Cviˇ cen´ı pˇ redmˇ etu 35TDS
ˇ sen´ı stavov´ych model˚ Reˇ u, m´ody, stabilita. Toto cviˇcen´ı bude vˇenov´ano hled´ an´ı analytick´eho ˇreˇsen´ı line´arn´ıho stavov´eho modelu. V matematick´em jazyce je takov´ y model niˇc´ım jin´ ym, neˇz sadou line´arn´ıch diferenci´ aln´ıch rovnic prvn´ıho ˇr´adu. Jej´ı ˇreˇsen´ı je sice moˇzn´e z´ıskat numericky (napˇr´ıklad v Simulinku), a v pˇr´ıpadˇe pˇr´ıtomnosti i jen jednoduch´ ych nelinearit jin´a praktick´a moˇznost nen´ı, avˇsak vyplat´ı se studovat i analytick´e ˇreˇsen´ı. D´a n´ am totiˇz vhled do struktury ˇreˇsen´ı. Jednou z d˚ uleˇzit´ ych informac´ı, kter´e ze stavov´eho modelu m˚ uˇzeme vyˇc´ıst bez nutnosti numerick´eho ˇreˇsen´ı diferenci´ aln´ıch rovnic, jsou m´ ody syst´emu. Procviˇceny budou dovednosti vedouc´ı k jejich z´ısk´ an´ı, kter´e jsou zaloˇzen´e na v´ ypoˇctu vlastn´ıch ˇc´ısel a vlastn´ıch vektor˚ u matic. Dalˇs´ı z d˚ uleˇzit´ ych vlastnost´ı dynamick´ ych syst´em˚ u, kter´ a se projevuje i v jejich ˇreˇsen´ı, je stabilita. Volnˇe ˇreˇceno souvis´ı stabilita s omezenost´ı (koneˇcnost´ı) ˇreˇsen´ı. Existuj´ı vˇsak i metody, kter´e stabilitu dok´ aˇz´ı otestovat bez nutnosti numerick´eho hled´ an´ı ˇreˇsen´ı. T´ım nejsilnˇejˇs´ım n´ astrojem je Ljapunovova druh´ a vˇeta. Mimo jin´e bude pomoc´ı n´ı uk´az´ano, ˇze poˇzadavek na polohu p´ ol˚ u v lev´e komplexn´ı polorovinˇe nen´ı dostaˇcuj´ıc´ı, jakmile se parametry syst´emu mohou mˇenit v ˇcase. Testy zaloˇzen´e na zkoum´ an´ı polohy p´ ol˚ u jsou rovnˇeˇz tˇeˇzko uplatniteln´e v pˇr´ıpadˇe syst´em˚ u, jejichˇz stavov´ y prostor je nekoneˇcnˇe dimenzion´aln´ı, jako jsou napˇr´ıklad syst´emy se zpoˇzdˇen´ım.
ˇ Katedra ˇr´ıdic´ı techniky FEL CVUT v Praze
1
Cviˇ cen´ı pˇ redmˇ etu 35TDS
1
ˇ sen´ı spojit´ Reˇ ych i diskr´ etn´ıch line´ arn´ıch ˇ casovˇ e invariantn´ıch stavov´ ych model˚ u
Pˇ r´ıklad 1.1: Odvozen´ı obecn´ eho tvaru ˇ reˇ sen´ı pro spojit´ y model ˇ sit LTI syst´em popsan´ Reˇ y stavov´ ym modelem dx(t) = dt y(t) =
Ax(t) + Bu(t) Cx(t) + Du(t)
pˇri poˇca´teˇcn´ıch podm´ınk´ach dan´ ych vektorem x(t0 ) a zn´am´e vstupn´ı promˇenn´e u(t) znamen´ a prostˇe naj´ıt (vektorovou) funkci y(t) (pˇr´ıpadnˇe i cel´ y stavov´ y vektor x(t)) pro t ≥ t0 , kter´ a vyhovuje rovnic´ım definuj´ıc´ım model. Samozˇrejmˇe je moˇzn´e z´ıskat takov´e ˇreˇsen´ı numericky, napˇr´ıklad v Simulinku, ale v pˇr´ıpadˇe LTI syst´em˚ u to jde i bez v´ ypoˇcetnˇe drah´ ych numerick´ ych operac´ı. Odvod’te, jak vypad´ a obecn´ y tvar takov´eho ˇreˇsen´ı a komentujte jeho strukturu. (Toto asi nelze povaˇzovat za skuteˇcn´ y pˇr´ıklad, jako sp´ıˇse ovˇeˇren´ı, ˇze tento nejz´akladnˇejˇs´ı teoretick´ y v´ ysledek zn´ate a rozum´ıte jeho d˚ usledk˚ um).
Pˇ r´ıklad 1.2: Odvozen´ı obecn´ eho tvaru ˇ reˇ sen´ı pro diskr´ etn´ı model Odvozen´ı obecn´eho tvaru odezvy spojit´eho LTI syst´emu je sice jednoduch´e, nicm´enˇe odvozen´ı stejn´eho v´ ysledku pro diskr´etn´ı LTI pˇrenos je jeˇstˇe jednoduˇsˇs´ı (souˇcty m´ısto integrace). Naleznˇete takov´ y vztah pro syst´em popsan´ y x(k + 1) = Ax(k) + Bu(k), k ≥ 0, x(0) = nˇejak´ y konstatn´ı vektor 6= 0 y(k) = Cx(k) + Du(k)
(1) (2)
Pˇ r´ıklad 1.3: Mocnina matice Z analytick´eho vztahu pro ˇreˇsen´ı diskr´etn´ıho modelu lze vidˇet, ˇze vztah mezi ˇreˇsen´ım v nˇejak´em ˇcase (poˇrad´ı) k0 a ˇreˇsen´ım v jin´em ˇcase k je d´ ana funkc´ı matice A. Tou funkc´ı je mocnina A(k−k0 ) . Ta se naz´ yv´a stavov´ a matice pˇrechodu. A my budeme potˇrebovat umˇet tuto maticovou funkci (se ˇctvercov´ ymi maticemi jako argumenty) poˇc´ıtat. Je snad jasn´e, ˇze obecnˇe nelze takovou funkci z´ıskat aplikac´ı funkce na kaˇzd´ y jednotliv´ y prvek matice! Samozˇrejmˇe, ˇze m˚ uˇzeme (n − 1)-kr´at n´ asobit matici. V pˇr´ıpadˇe matice ˇr´adu nˇekolik set to vˇsak jiˇz bude nezanedbateln´ a v´ ypoˇcetn´ı z´ atˇeˇz. Pouˇzijte tˇri lepˇs´ı zp˚ usoby pro v´ ypoˇcet A10 pro libovolnou matici ˇr´adu 3.
Pˇ r´ıklad 1.4: V´ ypoˇ cet maticov´ e exponenci´ aly eAt Z analytick´eho vztahu pro ˇreˇsen´ı line´arn´ıho ˇcasovˇe invariantn´ıho syst´emu lze vidˇet, ˇze funkce eAt je mimoˇr´adnˇe d˚ uleˇzit´ a, nebot’ slouˇz´ı jako stavov´a matice pˇrechodu u spojit´ ych syst´em˚ u. Proto je velmi d˚ uleˇzit´e umˇet ji poˇc´ıtat. M˚ uˇzeme opˇet pouˇz´ıt zp˚ usoby uveden´e pro v´ ypoˇcet mocniny matice, jen si mus´ıme uvˇedomit, ˇze jde o exponenci´ alu matice z´ avisl´e na parametru t. Vypoˇc´ıtejte eAt tˇremi r˚ uzn´ ymi zp˚ usoby pro libovolnou matici A ˇr´adu 3.
Pˇ r´ıklad 1.5: V´ ypoˇ cet analytick´ eho vztahu pro odezvu LTI syst´ emu na poˇ c´ ateˇ cn´ı podm´ınky a vstup Uvaˇzujte syst´em popsan´ y
0 −1 0 x(t) ˙ = x(t) + u(t) 1 −2 1
(3)
Najdˇete analytick´ y vztah pro odezvu na nenulov´e poˇca´teˇcn´ı podm´ınky a obecn´ y nenulov´ y vstup. 2
ˇ Katedra ˇr´ıdic´ı techniky FEL CVUT v Praze
Cviˇ cen´ı pˇ redmˇ etu 35TDS
2
M´ ody LTI syst´ emu
Pˇ r´ıklad 2.1: Jednoduch´ y pˇ r´ıklad M´ ody LTI syst´emu nejsou nic jin´eho neˇz sada pr˚ ubˇeh˚ u, z jak´ ych se line´arn´ı kombinac´ı vˇzdy poˇ c´ı matematik˚ skl´ad´a odezva syst´emu na r˚ uzn´e poˇca´teˇcn´ı podm´ınky. (Reˇ u: m´ody syst´emu tvoˇr´ı b´ azy vektorov´eho prostoru ˇreˇsen´ı soustavy diferenci´ aln´ıch rovnic). Jak se kter´ y m´od uplatn´ı v odezvˇe z´ aleˇz´ı na um´ıstˇen´ı nul syst´emu a konkr´etn´ıch poˇca´teˇcn´ıch podm´ınk´ach. M´ ody LTI syst´emu se urˇcuj´ı z vlastn´ıch ˇc´ısel a vlastn´ıch vektor˚ u matice dynamiky A stavov´eho modelu. Urˇcete m´ody syst´emu popsan´eho stavov´ ym modelem >> A = [ −2 6 0 ; −6 −2 0 ; 0 0 4 ] ; b = [ 1 2 0 ] ’ ; c = [ 1 0 0 ] ; d = 0 ; >> G = s s (A, b , c , d ) ;
Pˇ r´ıklad 2.2: M´ ody pod´ eln´ e dynamiky letounu F16 Pod´eln´ a dynamika letounu F16 je v pracovn´ım bodˇe dan´ ym pˇr´ım´ ym a vodorovn´ ym letem rychlost´ı 1500 km/h s tˇeˇziˇstˇem v 0.3¯ c (vzd´alenost p˚ usobiˇstˇe aerodynamick´e s´ıly) je d´ ana matic´ı >> A = [
−2.0244 e −2 , 7 . 8 7 6 1 e0 , −2.5373 e −4 , −1.0189 e0 , 0.0 , 0.0 , 7 . 9 4 7 2 e −11 , −2.4982 e0 ,
−3.2169 e1 , 0.0 , 0.0 , 0.0 ,
−6.5020 e −1; 9 . 0 4 8 4 e −1; 1 . 0 e0 ; −1.3861 e 0 ]
Jednotliv´e stavov´e promˇenn´e jsou: vzduˇsn´a rychlost vT , u ´ hel n´ abˇehu α, u ´ hel pod´eln´eho sklonu θ a rychlost klonˇen´ı (ot´ aˇcen´ı) okolo osy kˇr´ıdel q (pitch rate). Zjistˇete m´ody syst´emu, jejich koeficient relativn´ıho tlumen´ı a periodu kmit´an´ı. Zjistˇete, jak moc se kter´ y m´od projevuje v jednotliv´ ych veliˇcin´ ach.
Pˇ r´ıklad 2.3: M´ ody stranov´ e-smˇ erov´ e dynamiky letounu F16 Stranov´a-smˇerov´a dynamika letounu F16 je za stejn´ ych podm´ınek jako v pˇredchoz´ım pˇr´ıkladu d´ ana matic´ı >> A = [
−3.2200 e −1 , 0.0 , −3.0919 e1 , 9 . 4 7 2 4 e0 ,
6 . 4 0 3 2 e −2 , 3 . 8 9 0 4 e −2 , −9.9156 e −1; 0.0 , 1 . 0 e0 , 3 . 9 3 8 5 e −2; 0.0 , −3.6730 e0 , 6 . 7 4 2 5 e −1; 0.0 , −2.6358 e −2 , −4.9849 e −1]
Jednotliv´e stavov´e veliˇciny jsou: u ´ hel vyboˇcen´ı β, u ´ hel pˇr´ıˇcn´eho n´ aklonu φ, rychlost ot´aˇcen´ı okolo osy letadla p (roll rate) a rychlost zmˇeny smˇeru r (yaw rate). Opˇet urˇcete m´ody syst´emu, jejich koeficient relativn´ıho tlumen´ı a periodu kmit´an´ı. Zjistˇete, jak moc se kter´ y m´od projevuje v jednotliv´ ych veliˇcin´ ach.
3
Naˇ crtnut´ı stavov´ eho portr´ etu
Stavov´ y portr´et jsou vlastnˇe vykreslen´e trajektorie z navzorkovan´e mnoˇziny poˇca´teˇcn´ıch stav˚ u. Samozˇrejmˇe ˇciteln´ y je takov´ y portr´et jedinˇe v pˇr´ıpadˇe syst´em˚ u druh´eho ˇr´adu. Ale i to n´ am staˇc´ı k z´ısk´an´ı vhledu. V pˇr´ıpadˇe LTI syst´emu m˚ uˇzeme hrub´ y n´ aˇcrtek prov´est jen se znalost´ı vlastn´ıch vektor˚ u a vlastn´ıch ˇc´ısel. Naˇcrtnˇete stavov´ y portr´et pro homogenn´ı syst´em x(t) ˙ = Ax(t) >> A1 = [ −1 0 ; 0 −4] A1 = −1 0 0 −4 >> [ V,D ] = e i g ( A1 ) V = 0 1 1 0 D = −4 0 0 −1
ˇ Katedra ˇr´ıdic´ı techniky FEL CVUT v Praze
3
Cviˇ cen´ı pˇ redmˇ etu 35TDS
Pˇ r´ıklad 3.1: Naˇ crtnˇ ete stavov´ e portr´ ety pro syst´ emy s maticemi A2
=
A3
=
A4
=
A5
=
A6
=
A7
=
A8
=
A9
=
−2 −1 = −2 −3 −2 0 = 0 1 −3 −2 = 2 −2 −1 1 = −1 −3 −2 1 = 0 −2 2 −3 = 6 −4 −1 2 = −5 1 −1 −2 = −2 −4
Tyto pˇr´ıklady pokr´ yvaj´ı vˇsechny zaj´ımav´e situace, kdy napˇr´ıklad dva vlastn´ı vektory jsou sice nez´avisl´e, nikoliv vˇsak ortogon´aln´ı, nebo existuje pouze jedin´ y vlastn´ı vektor, a t´ım p´ adem invariantn´ı smˇer, a nebo dokonce neexistuje ˇza´dn´ y (v re´aln´em oboru). Vlastn´ı ˇc´ısla m˚ uˇzou b´ yt i nestabiln´ı, a trajektorie tak m˚ uˇzou divergovat od poˇca´tku souˇradnicov´eho syst´emu.
4
Stabilita dynamick´ ych syst´ em˚ u
Pˇ r´ıklad 4.1: Rovnov´ aˇ zn´ e stavy pro jednoduch´ e syst´ emy Najdˇete rovnov´aˇzn´e stavy pro dynamick´e syst´emy 1 3 0 x(t) ˙ = x(t) + u(t) 3 9 1 2 0 x(k + 1) = x(k) 0 0.5 x(t) ˙ = − sin x(t)
(4) (5) (6)
Pˇ r´ıklad 4.2: Asymptotick´ a vs. BIBO stabilita Uvaˇzujte LTI syst´em popsan´ y diferenci´ aln´ı rovnic´ı y¨(t) + y(t) ˙ − 2y(t) = u(t) ˙ − u(t)
(7)
Ovˇeˇrte, zda je tento syst´em BIBO stabiln´ı a zda je asymptoticky stabiln´ı.
Pˇ r´ıklad 4.3: BIBO stabilita pro nekoneˇ cnˇ e dimenzion´ aln´ı syst´ em U syst´em˚ u, kter´e lze modelovat racion´aln´ımi pˇrenosov´ ymi funkcemi je jednoduch´ ym testem BIBO stability z´ apornost re´ aln´e sloˇzky p´ ol˚ u. Jsou vˇsak syst´emy, kde takov´ y test nen´ı uˇziteˇcn´ y, a mus´ıme pouˇz´ıt jin´e, obecnˇejˇs´ı testy. Pˇr´ıkladem je syst´em, jehoˇz vstupnˇe v´ ystupn´ı chov´an´ı je pops´ ano na obr. 1 Jak´a je pˇrenosov´a funkce tohoto syst´emu? Je syst´em BIBO stabiln´ı? Pro jak´e hodnoty a? Um´ıte to urˇcit z koˇren˚ u pˇrenosov´e funkce? K testu BIBO stability pouˇzijte absolutn´ı integrovatelnost impulsn´ı odezvy. 4
ˇ Katedra ˇr´ıdic´ı techniky FEL CVUT v Praze
Cviˇ cen´ı pˇ redmˇ etu 35TDS
Obr´azek 1: Zpˇetnovazebn´ı zapojen´ı se zes´ılen´ım a zpoˇzdˇen´ım.
Pˇ r´ıklad 4.4: V´ıcen´ asobn´ e p´ oly na imagin´ arn´ı ose Jestliˇze maj´ı p´ oly LTI syst´emu x(t) ˙ = Ax(t) z´ aporn´e re´aln´e ˇca´sti, je syst´em Ljapunovsky stabiln´ı (dokonce asymptoticky). Pokud m´a jednoduch´e p´ oly na imagin´arn´ı ose, pak je st´ale jeˇstˇe zaruˇcena Ljapunovsk´ a stabilita. V pˇr´ıpadˇe, ˇze m´a ale n´ asobn´e p´ oly na imagin´arn´ı ose, m˚ uˇze o Ljapunovskou stabilitu pˇrij´ıt. Uved’te pˇr´ıklady jednoduch´eho syst´emu, kter´ y m´a dvojn´ asobn´ y p´ ol na imagin´arn´ı ose, a je pˇritom Ljapunovsky stabiln´ı, a syst´emu, kter´ y Ljapunovsky stabiln´ı nen´ı.
Pˇ r´ıklad 4.5: P´ oly vs. asymptotick´ a stabilita ˇ casovˇ e promˇ enn´ eho syst´ emu Bˇeˇzn´ ym testem asymptotick´e stability line´arn´ıho syst´emu je zjiˇst’ov´an´ı, zda p´ oly syst´emu maj´ı z´ apornou re´ alnou ˇca´st, jak jsme vidˇeli v pˇredchoz´ım pˇr´ıkladu. Toto vˇsak plat´ı pouze za pˇredpokladu, ˇze parametry syst´emu se nemˇen´ı v ˇcase. Uvaˇzujte napˇr´ıklad syst´em x˙ 1 (t) −α e2αt x1 (t) = (8) x˙ 2 (t) 0 −α x2 (t) kde α > 0. Tento syst´em m´a zˇretelnˇe v kaˇzd´em ˇcasov´em okamˇziku vlastn´ı ˇc´ısla matice A v leve komplexn´ı polorovinˇe. Je syst´em asymptoticky stabiln´ı? (Ovˇeˇrte nalezen´ım analytick´eho ˇreˇsen´ı).
5
ˇ sen´ı line´ Reˇ arn´ı ˇ casovˇ e promˇ enn´ ych stavov´ ych model˚ u
Pˇ r´ıklad 5.1: Fundament´ aln´ı matice a stavov´ a matice pˇ rechodu Najdˇete fundament´ aln´ı matici a stavovou matici pˇrechodu pro syst´em 0 1 x(t) ˙ = x(t) 0 t
ˇ Katedra ˇr´ıdic´ı techniky FEL CVUT v Praze
(9)
5
