Pomoc od bezmoci z odmocnin ˇ ek Skarda ˇ L’ubom´ıra Dvoˇ r´ akov´ a (rozen´ a Balkov´ a), Cenˇ V´ ypoˇcet druh´e odmocniny pomoc´ı tuˇzky a pap´ıru byl doned´avna souˇc´ast´ı z´akladn´ıho vzdˇel´ an´ı. Nyn´ı se vˇsak v´ıce neˇz na svou hlavu spol´eh´ame na kalkulaˇcku a tento jednoduch´ y numerick´ y v´ ypoˇcet zaloˇzen´ y na n´asoben´ı a odeˇc´ıt´an´ı upad´a v zapomnˇen´ı. C´ılem ˇcl´ anku je toto zapomenut´e umˇen´ı vzkˇr´ısit, a to hned tˇremi zp˚ usoby: ˇskoln´ım“, ” ˇc´ınsk´ ym [2, 4] a indick´ ym [1, 2, 3]. Jeˇstˇe neˇz pˇribliˇzn´ y v´ ypoˇcet druh´e odmocniny z pˇrirozen´eho ˇc´ısla pˇripomeneme, zkuste jej vymyslet sami!
1
Druh´ a odmocnina ve ˇ skole
V´ ypoˇcet druh´e √ odmocniny bude nejl´epe srozumiteln´ y na konkr´etn´ım pˇr´ıkladˇe. Dejme si za u ´kol naj´ıt 35217261. Pˇresnˇeji ˇreˇceno: Najdeme nejvˇetˇs´ı pˇrirozen´e ˇc´ıslo n, kter´e splˇ nuje, ˇze n2 ≤ 35217261. Cel´ y postup je ilustrov´an na obr´azku 1. • Rozdˇel´ıme ˇc´ıslo 35217261 na dvojcifern´e bloky, tj. 35|21|72|61. (Zaˇc´ın´a se vˇzdy u jednotek, takˇze ˇc´ıslo 5217261 bychom rozdˇelili jako 5|21|72|61.) • Pod´ıv´ ame se na prvn´ı dvojici cifer 35 a pˇrem´ yˇsl´ıme, jak´a nejvˇetˇs´ı druh´a mocˇ ıslo 5 nap´ıˇseme do menina pˇrirozen´eho ˇc´ısla se do n´ı vejde. Je to 52 . C´ ziv´ ysledku, ˇc´ıslo 25 odeˇcteme od 35 a za rozd´ıl 10 nap´ıˇseme dalˇs´ı dvojici cifer ze zad´ an´ı. M´ ame tak zbytek 1021. Pro pˇrehlednost si do ˇr´adku za 1021 nap´ıˇseme oddˇeluj´ıc´ı znaˇcku, napˇr. :, a za ni dvojn´asobek meziv´ ysledku, tedy ˇc´ıslo 10. • Druhou cifru odmocniny hled´ame jako maxim´aln´ı x splˇ nuj´ıc´ı: (5x)2 = (50 + x)2 ≤ 3521. Pozor! Z´ apis 5x neznamen´ a souˇcin 5 × x, ale jde o des´ıtkov´ y z´apis ˇc´ısla 50 + x. Souˇcin znaˇc´ıme ×. Nerovnost lze zjednoduˇsit na tvar: 100 × x + x2 = (100 + x) × x = 10x × x ≤ 1021. ˇ ıslo 9 nap´ıˇseme do meziv´ Maxim´ aln´ı takov´e x je rovno 9. C´ ysledku, ˇc´ıslo 109 × 9 = 981 odeˇcteme od 1021 a za rozd´ıl 40 nap´ıˇseme dalˇs´ı dvojici cifer ze zad´an´ı. M´ ame tak zbytek 4072. Do ˇr´adku za 4072 nap´ıˇseme oddˇeluj´ıc´ı znaˇcku a za ni dvojn´ asobek meziv´ ysledku, tedy ˇc´ıslo 118. • Tˇret´ı cifru odmocniny hled´ ame jako maxim´aln´ı y splˇ nuj´ıc´ı: (59y)2 = (590 + y)2 ≤ 352172. Nerovnost lze zjednoduˇsit na tvar: 1180 × y + y 2 = (1180 + y) × y = 118y × y ≤ 4072. ˇ ıslo 3 nap´ıˇseme do meziv´ Maxim´ aln´ı takov´e y je rovno tˇrem. C´ ysledku, ˇc´ıslo 1183 × 3 = 3549 odeˇcteme od 4072 a za rozd´ıl 523 nap´ıˇseme dalˇs´ı dvojici cifer ze zad´ an´ı. M´ ame tak zbytek 52361. Do ˇr´adku za 52361 nap´ıˇseme oddˇeluj´ıc´ı znaˇcku a za ni dvojn´ asobek meziv´ ysledku, tedy ˇc´ıslo 1186. • Posledn´ı cifru odmocniny hled´ame jako maxim´aln´ı z splˇ nuj´ıc´ı: (593z)2 = (5930 + z)2 ≤ 35217261. 1
Nerovnost lze zjednoduˇsit na tvar: 11860 × z + z 2 = (11860 + z) × z = 1186z × z ≤ 52361. ˇ ıslo 4 nap´ıˇseme do meziv´ Maxim´ aln´ı takov´e z je√rovno ˇctyˇrem. C´ ysledku, . ˇ ıslo 11864 × 4 = 47456 odeˇcteme a z´ısk´ ame tak v´ ysledek 35217261 = 5934. C´ od 52361 a rozd´ıl 4905 je zbytek, kter´ y n´as dˇel´ı od pˇresn´e hodnoty, tj. plat´ı 35217261 = 59342 + 4905. • Pokud bychom chtˇeli dostat jeˇstˇe pˇresnˇejˇs´ı hodnotu odmocniny, nic n´am nebr´an´ı pokraˇcovat. Za zbytek by se napsaly dvˇe nuly, za meziv´ ysledek desetinn´a ˇc´arka a poˇc´ıtali bychom analogicky d´ale.
3 −2 1 −
5| 5 0 9 −
2
1| 7
2 8 4 3
1 1 0 5 5 4
−
7 4 2 7 4
2| 6
2 9 3 4 9
1
6 1 5 6 0 5
√
. =
5934
:
109 × 9
:
1183 × 3
:
11864 × 4
Obr´ azek 1: V´ ypoˇcet druh´e odmocniny z ˇc´ısla 35217261 ˇskoln´ım“ zp˚ usobem. ” √ Podobn´ ym zp˚ usobem sami spoˇctˇete 26150. Pozor! Pˇri dˇelen´ı na dvojice cifer nyn´ı dostanete 2|61|50. Mˇel by v´ am vyj´ıt v´ ysledek 161.
2
ˇ ınˇ Druh´ a odmocnina v C´ e
ˇ ınsk´ C´ y popis v´ ypoˇctu druh´e (i tˇret´ı) odmocniny obsaˇzen´ y v Matematice v dev´ıti knih´ ach z pˇrelomu letopoˇctu je nejstarˇs´ım historicky dochovan´ ym postupem. V terminologii – my pouˇz´ıv´ ame jej´ı poˇceˇstˇenou variantu – se odr´aˇz´ı souvislost s dˇelen´ım. ˇ ıslo, jehoˇz odmocninu hled´ C´ ame, se naz´ yv´a ˇ s, tj. dˇelenec. Jedno z pomocn´ ych ˇc´ısel nese oznaˇcen´ı fa, coˇz znamen´a dˇelitel, a skuteˇcnˇe se j´ım v √kaˇzd´em kroku ˇ ınsk´ dˇel´ı pˇr´ısluˇsn´ y zbytek. C´ y algoritmus pˇredvedeme na v´ ypoˇctu 173212 a postup ilustrujeme na obr´ azku 2. Vˇsechny u ´kony byly prov´adˇeny na poˇc´ıtac´ı desce pomoc´ı dˇrevˇen´ ych tyˇcinek. Zˇrejmˇe proto ˇc´ınˇst´ı poˇct´aˇri neˇsetˇrili ve sv´em postupu pˇrepisov´ an´ım. Pr´ avˇe proto vol´ıme ilustraci na menˇs´ım ˇc´ısle neˇz v pˇredchoz´ı sekci, a nav´ıc zbyteˇcn´e kroky vynech´ av´ ame. • Nap´ıˇseme do ˇr´ adku ˇ s odmocˇ novan´e ˇc´ıslo a do ˇr´adku t’ien-suan ˇc´ıslo 10000, kter´e oznaˇcuje nejvyˇsˇs´ı lichou cifru dˇelence (tak poˇct´aˇri ˇr´ıkali odmocˇ novan´emu ˇ ˇc´ıslu). Tien-suan vˇzdy zv´ yrazˇ nuje aktu´aln´ı pozici ve v´ ypoˇctu, k niˇcemu jin´emu neslouˇz´ı. • Prvn´ı cifru odmocniny hled´ ame jako maxim´aln´ı pˇrirozen´e ˇc´ıslo, jehoˇz mocnina ˇ rku nap´ıˇseme do ˇr´adku fang na pozici je menˇs´ı nebo rovna 17, coˇz je 4. Ctyˇ nejvyˇsˇs´ı cifry v´ ysledku a fa (t´eˇz naz´ yv´ano suo-te) vypln´ıme souˇcinem ˇctyˇrky a t’ien-suan. D´ ale odeˇcteme od ˇc´ısla 173212 souˇcin fang a fa, tj. 4 × 40000. Rozd´ıl 13212 vloˇz´ıme do ˇ s. Nakonec fa zdvojn´asob´ıme a posuneme o jedno m´ısto doprava. Posuneme i t’ien-suan, a to o dvˇe m´ısta doprava.
2
• Pro z´ısk´ an´ı druh´e cifry odmocniny se pod´ıv´ame, kolikr´at se maxim´alnˇe vejde fa do ˇ s, tedy 8000 do 13212, a to je jednou. Zap´ıˇseme jedniˇcku do ˇr´adku fang za ˇctyˇrku a do ˇr´ adku fa za osmiˇcku. Odeˇcteme od ˇ s souˇcin druh´e cifry fang a fa, tj. 13212 − 1 × 8100. Rozd´ıl 5112 nap´ıˇseme do ˇ s. Posuneme o jedno m´ısto doprava fa a o dvˇe m´ısta doprava t’ien-suan. Nakonec posledn´ı cifru, tedy jedniˇcku, v ˇr´ adku fa zdvojn´asob´ıme. • Pro z´ısk´ an´ı posledn´ı cifry odmocniny se pod´ıv´ame, kolikr´at se maxim´alnˇe vejde fa do ˇ s, tedy 820 do 5112, a to je 6kr´at. Zap´ıˇseme ˇc´ıslo 6 na konec ˇr´adku fang a do ˇr´ adku fa za dvojku. Odeˇcteme od ˇ s souˇcin druh´e cifry fang a fa, tj. 5112 − 6 × 826, a rozd´ıl 156 nap´ıˇseme do ˇ s. Nakonec posledn´ı cifru, tedy ˇsestku, v ˇr´ adku fa zdvojn´ asob´ıme. • V´ ypoˇcet konˇc´ı, fang obsahuje v´ ysledek 416 a ˇ s obsahuje zbytek 156, kter´ y chyb´ı do pˇresn´e hodnoty odmocniny, tj. 173212 = 4162 + 156. 1. fang ˇs fa t’ien-suan
7
3
2
1
2
1
0
0
0
0
4. fang ˇs fa t’ien-suan
2. fang ˇs fa t’ien-suan
4 1 7 3 2 1 2 4 0 0 0 0 1 0 0 0 0
5. fang ˇs fa t’ien-suan
5
3. fang ˇs fa t’ien-suan
4 1 3 2 1 2 8 0 0 0 1 0 0
6. fang ˇs fa t’ien-suan
5
1
7. fang ˇs fa t’ien-suan
1
4 1 3 2 1 2 8 1 0 0 1 0 0
4 1 1 1 2 8 2 0 1
4 1 6 1 1 2 8 2 6 1
4 1 8
1 5 3
6 6 2 1
Obr´ azek 2: V´ ypoˇcet druh´e odmocniny z ˇc´ısla 173212 ˇc´ınsk´ ym zp˚ usobem. ˇ ıˇ Vˇsimnˇeme si, ˇze C´ nan´e na rozd´ıl od ˇskoln´ıho“ v´ ypoˇctu nekontroluj´ı pˇri volbˇe nov´e ” cifry jej´ı velikost bezchybnˇe. M˚ uˇze se jim klidnˇe st´at, ˇze ji zvol´ı pˇr´ıliˇs velkou. Pak jim ale v n´ asleduj´ıc´ım kroku vznikne z´aporn´ y zbytek, a oni tak zjist´ı, ˇze cifru zvolili o jedna vˇetˇs´ı, neˇz mˇeli. (V t´eto chv´ıli se tak´e sluˇs´ı pˇriznat, ˇze si t´e√ to chybovosti byli ym plnˇe vˇedomi.) Ilustrujme tento probl´em na pˇr´ıkladˇe. Poˇc´ıt´ame-li 176212 ˇc´ınsk´ zp˚ usobem, pak dostaneme druhou cifru meziv´ ysledku rovnou dvˇema. Ovˇsem jako zbytek pak obdrˇz´ıme z´ aporn´e ˇc´ıslo, proto se mus´ıme vr´atit zpˇet a opravit volbu na ˇ ıˇ jedniˇcku. Postup je naznaˇcen na obr´azku 3. C´ nan´e totiˇz postupuj´ı n´asledovnˇe. Po volbˇe prvn´ı cifry rovn´e ˇctyˇrem by mˇeli dalˇs´ı cifru hledat jako maxim´aln´ı x splˇ nuj´ıc´ı: 176212 ≥ (4x0)2 = (400 + x0)2 . 3
Nerovnost se d´ a upravit do tvaru: 16212 ≥ 800 × x0 + (x0)2 = 8x0 × x0 = 8x00 × x. Ovˇsem oni v prvn´ım kroku vol´ı x tak, aby 8000 × x se veˇslo do 16212 a aˇz v dalˇs´ım kroku odeˇctou od 16212 hodnotu 8200 × 2. Dostanou pak zbytek −182, a tak zjist´ı, ˇze zvolen´e x bylo pˇr´ıliˇs velk´e. 1. fang ˇs fa t’ien-suan
7
6
2
1
2
1
0
0
0
0
5. fang ˇs fa t’ien-suan
2. fang ˇs fa t’ien-suan
4 1 7 6 2 1 2 4 0 0 0 0 1 0 0 0 0
6. fang ˇs fa t’ien-suan
3. fang ˇs fa t’ien-suan
4 1 6 2 1 2 8 0 0 0 1 0 0
7. fang ˇs fa t’ien-suan
8
4. fang ˇs fa t’ien-suan
4 2 1 6 2 1 2 8 2 0 0 1 0 0
8. fang ˇs fa t’ien-suan
8
1
9. fang ˇs fa t’ien-suan
−
1
4 2 1 8 2 8 2 0 1
4 1 6 2 1 2 8 1 0 0 1 0 0
4 1 1 1 2 8 2 0 1
4 1 9 1 1 2 8 2 9 1
4 6 8
1 5 2
9 1 9 1
Obr´ azek 3: V´ ypoˇcet druh´e odmocniny z ˇc´ısla 176212 ˇc´ınsk´ ym zp˚ usobem. V postupu je tˇreba se vr´ atit, vych´ az´ı-li zbytek z´aporn´ y, a zvolit cifru o jedniˇcku menˇs´ı.
3
Druh´ a odmocnina v Indii
Indov´e naz´ yvali odmocninu m´ ula, coˇz znaˇc´ı koˇren stromu nebo tak´e z´aklad, poˇc´atek, vznik. V´ ypoˇcet druh´e (a tak´e tˇret´ı) odmocniny v Indii poprv´e popisuje uˇcenec Aryabhata v knize Aryabhatiya z roku 499. Kromˇe kapitoly vˇenovan´e matematice se zaob´ır´ a tak´e v´ ypoˇctem kalend´aˇre, dˇelen´ım ˇcasu a popisy pohybu vesm´ırn´ ych tˇeles. Pravidla v´ ypoˇctu odmocniny vyj´adˇren´a ve verˇs´ıch jsou velmi struˇcn´a a bez uk´ azky na konkr´etn´ıch pˇr´ıkladech. S mal´ ymi zmˇenami se algoritmus pozdˇeji objevuje v prac´ıch dalˇs´ıch indick´ ych matematik˚ u. I jejich popisy algoritmu jsou velmi lakonick´e. Uved’me na uk´ azku text od Sridhary (kolem roku 750): Odeˇcti (nejvˇetˇs´ı ” 4
moˇzn´ y) ˇctverec od (posledn´ıho) lich´eho m´ısta, vydˇel zbytek zdvojn´asobenou (pod nejbliˇzˇs´ı m´ısto) posunutou odmocninou; pod´ıl um´ısti na ˇr´adce (zdvojn´asoben´e odmocniny) a po odeˇcten´ı jej´ıho ˇctverce zdvojn´asob (pod´ıl). Potom posuˇ n obdrˇzen´e (v ˇr´ adku zdvojn´ asoben´e odmocniny) ˇc´ıslo o jedno m´ısto kupˇredu a dˇel j´ım jako dˇr´ıve. (Po opakov´ an´ı operace do konce) vezmi √ polovinu zdvojn´asoben´eho ˇc´ısla.“ Uk´ aˇzeme opˇet algoritmus na v´ ypoˇctu 173212 a ilustrujeme ho na obr´azku 4. • Zaˇcneme zn´ azornˇen´ım lich´ ych a sud´ ych pozic (symboly |, resp. −). • Hled´ ame nejvˇetˇs´ı druhou mocninu pˇrirozen´eho ˇc´ısla, kter´a se vejde do 17, coˇz je 42 = 16. Rozd´ılem 17 − 16 = 1 pˇrep´ıˇseme 17 v zad´an´ı. Nov´ y zbytek je tedy 13212. Zdvojn´ asobenou odmocninu, tj. 8, zap´ıˇseme pod 13 (obecnˇe tak, aby konˇcila na n´ asleduj´ıc´ı sud´e pozici). ˇ ıslo 13 vydˇel´ıme 8. Celou ˇc´ast pod´ılu rovnou jedn´e zap´ıˇseme za 8 a zbytkem • C´ po dˇelen´ı, tj. ˇc´ıslem 5, pˇrep´ıˇseme 13. D´ale od 52 odeˇcteme druhou mocninu cel´e ˇc´ asti pod´ılu, tj. jedniˇcku. A samotnou celou ˇc´ast pod´ılu zdvojn´asob´ıme na 2. Meziv´ ysledek 82 posuneme o jedno m´ısto doprava. ˇ ıslo 511 vydˇel´ıme 82. Celou ˇc´ast pod´ılu rovnou ˇsesti zap´ıˇseme za 82 a zbyt• C´ kem po dˇelen´ı, tj. ˇc´ıslem 19, pˇrep´ıˇseme 511. D´ale od 192 odeˇcteme druhou mocninu cel´e ˇc´ asti pod´ılu, tj. 192−36 = 156. A samotnou celou ˇc´ast pod´ılu nahrad´ıme zdvojn´ asobenou hodnotou, tj. 6 pˇrep´ıˇseme na 12, a nov´ y meziv´ ysledek je 832. • Vydˇelen´ım druh´eho ˇr´ adku dvˇema dostaneme v´ ysledek 416 a v prvn´ım ˇr´adku je pak zbytek 156, kter´ y n´ as dˇel´ı od pˇresn´e hodnoty, tj. 173212 = 4162 + 156. 4.
1. − 1
| − 7 3
− 5
| − | 2 1 2
2.
| − 1 1 8 2
| 2
5. | − 1 3 8
| − 2 1
| 2
− 5 8
| − 2 1 1
| 2
3.
| − 1 9 8 2
| 2 6
| − 1 5 8 3
| 6 2
6.
Obr´ azek 4: V´ ypoˇcet druh´e odmocniny z ˇc´ısla 173212 indick´ ym zp˚ usobem. Indick´ y algoritmus je podobn´ y ˇskoln´ımu“ v tom, ˇze nepracuje s cel´ ym odmocˇ novan´ ym ” ˇc´ıslem, ale ukrajuje z nˇej postupnˇe dvojice cifer. Jinak se ovˇsem cifry odmocniny hledaj´ı ze stejn´e podm´ınky jako v ˇc´ınsk´em algoritmu. Tud´ıˇz tak´e obˇcas doch´az´ı k volbˇe pˇr´ıliˇs velk´e cifry a je pak tˇreba se vr´atit o krok zpˇet a zvolit cifru √ o jedniˇcku ˇ aˇr necht’ si s´ menˇs´ı. Cten´ am takov´ y pˇr´ıpad prozkoum´a pˇri v´ ypoˇctu 176212. (Na rozd´ıl od ˇc´ınsk´ ych text˚ u nen´ı v indick´ ych o chybovosti ˇz´adn´a zm´ınka.) Ve srovn´an´ı s ˇc´ınsk´ ym algoritmem m´ a indick´ y dvˇe v´ yhody: 1. Je u ´spornˇejˇs´ı, protoˇze se prov´ad´ı v´ıce krok˚ u nar´az. 5
2. Indiˇct´ı poˇct´ aˇri si vˇsimli, ˇze od zbytku se vˇzdy odeˇc´ıt´a dvojn´asobek dosavadn´ı odmocniny. Proto staˇc´ı si pamatovat tyto dvojn´asobky a posledn´ı meziv´ ysledek pak vydˇelit dvˇema. V ˇreˇci ˇc´ınsk´e metody si vlastnˇe zaznamen´av´ame ˇr´ adek fa, zat´ımco ˇr´ adek fang nepotˇrebujeme. Pr´ avˇe pouˇz´ıv´ an´ı zdvojn´ asoben´e ˇc´asti odmocniny a dˇelen´ı posledn´ıho meziv´ ysledku dvˇema je charakteristick´e pro indickou metodu. S takovou formou algoritmu se setk´ av´ ame pozdˇeji u Arab˚ u, jejichˇz prostˇrednictv´ım se ve stˇredovˇeku dost´avaly do Evropy indick´e znalosti matematiky (mimo jin´e i des´ıtkov´a soustava a ˇc´ıslice, kter´ ym dnes ˇr´ık´ ame (indo)arabsk´e.) Metoda pro v´ ypoˇcet druh´e odmocniny se v Evropˇe objevuje aˇz ve 12. stolet´ı. Z uveden´ ych metod se n´ am zd´a poˇcetnˇe nejpˇr´ıvˇetivˇejˇs´ı indick´a, a to i za cenu, ˇze je tˇreba obˇcas vr´ atit se o krok zpˇet a opravit volbu cifry. Urˇcitˇe i vy sami vˇsechny tˇri metody porovnejte. Spoˇc´ıtejte napˇr´ıklad n´asleduj´ıc´ı odmocniny. Pro pohodl´ı uv´ ad´ıme i spr´ avn´e v´ ysledky. √ √ √ √ . . . 354032 = 595, 364816 = 604, 93701 = 306, 999999 = 999. Uvˇedom´ıte si tak, ˇze cifry z v´ ysledku mohou nab´ yvat jen hodnot menˇs´ıch neˇz deset, ˇze mohou b´ yt i nulov´e a ˇze je d˚ uleˇzit´e dˇelit odmocˇ novan´e ˇc´ıslo spr´avnˇe na bloky a hl´ıdat si, na kter´e pozici se pr´ avˇe ve v´ ypoˇctu nach´az´ıme.
4
Z´ avˇ er
Snad se naplnil c´ıl ˇcl´ anku pomoci od bezmoci z odmocnin“ a ˇcten´aˇr si z nˇej dle ” sv´eho gusta vybral ˇskoln´ı“, ˇc´ınskou ˇci indickou metodu v´ ypoˇctu odmocniny, kterou ” nyn´ı umnˇe vl´ adne.
Reference [1] Bailey, D. H., Borwein, J. M., Ancient Indian Square Roots: An Exercise in Forensic Paleo-Mathematics, manuscript, 2011, dostupn´e na http://www.davidhbailey.com/dhbpapers/india-sqrt.pdf [2] Juˇskeviˇc, A. P., Dˇejiny matematiky ve stˇredovˇeku, 1. vyd´an´ı, Academia, Praha 1978. [3] Parakh, A., Aryabhata’s Root Extraction Methods, Indian Journal of History of Science 42.2 (2007), 149–161. [4] Wang, L., Needham, J., Horner’s Method in Chinese Mathematics: Its Origin in the Root-Extraction Procedures of Han Dynasty, T’Oung Pao 43(5) (1955), 345–401. ˇ ˇ Aritmetika vˇcera a dnes (www str´anka s popisy algoritm˚ [5] Skarda C., u z´akladn´ıch aritmetick´ ych operac´ı), http://bimbo.fjfi.cvut.cz/∼soc
ˇ ek Skarda ˇ Ing. L’ubom´ıra Dvoˇr´ akov´ a, Ph.D. & Cenˇ ˇ Katedra matematiky FJFI CVUT v Praze Trojanova 13, Praha 2 120 00
[email protected]
6
