Matematika II Lineární diferenciální rovnice RNDr. Renata Klufová, Ph. D.
Jihoèeská univerzita v Èeských Budìjovicích EF Katedra aplikované matematiky a informatiky
Lineární diferenciální rovnice De nice a vìta. Nech» Diferenciální rovnici
p(x), q(x)
jsou funkce.
nazýváme lineární diferenciální rovnicí 1. øádu s pravou stranou. Je-li
q(x) = 0
Je-li
P (x)
pravé strany.
y 0 + p(x) · y = q(x)
. . . lineární diferenciální rovnice 1. øádu bez
primitivní funkce k
p(x)
v nìjakém intervalu I , pak:
(1)
obecné øe¹ení rovnice bez pravé strany má tvar y = C · e−P (x), C ∈ R.
(2)
obecné øe¹ení rovnice s pravou stranou má tvar y = C · e−P (x) + r(x), C ∈ R, kde r(x) je libovolné partikulární øe¹ení rovnice s pravou stranou na I . c Klufová 2012
Pøíklady Najdìte obecné øe¹ení LDR: (a) y0 + y · cos x = 0, (b)
y 0 + 2xy = 0
c Klufová 2012
Pøíklad Najdìte øe¹ení LDR:
y 0 + 2xy = x
metoda variace konstanty:
c Klufová 2012
Linerání diferenciální rovnice s konst. koef. 1. a 2. øádu De nice a vìta. Nech»
q(x)
je funkce;
a, b, c, p ∈ R, a 6= 0.
Lineární diferenciální rovnice s konstantními koe cienty 1. a 2. øádu s pravou stranou (resp. bez pravé strany): •
1. øád:
y 0 + p · y = q(x),
resp.
•
2. øád:
a · y 00 + b · y 0 + c · y = q(x),
y0 + p · y = 0
resp.
a · y 00 + b · y 0 + c · y = 0
Obecné øe¹ení rovnice 1. øádu je: y = C · e−px, s pravou stranou: y = C · e−px + r(x) c Klufová 2012
Linerání diferenciální rovnice 2. øádu postup øe¹ení
1. rovnice bez pravé strany ... sestavíme tzv. aλ + bλ + c = 0 s neznámou λ a diskriminantem D: 2. • D > 0 .. .2 reálné koøeny λ , λ .. .obecné øe¹ení rovnice bez pravé strany: y = C e + C e , C , C ∈ R; • D = 0 .. .jeden dvojnásobný koøen λ .. .obecné øe¹ení rovnice bez pravé strany: y = C e + C xe , C , C ∈ R; • D < 0 .. .komplexnì sdru¾ené koøeny λ = u ± iv .. .obecné øe¹ení rovnice bez pravé strany: y = C e cos(vx) + C e sin(vx), C , C ∈ R. 3. Obecné øe¹ení rovnice s pravou stranou vznikne z øe¹ení rovnice bez pravé strany - pøiètením libovolného partikulárního øe¹ení rovnice s pravou stranou. charakteristickou rovnici
2
1
1
1
λ1 x
λx
2
2
2
λ2 x
λx
1
2
1
2
1,2
1
ux
2
ux
1
2
c Klufová 2012
Pøíklad Najdìte øe¹ení LDR: (a)
y 00 − 9y = 0
(b)
y 00 + 2y 0 = 0
c Klufová 2012
Speciální typy pravých stran Vìta. Nech» lineární diferenciální rovnice s konstantními koe cienty 1. nebo 2. øádu má na pravé stranì funkci tvaru q(x) = m(x) · ekx, kde m(x) je mnohoèlen. Potom existuje mnohoèlen M (x) stejného stupnì jako m(x) tak, ¾e partikulární øe¹ení diferenciální rovnice s pravou stranou má tvar: (i) r(x) = M (x) · ekx,
pokud rovnice bez pravé strany,
y = ekx
není øe¹ením pøíslu¹né
(ii) r(x) = x · M (x) · ekx,
pokud y = ekx je øe¹ení pøíslu¹né rovnice bez pravé strany (u 2. øádu musí D > 0),
(iii) r(x) = x2 · M (x) · ekx, y = ekx
pro 2. øád, kdy D = 0, a pøitom je øe¹ení pøíslu¹né rovnice bez pravé strany. c Klufová 2012
Speciální typy pravých stran Najdìte øe¹ení LDR: (a) y0 − 3y = (x − 5)ex
(b)
y 00 − 4y 0 = 12x2 + 3x − 3
c Klufová 2012
Speciální typy pravých stran
Najdìte øe¹ení LDR s poèáteèními podmínkami: (a) y − 2y = −xe , y(0) = 7 (b) y + 4y = 15, y(0) = − , y( ) = 4 0
x
00
0
1 4
π 4
c Klufová 2012
Aplikace diferenciálních rovnic
. . . vyjádøení popisovaného vztahu mezi závisle a nezávisle promìnnou velièinou pomocí diferenciální rovnice hledaný model . . . partikulární øe¹ení splòující poèáteèní podmínky nìkdy je nutno ve výsledném modelu je¹tì upøesòovat dal¹í parametry
c Klufová 2012
Model exponenciálního rùstu vycházejí z pøedpokladu pøímé úmìrnosti mezi okam¾itou rychlostí nárùstu závisle promìnné a její okam¾itou hodnotou: y 0 = k · y, k > 0
. . . tzv. rùstová konstanta
• rùst populací, • spojité úroèení - pøi této formì úroèení s úrokovou mírou r se celková hodnota úroèené èástky A(t) neustále mìní s èasem t (v letech od poèátku úroèícího procesu) podle vztahu dA = r · A, tj. A = C · ert . Oznaèíme-li P (principal) výchozí dt èástku úètu, pak budoucí hodnota A = P ert. c Klufová 2012
Model exponenciálního rùstu Za 2 roky vzrostl poèet obyvatel v populaci ze 600 tis. na 1 800 tis. Pokud dochází k populaènímu rùstu za ideálních podmínek, jaká bude velikost populace za dal¹ích 1,5 roku?
c Klufová 2012
Model exponenciálního poklesu
y = Cekt, k < 0, C ∈ R
- je-li y0 poèáteèní mno¾ství letech, pak y(t) = y0ekt je mno¾ství dosud nerozpadlé látky po uplynutí t let. Ke zji¹tìní konstanty k se pou¾ívá tzv. poloèas rozpadu T - napø. pro uran 238U . . . 4, 5 · 109 let
• zákon radioaktivního rozpadu radioaktivní látky a t je èas v
c Klufová 2012
Model exponenciálního poklesu Populace ohro¾eného druhu alja¹ského soba klesá exponenciálnì. Poprvé, kdy¾ byl tento trend zachycen, byl stav populace 2 500 ks, ale po 10 letech u¾ jen 1 200 kusù. Sestrojte matematický model tohoto jevu.
c Klufová 2012
Modely omezeného exponenciálního rùstu
y = f (t),
kde závisle promìnná má urèitou rùstovou hranici, tj. t→∞ lim f (t) = M . • logistický rùst
- þSÿ køivka
c Klufová 2012
Model omezeného exponenciálního rùstu
Odvoïte obecný model uèení za pøedpokladu, ¾e úroveò zvládnutí dané dovednosti studentem je mìøena velièinou y (napø. objem výkonu), pøièem¾ koneèný stav úrovnì této velièiny je M . V prùbìhu uèení je y funkcí èasu t, výchozí hodnota ke y . Pøedpokládejte, ¾e v prùbìhu celého procesu je okam¾itá rychlost uèení pøímo úmìrná rozdílu koneèné úrovnì M a právì dosa¾ené úrovnì, tj. platí = k · (M − y). 0
dy dt
c Klufová 2012
Model omezeného exponenciálního rùstu
Pøi sestavování modelu ¹íøení infekce v populaci je t èas v týdnech (od poèátku) sledování a y vyjadøuje pomìrnou velikost zachvácené èásti populace; je tedy y = y(t). Vyjdìte z pøedpokladu, ¾e okam¾itá rychlost populace je pøímo úmìrná velikosti zasa¾ené a zároveò velikosti nezasa¾ené èásti populace. Pøedpokládejte dále, ¾e na poèátku sledování je zachváceno 5% populace a po 2 týdench 30% populace, tj. y(0) = 0, 05 a y(2) = 0, 30.
c Klufová 2012
