5.5. KOMPLEXNÍ ODMOCNINA A ŘEŠENÍ KVADRATICKÝCH A BINOMICKÝCH ROVNIC
V této kapitole se dozvíte: •
jak je d efin ována funkc e p řirozená odmocnina v komplexním oboru a jaké má vlastnosti včetn ě odlišností od od mo cnin y v reálném obo ru;
•
jak pomo cí exponenciálního nebo g onio metrick ého tv aru snadno sp o čítat odmocninu z libovolnéh o ko mp lexníh o čísla;
•
jak je definována a jak se řeší kvadratická rovnice v komplexní m oboru včetně porovnán í s reálný m p řípadem;
•
jak je definována a jak se řeší bino mick á rovn ice v k o mplexním obo ru včetně porovnán í s reálný m p řípadem.
Klíčová slova této kapitoly: komplexní odmocnina, mnohoznačná funkce, kvadratická rovnice v komplexním oboru, binomická rovnice v komplexním oboru.
Čas potřebný k prostudování učiva kapitoly: 0,5 + 1,0 hodiny (teorie + řešení příkladů )
Odmocnina v komplexním oboru. Definice. Nechť n ∈ N a z ∈ C . Pak n-tou odmocninou z komplexního čísla z nazýváme každé číslo x ∈ C , pro které platí x n = z a značíme n z . Věta. Je-li komplexní číslo vyjádřeno v exponenciálním tvaru z = r ⋅ eiϕ , resp. v goniometrickém tvaru z = r ( cos ϕ + i sin ϕ ) , pak n -tými odmocninami jsou čísla xk = r ⋅ e n
i
ϕ + 2 kπ n
ϕ + 2kπ ϕ + 2kπ + i sin , resp. xk = n r cos , n n
kde k = 0, 1, ..., n − 1 . Důkaz. S použitím exponenciálního tvaru je důkaz jednoduchý: n
n ϕ + 2 kπ ϕ + 2 kπ n i i n i ϕ + 2 kπ ) n n n = r ⋅e ( = r ⋅ eiϕ = z . Cbd. ( xk ) = r ⋅ e = r ⋅e V goniometrickém tvaru lze provést důkaz také snadno pomocí Moivreovy věty. n
Poznámka. a) Vidíme, že odmocnina z komplexního čísla není definována jednoznačně, nabývá n hodnot. Mluvíme o mnohoznačné funkci, zde přesněji n-značné. V oboru komplexních čísel to není žádná výjimka, známe již např. mnohoznačnou funkci arg z . b) Komplexní odmocnina se značí stejně jako reálná, proto je nutné všude, kde to není z kontextu patrné, uvést, o jakou odmocninu se jedná. V tomto smyslu je nutné upřesnit vzorce v předchozí větě: odmocnina n r je reálná odmocnina z nezáporné veličiny r , její hodnota je tedy jediná a nezáporná. c) Z geometrické interpretace plyne, že pro n ≥ 3 tvoří všechny hodnoty n-té odmocniny vrcholy pravidelného n-úhelníka se středem v počátku souřadného systému a pro n = 2 leží symetricky vůči počátku. Řešený příklad 1. Určete v C hodnotu 4 . Řešení. K řešení použijeme výpočetní vzorec z poslední věty pro exponenciální i
0 + 2 kπ
tvar: 4 = 4ei⋅0 = 2 ⋅ e 2 , k = 0, 1 . Postupným dosazením za k a převodem na algebraický tvar obdržíme dvě hodnoty: x0 = 2 , x1 = −2 . Poznámka. Uvědomte si jemný, ale pro hlubší pochopení podstatný rozdíl mezi 4 v reálném a komplexním oboru. V reálném oboru to je podle definice jediná hodnota 2 , v komplexním oboru jsou to dvě hodnoty ±2 . Chceme-li tudíž například vyjádřit úplné řešení rovnice
x 2 = 4 , musíme v reálném oboru psát x = ± 4 , zatímco v komplexním oboru stačí psát x= 4. Řešený příklad 2. Určete v C hodnotu 3 8 . Řešení. K řešení použijeme opět exponenciální tvar, který je nejstručnější. Podle výpočetního vztahu z předchozí věty snadno obdržíme
3
8 = 8⋅e 3
i ⋅0
= 2⋅e
i
0 + 2 kπ 3
, k = 0, 1, 2 . Dosazením za k a
převodem na algebraický tvar dostáváme tři hodnoty: x0 = ei⋅0 = 2 , x1 = e x2 = e
i
4π 3
i
2π 3
= −1 + i 3 ,
= −1 − i 3 . Hodnota x0 je reálná a je totožná s třetí mocninou z 8 v reálném oboru,
ostatní dvě jsou komplexní s nenulovou imaginární částí; všechny tři v Gaussově rovině vytvářejí rovnostranný trojúhelník. Řešení kvadratických rovnic v komplexním oboru. Definice. Kvadratickou rovnicí rozumíme rovnici tvaru ax 2 + bx + c = 0 , kde x, a, b, c ∈ C . Věta. Řešením kvadratické rovnice ax 2 + bx + c = 0 v C jsou čísla x1,2 =
−b + D , kde komplexní 2a
číslo D = b 2 − 4ac je známý diskriminant kvadratické rovnice. Poznámka. a) Definice kvadratické rovnice je stejná jako v reálném oboru, pouze koeficienty a neznámá jsou nyní komplexní. b) Také vzorec pro výpočet kořenů kvadratické rovnice je velmi podobný vzorci pro reálný případ. Malý, ale podstatný rozdíl je v tom, že druhá odmocnina v tomto vzorci je nyní komplexní, tudíž dvojznačná a proto není nutné psát znaménko ± . c) Kvadratická rovnice má tedy v komplexním oboru vždy řešení, pro D ≠ 0 dva různé kořeny, pro D = 0 jeden (dvojnásobný) kořen. Řešení binomických rovnic v komplexním oboru. Definice. Binomickou rovnicí rozumíme rovnici tvaru x n − z = 0 , kde x, z ∈ C , n ∈ N . Věta. Řešením binomické rovnice x n − z = 0 v C je komplexní n-tá odmocnina x = n z . Důkaz. Důkaz je triviální. Rovnici upravíme na ekvivalentní tvar x n = z a aplikujeme definici komplexní odmocniny.
Poznámka. Binomická rovnice v komplexním oboru má tedy n jednoduchých kořenů, které, jak víme, tvoří v Gaussově rovině pravidelný n -úhelník. Oproti řešení binomických rovnic v reálném oboru, kdy řešení nemusí být žádné, jedno nebo dvě (podle toho, kolik vrcholů pravidelného n -úhelníka padne na reálnou osu), zde vidíme krásnou symetrii a přesně daný počet řešení. To je jeden z mnoha případů, kdy převedení nějakého problému z oboru reálných čísel do čísel komplexních poskytuje daleko hlubší vhled do podstaty problému.
Shrnutí kapitoly: Přirozená odmocnina je definována v komplexním oboru jako řešení rovnice x n = z . Jedná se o mnohoznačnou funkci, která má obecně n hodnot (výjimkou je pouze případ z = 0 ). Vypočítat hodnoty komplexní odmocniny lze nejlépe v exponenciál ním nebo goniometrickém tvaru. Jednotlivé hodnoty tvoří v Gaussově rovině pravidelný n -úhelník se středem v počátku souřadnic. Kvadratická rovnice je definována v komplexním oboru stejně jako v reálném oboru, pouze všechny koeficienty i neznámá jsou komplexní čísla (tím ovšem není řečeno, že nemohou být i reálná). Kořeny kvadratické rovnice nalezneme podle obdobného vzorce jako v reálném oboru s tím rozdílem, že v něm figuruje komplexní druhá odmocnina a není tedy nutné psát znaménko ± . Kvadratická rovnice má v komplexním oboru vždy řešení. Binomická rovnice x n − z = 0 v komplexním oboru je definována rovněž analogicky k definici v reálném oboru. Řešení je dáno komplexní n -tou odmocninou x = n z , tudíž kromě triviálního případu z = 0 existuje vždy právě n různých kořenů.
Otázky: •
Jak je definována přirozená odmo cnina v k o mplexním ob o ru? Čím s e tato funkce liší od přirozen é od mo cnin y v reálném o boru?
•
V jakém tvaru lze nejlépe spočít at k onk rétní ho dnoty ko mp lexn í odmocniny? Jaký útv ar v Gaussově rovin ě tyto h o dnoty v ytv ářejí?
•
Jak je defin ována k vad ratick á rovn ice v k o mp lexním obo ru a jak se řeší? V čem jsou rozd íly op roti kv adratické rovnici v reálném oboru?
•
Jak je definována binomická rovni ce v k o mplex ním obo ru a jak se řeší? V čem jsou rozd íly op roti bino mick é r ovn ici v reálném obo ru? V k terém obo ru je problém řešení bino mickýc h rovn ic přehlednější?
Příklad 1. Vypočtěte odmocninu v komplexním oboru: a) 1 ; b)
i ; c)
−1 ; d)
−i ; e) 3 1 ; f)
3
i ; g)
3
−1 ; h)
3
−i ; i)
3
(1 + i )
2
; j)
3
(1 − i )
3
Příklad 2. Řešte v C rovnici: 5 4
a) z 3 = i3 ; b) z 4 − (1 + i ) = 0 ; c) z 2 − z + = 0 ; d) z 2 − 2iz − 1 + i = 0 ; e) iz 2 − z +
1− i = 0. 4
Řešení příkladů: π i + kπ
1a) ±1 ; 1b) e 4 1e) e
2 kπ i 3
1h) e
, k = 0,1 ; 1c) e
, k = 0,1, 2 ; 1f) e
3π 2 kπ i + 3 6
π 2 kπ i + 6 3
, k = 0,1, 2 ; 1i)
3
π i + kπ 2
, k = 0,1 ; 1d) e
, k = 0,1, 2 ; 1g) e
2 ⋅e
π 2 kπ i + 6 3
2a) z = 3 −i ; 2b) z = 4 1 + i ; 2c) z =
3π i + kπ 4
π 2 kπ i + 3 3
, k = 0,1 ;
, k = 0,1, 2 ;
, k = 0,1, 2 ; 1j)
2 ⋅e
π 2 kπ i − + 4 3
, k = 0,1, 2 .
1 ± 2i 1 ; 2d) z = i + −i ; 2e) z = − i − i . 2 2
(
)
Poznámka. Některé výsledky je možné dále převést na algebraický tvar, pokud tento převod dostatečně neovládáte, doporučujeme to jako vhodné cvičení. Zkuste si také vybrané výsledky znázornit v Gaussově rovině!
Další zdroje: 1. POLÁK, J. Přehled středoškolské matematiky. 6. vyd. Praha: Prometheus, 1997. 2. POLÁK, J. Středoškolská matematika v úlohách I. 1. vyd. Praha: Prometheus, 1996. 3. POLÁK, J. Středoškolská matematika v úlohách II. 1. vyd. Praha: Prometheus, 1996. 4. REKTORYS, K. a spol. Přehled užité matematiky. 6. přepr. vyd. Praha: Prometheus, 1995.
ZÁVĚR:
.
