2.7.13
Mocniny s racionálním mocnitelem
Předpoklady: 2711, 2712 Racionální číslo - číslo, které je možné zapsat zlomkem. Co už umíme s mocninami? Víme, co znamená: • 23 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 1 1 • 2 −2 = 2 = 2 2⋅2 2
•
Ale co znamená 2 3 ?
Porovnáme pravidla pro počítání s mocninami a odmocninami:
( ab )
ab = a ⋅ b
= a nbn
n
an a = bn b
a a = b b m n
n
(( a ) )
r s
a = mn a
= a sr
Odmocniny a mocniny se chovají stejně a to určitě nebude samo sebou! Nejsou odmocniny speciálním typem mocnin?
Pedagogická poznámka: Studenty vyzvu, aby sami vymysleli, jakým racionálním číslem by 1 bylo možné zapsat 2 . Je zajímavé, že se vždy objeví pár návrhů na a téměř 2 nic jiného. Bohužel většinou jde pouze o návrhy bez pořádného zdůvodnění. Snažíme se poté diskutovat, jaké dobré důvody existují pro nahrazení odmocniny mocninou na jednu polovinu. Zkusíme zjistit, jaký exponent by byla druhá odmocnina: 2 = 2 p použijeme
( 2 ) = (2 ) 2
p 2
( 2)
2
= 21 .
= 21
2 2 p = 21 2p =1 1 1 p= ⇒ Možná platí: 2 = ( 2 ) 2 . 2 Zkusíme, zda funguje upravování odmocnin.
Př. 1:
Spočti:
( 2)
3
a
28 do dvou sloupců, jednak klasicky pomocí vzorců pro úpravy 1
odmocnin a jednak nahrazením
( ) = ( )2
Úprava pomocí vzorců pro odmocniny.
a použitím vzorců pro úpravy mocnin.
Úprava pomocí vzorců pro mocniny
1
1
( ) = ( ) 2 ).
(používáme
( 2)
3
3
3 1 1 1+ 12 1 2 2 2 2 = 2 = 2 = 2 2 =2 2
= 2 = 2 ⋅2 = 2 ⋅ 2 = 2 2 3
2
2
(2 )
4 2
28 =
= 24
1
28 = ( 28 ) 2 = 2
( )
U všech předchozích výpočtů bychom místo
8⋅
1 2
= 24
1
mohli psát (
) 2 . Zdá se, že pro druhou
1 2
odmocninu platí: a = a . Jak je to se třetí odmocninou? Navrhni nahrazení třetí odmocniny mocninou.
Př. 2:
(
(
a = a p použijeme
3
3
) = (a ) 3
a
p 3
a3 p = a1 3p =1 1 p= ⇒ 3
3
3
a
)
3
=a.
= a1
1
a = ( a)3
Podobně jako v příkladu 1 ověř, že je možné třetí odmocninu nahradit racionálním mocnitelem.
Př. 3:
Zkoušíme
3
1
a = ( a)3 . Úprava pomocí vzorců pro mocniny
Úprava pomocí vzorců pro odmocniny.
( a) 3
7
1
(používáme
( a) 3
= 3 a7 = 3 a6 ⋅ a = 3 a6 3 a = a 2 3 a
( a) 3
12
=
3
(a )
4 3
3
( ) = ( ) 3 ).
7
7
7 1 1 2+ 1 = a 3 = a 3 = a 3 = a2 a 3 = a2 3 a
( a)
= a4
3
12
12
12 1 = a 3 = a 3 = a4
Pedagogická poznámka: Počáteční část hodiny je možné poměrně snadno urychlit i zpomalit. Většinou u příkladu nečekám, až ho udělají všichni, a nechám ho vypracovat pouze těm nejrychlejším, ostatní se něj jenom podívají. 1
Nápad funguje i pro
3
Vysvětluje se vzorec:
a = a 3 ⇒ zřejmě platí: np
a
mp
= a . n
a = an , np
m
( a
2
m
1
n
mp
n
am = a n .
=a
mp np
m n
= a = n am )
Pedagogická poznámka: Rozdíly ve způsobu vnímaní matematiky ukazuje moje neúspěšná mp
m
snaha přesvědčit jednu studentku o tom, že postup a mp = a np = a n = n a m ukazuje „krácení v odmocninách“ lépe než jenom uvedení vzorce ve větě z minulé hodiny. np
Naše úvahy nejsou matematicky dostatečně průkazné, ale jiní to dokázali za nás platí: 1
Pro každé kladné reálné číslo a, pro každé přirozené číslo n platí:
n
a = an .
Pro každé kladné reálné číslo a, pro každé celé číslo m, pro každé přirozené m
číslo n platí: Př. 4:
Zapiš pomocí racionálního mocnitele: 7
a) 3
b)
6
a
b)
6
a3 = a 6 = a 2
7
3 = 37 6
1 d) 4 = a
3
c) 3
1
a)
am = a n .
n
1
( ) 4
a
6
=
( a) 4
−6
=a
−
6 4
5
a
1 d) 4 a
−6
1
=a
−
c)
5
a −6 = a
−
6
6 5
3 2
Pedagogická poznámka: Problémy se vyskytují prakticky jenom v posledním bodě d), kde se snažím trvat na starém „nemusíte dělat všechno na jednou, po malých správných krocích se musíte dostat až k výsledku. Většinou si ukazujeme, že právě u bodu d) správných cest existuje více. Následkem předchozích definic se pravidla pro počítání s odmocninami sloučí s pravidly pro počítání s mocninami
Pro všechna kladná reálná čísla a,b a pro všechna racionální čísla r,s platí: r
r a a = r b b
( ar ) = ar s s
a a =a r
s
(a b)
r
= a r br
ar = ar −s s a
r +s
Pedagogická poznámka: Studenti se s racionálními mocniteli sžívají pro mě až překvapivě snadno a následující příklady jim nedělají v podstatě žádné potíže. V případě bezradnosti stačí odkázat na rámeček se vzorci.
3
Př. 5:
Zjednoduš výrazy: 2
9
2 3
a) a ⋅ a
2 3
4 3
a) a ⋅ a = a
c)
a a
2 3 1 2
=a
c)
2
a3 a
d)
1 2
a ⋅ a3 a
−
1 3
9
2+4 3
2 1 − 3 2
4 2 b) a 3
4 3
9⋅4 36 4 2 b) a 3 = a 2⋅3 = a 6 = a 6
6 3
= a = a2
=a
4−3 6
1 6
=a = 6 a
a⋅a
d)
a
−
2 3
1 3
=a
2 1 1+ − − 3 3
= a2
Pedagogická poznámka: U následujících příkladů se někteří vzpírají a chtějí k úpravám nadále používat odmocniny. Z cvičných důvodů trvám na použití racionálních mocnin s tím, že později si samozřejmě mohou vybrat. Částečně odmocni převedením na racionálního mocnitele
Př. 6: 6
a =a 15
15 6
5 2
=a =a
a)
12
1 2
= a ⋅ a = a2 a 2
218
18
12
1 2
a15 .
Zjednoduš následující výrazy převedením na racionálního mocnitele.
Př. 7:
a)
2+
6
b) 3
1+
218 = 212 = 2 2 = 2
1 2
4
1
=2 2
4
b)
1
2
1
4 = 4 4 = ( 22 ) 4 = 2 4 = 2 2 = 2
1
1
c) 3 a a10
c) 3 a a10
4
6 10 3 1 3 1 1 10 2 5 3 6 3 2 = a ( a ) = a ⋅ a = ( a ⋅ a ) = ( a ) = a 3 = a2
Vyjádři součin pomocí jediné odmocniny převedením na racionálního mocnitele.
Př. 8:
a) 3 ⋅ 3 9 1
1
1
1
1
2
1 2 + 3
a) 3 ⋅ 3 9 = 3 2 ⋅ 9 3 = 3 2 ⋅ ( 32 ) 3 = 32 ⋅ 3 3 = 3 2 1 2
1 4
10 + 5+ 8 20
2 5
b)
3 ⋅ 3 ⋅ 9 = 3 ⋅3 ⋅3 = 3
c)
a ⋅ 3 a2 ⋅ 6 a5 = a 2 ⋅ a 3 ⋅ a 6 = a 2
4
5
1
2
5
c) a ⋅ 3 a 2 ⋅ 6 a 5 .
3⋅ 4 3⋅ 5 9
b)
=3
3+ 4 6
7
= 36 = 3 ⋅ 6 3
23 20
= 3 = 3 ⋅ 20 33
1 2 5 + + 3 6
=a
3+ 4 + 5 6
12
= a 6 = a2
Pedagogická poznámka: Další příklady následují v první polovině příští hodiny.
4
Př. 9:
Petáková: strana 63/cvičení 49 strana 63/cvičení 50 strana 63/cvičení 51 strana 63/cvičení 42
e) h) i) e) b) c) f) c) f)
Shrnutí: Odmocniny můžeme nahradit mocninami s racionálním mocnitelem.
5
