Střední škola stavební Jihlava
Sada 1 – Matematika 04. Nekonečné řady Digitální učební materiál projektu: SŠS Jihlava – šablony registrační číslo projektu:CZ.1.09/1.5.00/34.0284 Šablona: III/2 - inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT
Mgr. Petr Šíma © 2012
Projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky
Co je to „nekonečná nekonečná řada“? řada
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/6/6d/Auto_stoped_highway.JPG.Congestion caused by a road accident, Algarve, Portugal. Photography by: Osvaldo Gago http://images.mylot.com/userImages/images/postphotos/1894311.jpg
GeoGebra
Nekonečné řady
Nekonečné řady Příklad 1: a1 , a2 , a3 , a 4 , a 5 ,
...
2 , 6 , 18 , 54 , 162 , . . . daná nekonečná posloupnost Nekonečná řada vytvořená z této posloupnosti:
2 + 6 + 18 + 54 + 162 + . . . (= a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + . . .)
Nekonečné řady Příklad 2: a1 , a2 , a3 , a4 , a5 , a6 , . . .
daná nekonečná posloupnost Nekonečná řada příslušná k této posloupnosti:
(= a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + a6 + . . .)
Nekonečné řady Příklad 3: a1 , a2 , a3 , a 4 , a 5 ,
...
-1 , 5 , 11 , 17 , 23 , . . .
daná nekonečná posloupnost
Nekonečná řada vytvořená z této posloupnosti:
-1 + 5 + 11 + 17 + 23 + . . . (= a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + . . .)
Nekonečné řady Příklad 4: a1 , a2 , a3 , a 4 , a 5 ,
10 , 0 , 0 , 0 , 0 , . . .
...
daná nekonečná posloupnost
Nekonečná řada vytvořená z této posloupnosti:
10 + 0 + 0 + 0 + 0 + . . . (= a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + . . .)
Nekonečné řady Příklad 5 – vymyslete každý svoji nekonečnou řadu
Nekonečné řady
Je vůbec možné sečíst nekonečně mnoho sčítanců?
10 ) 20 ) 30 ) 40 ) 50 ) . . . ( ? ( )∞
NELZE MOŽNÁ?
1) (-1) ) 1 ) (-1) ) . . . ( ?
NELZE
Nekonečné řady
Nekonečné řady Vytvoříme posloupnost částečných součtů: s1
8
s2
12
s3
14
s4
15
s5
15,5
s6
15,75
s7
15,875
Nekonečné řady Posloupnost částečných součtů: s1 , s2 , s3 , s4 , s5 , s6 , . . .
Existuje-li vlastní limita (reálné číslo) posloupnosti částečných součtů nekonečné řady, nazýváme ji součtem nekonečné řady. řady reálné číslo
součet NŘ
tj. součet nekonečné řady se neomezeně blíží nějakému reálnému číslu – ten označujeme za hodnotu tohoto součtu.
Nekonečné řady
Nekonečná řada 8 + 4 + 2+1 + … má součet 16.
Nekonečné řady Nekonečná řada, která má součet, součet se nazývá konvergentní. konvergentní (Existuje vlastní limita její posloupnosti částečných součtů.)
Nekonečná řada, která nemá součet, součet se nazývá divergentní. divergentní (Neexistuje vlastní limita její posloupnosti částečných součtů.)
Rozhodování o tom, zda je nekonečná řada konvergentní nebo divergentní (tj. zda má nebo nemá součet), je často složité – viz. „podmínky konvergence“ např. tzv. nutná podmínka konvergence nekonečné řady:
(tj. členy nekonečné řady an se s rostoucím n hodnotově blíží k nule)
Jde o podmínku nutnou ale nikoliv postačující – nekonečná řada splňující tuto podmínku nemusí být konvergentní!
Nekonečné řady
1. Za jakých podmínek je/není konvergentní NŘ vytvořená z členů AP a GP? 2. Tabulka (MS Excel) – částečné součty
Nekonečné řady Nekonečná řada vytvořená z libovolné aritmetické posloupnosti (tzv. nekonečná aritmetická řada) řada s nenulovou diferencí je divergentní (součet + ∞ , - ∞). Nekonečná řada vytvořená z libovolné geometrické posloupnosti (nekonečná nekonečná geometrická řada) řada s kvocientem q, je tzv. podmínka konvergence NGŘ a) konvergentní pro součet takové řady platí:
b) divergentní
součet + ∞ nebo - ∞ osciluje
Nekonečné řady Příklad 6:
nekonečná geometrická řada
tato NGŘ má součet (je konvergentní)
splněno
Zdroje: obrázky na str. 1: http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/6/6d/Auto_stoped_highway.JPG.Congestion caused by a road accident, Algarve, Portugal (Photography by: Osvalso Gago) http://images.mylot.com/userImages/images/postphotos/1894311.jpg Kliparty programů Zoner Callisto 5 (freeware) a ActivInspire (licence SŠS Jihlava) GeoGebra (printscreen) Literatura: Doc. RNDr. OLDŘICH ODVÁRKO a kol., Matematika pro střední odborné školy a studijní obory středních odborných učilišť, 6. část, SPN 1987, 2. vydání Doc. RNDr. OLDŘICH ODVÁRKO , DrSc. Posloupnosti a finanční matematika pro pro střední odborné školy a studijní obory středních odborných učilišť, Prometheus, 2002, 1. vydání (dotisk), ISBN 80-7196-239-2 Doc. RNDr. JOSEF POLÁK, Přehled středoškolské matematiky, Prometheus, 2003, 8. vydání, ISBN 80-7196-267-8 Použitý SW: Microsof Office 2007 - vlastník licence SŠS Jihlava IrfanView (v. 4.33) – freeware Zoner Callisto 5 – freeware GeoGebra 4.0.32.0 - freeware Materiál je určen k bezplatnému používání pro potřeby výuky a vzdělávání na všech typech škol a školských zařízení. Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Mgr. Petr Šíma. Pokud není uvedeno jinak, byly při tvorbě použity volně přístupné internetové zdroje. Autor souhlasí se sdílením vytvořených materiálů a jejich umístěním na www.ssstavji.cz.
