1.2. MOCNINA A ODMOCNINA
V této kapitole se dozvíte: •
jak je d efinována mo cnina s při rozeným, celým, racionálním a ob ecný m reálným exponentem a jak é jsou její vlastn osti;
•
jak je d efin ována p řiro zená od mo cnina, jaké jsou její v lastnost i a jak se dá vyjádřit pomocí racionální mocn in y.
Klíčová slova této kapitoly: přirozená, celá, racionální a obecná reálná mocnina, přirozená odmocnina v reálném oboru.
Čas potřebný k prostudování učiva kapitoly: 0 ,5 + 0 ,75 hodin y (teo rie + řešení p říkladů)
Poznámka. Definici obecné mocniny reálného čísla s reálným exponentem je nutné „připravit“ definicemi speciálnějších mocnin s přirozeným, celým a racionálním exponentem a definicí odmocniny. Je také nutné sledovat definiční obory jednotlivých operací, zejména to, zda je daná mocnina (odmocnina) definována i pro nulu, příp. záporný základ. Za každou definicí jsou uvedeny základní vlastnosti, které je bezpodmínečně nutné znát, protože na nich jsou založeny úpravy výrazů s mocninami a odmocninami. Mocnina s přirozeným exponentem. Definice. Nechť a ∈ R , n ∈ N . Pak n -tou mocninou čísla a je číslo a n = aa...a , kde v naznačeném součinu se a vyskytuje právě n-krát. Věta. Pro každé a ∈ R , m, n ∈ N platí: a m a n = a ( m + n ) , a nb n = ( ab ) , ( a m ) = a mn . n
n
Mocnina s celým exponentem. Definice. Nechť a ∈ R , n ∈ Z . Je-li n = 0, pak pro a ≠ 0 definujeme a 0 = 1 . Je-li n < 0 a a ≠ 0 , pak 1 definujeme a n = − n . Symbol a n je nyní definován pro každé a ≠ 0 a každé celé n. a Věta. Pro každé a, b ∈ R, a, b ≠ 0 , m, n ∈ Z platí: a a =a m
n
( m+ n)
, a b = ( ab ) , ( a n
n n
)
m n
n
an an a n−m =a , m =a , n = . a b b mn
Odmocnina v reálném oboru. Definice. Nechť a ∈ R , n ∈ N . Jestliže a > 0 , pak n-tou odmocninou čísla a je takové kladné reálné číslo x , pro které platí x n = a . Toto číslo je právě jedno a značí se n a . Místo 2 a se píše a . Pro a = 0 se definuje n 0 = 0 . Jestliže a < 0 a n liché, pak se definuje n a = − n − a . (např. 3 −8 = − 3 8 = −2 ). Poznámka. Pro n sudé vždy platí 22 =
( −2 )
2
n
a n = a , nikoli
n
a n = a , což platí pouze pro a ≥ 0 . Proto např.
= 2 , nikoliv −2 . Např. řešení rovnice x 2 = 22 v R vypadá takto:
x 2 = 2 2 ⇔ x 2 = 2 2 ⇔ x = 2 ⇔ x = 2 ⇔ x = ±2 .
Věta. Pro každé a, b ∈ R, a, b > 0 , m, n ∈ N , k ∈ Z platí: n
ab = n a n b ,
n
a na = , b nb
n
ak =
( a) , k
n
m n
a = mn a ,
( a) n
n
=a.
Mocnina s racionálním exponentem. Definice. Nechť a > 0 je reálné číslo, r racionální číslo, které se dá (vždy) vyjádřit ve tvaru r =
p , kde q
q
p je celé a q přirozené číslo. Pak definujeme a r = a p . Speciálně pro n ∈ N dostáváme 1
an = n a , a
−
1 n
= n a −1 .
Obecná mocnina. Definice. Nechť x je kladné reálné číslo, a libovolné reálné číslo. Pak existuje posloupnost {an } racionálních čísel taková, že její limita je rovna a. Obecná mocnina x a se definuje jako limita posloupnosti x an , tj. limita posloupnosti mocnin s racionálním exponentem x an .
{ }
Poznámka. a) Více je o posloupnostech uvedeno v šesté kapitole. b) Obecná i racionální mocnina je definována pouze pro kladný základ, protože jen tak je zaručena existence její reálné funkční hodnoty. Věta. Pro každé x, y, a, b ∈ R, x, y > 0 platí: a
a
b xa x 1 1 xa 1 1 = 1 , x y = ( xy ) , a = , a = , x a xb = x a +b , b = x a −b , x − a = a , ( x a ) = x ab . y x x x y x a
a
a
a
Shrnutí kapitoly: Mezi základní algebraické funkce v reálném (i komplexním) oboru patří mocnina a odmocnina. Obecnou reálnou mocninu, tzn. mocninu s libovolným reálným exponentem, definujeme postupně v několika krocích. Nejprve definujeme mocninu přirozenou (tj. s přirozeným exponentem), pak celou (tj. s celým exponentem), dále přirozenou odmocninu, racionální mocninu (tj. s racionálním exponentem) a nakonec pomocí teorie posloupností reálných čísel obecnou mocninu. Vlastnosti různých typů mocnin jsou si podobné, je však nutné dávat pozor na definiční obor. Přirozená mocnina je definována pro všechna reálná čísla, celá mocnina pro všechna reálná čísla kromě nuly. Přirozená odmocnina sudá je definována pro kladná čísla a lichá pro všechna reálná čísla. Definiční obor racionální a obecné reálné mocniny tvoří pouze kladná čísla.
Otázky: •
Definujte p ostupně p řirozeno u a c elou mo cninu , p řirozeno u od mo c ninu , racion ální mocninu a ob ecnou reálnou mo cninu .
•
U všech typů mocnin a odmocniny u rčete defin iční obo r. Pro kter é fun kce jsou přípustné i zápo rn é h od noty arg u mentu?
Příklad 1: Vypočtěte mocniny a odmocniny: a) 32 ;b) ( −3) ; c) 23 ; d) ( −2 ) ; e) 2
3
9 ; f)
−9 ; g)
3
−
3
8 ; h)
3
3
i) 4−2 ; j) ( −4 ) ; k) 0,1−1 ; l) 2680 ; ; m) 4 2 ; n) 4 2 . −2
Příklad 2: Zjednodušte výrazy: 3
a) 4a 5b 2 ⋅ ( −7a 3b 4 c 2 ) ; b)
2
43 23 2 32 43 3 3 4 a a a ; c) x y : x y ; 2
3
18 x 2 y 5 10 x 2 y 3 1000 ⋅ 3 100 ⋅ 0, 01 ⋅ 10 d) ; e) : . 2 0, 001 ⋅ 3 0,1 ⋅ 0, 001 27 z 15 z
−8 ;
Řešení příkladů: 1a) 9 ; 1b) 9 ; 1c) 8 , 1d) −8 ; 1e) 3 ; 1f) nedef. ; 1g) 2 , 1h) −2 ; 1i) 1l) 1; 1m) 8 ; 1n)
1 1 ; 1j) ; 1k) 10 , 16 16
1 . 8
2a) −28a8b6 c 2 ; 2b)
24
a17 , a ≥ 0 ; 2c) x 9 y , x, y > 0 ; 2d) 107 ; 2e)
3y , xyz ≠ 0 . 2x2 z
Další zdroje: 1. POLÁK, J. Přehled středoškolské matematiky. 6. vyd. Praha: Prometheus, 1997. 2. POLÁK, J. Středoškolská matematika v úlohách I. 1. vyd. Praha: Prometheus, 1996. 3. POLÁK, J. Středoškolská matematika v úlohách II. 1. vyd. Praha: Prometheus, 1996. 4. REKTORYS, K. a spol. Přehled užité matematiky. 6. přepr. vyd. Praha: Prometheus, 1995.
ZÁVĚR: [Tady klepněte a pište]
