Dasar Sistem Pengaturan - Transformasi Laplace. Transformasi Laplace bilateral atau dua sisi dari sinyal bernilai riil x(t) didefinisikan sebagai :

Dasar Sistem Pengaturan - Transformasi Laplace

TRANSFORMASI LAPLACE

Definisi Transformasi Laplace

Transformasi Laplace Bilateral Transformasi Laplace bilateral atau dua sisi dari sinyal bernilai riil x(t) didefinisikan sebagai : ∞

X B ∆ ∫ x ( t )e −st dt −∞

Operasi transformasi Laplace bilateral dinotasikan dengan ΛB(x(t)) dan untuk menyatakan relasi antara x(t) dan XB(s) digunakan : x ( t ) ↔ X B (s )

Transformasi Laplace Unilateral Transformasi Laplace unilateral, selanjutnya disingkat transformasi Laplace saja, didefinisikan sebagai : ∞

X(s) = ∫ x ( t )e −st dt 0−

Page 1 of 11



Daerah Konvergensi ∞

Nilai dari s dimana transformasi Laplace bilateral konvergen, yaitu :

∫ x (t ) e

− Re{s} t

dt 〈 ∞

−∞

disebut daerah konvergensi absolut atau disingkat daerah konvergensi (region of convergence, ROC). Contoh 1 : Tinjau sinyal x(t) = exp(-at) u(t)

Im{s} = jω

∞

X B (s) = ∫ e −at e −st u ( t ) dt −∞

Bidang s

∞

= ∫ e −( s+ a ) t dt −∞

=

1 s+a

-a

0

Contoh 2 : Tinjau sinyal x(t) = - exp(-at) u(-t)

Re{s} = σ Im{s} = jω

∞

XB(s) = − ∫e−(s+a)tu(−t) dt −∞

Bidang s

∞

.

= − ∫e−(s+a)t dt −∞

ROC : Re{s+a} < 0 atau Re {s} < -a dan XB(s) = 1/(s+a)

-a

0

Re{s} = σ Page 2 of 11



Sifat-sifat Transformasi Laplace

Linieritas Jika

x1(t) ↔ X1(s) x2(t) ↔ X2(s)

maka

ax1(t) + bx2(t) ↔aX1(s) + bX2(s), dimana a dan b adalah suatu konstanta.

Pergeseran Waktu Jika

x(t) ↔ X(s)

maka

X(t-t0) u(t) ↔ exp(-t0s)X(s), untuk suatu bilangan positif t0,

Pergeseran dalam Domain s Jika

x(t) ↔ X(s)

maka

exp(s0t) x(t) ↔ X(s-s0)

Penskalaan Waktu Jika

x(t) ↔ X(s),

Re{s} > σ1

Maka

x( α t) ↔ (1/α ) X(s/α), Re{s} > ασ1 untuk setiap bilangan riil α. Page 3 of 11




Diferensial dalam Domain Waktu Jika

x(t) ↔ X(s)

maka

dx ( t ) ↔ sX (s) − x (0 − ) dt

d n x(t) ↔ s n X (s) − s n −1x (0 − ) − ..... − sx n − 2 (0 − ) − x n −1 (0 − ) atau secara umum : n dt

Integrasi dalam Domain Waktu t

Jika

y(t) = ∫ x ( t ) dt , untuk setiap sinyal kausal x(t)

maka

Y(s) = (1/s) X(s)

0−

Diferensial dalam Domain s x(t) ↔ X(s) dX (s) − t x (t) ↔ maka ds d n X (s ) n atau secara umum : (− t ) x ( t ) ↔ ds n

Jika

Page 4 of 11




Modulasi Jika

x(t) ↔ X(s)

maka

x(t) cosωt ↔ (1/2)[X(s+jω) + X(s-jω)] x(t) sinωt ↔ (j/2)[ X(s+jω) - X(s-jω)]

untuk sebarang bilangan riil ω. Konvolusi Jika

x(t) ↔ X(s) dan h(t) ↔ H(s)

maka

x(t)∗h(t) ↔ X(s) H(s)

Dari hubungan

y(t) = x(t)∗h(t),

maka

Y(s) = X(s) H(s),

sehingga kita peroleh :

H(s) =

Y(s) , H(s) dikenal sebagai fungsi alih sistem. X(s)

Page 5 of 11




Teorema Harga Awal Jika x(t) dapat dideferensial pada interval di sekitar x(0+), maka ; x (0+ ) = lim sX (s) s →∞

atau secara umum :

x n (0 + ) = lim s n +1X(s) − s n x (0 + ) − s n −1x ' (0 + ) − .... − sx ( n −1) (0 + ) s→∞

Jika xn(0+) = 0, untuk n > N, maka : x N (0 + ) = lim s N +1X(s) s →∞

Teorema Harga Akhir Dengan teorema harga akhir, dapat dihitung x(t) untuk t → ∞ dari transformasi Laplace sebagai berikut : lim x ( t ) = lim sX (s) t →∞

s→0

Page 6 of 11



Invers Dari Transformasi Laplace

Untuk mendapatkan x(t) dari X(s) dapat digunakan formula sebagai berikut : σ + j∞

1 X(s) exp(st ) ds x(t ) = 2πj σ−∫j∞

Perhitungan integral Persamaan di atas memerlukan integral kontur yang relatif rumit. Dalam banyak kasus, transformasi Laplace dapat ditulis dalam bentuk : X(s) =

N(s) D(s)

dimana N(s) dan D(s) adalah polinomial dalam s. Fungsi X(s) dalam persamaan disebut fungsi rasional dari s karena merupakan rasio dari dua polinomial. Jika derajat N(s) lebih kecil derajat D(s), maka fungsi rasional tersebut disebut "proper".Untuk fungsi rasional yang propers invers dari transformasi Laplace dapat ditentukan dengan menggunakan ekspansi pecahan parsial.

Page 7 of 11




Faktor Linier Tak Berulang Fungsi rasional dapat ditulis sebagai berikut : N(s) A = + R(s) D(s) s + b

dimana,  (s + b) N (s)   A =  D ( s )  s = − b

Contoh :

X (s) =

2s + 1

s3 + 3s 2 − 4s A A A = 1+ 2 + 3 s s + 4 s −1 − (1 / 4) (7 / 20) (3 / 5) = + + s s+4 s −1

maka, x(t) = -(1/4) u(t) +(7/20) exp(-4t) u(t) +(3/5) exp(t) u(t) Page 8 of 11




Faktor Linier Berulang Tiap-tiap faktor berulang (s+b)n bersesuaian dengan pecahan parsial A1 A2 An + + ...... + s + b (s + b) 2 (s + 1) n Koefisien Ak dpat ditentukan dari formula :

(s + b) n N(s) An = D(s)

Contoh :

s=−b

2s 2 − 3s

2s 2 − 3s

{

= s 3 − 4s 2 + 5s − 2 (s − 2)(s − 1) 2 A2 A1 B X (s) = + + (s − 2 ) (s − 1) 2 (s − 1)

X (s) =

X (s) =

Jadi,

dan

1 d n − k (s + b) n N(s) Ak = (n − k )! ds n − k D(s)

2 1 + (s − 2) (s − 1) 2

B=

; k = 1,2,....., n − 1 s=−b

(s − 2)(2s 2 − 3s) (s − 2)(s − 1)

2s 2 − 3s A2 = (s − 2)

2

=

2s 2 − 3s (s − 1)

2

=2 s=2

=1 s =1

d  2s 2 − 3s  A1 = ds  (s − 2) 

=0 s =1

x(t) = 2 exp(2t) u(t) + t exp(t) u(t) Page 9 of 11




Faktor Orde-2 Tak Berulang Jika terdapat faktor orde-2 yang tidak dapat disederhanakan, maka dibentuk pecahan : As + B s 2 + ps + q Cara terbaik untuk mendapatkan koefisien dari polinomial di atas adalah dengan menyamakan koefisien dari pangkat s.

Contoh :

sehingga

X (s) =

s 2 − s − 21

2s 3 − s 2 + 8s − 4 As + B C + = 2 s + 4 2s − 1

X (s) =

3s + 1 s2 + 4

+

{

s2 - s - 21 = ( As + B )( 2s - 1) + C( s2 + 4 ) = ( 2A + C )s2 + (-A + B )s - B + 4 A = 3, B = 1, C = -5

3s 1 5/ 2 −5 − = 2 + 2 2s − 1 s + 4 s + 4 s − 1 / 2

x(t) = [3 cos2t + sin2t - (5/2) exp(t/2)] u(t)

Page 10 of 11




Faktor Orde-2 Berulang Untuk faktor orde-2 berulang, digunakan bentuk ; A1s + B1 s 2 + ps + q

+

A 2s + B2 s 2 + ps + q

+ .... +

A n s + Bn s 2 + ps + q

Seperti cara sebelumnya, untuk mendapatkan koefisien-koefisiennya dilakukan dengan cara menyamakan koefisien dari pangkat s.

Contoh :

X (s) =

5s3 − 3s 2 + 7s − 3 2

2

(s + 1) A s + B A 2s + B = 12 + 2 s +1 s2 + 1

(

5s

3

+

A1 = 5, B1 = -3, A2 =2, B2 = 0

2s

Sehingga,

X (s) =

Jadi

x ( t ) = (5 cos t − 3 sin t + t sin t ) u ( t )

(s 2 + 1)

−

)

{

5s3 - 3s2 +7s - 3 = (A1s + B1)(s2 + 1) + A2(s + B2)

(s 2 + 1) (s 2 + 1)2

Page 11 of 11

Dasar Sistem Pengaturan - Transformasi Laplace. Transformasi Laplace bilateral atau dua sisi dari sinyal bernilai riil x(t) didefinisikan sebagai :

Recommend Documents