MATEMATIKA IV - PARCIÁLNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE - ZÁPISKY Z PŘEDNÁŠEK JAN MALÝ
Obsah 1. Parciální diferenciální rovnice obecně 2. Kvaazilineární rovnice prvního řádu 3. Lineární rovnice druhého řádu 4. Laplaceova rovnice 5. Rovnice vedení tepla 6. Vlnová rovnice 7. Fourierova metoda
1 1 4 4 8 9 10
1. Parciální diferenciální rovnice obecně 1.1. Úvodní poznámky. Parciální diferenciální rovnice jsou rovnice, v nichž hledáme funkci u na základě daného vztahu mezi jejími parciálními derivacemi. Řešení úlohy z parciálních diferenciálních rovnic jde málokdy spočítat přesně, účinnější jsou numerické metody. Parciální diferenciální rovnici většinou řešíme uvnitř nějaké otevřené množiny, přičemž na hranici této množiny zpravidla uvažujeme dodatečné tzv. okrajové podmínky. V aplikacích jsou nejdůležitější rovnice druhého řádu, tj. rovnice, kde se vyskytují parciální derivace druhého a nižších řádů. Derivace funkcí a tím i splnění rovnic budeme často chápat ve smyslu distribucí. Chceme-li zdůraznit, že rovnice jsou splněny tak, že derivace vyskytující se v zadání rovnice skutečně existují, jsou spojité a rovnice je splněna jako identita mezi funkcemi, mluvíme o klasickém řešení. V kapitolách o parciálních diferenciálních rovnicích budeme pracovat s reálnými (tj. nikoli komplexními) funkcemi. 2. Kvaazilineární rovnice prvního řádu 2.1. Obecný tvar rovnice. Nechť Ω ⊂ Rn je otevřená množina a f, ai : R × Ω → R jsou spojité funkce. Označme a = (a1 , . . . , an ). Řešením rovnice (1)
a · ∇u = f
budeme rozumět spojitě diferencovatelnou funkci u : Ω → R, která splňuje n X ∂u(x) = f (u(x), x), x ∈ Ω. ai (u(x), x) ∂xi i=1 2.2. Charakteristiky. Uvažujme řešení u rovnice (1). Křivka γ : (α, β) → Ω se nazývá charakteristika k danému řešení u, jestliže splňuje soustavu obyčejných diferenciálních rovnic (2)
γi0 (t) = ai (u(γ(t)), γ(t)),
i = 1, . . . , n.
Pokud koeficienty nezávisí na “nulté proměnné”, do níž se dosazuje u (to je tzv. lineární případ), pak charakteristiky nemusíme vztahovat ke konkrétnímu řešení, ale jen k rovnici (1) samotné. Uvažujme ještě soustavu n + 1 diferenciálních rovnic o neznámé ϕ = (ϕ0 , ϕ1 , . . . , ϕn ) : (α, β) → R × Ω, totiž ( 0 ϕ0 (t) = f (ϕ(t)), (3) ϕ0i (t) = ai (ϕ(t)), i = 1, . . . , n. Budeme značit ϕˆ = (ϕ1 , . . . , ϕn ). K řešení úlohy (1) je užitečná následující věta. 2.3. Věta. Nechť u je řešení úlohy (1) na Ω a γ je charakteristika k u. Potom (u ◦ γ, γ) řeší (3). 1
Důkaz. Podle pravidla o derivování složené funkce platí (u(γ(t)))0 = =
n X ∂u (γ(t))γ 0 (t) = ∂x i i=1 n X ∂u (γ(t)) ai u(γ(t)), γ(t) = f (u(γ(t)), γ(t)). ∂xi i=1
Je tedy splněna první z rovnic (3), druhá je zřejmá.
2.4. Metoda. Věta 2.3 nám dává návod, jak hledat řešení rovnici (1). Předpokládejme, že data a, f jsou spojitě diferencovatelná. Najdeme řešení ϕ soustavy (3) a označme ϕˆ = (ϕ1 , . . . , ϕn ). Existuje-li spojitě diferencovatelné řešení u rovnice (1) tak, že u(ϕ(t ˆ 0 ))) = ϕ0 (t0 ) a je-li γ charakteristika k u, která prochází bodem ϕ(t ˆ 0 ), pak t 7→ u(γ(t)), γ(t) je “druhé” řešení soustavy (3) se stejnou počáteční podmínkou a podle věty o jednoznačnosti máme ϕˆ = γ,
u(ϕ(t)) ˆ = ϕ0 (t).
Tím dostaneme řešení podél charakteristiky. Snažíme se pokrýt Ω takovými charakteristikami a tak zkonstruovat řešení. O úspěšnosti pokusu rozhodne “zkouška”, tj. dosazení nalezené funkce u do rovnice (1). Obvykle k rovnici (1) máme danou nějakou “počáteční podmínku” ve tvaru (4)
x ∈ Γ,
u(x) = η(x),
kde Γ ⊂ Ω je daná množina a η : Γ → R je daná funkce. V tom případě při hledání řešení přizpůsobujeme počáteční podmínky pro ϕ úloze (4). Z příkladů bude patrné, že ne vždy se nám podaří najít řešení na tak velkém definičním oboru, jak by napovídalo zadání. 2.5. Příklad. Uvažujme rovnici (5)
y
∂u ∂u −x =0 ∂x ∂y
na R2 . Buď Γ = {(x, y) ∈ R2 : y = 0}. Uvažujme počáteční podmínku (6)
u(x, 0) = g(x) = x2 ,
(x, y) ∈ Γ.
Řešme soustavu rovnic pro funkce x, y, z proměnné t: x0 = y,
x(0) = r,
0
y(0) = 0
0
z(0) = r2 .
y = −x, z = 0, Řešení najdeme ve tvaru
x(t) = r cos t, y(t) = r sin t, z(t) = r2 . Nabízí se, že daná úloha (5), (6) bude mít řešení u(x, y) = x2 + y 2 a zkouškou ověříme, že tato funkce skutečně řeší zadání. Všimněme si, že každá charakteristika (pro r 6= 0) protíná Γ ve dvou bodech. Měli jsme neuvěřitelné štěstí, že naše počáteční úloha přiřadila oběma bodům stejnou hodnotu (tj. funkce g byla sudá), jinak bychom nenašli řešení. 2.6. Příklad. Uvažujme rovnici (7)
x
∂u ∂u +y =1 ∂x ∂y
na R2 . Buď Γ = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 = 0}. Uvažujme počáteční podmínku (8)
(x, y) ∈ Γ.
u(x, y) = xy 2
Zvolme x0 , y0 ∈ Γ a řešme soustavu rovnic pro funkce x, y, z proměnné t: x0 = x,
x(0) = x0 ,
0
y(0) = y0
0
z(0) = x0 y0 .
y = y, z = 1, Řešení najdeme ve tvaru
x(t) = x0 et , y(t) = y0 et , z(t) = x0 y0 + t. Úpravou obdržíme p x2 + y 2 = et , x x0 = xe−t = p , 2 x + y2 y , y0 = ye−t = p 2 x + y2 1 t = ln(x2 + y 2 ), 2 tedy kandidát na řešení má tvar u(x, y) =
1 xy + ln(x2 + y 2 ). x2 + y 2 2
Zkouškou ověříme, že tato funkce řeší zadání na R2 \ 0 (ale do počátku se dojít nedá). 2.7. Příklad (Burgersova rovnice). Uvažujme rovnici (9)
u
∂u ∂u + =0 ∂x ∂y
na R2 . Buď Γ = {(x, y) ∈ R2 : y = 0}. Uvažujme počáteční podmínku (10)
(a, 0) ∈ Γ.
u(a, 0) = g(a),
Řešme soustavu rovnic pro funkce x, y, z proměnné t: x0 = z,
x(0) = a,
0
y(0) = 0
0
z(0) = g(a).
y = 1, z = 0, Řešení najdeme ve tvaru
x(t) = a + g(a)t, y(t) = t, z(t) = g(a). Rovnice x = a + yg(a) je implicitní vzhledem k a a −a, (11) g(a) = 1, −1,
g(a) se nedá obecně vyjádřit. Zadejme např. a ∈ [−1, 1], a ∈ (−∞, −1], a ∈ [1, ∞).
Uvažujme a ∈ [−1, 1]. Úpravou obdržíme x = a(1 − y), x g(a) = −a = . y−1 Odtud u(x, y) =
x , y−1
pokud |x| ≤ |y − 1|.
Jestliže a ≥ 1, pak vychází u(x, y) = −1,
y ≥ 1 − x. 3
Jestliže a ≤ 1, pak vychází u(x, y) = 1, y ≥ 1 + x. Pokud jsme v množině Ω = {(x, y) : |y| < 1+|x|}, pak každým bodem prochází jen jedna charakteristika, která určuje hodnotu řešení. Pokud však y > 1 + |x|, pak takovým bodem prochází tři charakteristiky x a každá “přináší” jinou hodnotu řešení. Všimněme si též, že funkce y−1 se nedá spojitě dodefinovat do 0 bodu (0, 1). Úlohu lze řešit v množině Ω (zahmouříme oko nad nediferencovaností v bodech y = 1 − |x|), ale ne na R2 a jiných “příliš velkých” množinách. Toto určení množiny Ω0 se týká pouze konkrétních dat (11), pokud změníme počáteční podmínku, změní se i obor řešitelnosti. 0
3. Lineární rovnice druhého řádu 3.1. Lineární rovnice s konstantními koeficienty. Všechny rovnice, kterými se budeme od teď zabývat, budou lineární a s konstantními koeficienty. Obecná lineární parciální diferenciální rovnice druhého řádu s konstantními koeficienty aij , bi , c v n-rozměrném prostoru má tvar −Lu = f , kde (12)
Lu =
n X i,j=1
n
aij
X ∂u ∂2u + + cu bi ∂xi ∂xj ∂xi i=1
a f je daná funkce (jediná nekonstantní data v zadání rovnice). 3.2. Klasifikace lineárních rovnic druhého řádu. Na základě chování kvadratické formy n X Q(ξ) = aij ξi ξj , ξ ∈ Rn , i,j=1
říkáme, že rovnice (12) je • eliptická, jestliže Q je definitní, • parabolická, jestliže Q je semidefinitní, • hyperbolická, jestliže Q je indefinitní. Transformací souřadnic a dalšími substitucemi lze rovnici (12) převést na jednodušší tvar. Např. v dimenzi dva lze rovnici zjednodušit na některý z tvarů ∂2u ∂2u + = 0, ∂x21 ∂x22 ∂u ∂2u = 0, − ∂x1 ∂x22
∂2u ∂2u + + u = 0, ∂x21 ∂x22 ∂u ∂2u + u = 0, − ∂x1 ∂x22 ∂2u ∂2u − = 0, ∂x21 ∂x22
∂2u ∂2u + −u=0 ∂x21 ∂x22 ∂u ∂2u −u=0 + ∂x1 ∂x22 ∂2u ∂2u − +u=0 ∂x21 ∂x22
(eliptické rovnice), (parabolické rovnice), (hyperbolické rovnice).
3.3. Fundamentální řešení. Fundamentální řešení je jedna z mála věcí v teorii parciální diferenciálních rovnic, které se dají “upočítat”. Definuje se jako řešení rovnice (v distribucích) −Lu = δ0 . Řešení úlohy s pravou stranou f a řešení tzv. počátečních úloh se pak dají získat konvolucí s fudamentálním řešením. Při odvozování tvaru fundamentálního řešení se často používá Fourierova transformace. 4. Laplaceova rovnice 4.1. Laplaceova rovnice, Poissonova rovnice. Nechť n je dimenze prostoru. Diferenciální operátor n X ∂2u ∆u = ∂x2i i=1 se nazývá Laplaceův operátor. Rovnice ∆u = 0 se nazývá Laplaceova rovnice, “nehomogenní” rovnice −∆u = f se nazývá Poissonova rovnice. Laplaceova rovnice v dimenzi jedna má tvar u00 = 0 a jediná řešení jsou lineární polynomy. Zajímavá teorie tedy začíná od dimenze dva. 4.2. Fundamentální řešení. Fundamentální řešení Laplaceovy rovnice v Rn je funkce ( 1 − 2π ln |x|, n = 2, U (x) = 1 2−n , n ≥ 3, (n−2)σ n |x| 4
kde σ n je povrch koule o poloměru jedna v Rn . Dosazením n = 3 dostaneme 1 U (x) = , n = 3. 4π|x| Všimněme si, že mimo počátek máme (aniž buchom museli rozlišovat podle dimenze) x , n ≥ 2. ∇U (x) = − σ n |x|n 4.3. Řešení ve smyslu distribucí. Nechť u, f : Ω → R jsou lokálně integrovatelné funkce. Připomeňme, že funkce u řeší rovnici ∆u = f ve smyslu distribucí, jestliže Z Z u(x)∆ϕ(x) dx = f (x)ϕ(x) dx, ϕ ∈ Cc∞ (Ω). Ω
Ω
4.4. Potenciály. Řešení Poissonovy rovnice (13)
−∆u = f
dostaneme konvolucí s fundamentálním řešením, tedy ve tvaru Z (14) u(x) = U (x − y) f (y) dy. Rn
Pro n = 2 se integrál (14) nazývá logaritmickým potenciálem funkce f . Pro n ≥ 3 se integrál (14) nazývá Newtonovým potenciálem funkce f . O řešitelnosti Poissonovy rovnice potenciály vypovídají následující dvě věty. Vzhledem k drobným odlišnostem je dobré roslišit na dva případy podle dimenze. 4.5. Věta. Nechť Ω ⊂ R2 je omezená otevřená množina a f je omezená integrovatelná funkce na Ω. Potom funkce Z u(x) = U (x − y) f (y) dy Ω
řeší na Ω Poissonovu rovnici −∆u = f (v distribucích). 4.6. Věta. Nechť n ≥ 3 a f je omezená integrovatelná funkce na Rn . Potom funkce Z u(x) = U (x − y) f (y) dy Rn
řeší na Rn Poissonovu rovnici −∆u = f (v distribucích) a platí (15)
lim u(x) = 0.
|x|→∞
Ve třídě funkcí splňujících (15) je řešení Poissonovy rovnice jednoznačné. 4.7. Dirichletova a Neumannova úloha. Uvažujme omezenou otevřenou množinu Ω ⊂ Rn s hranicí ∂Ω. Kromě diferenciální rovnice −∆u = f máme ještě dánu spojitou funkci ϕ : ∂Ω → R. Dirichletova úloha je úloha najít funkci u : Ω → R, která splňuje rovnici −∆u = f v Ω a navíc Dirichletovu okrajovou podmínku (16)
u(x) = ϕ(x),
x ∈ ∂Ω.
Limitní přechod y → x se chápe vzhledem k množině Ω. Pro formulaci Neumannovy úlohy potřebujeme, aby hranice ∂Ω měla normálu. Budeme říkat, že hranice množiny Ω je třídy C k , k ≥ 1, jestliže existuje funkce η třídy C k tak, že Ω = {x : η(x) < 0} a ∇η 6= 0 na ∂Ω. Vnější normála je pak funkce ∇η(x) ν(x) = , x ∈ ∂Ω. |∇η(x)| Neumannova úloha je úloha najít funkci u : Ω → R, která splňuje rovnici −∆u = f a navíc Neumannovu okrajovou podmínku (17)
Dν− u(x) = ψ(x),
x ∈ ∂Ω,
kde ψ je opět zadaná spojitá funkce na ∂Ω. Levá strana je jednostranná derivace u v x ve směru vnější normály ν(x), totiž u(x + tν) − u(x) lim . t→0− t 5
K úloze najít řešení Poissonovy rovnice na omezené otevřené množině Ω zpravidla přidáváme Dirichletovu nebo Neumannovu podmínku, ne však obě současně. Řešení Dirichletovy úlohy je jednoznačné a řešení Neumannovy úlohy je jednoznačné až na aditivní konstantu. Tvrzení o jednoznačnosti pro Dirichletovu úlohu zformulujeme v následující větě. 4.8. Věta o jednoznačnosti. Nechť Ω ⊂ Rn je omezená otevřená množina, f je spojitá funkce na Ω a ϕ je spojitá funkce na ∂Ω. Pak existuje nejvýš jedna spojitá funkce u na Ω, řešící Poissonovu rovnici −∆u = f v Ω (ve smylu distribucí) a Dirichletovu podmínku (16) na ∂Ω. 4.9. Věta o existenci. Nechť Ω ⊂ Rn je omezená otevřená množina s hranicí třídy C 1 . Nechť ϕ je spojitá funkce na ∂Ω. Potom existuje řešení Dirichletovy úlohy (16) pro Laplaceovu rovnici ∆u = 0. 4.10. Dirichletova úloha pro kouli. Řešení Dirichletovy úlohy lze málokdy najít v explicitním tvaru. K řešení rovnice se používají různé teoretické metody, které v praxi končí numerickým výpočtem. Pro kouli však lze použít celkem uspokojivý vzorec, který se nazývá Poissonův integrál. Mějme tedy kouli B(z, R) v prostoru Rn a spojitou funkci ϕ : ∂B(z, R) → R. Potom řešením Dirichletovy úlohy (16) pro Laplaceovu rovnici (tedy pravá strana f je nulová) má tvar Z R2 − |x − z|2 1 ϕ(y) dS(y). u(x) = Rσ n ∂B(z,R) |x − y|n 4.11. Potenciál dvojvrstvy. Nechť Ω ⊂ Rn je omezená otevřená množina s hranicí třídy C 2 , Uvažujme spojitou funkci g : ∂Ω → R. Potom potenciál dvojvrstvy s hustotou g je funkce Z 1 y−x u(x) = g(y) · dS(y), x ∈ Rn . σ n ∂Ω |y − x|n Integrál vpravo skutečně konverguje pro všechna x ∈ Rn . Potenciál dvojvrstvy řeší Laplaceovu rovnici uvnitř Ω a vně Ω. Potenciál dvojvrstvy s hustotou 1 je roven 1 uvnitř Ω a 0 vně Ω. Potenciál dvojvrstvy je spojitý v bodě x ∈ ∂Ω, když g(x) = 0, jinak na hranici “dochází ke skoku”. 4.12. Převedení Dirichletovy úlohy na integrální rovnici. Dirichletova a Neumannova úloha se dají převést na integrální rovnice na ∂Ω. Tuto metodu si budeme demonstrovat pouze na Dirichletově úloze. Budeme předpokládat, že ∂Ω je třídy C 2 , že pravá strana f je omezená integrovatelná funkce na Ω a že okrajová podmínka ϕ je spojitá funkce na ∂Ω. Především, pomocí Newtonova nebo logaritmického potenciálu najdeme nějaké řešení w rovnice −∆w = f , to vyjde jako spojitá funkce na Ω. Řešení u původní úlohy budeme hledat ve tvaru u = w + v. Je zřejmé, že u bude řešit původní úlohu, právě když v bude řešit Laplaceovu rovnici s Dirichletovou podmínkou v = ϕ − u na ∂Ω. Proto se v dalším můžeme omezit na Laplaceovu rovnici. 4.13. Věta. Nechť Ω ⊂ Rn je omezená otevřená množina s hranicí třídy C 2 a ϕ je spojitá funkce na ∂Ω. Nechť funkce g řeší integrální rovnici Z 1 y−x g(x) + (g(y) − g(x)) · dS(y) = ϕ(x), x ∈ ∂Ω. σ n ∂Ω |y − x|n Dodefinujeme-li potenciál dvojvrstvy Z 1 y−x u(x) = g(y) · dS(y), x ∈ Ω, σ n ∂Ω |y − x|n hodnotami ϕ na ∂Ω, dostaneme spojitou funkci a tudíž řešení Dirichletovy úlohy (16) pro Laplaceovu rovnici. Řešení u je nekonečně diferencovatelné (a tudíž “klasické”) v Ω. 4.14. Metoda variačního počtu. Nechť Ω ⊂ Rn je omezená otevřená množina a ϕ je spojitá funkce na ∂Ω. Nechť funkce u je řešením Dirichletovy úlohy (16) pro Laplaceovu rovnici. Potom u je tzv. minimizér Dirichletova integrálu, totiž Z Z (18) |∇u(x)|2 dx ≤ |∇v(x)|2 dx Ω
Ω
pro všechny spojité funkce v na Ω, které jsou spojitě diferencovatelné uvnitř Ω a splňují v = ϕ na ∂Ω. Aby (18) dávalo netriviální informaci, je třeba předpokládat, že mezi přípustnými funkcemi v existuje aspoň jedna, pro níž je integrál vpravo konečný. Pak platí i opačná implikace, totiž pokud u je spojitá funkce na Ω, splňuje Dirichletovu podmínku (16) a nerovnost (18) pro všechny přípustné funkce v, potom už u splňuje Laplaceovu rovnici a je tedy hledaným řešením Dirichletovy úlohy. K tomuto tématu se ještě vrátíme níže. 6
Metoda variačního počtu vede k nejjednoduššímu důkazu existenční věty 4.9. Myšlenku jen naznačíme. Označme Z 1 Vϕ = {v ∈ C(Ω) ∩ C (Ω) : v = ϕ na ∂Ω, |∇v(x)|2 dx < ∞}. Ω
Pro jednoduchost předpokládejme, že Vϕ = 6 ∅. Položme nZ o a = inf |∇v(x)|2 dx : v ∈ Vϕ . Ω
Potom existuje posloupnost {vk }k prvků Vϕ tak, že Z |∇vk (x)|2 dx → a. Ω
Posloupnosti {vk }k , {∇vk }k jsou omezené v Hilbertově prostoru L2 (Ω), najdeme tedy výběr indexů {kj }j a funkce u ∈ L2 (Ω) (skalární), g ∈ L2 (Ω) (vektorovou) tak, že vkj → u slabě v L2 a ∇vkj → g slabě v L2 . Ukáže se, že v distributivním smyslu je ∇u = g a Z |∇u(x)|2 dx = a. Ω
Funkce u je tedy kandidát na minimizér Dirichletova integrálu ve třídě Vϕ . Chceme-li provést naznačený důkaz poctivě, musíme ovšem znát základy funkcionální analýzy a teorie prostorů funkcí. Použili jsme termín “kandidát”, z výše uvedených úvah totiž není vůbec jasné, proč by funkce u měla být spojitá do hranice, proč by měla splňovat okrajovou podmínku a proč by měla být C 1 v Ω. Lze dokázat následující: pokud Ω je např. třídy C 1 , pak u je spojitá do hranice a splňuje Laplaceovu rovnici uvnitř a okrajovou podmínku (16). Důkaz však není snadný. 4.15. Slabé řešení. Cesta od (18) k Laplaceově rovnici vede přes tzv. slabé řešení. Mějme mimimizér u Dirichletova integrálu ve třídě Vϕ . Uvažujme w ∈ V0 . Potom pro všechna t ∈ R je u + tw ∈ Vϕ a Z Z 2 |∇u(x)| dx ≤ |∇u + t∇w(x)|2 dx Ω Ω Z Z Z = |∇u|2 dx + 2t ∇u · ∇w(x) dx + t2 |∇w(x)|2 dx. Ω
Ω
Ω
Od obou stran odečteme integrál z |∇u|2 , vydělíme t-čkem (rozlišíme t > 0, t < 0) a pošleme t → 0. Dostaneme odsud Z (19) ∇u · ∇w(x) dx = 0. Ω
Funkci u ∈ Vϕ , která splňuje (19) pro všechna w ∈ V0 , nazveme slabým řešením Dirichletovy úlohy pro Laplaceovu rovnici. Obecněji, abychom u nazvali slabým řešením, nemusíme požadovat ∇u ∈ C, stačí ∇u ∈ L2 (pak gradient chápeme v distributivním smyslu). Okrajová podmínka (16) se dá také zeslabit. Existenční věty zpravidla vedou na existenci slabých řešení. Předpokládejme, že u je slabé řešení a přitom je třídy C 2 . Integrováním per pertes dostaneme z (19) Z − ∆u(x) w(x) dx = 0, w ∈ V0 . Ω
Z toho už lze usoudit, že ∆u = 0, tedy pokud u ∈ Vϕ , máme tzv. klasické řešení. Klíčovým krokem při zkoumání, zda slabé řešení je též klasické řešení, je pozorování, že slabé řešení u má ještě jednu derivaci navíc. Pro Laplaceovu rovnici to dostaneme, ale pro obecnější rovnice (např. Poissonovu rovnici) lze též definovat slabá řešení a tam to již nemusí být pravda. Další problém je dodržení klasické formulace okrajové úlohy. Rozlišení řešení na “slabá” a “klasická” tedy má své opodstatnění. 4.16. Harmonické funkce. Nechť Ω ⊂ Rn je otevřená množina a u : Ω → R je spojitá funkce. Řekneme, že u je harmonická, jestliže pro každou kouli B(z, r) ⊂⊂ Ω platí Z (h(x) − h(z)) dx = 0. B(z,r)
Jinými slovy, průměr funkce přes kouli je funkční hodnota ve středu koule. 4.17. Věta. Nechť Ω ⊂ Rn je otevřená množina a u : Ω → R je spojitá funkce. Potom následující podmínky jsou ekvivalentní: (i) u je harmonická na Ω, 7
(ii) u řeší ∆u = 0 v Ω ve smyslu distribucí, (iii) u je třídy C ∞ a řeší ∆u = 0 v Ω (v klasickém smyslu). 5. Rovnice vedení tepla 5.1. Evoluční rovnice. Některé rovnice druhého řádu mají rozumnou fyzikální interpretaci, použije-li se jedna proměnná pro čas a zbývající proměnné pro prostorové souřadnice. Abychom výrazněji odlišili časovou proměnnou a prostorové proměnné, používáme značení (x, t) pro dvojici (prostorový bod, časový okamžik). V evolučních rovnicích předpokládáme, že proměnná x probíhá n-rozměrný prostor Rn , proměnná t je jednorozměrná, takže vlastně rovnici řešíme v Rn × R = Rn+1 . 5.2. Rovnice vedení tepla. Rovnice vedení tepla, někdy též nazývaná rovnice difuze, je parabolická evoluční rovnice ∂u − ∆u = 0, (20) ∂t kde ∆ je Laplaceův operátor vzhledem k prostorovým proměnným, tedy n X ∂2u (21) ∆u(x, t) = (x, t) ∂x2i i=1 Pro jednoduchost se omezíme na homogenní rovnici (tj. na pravé straně rovnice (20) je nula a ne funkce f ). 5.3. Cauchyova úloha. Počáteční Cauchyova úloha je úloha najít v Rn ×h0, ∞) spojitou funkci u, která pro t > 0 řeší rovnici vedení tepla a pro t = 0 nabývá předepsaných hodnot, tedy ∂u (x, t) − ∆u(x, t) = 0, x ∈ Rn , t > 0, ∂t (22) u(x, 0) = ϕ(x), x ∈ Rn . Abychom mohli řešit počáteční úlohu konvolucí, potřebujeme funkci G, která řeší ve zobecněném smyslu speciální počáteční úlohu ∂G (x, t) − ∆G(x, t) = 0, t > 0, ∂t (23) G(·, 0) = δ0 . Symbol δ0 je zde Diracova distribuce vzhledem k prostorové proměnné. Shodou okolností je funkce G řešící (23) také fundamentálním řešením rovnice vedení tepla, tedy ∂G (24) − ∆G = δ0 , ∂t kde tentokrát δ0 je Diracova distribuce vzhledem k časoprostorové proměnné. 5.4. Předvýpočet. Buď f (x) = e−
x2 2
. Funkce f splňuje diferenciální rovnici f 0 = −xf,
tedy po transformaci ixfˆ = −i(fˆ)0 . Ejhle, funkce fˆ splňuje stejnou diferenciální rovnici. Protože rovnice je lineární, musí být fˆ = cf . Konstantu c spočítáme přímo z definice Fourierovy transformace, totiž Z x2 −1/2 ˆ c = f (0) = (2π) e− 2 dx = 1. R
(To je v podstatě Laplaceův integrál. který jsme spočítali v zimním semestru pomocí převodu na dvoux2
rozměrný integrál a polárních souřadnic.) Vidíme, že funkce e− 2 se Fourierovou transformací zobrazí sama na sebe. Ze známého vzorce ibx x F(f ◦ ϕ)(x) = a1 e a (Ff )( ), a √ kde ϕ(x) = ax + b, dále dostaneme pro a = 2t a b = 0 2 x2 1 (25) f (x) = e−tx =⇒ fˆ(x) = √ e− 4t . 2t 8
5.5. Fundamentální řešení. Zatímco (24) nás opravňuje nazvat funkci G fundamentálním řešením, pro odvození vyjdeme z motivace počáteční úlohou, tedy z úlohy (23). Aplikujeme-li Fourierovu transformaci vzhledem k prostorovým proměnným, dostaneme ˆ ∂G ˆ t) = 0, (x, t) + |x|2 G(x, t > 0, ∂t ˆ 0) = (2π)−n/2 . G(x, Pro pevné x řešíme počáteční úlohu pro obyčejnou diferenciální rovnici v proměnné t, dostaneme ˆ t) = (2π)−n/2 e−|x|2 t , G(x,
x ∈ Rn , t > 0.
Aplikujeme inverzní Fourierovu transformaci v prostorové proměnné (viz. (25)) a dostaneme (26)
G(x, t) = (4πt)−n/2 e−
|x|2 4t
,
x ∈ Rn , t > 0.
5.6. Věta. Nechť ϕ je omezená spojitá funkce na Rn . Potom existuje právě jedno omezené řešení Cauchyovy úlohy (22) a to má tvar Z |y−x|2 x ∈ Rn , t > 0. u(x, t) = (4πt)−n/2 e− 4t ϕ(y) dy, Rn
Řešení u je nekonečně diferencovatelné (a tudíž “klasické”) na otevřeném poloprostoru Rn × (0, ∞). 6. Vlnová rovnice 6.1. Vlnová rovnice. Vlnová rovnice je hyperbolická evoluční (viz. úmluvy 5.1) rovnice ∂2u − ∆u = 0, ∂t2 kde ∆ je opět Laplaceův operátor vzhledem k prostorovým proměnným, viz. (21). Pro jednoduchost se opět omezíme na homogenní rovnici (tj. na pravé straně rovnice (27) je nula a ne funkce f ).
(27)
6.2. Počáteční úloha pro vlnovou rovnici. Jelikož vlnová rovnice je druhého řádu vzhledem k časové proměnné, můžeme si dovolit kromě počáteční hodnoty funkce současně zadat i počáteční hodnoty časové derivace. Počáteční úloha pro vlnovou rovnici je tedy úloha najít v Rn+1 funkci w, která řeší vlnovou rovnici a pro t = 0 nabývá předepsaných hodnot, tedy
(28)
∂2w − ∆w = 0 v Rn+1 , ∂t2 w(x, 0) = ϕ2 (x), x ∈ Rn ,
∂w (x, 0) = ϕ1 (x), x ∈ Rn , ∂t kde ϕ1 , ϕ2 jsou dané spojité funkce na Rn . Protože řešení úlohy se zapíše snáze než “fundamentální řešení”, otázku fundamentálního řešení přeskočíme a rovnou se budeme věnovat zápisu řešení. Úlohu si můžeme zjednodušit na
(29)
∂2u − ∆u = 0 v Rn+1 , ∂t2 u(x, 0) = 0, x ∈ Rn ,
∂u (x, 0) = ϕ(x), x ∈ Rn ; ∂t totiž, jestliže ui řeší (29) s ϕ = ϕi , pak ∂u2 w = u1 + ∂t řeší (28). Vtip je v tom, že pro t = 0 je ∂ ∂u2 ∂ 2 u2 (·, 0) = (·, 0) = ∆u2 (·, 0) = ∆0 = 0. ∂t ∂t ∂t2 Tvar řešení se liší dimenzi od dimenze, napíšeme tedy zvlášť řešení pro n = 1, 2, 3. Věty zformulujeme pro klasická řešení, pro ϕ spojitou dostaneme pouze řešení ve smyslu distribucí. 9
6.3. Věta (n = 1, D’Alembert). Nechť ϕ je dvakrát spojitě diferencovatelná funkce na R. Potom funkce Z 1 u(x, t) = t ϕ(x + ty) dy −1
řeší úlohu (28) v R × R. Řešení je jednoznačné. 6.4. Věta (n = 2, Poisson). Nechť ϕ je dvakrát spojitě diferencovatelná funkce na R2 . Potom funkce ZZ t ϕ(x + ty) p u(x, t) = dy 2π 1 − |y|2 |y|<1 řeší úlohu (28) v R2 × R. Řešení je jednoznačné. 6.5. Věta (n = 3, Kirchhoff). Nechť ϕ je dvakrát spojitě diferencovatelná funkce na R3 . Potom funkce ZZ t ϕ(x + ty) dS(y) u(x, t) = 4π |y|=1 řeší úlohu (28) v R3 × R. 6.6. Poznámka. Integrál v (6.4) je dvojný, protože jsme v prostorové dimenzi dva. Integrál v (6.5) je dvojný, protože jsme sice v prostorové dimenzi tři, ale integrujeme přes sféru, takže integrál je plošný. 6.7. Poznámka. Mezi vlnovou rovnicí a rovnicí vedení tepla jsou značné rozdíly. Pomineme-li fakt, že u vlnové rovnice zadáváme na počátku nejen funkci, ale i derivaci, hlavní rozdíly jsou následující. • Rovnice vedení tepla zhlazuje, tedy i nehladká počáteční podmínka dává od samého počátku hladké řešení. Vlnová rovnice může “hrubosti” a singularity počátečních podmínek šířit dál. • Rovnice vedení tepla šíří informaci nekonečnou rychlostí. To je sice “nefyzikální”, ale přesto rovnice vystihuje v rámci možností fyzikální realitu dost věrně. Vlnová rovnice šíří informaci konstantní rychlostí (v tom tvaru jak ji máme zapsanou je to rychlost 1). • Rovnici vedení tepla má smysl řešit jen dopředu v čase, to znamená, že úloha určit z rozložení teploty v nějakém časovém okamžiku její rozložení v minulosti je nekorektní. Vlnová rovnice se dá řešit dopředu i zpět. 7. Fourierova metoda 7.1. Úvodní poznámka. Počáteční úloha pro evoluční rovnice je sice teorericky velmi důležitá, ale v praxi často řešíme okrajové úlohy. Například v dimenzi jedna nám rovnice vedení tepla popisuje vedení tepla v tyči a vlnová rovnice kmitání struny. Počáteční úloha odpovídá nekonečně dlouhé tyči, resp. struně, což nemusí být přesně to co potřebujeme. 7.2. Princip Fourierovy metody. Jednou z nejvýznamnějších metod pro řešení okrajových úloh pro evoluční rovnice je Fourierova metoda. Popíšeme si ji v prostorové dimenzi jedna. Každý daný interval lze převést lineární substitucí na interval (0, π), tedy budeme uvažovat jen tento interval. Danou počáteční úlohu si rozvineme do sinové Fourierovy řady. Plná Fourierova řada totiž odpovídá periodické okrajové podmínce, zatímco my se budeme zajímat o nulovou okrajovou podmínku. Pro každý člen řady najdeme zvlášť řešení okrajové úlohy a nakonec řešení sečteme. 7.3. Okrajová úloha pro rovnici vedení tepla. Pro rovnici vedení tepla nás zajímá okrajová úloha ∂u ∂ 2 u − =0 ∂t ∂x2 u(x, 0) = ϕ,
(30)
u(0, t) = u(π, t) = 0,
x ∈ (0, π), t > 0, x ∈ (0, π), t > 0.
Řešení úlohy pro jednotlivé členy je u(x, t) = e−k
2
t
sin kt
pro ϕ(x) = sin kx.
7.4. Věta. Nechť ϕ je spojitě diferencovatelná funkce na intervalu h0, πi, ϕ(0) = ϕ(π). Potom řešení úlohy (30) je jednoznačné a najdeme jej ve tvaru u(x, t) =
∞ X
bk e−k
k=1 10
2
t
sin kt,
kde bk jsou koeficienty Fourierova rozvoje funkce ϕ, tj. ∞ X ϕ(x) = bk sin kx. k=1
7.5. Okrajová úloha pro vlnovou rovnici. . Pro vlnovou rovnici nás zajímá okrajová úloha
(31)
∂2u ∂2u − =0 ∂t2 ∂x2 u(x, 0) = ψ, ∂u (x, 0) = ϕ, ∂t u(0, t) = u(π, t) = 0,
x ∈ (0, π), t > 0, x ∈ (0, π), x ∈ (0, π), t > 0.
Stejně jako u počáteční úlohy můžeme situaci převést na případ ψ = 0. Řešení úlohy pro jednotlivé členy je pro ϕ(x) = sin kx. u(x, t) = k1 sin kt sin kx 7.6. Věta. Nechť ϕ je dvakrát spojitě diferencovatelná funkce na intervalu h0, πi, ϕ(0) = ϕ(π), a ψ ≡ 0. Potom řešení úlohy (31) je jednoznačné a najdeme jej ve tvaru ∞ X bk sin kt sin kx, u(x, t) = k k=1
kde bk jsou koeficienty Fourierova rozvoje funkce ϕ, tj. ∞ X ϕ(x) = bk sin kx. k=1
11
