Autor: Marek Liška
www.nasprtej.cz
Téma: Logaritmy Ročník: 2.
Logaritmy (čteme: logaritmus z x o základu a) a – základ logaritmu → x – argument logaritmu →
Základ logaritmu (a) musí být vždy kladné číslo různé od jedné a argument logaritmu (x) musí být kladný. Pokud logaritmus tyto podmínky nesplňuje, pak není definován.
Základní operace Pokud je argument logaritmu (x) roven jedné, pak je vždy výsledkem číslo nula. Základ logaritmu (a) může být libovolné číslo v intervalu, ve kterém je definován – 𝑎 𝑅 . Jestliže argument logaritmu (x) je roven základu logaritmu (a), pak výsledek je roven vždy jedné.
Terminologie Dekadický logaritmus:
Dekadický logaritmus je takový logaritmus, který má základ roven číslu deset. Pokud je základ logaritmu deset, pak není nutno ho psát.
Přirozený logaritmus:
̇
Přirozený logaritmus je takový logaritmus, kdy je základ roven Eulerovu číslu 𝑒 . Pokud je základ logaritmu Eulerovo číslo, pak se takový logaritmus píše ve tvaru: 𝑥.
Vzorce
Tyto vzorce jsou velmi důležité pro počítání s logaritmy, proto je nutné si je zapamatovat a umět je používat. Na následujících stránkách naleznete podrobně vysvětleny všechny tyto vzorce včetně vzorových příkladů.
1 Škola: Gymnázium J. K. Tyla
© Úpravy může provádět pouze tým serveru www.nasprtej.cz.
Autor: Marek Liška
www.nasprtej.cz
Téma: Logaritmy Ročník: 2.
První vzorec umožňuje převod logaritmu na exponenciální rovnici a naopak. Tento vzoreček je nejdůležitější, jelikož se používá snad v každém příkladu s logaritmy!
1.
Princip je jednoduchý. Stačí pouze např. u prvního příkladu vzít argument logaritmu, kde je v našem případě t, který následně dáme do rovnosti se základem logaritmu, v našem případě 8, přičemž bude mít v exponentu číslo za rovnítkem v zadání, tedy v našem případě číslo 3. Výsledkem tedy bude 𝑡 – viz příklad vlevo. V tomto případě je postup velmi podobný. Opět nejdříve vezmeme číslo 100, které se bude rovnat základu, tedy číslu 10, přičemž bude mít v exponentu číslo, které je za rovnítkem v zadání, ale v našem případě tam žádné číslo není, tudíž si tam dosadíme libovolnou neznámou, například 𝑦 y. Poté bude výsledkem – viz příklad vlevo.
| |
√ √
2.
3.
Zde je postup opět velmi podobný. Nejdříve vezmeme číslo 9, které se bude rovnat základu, přičemž bude mít v exponentu číslo, které je za rovnítkem v zadání, tedy 𝑎 . Následně odmocníme, přičemž musíme neznámou dát do absolutní hodnoty, protože měla sudou mocninu, takže výsledná hodnota může být jak kladná, tak i záporná. V tomto případě je ale absolutní hodnota zbytečná, jelikož je neznámá v základu, tak podle podmínky nesmí být neznámá záporná a rovna jedné, tudíž není možné, aby kořen vyšel záporný, pak tedy bude výsledkem nějaké kladné číslo různé od jedné, tedy číslo 3 – viz rovnice vlevo. Zde je princip opravdu primitivní. Pokud bude základ mocniny, v našem případě 5, stejný se základem logaritmu, pak se celý příklad bude rovnat argumentu logaritmu, tedy číslu 2 – viz příklady vlevo. V tomto případě je potřeba použít znalosti z mocnin, tedy to, že lze rozdělit exponenty, protože pokud je mezi exponenty sčítání, pak se základy mocnin mezi sebou násobí. Potom už lze použít vzoreček a příklad tak vyřešit. Pokud bude základ logaritmu a argument stejný, pak výsledkem logaritmu bude exponent argumentu – viz příklady vlevo.
2 Škola: Gymnázium J. K. Tyla
© Úpravy může provádět pouze tým serveru www.nasprtej.cz.
Autor: Marek Liška
www.nasprtej.cz
4.
Téma: Logaritmy Ročník: 2.
Tento vzoreček umožňuje to, že lze exponent argumentu logaritmu přesunout před logaritmus, kde bude mezi číslem a logaritmem násobení – viz příklady vlevo.
5.
Následující vzoreček lze použít pouze tehdy, pokud mají logaritmy stejné základy a jsou navzájem v součtu. Poté pouze stačí vynásobit argumenty logaritmů, čímž vznikne jeden logaritmus o stejném základu z čísla, které vyjde po vynásobení argumentů.
6. Tento vzorec funguje na podobném principu jako předchozí, pouze s tím rozdílem, že se argumenty mezi sebou dělí. Vzorec lze použít pouze tehdy, když jsou dva logaritmy se stejným základem navzájem v rozdílu.
7.
Tento vzoreček upraví dva logaritmy, které jsou navzájem v podílovém tvaru, se stejným základem do podoby jednoho logaritmu, který bude mít logaritmus stejný jako argument logaritmu ve jmenovateli zlomku, argument výsledného logaritmu bude stejný jako argument logaritmu v čitateli zlomku.
8.
Pomocí tohoto vzorečku lze snadno a především rychle dostat požadované řešení. Stačí, aby základ prvního logaritmu byl stejný jako argument logaritmu druhého a argument prvního logaritmu totožný se základem druhého logaritmu, pak bude výsledkem vždy číslo jedna.
9. Tento vzoreček se používá především u logaritmických rovnic – viz kapitola Logaritmická rovnice, kterou naleznete na www.nasprtej.cz.
3 Škola: Gymnázium J. K. Tyla
© Úpravy může provádět pouze tým serveru www.nasprtej.cz.
Autor: Marek Liška
Téma: Logaritmy Ročník: 2.
www.nasprtej.cz
Příklady V tomto případě požijeme vzoreček 𝑦 𝑎 𝑦 𝑥. 𝑎𝑥 Následně celou rovnici odmocníme, čímž dostaneme požadovaný výsledek. Neznámá je v absolutní hodnotě, protože měla neznámá sudou mocninu, tudíž výsledkem může být jak kladné, tak i záporné číslo. Řešením ale nakonec bude pouze kladné číslo, protože podmínka nám záporné číslo nedovoluje (kladné číslo různé od jedné).
√ | |
Opět aplikujeme vzoreček 𝑦 𝑎 𝑦 𝑥, 𝑎𝑥 následně použijeme znalosti z mocnin, tedy to, že záporný exponent převedeme na kladný tak, že převrátíme zlomek. ( )
Zde použijeme vzoreček 𝑦 𝑎 𝑦 𝑥, 𝑎𝑥 následně převrátíme zlomky. Následně vidíme, že pokud se rovnají čitatele, tak se musí rovnat i jmenovatele, tudíž můžeme čitatele vypustit a dát do rovnosti pouze jmenovatele. Dále rovnici umocníme a neznámou a dáme do absolutní hodnoty, jelikož může být neznámá kladná i záporná, pokud je na sudou mocninu. Výsledkem ale bude kladné číslo, jelikož je neznámá v základu mocniny, kde může být číslo pouze kladné různé od jedné.
√ | |
V těchto už trochu složitějších příkladech se využívá více vzorečků, leckdy najednou. Často se používá vzoreček
𝑎
𝑟 𝑠
𝑎
𝑟
𝑎𝑠
a
𝑟 𝑎𝑠
𝑎𝑟
𝑎
𝑠. Cílem je dostat co nejjednodušší tvar,
nejlépe celé číslo, popř. v jednom logaritmu, záleží na zadání. V tomto případě si poslední logaritmus rozdělíme pomocí vzorečku, čímž se nám odečte od jiného logaritmu, poté vytkneme a následně využijeme základní znalosti o logaritmech ( 𝑎 𝑎 ) – viz příklad níže.
4 Škola: Gymnázium J. K. Tyla
© Úpravy může provádět pouze tým serveru www.nasprtej.cz.
Autor: Marek Liška
Téma: Logaritmy Ročník: 2.
www.nasprtej.cz
𝑠 Nejdříve použijeme vzoreček 𝑠 𝑎𝑟 𝑎 𝑟, přičemž cílem je dostat takový tvar, abychom dokázali použít znalost: . Nakonec 𝑎𝑎 vše sečteme, popř. odečteme, čímž dostaneme řešení.
Zde použijeme vzoreček 𝑎 𝑟 𝑠 𝑎𝑟 𝑎 𝑠 a znalosti o logaritmech ( 𝑎 ). Následně pak stačí pouze vytknout, použít opět vzoreček a nakonec využít to, že . 𝑎𝑎 (
[
)
( ) ]
( )
[( ) ]
V tomto případě použijeme následující vzoreček 𝑟 na všechny tři logaritmy – 𝑟. Poté 𝑎𝑎 pouze sečteme a dostaneme požadovaný výsledek.
Příklady použity z: PETÁKOVÁ, Jindra. Matematika: příprava k maturitě a k přijímacím zkouškám na vysoké školy. 1. vyd. Praha: Prometheus, 1998, 303 s. Učebnice pro střední školy (Prometheus). ISBN 80-719-6099-3.
5 Škola: Gymnázium J. K. Tyla
© Úpravy může provádět pouze tým serveru www.nasprtej.cz.
