Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti

F8 KEPLEROVY ZÁKONY

Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti

F8 KEPLEROVY ZÁKONY Keplerovy zákony pro planetární pohyb zformuloval Johannes Kepler (1571–1630) na základě měření Tychona Braheho (1546–1601). Jde tedy o zákony objevené experimentálně. Dnes je umíme odvodit z pohybových rovnic a gravitačního zákona. Equation Chapter (Next) Section 1

Keplerovy zákony 1. Planety se pohybují po elipsách, v jejichž jednom ohnisku je Slunce. 2. Spojnice planety se Sluncem opíše za stejnou dobu vždy stejnou plochu. 3. Podíl třetí mocniny velké poloosy a druhé mocniny oběžné doby je pro všechny planety stejný. Druhý Keplerův zákon není nic jiného než zákon ploch, který jsme již dříve odvodili ze zákona zachování momentu hybnosti. První a třetí Keplerův zákon si nyní odvodíme.

Rovnice elipsy  Nejprve se musíme seznámit s rovnicí elipsy v polárních souřadnicích, jejichž střed je v jednom z ohnisek (F2):

Elipsa je definována jako množina bodů, pro které je součet vzdáleností od dvou pevně daných bodů (ohnisek F1 a F2) konstantní, tj. XF1  XF2

 const .

(8.1)

Hodnotu konstanty snadno určíme pro bod X = X0, který je situovaný podle pravého obrázku: X 0F1  X 0F2

  a  e    a  e   2a .

Rovnice elipsy tedy bude mít tvar: XF1  XF2

 2a ,

(8.2)

kde X je libovolný bod na elipse. Jednotlivé body mají podle obrázku souřadnice: X = ( r cos  , r sin  ) ; F1  (2e, 0) ; F2

(8.3)

 (0, 0) . F8-2

Souřadnice bodů nyní dosadíme do rovnice elipsy, vzdálenost dvou bodů vyjádříme jako odmocninu ze součtu kvadrátů rozdílů souřadnic: XF1  XF2

 2a



(r cos   2e) 2  (r sin  ) 2  (r cos  ) 2  (r sin  ) 2  2a



r 2  4re cos   4e 2  r  2a . To, že druhá vzdálenost musela vyjít r, je na první pohled patrné z obrázku. Ve výsledném vztahu ponecháme na levé straně jen odmocninu (člen r převedeme doprava) a obě strany umocníme na druhou: r 2  4re cos   4e 2  2a  r



r 2  4re cos   4e 2  4a 2  4ar  r 2 re cos   e 2  a 2  ar





1   e /a  a2  e2 r a . a  e cos  1   e /a  cos  2

Rovnice elipsy se většinou píše ve tvaru: r

p ; 1   cos 

p  a(1   2 ) ,

(8.4)

  e /a . Veličiny p, ε se nazývají parametr elipsy a numerická (bezrozměrná, číselná) excentricita.

První Keplerův zákon (planety se pohybují po elipsách)  Při odvození tvaru trajektorie planety bychom mohli vyjít z pohybových rovnic a řešit diferenciální rovnice druhého řádu. Výhodnější ale bude vyjít ze zákonů zachování energie a momentu hybnosti. Z nich dostaneme soustavu dvou diferenciálních rovnic prvního řádu. Energie planety se skládá z translační energie v radiálním směru (přibližování a vzdalování od Slunce ve směru r), z rotační energie (v úhlovém směru φ) a z potenciální energie pohybu v poli Slunce: 1 2 1 mM E. (8.5) mr  J  2  G 2 2 r Druhým vztahem bude zákon zachování momentu hybnosti Jω: J   b .

(8.6)

Obě veličiny se zachovávají, pravé strany jsou proto konstanty pohybu. Moment setrvačnosti planety vzhledem ke Slunci je dán jednoduchým vztahem (stejným jako pro kuličku na provázku), tj. J  mr 2 .

F8-3

(8.7)

Po dosazení za J má soustava rovnic, kterou budeme řešit, tvar:

mM 1 2 1 2 2 mr  mr   G E, r 2 2

(8.8)

2

mr   b . Nevýhodou je, že v první rovnici jsou časové derivace obou proměnných, tj. r i  . Proto vyjádříme časovou derivaci  z druhé rovnice a dosadíme do první: 1 2 b2 mM mr  G E, 2 2 r 2mr

(8.9)

mr 2  b .

V dalším kroku vypočteme z obou rovnic časové derivace hledaných proměnných: dr 2 b2 mM    E G  dt m r 2mr 2

  , 

(8.10)

d b .  dt mr 2 Nyní bychom mohli řešit pohyb planety za pomoci diferenčního schématu. My ale potřebujeme znát jen celkový tvar trajektorie, nikoli časovou závislost (v kterém čase je planeta na kterém místě). Proto vydělíme druhou rovnici první (tím se diferenciály dt vyruší): d  dr

b /mr 2

.

2

(8.11)

M 2E  b     2G m  mr  r

Rovnici budeme separovat (diferenciál dr převedeme na pravou stranu a integrovat:

 d  

b /mr 2

dr .

2

(8.12)

M 2E  b     2G m  mr  r

Integrál na levé straně je jednoduchý, integrační konstanta ovlivní jen počáteční odečet úhlu, můžeme ji proto zvolit nulovou. Na pravé straně zavedeme substituci



b ; mr

d  

b mr 2

d r.

(8.13)

Po provedení substituce máme:



1 2E GmM  2  2  m b

d .

(8.14)

Výraz pod odmocninou doplníme na čtverec

F8-4



1 2

2E  GmM   GmM        m  b   b 

2

d .

(8.15)

Vzhledem k tomu, že se pouze snažíme dokázat, že jde o rovnici elipsy, nebudeme vypisovat hodnoty jednotlivých konstant a výraz napravo napíšeme ve tvaru

  

d C     0  2

.

2

(8.16)

Konstantou C2 jsme označili součet obou konstantních členů. Z integrálu vytkneme C

 

d

1 C

.

(8.17)

d . C

(8.18)

  0  1    C 

2

a zavedeme poslední substituci



 0 C

d 

;

Integrace přejde na jednoduchý tvar

  

d 1 

2

,

(8.19)

což je tabulkový integrál vedoucí na řešení

  arccos .

(8.20)

Závislost otočíme a vrátíme se k původním proměnným:

  cos   0 C

r

 cos 

 

b   0  C cos  mr



b   0  C cos  mr



(8.21)

b /(m 0 ) b /m p   .  0  C cos  1  (C / 0 ) cos  1   cos 

Výsledná rovnice má tvar rovnice elipsy (8.4) s počátkem souřadnic (Sluncem) v ohnisku. Při výpočtu jsme mlčky předpokládali, že vliv planety na Slunce je zanedbatelný a Slunce zůstane v počátku souřadnic po celou dobu oběhu planety. První Keplerův zákon je tedy důsledkem gravitačního zákona a příslušných pohybových rovnic (respektive zákonů zachování z nich plynoucích). Druhý Keplerův zákon (zákon ploch) plyne ze zákona zachování momentu hybnosti a již jsme ho odvodili dříve. Zbývá tedy alespoň naznačit odvození třetího Keplerova zákona. F8-5

Třetí Keplerův zákon  Platnost třetího Keplerova zákona si ukážeme jen pro kruhovou orbitu planety. Předpokládejme, že planeta obíhá Slunce po kružnici (speciální případ elipsy s nulovou excentricitou) o poloměru R. Z rovnosti odstředivé a gravitační síly máme v2 mM m G 2 . R R

(8.22)

Na levé straně je hmotnost planety násobená normálovým zrychlením (2.29) při kruhovém pohybu, na pravé straně je velikost gravitační síly. Již nás nepřekvapí, že hmotnost planety se na obou stranách rovnosti zkrátí a pohyb planety v gravitačním pole nezávisí na její hmotnosti. Rychlost vyjádříme jako obvod dráhy 2πR dělený periodou oběhu T: (2 R /T ) 2 M G 2 . R R

(8.23)

Jednoduchým přeskupením máme třetí Keplerův zákon R3 T

2



GM 4 2

,

(8.24)

který platí pro všechny planety. Konstanta na pravé straně je dána hmotnostní Slunce. Pokud bychom při odvození uvažovali eliptickou dráhu planety a fakt, že velké planety poněkud ovlivní polohu Slunce, dostali bychom výsledný vztah (který v tomto kurzu nebudeme odvozovat) a3 T2



G ( M  m) 4 2

,

(8.25)

Tedy místo poloměru kruhové dráhy zde vystupuje velká poloosa elipsy a místo hmotnosti Slunce součet hmotností obou těles. Pro planety je ale m << M a jejich hmotnost je možné zanedbat. Třetí Keplerův zákon lze aplikovat i na dvojhvězdy, potom na pravé straně skutečně zůstane součet hmotností obou těles. Zapamatujte si

Keplerovy zákony byly nalezeny na základě sledování poloh planet na obloze. Dnes je umíme snadno odvodit z gravitačního zákona a pohybových rovnic nebo ze zákonů zachování energie a momentu hybnosti.

F8-6