12. MOCNINY A ODMOCNINY 12.1. Vypočti: (104 ⋅ 183 )2 a) 3 2 3 ⋅ 30
83 ⋅ (164 ⋅ 643 )3 b) 4 ( 323 ⋅ 82 ) ⋅ 42
3
4 153 ⋅ 94 3 53 2 ⋅ ⋅ 25 452 752 ⋅ 27 4 d) 3 4 225 2 ⋅ 125 1352 ⋅ 813
106 ⋅ (53 ⋅ 202 ⋅ 24 ) 4 c) 2 ( 642 ⋅ 1253 ) ⋅ 2004
2
3
Při výpočtu důsledně využíváme pravidla pro počítání s mocninami a odmocninami:
ŘEŠENÍ:
(
3 (104 ⋅183 )2 54 ⋅ 24 ⋅ ( 2 ⋅ 3 ) = a) 3 3 ⋅ 302 33 ⋅ 22 ⋅ 32 ⋅ 52
) = ( 2 3
2 2 3
8+ 6 − 2
⋅ 312−3− 2 ⋅ 58− 2 ) = 3
= ( 212 ⋅ 37 ⋅ 56 ) = 236 ⋅ 321 ⋅ 518 3
83 ⋅ (164 ⋅ 643 )3 = 218 ⋅ 296 ⋅ 2108 ⋅ 2−120 ⋅ 2−48 ⋅ 2−8 = 218+96+108−120− 48−8 = 246 b) 4 3 2 2 ( 32 ⋅ 8 ) ⋅ 4 2
(
)
1. a s ⋅ a t = a s +t 2.
3
4 2 6 10 ⋅ ( 5 ⋅ 20 ⋅ 2 ) ( 2 ⋅ 5) ⋅ 53 ⋅ ( 22 ⋅ 5 ) ⋅ 24 = c) = 2 ( 642 ⋅1253 )2 ⋅ 2004 6 2 3 3 3 2 4 ( 2 ) ⋅ ( 5 ) ⋅ ( 2 ⋅ 5 ) = 218+ 48+ 48− 72−36 ⋅ 518+ 36+ 24−54− 24 = 26 ⋅ 50 = 26 6
3
2
4 4
3
(
)
4 153 ⋅ 9 4 3 53 2 ⋅ ⋅ 25 452 752 ⋅ 27 4 d) 3 4 225 2 ⋅ 125 2 3 135 ⋅ 81
t
4. ( a s ) = ( a t ) t
s
5. a s ⋅ b s = ( a ⋅ b )
3 4 3 2 4 3 ⋅ ⋅ 5 3 3 ( ) ( ) ⋅ 5 2 2 ⋅ (5 ) 2 2 ( 3 ⋅ 52 ) 2 ⋅ ( 33 )4 3 ⋅ 5 ( ) = = 3 4 ( 32 ⋅ 52 ) 2 ⋅ ( 53 ) 2 3 4 3 ( 3 ⋅ 5) ⋅ (3 )
327 + 72 −36− 24 −144 ⋅ 527 −18+36 − 48+ 48 3−105 ⋅ 545 1 = = −90 72 = 3−105+90 ⋅ 545−72 = 3−15 ⋅ 5−27 = 15 27 72 −54 −108 72 −18 +18 3 ⋅5 3 ⋅5 3 ⋅5
Maturitní otázky z matematiky, Petr Husar
as = a s −t t a
3. ( a s ) = a s⋅t
3
3
3
as a 6. s = b b 1 7. s = a − s a
s
s
s
8. t a s = a t a, b ∈ R + s, t ∈ R
www.zkousky-nanecisto.cz/maturita
Strana 2
Mocniny a odmocniny
12.2. Vypočti: a)
6
7 ⋅ 3 72 ⋅ 7
32 ⋅ 3 3 ⋅ 3 32 ⋅ 3
b)
2 3
1 2
a) 6 7 ⋅ 3 7 2 ⋅ 7 = 7 ⋅ 7 ⋅ 7 = 7 1
1 2 3 + + 6 3 6
2
=7
1
b) 32 ⋅ 3 3 ⋅ 3 32 ⋅ 3 = 31 ⋅ 3 6 ⋅ 3 3 ⋅ 3 6 = 3 1 6
1 2
1 3
1 6
c) 2 2 ⋅ 2 ⋅ 2 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 = 2 3
3
3
d)
1+ 4 + 3 6
6 +1+ 4 +1 6
3+1+ 2 +1 6
d)
114 ⋅ 11 . 3 11
Co nejrychleji přejdeme od počítání s odmocninami k počítání s racionálními exponenty (většinou zlomky).
ŘEŠENÍ: 1 6
3
23 2 ⋅ 3 2 ⋅ 2
c)
8 6
= 7 = 3 74 = 7 3 7 12
= 3 6 = 32 7 6
= 2 = 26 2
4 1 4 1 1 8 + 3− 2 9 1 3 − + − 114 ⋅ 11 3 3 3 2 3 6 6 2 = 11 ⋅11 ⋅11 = 11 = 11 = 11 = 112 = 11 11 3 11
12.3. Uprav a urči podmínky: a) ( x y z 3
2
) ⋅ (x
−2 2
−3
2
x 3 y −3 y −3 z 4 b) −2 2 z3 ⋅ x −2 −5 6 x z y z
)
−1 2 −3
y z
−1
2
x 2 y −1 2 −2 x −2 y 3 y −3 z5 z ⋅ z x −1z2 c) 2 − 1 −2 −3 3 (z x ) x y
−1
−2
2
a2 b −1 2 −2 d −2 c3 c −3d 5 ⋅ c ⋅ a ⋅ a−1b2 . d) 3 2 −1 −2 3 −2 c d −2 b c 2 a−3 b5 ⋅ c ⋅ a ⋅ a−1d 2
ŘEŠENÍ: Podmínky: pro a), b), c) x ≠ 0, y ≠ 0, z ≠ 0 , pro d) a ≠ 0, b ≠ 0, c ≠ 0, d ≠ 0
a) ( x 3 y z
) ⋅(x
2 −2 2
−3
)
−1 2 −3
y z
= x 6+ 9 . y 4+ 3 .z −4− 6 = x15 . y 7 .z −10
2
−2
−1
2
2 −2 x 3 y −3 y −3 z 4 b) −2 2 z 3 ⋅ x −2 −5 6 = ( x 3 y −3+ 2 z 3− 2 ) ⋅ ( x −2 +5 y −3 z 4− 6 ) = x 6− 6 y −2+ 6 z 2+ 4 = y 4 z 6 x z y z
x 2 y −1 2 −2 x −2 y 3 −1 2 −3 5 z ⋅ z x 2 y 2 z −3 ) ⋅ ( x −1 y 3 z −4 ) ( y z x −1 z 2 y c) = = x −2− 2+1 y −2+ 6−3 z 3−8+ 4 = x −3 yz −1 = 3 −1 3 −4 2 −1 −2 −3 3 x y z xz (z x ) x y −1
2
a 2b −1 2 −2 d −2 c3 −3 5 ⋅ c ⋅ a ⋅ −1 2 c d a b d) = a −2 − 2 −9 − 2b1− 4 +15− 4 c −5+ 6 −12+ 6 d 5− 4 +3− 4 = a −15b8 c −5 3 2 −1 −2 3 −2 c d 2 −2 b c −3 5 ⋅ c ⋅ a ⋅ −1 2 a d a b
Maturitní otázky z matematiky, Petr Husar
Pečlivě po sobě každý výpočet kontroluj. Počítání stojí na několika základních pravidlech, přesto se snadno udělá zbytečná chyba.
www.zkousky-nanecisto.cz/maturita
Strana 3
Mocniny a odmocniny x3 3 x5 x x3
12.4. Uprav a urči podmínky: a) 3
3
x x
3
x
33
x
y5 4 x 5 y 3 y x 3
b)
3
4
x 2 y 3 y5 3 x 5
ŘEŠENÍ: Podmínky: pro a) x > 0 , pro b) x > 0, y > 0 1 2
1 1 1 35 2 12 3 23 2 ⋅ x x ⋅ x ⋅ x 3 5 1 3 1 1 2 + + + − −1− − 2 6 12 4 2 2 9 = = x = 1 1 3 1 1 32 3 32 3 43 2 x ⋅ x ⋅ x ⋅ x 3 2
x3 3 x5 x x3
a) 3
=x
x3 x3 x3 3 x 4
54 + 30 + 3+ 27 −18 − 36 −18 −8 36
y 5 4 x5 y
b)
3
3
34
y x3
5 1 +
=
x 2 y 3 y5 3 x5
12.5. Uprav:
17
= x 36 = x 18 = 18 x17 2
x3
a)
5
x8 4 y 2 +
5 18
1− 3 1+ 3
+
1 1 + 16 6
1 5 + 6
=x
7 17 − 8 18
y
131 8 − 48 6
=x
−
5 72
y
67 48
=
y2
b)
−1 + 5 5− 5
ŘEŠENÍ:
(
c)
3−2
y 48 y19 72
x5
Opět co nejrychleji opustíme odmocniny a přejdeme k exponentům. Výsledek se uvádí v různých formátech. Někdo preferuje výsledný tvar v podobě mocniny, jiný zase v podobě odmocniny. Podle přísloví „jak se do lesa volá, tak se z lesa ozývá“ uvedeme výsledek v podobném formátu v jakém je zadání.
21 − 3 7 4− 8 d) 5+ 7 2− 2
)=
a)
1− 3 1− 3 1− 2 3 + 3 4 − 2 3 2 ⋅ = = = 1− 3 −2 1+ 3 1− 3
b)
5 −1 −1 + 5 1 5 = = = 5 5− 5 5 5 5 −1
c)
21 − 3 7 7− 7 5− 7 35 − 12 7 + 7 42 − 12 7 = 3⋅ ⋅ = 3⋅ = 3⋅ = 7 − 2⋅ 7 25 − 7 18 5+ 7 5+ 7 5− 7
(
d) =
2
3−2
)
(
)
4 − 2 2 2⋅ 2 − 2 = =2 2− 2 2− 2
Zpravidla využijeme takzvané usměrnění, což je násobení šikovně zvolenou „jedničkou“. Ta se zvolí v podobě zlomku se shodným čitatelem i jmenovatelem tak, aby se při násobení jmenovatelů dal uplatnit vztah ( a − b ) ⋅ ( a + b ) = a 2 − b2 . I v příkladech b) a d) by se dalo uplatnit usměrnění, v našem řešení však upřednostňujeme jednodušší způsob.
Maturitní otázky z matematiky, Petr Husar
www.zkousky-nanecisto.cz/maturita
Strana 4
Mocniny a odmocniny
Další příklady (již jen pouhé řešení bez vysvětlujících poznámek) 12.6. Řeš rovnici:
(
7
3
x
23
x
)
6
4 x3 5 = 2 x
4
Definiční obor rovnice: x > 0 x
1 1 2⋅ ⋅ 6⋅ 3 7
11 1 ⋅ ⋅ 6⋅ 7
⋅ x3 3 4
x7
+
2 21
=x
1 1 3⋅ ⋅4⋅ 4 5
⋅x
−2⋅4⋅
1 5
3 8 − 5
= x5
14 21
x = x −1 2 3
x =
1 x
/⋅ x
5
x3 = 1 x =1 K = {1} Poznámka: Tento výsledek lze vidět už ze zadání bez výpočtu.
(
12.7. Vypočti:
(
4
25 ⋅ 8 9
)
= 5 ⋅3
25 ⋅ 8 9
)
2 3 3
3 1 15 ⋅ 2 27 2
3 1 15 ⋅ 2 27 1−1
4
3 3
: 3
9
3 ⋅ 4 27
1 9 2 1 1 −1+ − + + 2 2 3 3 4
=3
=
24 82 5 ⋅3
3
6 −12 + 54 −8 + 4 + 3 12
=3
47 12
9
3 ⋅ 4 27
2 2
13 13 − 23 3 ⋅5 ⋅3
12.8. Uprav a urči podmínky: 4 x x − 5 x3 +
:
3
33
:
1 3
3 ⋅3 36 12
31 ⋅ 43
=
11 12
= 3 ⋅ 3 = 33 ⋅ 12 311
4x x − 5 x3 +
3 x5 x
3 3 3 3 3 5 x = 4 x 2 − 5 x 2 + 3x 2 = 2 x 2 = 2 x x x
x>0
Maturitní otázky z matematiky, Petr Husar
www.zkousky-nanecisto.cz/maturita
Strana 5
Mocniny a odmocniny 1 1 2 2 x + 2 x − 2 + 3 3
12.9. Uprav a urči podmínky:
2
2
1 1 2 2 2 x + 2 x − 2 x+2 x−2 x+2 x+2 x−2 x−2 + = + +2 ⋅ + = = 3 3 3 3 3 3 3 3
x+2+ x−2 x+2 x−2 2 1 2 +2 ⋅ = x + 2⋅ x −4 = 3 3 3 3 3 2 = x + x2 − 4 , x ≥ 2 3 =
(
)
7− 5 7+ 5 − 7+ 5 7− 5
12.10. Uprav: 5 ( =
7− 5 7+ − 7+ 5 7− 5 =
(
7− 5 7+
) −( 5)⋅( 2
) 5)
7+ 5 7−
2
=
7 − 2 35 + 5 − 7 − 2 35 − 5 = 7−5
−4 35 = −2 35 2
Maturitní otázky z matematiky, Petr Husar
www.zkousky-nanecisto.cz/maturita
Strana 6
Mocniny a odmocniny
12. TEORETICKÁ ČÁST Otázky, které mohou padnout při maturitní zkoušce: 1) 2) 3) 4)
Uveď všechna pravidla pro počítání s mocninami a odmocninami. Zapiš definici odmocniny. Jakým jiným způsobem lze zapsat odmocninu? Lze počítat odmocninu z každého reálného čísla?
1. Uveď všechna pravidla pro počítání s mocninami a odmocninami. Pravidlo pro násobení mocnin se stejným základem: a s ⋅ a t = a s + t ; a > 0 ; s, t ∈ R Pravidlo pro dělení mocnin se stejným základem:
as = a s −t ; a > 0 ; s, t ∈ R t a
Pravidlo pro umocnění mocniny: ( a s ) = ( a t ) = a s⋅t ; a > 0 ; s, t ∈ R t
s
Pravidlo pro násobení mocnin se stejným exponentem: a s ⋅ b s = ( a ⋅ b ) ; a > 0, b > 0; s ∈ R s
s
as a Pravidlo pro dělení mocnin se stejným exponentem: s = ; a > 0, b > 0; s ∈ R b b 1 Pravidlo pro převrácenou mocninu: s = a − s ; a > 0 ; s ∈ R a s
Vztah odmocniny a mocniny s racionálním exponentem (zlomkem): Pravidlo pro umocnění odmocniny:
( a)
Pravidlo pro odmocnění odmocniny:
n
m n
s
n
a s = a n ; a > 0 ; s ∈ R, n ∈ N
= n a s ; a > 0 ; s ∈ R, n ∈ N
a =
n m
a = mn a ; a ≥ 0 ; m, n ∈ N
Pravidlo pro krácení odmocniny z mocniny: a mp = n a m ; a ≥ 0 ; m, n, p ∈ N Poznámka: U pravidel s mocninami neomezujeme obor pro exponent a uvažujeme všechna reálná čísla. U pravidel s odmocninami omezujeme pro zjednodušení obor exponentu (odmocnitele) na přirozená čísla. np
2. Zapiš definici odmocniny. n
Odmocninu zapisujeme jako: a platí pro ni definiční vztah:
n
a ; a ≥ 0, n ∈ N
a = b ⇔ a = bn
Terminologie: a nazýváme odmocněnec nebo také základ odmocniny, n nazýváme odmocnitel nebo také exponent odmocniny.
3. Jakým jiným způsobem lze zapsat odmocninu? Odmocninu lze zapsat také jako mocninu s racionálním exponentem (exponentem je zlomek) s
n
a s = a n ; a > 0 ; s ∈ R, n ∈ N
Maturitní otázky z matematiky, Petr Husar
www.zkousky-nanecisto.cz/maturita
Strana 7
Mocniny a odmocniny
4. Lze počítat odmocninu z každého reálného čísla? Podle většiny učebnic je odmocnina (se sudým i lichým exponentem) definovaná jen z nezáporného čísla, tzn., že základ odmocniny (odmocněnec) musí být větší nebo roven nule. Některé novější publikace umožňují definovat liché odmocniny i ze záporných čísel. 3 Například: 3 −8 = −2 ⇔ −8 = ( −2 )
Maturitní otázky z matematiky, Petr Husar
www.zkousky-nanecisto.cz/maturita
