1. 2. 3. 4.
Základné mocniny ............................................................................................................... 2 Odmocnina .......................................................................................................................... 7 Tretia mocnina .................................................................................................................. 10 Tretia odmocnina .............................................................................................................. 14 2
2
a a 5. Umocňovanie súčinu a podielu použitím vzorcov: a b a b , 2 ........... 16 b b a b a b ................................................. 19 6. Odmocňovanie súčinu použitím vzorca 7. Mocnina súčinu ................................................................................................................. 21 8. Mocnina podielu ............................................................................................................... 23 9. Cvičenie I .......................................................................................................................... 26 10. Cvičenie II ..................................................................................................................... 29 11. Výrazy - operácie s mocninami - násobenie ................................................................. 38 12. Výrazy - operácie s mocninami -delenie ....................................................................... 40 2
-1-
2
2
1. Základné mocniny 1. Urči druhé mocniny čísel: a) 120 b) 9000 c) 95000 d) 18 e) 150 Riešenie: a) 1202 120 120 14400 b) 90002 9000 9000 81000000 c) 950002 95000 95000 9025000000 d) 182 18 18 324 e) 1502 150 150 22500 2. Urči druhé mocniny čísel: a) 1,1 b) 0,07 c) 0,15 d) 0,13 e) 0,65 f) 0,00035 g) 1,9 Riešenie: a) 1,12 1,11,1 1, 21 b) 0, 07 2 0, 07 0, 07 0, 0049 c) 0,152 0,15 0,15 0, 0225 d ) 0,132 0,13 0,13 0, 0169 e) 0, 652 0, 65 0, 65 0, 4225 f) 0, 000352 0, 00035 0, 00035 0, 0000001225 g) 1,92 1,9 1,9 3, 61
-2-
3. Vypočítajte: a) –1,62 b) –0,142 c) –502 d) –1702 e) –4502 f) –202 g) –16002 Riešenie: a) 1, 62 1, 6 1, 6 2,56 b) 0,142 0,14 0,14 0,0196 c) 502 50 50 2500 d). 1702 170 170 28900 e). 4502 450 450 202500 f) 202 20 20 400 g) 16002 1600 1600 2560000 4. Vypočítajte: 2 a) 110 b) 0, 006 c) 2,5
2
d) 0,11
2
e) 0,018 f) 0,7
2
2
2
Riešenie: a) 110 110 110 12100 2
b) 0,006 0,006 0,006 0,000036 2
c) 2,5 2,5 2,5 6, 25 2
d) 0,11 0,11 0,11 0,0121 2
e) 0,018 0,018 0,018 0,000324 2
f) 0,7 0,7 0,7 0, 49 2
-3-
5. Vypočítajte: 2 a) 0,9 b) 190
2
c) 13 d) 8 e) 6
2
2
2
Riešenie: a) 0,9 0,9 0,9 0,81 2
b) 190 190 190 36100 2
c) 13 13 13 13 169 2
2
d) 8 8 8 8 64 2
2
e) 6 6 6 6 36 2
2
6. Vypočítajte:
a) 3 5 2 4 2 3 2 2
b) 2 2 4
2 2
2
2 c) 62 2 4 7 2 2 2 d) 4 3 6
e) 3 2 2 5 8 2
2
f) 7 32 42 82 15 2
2 4 g) 3 5 2
2 42 1 5 h) 2 3 5 5 1 22 2 8 1 i) 2 2 2 3 3 2
Riešenie: 2
a)
32 52 42 32 9 25 16 92 92 81
b)
2
c)
62 2 2 4 7 36 4 4 7 28 7 196
d)
42 32 62 16 9 36 11
e)
3 2
2
4 2 4 16 12 144 2
2 2
2
2
5 8 3 4 5 64 49 5 64 245 64 181 2
2
-4-
15 7 9 16 64 15 7 57 15 399 15 384
f)
7 32 42 8
g)
2 4 2 4 25 43 15 225 225 3 5
h)
2 2 1 25 16 9 252 16 5 9 9 625 720 86 1 5 4 32 5 25 9 5 25 9 225 225 5
2
2
2
2
2
i)
2 1 22 2 8 1 1 4 8 2 2 3 2 4 3 9 2 3 9 16 12 8 4 9 192 32 233 94 36 36
V ďalších príkladoch je potrebné krátiť!!! 7. Vypočítajte: 2 2 2 a) 1,1 4 (3.2) 122 112 42 b)
1,52 1002 1,32 2502 1,22 1402
c)
352 7,52 102 0,252 4502 5502
d)
0,22 122 0,15 0,12 1302 1202
e)
22 42 2 2 1 6 2 2 5 3 2 3
2
Riešenie: a)
b)
c)
1,12 4 2 (3.2) 2 1,21 16 9 4 1 1 1 1 2 2 2 144 121 16 4 100 1 400 12 11 4
1,52 1002 1,32 2, 25 10000 1, 69 225 100 169 2 2 2 250 1, 2 140 62500 1, 44 19600 625 144 1960000 9 169 169 169 25 144 19600 25 16 19600 7840000 352 7,52 102 1225 56, 25 100 2 2 2 0, 25 450 550 0, 0625 202500 302500 49 49 6, 25 9 484 27225
-5-
0, 22 122 0,15 0, 04 144 0, 0225 0, 09 2 2 2 0,1 130 120 0, 0116900 14400 1690000 2
d)
e)
22 1 2 4 16 42 2 1 2 6 36 2 2 2 3 3 5 2 3 9 25 100 16 9 36 9 25 1 2 100 144 8100 1 2 2 3 9 25 225 2 3 8056 1 2 4028 2 4028 150 4178 225 2 3 225 3 225 225
-6-
2. Odmocnina 1. Urči druhé odmocniny čísel: a) 121 b) 225 c) 81 d) 324 e) 361 Riešenie: a)
121 11, protože 112 121
b)
225 15, protože 152 225
c)
81 9, protože 92 81
d)
324 18, protože 182 324
e)
361 19, protože 192 361
2. Urči druhé odmocniny desatinných čísel: a) 1,69 e) 0,0196 b) 0,0144 f) 6, 25 c)
0,64
d)
0,0049
g) 1, 21 h) 0,16
Riešenie: a)
1,69 1,3, protože 1,32 1,69
b)
0,0144 0,12, protože 0,122 0,0144
c)
0,64 0,8, protože 0,82 0,64
d)
0,0049 0,07, protože 0,072 0,0049
e)
0,0196 0,14, protože 0,142 0,0196
f)
6, 25 2,5, protože 2,52 6, 25
g)
1, 21 1,1, protože 1,12 1, 21
h)
0,16 0, 4, protože 0,42 0,16
3. Urči druhé odmocniny veľkých čísel: a) 12100 f) 6250000 b) 640000 g) 360000 c) 2500 h) 8100 d) 144000000 i) 1960000 -7-
e) 16900
j)
49000000
Riešenie: a)
12100 110, protože 1102 12100
b)
640000 800, protože 8002 640000
c)
2500 50, protože 502 2500
d)
144000000 12000, protože 120002 144000000
e)
16900 130, protože 1302 16900
f)
6250000 2500, protože 25002 6250000
g)
360000 600, protože 6002 360000
h)
8100 90, protože 902 8100
i)
1960000 1400, protože 14002 1960000
j)
49000000 7000, protože 70002 49000000
4. Urči druhé odmocniny zlomkov: 144 a) e) 169
0,36 12100
b)
12100 1960000
f)
0, 0025 225
c)
0,000144 0,0625
g)
0,36 256
0, 0064 0, 0324 Riešenie:
d)
a)
144 12 169 13
b)
12100 121 11 nebo 1960000 19600 130
12100 110 11 1960000 1400 140
-8-
c)
0, 000144 144 12 6 nebo 0, 0625 62500 250 125
d)
0, 0064 0, 08 8 4 nebo 0, 0324 0,18 18 9
e)
0,36 36 6 3 12100 1210000 1100 550
f)
0, 0025 25 5 1 225 2250000 1500 300
g)
0,36 36 6 3 256 25600 160 80
0, 000144 0, 012 12 6 0, 0625 0, 25 250 125
0, 0064 64 8 4 0, 0324 324 18 9
-9-
3. Tretia mocnina 1. Vypočítaj: 0, 73 , 0, 043 , 1,13 , 603 , 2003 Riešenie: 0,73 0,7 0,7 0,7 0,343 nebo 0,73 7 0,1 343 0,001 0,343 3
0, 043 0, 04 0, 04 0, 04 0, 000064 1,13 1,11,11,1 1,331 603 60 60 60 216000 nebo 603 63 103 216 1000 216000 2003 200 200 200 8000000
2. Řešte příklady: 0, 63 , 1, 23 , 0, 053 , 403 , 9003 Riešenie: 0, 63 0, 6 0, 6 0, 6 0, 216 1, 23 1, 2 1, 2 1, 2 1, 728 0, 053 0, 05 0, 05 0, 05 0, 000125 403 40 40 40 64000 9003 900 900 900 729000000 3
3
3 3 3 2 5 3. Řešte příklady: 0, 2 , , , 300 , 120 3 6 Riešenie:
0, 2
3
0, 2 0, 2 0, 2 0,008
3
8 2 2 2 2 27 3 3 3 3 3
5 5 5 5 125 6 6 6 6 216
300
3
300 300 300 27000000
120
3
120 120 120 1728000
- 10 -
4. Řešte příklady: 3
3 2 6 0, 4 3 , 0, 2 0,3 , 0, 02 2 3 4 , 0, 2 0,1 30 , 3 0, 2 4 3
3
Riešenie:
2 3 4
3
23 33 43 8 27 64 13824 nebo
0, 2 0,1 30
3
2 3 4
3
243 13824
0, 23 0,13 303 0, 008 0, 001 27000 0, 216
2 6 0, 4 2 2 2 2 3 3 0, 2 4 11 4 1 2 8 3
3
3
0, 2 0,3 0,06 0,000216 0,000216 3
3
0,02 0,02 0,000008 3
3
5. Vypočítajte hodnotu výrazů: a)
1 4 3
k)
2 23 32 32
l)
2 3 5 5
m)
6 8 32 2 43 32 23
n)
3 3 2 2 2
o)
5 2 33 3
p)
1 1 3 3
q)
2 1 1 2 3 2 2
r)
2 6 3
s)
3 3 2 3 4
t)
2 3 1 3 3 2
3
5 0, 4
3
b)
2
c)
4 2 2 3
d)
3 2 4
e)
2 1 3 2
f)
2 1 3 3
g)
3 3 4 2
h)
2 1 5 2 3 6
i)
3 1 3 1 4 2 2 2
j)
3 3 25 6 5 9 15
3
3
3
3
3
2
3
2
3
3
3
3
3
2
3
2
2
3
Riešenie: - 11 -
3
a)
1 4 27 1 108 1 109 1 1 4 4 4 27 27 27 27 27 3
b)
5 0, 4 5 0,064 5 0,064 4,936
c)
4 2 2 3 8 2 27 8 54 62
d)
3 2 4 3 8 4 3 32 29
e)
2 1 2 1 2 8 1 3 16 3 13 3 2 3 8 24 24 24
f)
2 1 8 1 8 1 7 27 27 3 3 27 27
g)
3 3 3 27 3 27 6 27 33 1 4 4 2 4 8 4 8 8 8 8
h)
2 1 2160 6 2154 359 35 1 10 5 2 2 3 3 3 216 648 648 108 108 6
i)
3 1 3 1 3 3 1 3 3 6 3 3 4 2 2 2 8 2 8 8 16 16 16
j)
3 27 25 216 3 216 9 216 207 69 4 3 25 6 13 15 15 5 5 5 9 15 125 9 15 5 15
k)
2 23 2 8 2 8 10 1 2 1 2 3 3 9 9 9 9 9
l)
4 27 20 27 47 2 3 125 125 5 5 25 125
m)
6 8 32 6 8 2 9 2 9 2 54 56 7 1 2 2 3 2 3 4 3 2 64 9 8 24 4 24 24 3 3
n)
3 3 3 32 29 1 3 2 8 7 2 2 4 4 4 4
o)
5 33
p)
1 1 1 1 3 1 2 3 3 9 27 27 27
q)
2 1 1 1 1 1 1 0 2 3 2 2 4 8 64 64
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
2
3
2
5 4 5 12 7 2 27 27 3 27 9 2
3
3
2
3
2
- 12 -
3
r)
2 8 162 8 154 19 5 6 6 27 27 27 27 3
s)
9 9 6912 6903 247 3 3 27 26 2 3 256 256 256 256 4
t)
2 2 3 1 3 64 1 512 9 503 71 8 1 6 3 2 9 8 72 72 72 3 8
2
2
- 13 -
4. Tretia odmocnina 1. Vypočítaj: Riešenie: 3 64 4
3
64,
3
216,
3
216 6
3
0,008 0, 2
3
27000 30
3
0,000343 0,07
2.Vypočítaj:
3
64 , 216
3
3
343 , 512
3
0,008,
3
0, 729 , 343
27000,
3
3
0,000343
0, 000512 , 0, 729
3
64000 343000000
Riešenie: 3
64 4 2 216 6 3
3
343 7 512 8
3
0, 729 0,9 9 343 7 70
3
0, 000512 0, 08 8 4 0, 729 0,9 90 45
3
64000 40 2 343000000 700 35
3. Vypočítaj: Riešenie::
3
64 125, 3 0,008 125,
3
64 125 4 5 20 nebo
3
0,008 125 0, 2 5 1 nebo
3
27 0,064 3 0, 4 1, 2
3
343 0, 216 7 0,6 4, 2
3
0,027 0,008 0,3 0, 2 0,06
3
3
27 0,064,
3
343 0, 216,
3
0,027 0,008
64 125 3 8000 20
4. Vypočítaj: 3 0,001 0,512, 3 1000 0,343,
3
3
0,008 125 3 1 1
729 1000000,
- 14 -
3
343000 0,001,
3
0,000512 1000
Riešenie: 3
0,001 0,512 0,1 0,8 0,08
3
1000 0,343 3 343 7
3
729 1000000 900
3
343000 0,001 70 0,1 7
3
0,000512 1000 3 0,512 0,8
- 15 -
5. Umocňovanie súčinu a podielu použitím vzorcov: a b
2
2 a a a b , 2 b b
2
2
2
1. Urči druhé mocniny čísel: a) 222 b) 482 c) 0, 0482 d) 0, 332 Riešenie: a)
222 112 22 121 4 484
b)
482 42 122 16 144 2304
c)
0,0482 0,001 4 12 0,0012 42 122 0,00000116 144 0,002304
d)
0,332 0,01 3 11 0,0001 9 121 0,1089
2
2
2. Urči druhé mocniny čísel: 2 a) 0,1 8 3 b) 7 15 0, 2 c) 2 3 6
2
2
Riešenie: a)
0,1 8 3
b)
7 15 0, 2
c)
2 3 6
2
2
0,12 82 32 0,01 64 9 5,76 2
72 152 0, 22 49 225 0,04 441
362 1296
- 16 -
3.Urči druhé mocniny čísel: 52 a) 4 2 b) 7
3 d) 5
2
23 c) 5
2
6 e) 11 2
2 7 f) 38
2
2
Riešenie: a)
52 5 5 25 1 6 4 4 4 4
b)
2 2 2 22 4 7 7 7 7 7 49
c)
2 2 4 9 36 11 23 2 3 1 2 5 25 25 25 5
d)
3 1 3 1 9 9 52 25 25 5
e)
1 62 36 6 112 121 11
f)
49 2 7 14 7 3 8 24 12 144
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
- 17 -
4. Urči druhé mocniny čísel: 0,12 a) 0, 013
2
0, 008 b) 0, 07
2
2 0, 03 c) 0,8
2
Riešenie: a)
0, 0144 14400 35 0,12 0, 013 0, 000169 169 85 169
b)
16 0, 008 8 4 0, 07 70 35 1225
c)
9 2 0, 03 0, 06 6 3 0,8 0,8 80 40 1600
2
2
2
2
2
2
2
2
5. Urči druhé mocniny čísel: 5 2 a) 7
2
3 5 c) 8
6 3 b) 17
2
2 1 d) 3
2
2
Riešenie: a)
5 2 10 100 2 2 49 49 7 7
b)
6 3 18 324 289 17 17
c)
3 5 15 2 15 2 225 33 3 64 64 8 8 8
e)
2 1 4 2 3 9 3
2
2
2
2
2
2
2
- 18 -
6. Odmocňovanie súčinu použitím vzorca 1.Urči odmocniny čísel: a) 16 4
f)
81 49
b)
25 16
g)
9 121
c)
64 9
h)
144 25
d)
81 25
i)
121 64
e)
25 64
j)
361 81
a b a b
Riešenie: a)
16 4 4 2 8 nebo 16 4 64 8
b)
25 16 5 4 20 nebo
c)
64 9 8 3 24
d)
81 25 9 5 45
e)
25 64 5 8 40
f)
81 49 9 7 63 nebo
g)
9 121 3 11 33
h)
144 25 12 5 60
i)
121 64 11 8 88
j)
361 81 19 9 171 nebo
25 16 400 20
81 49 3969 63
361 81 29241 171
- 19 -
2. Urči odmocniny čísel: a) 16 400 b)
2500 1600
c)
640000 9
d)
81 250000
e)
250.64000
Riešenie: a)
16 400 4 20 80
b)
2500 1600 50 40 2000
c)
640000 9 800 3 2400
d)
81 250000 9 500 4500
e)
250.64000 25 10 64 1000 25 64 10000 5 8 100 4000
3.Urči odmocniny čísel: a) 0,81 49 b)
9 0,000121
c) 1, 44 0, 25 d)
0,0121 0,64
e)
36,1 8,1
Riešenie: a)
0,81 49 0,9 7 6,3
b)
9 0,000121 3 0,011 0,033
c)
1, 44 0, 25 1, 2 0,5 0,6
d)
0,0121 0,64 0,11 0,8 0,088
e)
36,1 8,1 361 0,1 81 0,1 361 81 0,01 19 9 0,1 17,1
- 20 -
7. Mocnina súčinu 1. Zjednoduš číselné výrazy: 2 5 , 2 4 , 4 10 , 3 7 , 1 2 3 Riešenie: 2
2 5
2
3
2
2
3
4 25 100
2 4
8 64 512
4 10
2
3
3 7
2
16 100 1600 9 49 441
1 2 3
3
1 8 27 216
2. Zjednoduš číselné výrazy: 3 4 , 2 5 , 3 5 , 4 5 , 5 6 Riešenie: 3
3 4
3
3
2
4
27 64 1728
2 5
5
32 3125 100000
3 5
3
27 125 3375
4 5
2
5 6
625 1296 810000
4
5
16 25 400
3. Zjednoduš číselné výrazy: 2 4 , 3 4 , 3 5 , 1 7 , 2 5 Riešenie: 2
3
2
3
2 4 4 16 64 2
3 4 27 64 1728 3
3 5 9 25 225 2
1 7 1 343 343 3
2 5 32 3125 100000 5
4. Zjednoduš číselné výrazy:
2 3 4 , 1 2 5 , 2 4 5 , 5 3 6 , 2 3 1 Riešenie: 3
4
2
2 3 4 8 27 64 13824 3
- 21 -
2
3
5
1 2 5 116 625 10000 4
2 4 5 4 16 25 1600 2
5 3 6 25 9 36 8100 2
2 3 1 8 27 1 216 3
5. Zjednoduš číselné výrazy: 0,5 0, 2 , 0,3 0,04 , 20 0,6 , 10 0, 4 , 300 0,5 Riešenie: 2
0,5 0, 2
2
3
2
2
0,027 0,000064 0,000001728
400 0,36 144
10 0, 4
3
1000 0,064 64
300 0,5
2
90000 0, 25 22500
6. Zjednoduš výrazy: 4a , 6 xy , 2b 3d , 1 p 2q , 4k 3l Riešenie: 3
4a
3
6 xy
2
2
64a3 2
36 x 2 y 2
2b 3d
2
36b2 d 2
1 p 2q
3
4k 3l
2
3
0, 25 0,04 0,01
0,3 0,04 20 0,6
3
8 p3q3
144k 2l 2
- 22 -
3
2
2
8. Mocnina podielu 2 1. Zjednoduš číselné výrazy: 3 Riešenie:
2
2 , 5
3
3 , 4
2
1 , 2
4
5 , 3
3
2
2 4 2 2 2 3 3 9
3
3 8 2 2 3 5 5 125 2
32 9 3 42 16 4 4
1 1 2 16 3
3 17 5 5 125 4 3 27 27 3 3
4 2. Zjednoduš číselné výrazy: 5 Riešenie:
3
2 , 3
4
11 , 12
2
5 16 , , 18 17
2
2
3
2
3
64 4 125 5
2 2 16 4 3 81 3 4
4
121 11 11 2 12 144 12 2
2
2
25 5 18 324 2
162 256 16 2 289 17 17
4
3
2 3 3 5 9 2 6 5 6 3. Zjednoduš číselné výrazy: , , , , 4 7 3 7 3 5 4 5 Riešenie: 4
4
2
4
4 24 34 16 81 81 34 81 23 2 3 6 1296 81 2 3 nebo nebo 44 256 16 44 256 16 24 16 4 4 4
- 23 -
3
3 3375 3 5 15 3 7 343 7 2
32 9 9 2 49 3 7 7 3
3 64 2 6 4 3 5 125 3 5 2
2
56 3 9 4 4 5 2
4. Zjednoduš číselné výrazy: 4
3
6 5 5 2 8 2 3 5 11 15 12 , , , , 10 3 7 9 16 25 16 45 3
2
Riešenie: 4
6 5 4 1 1 10 3 5 2 10 1000 3 7 343 7 3
3
3
8 2 3 1 3 1 9 16 3 27 5 11 11 121 25 25 5 2
2
5
15 12 1 5 1 16 45 4 1024
2a 5. Zjednoduš výrazy: b Riešenie:
3
10ab , 15b
4
x , 3y
2
4 p , 10q
3
3 2a 8a , kde b 0 b3 b 4
4
4 10ab 2a 16a , kde b 0 81 15b 3
2
x x2 2 , kde y 0 3y 9 y - 24 -
3
5 pq , 10qr
2
5
3
3
4 p 2 p 8 p3 , kde q 0 125q3 10q 5q 2
2
5 pq p p2 2 , kde qr 0 10qr 2r 4r
- 25 -
9. Cvičenie I 1. Riešte príklady: a) 4 52 b) 7 2 4 2 c) 82 12 2 2 d) 6 2 4 2 e) 32 5 42 2 Riešenie: a)
4 52 4 25 29
b)
7 2 42 49 16 33
c)
82 12 22 64 1 4 67
d)
62 42 36 16 52
e)
32 5 42 2 9 5 16 2 18
2. Riešte príklady: 2 a) 8 5 b) 4 2
2
2 c) 4 2
d) 4 2
2
e) 6 52 2
Riešenie: a)
8 5 8 25 8 25 17
b)
4 2 4 4 8
c)
2 4 2 4 4 4 4 8
d)
4 2 4 2 4 4 0
e)
6
2
2
2
2
2
52 36 25 11
- 26 -
3. Riešte príklady: a) 4 32 b) 5 2 2 2 c) 3 2 d) 2 6 2
2
e) 5 3 1
2
Riešenie: a)
4 32 4 9 36
b)
5 22 5 4 20
c)
3 2 3 4 12
d)
2 6
e)
5 3 1 15 1 15
2
2
2
4 36 144 2
4. Riešte príklady: a) 42 5 2 62 2 5 b) 42 2 32 62 2
c) 9 42 112 1 d) 5 2 3 4 2
e ) 6 2 32
2
2
Riešenie: a)
42 5 2 62 2 5 16 5 2 36 10 80 2 26 80 52 132
b)
4
c)
9 42 112 1 9 16 121 1 7 121 7 121 114
d)
5 2 3 4 5 4 3 16 20 48 28
e)
2 6 2 32 6 2 9 24 576
2
2 32 62 16 2 9 36 16 18 36 2 36 4 36 32 2
2
2
2
2
2
2
- 27 -
2
5. Riešte príklady a) 16 2 4 6 10 b) c)
25 4 3 122 121 1 4 9
8 42 1 5 9 e) 15 : 25 6 121 d)
Riešenie: a)
16 2 4 6 10 4 2 4 16 8 4 4 8 16 24
b)
25 4 3 122 5 2 3 12 10 36 26
c)
121 1 4 9 11 1 2 3 11 6 5
d)
8 42 1 5 9 9 16 5 3 25 15 5 15 10
e)
15 25 6 121 15 5 6 11 3 66 63
6. Riešte príklady:
a) 6 32 4 9 2
b)
22 14 16 2
c)
52 62 3 1 9
d)
12 4
e)
6 12 9 6 12 22
2
52
2
Riešenie: a)
6 3
2 2
4 9 6 9 4 3 3 12 9 12 21 2
2
b)
22 14 16 2 36 4 2 6 8 2
c)
52 62 3 1 9 25 36 3 1 3 64 3 8 3 11
d)
12 4
e)
6 12 9 6 12 22 72 9 6 12 4 81 6 16 9 6 4 9 24 15
2
52 12 16 25 21 2
- 28 -
10. Cvičenie II 2. Vypočítaj: a) 3 8 27
f)
3
3,33
b)
3
50 3 20
g)
3
52 52 52 52 52
c)
3
0,001 3 1000
h)
3
3 3 8
d)
3
0,512 3 512
i)
3
e)
3
27 27 27 27
j)
26 125 3 1000
Riešenie: a)
3
8.27 3 23 33 2 3 6
b)
3
50 3 20 3 1000 10
c)
3
0,001 3 1000 3 1 1
d)
3
0,512. 3 512 0,8 8 6, 4
e)
3
27.27.27.27
f)
3
3,33 3,3
g)
3
52 52 52 52 52 3 5 25 3 125 5
h)
3
3 27 3 3 3 8 8 2
i)
3
26 2 3 22 4
j)
3
125 5 1 1000 10 2
3
3
3 4
34 81
6
3. Vypočítaj: a) 5 34 21
e)
b)
50 34 : 33
f)
c)
11 7 2 43 5 27
g)
d)
8 108 5 108 2 108 6 108
h)
54 : 52 26 34 8 48 9 49 65 34 162 37 154.62.122 125.9 2.16
Riešenie: a)
5 34 21 10 81 810
- 29 -
b)
50 34 : 33 1 3 3
c)
11 7 2 43 5 27 11 49 64 5 128 539 64 640 1115
d)
8 108 5 108 2 108 6 108 8 5 2 6 108 5 108
e)
54 : 52 52 25
f)
26 34 8 263 34 4 25 3 48 9 2 3 32
g)
49 65 34 2185 35 4 42 7 215 32 2 7 16 3 2 3
h)
154 62 122 54 34 22 32 32 222 5 34 22 2 3 2 2 4 125 9 16 5 3 2
4. Vypočítaj: a)
126 33 7 14 9 23
b)
36 34 8 39
3
d)
e)
25.23 c) 210 Riešenie:
f)
a)
126.33.7 226 36 33 7 28 37 3 2 3 14.9.2 273 2
b)
36.34.8 310 23 37 23 3.9 33
c)
25.23 2 2 10 2
d)
3 . 3 5 3 .32 3
2 .3 4
e)
f)
2 4
2.3 22 5
6
5
3 3 5 3 32
6
2
4
32
2 3 22 5
6
5
6
4
33 36 32 9 5 2 3 3
216 38 211 33 5 5 2 3 3
f) g) h)
3
52 4 2
52 212 56 4 6 12 1 5 2 2
5. Vypočítajte: a) 3 + 42 = b) (3 + 4)2 = c) (7 – 5)2 =
(32 + 42) = 72 – 52 = 72 – 5 = - 30 -
2 + 92 = (22 + 92) =
d) e)
i) j)
(2 + 9)2 = 62 – 23 =
f)
72
g)
56 2 100
Riešenie: a)
3 4 2 3 16 19
b)
3
c)
3 4
d)
7 2 52 49 25 24
e)
7 5
f)
7 2 5 49 5 44
g)
2 92 2 81 83
h)
2 9
i)
2
j)
62 23 36 8 28
2
2
42 9 16 25 2
72 49
2
2
22 4
112 121
92 4 81 85
6. Vypočítaj: a) 25 9 b) 100 36 c) d)
1 0,16
h) i)
e)
34
j)
64 4
3 62 10 0,09
Riešenie: a)
25 9 5 3 8
b)
100 36 10 6 4
c)
64 4 8 2 10
d)
1 0,16 1 0, 4 0,6
e)
34 32 9
f)
72 7
g)
56 53 125
h)
2 100 2 10 20
- 31 -
i)
3 62 3 6 18
j)
10 0,09 10 0,3 3
7. Vypočítajte: a) 4 9 16 25 b) 100 100
f)
4 2 6 2 7 2 12
g)
2 2 32 5 2 7 2
c)
32 4 2
h)
d)
32 4 2
i)
152 102 5 2 5 9 2 4 1
j)
9 121 3 8 2
e)
100 8 2 6 2
Riešenie: a)
4 9 16 25 2 3 4 5 14
b) 100 100 100 10 90 c)
32 42 3 4 7
d)
32 42 9 16 25 5
e)
100 82 62 100 64 36 100 100 100 10 90
f)
42 62 72 12 16 36 49 1 100 10
g)
22 32 52 72 4 9 25 49 11 nelze v oboru reálných čísel
h)
152 102 52 225 100 25 100 10
i)
5 9 2 4 1 5 3 2 2 1 12
j)
9 121 3 82 9 11 3 8 4
8. Vypočítajte: a)
3 4 2 16 36
e)
b)
4 64 7 25 32
f)
c)
1 1 4 16 81 49 2 3 7
g)
d)
100 0,09 0,5 400 Riešenie:
1 36 0,2 100 0,01 3
3 16 16 10 1,44 4 0,04 64 100
h)
2 2 2 2
a)
3 4 2 16 36 3 2 2 4 6 8
b)
4 64 7 25 32 4 8 7 5 3 32 35 3 0
- 32 -
c)
1 1 4 1 1 4 16 81 49 4 9 7 2 3 4 1 2 3 7 2 3 7
d) 100 0,09 0,5 400 100 0,3 0,5 20 30 10 40 1 1 36 0,2 100 0,01 6 0,2 10 0,1 2 2 0,1 0,1 3 3
e)
f)
3 3 16 16 10 1,44 4 16 10 1,2 3 16 12 1 4 4
g)
0, 04 64100 4 64 2 8 16
h)
2 2 2 2 4 4 2 2 4
9. Upravte a) b)
1
f)
4 1 2 49 4 81
g)
1 1
9 9
c)
x6
b) c) d) e) f) g) h)
1 1 1
9 9
102 4 2 2 2 12
93 12 2 1
4 1 2 49 2 7 7 4 81 2 9 9 5 1 5 1 6 2 3 3 3 16 4 1 2 8 16 4z 4z 2 2 2z 4z x4
x4 3 x , kde x6 x
6 2 144
j)
1 1 11 2
36 36
Riešenie: a)
a a2 4a 3 64 9
i)
16 2 8
e)
4z 2 x4
h)
5 1 3
d)
4z
x0
a a 2 a a 2a 1 3 2 , kde a 0 3 3 4a 4a 4a 2a
- 33 -
64 9
i)
36 36
83 5 1 36 6 30 6
6 2 144
j)
10 4 2 1 2
2
2
2
6 12 100 16 4 1
10. Upravte na základný tvar 16 4 a) 10 2 6 2
2 9 5 1 b)
1 64 49 2 1 25 22 34 52
c)
18
81
18 2 9
2
16 1 2 2 36 6 3
f)
g)
2 9 52 8 36 7 25 1 49 25 64 2 81
h)
d)
9 16 2 5 10
e)
9 8 3 49 7 21
2 8 42 6 9
i)
3 3 2 2 2 8 : 2 21 2
2
j)
25 39
Riešenie: 16 4 10 2 6 2
a) b)
42
100 36
2 9 5 1 1 64 49 2 1 25
c)
22 34 52
6 3 8 4
2 3 5 1 11 1 1 4 7 8 7 2
1 5 1 2 9 5 18
d)
9 16 3 4 12 6 2 5 10 100 10 5
e)
9 8 3 3 64 1 21 64 7 92 49 7 21 7 49 7 49 49
f)
16 1 2 4 1 2 24 1 8 31 2 36 6 6 36 9 36 36 3
2
2
g) h)
2 8 1 8 3 36 8 25 42 4 6 9 3 9 9 9 2 9 52 3 25 21 336 150 507 169 8 8 36 7 6 7 42 42 14
- 34 -
i)
25 5 1 49 25 7 5 8 64 2 2 9 81
j)
3 3 2 2 2 8 : 2 21
1
2
25 39
12 7 5 12 9 5 54 5 54 455 401 26 7 26 91 91 91 9
112 2 242 242 296 54 64 8 2 4 21 37 37 37
11. Upravte: 9 16 122 a) 4 9 8 b)
25 92 14 1 : 9 8 18 9
c)
18 24 8 9 19 6 9 19
2
d) e) f)
24 9 9 92 : 9 6 12 12 12 324 289 256 225 196 169 144 121 25 16 2 4 2 324 : 2 6 0, 2 1, 24 3 1 10 6
Riešenie: a) b)
9 16 122 9 4 144 27 16 216 227 4 9 8 4 3 8 12 12 25 9 2 14 1 5 81 7 40 243 168 35 : 9 9 8 18 9 3 8 9 24 24 2
c) d) e)
18 24 8 9 18 32 9 162 608 81 851 19 6 9 19 19 9 19 9 19 171
24 9 9 9 2 9 12 81 27 27 4 23 : 9 4 3 2 3 6 12 12 12 12 9 12 4 4 4 324 289 256 225 196 169 144 121 25 16 18 17 16 15 14 13 12 11 5 4 5
2 4 2 324 : 2 6 0, 2 1, 24 3 1 10 6 f)
1 3 18 2 36 1, 44 3 1 5 2 18,3 2 36 1, 2 3 1 0, 6 3 1 3, 6 1 2, 6
- 35 -
12. Riešte:
1 a)
1
b)
c)
d)
e) f)
2
256 20 : 625 5 2 1 1 52 2
2
121 2 2 9 2 25 142 25 5 : 2 25 2 5 16 1 4 52 16 2 4 117, 48 4 121 0, 02 2
538 2 3 5 8 16 3 8 5 3 26 853
Riešenie: 256 20 16 25 4 5 : 2 1 1 625 5 25 20 5 4 2 2 22 1 1 1 2 13 13 1 1 1 1 1 1 11 11 11 52 5 2 2 2
1
a)
b)
2
121 2 2 9
2
2 11 42 9
17 2 289 9 9
2
c)
25 142 25 5 490 1 : 2 1 489,5 2 1 2 25 5 1
d)
e) f)
52
16
4 25 1 2 25 3 25,75 22 4 16 2 4
117, 48 4 121 0, 02 117, 48 16 11 0, 02 117, 48 3,52 121 11 2
538 5 22 3 5 8 16 0 16 10 2 3 9 9 3 3 8 5 3 26 853 10 26 6
- 36 -
13. Vypočítaj: a)
3 3 3 9
64 4 4
b)
20 3 8000
c) d)
3
a)
3 3 3 9 3 3 33 3 33 33 3
24 6 3 24 9 Riešenie:
b)
64 4 4 8 4 2 16 4
c)
64 4 4 8 4 2 16 4
d)
3
24 6 3 24 9 3 24 6 3 24 3 3 24 6 3
3 24 3 3
- 37 -
11. Výrazy - operácie s mocninami - násobenie 1. Zjednoduš výrazy: a) 2a 3 3a 2 5a b) 4b 2 c 2c 2bc 3 c) 3d 3e 5d 2 e 2 2d 7 e 4 d) 5 fg f 2 g 3 4 g 4 f 3 g e) klm 2k 2l 3 3lm 4 Riešenie: a) 2a 3 3a 2 5a 30a 6 b) 4b 2 c 2c 2bc3 16b3c 5 c) 3d 3e 5d 2 e 2 2d 7 e 4 30d 12 e7 d) 5 fg f 2 g 3 4 g 4 f 3 g 20 f 6 g 9 e) klm 2k 2l 3 3lm 4 6k 3l 5 m5 2. Zjednoduš výrazy: a) 2ab2 4a 2b3
b) 3c 2 d 4 4cd 3 c) 4e2 f 3 2e2 f 3
d) 1 3g 2 h2 2 g 4 h e) 4k 2l 2 m 2 2kl lm Riešenie: a) 2ab2 4a 2b3 8a3b5
b) 3c2 d 4 4cd 3 12c3d 7 c) 4e2 f 3 2e2 f 3 8e4 f 6
d) 1 3g 2 h2 2 g 4 h 6 g 6 h3 e) 4k 2l 2 m 2 2kl lm 16k 3l 4 m2 3. Zjednoduš výrazy: a) 2ab 2ab 2ab
b) 3c2 d 3 2cd 2 2c2 d
c) 2ef 3e2 f 2 2 f 3 d) klm 3kl 2 m3 m2 e) 2 pqr 2 2 p3 3q2 4r Riešenie: - 38 -
a) 2ab 2ab 2ab 2ab 4a 2b2 8a3b3 b) 3c2 d 3 2cd 2 2c2 d 3c2 d 3 4c3d 3 12c5d 6 c) 2ef 3e2 f 2 2 f 3 6e3 f 3 2 f 3 12e3 f 6 d) klm 3kl 2 m3 m2 klm 3kl 2 m5 3k 2l 3m6 e) 2 pqr 2 2 p3 3q 2 4r 2 pqr 2 24 p3q 2 r 48 p 4q3r 3 4. Zjednoduš výrazy: 1 2 a) u 2v uv3 2 3 3 3 5 3 1 b) xy x y 5 6 2 5 2 7 c) xyz yz 2 x 2 7 5 8 1 1 1 d) p q r 2 p 2 q3 2 2 2
2 5 2 9 e) x 2 y3 xz 2 x 2 yz 2 xy3 z 2 5 4 3 3 Riešenie: a)
1 2 2 3 1 u v uv u 3v 4 2 3 3
3 5 1 1 b) xy 3 x 3 y x 4 y 4 5 6 2 4
5 2 7 1 c) xyz yz 2 x 2 x3 y 2 z 3 7 5 8 4 d)
1 1 1 2 2 3 1 1 1 p q r p q p p 2 q 4 r 2 p3q 4 r 2 2 2 2 2 4 8
2 5 4 2 9 45 e) x 2 y3 xz 2 x 2 yz 2 xy3 z 2 x3 y 3 z 2 x3 y 4 z 4 x6 y 7 z 6 5 4 12 3 3 15
- 39 -
12. Výrazy - operácie s mocninami -delenie 1. Zjednoduš výrazy: a) 25a 6 : 5a3 , kde a 0 b) 36b 4 : 9b, kde b 0 c) 28c 2 d 4 : 7cd 3 , kde c, d 0 d) 54e5 f 3 : 6ef 2 , kde e, f 0 e) 12 g 2 h3k 4 : 4 g 2 h 2 , kde ghk 0 Riešenie: 6 3 6 3 3 a) 25a : 5a 25 : 5 a 5a , kde a 0 4 4 1 3 b) 36b : 9b 36 : 9 b 4b , kde b 0
c) 28c 2 d 4 : 7cd 3 4cd , kde cd 0 d) 54e5 f 3 : 6ef 2 9e4 f , kde ef 0 e) 12 g 2 h3k 4 : 4 g 2 h 2 3hk 4 , kde ghk 0 2. Zjednoduš výrazy: 10ab 2 c 4 , kde abc 0 a) 15a 2bc 3 12e2 f 3 g 4 , kde efg 0 b) 8ef 4 g 4 15k 2l 2 m 2 , kde klm 0 20k 2l 2 m 2 12 p 3qr 4 , kde pqr 0 d) 15 pq 2 r 3
c)
e)
2 x 2 y 3 z 2 , kde xyz 0 3x3 y 3 z 3
Riešenie: a)
10ab 2 c 4 2bc , kde abc 0 15a 2bc3 3a
b)
12e2 f 3 g 4 3e , kde efg 0 8ef 4 g 4 2f
c)
15k 2l 2 m2 3 , kde klm 0 2 2 2 20k l m 4
d)
12 p 3qr 4 4 p2r , kde pqr 0 15 pq 2 r 3 5q
e)
2 x 2 y 3 z 2 2 , kde xyz 0 3 3 3 3x y z 3xz - 40 -
3. Zjednoduš výrazy: 2ab2 3a 2b a) , kde ab 0 3ab 3cd 2 2c 2 d 2 , kde cd 0 b) 2 3 2c d cd 3 e2 f 3 2e f c) , kde ef 0 2ef 4 1 e 2
3a b 3a b , kde ab 0 d) 6ab a b 12 xy 2 x y e) , kde xy 0 6 x y 2 y 4 5
3 2
3
2
3
4
3
3
3
Riešenie:
2ab 3a b = 6a b a) 2
2
3 3
3ab
b)
3ab
=2a 2b2 , kde ab 0
3cd 2 2c 2 d 2 3 2cd = 3, kde cd 0 2 3 2c d cd 2cd 1
3 e2 f 3 2e f e 2ef c) = e2 , kde ef 0 2ef 4 1 e2 2 f 1
3a b 3a b = 9a b d) 6ab a b 6a b 4 5
3 2
3
3
7 7 4
= 4
3a 3b3 3 a3b3 , kde ab 0 2 2
12 xy 2 2 x 4 y 3 12 2 x5 y 5 = 2 x 2 y, kde xy 0 e) 3 4 3 3 6 x y 2 y 6 2 x y 4. Zjednoduš výrazy: 0,5a 2b3 0,3a 3b , kde ab 0 a) 0, 03a 2b 2 5ab b)
0, 2u 3v 4 0, 03u 2v , kde uv 0 0,3u 2 v5 2u 2 v 4
4 3 2 2 pq 2 r 3 6 p q r , kde pqr 0 c) 3q 3r 5 4 p5q 2
0, 2u 3v 4 0, 03u 2v , kde uv 0 d) 0,3u 2 v5 2u 2 v 4 e)
0, 4k 2l 3m5 0,3kl 4 m , kde klm 0 0, 2klm 0, 6k 2l 6 m5
- 41 -
Riešenie: a) b)
0,5a 2b3 0,3a 3b 0, 03a 2b 2 5ab
=
0,15a 5b 4 a 2b , kde ab 0 3 3 0,15a b
0, 2u 3v 4 0, 03u 2v 0, 006u 5v5 u = = , kde uv 0 2 5 2 4 4 9 0,3u v 2u v 0, 6u v 100v 4
4 3 2 2 pq 2 r 3 6 p q r 12 p 5 q 5 r 5 = 1, kde pqr 0 c) 3q 3r 5 4 p5q 2 12 p 5 q 5 r 5
d)
e)
4 xy 3 z 5 6 y 2 z 3
3x yz 8 y z 2
3 6
=
24 xy 5 z 8 yz = , kde xyz 0 24 x 2 y 4 z 7 x
0, 4k 2l 3m5 0,3kl 4 m 0,12k 3l 7 m6 = 1, kde klm 0 3 7 6 0, 2klm 0,6k 2l 6 m5 0,12k l m
- 42 -
