Elektřina a magnetismus Elektrostatické pole

Elektřina a magnetismus Elektrostatické pole

Elektrostatické pole je prostor (v okolí elektricky nabitých částic/těles), ve kterém na sebe náboje působí elektrickými silami. Zdrojem elektrostatického pole jsou elektrické náboje (vázané na částice), které jsou v klidu vzhledem ke vztažné soustavě, v níž silové účinky pole vyšetřujeme. Elektrostatické pole je speciálním případem obecnějšího elektromagnetického pole, které zahrnuje i vzájemné působení elektricky nabitých objektů za pohybu. Je popsáno čtyřmi Maxwellovými rovnicemi v diferenciálním nebo integrálním tvaru. elektrický náboj - veličina, která je příčinou elektrického stavu objektů (def.: náboj, který při proudu 1 A proteče vodičem za 1 s) - jednotka coulomb - je kladný a záporný - silové působení mezi souhlasnými náboji je odpudivé, mezi nesouhlasnými přitažlivé - je vázaný na hmotné částice

I.M.Hlaváčová

Strana 1

LS2014


základní poznatky o nábojích vyjadřují tyto zákony: - zachování náboje: nelze ho vytvořit ani zničit, v elektricky izolované soustavě je celkové množství náboje stálé - invariantnosti náboje: při všech transformacích vztažné soustavy se náboj nemění - o silovém působení nábojů - Coulombův zákon Bodový náboj Q1 působí ve své klidové soustavě na jiný bodový náboj Q2 silou velikosti

Fel  k

Q1Q2  vektorově: Q1Q2 F  k el  r2  r3

 r 

1

, kde  (permitivita prostředí) je konstanta 4 vyjadřující, jakým způsobem ovlivňuje prostředí silové působení mezi náboji (jak moc ho zeslabuje):

k je konstanta úměrnosti, k 

ve vakuu k  9109 Nm2C–2 0 = 8,85910-12 N-1m-2C2 (Fm-1) v látkovém prostředí – relativní permitivita  r 

 0

Coulombův zákon platí nejen pro bodové náboje, ale pro libovolná dvě tělesa za předpokladu, že jejich rozměry jsou vzhledem ke vzdálenosti zanedbatelné (bereme je jako bodové náboje) I.M.Hlaváčová

Strana 2

LS2014


- superpozice: při současném působení několika nábojů je účinek každého stejný, jako kdyby působil sám - o kvantování náboje: všechny náboje jsou celistvými násobky elementárního náboje Jsou-li nosiče náboje rozloženy v určitém objemu, je elektrický náboj připadající na jednotku objemu objemová hustota náboje dQ C  m 3  e  dV analogicky definujeme plošnou hustotu elektrického náboje dQ C  m 2   dS a lineární (délkovou) hustotu elektrického náboje dQ  dl

C  m 1 

Pozn.: podmínkou je, že objem (plocha, délka), ve kterém rozložení náboje zkoumáme, je velmi malý, ale zároveň dostatečně velký na to, aby obsahoval velký počet elementárních nosičů náboje.

I.M.Hlaváčová

Strana 3

LS2014


Intenzita elektrostatického pole V okolí každého elektricky nabitého tělesa existuje elektrické pole, které působí na jiná nabitá tělesa. Pro porovnání silového působení v různých místech elektrického pole definujeme intenzitu pole jako F Q podíl síly Fel , která v tomto místě na náboj působí, a náboje q tohoto bodu. E  el  k 3 r q r - velikost silového působení elektrostatického pole klesá se čtvercem vzdálenosti; závisí na centrálním náboji Q, nezávisí na referenčním náboji q - vektorová veličina stejného směru jako elektrostatická síla, která působí v daném bodě - jednotka newton na coulomb (volt na metr)

Intenzita elektrického pole je síla, kterou pole působí na kladný jednotkový náboj. V případě pole vytvořeného bodovým nábojem platí: vektor intenzity elektrostatického pole směřuje do středu pole, je-li centrální náboj záporný, ze středu pole, je-li centrální náboj kladný. Grafické znázornění: siločáry – orientované křivky, které vystupují z kladného náboje (= zřídlo) a vstupují do záporného náboje (propad, nora). Mohou začínat nebo končit v nekonečnu, jsou definovány v bodech s nenulovou intenzitou pole. Vektor elektrické intenzity je v každém místě pole tečnou k siločáře procházející daným bodem. Hustota siločar je úměrná velikosti intenzity. Siločáry se nikde neprotínají.

Elektrostatické pole, které má ve všech místech konstantní intenzitu E , se nazývá homogenní elektrostatické pole. I.M.Hlaváčová

Strana 4

LS2014


Elektrický potenciál umožňuje porovnat potenciální energii kladného jednotkového náboje v různých místech elektrostatického pole.

Je to potenciální energie kladného jednotkového náboje v uvažovaném místě pole.  

Ep q

- jednotka joule na Coulomb - integrovaný skalární součin intenzity a změny polohového vektoru r2 r2 r2 r2 r2 Q Q 0 Q kQ kQ  1 E d r  k r d r  k r d r  k cos  d r  kQ      1   2   r3  r2  r2   r r r   r1 r1 r1 r1 r1 2 1 - nulovou hladinu potenciálu klademe do nekonečna (síla, kterou pole působí na náboj v , klesá k 0)

2    0  1    k

Q r

Při posunutí náboje q z bodu r1 do bodu r2 konají síly pole práci na úkor potenciální energie tohoto 1 1 náboje, platí tedy W  E p  q1  q2  kqQ     r1 r2  r1

 dW   dW  0 r1

Při přemístění po uzavřené křivce je práce nulová, protože práce nezávisí na cestě, po níž byl náboj přemísťován, ale jen na počáteční a konečné poloze náboje;

Síly pole pracují na úkor potenciální energie náboje q v poli - přemisťují kladný náboj do míst s nižším potenciálem, záporný do míst s vyšším potenciálem. Grafické znázornění: ekvipotenciální křivky – křivky spojující místa se stejnou hladinou potenciálu. Jsou vždy kolmé na siločáry. I.M.Hlaváčová

Strana 5

LS2014


Elektrický potenciál ve vzdálenosti r od bodového náboje Q:



1 Q   4 0 r

(včetně znaménka!)

Elektrické pole vytvořené soustavou bodových nábojů – řešíme pomocí principu superpozice:



potenciál v uvažovaném místě pole je

1 4 0

 i

Qi ri

Elektrické pole vytvořené vodivou kulovou plochou:



vně

pro a > R

uvnitř

pro a  R řešíme pomocí Gaussovy věty:

1 Q 4 0 a

uzavřená plocha uvnitř nabité vodivé kulové plochy neobsahuje žádné náboje → neobsahuje žádný náboj

intenzita pole v uvažovaném místě je nulová

  R 

1 Q je konstantní 4 0 R

Vztah mezi intenzitou a potenciálem elektrostatického pole r

E  grad 

    Edr 

Elektrické napětí U mezi dvěma body elektrického pole je rovno rozdílu potenciálů v těchto bodech.

I.M.Hlaváčová

Strana 6

LS2014

Elektřina a magnetismus Gaussova věta elektrostatiky

Gaussův zákon elektrostatiky vyjadřuje vztah mezi intenzitou elektrického pole na (uzavřené) Gaussově ploše a celkovým nábojem, který se nachází uvnitř této plochy. K jeho formulaci je třeba zavést veličinu, která vyjadřuje, jak moc vystupuje pole z určité uzavřené plochy: tok intenzity uzavřenou plochou. d e  E  dS Intenzita pole je pak podílem toku intenzity určitou plochou a velikosti této plochy, (v případě, že tok intenzity není všude na ploše stejný, musíme dělit lokální hodnotu toku

E

d e nekonečně malou ploškou dS)

e S

E

d e dS

Uvažujme kladný náboj Q, který se nachází ve středu koule o průměru r (viz obr).

Elektrické pole náboje Q je

E

1 Q r , kde vektor intenzity míří v radiálním směru. 3 4 r

Náboj obklopíme imaginárním kulovým povrchem o poloměru r - „Gaussova plocha“.

Porovnáním obou výrazů pro intenzitu získáváme hledaný Gaussův z. elektrostatiky:

e S



Q e 1 Q   E  d S     e  4 r 2 4 r 2 S

Při praktické aplikaci Gaussova zákona (výpočty) je užitečné provést následující kroky: (1) Určit symetrii rozložení náboje (2) Určit směr intenzity elektrického pole a „Gaussovou plochu“, na které je velikost elektrického pole konstantní. (3) Rozdělit prostor na jednotlivé oblasti, které odpovídají jednotlivým nábojům. Pro každou oblast spočítat celkový náboj, který je ohraničen Gaussovou plochou. (4) Pro každou oblast vypočítat elektrický tok Φ Gaussovou plochou. I.M.Hlaváčová

Strana 1

LS2014

Elektřina a magnetismus Pohyb náboje v homogenním poli

Pohyb náboje v homogenním elektrostatickém poli Částice s nábojem Q vletí do elektrostatického pole s konstantní intenzitou E. Počáteční rychlost částice v0 svírá se siločarami pole úhel . Pohyb částice je analogický pohybům v homogenním gravitačním poli (volný pád, vrhy – svislý, vodorovný, šikmý). Jedná se o složený pohyb: q ve směru siločar se zrychlením a  E (pohyb rovnoměrně zrychlený) ve směru kolmém m s konstantní rychlostí v0  v0  sin  (pohyb rovnoměrný přímočarý). Podle vzájemné orientace E a počáteční rychlosti v0 nastává: 1. stejný směr a orientace – „svislý vrh dolů“ 2. stejný směr a opačná orientace – „svislý vrh nahoru“ 3. kolmý směr – „vodorovný vrh“ 4. obecný směr – „šikmý vrh“ ad 1. Pro okamžitou rychlost v a dráhu s v čase t platí: qE 1 qE 2 v  v0  t s  v0t  t m 2 m ad 2. Pro okamžitou rychlost v a dráhu s v čase t platí: rovnoměrně zpomalený pohyb s počáteční qE 1 qE 2 rychlostí v0 a zpomalením qE/m v  v0  t s  v0t  t m 2 m I.M.Hlaváčová

Strana 5

LS2014


ad 3. Pohyb se skládá z rovnoměrně zrychleného pohybu ve směru siločar elektrostatického pole a rovnoměrného přímočarého pohybu ve směru rovnoběžném s elektrodami. Trajektorií je část paraboly, s vrcholem v místě vstupu částice do elektrostatického pole.

Délka letu je závislá na počáteční rychlosti v0 a na místě vstupu do elektrostatického pole. Pro zjištění polohy náboje je nutno pohyb rozdělit na dvě části – rovnoběžnou a kolmou. Rovnoběžný pohyb je rovnoměrně zrychlený, kolmý pohyb je rovnoměrný přímočarý. Okamžitou polohu a rychlost určíme součtem obou pohybů. 1 qE 2 y Y  t , Okamžitou výšku určíme 2 m x  v0t vzdálenost od místa vstupu Okamžitou rychlost získáme vektorovým součtem vodorovné a svislé rychlosti, kde vodorovná rychlost je stále rovna počáteční rychlosti a svislá odpovídá rovnoměrně zrychlenému pohybu qE vx  v0 vy  t m Náboj dopadne na elektrodu za dobu letu T  ve vzdálenosti délky letu D  v0

I.M.Hlaváčová

Strana 6

2mY qE

2mY od vstupu do pole. qE LS2014


ad 4. Pohyb se skládá z rovnoměrně zrychleného pohybu ve směru siločar pole a rovnoměrného přímočarého pohybu ve směru šikmo k elektrodám. Trajektorií je část paraboly. Délka letu závisí na počáteční rychlosti v0, na místě vstupu do pole a na úhlu , pod kterým náboj do pole vletěl. Pohyb opět rozložíme ve směru siločar a ve směru rovnoběžném s elektrodami. Počáteční rychlost v0 lze rozložít na rovnoběžnou složku vx0 a kolmou složku vy0. vx0  v0  sin  vy0  v0  cos Náboj koná pohyb rovnoměrně zpomalený (zrychlený) s počáteční rychlostí vy0 a rovnoměrný přímočarý se stálou rychlostí vx0. Polohu v daném okamžiku určíme řešením pohybových rovnic: q E m q v   a dt  Et  v0 m a

q r   v dt  Et 2  v0 t  r0 2m

x  v x0 t sin  y

qE 2 t  v y0 t cos  2m

Okamžitá rychlost je vektorový součet rovnoběžné a kolmé rychlosti. Okamžitá rovnoběžná rychlost se určí stejně jako v případu 2, kolmá rychlost je stále stejná.

I.M.Hlaváčová

Strana 7

LS2014

Elektřina a magnetismus Elektrické pole v látce

Vlastnosti dielektrik v elektrostatickém poli Vložíme-li dielektrikum do elektrostatického pole, dochází v dielektriku k polarizaci a vzniku dipólů, z nichž každý má svůj dipólový moment. Na povrchu vznikají nevykompenzované vázané koncové náboje. Ty vytváří elektrostatické +Q E0 pole uvnitř dielektrika E'. Výsledné elektrostatické pole E uvnitř dielektrika lze určit vektorovým součtem vnějšího budícího elektrostatické pole E0 a vnitřního E' E=E0  E elektrostatického pole E'. Protože pole vázaného náboje E' vzniklé vlivem polarizace je vždy menší než je vnější budící pole o intenzitě E0, má výsledné pole vždy směr vnějšího budícího elektrostatického. pole.

-Q

Podle struktury dělíme dielektrikum na polární a nepolární: Polární – jsou takové látky, v nichž jsou už dipóly vytvořeny i bez působení vnějšího elstat. pole. Jsou však uspořádány chaoticky a jejich náboje se navzájem kompenzují. Teprve působením vnějšího elstat. pole se stanou orientovanými. Nepolární – jsou takové, že elektrické dipóly se v nich vytvářejí až působením elstat. pole. Nejdůležitější druhy polarizace dielektrik: Pružná: Dipóly vznikají až působením vnějšího elektrostatického pole po skončení působení dipóly rychle zanikají. Probíhá rychle a bezestrát. Nedochází tedy k přeměně energie na teplo. Patří sem několik druhů polarizací: 1. Elektronová polarizace – dochází při ní k deformaci obalů atomu a k oddělení těžiště kladného a záporného náboje 2. Atomová, molekulová polarizace (iontová) – dochází k posunu elektronů a atomů v molekule. 3. Dipólová – dochází k vzájemnému posunutí opačných nábojů v permanentních (stálých) dipólech. To znamená, že dojde jen ke zvětšení jejich dipólových momentů. Relaxační: Je způsobena orientací permanentních dipólů. Při orientování dipolů se spotřebuje část energie. Je to polarizace ztrátová. Vzniká neužitečné teplo. K polarizaci nedojde okamžitě, ale probíhá postupně po exponenciále. Opět se dělí na elektronovou, atomovou, resp. molekulovou (iontovou) a dipólovou polarizaci. I.M.Hlaváčová

Strana 5

LS2014

Elektřina a magnetismus Elektrické pole v látce Spontánní (samovolná): Vyskytuje se u látek s doménovou strukturou. Domény jsou oblasti, které jsou polarizovány bez působení vnějšího elektrostatického pole. V klidu se náboje domén vzájemně kompenzují a látka se jeví jako nepolarizovaná. Při působení vnějšího elstat. pole se domény uspořádají tak, že látka je polarizovaná. Látky, u nichž se vyskytuje spontánní polarizace, se nazývají pyroelektrika, nejvýznamnější z nich jsou feroelektrika. Jejich spontánní polarizace závisí na jejich teplotě a intenzitě elstat. pole. Závislost polarizace na intenzitě elstat. pole probíhá po hysterezní smyčce. Je to polarizace ztrátová. Pyroelektrika – jsou samovolně polarizovaná, vzniká na nich při zahřátí náboj – pyroelektrický jev. Opačný jev je elektrokalorický. Piezoelektrika – lze je polarizovat působením vnějších mechanických sil. Vznik elektrostatického pole následkem deformace materiálu (tahem, tlakem, krutem) se nazývá piezoelektrický jev. Opačný jev je elektrostrikce. Feroelektrika – jsou spontánně polarizovaná při teplotách nižších, než je Curierův bod. Závislost polarizace na intenzitě elektrostatického pole probíhá po hysterezní smyčce, a proto u nich lze dosáhnout trvalé polarizace. Látka se zahřeje na bod tavení a nechá se zchladnout v silném elektrostatickém poli. Elektrická pevnost dielektrik Ep Je to intenzita elektrostatického pole, při níž dojde k průrazu dielektrika, tj. porušení jeho izolačních vlastností – stane se vodivým. Závisí na čistotě materiálu, teplotě, vlhkosti, délce doby namáhání dielektrika a tvaru (ploše) elektrod. U plynných dielektrik závisí i na tlaku. Se vzrůstajícím tlakem pevnost roste, se vzrůstající teplotou pevnost klesá. U d … vzdálenost elektrod E p  p , kde Up … průrazné napětí, d E0 Vlastnosti vodičů:

Vložíme-li vodič do elektrostatického pole, vznikne na jeho povrchu díky E' +Q -Q elektrostatické indukci náboj. Indukované náboje vytváří vlastní, opačně orientované, elstat. pole s intenzitou E'. Výsledná intenzita pole je nulová. V dutině nabitého vodiče není náboj, protože náboj se rozprostře na jeho povrchu (povrch tvoří ekvipotenciální plochu. Podle Gaussovy věty tedy musí být výsledné elstat. pole nulové. Uzavřená kovová nádoba nebo hustá kovová síť se používá k odstínění prostoru od elstat. pole (je to tzv. Faradayova klec). Největší hustota náboje na tělese je na hranách a výstupcích. V jejich blízkosti je tak největší intenzita elstat. pole. Vodič lze elstat. indukcí zelektrovat trvale. Elstat. indukcí je možno nabíjet vodič i opakovaně nebo i nabíjet řadu vodičů tak, aby se původní náboj indukujícího tělesa nezmenšoval.

I.M.Hlaváčová

Strana 6

LS2014

Elektřina a magnetismus kondenzátory

Kapacita Elektrické pole je vytvářeno elektrickým nábojem akumulovaným na elektrodách nebo obecně na tělese. Rozložení pole závisí na tvaru tělesa (elektrod), na rozložení náboje a na parametrech prostředí. V lineárním prostředí je velikost intenzity a potenciálu v každém bodě úměrná velikosti náboje. Můžeme napsat Q  C   . Konstantu úměrnosti nazýváme kapacita C. - Kapacita vodiče vyjadřuje míru jeho schopnosti získat nebo udržet si elektrický náboj - skalární veličina, zn. C - jednotka farad, rozměr A2·s4·kg-1·m-2, velká jednotka, používají se jednotky dílčí F, nF, pF Q - podíl náboje izolovaného vodiče a jeho potenciálu C



- závisí na tvaru a velikosti (na geometrii) vodiče - kapacita osamoceného vodiče je malá, větší kapacitu má soustava dvou plochých vodičů oddělených nevodivým prostředím - dielektrikem

I.M.Hlaváčová

Strana 5

LS2014


Kondenzátor - soustava dvou vodičů, které jsou od sebe odděleny nevodivým prostředím - nejčastější je deskový kondenzátor, další typy jsou válcový, kulový  vodiče tvaru desek, dostatečně blízko u sebe, ve vzdálenosti d (lze zanedbat rozptyl elektrického pole na okrajích)

 vektor elektrické intenzity je konstantní v celém prostoru mezi deskami E   pole mezi deskami je homogenní  vně desek se pole ruší  mezi elektrodami je vzduch (stejná permitivita jako ve vakuu)

C

Q S S  0 S     U Ed d d

0

 0

+Q

-Q

S

S

d

 kapacita deskového kondenzátoru je přímo úměrná velikosti desek, permitivitě prostředí a nepřímo úměrná vzdálenosti mezi deskami  spojením více kondenzátorů vytvoříme soustavu, která se chová jako jediný kondenzátor

I.M.Hlaváčová

Strana 6

LS2014


Paralelní zapojení kondenzátorů

−Q1

+Q1

všechny kondenzátory se nabijí na napětí zdroje U, k němuž jsou připojeny.

Na vodivé desky je přiveden celkový náboj Q. Ten se pak rozdělí do jednotlivých větví, tj. na jednotlivé kondenzátory. Q  Q1  Q2  ...  Qn Jestliže nahradíme náboje součinem napětí a příslušné kapacity, získáme po jednoduché úpravě vztah pro výpočet celkové kapacity CU  C1U  C2U  ...  CnU Soustava se tedy chová jako kondenzátor s kapacitou, která je součtem kapacit všech kondenzátorů

+Q

+Q2

C1

−Q

−Q2

C2 −Qn

+Qn

Cn

n

C   Ci i 1

Sériové zapojení kondenzátorů se zdrojem o napětí U se na každém z kondenzátorů nahromadí stejně velký elektrický náboj Q. Celkové napětí je součtem všech napětí ve U  U1  U 2  ...  U n smyčce, takže musí platit

+Q

+Q−Q +Q −Q

C1

C2

+Q −Q

−Q

Cn

Jestliže dosadíme za napětí podíl náboje Q a příslušné kapacity, získáme po jednoduché úpravě vztah Q Q Q Q    ...  pro výpočet celkové kapacity C C1 C2 Cn Soustava se tedy chová jako kondenzátor s kapacitou, která je převrácenou hodnotou součtu 1 n 1  převrácených hodnot kapacit všech kondenzátorů C i 1 Ci I.M.Hlaváčová

Strana 7

LS2014

Elektřina a magnetismus

Fyzika II

otázky

Elektrostatické pole Elektrický náboj, Coulombův zákon, elektrostatické pole radiální a homogenní, pole bodového náboje a dipólu, dielektrická permitivita, zákon superpozice, pohyb náboje v elektrostatickém poli.

Intenzita a potenciál elektrického pole Definice intenzity, potenciálu, vztah mezi nimi, jednotky, siločáry, ekvipotenciální plochy, napětí, práce sil v elektrostatickém poli.

Kondenzátory, řazení kondenzátorů Potenciál vodiče, rozložení náboje ve vodiči, kapacita vodiče, kondenzátor, zapojení sériové a paralelní, závislost kapacity kondenzátoru na geometrii a permitivitě, druhy kondenzátorů, využití.

Energie elektrického pole Práce při nabíjení kondenzátoru, elektrická indukce, potenciální a kinetická energie nabité částice v homogenním elektrostatickém poli.

Polarizace dielektrika Vodič a dielektrikum v elektrostatickém poli, polární a nepolární dielektrikum, elektrostatická indukce, vnitřní pole v dielektriku a jeho projevy. A

Gaussova věta elektrostatiky a její využití Tok vektoru elektrické intenzity, hustota siločar, pole nekonečné nabité roviny, pole mezi nabitými deskami.

B

1

3

R2

Kirchhoffovy zákony, řešení elektrických obvodů Elektrický obvod, uzel, smyčka, 1. a 2. zákon, označení zdrojů, elektromotorické a ohmické napětí.

C

2

R1 D

E

Ohmův zákon Elektrický proud, hustota proudu, napětí (elektromotorické, svorkové, úbytek napětí na zdroji), elektrický obvod vnitřní a vnější, diferenciální a integrální tvar Ohmova zákona, odpor vodiče a jeho změny s teplotou a geometrií vodiče, sériové a paralelní spojení odporů.

I.M.Hlaváčová

Strana 8

R3 F

Elektřina a magnetismus Elektrodynamika

Stacionární elektrické pole je časově neproměnné pole ve vodiči (v látce), které v něm vyvolává stálý elektrický proud. Máme-li dvě tělesa nabitá nestejným nábojem, vzniká mezi nimi elektrické napětí. Jedno těleso má kladný náboj (kladná elektroda), druhé záporný (záporná elektroda). Spojíme-li rozdílně nabitá tělesa vodičem, vznikne v tomto vodiči tok elektronů neboli elektrický proud. Elektrony ze záporně nabitého tělesa se přemísťují do kladně nabitého tělesa. Ve vodiči vzniká elektrické proudové pole. Elektrické pole proudové i elektrostatické mají stejné charakteristické veličiny, elektrostatické pole může existovat jen ve vakuu nebo v dielektriku. Elektrický proud může procházet vodičem trvale pouze tehdy, je-li na něm elektrické napětí. Na zápornou elektrodu musí být elektrony dodávány a z kladné elektrody musí být odebírány. K tomu slouží zařízení, zvané elektrický zdroj.

elektrický proud - uspořádaný pohyb elektricky nabitých částic - jednotka ampér (def.: proud, který při průchodu dvěma nekonečně dlouhými přímými vodiči zanedbatelného průřezu vzdálenými od sebe 1 m ve vakuu vyvolá silové působení 210-7 N na každý metr délky druhého vodiče)

- skalární veličina, zn. I - množství náboje, které projde vodičem za 1 s

I

dQ dt

- kladně bereme směr pohybu kladně nabitých částic - v jeho okolí se vytváří magnetické pole I.M.Hlaváčová

Strana 9

LS2014


Podle vzniku a základních vlastností rozlišujeme 3 druhy elektrického proudu:

kondukční, konvekční a posuvný kondukční (vodivostní) – vzniká pohybem náboje ve vodičích, i v jiných látkách, v nichž dochází k makroskopickému pohybu náboje; může docházet i k přenosu látky (např. elektrolýza); elektrická energie se přeměňuje na teplo, látka se průchodem proudu zahřívá

konvekční – mechanický pohyb nabitých těles, tedy i usměrněný pohyb nabitých částic ve vakuu (elektronky, urychlovače, kosmické záření aj.) přenos náboje i látky teplo vzniká až při dopadu částic na překážku; při zrychleném pohybu vyzařování elektromagnetických vln

posuvný (Maxwellův) – vzniká v důsledku časové změny vektoru elektrické indukce D   H  j 

D t

hustota proudu - vektorová veličina, zn. j ; jednotka ampér na m2 - proud, který projde jednotkovou (kolmo postavenou) plochou vodiče za 1 s

j

dI n dS

- charakterizuje směr a orientaci pohybu kladně nabitých částic - je-li rychlost pohybu náboje v, platí

j  v

- umožňuje vyjádřit elektrický proud jdoucí konečnou plochou I.M.Hlaváčová

Strana 10

I   j  dS   j  cos  dS LS2014


Vedení proudu v kovech: Je-li objemová hustota náboje , znamená to, že v objemové jednotce látky je obsaženo   n  e nosičů náboje. Nabité částice jsou urychlovány elektrickým polem, ale díky srážkám s kladnými ionty o získanou kinetickou energii zase vzápětí přicházejí. Po ustavení rovnováhy lze předpokládat, že průměrná rychlost pohybu nosičů náboje, tzv. driftová rychlost, je konstantní a platí pro ni vd  a , kde a 



eE je zrychlení elektronu získané silovým působením elektrického pole m

 je relaxační doba (doba, za kterou se ustaví rovnováha)

Celkový proud procházející vodičem po dosazení takže pro proudovou hustotu platí:

vd 

eE  m

dQ n  e  dl  S   nevd S dt dt eE I  ne    S , m ne2 j E   E Ohmův zákon v diferenciálním tvaru me

I

Aby na vodiči vzniklo pole se stálou intenzitou, musíme na jeho konce přiložit stálé napětí U,

I  jS  Ohmův zákon v integrálním tvaru I.M.Hlaváčová

U S  S   U  G U l l

RI  U Strana 11

LS2014


Kirchhoffovy zákony jsou dvě pravidla formulující principy zachování náboje a energie v elektrických obvodech. Jsou jedním ze základních nástrojů při teoretické analýze obvodů. Zákony byly pojmenovány podle jejich objevitele Gustava Roberta Kirchhoffa, který je poprvé popsal roku 1845. Názvosloví: UZEL - místo v obvodu, kde se vodivě stýkají nejméně tři vodiče VĚTEV - část obvodu mezi dvěma uzly - všemi prvky v jedné větvi protéká stejný proud uzavřená SMYČKA – soubor alespoň tří na sebe navazujících větví, které umožňují vrátit se spojitě do téhož uzlu tak, že po každé větvi smyčky se prochází právě jednou.

1. Součet všech proudů přitékajících do uzlu je roven součtu všech proudů vytékajících z uzlu.    Ii   I j i

j

varianta b) Algebraický součet všech proudů v uzlu je v každém okamžiku roven Proudy tekoucí do uzlu bereme se záporným znaménkem a proudy vytékající z uzlu s kladným znaménkem.

nule.

2. Součet napětí na všech aktivních prvcích (=zdroje) podél uzavřené smyčky je roven součtu ohmických napětí (úbytků napětí na pasivních prvcích - rezistory, ...).

i   Rj I j i

varianta b)

Varianta a) Orientace zdroje je ve směru rostoucího potenciálu

j

Součet napětí na všech aktivních (zdroje) i pasivních (rezistory, ...) prvcích podél uzavřené smyčky je v každém okamžiku roven nule. Přitom napětí na rezistorech vyjadřujeme jako U=RI, kde R je odpor rezistoru a I proud jím protékající. Je-li smyčka orientována souhlasně se šipkou značící směr proudu nebo polaritu zdroje (viz malý obrázek, šipka směřuje od + pólu k - pólu), bereme příslušný člen s kladným znaménkem, v opačném případě se záporným znaménkem.

I.M.Hlaváčová

Strana 12

LS2014

Elektřina a magnetismus Magnetické pole

Magnetické pole je prostor, ve kterém na pohybující se nabité částice/tělesa působí magnetické síly. Vzniká v důsledku pohybu elektrického náboje. Je popsáno veličinou magnetická indukce B [T]. Časově neproměnné (stacionární) magnetické pole je speciálním případem obecnějšího elektromagnetického pole; vzniká, je-li elektrická část elmg. pole potlačena (např. je-li hustota náboje nulová) a pohyb náboje je rovnoměrný, např. ve vodiči (stejnosměrný proud) nebo volně v prostoru (paprsek elektronů nebo iontů).

Magnetické indukční čáry používáme pro znázornění magnetického pole obdobně jako pro elektrické pole siločáry. Neprotínají se, jsou spojité, na rozdíl od elektrických siločar tvoří vždy uzavřené křivky. Rovina magnetických indukčních křivek je kolmá ke směru proudu (resp. pohybujícího se náboje). Magnetické čáry vždy směřují od severu(N) k jihu(S) – odvozeno z kompasu. Země je magnet; pól magnetu, který ukazoval k zeměpisnému severu, byl označen jako severní. Poblíž severního zeměpisného pólu leží jižní magnetický pól Země.

Pole přímého vodiče - tvar soustředných kružnic v rovině kolmé k vodiči Orientaci mag. indukčních čar pole přímého vodiče lze určit Ampérovým pravidlem pravé ruky:

Ukazuje-li při uchopení vodiče pravou rukou palec dohodnutý směr proudu (od + k -), pak prsty ukazují orientaci mg. indukčních čar. Pro Ampérovo pravidlo pravé ruky si postačí pamatovat, že palec směřuje k tomu konci vodiče, kde je připojen záporný pól zdroje.

Velikost magnetické indukce klesá s rostoucí vzdáleností od proudovodiče (= vodič protékaný proudem) B  0

I.M.Hlaváčová

Strana 13

I 2 r

vektorově tedy B 

0 I  r . 2 2 r

LS2014


Proudy, které vznikají díky pohybu nábojů, jsou zdroji magnetických polí. Když se nabité částice pohybují vodičem a vytvářejí proud I, pak magnetické pole, které je v nějakém bodě P vytvořeno tímto proudem, můžeme spočítat sečtením jednotlivých příspěvků magnetického pole dB od malých částí vodiče dl . Tyto segmenty vodiče můžeme považovat za vektorové veličiny mající velikost délky daného segmentu a směr proudu, který danou částí vodiče protéká. Infinitezimální proudový zdroj magnetického pole může být tedy zapsán ve tvaru Idl .

Biot-Savartův-Laplaceův zákon Proudový element vodiče Idl vyvolá v místě s polohovým vektorem r magnetickou indukci   Idl 0    Idl r   Idl  r dB   2 r    2   4  r r  4 r 3  4  r Výslednou magnetickou indukci získáme integrací přes celou délku proudovodiče B 

 Id l  r  r3 4

Konstanta  uvedená ve vzorcích se nazývá magnetická permeabilita prostředí a charakterizuje magnetické vlastnosti prostředí. Základní permeabilita je permeabilita vakua 0 = 4  10–7 N  A–2. V porovnání permeability daného prostředí  s ní získáme relativní permeabilitu r  = 0  r Pole nekonečného přímého proudovodiče Magnetické indukční čáry jsou kruhové, ve vzdálenosti a od proudovodiče je hodnota magnetické indukce dána vzorcem B   I.M.Hlaváčová

Strana 14

I 2 a LS2014


Pole proudového závitu a válcové cívky. Magnetické indukční čáry obklopují závit vodiče a jsou uzavřené.

B

I 2r

B   I n   I 

N l

Válcovou cívku si můžeme představit poskládanou z jednotlivých proudových závitů. Mg. indukční čáry se protahují a uvnitř cívky jsou homogenní. V místě, kde siločáry vychází z cívky, je magnetický pól N (sever) a na druhém konci, kde siločáry do cívky vchází, je mag. pól S (jih). Pro určení orientace mag. indukčních čar závitu a cívky platí Ampérovo pravidlo pravé ruky.

Pravou ruku položíme na závit nebo cívku tak, aby pokrčené prsty ukazovaly dohodnutý směr proudu, palec pak ukazuje orientaci indukčních čar. Obdobně to platí o jednotlivém závitu. Magnetické pole cívky - cívka (jinak také solenoid) poskytuje ve svém vnitřku homogenní mag. pole. Toto pole se v technické praxi zesiluje vložením jádra o vysoké relativní permeabilitě do dutiny cívky. Vznikne tak elektromagnet, což je elektrická obdoba permanentního magnetu, která má tu výhodu, že magnetické pole působí jen po dobu průchodu elektrického proudu. Elektromagnet je jedním z nejvíce využívaných zařízení. Jeho využití je velmi široké, od domovních zvonků přes různé typy přerušovačů (ovládání blinkrů u automobilu) po relé, stykače, průmyslové elektromagnetické jeřáby na nakládání železného šrotu, separátory (oddělovače) železného odpadu a elektromagnetické ventily a uzávěry. Princip relé – elektromagnet přitahuje kotvu z magnetického materiálu opatřenou kontaktem a protikontaktem, které se sepnou, je-li kotva přitažena elektromagnetem. Tak je možno malým proudem spínat proudy podstatně větší. Obdobný princip jako relé má i stykač, ale mívá více ovládaných kontaktů, a to jak spínacích, tak rozpínacích. I.M.Hlaváčová

Strana 15

LS2014


Podle typu (tvaru) siločar se fyzikální pole rozdělují na pole zřídlová a vírová. Pole zřídlové je pole, jehož siločáry vystupují ze zdroje nebo vstupují do propadu/nory (pole elektrické, gravitační). Pole vírová jsou pole s uzavřenými siločárami (magnetické). Charakteristickým znakem fyzikálních vírových polí je, že nemají klasický zdroj (jako je třeba náboj – neexistuje magnetický náboj), ale vystupují jako doprovodná pole polí zřídlových.

Magnetickými silami na sebe vzájemně působí jednotlivá magnetická pole vytvořená např. proudem ve vodiči a permanentním magnetem, nebo mezi cívkami, mezi permanentními magnety, mezi dvěma proudy ve vodičích.

Základní situací, kterou použijeme k definování magnetické indukce, je stav, kdy vložíme vodič protékaný proudem do homogenního magnetického pole vytvořeného např. mezi póly permanentního magnetu. Na vodič protékaný proudem I působí v mag. poli síla Fm: Fm  B  I  l  sin  vektorově F  I l  B l – aktivní délka vodiče rad

(délka té části vodiče, která je v homogenním magnetickém poli),

 – úhel mezi vodičem a B →  0;

Směr síly Fm určíme Flemingovým pravidlem levé ruky. Položíme-li levou ruku k vodiči tak, aby prsty ukazovaly směr proudu a indukční čáry vstupovaly do dlaně, ukazuje odtažený palec směr síly Fm působící na vodič.

Vztah platí jen pro přímý vodič s proudem. Lze jej však zobecnit pro tenký vodič libovolného tvaru, rozdělíme-li si tento vodič na velmi krátké přímé úseky dl. Výsledná magnetická síla působící na celý vodič je dána vektorovým součtem sil působících na jednotlivé úseky.

Veličina B je magnetická indukce. Magnetická indukce je vektorová veličina, kterou charakterizujeme magnetické pole. [B] = T (tesla) N  A–1  m–1 Směr je vždy tečna k mag. indukčním čarám, orientovaná je stejně jako indukční čáry, od N k S. I.M.Hlaváčová

Strana 16

LS2014

Elektřina a magnetismus Magnetické síly, pohyb náboje v magnetickém poli

Ampérův zákon Je obdobou Newtonova zákona pro gravitační pole (závisí na hmotnosti) a Coulombova zákona pro elektrostatické pole (závisí na náboji). Vyjadřuje velikost síly mezi dvěma vodiči s proudem. Pro dva rovnoběžné vodiče délky l protékané proudy I1 a I2 umístěnými ve vzdálenosti d odvodil Ampére pro velikost  I1  I 2 magnetické síly tento vzorec Fm  l 2 d Je-li směr souběžný, vodiče se přitahují. Je-li směr protiběžný (každý proud má jiný směr) vodiče se odpuzují.

Částice s nábojem v magnetickém poli Proud ve vodiči je tvořen jednotlivými elektrony. Když vodičem délky l prochází proud, projde jím N ev 1 rychlostí v za čas t  N elektronů o celkovém náboji Q = – e  N, hodnota proudu bude I  l v Vložíme-li vodič do homogenního pole, magnetická síla bude mít velikost Fm = B  I  l  sin  = B  N  e  v  sin  F m  e  v  B Na jeden elektron působí síla Fm  e  v  B  sin  , vektorově  je úhel, který svírá trajektorie částice s vektorem mag. indukce při pohybu mag. polem. Pohybuje-li se elektron současně v elektrickém i magnetickém poli, působí na ni výsledná Lorentzova síla FL  Fe  Fm I.M.Hlaváčová

Strana 17

LS2014

Elektřina a magnetismus Magnetické síly, pohyb náboje v magnetickém poli

Uvažujme kladně nabitou částici, která vletí do homogenního magnetického pole o indukci B 1)  = 0° Lorentzova síla F m  e  v  B  0 rychlost má jen složku rovnoběžnou s magnetickými indukčními čarami v  v  vh Při pohybu rovnoběžně s indukčními čarami – magnetické pole na náboj nepůsobí. 2)  = 90° Lorentzova síla F m  e  v  B...max stále směřuje kolmo k rychlosti, má konstantní velikost … dostředivá síla v2 v Fm  evB  Fod  m  eB  m  m R R

rychlost má jen složku kolmou k mag. indukčním čarám v  v  vR Při pohybu kolmo k indukčním čarám – magnetické pole stáčí náboj do kružnice o poloměru R 

v m vR m mv 2 m   , perioda je T  eB eB eB eB

3) pro 0°    90° - pohyb po šroubovici rychlost má složku rovnoběžnou i kolmou v  v  v  vh  vR kolmá sl. dostředivá síla

v 2 v F  ev B  B  eB   m  m R R

v m vR m mv sin    eB eB eB rovnoběžná sl. - pohyb rovnoběžný přímočarý se stálou rychlostí 2 m stoupání šroubovice h  v T  v cos  eB

pohyb po kružnici o poloměru R 

I.M.Hlaváčová

Strana 18

LS2014

Elektřina a magnetismus Magnetické vlastnosti látek

Magnetické vlastnosti látek - podle chování v mg. poli látky dělíme: 1) látky diamagnetické – r nepatrně menší než 1 (mírně zeslabují)

patří sem inertní plyny (vzácné plyny), Au, Cu, Hg 2) látky paramagnetické – r nepatrně větší než 1 (mírně zesilují) patří sem např. Na, K, Al, … Atomy paramagnetických látek mají vlastní mag. pole. Vnější mag. pole je však nemůže uspořádat a zesílit se kvůli tepelnému chaotickému pohybu. 3) látky feromagnetické – r je řádově 102 – 105 (značně zesilují) patří sem Fe, Ni, Co, dále ferimagnetické látky – ferity (sloučeniny oxidů železa s oxidy jiných prvků) U feromagnetických látek se vytváří magnetické domény. Jsou to shluky atomů, které mají stejnou orientaci mag. pole a chovají se jako mikromagnety o objemu 10–3 mm3. Tyto domény jsou v látce orientovány nahodile. Stačí však slabé vnější magnetické pole, aby se domény uspořádaly souhlasně, a látka získává vlastnosti permanentního (trvalého) magnetu. Z toho plyne, že feromagnetismus se vyskytuje pouze u pevných látek. Je vlastností krystalové struktury látky. Feromagnetismus je silně závislý na teplotě. Pro každou feromagnetickou látku existuje teplota (Curieův bod), nad kterou je termická energie kmitů atomů v krystalové mřížce tak velká, že dochází ke zrušení uspořádání magnetických polí a látka přestává být feromagnetikem a stává se paramagnetikem. Pozn.: Existují magnetické kapaliny - suspenze (koloidní roztoky) velmi jemných feromagnetických nebo ferimagnetických částic – nanočástic, v nosné kapalině. Mechanismus působení magnetického pole na tyto kapaliny je odlišný. I.M.Hlaváčová

Strana 19

LS2014

Elektřina a magnetismus Elektromagnetická indukce

Elektromagnetická indukce je jev, ke kterému dochází v nestacionárním (= proměnném v čase) magnetickém poli. Toto magnetické pole v cívce vytváří indukované elektrické pole, které charakterizuje indukované elektromotorické napětí. Když je k cívce připojen elektrický obvod, prochází jím indukovaný elektrický proud. Nestacionární magnetické pole může vytvořit: a) vodič, který se nepohybuje, ale mění se proud, který jím prochází b) pohybující se vodič s proudem (konstantním nebo proměnným) c) pohybující se permanentní magnet nebo elektromagnet Připojíme-li k cívce voltmetr a budeme pohybovat magnetem v blízkosti cívky, na voltmetru změříme indukované napětí, kladné nebo záporné, podle směru pohybu magnetu. Pro kvantitativní popis elektromagnetické indukce je nutná fyzikální veličina magnetický indukční tok , odvozená (podobně jako tok elektrické intenzity) z hustoty indukčních čar. Umístíme-li rovinnou plochu o obsahu S do homogenního magnetického pole s magnetickou indukcí B , magnetický indukční tok je určen vztahem

  B  S  B  S  cos Úhel  je úhel mezi vektorem magnetické indukce a normálovým vektorem plochy S. Jsou-li indukční čáry s plochou rovnoběžné, indukční tok je nulový,  = /2 rad  cos  = 0 Magnetický indukční tok je skalární veličina.

[] = Wb (weber) = T  m2 = m2  kg  s–2  A–1

Pro děje v nestacionárním magnetickém poli jsou charakteristické změny indukčního toku. Ty mohou být způsobeny a) změnou B (změnou velikosti proudu vodiče, změnou polohy vodiče či magnetu), b) změnou S c) změnou  (rotace cívky nebo magnetu). I.M.Hlaváčová

Strana 20

LS2014


V praxi se lze setkat s tím, že se v homogenním magnetickém poli otáčí kolem své osy rovinný závit. Když se otáčí s úhlovou rychlostí , pak pro úhel platí  = t a pro indukční tok platí   B  S  cos t  indukční tok se mění harmonicky. V závislosti na změnách indukčního toku se na závitu indukuje napětí, které je také harmonické. Pro jeden závit je však velmi malé, proto zvyšujeme indukované napětí tím, že používáme rovinnou cívku s N závity. Pak bude platit   N  B  S  cos t Velikost indukovaného napětí určuje Faradayův zákon elektromagnetické indukce:

Změní-li se magnetický indukční tok  uzavřeným vodičem za čas dt o d, ve vodiči se indukuje elektromotorické napětí, jehož hodnota je U i  

d dt

Pro rotující cívku platí, že magnetický indukční tok se mění nejrychleji, když je nulový (pro  = /2 rad nebo 3/2 rad) a nejpomaleji, když je největší ( = 0 rad nebo  rad). Indukované napětí se proto mění harmonicky, a to podle funkce sinus (max pro  = /2 rad, minimum (záporné maximum) pro  = 3/2 rad, nulová hodnota pro  = 0 rad nebo  rad. Proto bude platit: ui  U m sin t ui je okamžitá a Um je největší hodnota indukovaného napětí (amplituda). Jedná se o střídavé harmonické napětí.

Jestliže závit zapojíme do elektrického obvodu, začne jím téci proud, jehož směr určuje Lenzův zákon:

Indukovaný elektrický proud v uzavřeném obvodu má takový směr, že svým magnetickým polem působí proti změně magnetického indukčního toku, která je jeho příčinou. Ve formulaci Faradayova zákona je Lenzův zákon zahrnut ve znaménku –. Pro indukovaný proud Ii platí I i 

Ui R

.

Indukované proudy vznikají v cívkách, ale i v masivních vodičích (plechy, desky, hranoly), které jsou v nestacionárním magnetickém poli, nebo se pohybují ve stacionárním magnetickém poli. I.M.Hlaváčová

Strana 21

LS2014


Vlastní indukce Připojíme-li cívku do elektrického obvodu, proud, který jí prochází, začne vytvářet magnetické pole. Proud při zapojení postupně roste až na hodnotu danou vnějším napětím a ohmickým odporem cívky. Po zapojení, se tedy mění proud (roste), tím se mění mag. indukce cívky a i mag. indukční tok. Podle Lenzova zákona se začne indukovat napětí, které působí proti změně, která ho vyvolala, tj. působí proti připojenému zdroji. Když dosáhne proud hodnoty dané odporem, přestane se měnit, nemění se už ani mag. indukční tok, takže indukované elektrické pole zaniká. Indukované elektrické pole vzniká ve vodiči i při změnách magnetického pole, které vytváří proud procházející vlastním vodičem. Tento jev se nazývá vlastní indukce. Vlastní mag. pole vytváří v cívce mag. indukční tok , který prochází závity cívky. Jestliže cívka je v prostředí s konstantní permeabilitou, je tento indukční tok přímo úměrný proudu v cívce.

  L I

Indukčnost cívky L je veličina, která charakterizuje magnetické vlastnosti cívky. Její velikost závisí na vlastnostech cívky – na délce cívky, obsahu plochy každého závitu, na počtu závitů a na permeabilitě jádra. Indukčnost je důležitý parametr el. obvodu (spolu s odporem R a kapacitou C). [L] = H (henry) = V  s  A–1 = Wb  A–1 = m2  kg  s–2  A–2 Pro cívku platí:

Ui  

d dI  L  dt dt

Vodič má indukčnost 1 H, jestliže se v něm při změně proudu o 1 A za 1 s indukuje napětí 1 V. Indukčnost dlouhé válcové cívky délky l, N závity, obsahem plochy závitu S a jádrem s relativní permeabilitou r je:

L  0  r 

N S l

Indukčnost je vlastnost každého obvodu. U většiny prvků obvodu je však zanedbatelná. Projevuje se především u cívek. Cívky bez jádra mají indukčnost 10–6 až 10–2 H, cívky s feromagnetickým jádrem 10–1 až 102 H. Cívky s jádrem se nazývají tlumivky – jsou např. součástí obvodu zářivky (např. tlumivka o L = 1 H). I.M.Hlaváčová

Strana 22

LS2014


Přechodový děj popisuje průběh napětí v obvodu se zapojenou indukčností při skokové změně vnějšího napětí. Změna napětí z hodnoty U1 na hodnotu U2 je znázorněna na obrázku čárkovaně. V obvodu s rezistorem R by vzrostlo napětí z U1 na U2 prakticky okamžitě. Ale když zapojíme do obvodu cívku, indukuje se na ní napětí Ui, proud je určen vztahem:

I

U e  Ui  R

Ue  L

dI dt

R

V okamžiku zapojení zdroje napětí je I = 0 a Ui má stejnou hodnotu, ale opačnou polaritu než zdroj (Ui = – Ue). Indukované napětí existuje jen při změnách proudu a je na nich závislé. Při postupném nárůstu proudu se zmenšují jeho změny, proto klesá i Ui. Nakonec nastane ustálený stav, kdy proud má neměnnou hodnotu I 0 a Ui je nulové. Na obrázku je tento děj znázorněn plnou čarou pro průběh proudu I, čárkovanou čarou v kladných hodnotách pro napětí Ue a čárkovanou čarou v záporných hodnotách pro Ui. Přechodový děj nastane i při přerušení obvodu. Kdyby v obvodu nebyla cívka, klesl by proud okamžitě na nulu jako elektromotorické napětí Ue (svislá čárkovaná čára vlevo od plné čáry klesajícího proudu). U obvodu s cívkou se však při přerušení obvodu indukuje na cívce napětí stejné polarity, jakou měl odpojovaný zdroj napětí (proud se zmenšuje, indukované napětí působí proti této změně, proto má kladné hodnoty). Důsledkem existence indukovaného napětí je, že proud nezaniká okamžitě, ale postupně. Když obvod rozpojíme, velmi rychle se zvětší odpor, čímž rychle klesne proud v obvodu. Kvůli tomu je i indukované napětí velmi velké, mnohokrát větší než Ue (Ui >> Ue). Toto velké indukované napětí při přerušení obvodu je příčinou vzniku jiskrového výboje, který někdy nastane v místě přerušení. Průběh přechodového děje vyplývá ze zákona zachování energie. Vznik a zánik mag. pole doprovázejí přeměny energie. Elektrická energie se v cívce mění na magnetickou. Pro cívku, která nemá feromagnetické jádro (jejíž indukčnost je konstantní), platí: Emg  I.M.Hlaváčová

Strana 23

1 1  I  LI 2 . 2 2 LS2014

Elektřina a magnetismus Střídavý proud, RCL obvody

Energie uložená v magnetických polích Vzhledem k tomu, že cívka působí vždy proti změně proudu, musí být při vzniku proudu v cívce vnějším zdrojem, jakým je například baterie, vykonána práce. Tato práce je ve formě energie v cívce uložena. Cívka tedy v magnetizmu hraje podobnou úlohu jako kondenzátor v elektrostatice. Výkon, tj. časová změna práce, kterou vnější elektromotorické napětí vykonává k překonání elektromotorického napětí indukovaného na cívce, je

PL 

dWext  I  ext dt

Je-li v obvodu zapojena pouze cívka a vnější zdroj, je podle druhého Kirchhoffova zákona součet elektromotorických napětí roven nule (ohmický odpor cívky v prvním přiblížení zanedbáme)

 ext   L  0   ext   L

 d PL   I  L   I    dt

dI   IL  dt 

Pokud proud narůstá (dI/dt > 0), je P > 0, vnější zdroj koná při přesunu energie do induktoru kladnou práci a energie akumulovaná v cíce roste. Naopak, pokud proud klesá (dI/dt < 0), je P < 0 a vnější zdroj odebírá energii z cívky. Celková práce vykonaná vnějším zdrojem na zvýšení elektrického proudu z nuly na I je I

Wext   dWext   I LdI   0

1 2 LI 2

Tato práce je ekvivalentní magnetické energii uložené v cívce: Emg 

1 2 LI 2

Všimněte si, že z energetického hlediska je podstatný rozdíl mezi cívkou a rezistorem! Kdykoli prochází rezistorem elektrický proud, je energie tekoucí do rezistoru disipována ve formě tepla, a to bez ohledu na to, zda je proud ustálený nebo se mění v čase. Naopak, do ideální cívky teče energie jen při nárůstu proudu dI/dt > 0. Energie není disipována, ale je v cívce uložena a je uvolněna později, když proud klesá a dI/dt < 0. Pokud je proud tekoucí induktorem v čase neproměnný, nedochází k žádné změně energie. I.M.Hlaváčová

Strana 24

LS2014


Střídavý proud vzniká v obvodu, který připojíme ke zdroji střídavého napětí, (napětí, které mění svou velikost). Střídavé napětí může být obdélníkové, trojúhelníkové, pilové nebo harmonické. Pro harmonické střídavé napětí platí vztah u  U m  sin t , kde u je okamžitá hodnota napětí, Um amplituda napětí,   2 f úhlová frekvence. Střídavé napětí lze generovat indukcí při otáčivém pohybu cívky v magnetickém poli (alternátory v elektrárnách – frekvence 50 Hz). Harmonická střídavá napětí vyšších frekvencí získáváme v elektronických oscilátorech. Střídavé napětí představuje elektrické kmitání. Platí-li pro střídavé napětí vztah u  U m  sin t , vyvolá toto napětí střídavý proud

i  I m  sin t    i je okamžitá hodnota proudu, Im amplituda proudu,  je fázový rozdíl mezi napětím a proudem. Amplituda Im a fázový rozdíl  jsou určeny frekvencí a vlastnostmi prvků zapojených do obvodu – elektrickým odporem (R), indukčností (L) a kapacitou (C). Podíl Z 

Um [Z] =  je impedance obvodu (z fyzikálního hlediska nejde přímo o elektrický odpor). Im

Harmonické veličiny znázorňujeme časovým nebo fázorovým diagramem.

I.M.Hlaváčová

Strana 25

LS2014


Obvody střídavého proudu Elektrický odpor R, indukčnost L a kapacita C jsou parametry obvodů střídavého proudu. Má-li obvod jen jeden parametr, nazýváme jej jednoduchý obvod střídavého proudu. V obvodu může být i více prvků s různými parametry, které tvoří složený obvod střídavého proudu. Jednotlivé prvky obvodu střídavého proudu mají zpravidla také více parametrů. Např. reálná cívka má kromě indukčnosti L i odpor R, takže ji musíme považovat za ideální cívku a rezistor zapojené do série. Indukčnost L v obvodu vyvolá fázové posunutí proudu (-/2) a ovlivní amplitudu proudu, poměr

U mL  XL I mL

nazýváme induktance. Kapacita C obvodového prvku také působí fázové posunutí proudu (+/2) a ovlivní amplitudu proudu, U poměr mC  X C nazýváme kapacitance. I mC

Induktance a kapacitance mají teoreticky vlastnosti elektrického odporu (jednotka ohm). Z fyzikálního hlediska však nejde o elektrický odpor (elektrická energie se v rezistoru o odporu R mění pouze na vnitřní energii (teplo) – prochází-li proud cívkou nebo obvodem s kondenzátorem, nedochází k přeměně elektrické energie na vnitřní energii, energie se v součástce dočasně akumuluje a později je možno ji zase odebrat). Rezistor → jednoduchý obvod střídavého proudu s odporem uR  U R sin t i  I R sin t

UR R IR

R – rezistance; napětí a proud ve fázi; fázový rozdíl  = 0 rad. I.M.Hlaváčová

Strana 26

LS2014


Ideální cívka (cívka s nulovým odporem) → jednoduchý obvod střídavého proudu s indukčností Střídavý proud procházející vinutím cívky vytváří měnící se magnetické pole, v cívce se indukuje napětí, které podle Lenzova zákona má opačnou polaritu než zdroj napětí. Následkem toho proud v obvodu nabývá největší hodnoty později než napětí –

proud se zpožďuje se za napětím, vzniká záporný fázový rozdíl. dI 1 1 U    U L sin t  iL   U ext sin t dt   U L sin t dt  L cos t  I L sin  t   dt L L L 2   UL  uL  U L sin t iL  I L sin  t    L 2 IL 

uL  U ext sin t   L

XL – induktance, [XL] = ; proud se za napětím zpožďuje o /2   = – /2 rad Induktance se využívá u tlumivek. Používají se u zářivek pro snížení velikosti proudu bez zahřátí vodiče. Reálné cívky mají i odpor R. Je-li R << XL, pak lze R zanedbat. Kondenzátor → obvod střídavého proudu s kapacitou Obvodem s kondenzátorem proud prochází, ale samotným kondenzátorem ne, protože jeho součástí je dielektrikum. Kondenzátor se spolu s elektrickými kmity vybíjí a nabíjí. Nabíjecí proud je největší, když je kondenzátor nenabitý, tj. když napětí mezi deskami kondenzátoru je nulové. V okamžiku, kdy je kondenzátor nabitý, je proud v obvodu nulový.

Proud je největší dříve než napětí  proud předbíhá napětí. uC  U ext sin t iC 

  UC 1 dU ext sin t dq dCuC      C  CU ext cos t  I C sin  t   uC  U C sin t iC  I C sin  t    2  I C C dt dt dt 2 

XC – kapacitance, [XC] = ; proud předbíhá napětí o /2   = /2 rad I.M.Hlaváčová

Strana 27

LS2014


Rezistor, cívka a kondenzátor v sérii → sériový RLC obvod i  I m sin t  iR  iL  iC

U m 2  U R 2  U L  U C 

2

1   Z  R  L  C  

2

2

U R  Im  R ; U L  Im  X L ; UC  Im  X C tan  

U L  UC X L  X C  UR R

Kromě impedance se zavádí ještě nový pojem reaktance X = XL – XC. Reaktance charakterizuje tu část obvodu, v níž se elektromagnetická energie nemění v teplo, ale jen v energii elektrického nebo magnetického pole. Znaménko reaktance určuje, zda je při uvažované frekvenci chování obvodu spíše kapacitní nebo spíše induktivní.

V obvodu s RLC může dojít k rezonanci, kdy platí XL = XC a Z = R. Reaktance daného obvodu je při rezonanční frekvenci f0 nulová. Rezonanční frekvenci určíme z Thomsonova vztahu:  L  1   2  1 C

Rezistor, cívka a kondenzátor vedle sebe → paralelní RLC obvod u  U m sin t  uR  uL  uC I m2  I R 2   I L  IC 

2

IR 

1 1  1  Y    C  Z R  L  2

Um U U ; I L  m ; IC  m R XL XC 2

tan  

I L  IC  1   R  C  IR  L 

Zavádí se nový pojem admitance Y = 1/Z, I m  Y  U m Při proudové rezonanci platí XL = XC, Y = R-1, proud je minimální. I.M.Hlaváčová

Strana 28

LS2014

LC 1  f0  2 LC


Efektivní hodnoty střídavého proudu; výkon V obvodu s jediným parametrem, ohmickým odporem R jsou napětí a proud ve fázi: u  U m sin t i  I m sin t u  R  i Okamžitý výkon je dán vztahem p  u  i  R  i 2  R  I m 2 sin 2 t  Pm sin 2 t Práci vykonanou střídavým proudem za periodu T porovnáme se stejně velkou prací vykonanou za stejnou dobu stejnosměrným proudem. Práce vykonaná střídavým proudem je na obrázku znázorněna obsahem plochy ohraničené grafem funkce p = Pm  sin2 t. Pm 2 I m2 R Stejná práce vykonaná proudem stejnosměrným je znázorněna obsahem obdélníka, jehož výška odpovídá výrazu . 2 2 Proto zavádíme tzv. efektivní hodnoty střídavého proudu vztahy U ef  U m  0,707U m ; I ef  I m  0,707I m 2 2

Efektivní hodnoty střídavého proudu odpovídají hodnotám proudu stejnosměrného, který má v obvodu s nulovou reaktancí (jen s rezistorem) stejný výkon jako proud střídavý. V obvodu jen s R ( = 0) je výkon střídavého proudu P = U  I. Při nenulovém fázovém rozdílu  mezi napětím a proudem je P = U  I  cos , cos  je účiník, výkon obvodu se nazývá činný výkon, [P] = W další hodnoty, které se udávají u elektrických zařízení, jsou zdánlivý výkon S = U  I; [S] = V  A (voltampér) a jalový výkon Q = U  Ij = U  I  sin ; [Q] = var (voltampér reaktanční)

Ampérmetr a voltmetr na střídavý proud měří efektivní hodnoty. I.M.Hlaváčová

Strana 29

LS2014


Základní přehled elektromagnetického pole Zdrojem elektromagnetického pole jsou elektrické náboje a elektrické proudy (= pohybující se náboje). Podle charakteru časové závislosti zdrojů elektromagnetického pole, můžeme tato pole třídit na následující skupiny: a) elektrostatická pole - zdroje (náboje) jsou v klidu b) stacionární pole - zdroji těchto polí jsou stacionární (stejnosměrné) proudy c) kvazistacionární pole - zdroji jsou nízkofrekvenční proudy - v tomto případě se zanedbávají posuvné proudy oproti proudům volných nábojů d) nestacionární pole - zdroje jsou obecně časově závislé Elektromagnetické pole je charakterizováno vektory E , D , H , B .

E

je intenzita elektrického pole

H

je intenzita magnetického pole [A/m]

[V/m]

D je elektrická indukce („hustota elektrického toku“)

[C/m2]

B je magnetická índukce („hustota magnetického toku“)

[T]

Tyto vektory jsou svázány se zdroji elektromagnetického pole Maxwellovými rovnicemi. Zvýrazněné veličiny jsou nezávislé na látkovém prostředí.

Magnetické pole a elektrické pole jsou tedy vzájemně propojené součásti pole elektromagnetického, proto jsou vzájemně propojeny také jejich konstanty, permitivita  a permeabilita , a to vztahem 1 c , kde c – je rychlost světla (obecněji elmag. vln, šíření elektromagnetického pole) ve vakuu.

 0 0

Rychlost elektromagnetických vln není konstantní, ale závisí na prostředí v  I.M.Hlaváčová

Strana 30

1

 LS2014



c

 r r

.

Elektřina a magnetismus otázky

Pohyb náboje v magnetickém poli síla působící na pohybující se náboj v magnetickém poli (skalárně, vektorově, obrázek), pohyb náboje v magnetickém poli pro různé úhly mezi rychlostí pohybu náboje a magnetickou indukcí, druh pohybu, tvar a parametry trajektorie.

Magnetické pole Definice, vlastnosti, zařazení, souvislost s elektrickým polem, na co působí, definiční veličina, Biot-Savartův-Laplaceův zákon ve vakuu, využití, základní důsledky, magnetické pole přímého vodiče, jednoduché smyčky a solenoidu.

Magnetické indukční čáry. Magnetický tok. magnetické indukční čáry, obrázek, pravidlo pravé ruky, přímý proudovodič, změna směru proudu, rozdíl mezi elektrickou siločárou a magnetickou indukční čárou, obrázek, definice magnetického toku, vztah pro výpočet, jednotka. N

Síla působící v magnetickém poli na nabitou částici a proudovodič Proudovodič, síla působící na pohybující se náboj v magnetickém poli (skalárně, vektorově, obrázek), odvození pro proudovodič, jak se síla mění pro různé úhly mezi proudovodičem a magnetickou indukcí, obrázek s indukčními čarami a směrem pohybu.

Vzájemné působení proudovodičů

S

I1

Proudovodič, síla působící na proudovodič v magnetickém poli (skalárně, vektorově, obr.), odvození pro vzájemné silové působení 2 proudovodičů, obrázek, vysvětlení pomocí magnetických indukčních čar.

I2

l

Střídavé proudy Vlastnosti stejnosměrného proud a střídavého proudu, vznik, vztah mezi napětím a proudem, fázový posun, výkon.

a

Elektromagnetická indukce Popis, Faradayův zákon (+ jeho odvození), Lentzovo pravidlo, praktické využití elektromagnetické indukce.

Sériový RLC obvod schéma obvodu, zdánlivé odpory, fázorový diagram sériového RLC obvodu, rezonance obvodu RLC, impedance obvodu RLC v rezonanci, Thomsonův vztah, rezonanční frekvence.

Paralelní RLC obvod schéma obvodu, zdánlivé odpory, fázorový diagram paralelního RLC obvodu, rezonance obvodu RLC, admitance obvodu paralelního RLC v rezonanci, Thomsonův vztah, rezonanční frekvence. I.M.Hlaváčová

Strana 31

LS2014

Elektřina a magnetismus Elektrostatické pole

Recommend Documents