Střední škola stavební Jihlava Sada 1 – Matematika 01. Množiny - úvod Digitální učební materiál projektu: SŠS Jihlava – šablony registrační číslo projektu:CZ.1.09/1.5.00/34.0284 Šablona: III/2 - inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT
Mgr. Ondřej Bachr © 2012
Projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky
Množiny – definice, základní pojmy, využití v matematice Definovat samotnou podstatu množiny (jakékoliv) je velmi obtížné, jednotná definice prakticky neexistuje! Dá se proto říci, že množina je: Soubor objektů, prvků, které jsou brány jako celek. Těmito prvky je jednoznačně určena.
Podstatu množiny jako celku shrnul nejlépe zakladatel Teorie množin Georg Cantor:
Množina je souhrn objektů, které jsou přesně určené a rozlišitelné a tvoří součást světa našich představ a myšlenek; tyto objekty nazýváme prvky množiny.
Jmenujte libovolné množiny, s kterými se můžete setkat v praktickém životě? - Množina žáků ve třídě (Petr, Jan, Olga…) - Množina typů domů (rodinný dům, panelák, bungalov…) - Množina druhů ovoce (jablko, hruška, švestka, banán
V matematice se ovšem budeme zabývat množinami, číselných oborů.
• Množinu značíme velkými písmeny – A,B,C,…,Y • Prvky množiny zapisujeme do složených závorek – {} Př: A = {k, l, m, n} • Písmena (nebo jakékoliv hodnoty) ve složených závorkách se nazývají PRVKY MNOŽINY.
k∈A
: čteme, že prvek k náleží do množiny A (nebo také je jejím prvkem) • s ∉ A: čteme, že prvek s nenáleží do množiny A (nebo také není jejím prvkem) •
Př: B = Ø??? B = prázdná množina!!! Nejsou v ní žádné prvky
- Prázdná množina nemá žádný prvek! - Prázdnou množinu můžeme rovněž psát rovněž P = {}. -Avšak pozor P = {Ø} není podle definice množin prázdná množina ( dozvíme se později)!
Pravidla neuspořádanosti a duplicity • Každá množina má „nějak“ uspořádané prvky • Na uspořádání prvků v množině celku nezáleží viz. příklad: C= {1,2,3}
D= {3,1,2}
Zde vidíme, že každá množina je jinak uspořádána, ale C = D , množiny jsou stejné! • Pokud se v množinách vyskytuje více stejných prvků např. P= {1,2,1,3,3,2,2,2}, píšeme jej pouze JEDNOU! Počet stejných prvků NEROZHODUJE, proto P = {1,2,3,}.
Velikost a rovnost množin • Velikost množiny je určena počtem jejich prvků • Dvě množiny se rovnají, pokud mají stejný počet totožných prvků Př: a) A= {a,b,c} = b) C = {1,2,3,1} = ≠ c) E= {a,h,o,j} d) X= {&,&,@,ρ,β,α}
≠
B= {b,c,a} D= {1,2,3,2} F= {a,h,h,o,o,j,c} Y= {&,&,@,ρ}
Podmnožiny Mějme dvě množiny: X= {a,b} a Y= {a,b,c} množina Y je větší než množina X – má o jeden prvek více. Množina X má totožné prvky jako Y. - Proto množinu X nazveme podmnožinou množiny Y - Zapisujeme X ⊆Y ⇔∀x∈ X ∧∀x∈Y - Znaménko ⊆ - ostrá inkluze - Pokud se budou obě množiny rovnat budeme můžeme toto znaménko také použít
• Můžeme rovněž použít znaménko inkluze ⊂ • Stejné využití jako u ostré inkluze, ovšem definuje pouze danou podmnožinu , množiny se NEMOHOU ROVNAT!
X ⊂ Y ⇔ (X ⊆ Y, X ≠ Y)
Př.
⊆ a) A= {a,b,c} ⊄ A= {a,b,c} b) C = {1,2,3,1} ⊆ ⊄ C = {1,2,3,1} c) E= {a,h,o,j} ⊆ E= {a,h,o,j} ⊂ d) X= {&,&,@,ρ,β,α} ⊆ X= {&,&,@,ρ,β,α} ⊂ e) H= Ø ⊆ ⊂ H= Ø
B= {b,c,a} B= {b,c,a} D= {1,2,3,2} D= {1,2,3,2} F= {a,h,h,o,o,j,c} F= {a,h,h,o,o,j,c} Y= {&,&,@,ρ} Y= {&,&,@,ρ} K= {β} K= {β}
Z toho všeho nám vyplývá: • A⊆ A množina je vždy svou podmnožinou • A⊄ A množina není nikdy svou podmnožinou • Ø ⊆ A prázdná množina je vždy podmnožinou jakékoliv množiny • A ⊄ Ø prázdná množina nemá žádnou podmnožinu
Př: P= {a,b,c} , kolik podmnožin z této množiny může získat??? {b}, {c}, {a,b}, {b,c}, {c,a}, {a,b,c} - množina je svou vlastní podmnožinou a Ø P(M) = {P, Ø, {b}, {c}, {a,b}, {b,c}, {c,a}}
P(M) – potenční množina = množina všech podmnožin 2m – vzorec pro výpočet všech podmnožin
Př: Množina M= {∆,◊,$,∑} ; určete počet podmnožin, které můžete z těchto prvků vytvořit. P(M)= {{Ø}, {∆}, {◊}, {$}, {∑}, {∆$}, {∆∑}, {∆◊}, {∑$}, {◊∑}, {$◊}, {◊∆$}, {∆◊∑}, {∑$∆}, {$∑◊}, {◊∑$∆}} Nebo také: 24=16
(množina má 4 prvky)
Seznam použité literatury WEB: http://www.matweb.cz/mnoziny Literatura: PhDr. Ivan BUŠEK, doc. RNDr. Emil CALDA, Matematika pro gymnázia, základní poznatky z matematiky, Prometheus, 1992
Materiál je určen k bezplatnému používání pro potřeby výuky a vzdělávání na všech typech škol a školských zařízení. Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je : Mgr. Ondřej Bachr………………. Pokud není uvedeno jinak, byly při tvorbě použity volně přístupné internetové zdroje. Autor souhlasí se sdílením vytvořených materiálů a jejich umístěním na www.ssstavji.cz.
