4.3.2
Goniometrické rovnice II
Předpoklady: 040201 Pedagogická poznámka: Hodina je rozdělena na dvě poloviny. Před příkladem 5 přibližně v polovině hodiny přeruším práci a synchronizuji třídu. Př. 1:
Vyřeš rovnici 1 − ( sin x − 1) = 2 − 3
(
)
3 sin x − 1 .
Problém: sin x se nachází uvnitř složitějších výrazů, neznáme jeho hodnotu ⇒ substituce, aby sin x z rovnice dočasně zmizelo. Substituce: y = sin x . 1 − ( y − 1) = 2 − 3
(
)
3 ⋅ y −1
2 − y = 2 − 3y + 3 2y = 3
3 2 Návrat k původní proměnné: 3 y = sin x = 2 π 2 Základní řešení : ; π , funkce y = sin x je periodická s nejmenší periodou 2π . 3 3 2 1 K = ∪ π + k ⋅ 2π ; π + k ⋅ 2π 3 k∈Z 3 y=
Pedagogická poznámka: Poměrně často se objevuje špatný pokus o substituci y = sin x − 1 , který pramení z problémů s prioritami operací. Je třeba jim vysvětlit, že pravá strana výraz y = sin x − 1 vůbec neobsahuje, protože díky přednosti násobení před odčítáním se jednička odečítá od výrazu
Př. 2:
Vyřeš rovnici
3 sin x .
cos x + cos π π = sin + 1 . 7 2 sin π cos x 6
Problém: V rovnici se vyskytují hodnoty goniometrických funkcí neobsahujících x ⇒ dosadíme za ně hodnoty: cos x + ( −1) = 1+1. 1 − cos x 2 cos x − 1 =2 1 − cos x 2
1
Problém: V rovnici je cos x víckrát ⇒ substituce. Substituce: y = cos x . y −1 1 = 2 /⋅ − y podmínka: y ≠ 0 2 1 − y 2 y −1 = − y 2y =1 1 y= 2 Návrat k původní proměnné: 1 y = cos x = 2 1 cos x = 2 5 1 K = ∪ π + k ⋅ 2π ; π + k ⋅ 2π 3 k∈Z 3 Pedagogická poznámka: U žáků, kterým výrazy cos π zabrání vyřešit příklad, je třeba znovu připomenout, že výrazy cos π ; sin
π
; ... jsou obyčejná čísla (trochu 2 nepřehledněji zapsaná, ale pořád jde o známé hodnoty), pracuje je se s nimi jako s čísly a na čísla jdou většinou i snadno přepsat.
Př. 3:
Vyřeš rovnici 2 sin 2 x + 3sin x − 2 = 0 .
Problém: V rovnici se vyskytují hodnoty goniometrických funkcí v druhé mocnině. ⇒ substituce. Substituce: y = sin x 2 y2 + 3y − 2 = 0 2 −b ± b 2 − 4ac −3 ± 3 − 4 ⋅ 2 ⋅ ( −2 ) −3 ± 5 y1,2 = = = 2a 2⋅2 4 −3 + 5 1 −3 − 5 y1 = = y2 = = −2 4 2 4 Návrat k původní proměnné: 1 y2 = sin x2 = −2 y1 = sin x1 = 2 5 K2 = ∅ 1 K1 = ∪ π + k ⋅ 2π ; π + k ⋅ 2π 6 k∈Z 6 5 1 K = ∪ π + k ⋅ 2π ; π + k ⋅ 2π 6 k∈Z 6
Pedagogická poznámka: Občas se objeví problémy se substitucí, které spočívají v tom, že na druhou není x, ale sinus. Samotný zápis sin však nepředstavuje žádnou hodnotu, jde pouze o označení postupu, kterým nějakého čísla (v tomto případě x) získáme jiné číslo (jde o to samé, jako bychom se snažili interpretovat, jako číslo 2
+ 1 nebo 3⋅ (
zápis
( sin x ) Př. 4:
2
)
2
). Zápis sin 2 x proto znamená to samé, jako zápis
, jde pouze z vynechání závorek a zkrácení zápisu.
Vyřeš rovnici 2 cos x ( 2 cos x + 1) = 2 cos x + 3 .
Problém: V rovnici se po úpravě vyskytnou hodnoty goniometrických funkcí v druhé mocnině ⇒ substituce. Substituce: y = cos x
2 y ( 2 y + 1) = 2 y + 3 4 y2 + 2 y = 2 y + 3 4 y2 − 3 = 0
( 2 y − 3 )( 2 y + 3 ) = 0 3 3 y2 = − 2 2 Návrat k původní proměnné: 3 3 y1 = cos x1 = y2 = cos x2 = − 2 2 11 7 1 5 K1 = ∪ π + k ⋅ 2π ; π + k ⋅ 2π K 2 = ∪ π + k ⋅ 2π ; π + k ⋅ 2π 6 6 k∈Z 6 k∈Z 6 5 7 11 1 K = ∪ π + k ⋅ 2π ; π + k ⋅ 2π ; π + k ⋅ 2π ; π + k ⋅ 2π 6 6 6 k∈Z 6 y1 =
Př. 5:
Vyřeš rovnici tg 2 x = −1 .
Problém: Uvnitř tangens není pouze x, ale složitější výraz ⇒ substituce. Substituce: y = 2 x tg y = −1 3 y = π + k ⋅π 4 Návrat k původní proměnné: 3 y = 2x = π + k ⋅π 4 3 2x = π + k ⋅π /:2 4 3 π x= π +k⋅ 8 2 3 π K = ∪ π +k⋅ 2 k∈Z 8 Pedagogická poznámka: Objevu je návrh na vydělení rovnice dvěma a úpravu tg 2 x tg 2 x = tg x . Takovém případě není od věci vyzkoušet na kalkulačce pro = 2 2
3
libovolné x, zda platí tg x = tg tg 2 x = 2
π 6
=
tg 2 2
π
3 , 3
6 =
tg
tg 2 x π = tg x (například pro tabulkový úhel dostáváme: 2 6
π
3 = 3 2 2
⇒ získali jsme různá čísla ⇒ rovnost
tg 2 x = tg x neplatí a nemůžeme ji 2
používat při úpravách rovnice
Pedagogická poznámka: Vždy se najde někdo, kdo potřebuje připomenout, že nejmenší perioda tangens je rovna π a tangens je uvnitř své periody prostou funkcí. Připomínám studentům, že periodu výsledků je třeba dopsat hned na počátku substituce, než začneme výraz upravovat. Přesto se najde dost jednotlivců, kteří to v následujících příkladech neudělají a budou mít špatné výsledky. Př. 6:
Vyřeš rovnici cos 0, 5 x =
1 . 2
Problém: Uvnitř cosinu není pouze x, ale složitější výraz. Substituce: y = 0,5 x 1 cos y = 2 π 5 y1 = + k ⋅ 2π y2 = π + k ⋅ 2π 3 3 Návrat k původní proměnné: π 5 y1 = 0,5 x1 = + k ⋅ 2π y2 = 0,5 x1 = π + k ⋅ 2π 3 3 π 5 0,5 x1 = + k ⋅ 2π / ⋅2 0,5 x2 = π + k ⋅ 2π 3 3 2 10 x1 = π + k ⋅ 4π x2 = π + k ⋅ 4π 3 3 2 10 K1 = ∪ π + k ⋅ 4π K 2 = ∪ π + k ⋅ 4π k∈Z 3 k∈Z 3 10 2 K = ∪ π + k ⋅ 4π ; π + k ⋅ 4π 3 k∈Z 3
Př. 7:
π 2 Vyřeš rovnici sin 3 x − = . 2 2
Problém: Uvnitř sinu není pouze x, ale složitější výraz. Substituce: y = 3 x −
π
2
4
/ ⋅2
2 2
sin y =
π
3 y2 = π + k ⋅ 2π 4 4 Návrat k původní proměnné: y1 =
+ k ⋅ 2π
y1 = 3 x1 − 3 x1 −
π
=
π
2
π
=
π
4
+ k ⋅ 2π
y2 = 3 x2 −
/+
π
3 = π + k ⋅ 2π 2 4 π 3 π 3 x2 − = π + k ⋅ 2π /+ 2 4 2 5 3 x2 = π + k ⋅ 2π / :3 4 5 2 x2 = π + k ⋅ π 12 3 2 5 K2 = ∪ π + k ⋅ π 3 k∈Z 12
+ k ⋅ 2π
π
2 4 2 3 3 x1 = π + k ⋅ 2π / :3 4 1 2 x1 = π + k ⋅ π 4 3 2 1 K1 = ∪ π + k ⋅ π 3 k∈Z 4 2 5 2 1 K = ∪ π + k ⋅ π; π + k ⋅ π 3 12 3 k∈Z 4
π π Vyřeš rovnici sin 2 x − = sin − 2 x + 1 . 3 3
Př. 8:
Problém: Uvnitř sinů není pouze x, ale složitější výraz, bohužel výrazy se liší znaménkem. π π π Nápad: y = sin x je lichá funkce ⇒ sin − 2 x = sin − 2 x − = − sin 2 x − 3 3 3 π π sin 2 x − = − sin 2 x − + 1 3 3 Substituce: y = 2 x − sin y = − sin y + 1 2sin y = 1 1 sin y = 2
π
π 3
5 y2 = π + k ⋅ 2π 6 6 Návrat k původní proměnné: y1 =
+ k ⋅ 2π
y1 = 2 x1 − 2 x1 − 2 x1 = x1 =
π 3
π
π 4
2
=
π
=
3
π
6
π
6
+ k ⋅ 2π
+ k ⋅ 2π
/+
π
5 = π + k ⋅ 2π 3 6 π 5 π 2 x2 − = π + k ⋅ 2π /+ 3 6 3 7 2 x2 = π + k ⋅ 2π /:2 6 7 x2 = π + k ⋅ π 12
+ k ⋅ 2π
y2 = 2 x2 −
π 3
/:2
+ k ⋅π
5
1 K1 = ∪ π + k ⋅ π k∈Z 4 7 1 K = ∪ π + k ⋅π ; π + k ⋅π 12 k∈Z 4
Př. 9:
7 K2 = ∪ π + k ⋅π k∈Z 12
Petáková: strana 52, cvičení 3 b), d) strana 52, cvičení 7 b) strana 52, cvičení 6 b), d), h), i)
Shrnutí: Substituci používáme při řešení goniometrických rovnic na zjednodušení rovnice i zjednodušení výrazů uvnitř funkcí.
6
