Logaritmy a věty o logaritmech

Variace

1

Logaritmy a věty o logaritmech Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz.

15.3.2014 21:53:18

Powered by EduBase 2

Logaritmy a věty o logaritmech

1

1. Logaritmy

Definice logaritmu daného čísla: Logaritmus daného kladného čísla při základu a > 0 a zároveň a  1 je takové číslo y, kterým musíme umocnit základ, abychom dostali logaritmované číslo x. Zapisujeme: loga x = y  x = ay [Čteme logaritmus z čísla x při základu a] Určování logaritmů odlogaritmování.

daných

kladných

čísel

se

nazývá

logaritmování. Obrácená

operace

se

nazývá

Vlastnosti logaritmů: 

Logaritmus jedné při libovolném základu a > 0, a  1 je roven nule.

 

Logaritmus z čísla stejného, jakým je i základ, je roven jedné. Logaritmus z čísla většího než jedna je, při základu větším než jedna, kladný, logaritmus z čísla menšího než jedna (ale většího než nula), je při základu větším než jedna, záporný. Je-li základ logaritmu větší než nula a menší než jedna, pak je logaritmus z čísla většího než jedna záporný, zatímco logaritmus z čísla patřícího do otevřeného intervalu (0; 1) je číslo kladné. Logaritmus při základu 10 se nazývá logaritmus dekadický. Logaritmus při základu e se nazývá logaritmus přirozený.

 

Příklad 1: Vypočtěte log5 25 Řešení: 15.3.2014 21:53:18


2


1

Podle definice převedeme na výpočet 25 = 5y Odtud snadno zjistíme, že y = 2 Příklad 2: Vypočtěte základ logaritmu, jestliže platí logz 216 = 3 Řešení Podle definice převedeme na výpočet z3 = 216 Protože platí 216 = 63, pak z3 = 63 a odtud z = 6 Příklad 3: Určete, jaké číslo musíme logaritmovat, abychom při základu logaritmu 0,1 dostali číslo -1 Řešení: Podle definice převedeme výpočet log0,1 x = -1 na tvar 0,1-1 = x. Odtud snadno vypočteme, že x = 10.

2. Výpočty logaritmů - procvičovací příklady 1. OK

2.

1815

Stanovte číslo x, platí-li: log5 x = 0 1

1809

Pro který základ z platí: logz n = n?

OK

3.

1808

Pro který základ z platí: logz 3 = 3?

OK

4. OK

5. OK

6. OK

7. OK

8. OK

9. OK

1816

Stanovte číslo x, platí-li: log1/2 x = -1 2

1794

Vypočtěte log2 4 2 0,25

1817

Stanovte číslo x, platí-li log1/10 x = -1 10

1798

Vypočtěte log10 81000 0,375

1793

Vypočtěte log22 0,5 Určete hodnotu výrazu x: x = log2 log2 16 2

1795

10. Vypočtěte log 8 2 2 OK

1802

0,125

15.3.2014 21:53:18


3


11.

OK

12.

1 1810

Vypočtěte základ z, jestliže:

6 1811


OK

13.

OK

1806

Pro který základ z platí:

1/3 1796

14. Vypočtěte log 10 10 OK

15.

OK

0,5

0,2

16. Stanovte číslo x, platí-li: OK

1812


1804

log2 x = 4

16 1814

17. Stanovte číslo x, platí-li log x = -1 10 OK

0,1

18. Vypočtěte hodnotu výrazu x: x = 32 - log3 27 OK

6 1799

19. Vypočtěte log 810000 10 OK

0,5 1800

20. Vypočtěte log2 (log3 81) OK

21.

OK

22.

OK

1801

2 1813


2/3 1807

Pro který základ z platí:

4

15.3.2014 21:53:18


4


23. Pro který základ z platí: OK

1 1805

logz 216 = 3?

6 1797

24. Vypočtěte log 410 10 OK

0,25 1803

25. Určete log4 (log4 4) OK

0

3. Věty o logaritmech Podle definice logaritmů platí: loga x = y (1) Logaritmus daného kladného čísla x je takové číslo (loga x), kterým musíme umocnit základ - viz pravá strana výrazu (1), abychom dostali logaritmované číslo - tj. x.

1. Nelze logaritmovat součet

logz (a + b)  logz a + logz b 2. Logaritmus součinu je roven součtu logaritmů jednotlivých činitelů (= 1. věta o logaritmování) Důkaz:

vše pro a > 0, b > 0, z > 0, z  1

Protože mocniny jsou si rovny a mají shodné základy, musí se rovnat i příslušné exponenty. Proto:

logz ab = logz a + logz b Např.:

15.3.2014 21:53:18


5


1

3. Logaritmus podílu je roven rozdílu logaritmů dělence a dělitele (= 2. věta o logaritmování) Důkaz:

vše pro a > 0, b > 0, z > 0, z  1

Např.:

4. Logaritmus mocniny je roven součinu exponentu a logaritmu základu dané mocniny (= 3. věta o logaritmování) Důkaz:

logz an = n . logz a Např.:

15.3.2014 21:53:18


6


1

4. Věty o logaritmech - procvičovací příklady 1.

Který výraz x musel být logaritmován, aby platilo:

1840

Řešte pro přípustné hodnoty. OK

2.

OK

3.

Který výraz x musel být logaritmován, aby platilo: logz x = 2 . logz (a - 2) + 3 . logz (a + 2) - 2 . logz (a2 - 4) Uveďte i podmínky řešitelnosti.

1837

x=a+2 a > 2, z > 0, z  1 1822

Určete logz x, je-li x = a1/2 . b2/3 Určete i podmínky řešitelnosti.

OK

4.

1824

Určete logz x, je-li:

Určete i podmínky řešitelnosti. OK

5.


1836

Uveďte i podmínky řešitelnosti. OK

a > 0, b > 0, z > 0, z  1

15.3.2014 21:53:18


7


6.

1

Který výraz x musel být logaritmován, aby platilo: logz x = 3 . logz a + (n + 3) . logz b - 3 Určete i podmínky řešitelnosti.

1832

OK

a > 0, b > 0, z > 0, z  1 7. OK

8.

OK

Určete logz x, je-li: x = 3m-1 . n-2 . r Určete i podmínky řešitelnosti. logz 3 - logz m - 2 . logz n + logz r; m > 0, n > 0, r > 0, z > 0, z  1


1821

1834

Určete i podmínky řešitelnosti.

a > 0, b > 0, z > 0, z  1, m  N 9.

1828



10.

1826

Určete logzx, je-li


11.

1818

Pro přípustné hodnoty určete logz x, je-li

OK

12.

OK

Který výraz x musel být logaritmován, aby platilo: logz x = 3 . logz a + 2 . logz b + 1 Určete i podmínky řešitelnosti.

1831

x = a3.b2.z; a > 0, b > 0, z > 0, z  1

15.3.2014 21:53:18


8


13.

1 1841

Vypočtěte A, jestliže platí:

OK

14.

Z dané rovnosti určete A a udejte existenční podmínky:

1842

OK

15.

OK

16.

OK

Který výraz x musel být logaritmován, aby platilo: logz x = logz a + logz b + logz c Určete i podmínky řešitelnosti. x = abc;

1829

a > 0, b > 0, c > 0, z > 0, z  1


1838

Uveďte i podmínky řešitelnosti.

a > 0, b > 0, a > b, z > 0, z  1 17.

1823

Určete logz x, je-li


-logz a - 0,5 . logz b;

18.


a > 0, b > 0, z > 0, z   1827


19.

OK

Který výraz x musel být logaritmován, aby platilo: logz x = logz a + logz b - logz c Určete i podmínky řešitelnosti.

1830

x = ab/c; a > 0, b > 0, c > 0, z > 0, z  1

15.3.2014 21:53:18


9


20.

1 1825

Určete logz x, je-li


21.

OK


Řešte pro přípustné hodnoty.

22. Určete log x, je-li x = a-2 . b-3. Určete i podmínky řešitelnosti. z OK

23.

1839

1819

-2 . logz a - 3 . logz b; a > 0, b > 0, z > 0, z  1


1835

Uveďte i podmínky řešitelnosti. OK

a > 0, b > 0, c > 0, z > 0, z  1 24. Určete log x, je-li: z OK

25.

OK

x = 3a-2 .  b Určete i podmínky řešitelnosti. logz 3 - 2 . logz a + 0,5 . logz b; a > 0, b > 0, z > 0, z  1

Který výraz x musel být logaritmován, aby platilo: logz x = m . logz n + n . logz m - logz n - logz m Určete i podmínky řešitelnosti.

1820

1833

x= mn-1 . nm-1; m > 0, n > 0, z > 0, z  1

15.3.2014 21:53:18


10


1

Obsah 1. Logaritmy

2

2. Výpočty logaritmů - procvičovací příklady

3

3. Věty o logaritmech

5

4. Věty o logaritmech - procvičovací příklady

7

15.3.2014 21:53:18


11

Logaritmy a věty o logaritmech

Recommend Documents