n je číslo, ktoré má za číslicou 1 n núl (napr. 1014 = 1 00 000 000 000 000) Pri násobení n – tou mocninou desiatky, kde n je kladné, posúvame desatinnú čiarku doprava o n miest (napr. 3,9 . 104 = 39 000). ak je n záporné, tak 10n je číslo, ktoré má n desatinných miest, vrátane číslice 1 (napr. 10−9 = 0,000 000 001) Pri násobení n – tou mocninou desiatky, kde n je záporné, posúvame desatinnú čiarku doľava o n miest (napr. 5. 10−7= 0,000 000 5).
Pomocou mocnín desiatky vieme jednoduchšie zapísať napr. hmotnosť Zeme 5,983. 1024 kg, hmotnosť Slnka 2.1030 kg, hmotnosť prachovej čiastočky 7. 10−10 kg. Z definície mocniny s celočíselným exponentom vieme, že deliť mocninou desiatky znamená násobiť mocninou desiatky s opačným exponentom. Napríklad 5,6:105 = 5,6. 10-5 = 0,000 056. 3.1. Vypočítajte : a.) 31. 104 = b.) 276 . 102 = c.) 0,003 . 107 =
d.) 1,75 . 109 = e.) 12,803 . 105 = f.) 45 . 10-3 =
3.2. Doplňte správnu mocninu desiatky : a.) 7,1 = 0,000 071 . 10 d.) 0,08 = 8 . 10 b.) 0,000 030 3 = 30,3 . 10 e.) 0,000 04 = 400 . 10 c.) 51 300 = 51,3 . 10 f.) 9 = 0,000 000 009 . 10
g.) 12,8 . 10-8 = h.) 0,055 . 10-1 = i.) 197 000 . 10-7 =
g.) 3 600 = 3,6 . 10 h.) 0,07 = 700. 10 i.) 12 000 000 = 0,12 . 10
Štandardne používame taký zápis čísla v tvare a. 10n, že číslo a ∈ 〈𝟏𝟏, 𝟏𝟏𝟏𝟏), n ∈ Z. Potom hovoríme, že číslo n je rád čísla a.10n. Napr. 25 571 zapíšeme v tvare 2,5571 . 104, lebo 2,5571∈ 〈1, 10) a číslo 25 571 má rád 4. Číslo 3,6 má rád 0, pretože 3,6 ∈ 〈1, 10) a teda ho zapíšeme ako 3,6 . 100. 6
3.3. Zapíšte čísla v tvare a.10n, kde a ∈ 〈1, 10) : a.) 780 000 d.) 10 080 b.) 5201 e.) 0,5 c.) 0,000 064 f.) 790
g.) 0,000 4 h.) 0,017 i.) 25
j. ) 12 000 000 000 k.) 0,000 09 l.) 0,000 000 3
4. Mocniny s racionálnym exponentom. Odmocniny Poznáme už mocninu s prirodzeným aj s celočíselným exponentom. Má zmysel uvažovať aj 3
o mocnine s racionálnym exponentom? Čo by mohlo znamenať napríklad 𝑎𝑎5 ? Mocniny s racionálnym exponentom súvisia s odmocninami. Vieme, že odmocnina existuje len z nezáporného čísla a že platí : • • •
ak 𝑎𝑎2 = 𝑏𝑏, tak √𝑏𝑏 = 𝑎𝑎 3
ak 𝑎𝑎3 = 𝑏𝑏, tak √𝑏𝑏 = 𝑎𝑎 4
ak 𝑎𝑎4 = 𝑏𝑏, tak √𝑏𝑏 = 𝑎𝑎 ⋮
r
s
Skúsme nájsť súvis medzi mocninou a odmocninou. Vieme, že a . a = a
r+s
. Ďalej vieme, že 2
druhá odmocnina je opačná operácia k druhej mocnine, čiže √𝑎𝑎2 = 𝑎𝑎, tiež �√𝑎𝑎� = 𝑎𝑎.
a . a = a1
Vzťah (1) si rozpíšeme : √𝑎𝑎 . √𝑎𝑎 = 𝑎𝑎 , teda : Ak by sme chceli nahradiť odmocninu exponentom (ale zatiaľ nevieme akým), tak zo vzťahu (1) dostávame :
(1)
a x .a x = a1 a x + x = a1 1
1
Ktoré dve rovnaké čísla musíme spočítať, aby sme dostali súčet 1? No predsa 2 + 2. Odmocninu 1
√𝑎𝑎 teda môžeme nahradiť mocninou 𝑎𝑎2 . Vieme teda definovať :
𝟏𝟏 𝟐𝟐
Nech a je reálne nezáporné číslo (a ∈ mocninou 𝒂𝒂 nazývame √𝒂𝒂 . Podobnou úvahou sa dopracujeme k definícii mocniny s racionálnym exponentom : 𝑹𝑹+ 𝟎𝟎 ). Potom 𝟏𝟏
𝒏𝒏
𝒏𝒏 Nech a ∈ 𝑹𝑹+ 𝟎𝟎 , n ∈ N. Potom mocninou 𝒂𝒂 nazývame √𝒂𝒂. 𝒎𝒎
𝒏𝒏
Nech a ∈𝑹𝑹+, n ∈ N, m ∈ Z . Potom mocninou 𝒂𝒂 𝒏𝒏 nazývame √𝒂𝒂𝒎𝒎 .
Príklad :
2
7
1
a.) Prepíšte mocninu na odmocninu: 53 ; 𝑥𝑥 4 ; 𝑧𝑧 5 . 3
6
b.) Prepíšte odmocninu na mocninu : √𝑎𝑎, √𝑎𝑎4 .
7
2
1
c.) Vypočítajte : 1002 , 83 . 𝑚𝑚
𝑛𝑛
Vieme, že 𝑎𝑎 𝑛𝑛 = √𝑎𝑎𝑚𝑚 . To využijeme vo všetkých úlohách. 2
3
3
a.) 53 = √52 = √25 7
4
𝑥𝑥 4 = √𝑥𝑥 7 1 5
5
𝑧𝑧 = √𝑧𝑧 3
1
b.) √𝑎𝑎 = 𝑎𝑎3 6
4
2
√𝑎𝑎4 = 𝑎𝑎6 = 𝑎𝑎3 (zlomok môžeme vykrátiť 2) 1
c.) 1002 = √100 = 10 2 3
3
3
8 = √82 = √64 = 4
Pre počítanie s odmocninami platia rovnaké pravidlá ako pre počítanie s mocninami, len podmienky sa zmenili – odmocniť vieme len nezáporné čísla.
4.1. Zapíšte ako odmocninu: 1
5
8
3
a.) 103
c.) 211 1
b.) 𝑟𝑟 2
2
e.) 35
g.) 𝑡𝑡 8
16
d.) 𝑥𝑥 9
f.) 𝑦𝑦 7
4
h.) 𝑚𝑚10
4.2. Zapíšte ako mocninu : 5
3
a.) √𝑏𝑏 7 4
b.) √𝑥𝑥 −8
17
15
e.) �𝑏𝑏
c.) √𝑥𝑥 −2
6
d.) √𝑎𝑎6
g.) √𝑧𝑧 2 9
f.) �𝑦𝑦 11
h.) √𝑐𝑐 4
Príklad : 2 3
4 5
−2
Zjednodušte : �𝑥𝑥 . 𝑥𝑥 �
3 ; � √𝑥𝑥 5 . Výsledok zapíšte ako odmocninu.
Keďže aj pre mocniny s racionálnym exponentom platia rovnaké pravidlá, ako pre počítanie s mocninami, najprv spočítame exponenty dvoch mocnín v zátvorke (mocniny majú rovnaký základ) a potom celý exponent vynásobíme číslom −2 (umocníme zátvorku). Postupovať by sme mohli aj opačne – najprv každý člen v zátvorke umocniť na −2 a potom spočítať získané exponenty. •
2 3
4 5
−2
�𝑥𝑥 . 𝑥𝑥 �
= �𝑥𝑥
2 4 + 3 5
−2
�
= �𝑥𝑥
10+12 15
−2
�
8
22 15
−2
= �𝑥𝑥 �
= 𝑥𝑥
−44 15
15
= √𝑥𝑥 −44
1 5 2 3
5 3
51
5
� √𝑥𝑥 5 = �𝑥𝑥 = �𝑥𝑥 � = 𝑥𝑥 3∙2 = 𝑥𝑥 6 (Najprv zmeníme vnútornú odmocninu na 3
•
mocninu a potom aj vonkajšiu. Použijeme pravidlo pre umocnenie mocniny.)
4.3. Zapíšte pomocou jednej mocniny : 5
a.) √ 4
𝑎𝑎. √𝑎𝑎3
c.)
3
b.) √𝑥𝑥 5 . √𝑥𝑥 2
d.)
√𝑧𝑧 3 3
e.) �𝑚𝑚.
3
√𝑧𝑧 4
∶
√𝑧𝑧 2 .√𝑧𝑧 6 4
√𝑧𝑧 8
4
3
√𝑚𝑚2
3 f.) �𝑎𝑎. √𝑎𝑎
g.)
5
h.)
3
4.4. Zapíšte pomocou jednej mocniny : 1
3
a.) 𝑎𝑎4 . √𝑎𝑎. 𝑎𝑎6
b.) �𝑎𝑎
−
7 1 2 7
� . 𝑎𝑎
1
5
c.) (𝑥𝑥 −3 )4 . 𝑥𝑥 2
2 5
3 14
5
d.) �𝑎𝑎 � : 𝑎𝑎
e.)
3 28
f.)
4
5
√𝑧𝑧 14
�𝑥𝑥 . 6√𝑥𝑥 2
10
�𝑥𝑥 2 . 3√𝑥𝑥
�𝑎𝑎.√𝑎𝑎 3
�𝑎𝑎 . 3√𝑎𝑎 2
g.)
√𝑧𝑧 5 . √𝑧𝑧 13
3
8
√𝑥𝑥 5 . √𝑥𝑥 7
h.) 3
3
√𝑥𝑥
6
√𝑥𝑥. √𝑥𝑥
9
√𝑥𝑥 5 .√𝑥𝑥
�√𝑥𝑥 . 6√𝑥𝑥 4
√𝑥𝑥. √𝑥𝑥 2
5. Čiastočné odmocňovanie Čiastočné odmocňovanie používame, ak číslo nevieme úplne odmocniť, ale vieme aspoň zmenšiť číslo pod odmocninou. Odmocňované číslo si budeme rozkladať na súčin menších čísel. 3
Pri odmocňovaní využijeme to, že √𝑎𝑎2 = 𝑎𝑎, prípadne že √𝑎𝑎3 = 𝑎𝑎. Príklad :
3
Čiastočne odmocnite : √50, √16 , √450.
√50 = √2.25 = √2 . √25 = √2 .5 = 5. √2 (Číslo 2 odmocniť nevieme, ale číslo 25 áno, tak sme ho odmocnili. Výsledok zapíšeme v správnom tvare, odmocnina je na konci. Číslo pod odmocninou sa zmenšilo z 50 na 2.) 3
3
3
3
3
3
3
√16 = √4 . 4 = √2.2.2.2 = √23 . 2 = √23 . √2 = 2. √2
𝟑𝟑
(Využili sme, že 3 odmocnia a tretia mocnina sa navzájom „zrušia“ a teda √2𝟑𝟑 = 2.)
√450 = √45 .10 = √5.9 .10 = √5.9 .5.2 = �2. 52 . 9 = √2. �52 . √9 = √2 . 5 .3 = 15. √2 9
(Využili sme, že vieme odmocniť číslo 9 (už sme ho nerozkladali na 3.3) a že druhá mocnina a druhá odmocnina nad číslom 5 sa navzájom „zrušia“.)
5.1. Čiastočne odmocnite : a.) √75 b.) √40 c.) √18
g.) √250 h.) √192 i.) √288
d.) √72 e.) √96 f.) √128
j.) √980 k.) √384 l.) √486
5.2. Čiastočne odmocnite : 3
3
a.) √32
3
c.) √128
3
e.) √81 000
3
b.) √54
3
f.) √40
d.) √56
6. Usmernenie zlomkov Väčšina odmocnín sú iracionálne čísla. Ak sa odmocnina vyskytuje v menovateli zlomku a zlomok treba vyčísliť, museli by sme deliť viacciferným deliteľom. Preto sa usilujeme odmocninu z menovateľa zlomku odstrániť. Robíme to vhodným rozšírením zlomku. Takýto postup sa volá usmerňovanie zlomkov. Vieme, že každý zlomok (resp. každé číslo) môžeme vynásobiť číslom 1 a jeho hodnota sa nezmení. Číslo 1 vždy zapíšeme vo vhodnom tvare, podľa toho, akú odmocninu z menovateľa potrebujeme odstrániť. Budeme teda využívať , že 1 = Príklad : Usmernite zlomky :
5
,
=
5 .√2
√2
22
,
√11
8
√12
√2 √2
=
√3 √3
=
√5 √5
=
√6 √6
=⋯
.
Každý zo zlomkov vynásobíme číslom 1 vo vhodnom tvare závisiacom od odmocniny, ktorú chceme odstrániť. V prípade, že sa dá výsledný zlomok krátiť, vykrátime ho. 5
√2
=
22
√11 8
√12
=
=
5
√2
.
√2 √2
22
√11 8
√12
∙
∙
=
5 .√2
√2.√2
√11 √11
√12 √12
=
=
2
22.√11
√11.√11 8 .√12
√12 .√12
=
=
22.√11 11
8 .√12 12
=
=
2 22.√11 11 1
2 8 .√12 12 3
= 2. √11
=
2 .√12 3
tu by sme mohli ešte čiastočne odmocniť
číslo 12, √12 = √4.3 = 2. √3 a dostaneme potom výsledok :
10
2 .√12 3
=
2 .2.√3 3
=
4 .√3 3
6.1. Usmernite zlomky : a.) b.)
3
c.)
2
d.)
√5 √6
12
e.)
4
f.)
√3
√13
6
g.)
5
h.)
√2 √15
11
15
i.)
24
j.)
√3 √6
21
√7 4
√14
Výsledky : 1. Mocniny s prirodzeným exponentom 1.1. 16
a.) 8; b.) 27 000; c.) 100 000; d.) 0,064; e.) 81 ; f.) 25. 1.2. a.) x16; b.) 30x12; c.) a42; d.) y6; e.) a2; f.) y.
1.3. a.) 225a8; b.) x4; c.) 3; d.) u2v2; e.) 2x6a11; f.) k2.
2. Mocniny s celočíselným exponentom 2.1. 1
1
36
1
1
a.) 49; b.) 8; c.) 4; d.) 25 ; e.) 3; f.) 1; g.) 9; h.) 125 . 2.2. a.) 4; b.) 9; c.) 18; d.) −100. 2.3.
1
1
a.) −4; b.) 27 . 3; c.) 30; d.) 78 ; e.) 4; f.)
5.24 34
80
= 81 ; g.) 27; h.) 1.
2.4. a.) 10𝑥𝑥𝑦𝑦 2 𝑧𝑧 2 ; b.) 5𝑎𝑎7 𝑏𝑏 −3 ; c.) 2𝑚𝑚−3 𝑛𝑛2 ; d.) 3𝑥𝑥 4 ; e.) 3−3 𝑥𝑥 3 𝑦𝑦 −6 ; f.) 𝑎𝑎−1 𝑏𝑏 2 ; g.) 𝑎𝑎−2 𝑏𝑏 −2 𝑐𝑐 3 ; h.) 𝑎𝑎10 𝑏𝑏 7 𝑐𝑐 3 . 2.5. a.) 6𝑎𝑎2 𝑏𝑏 3 ; b.) 20𝑎𝑎5 𝑏𝑏 4 ; c.) 4𝑥𝑥𝑦𝑦 5 ; d.) 𝑎𝑎2 𝑏𝑏 6 𝑐𝑐 −5 𝑑𝑑−2 ; e.) 𝑎𝑎−4 𝑏𝑏 4 𝑐𝑐 60 ; f.) 1. 3. Zápis čísla v tvare a.10n 3.1. a.) 310000; b.) 27 600; c.) 30 000; d.) 1 750 000 000; e.) 1 280 300; g.) 0,000 000 128; h.) 0, 0055; i.) 0,0197 000 = 0,0197.
f.) 0,045;
3.2. a.) 5; b.) −6; c.) 3; d.) −2; e.) −7; f.) 9; g.) 3; h.) −4; i.) 8. 3.3. a.) 7,8. 105 b.) 5,201. 103 c.) 6,4. 10−5
d.) 1,0 08. 104 e.) 5. 10−1 f.) 7,9 . 102
g.) 4. 10−4 h.) 1,7. 10−2 i.) 2,5. 101 12
j. ) 1,2. 1010 k.) 9. 10−5 l.) 3. 10−7
4. Mocniny s racionálnym exponentom. Odmocniny 4.1. 3
c.) √8 9
b.) √𝑟𝑟 5
d.) √𝑥𝑥
4.2. 7
a.) 𝑏𝑏 3 b.) 𝑥𝑥
−8 4
5
8 e.) �3
11
a.) √10
c.) 𝑥𝑥
= 𝑥𝑥 −2
8
10
2
17
e.) 𝑏𝑏 2
g.) 𝑧𝑧 15
11
6
d.) 𝑎𝑎2 = 𝑎𝑎3
5
h.) √𝑚𝑚4 = √𝑚𝑚2
7
f.) �𝑦𝑦16
−2 5
4
g.) √𝑡𝑡 2 = √𝑡𝑡
4
f.) 𝑦𝑦 6
h.) 𝑐𝑐 9
4.3. 17
1
a.) 𝑎𝑎10
c.) 𝑧𝑧 6
23
5
20
b.) 𝑎𝑎12
1
d.) 𝑧𝑧 12 = 𝑧𝑧 3
4.4.
17
5
c.) 𝑥𝑥 4
−1
27
b.) 𝑎𝑎 10
−7
g.) 𝑥𝑥 30
f.) 𝑎𝑎3
7
a.) 𝑎𝑎12
5
e.) 𝑚𝑚6
d.) 𝑎𝑎28
h.) 1
1
45
15
e.) 𝑧𝑧 20 = 𝑧𝑧 4
g.) 𝑥𝑥 24 = 𝑥𝑥 8
g.) 5. √10 h.) 8. √3 i.) 12. √2
j.) 14. √5 k.) 8. √6 l.) 9. √6
f.) 1
4
2
h.) 𝑥𝑥 18 = 𝑥𝑥 9
5. Čiastočné odmocňovanie 5.1. a.) 5. √3 b.) 2. √10 c.) 3. √2
d.) 6. √2 e.) 4. √6 f.) 8. √2
5.2. 3 a.) 2. √4
3
c.) 4. √2
3
3
3
b.) 3. √2
3
e.) 30. √3
d.) 2. √7
f.) 2. √5
6. Usmernenie zlomkov 6.1. 𝐚𝐚. )
𝐛𝐛. )
3.√5 5
√6 3
𝐜𝐜. ) 4. √3 𝐝𝐝. )
4.√13 13
𝐞𝐞. ) 3. √2 𝐟𝐟. )
√15 3
13
𝐠𝐠. ) 5. √3
𝐡𝐡. ) 4. √6
𝐢𝐢. ) 3. √7 j.)
2.√14 7
ZDROJE : Viera Kolbaská - Jarmila Janisková a kol. , Matematika pre stredné odborné školy, 1. časť, SPN, 2010, 2. vydanie Jaroslav Barták – Štefan Bojtár – Jiří Kepka, Matematika 1 pre dvojročné a trojročné učebné odbory SOU, SPN, 1987
http://gymopatke.edupage.org/files/08_-_Mocniny_a_odmocniny.pdf http://www.sportgymke.sk/mvd/Vyrazy/1-4-1MocninySCelociselnymexponentomVyrazySMocninami.pdf http://www.sportgymke.sk/mvd/Vyrazy/1-4-2MocninySRacionalnymExponentomVyrazySMocninamiAOdmocninami.pdf http://www.karlin.mff.cuni.cz/~pavlv7an/vladka/?page=MocninyQ
14
