Matematick´y ustav ´ Slezske´ univerzity v Opaveˇ Uˇcebn´ı texty k pˇrednaˇ ´ sce ALGEBRA I, zimní semestr 2000/2001 Michal Marvan
5. Matice. Element´arn´ı u´ pravy Matice typu r/s nad polem P vznikne, jestliˇze libovoln´ych r s prvk˚u pole P uspoˇra´ d´ame do obd´eln´ıkov´e tabulky o r ˇra´ dc´ıch a s sloupc´ıch. Pˇresnˇeji: Definice. Matice A typu r/s nad polem P je libovoln´e zobrazen´ı A : {1, . . . , r } × {1, . . . , s} → P. Hodnota zobrazen´ı A na dvojici (i, j) ∈ {1, . . . , r } × {1, . . . , s} se znaˇc´ı Ai j . Zapisujeme
A 11 A 21
A=
Ar 1
A12 · · · A22 · · · ··· Ar 2 · · ·
A1s A2s
.
Ar s
Matice typu r/s m´a celkem r ˇra´ dk˚u a s sloupc˚u: i-t´y rˇa´ dek je s-tice (Ai1 , Ai2 , . . . , Ais ), j-t´y sloupec je r -tice (A1 j , A2 j , . . . , Ar j ). Prvek Ai j leˇz´ı na pr˚useˇc´ıku i-t´eho ˇra´ dku a j-t´eho sloupce. Proto se prvn´ı index naz´yv´a ˇra´ dkov´y a druh´y index se naz´yv´a sloupcov´y.
A11 · · · . ..
A= Ai1 · · · . . . Ar 1 · · ·
A1 j .. .
···
Ai j .. .
···
Ais . .. .
Ar j
···
Ar s
A1s .. .
Bˇezˇ nˇe se pouˇz´ıv´a terminologie vych´azej´ıc´ı z rozm´ıstˇen´ı prvk˚u pˇri z´apisu matice: rˇ´ık´ame, zˇ e rˇa´ dky s vyˇssˇ´ım ˇra´ dkov´ym indexem n´asleduj´ı za (nebo t´ezˇ leˇz´ı pod) ˇra´ dky s niˇzsˇ´ım ˇra´ dkov´ym indexem a ˇr´ık´ame, zˇ e sloupce s vyˇssˇ´ım sloupcov´ym indexem n´asleduj´ı za sloupci s niˇzsˇ´ım sloupcov´ym indexem, nebo t´ezˇ leˇz´ı vpravo od nich. V analogick´em smylu budeme pouˇz´ıvat slova pˇredch´azej´ıc´ı, vlevo apod. a budeme je vztahovat i na prvky rˇa´ dk˚u a sloupc˚u. Nulov´ym ˇra´ dkem matice budeme rozumˇet rˇa´ dek sest´avaj´ıc´ı ze sam´ych nul, jin´e ˇra´ dky budeme naz´yvat nenulov´e. ˇ Definice. Bud’te A, A matice typu r/s. Rekneme, zˇ e matice A vznikla element´arn´ı rˇa´ dkovou u´ pravou matice A, jestliˇze vznikla jedn´ım z n´asleduj´ıc´ıch zp˚usob˚u: 1) k i-t´emu ˇra´ dku byl pˇriˇcten c-n´asobek j-t´eho ˇra´ dku, to jest, rˇa´ dek (Ai1 , . . . , Ais ) byl nahrazen ˇra´ dkem (Ai1 + c A j1 , . . . , Ais + c A js ), c = 0, ostatn´ı ˇra´ dky se nezmˇenily; 2) i-t´y ˇra´ dek byl vyn´asoben nenulov´ym prvkem c ∈ P, to jest, rˇa´ dek (Ai1 , . . . , Ais ) byl nahrazen ˇra´ dkem (c Ai1 , . . . , c Ais ), ostatn´ı ˇra´ dky se nezmˇenily; 3) i-t´y a j-t´y ˇra´ dek byly vz´ajemnˇe vymˇenˇeny, ostatn´ı ˇra´ dky se nezmˇenily.
5. Matice. Element´arn´ı u´ pravy
Pˇr´ıklad. Po u´ pravˇe cˇ . 1 budeme m´ıt k = i Akl A kl = Ail + c A jl k = i, po u´ pravˇe cˇ . 2 bude Akl A kl = c Ail
k= i k = i,
po u´ pravˇe cˇ . 3 bude Akl A kl = A jl Ail
k= i, j k=i k = j.
Ke kaˇzd´e element´arn´ı u´ pravˇe matice A existuje element´arn´ı u´ prava inverzn´ı, kter´a matici A navr´at´ı do p˚uvodn´ıho stavu A. Jsou to po ˇradˇe (ovˇeˇrte): 1) k i-t´emu ˇra´ dku se pˇriˇcte (−c)-n´asobek k-t´eho ˇra´ dku; 2) i-t´y ˇra´ dek se vyn´asob´ı nenulov´ym prvkem c−1 ∈ P; 3) i-t´y a k-t´y ˇra´ dek se vz´ajemnˇe vymˇen´ı. Pˇr´ıklad. Uvaˇzujme o dvou re´aln´ych matic´ıch
1 0 2 1 1 A= , A = 2 3 −2 2 0
0 2 3 −6
1 . 0
Ovˇeˇrte, zˇ e matice A vznikla z matice A element´arn´ı u´ pravou – k druh´emu ˇra´ dku byl pˇriˇcten (−2)n´asobek prvn´ıho ˇra´ dku. Ovˇeˇrte, zˇ e vykon´ame-li na matici A inverzn´ı element´arn´ı u´ pravu (pˇriˇcteme-li 2-n´asobek prvn´ıho ˇra´ dku k druh´emu ˇra´ dku), z´ısk´ame zpˇet matici A.
ˇ Definice. Rekneme, zˇ e matice A, B jsou rˇa´ dkovˇe ekvivalentn´ı, jestliˇze B vznikne z A koneˇcnou posloupnost´ı element´arn´ıch ˇra´ dkov´ych u´ prav. Znaˇc´ıme A ∼ B. Pˇr´ıklad. Jako pokraˇcov´an´ı pˇredchoz´ıho pˇr´ıkladu v matici A jeˇstˇe vymˇenˇ me ˇra´ dky. Dost´av´ame posloupnost element´arn´ıch u´ prav
1 0 2 1 1 0 2 1 0 3 −6 0 ∼ ∼ , 2 3 −2 2 0 3 −6 0 1 0 2 1 z cˇ ehoˇz plyne, zˇ e 1 0 2 2 3 −2
1 0 ∼ 2 1
3 −6 0 2
0 . 1
Probl´em k rˇ eˇsen´ı. Ukaˇzte, zˇ e kaˇzdou u´ pravu typu 3 lze nahradit jistou posloupnost´ı u´ prav typu 1 a 2. Lze se tedy obej´ıt s prvn´ımi dvˇema u´ pravami. Nicm´enˇe, tˇret´ı u´ prava se velmi cˇ asto pouˇz´ıv´a a napˇr´ıklad u determinant˚u m´a i zvl´asˇtn´ı v´yznam.
2
5. Matice. Element´arn´ı u´ pravy
ˇ adkov´a ekvivalence matic je relac´ı ekvivalence na mnoˇzinˇe vˇsech matic typu r/s nad R´ polem P. Tvrzen´ı. Bud’te A, B, C matice. Pak plat´ı (i) (reflexivita) A ∼ A; (ii) (symetrie) jestliˇze A ∼ B, pak B ∼ A; (iii) (tranzitivita) jestliˇze A ∼ B, B ∼ C, pak A ∼ C. Dukaz. ˚ Cviˇcen´ı. Uved’me nyn´ı motivuj´ıc´ı pˇr´ıklad. Soustava r line´arn´ıch rovnic o s nezn´am´ych x1 , x2 , . . . , xs nad polem P je soustava rovnic tvaru a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1s xs = b1 a21 x1 + a22 x2 + · · · + a2s xs = b2 ··· ar 1 x1 + ar 2 x2 + · · · + ar s xs = br
(∗)
ˇ sen´ım takov´e soustavy rozum´ıme kde ai j , bi jsou prvky pole P; naz´yv´ame je koeficienty. Reˇ s-tici (ξ1 , . . . , ξs ) prvk˚u pole P takov´ych, zˇ e a j1 ξ1 + a j2 ξ2 + · · · + a js ξs = b j pro kaˇzd´e j = 1, . . . , r . Z´akladn´ı u´ lohou je naj´ıt mnoˇzinu vˇsech ˇreˇsen´ı dan´e soustavy. Z koeficient˚u ai j a bi sestav´ıme matici
a a12 · · · a1s 11 a 21 a22 · · · a2s ··· ar 1 ar 2 · · · ar s
b1 b2
,
br
kter´a se naz´yv´a rozˇs´ırˇen´a matice soustavy. K dispozici m´ame u´ cˇ innou metodu ˇreˇsen´ı, kter´a se dnes naz´yv´a Gaussova eliminaˇcn´ı metoda. Pod ˇ ınˇe zn´ama nˇekolik stolet´ı pˇred naˇs´ım letopoˇctem. V nynˇejˇs´ım pojet´ı jm´enem fang cˇ cheng vˇsak byla v C´ spoˇc´ıv´a v prov´adˇen´ı element´arn´ıch u´ prav rozˇs´ıˇren´e matice soustavy, kter´e ji pˇrevedou na tvar, z nˇejˇz lze mnoˇzinu vˇsech ˇreˇsen´ı snadno zjistit. Podstatn´e je, zˇ e se pˇri u´ prav´ach nemˇen´ı mnoˇzina ˇreˇsen´ı.
Tvrzen´ı. Element´arn´ı rˇa´ dkov´e u´ pravy rozˇs´ırˇen´e matice A soustavy (∗) nemˇen´ı mnoˇzinu rˇeˇsen´ı t´eto soustavy. Dukaz. ˚ Element´arn´ı ˇra´ dkov´e u´ pravy odpov´ıdaj´ı po ˇradˇe n´asleduj´ıc´ım manipulac´ım s rovnicemi: k i-t´e rovnici se pˇriˇcte c-n´asobek k-t´e rovnice; i-t´a rovnice se vyn´asob´ı nenulov´ym prvkem c ∈ P; i-t´a a k-t´a rovnice se vz´ajemnˇe vymˇen´ı. Je dobˇre zn´amo, zˇ e tyto manipulace nemˇen´ı mnoˇzinu ˇreˇsen´ı, a lze to snadno dok´azat: 3
5. Matice. Element´arn´ı u´ pravy
Rozeberme prvn´ı element´arn´ı u´ pravu: Je-li s-tice (ξ1 , . . . , ξs ) ˇreˇsen´ım soustavy (∗), pak ai1 ξ1 + ai2 ξ2 + · · · + ais ξs = bi pro kaˇzd´e i = 1, . . . , r , tedy i pro i = k. V´ıme, zˇ e i-t´emu ˇra´ dku upraven´e matice A odpov´ıd´a rovnice, kter´a je souˇctem i-t´e a c-n´asobku k-t´e rovnice: (ai1 + cak1 )x1 + (ai2 + cak2 )x2 + · · · + (ais + caks )xs = bi + cbk , Ta m´a ovˇsem tot´ezˇ ˇreˇsen´ı (ξ1 , . . . , ξs ), protoˇze (ai1 + cak1 )ξ1 + (ai2 + cak2 )ξ2 + · · · + (ais + caks )ξs = (ai1 ξ1 + ai2 ξ2 + · · · + ais ξs ) + c · (ak1 ξ1 + ak2 ξ2 + · · · + aks ξs ) = bi + cbk . Vid´ıme, zˇ e kaˇzd´e ˇreˇsen´ı (ξ1 , . . . , ξs ) z˚ustane ˇreˇsen´ım i po u´ pravˇe. Mezi mnoˇzinou vˇsech ˇreˇsen´ı p˚uvodn´ı soustavy a mnoˇzinou vˇsech ˇreˇsen´ı upraven´e soustavy proto plat´ı inkluze ⊆ . Opaˇcn´a inkluze plat´ı t´ezˇ : staˇc´ı uvaˇzovat o inverzn´ı u´ pravˇe (pˇriˇcten´ı (−c) n´asobku k-t´eho ˇra´ dku). Ohlednˇe zbyl´ych dvou u´ prav jde o snadn´e cviˇcen´ı. Dusledek. ˚ Soustavy s ekvivalentn´ımi rozˇs´ırˇen´ymi maticemi maj´ı stejn´e mnoˇziny rˇeˇsen´ı. Nyn´ı zavedeme jist´y speci´aln´ı tvar matice, Gauss–Jordan˚uv. Jin´y v´yznamn´y tvar, schodovit´y, je o nˇeco m´alo jednoduˇssˇ´ı. Rozebereme oba tvary najednou. ˇ Definice. Rekneme, zˇ e matice A je ve schodovit´em tvaru, jestliˇze (i) kaˇzd´y nenulov´y ˇra´ dek, kromˇe prvn´ıho, zaˇc´ın´a zleva v´ıce nulami neˇz ˇra´ dek pˇredchoz´ı, (ii) za nulov´ym ˇra´ dkem n´asleduj´ı jen nulov´e ˇra´ dky. Nejlevˇejˇs´ı nenulov´y prvek kaˇzd´eho nenulov´eho ˇra´ dku nazvˇeme hlavn´ı prvek tohoto ˇra´ dku. ˇ Rekneme, zˇ e matice A je v Gauss–Jordanovˇe tvaru, je-li ve schodovit´em tvaru a nav´ıc (iii) hlavn´ı prvek kaˇzd´eho nenulov´eho ˇra´ dku je 1; (iv) vˇsechny prvky ve sloupci nad (a nejenom pod) kaˇzd´ym hlavn´ım prvkem jsou 0. Form´alnˇeji se lze vyj´adˇrit takto: Je-li i-t´y ˇra´ dek matice A nenulov´y, oznaˇcme m i nejmenˇs´ı sloupcov´y index takov´y, zˇ e Aim i = 0 (tj. Aim i je hlavn´ı prvek). Shora uveden´e podm´ınky znˇej´ı: (i) jsou-li i-t´y a j-t´y ˇra´ dek nenulov´e a i < j, pak m i < m j ; (ii) nulov´e ˇra´ dky n´asleduj´ı za vˇsemi nenulov´ymi ˇra´ dky; (iii) Aim i = 1; (iv) A jm i = 0 pro vˇsechna j = i. Pˇr´ıklad. V n´asleduj´ıc´ıch matic´ıch jsou vyznaˇceny hlavn´ı prvky: 2 1 −3 4 3 −1 5 −4 0 −5 0 3 −1 0 −1 −1 A= B= 0 0 −2 0 −2 −2 . 0 , 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 Matice A je ve schodovit´em tvaru. Indexy m i pro tuto matici jsou m 1 = 1, m 2 = 2, m 3 = 4 a je splnˇeno m 1 < m 2 < m 3 . Indexy m 4 a m 5 neexistuj´ı. Matice B ve schodovit´em tvaru nen´ı, jeˇzto m 2 = m 3 a nav´ıc za nulov´ym ˇra´ dkem n´asleduje nenulov´y.
4
5. Matice. Element´arn´ı u´ pravy
Libovoln´a matice je ˇra´ dkovˇe ekvivalentn´ı nˇejak´e matici v Gauss–Jordanovˇe (resp. schodovit´em) tvaru. Zformulujeme dva algoritmy. Oba postupnˇe obsazuj´ı hlavn´ı prvky a anuluj´ı ty prvky matice A, kter´e kaz´ı Gauss–Jordan˚uv (resp. schodovit´y) tvar. ˇ adek Zavedeme pojem hlavn´ı pozice jako m´ısto v matici, schopn´e pojmout hlavn´ı prvek. R´ (sloupec) obsahuj´ıc´ı hlavn´ı pozici se bude naz´yvat hlavn´ı ˇra´ dek (sloupec). Indexy k, l budou vˇzdy oznaˇcovat hlavn´ı pozici. Algoritmus 1 (transformace na schodovit´y tvar). Vstupem je matice A. 1. Poˇca´ teˇcn´ı hlavn´ı pozice budiˇz (1, 1) (tj. k := 1, l := 1). 2. Je-li na hlavn´ı pozici nenulov´y prvek, bude hlavn´ım prvkem a pokraˇcujeme krokem 5. 3. Je-li v hlavn´ım sloupci pod hlavn´ı pozic´ı alespoˇn jeden nenulov´y prvek, vybereme jeden z nich a zamˇen´ıme jeho ˇra´ dek s hlavn´ım ˇra´ dkem. Vybran´y prvek se tak stane hlavn´ım prvkem. Pokraˇcujeme krokem 5. 4. Jsou-li vˇsechny prvky leˇz´ıc´ı v hlavn´ım sloupci na hlavn´ı pozici a pod n´ı nulov´e, pak nynˇejˇs´ı hlavn´ı pozice nedovoluje obsadit hlavn´ı prvek. Posuneme hlavn´ı pozici o jedno m´ısto vpravo (l := l + 1) a vrac´ıme se ke kroku 2. 5. V tomto okamˇziku je jiˇz nalezen nenulov´y hlavn´ı prvek Akl . Hlavn´ı ˇra´ dek vydˇel´ıme hlavn´ım prvkem. Pot´e je hlavn´ı prvek roven jedn´e: Akl = 1. 6. Pro vˇsechna i > k, k i-t´emu ˇra´ dku matice A pˇriˇcteme (−Ail )-n´asobek hlavn´ıho ˇra´ dku. Pot´e jiˇz Ail = 0 pro vˇsechna i > k (anuluj´ı se vˇsechny prvky pod hlavn´ı pozic´ı). 7. Skonˇcil vnˇejˇs´ı cyklus algoritmu; bˇehem nˇeho byl nalezen jeden hlavn´ı prvek. Zvol´ıme novou hlavn´ı pozici o jeden krok vpravo dole od st´avaj´ıc´ı hlavn´ı pozice (k := k + 1, l := l + 1). Vrac´ıme se ke kroku 2, hled´ame dalˇs´ı hlavn´ı prvek. Algoritmus konˇc´ı, padne-li hlavn´ı pozice mimo matici. V´ystupem je (upraven´a) matice A. Tvrzen´ı. Algoritmus 1 pˇrev´ad´ı libovolnou matici A na rˇa´ dkov´e ekvivalentn´ı matici ve schodovit´em tvaru. Dukaz. ˚ Cviˇcen´ı. Je nutno ovˇeˇrit, zˇ e vˇsechny manipulace s ˇra´ dky byly element´arn´ımi u´ pravami. Pˇritom se vlevo od hlavn´ıch prvk˚u se po cel´y pr˚ubˇeh algoritmu vyskytuj´ı pouze nulov´e prvky. Pˇr´ıklad. N´asleduj´ıc´ı u´ pravy pˇredstavuj´ı pˇreveden´ı na schodovit´y tvar. Tuˇcnˇe vyznaˇcujeme aktu´aln´ı hlavn´ı pozici (nemus´ı j´ıt o hlavn´ı prvek, je-li 0). Nad symboly ∼ stoj´ı cˇ´ıslo kroku algoritmu. Matice, kter´e jsou si rovny, se liˇs´ı vyznaˇcen´ım nov´e hlavn´ı pozice. 0 1 1 0 2 3 2 1 1 32 1 12 3 5 2 3 2 1 ∼ 0 1 1 0 ∼ 0 1 1 0 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 1 2 3 3 1 12 1 12 1 1 2 2 6 ∼ 0 1 1 0 = 0 1 1 0 0 −1 −1 1 0 −1 −1 1 1 32 1 12 1 32 1 12 1 32 1 12 6 4 ∼ 0 1 1 0 = 0 1 1 0 = 0 1 1 0 . 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1
5
5. Matice. Element´arn´ı u´ pravy
Dalˇs´ı volba hlavn´ı pozice smˇeˇruje mimo matici, algoritmus konˇc´ı.
Algoritmem 1 dosahujeme nav´ıc i toho, zˇ e plat´ı podm´ınka (iii) z definice Gauss–Jordanova tvaru. Ke splnˇen´ı podm´ınky (iv) staˇc´ı nepatrnˇe zmˇenit krok 6. Algoritmus 2 (transformace na Gauss–Jordan˚uv tvar). Prob´ıh´a stejnˇe jako Algoritmus 1, ale sˇest´y krok je nahrazen n´asleduj´ıc´ım: 6 . Pro vˇsechna i = k, k i-t´emu ˇra´ dku matice A pˇriˇcteme (−Ail )-n´asobek hlavn´ıho ˇra´ dku. Pot´e jiˇz Ail = 0 pro vˇsechna i = k (anuluj´ı se vˇsechny prvky nad a pod hlavn´ı pozic´ı). Tvrzen´ı. Algoritmus 2 pˇrev´ad´ı libovolnou matici A na Gauss–Jordan˚uv tvar. Pˇr´ıklad. N´asleduj´ıc´ı u´ pravy pˇredstavuj´ı pˇreveden´ı na Gauss–Jordan˚uv tvar.
0 2 2
1 0 2 3 2 1 1 32 1 12 3 5 2 1 ∼ 0 1 1 0 ∼ 0 1 1 0 1 2 2 2 1 2 2 2 1 2 3 1 12 1 1 0 − 12 0 2 6 6 ∼ 0 1 0 . 1 1 0 ∼ 0 1 0 0 0 1 0 −1 −1 1
1 3 2
(Hlavn´ı prvky pro jednoduchost neuv´ad´ıme.)
Poznamenejme jeˇstˇe, zˇ e pˇri numerick´em v´ypoˇctu je tˇreba uvaˇzovat i o zaokrouhlovac´ıch chyb´ach. Mohlo by se st´at, zˇ e hlavn´ı prvek vybran´y ve tˇret´ım kroku by byl bl´ızk´y nule a zaokrouhlen´ım pod´ılu v kroku 5 by se mohl v´ypoˇcet zcela znehodnotit. Potom je nutno krok 3 modifikovat tak, zˇ e vybereme ten z nenulov´yvh prvk˚u pod hlavn´ı pozic´ı, kter´y m´a nejvˇetˇs´ı absolutn´ı hodnotu (naz´yv´a se pivot). Ve vztahu k ˇreˇsen´ı soustav line´arn´ıch rovnic je Gauss–Jordan˚uv tvar v´yjimeˇcn´y t´ım, zˇ e z nˇej lze ˇreˇsen´ı snadno urˇcit bez dalˇs´ıho poˇc´ıt´an´ı. V´ıme, zˇ e kaˇzd´y sloupec kromˇe posledn´ıho odpov´ıd´a jedn´e nezn´am´e. Obsahuje-li nˇekter´y sloupec hlavn´ı prvek, nazveme odpov´ıdaj´ıc´ı nezn´amou hlavn´ı, ostatn´ı nezn´ame nazveme parametrick´e. Vyskytuje-li se nˇekter´y hlavn´ı prvek v posledn´ım sloupci, znamen´a to, zˇ e soustava zahrnuje nesplnitelnou rovnici 0 = 1, a tedy nem´a ˇreˇsen´ı. V opaˇcn´em pˇr´ıpadˇe je postup k nalezen´ı vˇsech ˇreˇsen´ı n´asleduj´ıc´ı: (1) vyznaˇc´ıme hlavn´ı prvky; (2) existuj´ı-li parametrick´e nezn´am´e, pˇrevedeme je na pravou stranu rovnic (se zmˇenou znam´enka); t´ım z´ısk´ame vyj´adˇren´ı hlavn´ıch nezn´am´ych v z´avislosti na parametrick´ych nezn´am´ych. Parametrick´e nezn´am´e vystupuj´ı jako parametry ˇreˇsen´ı – pro kaˇzdou hodnotu takov´ych parametr˚u dostaneme pr´avˇe jedno zvl´asˇtn´ı rˇeˇsen´ı soustavy. A naopak, kaˇzd´e jednotliv´e ˇreˇsen´ı soustavy z´ısk´ame vhodnou volbou parametr˚u. 6
5. Matice. Element´arn´ı u´ pravy
Pˇr´ıklad. Necht’
1 0 6 0 3 0 1 3 0 0 A= , 0 0 0 1 3 0 0 0 0 0
1 0 B= 0 0
0 1 0 0
6 3 0 0
0 0 1 0
0 0 . 0 1
Obˇe matice A, B jsou v Gauss–Jordanovˇe tvaru, hlavn´ı prvky jsou vyznaˇceny. Matice A je rozˇs´ıˇrenou matic´ı soustavy x1
+ 6x3 x2 + 3x3
= 3, = 0, x4 = 3, 0 = 0.
Existuj´ı tˇri hlavn´ı nezn´am´e x1 , x2 , x4 a jedna parametrick´a nezn´am´a x3 . Pˇreveden´ım cˇ len˚u s x3 na druhou stranu z´ısk´ame vyj´adˇren´ı x1 , x2 , x4 pomoc´ı x3 : x1 x2
= 3 − 6x3 , = −3x3 x4 = 3.
Mnoˇzina vˇsech ˇreˇsen´ı naˇs´ı soustavy proto je A = { (3 − 6x3 , −3x3 , x3 , 3) | x3 ∈ P }. Matice B je zase rozˇs´ıˇrenou matic´ı soustavy x1
+ 6x3 x2 + 3x3
= 0, = 0, x4 = 0, 0 = 1.
V tomto pˇr´ıpadˇe neexistuje zˇ a´ dn´e ˇreˇsen´ı ( B = ∅), protoˇze se vyskytuje hlavn´ı prvek v posledn´ım sloupci. A skuteˇcnˇe, p´at´e rovnici 0 = 1 nelze vyhovˇet.
7
