8. ročník – 2. Mocniny a odmocniny
2. Mocniny 2.1 Mocniny a odmocniny Příklad 1 : Vyjádřete jako mocninu : a) 2.2.2.2.2.2.2.2.2.2 b) (-3 ). (-3 ). (-3 ). (-3 ). (-3 ). (-3 ) c) 3.3.3.3.a.a.a.a.b.b.b.b d) 4.5.a .b 1 e) a.a.a.a Příklad 2 : Vyjádřete mocninu jako součin : a) 43 b) 62ab5 c) 10a-2 Příklad 3 : Vypočítejte : a) 1,72 = b) 1 9002 = c) 0,252 = d) 0,00172 = e) 8002 f) 0,142 = g) 35 = h) (- 1,3 )2 = ch) -0,25 = i) –( - 2)4 =
d) 43a2b-3
4 2 ) = 5 2 k) ( - 5 )3 = 1 3 l) - { - [ (- 2 )2 ]2 }3 = m) 4-2 = n) 0,4-2 =
j) (
1 = 4 2 2 3 p) 2 = 3 4 2 r) = 1 4 3 s) 00 =
o)
Příklad 4 : Vyjádřete jako součin (podíl ) mocnin s co nejmenším přirozeným základem mocniny : 8 .9 3 20 4 2 7 . 3 .0,8 2 = a) c) 4 2 16 25 8 4 2 2 27 50 .32 24.8 3.15 5.45 3 . b) d) = 25 2 815 12 3.50 4.16 2 Příklad 5 : a) ( - 3) 3 =
b) – ( -2 )4 =
c) –( -2 )5 =
Příklad 6 : Porovnejte : a) ( - 2 )2 -22
b) (- 3 )3 -33
c) -17 -( 1 )7
d) – ( - 2 )-5 =
Příklad 7 : Vypočítejte : a) 5,2 .105 + 5,2 . 104 – 2,4 . 103 – 2,4 . 102 + 1,8 . 10 – 5 b) 2,7 . 109 – 5,7 . 106 + 4 . 105 – 3,2 . 102 + 5 . 10 - 1 Příklad 8 : Vypočtěte : a) 0,0144 = b) c)
200 = 9000000= d) 0,0361 = Příklad 9 : Vypočtěte : a) 3-2 + 0,42 =
e)
6,25 =
f)
1600 = 202
g) h) ch)
b) 0,5-2 + 0,4-3 + 0,22 = 1
0,25 0,16
(12) 2 =
900 =
c) 03 – ( - 1,7 )2 =
8. ročník – 2. Mocniny a odmocniny
Příklad 10 : Vypočtěte : a)
3
23 =
d)
4. 16 =
g)
a6 =
h)
b)
81 =
e)
c)
16
f)
a4 =
ch)
3
a 12 = a2 =
1 =
2.2 Sčítání a odčítání mocnin Sčítáme a odčítáme pouze mocniny se stejným základem a exponentem a to tak, že základ a exponent opíšeme a číslo před mocninou sečteme nebo odečteme. Příklad : 2.54 + 6.54 = 8.54 8.49 – 2.45 = 6.44 7a3 + 5a3 = 12a3 7a8 – 3a8 = 4a8 5a3 + 4a2 – 5a + 6 – 8a3 + 5a2 – 4a – 7 = -3a3 + 9a2 -9a – 1 7x2y3 – 2x3y2 + 3x2y3 = 10x2y3 – 2x3y2 9x3(x-3)4 + 5(x-3)4 – 2x3(x-3)4 = 7x3(x-3)4 +5(x-3)4 3x-2 + 4x2 – 5x-2- 6x2 + x-2 = – 2x2 - x-2
správně je také
Příklad 11 : Vypočtěte : a) 14a4 – 4a3 + 10a + 8a3 + 5 + 2a4 + 4a3 = b) - 4x2 – 5x4 + 10x3 – 4x2 + 5x4 -8x3 + 4 = c) 6,3t2 -5,8t2 + 2,7t2 – 1,9t2 =
-2x2 -
1 x2
x
0
d) 5r – ( 12r2 – 2r ) - [ 5r – ( 2r – 12r2 ) ] = e) 3a - [ 6a2 – ( 3a – 15a2) ] + ( 5a + 4a2 ) =
2.3. Násobení mocnin Násobit spolu můžeme pouze ty mocniny, které mají společný základ. Mocniny násobíme tak, že základ opíšeme a exponenty sečteme. Příklad : a4 . a5 = a9 43 . 4 5 . 4-2 = 46 4x2b3 . ( - 2x3b4 ) = -8x5b7 3x7 . ( - 4x-3 ) . 2x = -24x5 x ≠ 0 2x3(a+b)4 . 0,5x2(a+b)-5 = x5.(a+b)-1 a ≠ -b 4x(a+b)5 . (a-b)5 = nemá řešení 3 4
2 5
3 2 4 5
23 20
1
3 20
x . x = x = x = x = x . 20 x 3 24ax+2b1-x . 2-2.34a5-2xb3x+5 = 22.34a7-x b2x+6
x≥0
Příklad 12 : Vypočtěte : a) 6a . 3a2b3 =
b) 24a5b2 . 2-3a4b-1 = 2
8. ročník – 2. Mocniny a odmocniny
c) 4ab3 . 3a2 b2c2 = d) –4a-4b . 42abc2 = e) a5b3c-4 . 2a3b-4c-5 . 0,7a-1b2c = f) 5a4 b-3c-4 . 0,3a-4c-5 . 0,4x-1b3cd2= 2 3 g) 0,1x4. 5 x2. x-7y-3 = 4 1 h) 2aa+3b2 . 0,2a3-2xb3x. a = 5 2 3
3 4
1 5
3 4
i) 3a b j) 5a b
1 6
2 5
4
1
k)
3
4
a . 3. a =
l) 0,2 x . 2. x 3 y = m) 6. x .0,1x4 = n) 7. x . 4 x 3 .( -0,1 x. 3 x 2 ) = o)
3
x .2.
p) 2. 3 x .
3
x
x2 2
= =
. 0,2a b = . 0,2a 5 b 2 . 3b
2 3
=
Příklad 13 : Řešte rovnice x a) 4 = 23 2 Příklad 14 : Vypočítejte : a) (a+r)3 . (a+r)5 = b) (x-y)a . ( x-y)b =
b)
3x =1 42
c)
c) (a-4)3 . (4-a)7 = j) a-5 : a-3 =
5x =0 34
k) a-5 : a-8 = l) x : x-3 =
2.4. Dělení mocnin Dělit spolu můžeme pouze ty mocniny, které mají společný základ. Mocniny dělíme tak, že základ opíšeme a exponenty odečteme. POZOR : nesmíme dělit 0. Příklad : a4 : a5 = a-1 a≠0 413 : 4 5 = 48 4x2b5 : ( - 2x3b4 ) = -2x-1b a≠0, b≠0 ( - 4x-3 ) : 2x = - 2x2 x≠ 0 2x3(a+b)4 : 0,5x2(a+b)-5 = 4 x.(a+b)9 x≠ 0, a≠ -b 4x(a+b)5 : (a-b)5 = nemá řešení a≠ b -4 -4 -2 2 -2 -6 12a b : ( - 3a b ) = - 4a b a≠ 0, b≠ 0 3 4
2 5
7 20
x : x = x x≠0 3 3 2 7 x : x = 1 x2 4 5 8
x≠0
Příklad 15: Vypočtěte: a) 74 : 73 = b) (- 5)7 : ( -5)2 = c) ( -4)3 : ( -4)5 = d) a8 : a2 =
e) ( -a)4 : ( -a)3 = f) a2: a5 = g) a : a4 = h) a-2 : a5 =
i) x2 : x-4 = j) a-5 : a-3 = k) a-5 : a-8 = l) x : x-3 =
Příklad 16 : Vypočtěte : a) 12a6 : 2a4 = b) -25a3 : ( - 5 a2 ) = c) 100x6y3 : ( - 20x5b5 ) =
d) 0 : 2a4 = 1 e) - x5 : x-3 = 3
f) 3
2 4 1 -7 x : x = 5 10
8. ročník – 2. Mocniny a odmocniny
1 1 g) 3 x6 : 3 x-7 = 4 2
3 h) 0,5x-4 y3 : x2 y3 = 4 5 -5 i) x : 2x =
Příklad 17 : Vypočtěte : a) a5b3c-4 : 2a3b-4c-5 = b) 5a4b-3c-4 : 0,3a-4c-5 = 2 4: c) 0,1x 5 x2 = d) 2aa+3b2 : 0,2a3-2xb3x = 2 3
e) 3a b
3 4
1 6
2 5
1
4
3
1
f) 5a 5 b 4 : 0,2a 5 b 2 = g)
j) x3 y5 :
j) 7. x : 4 x 3 = k)
a : 3. 4 a 3 =
h) 0,2 x : 2. x 3 y =
2 3 3 -7 xza = 5
x : 2. 3
l) 2. 3 x :
3
x2
x
2
= =
i) 6. x : 0,1x4 =
: 0,2a b =
Příklad 18 : Vypočtěte : a) (a+r)5 : (a+r)3 = b) (x-y)a : ( x-y)b = c) (a-4)3 : (4-a)7 = d) (5-x)3 : ( x-5)4 = e) (a+1)2 : (1+a)3 =
f) (d+4)5 : (-d-4)5 = g) (5x-2)2+a : (5x-2)3a-5 h) ( 6a-5)x-7 : ( 6a-5)7-x = i) 18a7(v-2b)4 : 2a4(v-2b)3 = j) -20x8(2x+1)2 : 5xy2 =
k) -20x8(2x+1)2 : 0,5xy3 (2x+1) = l) 1 : 4y2(x-y)3 =
2.5. Mocnina mocniny Mocninu umocníme tak, že základ opíšeme a exponenty vynásobíme. ( ax )y = ax.y Příklad : ( 3a2 )4 = 34.a8 = 81a8 ( - 10x2y-3 )4 = 10 000x8y-12 y
0
( - 0,1x2y-3 )3 = - 0,001x6y-9 y [ ( 102 )3 ]4 = 1024
0
POZOR na mocninu, která má záporný základ . Příklad 19 : Vyjádřete jako mocninu : a) ( 3a-4 ) . ( 3a-4)5 = Příklad 20 : Vypočtěte : a) ( 2. 5 )2 = b) (-3 . 22 )2 = c) (-3 . 22 )-2 = d) (-2x3 yz-2)2 = e) (-2x3yz-2)3 = f) (-2x3 yz-2)-2 = 2 g) ( a )2 = 3 4 h) ( - a3 )3 = 5
b) ( m+2a)3 . (m+2a)4 =
4 3 4 a ) = 5 4 j) ( - a3 )-3 = 5 k) ( 0,4a3b-2 )2 = l) ( 0,4a3b-2 )-3 = 1 3 m) ( ) = x 5 2 n) ( ) -2 = a 2
i) ( -
o) [
( a 2) 3 3 ] = ( a 1) 4
p) [
( x y) 3 4 ] = ( x y) 2
r) [
( a 2) 3 -2 ] = ( a 1) 4
s) [
( x y ) 3 -2 ] = ( x y) 2
2.6. Zápis čísel v desítkové soustavě pomocí mocnin o základu deset 4
8. ročník – 2. Mocniny a odmocniny
Příklad : Napiteš čísla v desítkové soustavě pomocí mocnin 10 n : 2 756; 23 456,789; 200 003 2 756 = 2 . 1 000 + 7 . 100 + 5 . 10 + 6 = 2 . 103 + 7 . 102 + 5 . 10 + 6 23 456, 789 = 2 . 10 000 + 3 . 1 000 + 4 . 100 + 5 . 10 + 6 + 7 . 0,1 + 8 . 0,01 + 9 . 0,001 = 2 . 104 + 3 . 103 + 4 . 102 + 5 . 10 + 6 + 7 . 10-1 + 8 . 10-2 + 9 . 10-3 Vidíte zde sestupnost exponentů? 10 = 101
6 = 6 . 100
200 003 = 2 . 105 + 3 Příklad 21 : Napište čísla v desítkové soustavě pomocí mocnin 10 n : a) 124 201 603 b) 500 001 666 002
c) 2 000 000,458
Příklad 22 : Napište uvedená čísla klasickým způsobem : a) 7 . 109 + 5 . 104 + 3 . 10 + 6 . 10-3 b) 5 . 104 + 7 . 10 6 + 1 . 10-3 + 6 . 10 2
2.7. Zápis čísel v desítkové soustavě ve tvaru a.10n, kde 1 ≤ a < 10 Příklad : Zapište uvedená čísla v desítkové soustavě ve tvaru a.10n, kde 1 ≤ a < 10 : 54 234 123 456,789 0,45 0,0023 54 234 = 5,4234 . 104 123 456,789 = 1,23456789 . 105 0,45 = 4,5 . 10-1 0,0023 = 2,3 . 10-3 Příklad 23 : Zapište uvedená čísla v desítkové soustavě ve tvaru a.10n, kde 1 ≤ a < 10 : a) 2 145,4 b) 0,5 c) 3 542,1 d) 111,1111 e) 1,5 Příklad 24 : Zapište uvedená čísla v desítkové soustavě ve tvaru a.10n, kde 1 ≤ a < 10 : a) 7 . 109 + 5 . 104 + 3 . 10 + 6 . 10-3 b) 5 . 104 + 7 . 10 6 + 1 . 10-3 + 6 . 10 2
Souhrnná cvičení : 1. Vyjádřete jakou součin mocnin o základu 2 , 3 a 5 : 2 4.35 a) ( 2 2 )2 = 8 .9 2 4.35 b) ( 2 2 )-3 = 8 .9 83 2 .9 2 c) ( 3 3 )2 . . 1,52 = 2 2 27 .16 3 .4 2. Vypočtěte : a) a3n+2 b4 : a2n-4 bn-3 b) 2 a3n+2 b4 . 0,5 a2n-4 bn-3
2 2.16 2 4 32.27 3 ) : ( ) = 92 813 2 6.3 4.6 5 4 2.5 5.6 3 e) . = 8 3.9 2 12 3.10 4 d) (
c) a3n+2 b4 + a2n-4bn-3 = d) a-3n-2 b4 . a2n+4bn-3 =
3) Napište čísla v desítkové soustavě pomocí mocnin 10 n a) 2 145,4 b) 0,5 c) 3 542,1 d) 111,1111 5
e) 1,5
8. ročník – 2. Mocniny a odmocniny
4) Zapište uvedená čísla v desítkové soustavě ve tvaru a.10n, kde 1 ≤ a < 10 : a) 124 201 603 b) 500 001 666 002 c) 2 000 000,458 5) Vypočtěte : a) 0,0152= b) 140 0002 = c) 0,192 = d) 1,82 = e) 2 5002 = 6) Vypočtěte : 4 a) ( )3 = 5 4 b) ( )-3 = 5 6 2 c) ( ) = 7 6 d) -( - )2 = 7 6 e) -( - )-2 = 7 5 f) ( )2 = 9 7) Vypočtěte : a) 0,000121 = b) c)
4000000= 0,00025 =
d)
0,0225 =
f) 0,112 = g) 1 6002 = h) 0, 000 52 i) 5002 = j) 27 =
k) 0,14 = l) 0,033 = m) 205 = n) 1 0004 = o) 2-4 =
p) 300-3 = r) 0,4-4 = s) 0,11-2 t) – (-2)-3 =
1 2
5 2 ) = 9 5 h) - ( )-2 = 9 5 ch) (- )2 = 9
g) - (
l) (
4 3 )3
m) – ( 4 ) = 3 ( )2 n) 5 = 1 23 22 ( ) 3 o) 3 = 2 ( 2 )2 3 p) 01 = r) 10 = s) ( - 1)-1 =
e)
16 =
g)
22
i) (
2 2 )2 = 25 3 k) ( ) 81
j) ( -
900 = 30
f)
0,0025 0,16
h)
400 =
i)
1=
=
8) Vyjádři : a)
c 4 d 10 =
b)
x6 y
c)
0,25 .
4
d)
=
400 x 3 y 4 z 5 =
e) f)
0.x 2 =
g) ( 4 16a 4 )2 =
100 a 4
h) (
3 4
1
9 2 ) = 16 1 9 2 ch) ( ) = 16
8a 3
16a 4 =
9) Vypočtěte : a) 7x5 – 5x4 + 3x3 – 2x2 - 0,4x + 4 + 5x5 – x4 + 2x3 - 0,4x + 9 = b) 0,4x5 - 2x3 – 2x2 + 6 + 7x5 – 5x4 + 3x4 – 2x2 - 0,74x + 1 = c) – 5x4 + 0,3x3 – 0,102x2 + 0,4x + 2,6 + 0,7x5 + 3x4 – 1,2x2 + 1,07x5 – 5,4x4 + 0,3x3 – 2x2 - - 0,4x + 4 = d) 1,7x6 – 0,5x4 + 3,1x3 – 2x2 + 0,4x + 4 + 2,7x5 – 0,5x4 + 3,3x3 –1,2x2 - 0,4x + 4 + 0,07x5 -– 6,5x4 + 7,3x3 – 10,2x2 - 10,4x + 4 + 2,7x7 – 5x6 + 13x3 – 0,12x2 - 0,34x + + 4 = e) 4( x + y )2 – 3( x – y )2 + 4( x + y )2 - 0,4( x – y )2 + 0,6( x + y )2 – 0,5( x – y )2 = 10) Vypočtěte : a) 124 . 123 =
b) (- 5)5 . ( -5)4 = 6
8. ročník – 2. Mocniny a odmocniny
c) ( -4)2 . ( -4)-3 = d) a8 . 2a2 = e) ( -a)4 . 4( -a)2 = f) 20a2. (-20)a5 = g) 3a2b5c-4 . 0,2a2b-4c-2 . 7a-1b3c = h) b-3c-4 . 3a-2c-4 . 2xb-5cd-1 = 2 3 5. ch) 20x 5 x-3. y-3 = 4 1 i) 0,5xa+3 y2 . 2x3-2xy3x. x = 5 11) Vypočtěte : a) (2a+4r)5 . (2a+4r)6 = b) (y-x)a . ( x-y)2 =
2 3
1 6
3 4
2 5
j) 0,4a b . ( - 0,2a b ) = 1 5
k) 0,5h j 4
4 5
3 4
1 2
. 2j h . 3h
3
2 3
=
6
l) 3. a . 5. a =
x . 2. x 3 y .
n)
x . 4 x 3 .( -0,1 x. 3 x 2 ) . 2. 3 x .
c) (2a-b)3 . (2a-b)-3 = d) (x-5)n . ( x-5)4n -1 =
12) Vypočtěte : a) 124 : 123 = b) (- 5)5 : ( -5)4 = c) ( -4)2 : ( -4)-3 = d) 10a8 : 2a2 = e) 16( -a)4 : 4( -a)2 = f) 20a2: (-20)a5 = g) 12a6 : 2a4 +(- 25a4 ) : ( - 5 a2 ) =
x .0,1x4 =
m)
3
x
2
e) (a+1)2n -3 . (1+a)3n+4 = f) (d+4)5x+1 . (d+4)5-4x =
2 3 3 -7 x z a ) : (x-5 : 2x-5 )= 5
h) ( x3 y5 : 2 3
ch) (6a b 1
3 4
1 6
2 5
1 5
: 0,2a b ) .( 5a b
3
4
3 4
4 5
: 0,2a b
1
i) ( 5a 5 b 4 : 0,2a 5 b 2 )2
13) Vypočtěte : a) (2a+4r)5 : (2a+4r)6 = b) (y-x)a : ( x-y)3 = c) (2a-b)3 : (2a-b)-3 =
d) (5-x)n : ( 5-x)4n -1 = e) (a+1)2n -3 : (1+a)3n+4 = f) (d+4)5x+1 : (d+4)5-4x =
14) Vypočtěte : a) { [(22)3]2 }2 = b) { [(22)3]2 }-2 = c) ( - 4x2yaz-3 )2 = ( x 5) 2 2 d) [ ] = ( y 3) 2
( x 5) 5 -3 ] = ( y 3) 2 5 f) ( ) -2 = x 2
e) ) [
15) Zapište číselné výrazy a určete jejich hodnotu : a) číslo 152 zmenšete o 327 b) číslo 63 zvětšete 8 krát c) podíl čísel 36 a 4 znásobte jejich součtem d) od součtu čísel 846 a 52 odečtěte podíl čísel 426 a 6. 16) Zapište výrazy : a) číslo o 5 menší než y b) pětina čísla x zvětšená o ½
c) polovina součinu čísel 4 a p d) pětina dvojnásobku čísla a zmenšená o 1
17) Vypočítejte : a) ( x + 5 ) + ( 7x + 9 ) + ( -8x – 4) = b) ( 2x5 + 3x4 – 5x3 ) – ( 3x5 – 2x4 – 6x3 + 2x – 6 ) + ( 2x4 – 3x3 – 3x + 2 ) = c) ( 5x6 - x4 + 5x3 ) + ( 2x5 – 4x4 – 5x3 + x + 4 ) + ( 2x6 – x5 + 3x - 1 ) = 7
=
1 2
)=
8. ročník – 2. Mocniny a odmocniny
18 ) Vypočítejte : a) 2 ( y – 1 ) + 3 ( y – 2 ) = b) 9 ( r 3 + 2r2 – 6r + 3 ) – 2 ( r4 – 3r3 + 2r2 – 5r – 2 ) = 19) Vypočítejte : a)
a. 3 a. 4 a =
Výsledky příkladů
1 a) 210; b) ( -3 )6 ; c) 34a4b4 ; d) 20ab; e) a-4; 1 4.4.4.a.a 2 ) a) 4.4.4; b) 6.6.a.b.b.b.b.b; c) 10. ; d) ; b.b.b a.a 3 a) 2,89, b) 3 610 000 , c) 0,0625 , d) 0,00000289 , e) 640 000 , f) 0,0196 , g) 243 , h) 1,69 16 91 1 1 1 ch) -0,00032 i) -16 , j) , k) -1 , l) 4 096 , m) , n) 6 , o) 16 , p) 1 , r) 125 16 4 8 21 1 , s) 1 , 1024 4 a) 36 . 2-13 , b) 2-8 . 3-8 , c) 212 . 52 , d) 39 . 224 , 1 5 a) -27 , b) -16 , c) 32 , d) , 32 6 a) ( -2 )2 > -22 , b) ) ( -3 )3 = -33 , c) -17 = -( 1 )7 7 a) 569 373 , b) 2 694 699 729, 8 a) 0,12 , b) 10 2 , c) 3 000 , d) 0,19 , e) 2,5 , f) 0,1 , g) 1,25 , h) 12, ch) nemá řešení, 61 133 9 a) , b) 19 , c) – 2,89 , 225 200 10 a) 2 , b) 3 , c) 2 , d) 4 , e) a3 , f) a , g) a2 , h) nemá řešení , ch) 1 , 11 a) 16a4 + 10a + 5 , b) 2x3 – 8x2 + 4 , c) 1,3t2 , d) -24r2 + 4r , e) -17a2 + 11a , 12 a) 18a3b3 ; b) 2a9b b ≠ 0; c) 12a3b5c2; d) –43a-3 b2c2 a ≠ 0 ; e) 1,4a7bc-8 a ≠ 0 b ≠ 0 c ≠ 0 , f) 0,6c-8d2x-1 a ≠ 0 b ≠ 0 c ≠ 0 , g) 0,03x-1 y-3 x ≠ 0 y ≠ 0 , h) 0,08aa+7-2x b2x+2 , i) 5
0,6a 6 b -0,7x
1
11 2 12
3 20
7
a ≥ 0 b ≥ 0 , j) 3ab 12 a ≥ 0 b ≥ 0 , k) 3a
x≥0,
o) 2x
7 12
x≥0,
1
4 5
a ≥ 0 , l) 0,4x2y x ≥ 0 , m) 0,6x
4
1 2
p) 2 ,
1 , c) 0 , 3 14 a) ( a + r )8 , b) ( x – y )a+b , c) - ( a – 4 )10 = - ( 4 – a) 10 , d) ( 5 – x )7 = - ( x – 5 )7 , e) ( a + 1 )5 , f) – ( d + 4 )10 , g) ( 5x – 2 )4a-3 , h) 1 , 15 a) 7 , b) ( -5 )5 , c) ( -4 )-2 , d) a6 a ≠ 0 , e) –a a ≠ 0 , f) a-3 a ≠ 0 , g) a-3 a ≠ 0, h) a-7 a ≠ 0 , i) x6 x ≠ 0 , j) a-2 a ≠ 0 , k) a3 a ≠ 0 , l) x4 x ≠ 0 , 1 16 a) 6a2 a ≠ 0 , b) 5a a ≠ 0 , c) –5xy3b-5 x ≠ 0 b ≠ 0 , d) 0 a ≠ 0 , e) - x8 x ≠ 0 , 3 13 13 2 f) 4x11 x ≠ 0 , g) x x ≠ 0 , h) x-6 x ≠ 0 y ≠ 0 , i) 0,5 x10 x ≠ 0 , j) 2,5a7y5z-3 14 3 a≠0 x≠0 z≠0, 2 17 a) 0,5a2b7c a ≠ 0 b ≠ 0 c ≠ 0 , b) 16 a8b-3c a ≠ 0 b ≠ 0 c ≠ 0 , c) 0,25 x2 x ≠ 0 , 3
13 a) 27 , b) 5
1
7
1
d) 10aa+2x b2-3x a 0 b 0 , e) 15a 2 b 20 a > 0 b > 0 ,
8
f) 25 5 a
3
b4 a>0 b
0
x ≥ 0 , n)
8. ročník – 2. Mocniny a odmocniny
g)
1 3
4
a
1
a>0,
h) 0,1 x-1 y-1 x > 0 y ≠ 0 , i) 60x
3
1 2
x>0 ,
j) 7 4 x
1
x>0,
k) 0,5 12 k
1
k > 0 , l) 2 3 x 2 x > 0 , 18 a) ( a + r )2 a ≠ -r , b) ( x – y )a-b x ≠ y , c) –( a – 4 )-4 = -( 4 – a )-4 a ≠ 4 , d) ( 5 – x )-1 = - ( x – 5 )-1 x ≠ 5 , e) ( a + 1 )-1 a ≠ -1 , f) -1 d ≠ -4 , g) ( 5x – 2 )7-2a 2 5 x≠ , h) ( 6a- 5 )2x-14 a ≠ , i) 9a3.( v – 2b ) a ≠ 0 v ≠ 2b , 5 6 j) -4x7y-2.(2x + 1)2 x ≠ 0 , y ≠ 0 , k) -40x7 y3.( 2x + 1 ) x ≠ 0 , y ≠ 0 , x ≠ -0,5 , l) 0,25y2 -3 .( x – y ) y≠0, x≠y, 19 a) ( 3a – 4 )6 , b) ( m + 2a )7 , 1 20 a) 100 , b) 144 , c) , d) 4x6y2z-4 z ≠ 0 , e) -8x9y3z-6 z ≠ 0 , 144 4 2 64 9 256 12 f) 0,25x-6 y-2z4 x ≠ 0 , y ≠ 0 , z ≠ 0 , g) a , h) a i) a , 9 125 625 61 5 j) - 1 a-9 a ≠ 0 , k) 0,16a6b-4 b ≠ 0 , l) 15 a-9b6 a ≠ 0 b ≠ , m) ( x – 5 )-3 x ≠ 5 , n) 0,25.( a – 64 8 6 (a 2) 2 )2 a ≠ 2 , o) a ≠ -1 , p) ( x – y )12 . ( x + y )8 x ≠ y , (a 1)12 (a 1) 8 a ≠ -1 a ≠ 2 , s) ( x – y )-6 . ( x + y )-4 x ≠ -y , x ≠ y , ( a 2) 6 21 a) 1.108 + 2.107 + 4.106 +2.105 + 1.103 + 6.102 + 3 b) 5.1011 + 1.106 + 6.105 + 6.104 + 6.103 + 2 c) 2.106 + 4.10-1 + 5.10-2 + 8.10-3 22 a) 7 000 050 030,006 , b) 7 050 600,001 23 a) 2,1454 . 103 , b) 5.10-1 , c) 3,5421.103 , d) 1,111111.102 , e) 1,5, 24 a) 7,000050030006.109 , b) 7,050600001.106 .
r)
Výsledky souhrnných cvičení 1 a) 32 . 2-4 , b) 26 . 3-3, c) 25 . 3-2 , d) 239 . 345 , e) 59 . 2-7 . 3-1 2 a) an+6 b7-n a ≠ 0 b ≠ 0 , b) a5n-2 bn+1 a ≠ 0 b ≠ 0 , c) nelze sčítat , d) a2-n b5n-3 a ≠ 0 b ≠ 0 , 3 a) 2.103 + 1.102 + 4.10 + 5 + 4.10-1 , b) 5.10-1 , c) 3.103 + 5.102 + 4.10 + 3 + 1.10-1 , d) 1.102 + 1.10 + 1 + 1.10-1 + 1.10-2 + 1.10-3 + 1.10-4 e) 1 + 5.10-1 4 a) 1,24201603.108 , b) 5,00001666002.1011 , c) 2,000000458.106 , 5 a) 0,000225 , f) 0,000121 , k) 0,0001 ,
b) 19 600 000 000 , c) 0,0361 , g) 2 560 000 , h) 0,00000025 , l) 0,000027 ,
d) 3,24 e) 6 250 000 , i) 250 000 , j) 128 , 1 1 n) 1012 , o) , p) , 16 27.10 6
m) 3 200 000 ,
1 78 1 , s) 82 , t) , 16 8 121 64 61 36 36 6 a) , b) 1 , c) , d) , 125 125 49 49 6 25 h) -3 , ch) , i) 2 , j) 4 , 25 81 22 n) 2 , o) 37 . 2-8 , p) 0 , r) 1 , 25
r) 39
13 , 36 125 k) , 729
e) -1
s) -1 , 9
f)
25 , 81
l) 29 ,
g) -
25 , 81
m) -2 ,
8. ročník – 2. Mocniny a odmocniny
7 a) 0,011 , b) 2 000 , h) nejde , i) 1 , 8 a) c2d5 c ≥ 0
c) 0,1. 250 ,
d) 0,15 , e) 2, 1
d ≥ 0 , b) x3 y-2 x ≥ 0 y > 0 ,
1
c) 10x 2 y2z
f) 1 , 2
g) 0,125 ,
1 2
x≥0 y≥0 z≥0 , 1 d) 0 x ≥ 0 , e) 5a a > 0 , f) 2a 0 x ≥ 0 , g) 4a2 0 a ≥ 0 , h) 0,75 ch) 1 , 3 5 4 3 2 5 4 3 2 9 a) 12x – 6x + 5x –2x - 0,8x + 13 , b) 7,4x – 2x – 2x – 4x – 0,74x + 7 , c) 1,77x5 – 7,4x4 + 0,6x3 – 3,302x2 + 6,6 , d) 2,7x7 – 3,3x6 + 2,77x5 – 7,5x4 + 26,7x3 – - 13,52x2 – 10,74x + 16 , e) 8,6( x + y )2 – 3,9( x – y )2 10 a) 127 , b) (-5)9 , c) -0,25 , d) 2a10 , e) 4a6 , f) -400a7 , g) 4,2a3b4c-5 a ≠ 0 b ≠ 0 c ≠ 0 , h) 6a-2b-8c-7d-1x a ≠ 0 b ≠ 0 c ≠ 0 d ≠ 0 , ch) 6x2y-3 x ≠ 0 y ≠ 0 , a+7-2x 3x+2
i) 0,2x
y
x ≠ 0 , j) -0,08 a b b 6
5
20
3
1 30
a ≥ 0 b ≥ 0 , k) 3h j
1
11 20
h >0 j ≥ 0 ,
3 3 4
l) 15a a ≥ 0 , m) 0,2x6y x x ≥ 0 , n) -0,2x2 12 x11 x > 0 , 11 a) ( 2a + 4r )11 , b) ( y – x )a+2 , c) 1 , d) ( x – 5 )5n-1 , e) ( a + 1 )5n+1 , f) ( d + 4 )x+6 , 12 a) 12 , b) -5 , c) ( -4 )5 , d) 5a6 a ≠ 0 , e) 4a2 a ≠ 0 , f) –a-3 a ≠ 0 , g) 11a2 a ≠ 0 ,
h) 5a7y5z-3 a ≠ 0 x ≠ 0 z ≠ 0 ,
ch) 750 10 a
1 5
b 3 a >0 b >0 ,
i) 625 5 a 6 b a >0 b >0 , 13 a) ( 2a + 4r )-1 a ≠ -2r , b) –( y – x )a-3 y ≠ x c) ( 2a – b )6 b ≠ -2a , d) ( 5 – x )1-3n x ≠ 5 , e) ( a + 1 )-n-7 a ≠ -1 , f) ( d + 4 )9x-4 d ≠ -4 , 24 -24 4 2a -6 14 a) 2 , b) 2 , c) 16x y z z ≠ 0 , d) ( x – 5 )4.( y – 3 )4 y ≠ 3 , -15 6 e) ( x – 5 ) .( y - 3 ) x ≠ 5 y ≠ 3 , f) 0,04( x + 2 )2 x ≠ -2 , 15 a) 152 – 327 , b) 63.8 , c) ( 36 : 4 ) . ( 36 + 4 ) , d) ( 846 + 52 ) – ( 426 : 6 ) , 2a 1 , 16 a) y – 5 , b) ( x : 5 ) + 0,5 , c) 4p : 2 , d) 5 17 a) 10 , b) x5 7 x4 2 x3 5x 8 , c) 7 x6 x5 5x4 4 x 3 , 18a) 5y – 8 , b) 2r 4 15r 3 14r 2 44r 31 , 19 a)
24
a17 a ≥ 0
10
