Matematika 9. ročník 1. sada (Mocniny, mnohočleny, rovnice)

Vladislav Kučera, ZŠ Volyně

9.. třída

VY_32_INOVACE_00_titulní list

Základní škola Volyně Učební materiál - pracovní listy

Matematika 9. ročník 1. sada (Mocniny, mnohočleny, rovnice) zpracovaný v rámci šablony III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT 1.4 Zlepšení podmínek pro vzdělávání na základních školách v rámci operačního programu Vzdělávání pro konkurenceschopnost

Zpracoval: Vladislav Kučera 2011–2012

! " # #

!" # $ $

% & '() *

)+

,

(

% &'() *+ "' # , -. # / . " 3 . 4" 1 . # , $ " ". ' / 2 " / % /. ( ) & 1. 2 # # # % ) . 2 & .) 7 ' #

& )

'- -# .,

-

(' #

-

/.

%

% (

13 2 " ,

9

2 6 #

0# 1 & % " 2 % . ( . ' / 5 . 1) . . $' / 3 / 4 # . 3 &4 . & /. ) 1/6 ". 3 ./ " 4 ' 2 ( ( " # 1 ( " # 2 2 & 3 & 4 1 % 1#/ 1 . / 2 1 . 1# . (8 , (2 6 %

1

/ 0 & !'(0

/.

(3

,

.

(4 %

+ "

+

2 6

)

%

.

.

12

2 &

'.2 :;; 8

:;

Seznam DUM 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23

VY_32_INOVACE_M9 VY_32_INOVACE_M9 VY_32_INOVACE_M9 VY_32_INOVACE_M9 VY_32_INOVACE_M9 VY_32_INOVACE_M9 VY_32_INOVACE_M9 VY_32_INOVACE_M9 VY_32_INOVACE_M9 VY_32_INOVACE_M9 VY_32_INOVACE_M9 VY_32_INOVACE_M9 VY_32_INOVACE_M9 VY_32_INOVACE_M9 VY_32_INOVACE_M9 VY_32_INOVACE_M9 VY_32_INOVACE_M9 VY_32_INOVACE_M9 VY_32_INOVACE_M9 VY_32_INOVACE_M9 VY_32_INOVACE_M9 VY_32_INOVACE_M9 VY_32_INOVACE_M9

01-Opakování výrazů a mocnin 02-Podmínky platnosti zlomků 03-Společný násobek 04-Rozložte dané výrazy na součin 05-Krácení LV 06-Rozšiřování LV 07-Sčítání LV 08-Odčítání LV 09-Sčítání a odčítání LV 10-Násobení LV 11-Dělení LV 12-Složený zlomek 13-Rovnice-opakování 14-Rovnice-zajímavé úlohy 15-Rovnice s neznám ve jmenovateli 16-Rovnice pro zvídavé žáky 17-Úlohy o pohybu 1 18-Úlohy o pohybu 2 19-Úlohy o pohybu 3 20-Úlohy o práci 21-Úlohy o směsích _1_ 22-Úlohy o směsích _2_ 23-Rovnice v dějinách M

Vladislav Ku era, ZŠ Volyn

9. t ída VY_32_INOVACE_M901_opakování mocnin Informa ní a komunika ní technologie

PL . 1 - Opakování výraz a mocnin

!

"

) *

# $ %

&

'

%$(

+

, −5 xy 2x2 y3 .

/ !(

0

1

5 6

"+

7 # 8

2

2

2

2 (

"+

0

2"

"

2"

%

" "+ 9 9 ! " ) $% & % '(&) * +$ % ) - % .9 , .(&! / ) $% & %&.0&) % '(&) * +$ % - -0$2/ 2 ) % $%) $%&$ % 9 $%&$ %

(

% (

$ 6 # , # 1 #

34

:

8

0

2



+ 1. 2. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.

-4; 17; 0; 9; 2,557.106; 10-2;10-6;8.10-1; 2,321.10; 508 000; 1570; 0,0002; 0,304; 0,000074 25 x 2 y 2 25 32x15 ; a 2b10 ; = 2 4; 4 6 4x y 4x y 5 5 9 2 36 xy ; −20 x ; −2a b ; 29 x + y − 6 z ; 17 x + 22 y − 12 xy ; 6ab − 2ac 2 ; −10 x3 y + 40 xz ; 9a 2 − 25b 2 x − 3 ; 5 + 5.3 ;

5x k + 3 ; + 5m ; m 2 − n 2 ; (12 + x).( w + 9) 4y 4



Metodický list 1 – VY_32_INOVACE_M901_opakování mocnin Pracovní list Zopakovat výpo ty z u iva o mocninách, sestavování výraz a po etní Cíl úkony s mnoho leny (kalkula ka) Pom cky 20 minut + domácí úkol asová náro nost V tšinou první p íklad z každé úlohy vypo te u itel i dobrý žák pod jeho vedením. Druhá úloha se prování jen s dobrými žáky. Didaktické poznámky Typ DUM

Anotace

Druhá mocnina, t etí mocnina, výrazy, mnoho leny


9. t ída VY_32_INOVACE_M902_podmínky platnosti Informa ní a komunika ní technologie

PL . 2 - Podmínky platnosti zlomk

!"# 1.

4 x

2.

12 x2

3.

x −3 x+2

4.

5.

3x

( x + 3)

2

6 + 3a

( a + 4)

2

6.

x2 + 2 2x + 1

7.

x +1 12 − 6 x

8.

x +1 x2 − x

9.

a −5 a −b

10.

x −5 x − 2 xy

11.

1− x x2 − 1

12.

y−x u 2 − v2

13.

x −5 2x − 4 x2

14.

x−2 x − x3

2

$

% &

'

&

(

#%


15.

9 8 x − 18

16.

3b − 1 b ( b − 3)

17.

x+4 2 x( x − 3)( x + 2)

18.

a −b a2 − b2

19.

2 x + 4x + 4

20.

x ( x + 3) x + 10 x + 25

21.

2

2

2

a ( a − 6) 2

a − 12a + 36

22.

x2 25 x3 − 100 x 2 + 100 x

23.

ax − xy ax3 − axy 2

24.

8 x 2 − 32 2 − 2x 3x − 6 x2 − x



1.

x≠0

2.

x≠0

3.

x ≠ −2

4.

x ≠ −3

5.

x ≠ −4

6.

x≠−

7.

x≠2

8.

x ≠ 0; x ≠1

9.

a≠b

1 2

10.

x ≠ 0 ; x ≠ 2y

11.

x ≠ ±1

12.

u ≠ ±v

13.

x ≠ 0; x ≠

14.

x ≠ 0 ; x ≠ ±1

15.

x≠±

16.

x ≠ 0;x ≠3

17.

x ≠ 0 ; x ≠ 3 ; x ≠ −2

18.

a ≠ ±b

19.

x ≠ −2

20.

x ≠ −5

21.

x≠6

22.

x ≠ 0;x ≠ 2

23.

a ≠ 0; x ≠ 0 ; x ≠ ±y

24.

x ≠ 0 ; x ≠ 1; x ≠ 2

1 2

3 2




Metodický list 2 – VY_32_INOVACE_M902_podmínky platnosti zlomk Pracovní list Typ DUM Nau it se ur ovat podmínky platnosti zlomk Cíl (kalkula ka) Pom cky 45 min + domácí úkol asová náro nost Sestava p íklad se se azena dle stupn obtížnosti od t ch nejednodušších ke složit jším. Uplatní se tu i „rozkladné vzorce“ a Didaktické vytýkání, na konec i složený zlomek, který má podmínek více. poznámky Anotace

Vzorce (a ± b)2, vytýkání p ed závorku


9. t ída VY_32_INOVACE_M903_nejmenší spol násobek Informa ní a komunika ní technologie

PL .3 - Nejmenší spole ný násobek výraz

! "

#

!

$ "

1.

2 x, 3 x

2.

x, y

3.

xy, yz

4.

8b, b 2 , 2b 2

5.

2 x + 6, x + 3

6.

x + 1, x − 1

7.

x + 1, x − 2

8.

x − 1,1 − x

9.

x 2 + x, xy − y 2

, x +1

2

, x2 − 1

10.

( x + 1)

11.

( x − 1)

12.

x + 1, x 2 − 1

13.

x + 1, x − 1, x 2 − 1

14.

x − 2, 4 − x 2

15.

2a − 2, 2a + 2,1 − a 2

16.

x 2 − 64, x 2 − 8 x

17.

4b − a, a 2 − 8ab + 16b 2

&

"

#

" % " $

&

! "

!



1.

6x

2.

xy

3.

xyz

4.

8b 2

5.

2x + 6

6.

x2 −1

7.

( x + 1)( x − 2) = x 2 − x − 2

8.

x − 1 nebo 1 − x

9.

xy ( x + 1)( x + 1) = x 3 y − xy

10.

( x + 1) 2

11.

( x + 1) 2 ( x − 1) = x 3 − x 2 − x + 1

12.

x2 −1

13.

x2 −1

14.

4 − x2

15.

2(a 2 − 1)

16.

x( x + 8)( x − 8) = x 3 − 64 x

17.

a (a − 4b) 2



Metodický list 3 – VY_32_INOVACE_M903_nejmenší spole ný násobek výraz Pracovní list Typ DUM Procvi it urování nejmenšího spole ného násobku výraz s Cíl prom nnou --Pom cky 20 min + domácí úkol asová náro nost Sestava p íklad se se azena dle stupn obtížnosti od t ch nejednodušších ke složit jším. P íklady jsou rozd leny do skupin, tak, Didaktické aby b hem kratšího asu mohly být vypo teny všechny.. poznámky Anotace

Rozklad dle vzorc (a ± b)2, atd.a vytýkání p ed závorku


9. t ída Informa ní a komunika ní technologie

PL . 4 - Rozklad daných výraz na sou in

#

! " ! % " &

$

1.

3x + 6 =

2.

3x + 6 y =

3.

xy − yz =

4.

16 x 2 − 8 x =

5.

x 3 − 9 xy 2 =

6.

3x3 − 8 x 2 + 6 x =

7.

15 x5 − 5 x 4 + 20 x 3 =

8.

20 x 3 y 5 + 40 x 4 y 5 − 60 x3 y 4 =

! 1. 2.

"

#

( x + 1) = ( y − 1) =

4.

(−x (−x

1.

n ( k + 2) + m ( k + 2) =

2.

2a ( y + 3) − b ( y + 3) =

3.

x ( y + 1) + y + 1 =

4.

a ( y − 2 ) + 3b ( 2 − y ) =

5.

y ( − a − 1) + z ( a + 1) =

6.

a ( b − 5) + 5 − b =

7.

( x + 2 )( y − 2 ) + ( 2 − x )( y − 2 ) = ( x + 4 )( y − 3) + ( x − 5)( 3 − y ) =

3.

2

− 3) =

2

+ 2 x − 5) =

$

8.

&

VY_32_INOVACE_M904_ rozklad




% 1.

2 x + 2 y + ay + ax =

2.

ay − yb + 3a − 3b =

3.

xy + yz + vx + vz =

&

' 1.

49 − r 2 =

2.

a 2 − 16b 2 =

3.

x 2 − 8 x + 16 y 2 =

(

' 1.

a 3 − 16ab 2 =

2.

2 y3 − 8 y =

3.

20a 2b3c 2 − 5a 4bc2 =

)

*

*

+ 1.

100 − x 2 =

2.

14ab − 21ac =

3.

x 2 − 12 x + 36 =

4.

x ( 3 y + 8) − ( 3 y + 8) =

5.

45 xy 2 z 3 − 15 x 2 yz 2 + 30 x 3 y 3 z 2

6.

90 x 3 y 3 + 150 x 4 y 5 − 120 x 2 y 4 =

'

'




! 3( x + 2) 3( x + 2 y )

$ + 4( y − 2) $ , 9( y − 3)

$ y( x − z )

%

( x + y )(a + 2)

% 8 x(2 x − 1)

%

(a − b)( y + 3)

& x( x + 3 y )( x − 3 y )

% $ ( x + z )(v + y )

( x(3 x 2 − 8 x + 6)

&

+ 5 x 3 ( x 2 − x + 4)

&

, 20 x 3 y 4 ( y − 2 xy − 3)

& $ nejde rozložit

− x −1 − (1 − y )

$ − ( x 2 + 3) % − ( x 2 − 2 x + 5) $

(k + 2)(m + n)

$

( y + 3)(2a − b)

( (

(7 + r )(7 − r ) (a + 4b)(a − 4b)

a (a + 4b)(a − 4b) 2 y ( y + 2)( y − 2)

( $ 5a 2 bc 2 (2b + a )(2b − a ) +

(10 + x)(10 − x)

+

7 a (2b − 3c)

+ $ ( x − 6) 2

$ $ ( y + 1)( x + 1)

+ % (3 y + z )( x − 1)

$ % ( y − 2)(a − 3b)

+ & 15 xyz 2 (3 yz − x + 2 x 2 y 2 )

$ & (a + 1)( z − y )

+ ( 30 x 2 y 3 (3 x + 5 x 2 y 2 − 4 y )

$ ( (b − 5)(a − 1)




Metodický list 4 – VY_32_INOVACE_M904_rozklad Pracovní list Typ DUM Nau it se a procvi it si rozklad pomocí vzorc , vytýkáním a Cíl kombinovan . --Pom cky 30 min + domácí úkol asová náro nost Sestava p íklad se se azena dle stupn obtížnosti od t ch nejjednodušších ke složit jším. P íklady je možné po ítat ve dvou skupinách (1. skupina –1. p íklad, 2. skupina – 2. p íklad, 3. p íklad Didaktické lze zadat postupn ve dvou domácích úlohách). Žák dop edu ví, podle poznámky eho bude rozklad provád t a až v posledním p íkladu musí na to p ijít sám. Žák, který si myslí, že toto u ivo zvládá, m že 7. úlohu dostat vypo ítat na známku. Rozklad dle vzorc (a ± b)2, atd.a vytýkání p ed závorku Anotace



VY_32_INOVACE_M905_krácení LV

PL . 5 - Krácení lomených výraz !

"

! !

# ! $ % !% &

"

x2 = 2x

7.

mn − m = m

2.

12 xy = 6x2

8.

25a 2 − 30a = 50a

3.

36ab = 24a 2b

9.

m 2 n − mn 2 = 2mn

4.

( x − 4 )( x − 4 ) =

10.

3x 2 − 12 y 2 = 3x − 6 y

6.

2.

'(

$

1.

5.

1.

!

x−4

( x − 2)

2

x−2

=

5x ( x + 2) 25 x

( 2 y + 5)

4 y 2 − 25 =

12.

4.

=

a 2 − 6ab + 9b 2 = a 2 − 9b 2

5 − 20 y 2 = 10 − 20 y

5.

27 x 2 − 12 = 18 x + 12

6.

b 2 − 6ab + 9a 2 = 2b 2 − 18a 2

xy 2 + 3 y = y3

7.

b 2 − ab = a 2 − b2

5b3 − ab 2 = b4

8.

x 2 − xy = y 2 − x2

4 x 2 − 4 xy + y 2 = 8x2 − 2 y 2

4

3.

2


!


:

"

x 2

1+ 2y 2

2y x

3x − 2 2

3 2a

"

# x−4 $ x−2 %

x+2 5

& n −1 ' (

5a − 6 10 m−n 2

) x + 2y 2y + 5 2y − 5

a − 3b a + 3b

x + 3y 2 y

#

5b − a b2

$

2x − y 4x + 2 y

%

b − 3a 2b + 6a

& −

b a+b

' −

x x+ y





Metodický list 5 – VY_32_INOVACE_M905_krácení Pracovní list Typ DUM Nau it se a procvi it si krácení lomených výraz Cíl --Pom cky 45 min asová náro nost Sestava p íklad se se azena dle stupn obtížnosti od t ch nejjednodušších ke složit jším. 1. úlohu d lají žáci na tabuli a Didaktické samosatn do sešit . 2. úloha je ur ena následn v další hodin ke poznámky zkoušení. Krácení, rozklad dle vzorc (a ± b)2, atd.a vytýkání p ed závorku Anotace


9. t ída VY_32_INOVACE_M906_rozši ování LV Informa ní a komunika ní technologie

PL . 6 – Rozši ování lomených výraz

! #

%$"

&

'

'

5.

2x + 3 x3

( 3x )

4x ( −1) 2 − 3x

6.

x x−4

( x + 4)

3.

1 7p

( p)

7.

2− x 2+ x

( x − 2)

4.

−7 p − 3 ( −3 p ) 5p

8.

p+q ( p + q) p−q

1.

3 = 2 x 8x

5.

x = 2 x + 5 4 x 2 − 25

2.

2x = 5b 5ab

6.

x +1 = 1 − x x −1

10.

−9 x 2 3x = 12 y 2

3.

8x = 3 y 33 y 4

7.

2 xy = 2 x + 3 ( 2 x + 3)2

11.

8x 56 x = x+3

4.

x = 2 x + 5 6 x + 15

8.

x −1 = x + 1 x2 + 2x +1

12.

x − y x2 − y 2 = x+ y

1.

5 8x

2.

(5)

!

"

1.

1 x 2 , , 2x x + 2 2x − 4

2.

5 8 − 4c 6 , , x x(5 − c) 7

# # $#

2

9.

$

5 y 15 y 2 = 3x


%


"

p 21 p 2 + 9 p 25 − 4x 1.1. ; 1.2. ; 1.3. ; 1.4. ; 40 x 3x − 2 7 p2 − 15 p 2

1.5.

6x3 + 9x 2 x 2 − 4x x 2 − 4x + 4 p 2 + 2 pq + q 2 ; 1.6. ; 1.7. ; 1.8. ; 3x 5 x 2 − 16 4 − x2 p2 − q2

2.1. 12 ; 2.2. 2ax ; 2.3. 88xy 3 ; 2.4. 3 x ; 2.5. 2 x 2 − 5 x ; 2.6. − x − 1 ; 2.7. 4 x 2 y + 6 xy ; 2.8. x 2 − 1 ; 2.9. 9 xy ; 2.10. − 36xy 2 ; 2.11. 7 x + 21 ; 2.12. x + 2 xy + y 2 x 2 − 4 2x3 − 4x 2 x2 − 4 3.1. ; ; 2 x 3 − 8x 2 x 3 − 8x 2 x 3 − 8x

3.2.

175 − 35c 56 − 28c 30 x − 7 xc ; ; 35 x − 7 xc 35 x − 7 xc 35 x − 7 xc



Metodický list 6 – VY_32_INOVACE_M906_rozši ování Pracovní list Typ DUM Nau it se a procvi it si rozši ování lomených výraz Cíl --Pom cky 45 min asová náro nost Sestava p íklad se se azena dle stupn obtížnosti od t ch nejjednodušších ke složit jším. Pracovní list obsahuje 3 typy úloh: 1. typ – je dán rozši ující initel, druhý typ – p edem známý itatel i Didaktické jmenovatel a u 3. typu se p evádí na spole ný jmenovatel n kolik poznámky zlomk . Pracovnímu listu m že p edcházet zopakování rozši ování íselných zlomk . Rozši ování, rozklad dle vzorc (a ± b)2, atd.a vytýkání p ed závorku Anotace



VY_32_INOVACE_M907_s ítání LV

PL . 7 - S ítání lomených výraz

! $

%&

1.

2c 5c + = b b

2.

5− y 2y + = x x

3.

x − 2 3+ x + = y y

4.

x +1 2 + x + = y 2y

5.

3y 5y + = 2 x 3x

6.

x y + = y x

7.

1 y + = xy x

8.

x y z + + = yz xz xy

9.

3 y + x2 x

10.

1.

8.

" #

'

p2 7 − p2 + = q−7 q

3x + 4 x2 + y2 7c 5+ y 2x + 1 19 y 1+ y 2 ; 2. ; 3. ; 4. ; 5. ; 6. ; 7. ; b x y 2y 6x xy xy

x2 + y2 + z2 7 p 2 + 7 q − 49 3 + y2 ; 9. ; 10. xyz x2 q 2 − 7q



VY_32_INOVACE_M907_s ítání LV

Metodický list 7– VY_32_INOVACE_M907_s ítání lomených výraz Pracovní list Typ DUM Nau it se a procvi it si jednoduché s ítání lomených výraz Cíl --Pom cky 20 min asová náro nost Sestava p íklad se se azena dle stupn obtížnosti od t ch nejjednodušších ke složit jším. V tšina p íklad se dát (alespo ) Didaktické s dobrými žáky po ítat zpam ti. poznámky Anotace

S ítání LV



VY_32_INOVACE_M908_od ítání LV

PL . 8 - Od ítání lomených výraz

! $

%&

" #

'

1.

x − 2 3+ x − = y y

11.

2.

2y 1 − = y−2 y−2

12.

3.

x y − = 2 y 2x

4.

x 3x − = y2 2 y

5.

3x y 2 x − − = 5 x y

x

( x + 1)

2

−

2 = x −1 2

5x x +8 − 2 = x − 64 x − 8 x 2

6.

a +3 a −3 − = 3 a −3

1.

5 2y −1 x2 − y2 ; 3. − ; 2. ; y y−2 2 xy

7.

5x + 2 x − 3 − = x + 3 3x + 9

4.

2 x − 3 xy 3x 2 y − 5 y 2 − 10 x 2 ; 5. ; 5 xy 2y2

8.

x + 1 x −1 − = x −1 x + 1

6. −

9.

x −1 x + 2 − = x + 1 x2 − 1

9.

2

10.

x+2 x−2 − 2 = 2x − 4 x − 4

11.

2a 2 14 x + 9 4x ; 7. ; 8. 2 ; 3a − 9 3x + 9 x −1 x 2 − 3x − 1 x2 + x + 6 ; 10. ; x2 −1 2x 2 − 8 x 2 − 3x − 2 4 x 2 − 16 x − 64 ;12. x3 + x2 − x + 1 x 3 − 64 x



VY_32_INOVACE_M908_od ítání LV

Metodický list 8 – VY_32_INOVACE_M908_od ítání lomených výraz Pracovní list Typ DUM Nau it se a procvi it si od ítání lomených výraz Cíl --Pom cky 45 min asová náro nost Sestava p íklad se se azena dle stupn obtížnosti od t ch nejjednodušších (výsledek ur en zpam ti) ke složit jším. P íklady je Didaktické možno rozd lit do skupin po 4 p íkladech, nap .2.,5.,8.,11. poznámky Anotace

Od ítání LV


9. t ída VY_32_INOVACE_M909_s ítání a od ítání LV Informa ní a komunika ní technologie

PL . 9 - S ítání a od ítání lomených výraz

1.

3x + 2 1 − 2 x − = 9 15

2.

x−2 x+2 − = x+2 x−2

3.

x 1 1 + − 2 = x +1 1− x x −1

4.

2y +1 1 − 2 = 2 y − 2y y − 4

5.

a−b c−b a+c − + = ab cb ac

6.

3ab − 2a 2 4a 3 − 6b 2 + 3ab 6a 2 − ab − + = 6b 2 9a 2 b 18b 2

7.

a+2 2 a−3 + − 2 = 1 − 3a a 9a − 1

8.

1 1 3m + − 2 = 6 m − 9n 6 m + 9 n 9 n − 4 m 2

:

1.

21x + 7 8x 2 + 2 x − x2 2 y2 + 4 y + 2 2 2b − a ; 2. − 2 ; 3. ; 4. ; 5. ; 6. ; 2 3 45 x −4 1− x y − 4y c 3a 2

7.

3a 3 − 10a 2 − a + 2 13m ; 8. 3 a − 9a 12m2 − 27 n 2


9. t ída VY_32_INOVACE_M909_s ítání a od ítání LV Informa ní a komunika ní technologie

Metodický list 9 – VY_32_INOVACE_M909_s ítání a od ítání LV Pracovní list Typ DUM Procvi it s ítání a od ítání lomených výraz v rámci domácí úlohy. Cíl --Pom cky 45 min asová náro nost Sestava p íklad se se azena dle stupn obtížnosti od t ch nejjednodušších (výsledek ur en zpam ti) ke složit jším. Sestava 8 Didaktické p íklad je ur ena na dvoudenní domácí cvi ení. poznámky Anotace

S ítání LV, od ítání LV


9. t ída VY_32_INOVACE_M910_násobení LV Informa ní a komunika ní technologie

PL . 10 - Násobení lomených výraz

!"

#

1.

x x . = y y

2.

x y . = y x

3.

8a 3 = . 3 4a

4.

4 .8 x 2 = 2x

5.

12 x x − 3 = . 3 x

6.

2x + 1 5 . = 15 2 + 4 x

7.

ab + ac ab − ac = . bd − cd bd + cd

8.

x+ y y+4 . = − y−4 5

9.

x2 − x 6 . = 2x + 2 x 2 −1

10.

a2 − b2 3a 2 = . − 4a − 4b a2 + b2

11.

a + 1 a − 1 ab + 3b 2(a − 1) . . . = 3b 9 − a 2 a 2 − 1 2a − 2

12.

$

( x + 1) 2 x2 − 4 . .(12 + 6 x) = ( x + 2) 2 3 x 2 + 6 x + 3 x2 3x 1 a2 x+ y ; 1. 2 ; 2. 1; 3. 2; 4. 16 x ; 5. 4 x − 12 ; 6. ; 7. 2 ; 8. − ; 9. 6 5 y d ( x + 1) 2

10. −

1 3a 2 (a + b) ; 12. 2 x − 4 ; 11. 2 2 9 − 3a 4( a + b )


9. t ída VY_32_INOVACE_M910_násobení LV Informa ní a komunika ní technologie

Metodický list 10 – VY_32_INOVACE_M910_násobení LV Pracovní list Typ DUM Procvi it násobení lomených výraz . Cíl --Pom cky 30 min + as v DÚ asová náro nost Sestava p íklad se se azena dle stupn obtížnosti od t ch nejjednodušších. P íklady jsou voleny tak, aby byly použity Didaktické k procvi ení - st ídá se žák u tabule, samostatná práce v sešitech, poznámky n které se vybererou za domácí úkol, obtížn jší vysv tlí s pomocí žák u itel na tabuli. Násobení LV Anotace



VY_32_INOVACE_M911_d lení LV

PL . 11 - D lení lomených výraz ! "

!# $

%

1.

x

2.

1 x

3.

x x −3

1.

5 x − 35 x − 7 = : 3 21

2.

12 xy 4y = : 2 3x − 3 x − x

3.

x:

4.

y+2 3y = : 2 y −4 y−2

5.

x + 6 x 2 − 36 = : − 3x − x 6 − x

6.

2m m+n : 2 = 2 m − 2mn + n m − n 2

7.

5a 2 − 10ab 15a 2 − 60ab + 60b 2 : = a 2 + 4b 2 a 4 − 16b 4

8.

1.1.

4.

a2 − b b+c

5.

xy ay − bx

x −1 = x +1

2

2x 2 − 4x + 2 6x − 6 a + 1 = : 4 : 3 x2 +1 x −1 ay − bx 1 x −3 b+c ; 1.4. 2 ; 1.5. ; 1.2. x ; 1.3. x x xy a −b

2.1. 35; 2.2 x 2 ; 2.3.

1 x( x + 1) 1 m−n a 2 + 2ab ; 2.5. ; 2.4. ; 2.7. ; 2.6. ; 2.8. (a − 1) 2 x −1 3y 4x 2m 3

Informa ní a komunika ní technologie



VY_32_INOVACE_M911_d lení LV

Metodický list 11 – VY_32_INOVACE_M911_d lení LV Pracovní list Typ DUM Vysv tlit a procvi it tvo ení lomených výraz a d lení lomených Cíl výraz --Pom cky 45 min asová náro nost Sestava p íklad se se azena dle stupn obtížnosti od t ch nejjednodušších ke složit jším. P íklady 1-4 po ítají žáci s u itelem, Didaktické 5.-6. p . Je ur en k samostatné práci a 7.-8. jen pro schopné žáky, kte í poznámky bývají s prací d íve hotovi. D lení LV Anotace

Informa ní a komunika ní technologie


9. t ída VY_32_INOVACE_M912_složený zlomek Informa ní a komunika ní technologie

PL . 12 - Složené zlomky

! # *+ ,

# &

& "

1.

2.

2a b = 4a 2 3b

3.

15 x− y = 20 x− y

4.

x4 − x2 y 2 y = 2 x y − y3 y2

2.

3.

4.

4r = s 2t a 2b3 c = b 2c3

1 1 + x y = x+ y

5+ a = a2 5− 5

" % & & '" &

1 x = y 5

1.

$

( &

# !)

$& &

&

-


1.

1 −m m = 1 +m m

2.

3 2 x +y = 2y x y a −1 = b −1 b− a a− b

3.

4.

r+s r−s − r−s r+s = r 2 + s2 1− 2 2 r −s

5.

2 x 2 − 4 xy + 2 y 2 x2 − 2 x = 4x2 − 4 y 2 x 2 − xy

!


"

1.1.

5 3 3 ; 1.2. ; 1.3. ; 1.4. x 2 xy 2a 4

2.1.

8rt a 2b 1 5 ; 2.2 4 ; 2.3. ; 2.4. s c xy 5−a

3.1.

1 − m2 3 + 2 x4 a 2r x+ y 3.2. ; 3.3 ; 3.4. − ; 3.5. ; 2 1+ m 2 xy b s 2x − 4



Metodický list 12 – VY_32_INOVACE_M912_složený zlomek Pracovní list Typ DUM Vysv tlit a procvi it úpravu složených lomených výraz (zlomk ), nau it odlišovat zlomkové áry (p i menším po tu) a d lení lomených Cíl výraz . --Pom cky 45 min asová náro nost Sestava p íklad se se azena dle stupn obtížnosti od t ch nejjednodušších ke složit jším. P íklady 1/3,4 a 2/3,4 budou ešit lepší žáci. P íklady 3. oddílu vy eší u itel sám spolu s pomocí žák , kte í se Didaktické snaží uplatnit vzorce a vytýkání. Zbydou-li n jaké p íklady, lze je dát poznámky za úlohu (poku to v hodin p jde dob e), p ípadn použít pro zopakování v následné hodin . Složený zlomek , vzorce na rozklad , vytýkání Anotace


9. t ída VY_32_INOVACE_M913_opakování rovnic Informa ní a komunika ní technologie

PL . 13 - Rovnice – opakování z 8. r.

! #

$ ' (

)% , (

' '

"

%& * % +

*

$

' $ ' / ( 0

. . %

+

)% $ + *$ ' *

)%

'

'

)% $ ) )

) )% $

)

$

% % %

&

% 0

3.

2 x + 5 = 11

2.

15 − x = 7

4.

3 x = 24

1.

x+4=0

3.

2x + 4 = 0

2.

− x +1 = 0

4.

7 + x = −1

#

#

!

1.

1 − 2x = 0

3.

− 2 − 4x = 0

2.

4x − 2 = 0

4.

12 x + 8 = 0

!#

# %

1.

x +1 = 0 2

3.

x 1 + =0 3 5

2.

2 x−2=0 3

4.

3x + 4 1 = 5 10

3.

6 − (7 + x ) = 2 x

4.

x x − =1 4 5

%

' (%) − x +1 = x + 2

2.

#

$

2+ x =5

1.

*

$ )

1.

! "

$

%

! #

5−

x = 1 − 2x 3

# %

1.

(3 − x) − 4 = 0

3.

4 + 3(2 x − 2) = 0

2.

2( x + 2) = − 6

4.

2( x − 5) − (6 + 3 x) = −18


+ ,

(

#-

-'.


# %

1.

1 x 5 =2 x −1 − + 9 3 3

2.

x x x x − − − =1 2 3 4 5

/!

1.1. 3; 1.2. 8; 1.3. 3; 1.4. 8; 2.1. –4; 2.2. 1; 2.3. –2; 2.4. –8; 1 1 1 2 3.1. ; 3.2. ; 3.3. − ; 3.4. − ; 2 2 2 3 3 7 4.1. –2; 4.2. 3; 4.3. − ; 4.4. − ; 5 6 1 1 5.1. − ; 5.2. 2,4; 5.3. ; 5.4. 20; 2 3 1 6.1. –1; 6.2. –5; 6.3. ; 6.4. 2; 3 7 60 7.1. ; 7.2. 3 7



Metodický list 13 – VY_32_INOVACE_M913_opakování rovnic Pracovní list Zopakovat jednoduché rovnice z 5. a 6.r., zopakovat jednodušší Cíl rovnice ze 7. a 8.r. , kde se vyskytují zlomky a závorky. --Pom cky 35 min asová náro nost Žáci po íta p íklady samostatn a pokud se nemohou dostat p es kritické místo, u itel poradí. D sledn dbejme, aby žáci po vy ešení Didaktické ud lali zkoušku, u velmi jednoduchý zpo átku alespo ústní kontrolu poznámky (t eba i „v duchu“). ešení rovnic, zkouška Anotace Typ DUM


9. t ída VY_32_INOVACE_M914_zajímavé rovnice Informa ní a komunika ní technologie

PL . 14 - Rovnice – zajímavé úlohy 1. Starov ký matematik Diofantos m l prý na svém náhrobku vytesaný životopis vyjád ený rovnicí. Šestinu svého v ku byl chlapcem, za další dvanáctinu mu narostly vousy, za další sedminu se oženil. Syn, který se mu narodil o p t let pozd ji, zem el, když dosáhl práv polovinu celého otcova v ku. Jak stár byl Diofantos, zem el-li ty i léta po svém synovi? 2. Kanystr napln ný olejem má hmotnost 17 kg. Je-li napln n jen z poloviny, má hmotnost 9 kg. Jakou hmotnost má prázdný kanystr? 3. Petr jezdí do školy autobusem, který odjíždí ze zastávky v 7:20. Z domova obvykle vychází v 7:00. Dnes se ale zpozdil a proto šel 1,2x rychleji. Na zastávku p išel o 4 minuty pozd ji než obvykle a autobus byl již dv minuty pry . V kolik hodin se dnes Petr vypravil z domova? 4. Pro které 5místné íslo platí, že když dáme p ed n j jednotku, dostaneme íslo t ikrát menší, než kdyby jsme dali jednotku za toto íslo. 5. Dv železni ní stanice P a Q, jsou 279 km od sebe. Vlak odjíždí z P ve 14 hodin a jede konstantní rychlostí 51 km/h do Q. V 15 hodin za íná cestu druhý vlak z Q do P konstantní rychlosti 60 km/h. Jak daleko od sebe jsou dva vlaky 20 minut p ed tím, než se projedou okolo sebe? eš úsudkem. 6. Sarah chodila do školy od p ti let a strávila tu tvrtinu svého života. Poté šla rovnou pracovat a pracovala polovinu života. Na to byla ješt 14 v d chodu. V kolika letech opustila tento sv t?

x x x x + + + 5 + + 4 = x ; 84 let; 2. 1 kg; 3. 7:07; 4. 3(x + 100000) = 10x + 1; 42857; 6 12 7 2 x x 5. 37 km; 6. 5 + + + 14 = x ; stá í: x = 76 ; odchod do d chodu: 62 let 4 2

1.


9. t ída VY_32_INOVACE_M914_zajímavé rovnice Informa ní a komunika ní technologie

Metodický list 14 – VY_32_INOVACE_M914_zajímavé rovnice Pracovní list Typ DUM Tvorba a ešení rovnic, sestavených ze zajímavých slovních úloh. Cíl --Pom cky 45 min asová náro nost Žák m se ukáže na jednom p íkladu tvar zápisu úlohy p ed tvorbou rovnice. Poté by se uplatnila ím dál tím v tší samostnost v ešení. Didaktické poznámky Anotace

ešení rovnic, zkouška


9. t ída VY_32_INOVACE_M915_neznámá ve jmenovateli Informa ní a komunika ní technologie

PL . 15 - Lineární rovnice s neznámou ve jmenovateli

! )

" ! (

# # $

"

* & . /( # $

+ # $

% &

"

"

" &. #(- & . 01 +

+ #

1 =5 x

3.

4 2 4 −2= − x x 3

2.

2 2 = x 3

4.

1 5 − =0 2 x 3x

1.

2 1 = 3 x−3

3.

3+ x 5 = 3− x 3

2.

5 = 10 x+2

4.

x 4 = x+9 7

"#

$

1.

1 2 = x −1 x + 4

3.

4 6 = 2x − 3 4x − 5

2.

1 2 = x+3 x−2

4.

3+

3.

6x 18 5 = + 3 x − 27 6 x − 18 x + 3

4.

5 2 11 + = 2 x − 4 x + 1 x − 3x − 4

2.

x 2 + 9 = ( x 2 + 3) − 6 x

#'

2.

* + '

( ') 4 1 3 = 2 + x−2 x −4 x+2 12 2 5 + = 2 4x − 4 x −1 x + 1

x−4 5x − 2 = 2− x −1 1− x

2

, 1.

1.

$

1.

1.

- .

$

+ ,# $

!

&'

%

28 − 14 x 3x x − 1 − (3 − 2 x) = − 8 4 2

), 3 x 7 x − 5 16 x − 13 − = − ( x − 2) 2 6 12

2.

[

]

(1 − 2 x ) x 2 − ( x + 2 ) 2 + 8 x 2 = 4 ( x + 3)


/ 0# ' 1.

1

(

) )

2x − 5 4x − 5 − =0 3x − 4 6 x − 1

2 + #)

2.

3 + 4x 3 x −1 = − x( x + 1) x x +1

' 1.

1 x 5 =0 x −1 − + 9 3 3

2.

2x 1 5x 4 − − 3 3+ 3 3 =2 3x 2 −1 x− 2 3

3.

0


2 3

2 2 x− 2 2 3 − = −3 2 2 3 3 +x +x 3 3

'(

1 3 ; 1.2 3 ; 1.3. 3 ; 1.4. nemá ešení; 2.1. 4,5 ; 2.2. − 1,5 ; 2.3. ; 2.4. 12 ; 5 4 1 3.1. 6 ; 3.2. − 8 ; 3.3. ; 3.4. − 1 ; 4.1. − 13; 4.2. 3 ; 4.3. 1 ; 4.4. 2 ; 2 5 4 7.1. 15 ; 7.2. x ∈ ℜ − {0;1} ; 8.1. ; 8.2. 2 ; 8.3. − 6 3

1.1.



Metodický list 15 – VY_32_INOVACE_M915_neznámá ve jmenovateli Pracovní list Typ DUM Nau it se ešit rovnice s neznámou ve jmenovateli. D sledn dbát na Cíl ur ení podmínky platnosti zlomk . Ur it bezpe n po et ešení. --Pom cky 45 min asová náro nost Sestava p íklad se se azena dle stupn obtížnosti od t ch nejjednodušších. P íklady jsou voleny tak, aby byly použity zprvu k výkladu a poté k procvi ení - st ídá se žák u tabule, samostatná práce v sešitech, n které se vybererou za domácí úkol, obtížn jší Didaktické vysv tlí s pomocí žák u itel na tabuli, aby se uplatnila ím dál tím poznámky v tší samostnost v ešení. Žák postupn získává v tší a v tší pocit, že rovnici eší správn . U itel p i „zaseknutí“ žáka mu pom že p eklenout „mrtvý“ bod. 8. oddíl je ur en pro nejlepší žáky – bu v hodin nebo za domácí úkol. ešení rovnic s neznámou ve jmenovateli, podmínky platnosti zlomku Anotace (zlomek má smysl), zkouška


9. t ída VY_32_INOVACE_M916_rovnice pro zvídavé Informa ní a komunika ní technologie

PL . 16 - Lineární rovnice pro zvídavé žáky

(Rovnice jsou p evzaty z této webové adresy: http://www.priklady.eu/cs/Matematika/Linearni-rovnice.alej)

1)

2)

3)

4)

5)

1. x = –4; 2. x = 24; 3. x =

12 = 0,48 ; 4. x = 10; 5. rovnice nemá ešení 25


9. t ída VY_32_INOVACE_M916_rovnice pro zvídavé Informa ní a komunika ní technologie

Metodický list 16 – VY_32_INOVACE_M916_rovnice pro zvídavé Pracovní list Zam stnat výborné po tá e ve chvílích volna – úkol pro všechny je Cíl asov zvládnut d íve, a tak se vyplní prostoj. --Pom cky 45 min asová náro nost Pracovní list je ur en pro žáky, kte í u ivo o rovnicí perfektn ovládají a mohou tyto úlohy d lat zcela samostatn . V p ípad , že se tu Didaktické „zaseknou“, u itel jim drobnou pomocí pom že. poznámky Typ DUM

Anotace

ešení rovnic s neznámou ve jmenovateli, podmínky platnosti zlomku (zlomek má smysl), zkouška, složené zlomky v rovnicích.


9. t ída VY_32_INOVACE_M917_rovnice-pohyb-1 Informa ní a komunika ní technologie

LP . 17 - Úlohy o pohybu (1) !

"

#$ &

%

" ( $

&

)

&

)

* )

&

)

" "

'

* )

*+

1

!

3

"

.

-

"

!

$/

(-

2

2

5

'

* + ,( * + ,. -( ! ,

0

"

"

"

$3

" 44

67 "'

&

&

! "

"

"

"

9

"

8(

3(

6 "

: " P

t t +40 min

1

S

B

72 km/h 88 km/h

" 1

: "

!

; $1 Kamión vyjíždí z Prahy a jede do Bratislavy rychlostí 72 km/h. Za 40 minut za ním vyjelo po stejné trase osobní auto rychlostí 88 km/h. Za jak dlouho a v jaké vzdálenosti od Prahy dohoní osobní auto kamión? 72 x +

2 3

88 x

<

2

!+

6$

72

x+

88

x

2 3



1

-

tak by mohl kon it výpo et dalších p íklad

20t = 50 5t = 28

30t = 132 22t = 51

! " " Rychlost 54 km/h je stejná jako rychlost: a) 3 240 000 dm/min b) 9 000 dm/ min c) 900 dm/min d) 15 dm/min # !$ a) 120 m/s b) 120 m/s c) 120 m/s d) 120 m/s % & 1. 2.

=? =? =? =?

na km/s na km/h na m/min na km/min

$ '( Auto projížd lo lesním úsekem 9 minut rychlostí 75 km/h. Kolik kilometr m ila cesta lesem? Jakou rychlostí v kilometrech za hodinu jel automobil, jestliže most dlouhý 800 metr p ejel za dv t etiny minuty? Chodec se pot ebuje dostat do prot jšího rohu obdélníkové parcely s rozm ry 24 m a 62 m. Kolik asu ušet í, p jde-li místo po obvodu po úhlop í ce? Jeho rychlost je stejná, a sice 2,5 m/s.

1. 2. 3. 4.

2 h 30min, 5 h 36 min, 4 h 24 min, 2 h 19 min c 0,12 km/s, 432 km/h, 7200 m/min, 7,2 km/min 1. 11,25 km; 2. 72 km/h; 3. 7,1 s;



Metodický list 17 – VY_32_INOVACE_M917_ rovnice-pohyb-1 Pracovní list Typ DUM Vysv tlit využití u iva o rovnicích pro p íklady o rychlosti pohybu ve fyzice. Nau it zpracovávat tento typ p íklad , nau it vytvo it grafické znázorn ní pohybu v etn daných a hledaných údaj tak, aby se dala Cíl pomocí uplatn ní fyzikálních vzorc sestavit rovnice a vy ešit. Upevnit v domí, že ov ení do podmínek úlohy je nutnou sou ástí ešení. --Pom cky 45 min asová náro nost U itel nejprve zopakuje u ivo z fyziky související s úlohou (vzorce pro rovnom rný pohyb, p evody jednotek) a možnosti vzájemnéhop ohybu dvou t les. Poté p ístoupí ke tvorb tabulky, která p ehledným Didaktické zp sobem zpracuje všechny ot ebné údaje a poté s žáky „objevuje“ poznámky rovnice. V tomto PL jsou zatím velmi jednoduché úlohy na pohyb jednoho vozidla i chodce. Úlohy na pohyb Anotace



PL . 18 - Úlohy o pohybu (2)

Nákladní automobil vyjel z místa A rychlostí 50 km/h. Za 30 minut za ním vyjelo osobní auto rychlostí 80 km/h. Za kolik minut dožene osobní auto nákladní? 2.

D ti se vypravily na kolech na chatu vzdálenou 30 km. Vyrazily v 7 hodin a jely rychlostí 16 km/h. O p l hodiny pozd ji vyjel za nimi na kole tatínek rychlostí 24 km/h. V kolik hodin se setkali a jak daleko do chaty to bylo? V 8 hodin vyjel z Klatov do Karlových Var nákladní automobil pr m rnou rychlostí 40 km/h. V 8 hodin 45 minut vyjel za ním po stejné trase osobní automobil pr m rnou rychlostí 60 km/h. Vzdálenost Klatovy – Karlovy Vary je 125 km. V kolik hodin a v jaké vzdálenosti od Karlových Var dožene osobní automobil nákladní?

4.

Chodec vyšel v 8 hodin ráno rychlostí 4 km/h. V 9 hodin a 10 minut za ním vyrazil cyklista rychlostí 18 km/h. Za jak dlouho a v kolik hodin dostihne cyklista chodce? Jakou vzdálenost p i tom ujede?

1.

Dv letadla startující sou asn z letiš A a B letí navzájem proti sob a míjejí se za 20 minut. Vzdálenost letiš je 220 km a pr m rná rychlost letadla letícího z letišt A je o 60 km/h v tší než pr m rná rychlost druhého letadla. Vypo ítej pr m rné rychlosti obou letadel.

2.

Ze dvou míst A a B vzdálených 24 km vyrazí sou asn proti sob chodec rychlostí 4 km/h a cyklista rychlostí 12 km/h. Za kolik hodin od okamžiku, kdy vyrazili, a v jaké vzdálenosti od místa A se setkají?

3.

Vzdálenost z Prahy do Olomouce je p ibližn 250 km. V 6.00 vyjel z Prahy do Olomouce rychlík rychlostí 85 km/h. Ve stejném okamžiku mu vyjel naproti z Olomouce osobní vlak rychlostí 65 km/h. Za jak dlouho se vlaky setkají?

4.

Místa A, B jsou vzdálena 240 km. Z místa A vyjelo v 8 hodin nákladní auto rychlostí 60 km/h do místa B. Z místa B vyjelo v 8 hodin a 30 minut osobní auto rychlostí 80 km/h do místa A. V kolik hodin a jak daleko od místa A se setkají?

5.

Vzdálenost míst A a B je 132 km. V 9:00 vyjel z místa A cyklista pr m rnou rychlostí 24 km/h, v 10:00 h mu vyjel naproti druhý cyklista pr m rnou rychlostí 30 km/h. Za jak dlouho a jak daleko od místa A se oba setkají?


1. 2. 3. 4.

50 min 8:30, 6 km 11:45, 35 km 40 min, 6 km

1. 2. 3. 4. 5.

360 km/h,300km/h 1,5 h, 6 km 2 h 40 min 10:00, 120 km 2 h, 72 km




Metodický list 18– VY_32_INOVACE_M918_ rovnice-pohyb-2 Pracovní list Um t zpracovat a vypo íst dva typy slovních úloh o pohybu („dohán cí“ a „míjecí“). Dbát na grafické zpracování údaj a Cíl vytvo ení tabulky z údaj . --Pom cky 45 min asová náro nost U itel na prvních úlohách z obou typ vysv tlí postup ešení. Druhou úlohu vypo ítají žáci u tabule s pomocí u ietle, t etí úlohu žáci eší Didaktické samostatn a tvrté úlohy diostanou za domácí úkol.. poznámky Typ DUM

Anotace

Úlohy na pohyb



PL . 19 - Úlohy o pohybu (3)

1.

2.

Z místa A do cíle B vzdáleného 90 km vyjel traktor rychlostí 30 km/h a sou asn s ním automobil rychlostí 60 km/h. Automobil se v cíli ihned oto il a jel nazp t. Za jak dlouho a v jaké vzdálenosti od A se míjel s traktorem? Vzdálenost mezi m sty M a N je 840 km. Z M do N vyjížd jí sou asn dva automobily. První jede rychlostí 84 km/h, druhý rychlostí 56 km/h. Po p íjezdu do N se první vydá na zpáte ní cestu. V jaké vzdálenosti od N se potkají?

1.

Auto ujelo vzdálenost mezi m sty A a B za 4 hodiny. Kdyby byla pr m rná rychlost auta o 17 km/h v tší, ujelo by tuto vzdálenost o hodinu d íve. Ur i p vodní pr m rnou rychlost auta a vzdálenost m st A a B.

2.

Martin byl s kamarády na chalup v Jizerských horách. ekl, že vyjdou-li z chalupy p esn v 7 hodin a p jdou rychlostí 4 km/h, p ijdou na zastávku autobusu 3 minuty po odjezdu autobusu. P jdou-li však rychlostí 6 km/h, p ijdou na zastávku 7 minut p ed odjezdem autobusu. Dovedete z t chto údaj vypo ítat, jak daleko je chalupa od autobusové zastávky a v kolik hodin autobus odjíždí?

1.

Vlak dlouhý 120 m projíždí tunelem rychlostí 72 km/h. Tunel je dlouhý 1,5 km. Kolik sekund bude ást jednoho vozu v tunelu?

2.

Zuzka chodí do školy p šky. Když ujde t etinu cesty, je vždy p l osmé. U pošty bývá v 7 hodin 35 minut a to má za sebou práv polovinu cesty. V kolik hodin vychází Zuzka z domova a v kolik hodin p ichází do školy? Jak daleko to má Zuzka do školy, jestliže chodí rychlostí 4 km/h?

3.

Z k ižovatky dvou p ímých navzájem kolmých cest vyjíždí ve stejném okamžiku osobní a nákladní auto. Osobní jede po první silnici pr m rnou rychlostí 60 km/h, nákladní auto jede po druhé silnici pr m rnou rychlostí 45 km/h. Ur i vzdálenost aut vzdušnou arou za 12 minut.

4.

Dv silnice svírají pravý úhel. Na jedné silnici je 18 km od k ižovatky místo P, na druhé silnice je 24 km od k ižovatky místo V. Místa V a P jsou spojena cyklistickou stezkou. Cyklista jede z místa V do místa P po p šin rychlostí 360 m/min, auto jede po silnici z místa V do P rychlostí 52 km/h. O kolik minut pozd ji dorazí cyklista do místa P než auto, jestliže vyrazili sou asn ?

5.

Žáci 8.A t ídy z m sta M uskute nili výlet do místa N, vzdáleného 27 km. První ást cesty z M do N jeli vlakem rychlostí 43 km/h a druhou ást cesty šli p šky rychlostí 3 km/h. P ší túra byla o 1 hodinu a 20 minut delší než cesta vlakem. Za jakou dobu se žáci dostali z m sta M

do místa N?


! 1. 2 h, 60 km 2. 168 km 1. 51 km/h, 204 km 2. 2 km, 7:27 1. 2. 3. 4. 5.

6s 7:20, 2,67 km 15 km 35 min 2 h 20 min




Metodický list 19 – VY_32_INOVACE_M919_ rovnice-pohyb-3 Pracovní list Cílem posledního PL s úlohami o pohybu je nau it se ešit slovní úlohy typu „protipotkávacího“ a typu „co kdyby“ – tentýž pohyb Cíl provedený za jiných podmínek. --Pom cky 45 min asová náro nost Tyto úlohy se budou ešit asi za pomoci u itele („objevný“ rozhovor se žáky). Od míst, kdy je sestavena správná rovnice (p ípadn Didaktické soustava), je možné nechat ešit žáky úlohu samostatn . poznámky Typ DUM

Anotace

Úlohy na pohyb


9. t ída VY_32_INOVACE_M920_úlohy o práci Informa ní a komunika ní technologie

PL . 20 - Úlohy o spole né práci

!

"

#$ %

!

% " (" #

)

"

&' # ! )

%

*

#

&# "

)!

%'

+,

1.

Jeden d lník vykoná ur itou práci za 10 hodin, jiný zvládne stejnou práci za 15 hodin. Za jak dlouho vykonají tuto práci, když budou pracovat spole n ?

2.

Mistr s u n m mají vykonat ur itou práci. Mistr by ji sám dokon il za 6 dní, u e za 10 dní. Za kolik dní ji skon í spole n ?

3.

Jeden kopá by vykopal p íkop pro telefonní vedení za 6 hodin. Druhý by vykopal tentýž p íkop za 3 hodiny. Jak dlouho by jim vykopání p íkopu trvalo, kdyby pracovali spole n ?

4.

Nádrž se naplní jedním p ítokem za 30 minut, druhým za 24 minut. Za kolik minut se naplní, jsouli otev eny oba p ítoky sou asn ?

5.

Vodní nádrž je možné vypustit jednou rourou za 1 ½ hodiny, druhou rourou za 1 1/8 hodiny. Za jak dlouho se vyprázdní, otev eme-li oba odtoky sou asn ?

6.

Traktorista pose e pole sám za 6 hodin, druhý traktorista pose e stejné pole za dobu o t i hodiny delší. Za jak dlouho pose ou celé pole spole n ?

7.

Bude-li v provozu pouze první kotel, vysta í zásoba nafty na 14 hodin. Bude- li v provozu pouze druhý kotel vysta í zásoba nafty na 10 hodin. Na jak dlouho vysta í zásoba nafty, budou-li v provozu oba kotle sou asn ?

1.

P ítokem A se naplní bazén za 10 hodin, p ítokem B za 12 hodin, p ítokem C za 15 hodin. Za kolik hodin se bazén naplní, budou-li otev eny všechny t i p ítoky sou asn ?

2.

Jedna dílna je schopna splnit daný úkol ve 48 dnech, druhá ve 30 dnech, t etí ve 20 dnech. Za kolik dní by byl daný úkol spln n, kdyby na n m pracovaly všechny dílny spole n ?

3.

Na výrobní lince pracují 3 stroje. První by splnil zakázku za 6 hodin, druhý za 4 hodiny a t etí za 3 hodiny. Za jak dlouho bude zakázka spln na, pracují-li všechny stroje sou asn ?

4.

Pepík se Zde kem ob as pomáhají tatínkovi v díln montovat svítidla. Tatínek pot eboval odeslat v tší zakázku, a tak o víkendu pracovali všichni t i spole n . Montáž by trvala samotnému tatínkovi 12 hodin, samotnému Pepíkovi 18 hodin a samotnému Zde kovi 14 hodin. Za jak dlouho byli s prací hotovi?

1.

Kohoutkem se vana naplní za 5 minut, odpadovým otvorem se plná vana vypustí za 7 minut. Za jakou dobu se naplní prázdná vana, zapomeneme-li ucpat odtok?


! "#


$% & $

'

'

&(

)( )

1.

D lník a u e vykonají spole n práci za 6 hodin. D lník ji sám vykoná za 10 hodin. Za kolik hodin by ji vykonal u e ?

2.

Dva d lníci spole n vykonají ur itou práci za 10 dní. První d lník by ji vykonal sám za 20 dní. Za kolik dní by ji vykonal sám druhý d lník?

3.

Dv ma erpadly se nádrž naplní za 10 hodin. Jedním erpadlem by se naplnila za 15 hodin. Za jak dlouho by se nádrž naplnila druhým erpadlem?

4.

Pepík zalije zahradu za 40 minut a dohromady s Honzou ji zalijí za 24 minuty. Jak dlouho zalévá zahradu Honza sám? * +

1.

Závod A je schopen splnit zakázku za 12 dní, závod B tutéž zakázku za 18 dní. Za kolik dní bude spln na zakázka, jestliže první dva dny na ní pracuje jen závod A, zbývající dny pak oba závody?

2.

Malí rozplánoval svou práci v dom na 12 dní. Po 4 1/3 dne mu p išel na pomoc druhý malí a pracovali pak oba spole n , takže bylo vymalováno za 8 dní. Za kolik dní by práci vykonal druhý malí sám?

3.

Rybník se vypustí v tším stavidlem za 10 dní, menším za 12 dní. Letos jej vypoušt li tak, že první ty i dny otev eli jen v tší stavidlo, teprve pak otev eli také stavidlo menší. Ur i dobu, kterou trvalo vypoušt ní rybníku letos.

4.

Jeden zedník pot ebuje na omítnutí domu 40 hodin, druhý 30 hodin. Zpo átku pracovali spole n , pak byl druhý zedník odvolán a první dokon il práci sám za 5 hodin. Kolik hodin pracovali spole n a v jakém pom ru by si m li rozd lit odm nu za omítnutí domu?

'+ )

,- .

$

1.

D lník A by sám provedl výkop za 7 hodin, d lník B sám za 6 hodin. Protože výkop má být hotov za 2 hodiny, byl p ibrán d lník C. Za kolik hodin by práci vykonal sám d lník C?

2.

Otec se synem sekali horskou louku. Každý z nich by ji sám posekal za 9 h. Nejd íve sekal otec sám a pak stejnou dobu sekal spole n se synem. V kolik hodin mohla být louka posekána, jestliže by jí otec za al sekat v 5 hodin? ( as na p estávky neberte v úvahu.)

"#

&$ 1 9 min; 1.5. h; 1.6. 3 h 36 min; 3 14 252 1.7. 5 h 50 min; 2.1. 4 h; 2.2. 9,6 dne; 2.3. 32 h; 2.4. h = 4,8 h; 3.1. 17,5 min; 53 4.1. 15h; 4.2. 20 h; 4.3. 30 h; 4.4. 1 h;

1.1. 6 h; 1.2. 3 h 45 min; 1.3. 2 h; 1.4. 13

* + 1. 8 dní; 2. 11 dní; 3. '+ ) 1.

8 dne = 7,3 dne; 4. 20:15 = 4:3; 11

,- .

$

21 h = 5 h 15 min; 2. hotovo za 3 h -> v 8:00 4



Metodický list 20 – VY_32_INOVACE_M920_ úlohy o práci Pracovní list Typ DUM Nau it a upevnit ešení úloh na spole nou práci Cíl --Pom cky 45 min asová náro nost Skupiny úloh jsou sestaveny tak, aby mohl se vysv tlit a procvi it stejný typ úlohy, p íp. jej použít za domácí cvi ení. Nejprve ešíme úlohy s dv ma „t lesy“ a po zvládnutí (t eba jen s výbornými po tá i) p idáme t etí t leso. PL poskytuje v tší po et úloh tak, aby mohly být Didaktické použity i pro skupinovou práci, i pro žáky, kte í zvládají po ítat poznámky rychleji. Zamotan jší úlohy se budou ešit asi za pomoci u itele („objevný“ rozhovor se žáky). Od míst, kdy je sestavena správná rovnice (p ípadn soustava), je možné nechat ešit žáky úlohu samostatn . Úlohy na spole nou práci Anotace



VY_32_INOVACE_M921_sm si-1

PL . 21 - Úlohy o sm sích (1)

! !

" #

$

%

$

&

' )*

(

%

!

1.

Do obchodu p ivezli 50 tvrtkilogramových balení másla dvojího druhu. Levn jší po 29 K za kus a dražší po 34 K za kus. Kolik kterého másla bylo v dodávce, jestliže její cena byla 1585 K ?

2.

Podél silnice bylo vysazeno 55 stromk dvojího druhu. Sazenice t ešní po 120 K za kus a sazenice jabloní po 130 K za kus. Celá výsadba stála 6830 K . Kolik bylo sazenic t ešní a kolik jabloní?

3.

V obchod nabízeli 30 košilí dvojího druhu v celkové cen 13 560 K . Levn jší košile stála 420 K , dražší 500 K . Kolik bylo kterých?

4.

Majitel restaurace koupil 200 balení toaletního papíru dvojího druhu. Dražší za 35,90 K a levn jší za 19,90 K za balení. Celkem zaplatil 6 380 K . Kolik balení dražšího toaletního papíru koupil?

5.

Za 50 lístk na školní p edstavení do kina a divadla bylo vybráno celkem 2 450 K . Lístek do kina stál 40 K , lístek do divadla 85 K . Kolik lístk do divadla a kolik do kina škola koupila?

6.

Maminka koupila k ve e i jednu hov zí konzervu a jednu játrovou paštiku. Zaplatila celkem 35 K . Jiná paní zaplatila za dv konzervy a ty i paštiky 82 K . Kolik stojí hov zí konzerva a kolik paštika?

23; 27;

32; 23;

12; 18;

150;

. 40; 10; . 29 K ; 6 K .




Metodický list 21 – VY_32_INOVACE_M921_sm si-1 Pracovní list Typ DUM Nau it a upevnit ešení úloh o sm sích – nákupu dvou druh zboží Cíl --Pom cky 45 min asová náro nost Úlohy 1 a 2 vysv tlí u itel až k sestavení rovnice, kterou pak žáci samostatn eší. Od úlohy 3 žáci eší samosatn celou úlohu, o emž se Didaktické u itel p esv d í u vyvolaných žák k tabuli. U itel vysv tlí vhodnost poznámky tabulky zhotovené z údaj . Úlohy na sm si Anotace




PL . 22 - Úlohy o sm sích (2) !

%$#

$% )

# & #

# #

*

"

#

'

#

(

( # " (

# +&

#

!

"

#

#

, "

'

!

- (

+

.

/

$

/

0

1

(

.

#!

#! ./

0

0

/

#

$& / '

1. Ze dvou druh kávy v cen 220 K a 160 K za 1 kg se má p ipravit 20 kg sm si v cen 205 K /kg. Kolik kilogram každého druhu kávy bude t eba smíchat? 2. 5 kg levn jších bonbon (130 K /kg) se má smíchat s 8 kg dražších bonbon (195 K /kg). Kolik bude stát 1 kg sm si bonbon ? 3. Ze dvou druh bonbon v cen 210 K a 150 K za 1 kg se má p ipravit 20 kg sm si po 168 K za kilogram. Kolik každého druhu zboží bude ve sm si? !

"

1.

V lékárn mají v jedné nádob 20% roztok a v druhé 40% roztok dezinfekce. Pot ebují 20 litr 25% roztoku. Kolik litr z každé nádoby vezmou?

2.

Kolik litr 70% alkoholu musíme smíchat s 3 litry 30% alkoholu, abychom získali 55% alkohol?

3.

Kolik litr vody musíme p idat k 4250 litr m 90%alkoholu, chceme-li získat 85% alkohol? (Rada: Vodu považujeme za 0% alkohol.)

4.

Jakou koncentraci bude mít roztok louhu , smísíme-li 17 kg 36% roztoku s 12 kg 7% roztoku?

5.

Kolik litr vody 48 °C teplé musíme p ilít ke 120 litr m vody 8 °C teplé, získáme 200 litr vody?




6.

Ur ete výslednou teplotu sm si 75 litr vzduchu oh átého na 90 °C a 15 litr vzduchu 5 °C teplého.

7.

Kolik g st íbra jakosti 0,800 a kolik g st íbra jakosti 0,900 musíme slít, abychom získali 500 g st íbra jakosti 0,835?

8.

Ze dvou kov s hustotami 8200 kg/m3 a 7400 kg/m3 máme p ipravit p l kilogramu slitiny s hustotou 7600 kg/m3. Kolik kilogram každého kovu je k tomu zapot ebí?

9.

Mo ská voda obsahuje 3 % soli. Kolik litr destilované vody musíme p ilít do 40 litr mo ské vody, aby obsah soli byl jen 1%? (Rada: Destilovaná vodu obsahuje 0 % soli.)

15 kg, 5 kg;

170 K ;

# 6 kg, 14 kg

8 litr ; # 250 litr ; 15 litr ; ( 0,125 kg, 0,375 kg; ) 80 litr

$ 24%;

% 80 litr ;

& 75,8 °C;

' 325 g;




Metodický list 22 – VY_32_INOVACE_M922_ sm si-2 Pracovní list Nau it a upevnit ešení úloh o sm sích – sm s r zných druh potravin, Cíl míchání roztok --Pom cky 45 min asová náro nost Úlohy 1/1 a 2/1,2 vysv tlí u itel až k sestavení rovnice, kterou pak žáci samostatn eší. Ostatní úlohy žáci eší samosatn , o emž se u itel p esv d í u vyvolaných žák k tabuli, p íp. zadanou domácí Didaktické úlohou.. U itel vysv tlí vhodnost schématu zhotoveného z údaj a poznámky použitelnost obecné rovnice . / 0 $ & / ' . U roztok lze porovnat s výpo tem, který provád jí žáci v chemii. Úlohy na sm si, procenta, koncentrace, jednotková cena Anotace Typ DUM


9. t ída VY_32_INOVACE_M923_úlohy z d jin M Informa ní a komunika ní technologie

PL . 23 - Rovnice v d jinách matematiky

! "

.

# !

! "#

P . 1: Hromada a její tvrtina dávají dohromady 15.

$

!

$ " ) ' *

% ! ' ! '&

&

'

! $

*

!

+

*

( ( $

+

'

,

-

$

. P . 2: Nalezl jsem kámen, ale neznám jeho hmotnost. Poté, co jsem p idal jednu sedminu a jednu jedenáctinu ješt všeho, je to mina. Jaká byla p vodní hmotnost kamene? [Hmotnost se uvád la v jednotce gin, 1 mina = 60 gin ]

%

& *

$ #

5 2

+ 3#

&( ( $ &

%./01

1012 $

!

3 ( (

4

(

.

P . 3: Pythagore vznešený, helikónských múz potomku, na mou odpov z otázku, kolik v rných žák máš ve svém dom , kde jako borci na závodišti usilují o prvenství? Rád povím, Polykrate. Vidíš, že polovina žák p stuje matematiku, a zatím tvrtina na v nou p írodu své zkoumání obrací. Sedmina ned lá nic, jen ml ení zachovává, jen svá duše o iš uje, víš opakováním u iva. A p idej k nim t i ženy, které nevstávají tak brzy, mezi nimi nejvýznamn jší je má milovaná Teano. Hle, a to jsou všichni, které vedu cestou moudrosti a snad i múz pierijských jim zjednám lásku boží.

' 6 (

!

( (

1

( ( 73#

(

% ( (

&

(

& '

.

P . 4: Vodní nádrž má p t p ívodních struh. Jestliže otev eme jen první z nich, nádrž se naplní za t etinu dne, když jen druhou, naplní se za den, když jen t etí za dva a p l dne, když jen tvrtou za t i dny, když jen pátou - za p t dní. Za kolik dní se nádrž naplní, když otev eme všechny p ívodní strouhy?

( 6! (

( 8

& ' 99 4"""3 : ""

& 5 %(

$

'

&

-

P . 5: Ze svazku istých lotos byly jedna t etina, p tina, resp. šestina postupn ob továny boh m Šivovi, Višnovi i Šúrjovi a tvrtina byla ob tována Bhavanimu. Zbývajících šest bylo darováno vysoce váženému hodnostá i. Rychle mi ekni, kolik bylo lotos ?


%

)

)

$


* '

;6;69; <90;,;=9 ) (

(

(

&

'

P . 6: Jeden kupec projel t emi m sty. V prvním m st utratil polovinu a t etinu majetku, ve druhém polovinu a t etinu toho, co mu zbylo, ve t etím polovinu a t etinu toho, co ješt m l. Když se vrátil dom , zbývalo mu 11 groš . Kolik groš celkem m l na po átku? (

> (

"35 @

+& $

!

* &

! ;A,B96 @ C10,B 4

! DE : F35 / &

,

)

'

4 # ? ( '

P . 7: Dva muži procházející po cest vid li ápy a íkali si mezi sebou: Kolik jich je? Když se o jejich po tu poradili, ekli: „Kdyby jich bylo ješt jednou tolik a ješt pot etí tolik a polovina t etiny (onoho trojnásobku), po p idání dvou by jich bylo sto. A ekne, kdo m že, kolik jich bylo, které pocestní pozorovali.“

+ 1. 2.

3. 4.

x+

x = 15 4

x+

1 x x = 60 + x+ 7 11 7

x x x + + +3= x 2 4 7

x x x x + x + + + =1 1 5 3 5 3 2

x = 12

x = 48

1 gin 8

x = 28 x=

15 74

5.

x x x x + + + +6= x 3 5 6 4

x = 120

6.

5 5 5 x+ x+ x + 11 = x 6 36 216

x = 2376

7.

1 1 3 x + . .3 x + 2 = 100 2 3

x = 28



Metodický list 23 – VY_32_INOVACE_M923_ úlohy z d jin M Pracovní list Ukázat, že úlohy , které se eší pomocí rovnic, existovaly již v dávných d jinách (starov ku) a že po p evedení do sou asného Cíl jazyka se dají ešit sou asnými metodami. --Pom cky 45 min asová náro nost Po pozorném p e tení se pokusí žáci úlohu matematizovat (p evést na rovnici). Lze si pomoct i grafickým znázorn ním. Didaktické poznámky Typ DUM

Anotace

Slovní úlohy, d jinné poznámky ze starov ku

Matematika 9. ročník 1. sada (Mocniny, mnohočleny, rovnice)

Recommend Documents