Střední škola stavební Jihlava Sada 2 – Matematika 19. Logaritmy Digitální učební materiál projektu: SŠS Jihlava – šablony registrační číslo projektu:CZ.1.09/1.5.00/34.0284 Šablona: III/2 - inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT
Mgr. Ondřej Bachr © 2012
Projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky
Praktické využití logaritmu: Tabulky logaritmu poskládal v 16. stol. skotský matematik John Neper (Napier). Vymyslel efektivní způsob jak převést aritmetické operace (+, -, ·, : ) při počítání s velkými hodnotami (tzv. Neperovy kosti). Iniciovaly vznik logaritmických tabulek a logaritmického pravítka. Efektivní řešení exponenciálních rovnice (tzv. pomoci zlogaritmování). Při počítání s logaritmy využíváme vztahy mezi logaritmy a exponenty.
Logaritmické funkce Def.: Logaritmus je matematická funkce, která je INVERZNÍ k funkci EXPONENCIÁLNÍ! Logaritmus + ( a ∈ R / 1) kladného reálného čísla x při základu a je takové reálné číslo pro které platí:
y = log a x a =x y
V tomto vztahu se číslo a označuje jako základ logaritmu (báze), logaritmované číslo x se někdy označuje jako numerus, y je pak logaritmem čísla x při základu a.
Pomocí výše uvedených rovností lze složité operace převádět na jednodušší (často se k tomu používalo i logaritmické pravítko a logaritmické tabulky). Př. 1: Řešte pomocí logaritmů 17300 ⋅ 15478 = ??? - Rovnici zlogaritmujeme: a upravíme:
1 2
1 2
log 17300 ⋅ log 15478 = log 17300 ⋅ log 15478 =
1 = log 17300 + log 15478 = ... 2 - Nyní použijeme tabulku s logaritmy: log 17300 = 4,238
log 15478 = log15480 = 4,189 1 - A dořešíme: 4,238 + ⋅ 4,189 = 6,3329 2 log10 x = 6,3329 ⇒ 106,3329 = x
⇒ x = 2152000
* Řešení pomocí kalkulačky:
2152303,56
Logaritmická funkce: y = log a x • Je to funkce prostá
a ∈ R+ , a f 1
• Df ∈ (0, ∞ + ) • Hf ∈ R • Pro a platí:
a ∈ R+ , a f 1
ROSTOUCÍ
a ∈ R + ,0 p a p 1 KLESAJÍCÍ • Funkční hodnota: f (1) = 0 → [1,0] • Osa y = ASYMPTOTA
a ∈ R + ,0 p a p 1
Základní věty pro použití logaritmu: y = log a x a =x y
Základní pravidlo pro počítání s logaritmy
a loga x = loga a x = x
Logaritmus je funkcí inverzní k funkci exponenciální
log a ( x ⋅ y) = loga x + log a y log a
x = loga x − loga y y
Logaritmus součinu je součet logaritmů jednotlivých činitelů
Logaritmus podílu je rozdíl logaritmů čitatele a jmenovatele
1 Logaritmus mocniny je roven n log a x = y ⋅ loga x tzn. log a x = log a x exponent krát logaritmus základu n log a 1 = 0 y
log a a = 1
Další (užitečné) věty o logaritmech: log b x log a x = log b a log x log a x = log a a=a
log a b log a b
(
ax = b
)
1 log a b log b a
= a 1 log b a = log a b x log a b
Tyto dvě věty jsou velmi důležité!! Používá se při výpočtech na kalkulačkách, když máme základ jiný než desítkový (nebo e). Počítáme jako podíl dvou logaritmů!
= b x logb a
=b
1 log a b
Užití logaritmů v praxi: Př. 2: Z m0 gramů radioaktivní látky zbylo po t sekundách m gramů radioaktivní látky. Určete odtud poločas přeměny této látky, když vzorec pro výpočet je:
1 m = m0 2
t T
Našim úkolem je vyjádřit z tohoto vzorce T. Výrazy na obou stranách jsou kladná čísla, tudíž existují i logaritmy k jejich řešení. Musíme ZLOGARITMOVAT ROVNICI a pak vyjádřit T.
a) Zlogaritmujeme (logaritmem o základu deset „desítkovým log.“): t T 1 log m = log m0 2
b)Použijeme větu o součinu logaritmu log a (x ⋅ y ) = log a x + log a y t t T T 1 1 log m = log m0 ⇒ log m = log m0 + log 2 2
c) Použijme větu o mocninách v logaritmech log a x y = y ⋅ log a x
t 1 log m − log m0 = log T 2 d) Upravujeme * log 0,5 = −0,30103
− 0,30103t log m − log m0 = T
e) Dále to jsou jen „aritmetické“ operace:
− 0,30103t log m − log m0 = /⋅ T T T ⋅ (log m − log m0 ) = −0,3013t / : (log m − log m0 ) − 0,3013t T= log m − log m0 Poločas přeměny uvažované radioaktivní látky je tudíž roven − 0,3013t Hodnotě log m − log m . 0
Seznam použité literatury Literatura: RNDr. CALDA Emil, CSc. a kolektiv, Matematika pro Střední odborné školy a studijní obory středních odborných učilišť – 3. část, Prometheus 2002 RNDr. HUDCOVÁ Milada a Mgr. KUBÍČKOVÁ Libuše, Sbírka úloh z matematiky pro SOŠ, SOU a nástavbové studium, Prometheus 2004 (druhý dotisk) Státní maturitní testy (CERMAT) 2002 - 2012
Materiál je určen k bezplatnému používání pro potřeby výuky a vzdělávání na všech typech škol a školských zařízení. Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je : Mgr. Ondřej Bachr……………. Pokud není uvedeno jinak, byly při tvorbě použity volně přístupné internetové zdroje. Autor souhlasí se sdílením vytvořených materiálů a jejich umístěním na www.ssstavji.cz.
