Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Geometria II

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)

Geometria II. Síkidomok, testek: A sík feldarabolásával síkidomokat, a tér feldarabolásával testeket kapunk. Törött vonal: A csatlakozó szakaszok törött vonalat alkotnak.

DEFNÍCIÓ: (Sokszögvonal) A záródó törött vonalat egyszerű sokszögvonalnak nevezzük, ha a törött vonal minden csúcsához két szakasz csatlakozik, továbbá a szakaszok nem zárnak be egyenesszöget és a szakaszoknak a csúcsokon kívül nincs más közös pontjuk. DEFINÍCIÓ: (Sokszöglap) A síkbeli egyszerű sokszögvonal két síkidomra vágja a síkot, s ezek közül a sokszögvonalon belüli korlátosat sokszöglapnak nevezzük. DEFINÍCIÓ: (Sokszög) A sokszöglap és sokszögvonal együttesét sokszögnek (poligonnak) nevezzük. Megjegyzés:  A sokszöget határoló szakaszokat a sokszög oldalainak nevezzük.  A sokszögön belül a nem szomszédos csúcsokat összekötő szakaszokat átlóknak nevezzük.  Az 𝑛 oldalú sokszögnek 𝑛 csúcsa és 𝑛 belső szöge van.  A sokszöget határoló törött vonal hosszát a sokszög kerületének nevezzük.  Az egyenesszög és a sokszög belső szöge közötti különbségét a sokszög külső szögének nevezzük. Jelöléssel: konvex 𝛼 esetén 𝛼 ′ = 180° − 𝛼, konkáv 𝛼 esetén 𝛼 ′ = 𝛼 − 180°. DEFINÍCIÓ: (Konvex alakzat) Egy síkbeli alakzatot konvexnek nevezünk, ha bármely két pontjával együtt a két pontot összekötő szakasz pontjai is az alakzathoz tartoznak. DEFINÍCIÓ: (Konkáv alakzat) Egy síkbeli alakzatot konkávnak nevezünk, ha nem konvex, azaz van olyan az alakzat két pontját összekötő szakasz, amely nem tartozik teljes egészében az alakzathoz. 1

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megjegyzés:  Egy konvex sokszög bármely egyenes vágással 2 darabra esik szét.  Egy konvex sokszög minden szöge kisebb az egyenesszögnél.

DEFINÍCIÓ: (Szabályos sokszög) Egy sokszöget szabályosnak nevezünk, ha minden oldala egyenlő hosszúságú és minden szöge egyenlő nagyságú.

Megjegyzés:  Minden szabályos sokszögnek van beírt és köré írt köre, melyek középpontja a szimmetriatengelyek metszéspontja.  Minden szabályos 𝑛 - szög felbontható 𝑛 darab egybevágó egyenlő szárú háromszgre, 360° melyek szárszöge 𝑛 .  Minden szabályos sokszög külső szögének nagysága

360° 𝑛

.

TÉTEL: 𝑛 ∙ (𝑛 − 3) Egy 𝑛 oldalú konvex sokszög átlóinak száma . 2 TÉTEL: Egy 𝑛 oldalú konvex sokszög belső szögeinek összege (𝑛 − 2) ∙ 180°. TÉTEL: Egy 𝑛 oldalú konvex sokszög külső szögeinek összege 360°. TÉTEL: (𝑛 − 2) ∙ 180° Egy 𝑛 oldalú szabályos sokszög belső szögének nagysága . 𝑛 2

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Háromszögek DEFINÍCIÓ: (Háromszög) Az olyan sokszöget, amelynek 3 oldala van, háromszögnek nevezzük.

Megjegyzés:  Hegyesszögű háromszögben minden szög hegyesszög.  Tompaszögű háromszögben 1 tompaszög és 2 hegyesszög található.  Derékszögű háromszögben 1 derékszög és 2 hegyesszög található.  Derékszögű háromszögben a derékszöget közbezáró két oldalt befogónak nevezzük.  Derékszögű háromszögben a derékszöggel szemben fekvő oldalt átfogónak nevezzük.  Derékszögű háromszögben az átfogó mindig nagyobb, mint a háromszög befogói.

DEFINÍCIÓ: (Egyenlő szárú háromszög) Egy háromszöget egyenlő szárúnak nevezünk, ha van két egyenlő hosszúságú oldala. Megjegyzés:  Az egyenlő szárú háromszög két egyenlő hosszúságú oldalát száraknak nevezzük.  Az egyenlő szárú háromszögnek azt az oldalát, amelyen a két egyenlő nagyságú szög fekszik, a háromszög alapjának nevezzük.  Az egyenlő szárú háromszögben a szárak által bezárt szöget szárszögnek nevezzük.  Az egyenlő szárú háromszög tengelyesen szimmetrikus és a tengely felezi a szárszöget.  Az egyenlő szárú háromszögben a tengely merőlegesen felezi az alapot.

3

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) TÉTEL: Egy háromszög pontosan akkor egyenlő szárú háromszög, ha van két egyenlő nagyságú szöge, illetve ha van szimmetria tengelye.

DEFINÍCIÓ: (Szabályos háromszög) Szabályos háromszögnek nevezzük az egyenlő oldalú és egyenlő szögű háromszögeket. Megjegyzés:  A szabályos háromszögnek 3 szimmetriatengelye van, melyek magasságvonalak, súlyvonalak, oldalfelező merőlegesek és szögfelezők is egyben.  A szabályos háromszög beírt körének középpontja, köré írt körének középpontja, súlypontja és magasságpontja egybeesik, s ez a háromszög középpontja.  Az 𝑎 oldalú szabályos háromszög magassága: 𝑚 =

𝑎 ∙ √3 2

.

DEFINÍCIÓ: (Belső szög) A háromszög egy csúcsából kiinduló oldalegyenesei által meghatározott négy szögtartomány közül a háromszöget tartalmazó szögtartományt a háromszög belső szögének nevezzük.

DEFINÍCIÓ: (Külső szög) A háromszög valamely oldala és egy szomszédos oldal meghosszabbítása által bezárt szöget a háromszög külső szögének nevezzük. Jele: 𝛼 ′ , 𝛽′ , 𝛾′.

TÉTEL: A háromszög belső szögeinek összege 180°. Jelöléssel: 𝛼 + 𝛽 + 𝛾 = 180°. TÉTEL: A háromszög bármely külső szöge egyenlő a nem mellette fekvő belső szögek összegével. Jelöléssel: 𝛼 ′ = 𝛽 + 𝛾; 𝛽′ = 𝛼 + 𝛾; 𝛾 ′ = 𝛼 + 𝛽. TÉTEL: A háromszög külső szögeinek összege 360°. Jelölléssel: 𝛼′ + 𝛽′ + 𝛾′ = 360°. TÉTEL: A háromszögben egyenlő hosszúságú oldalakkal szemben egyenlő nagyságú szögek fekszenek. 4

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) TÉTEL: A háromszögben a hosszabb oldallal szemben fekvő szöge nagyobb, mint a rövidebb oldallal szemben fekvő szöge. TÉTEL: (Háromszög – egyenlőtlenség) A háromszög bármely két oldalának összege nagyobb a harmadik oldalnál, azaz bármely oldala nagyobb a másik két oldal különbségénél. Jelöléssel: 𝑎 > 𝑏 + 𝑐; 𝑏 > 𝑎 + 𝑐; 𝑐 > 𝑎 + 𝑏. TÉTEL: A háromszög ugyanazon szögének külső és belső szögfelezője merőleges egymásra. TÉTEL: (Háromszög - szerkesztés alapesetei) Egy háromszög egyértelműen meghatározott, ha adott  3 oldala  2 oldala és az ezek által közbezárt szög  2 oldala és a 2 oldal közül a nagyobbal szemben fekvő szöge  1 oldala és a rajta fekvő 2 szöge.

DEFINÍCIÓ: (Háromszög köré írt köre) Az olyan kört, amely áthalad a háromszög csúcsain a háromszög köré írt körének nevezzük. TÉTEL: A háromszög oldalfelező merőlegesei egy pontban metszik egymást, s ez a metszéspont a háromszög köré írható körének középpontja.

5

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megjegyzés:  A köré írt kör sugara a középpontot a háromszög egy csúcsával összekötő szakasz. Jele: 𝑅.  A köré írt kör középpontja a háromszög csúcsaitól azonos távolságra van.  Hegyesszögű háromszögben a köré írt kör középpontja a háromszögön belülre esik.  Tompaszögű háromszögben a köré írt kör középpontja a háromszögön kívülre esik.  Derékszögű háromszögben a köré írt kör középpontja az átfogó felezőpontja. DEFINÍCIÓ: (Háromszög beírt köre) Az olyan kört, amely érinti a háromszög oldalait a háromszög beírt körének nevezzük. TÉTEL: A háromszög szögfelezői egy pontban metszik egymást, s ez a metszéspont a háromszög be írható körének középpontja.

Megjegyzés:  A beírt kör sugara a középpontból a háromszög egy oldalára bocsátott merőleges szakasz. Jele: 𝑟.  A beírt kör középpontja a háromszög oldalaitól azonos távolságra van.  A háromszög szögfelezője és a szöggel szemközti oldal felezőmerőlegese a köré írt körön metszik egymást.  Derékszögű háromszög átfogója a két befogó összegének és a beírható kör kétszeres sugarának különbségével egyenlő. 6

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) DEFINÍCIÓ: (Háromszög hozzá írt köre) Az olyan kört, amely a háromszög egyik oldalát és a másik két oldalának meghosszabbítását érinti, a háromszög hozzá írt (mellé írt) körének nevezzük.

TÉTEL: A háromszög egy belső szögfelezője és a nem mellette fekvő két külső szög szögfelezője egy pontban metszik egymást, s ez a metszéspont a háromszög hozzá írt körének középpontja.

7

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megjegyzés:  A hozzá írt kör sugara a középpontból a háromszög egy oldalegyenesére bocsátott merőleges szakasz. Jele: 𝑟𝑎 (az 𝑎 oldalhoz hozzá írt kör sugara); 𝑟𝑏 ; 𝑟𝑐 .  A hozzá írt kör középpontja a háromszög oldalegyeneseitől azonos távolságra van.  A háromszög 𝑎, 𝑏 és 𝑐 oldalához hozzá írt körének sugara: 2𝑇

𝑟𝑎 = 𝑏+𝑐−𝑎

2𝑇

𝑟𝑏 = 𝑎+𝑐−𝑏

2𝑇

𝑟𝑐 = 𝑎+𝑏−𝑐

DEFINÍCIÓ: (Háromszög középvonala) A háromszög két oldalfelező pontját összekötő szakaszt a háromszög középvonalának nevezzük.

TÉTEL: A háromszög középvonala párhuzamos a nem felezett oldallal és hossza annak a fele.

Megjegyzés: A háromszög 3 középvonala a háromszöget 4 egybevágó háromszögre bontja.

DEFINÍCIÓ: (Háromszög magasságvonala) A háromszög egy csúcsából a szemközti oldalra bocsátott merőleges egyenest a háromszög egy magasságvonalának nevezzük. Jele: 𝑚𝑎 ; 𝑚𝑏 ; 𝑚𝑐 .

DEFINÍCIÓ: (Háromszög magassága) A háromszög magassága a háromszög csúcsa és a szemközti oldalegyenes távolsága.

8

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) TÉTEL: A háromszög magasságvonalai egy pontban metszik egymást, s ezt a pontot a háromszög magasságpontjának nevezzük. Jele: 𝑀.

Megjegyzés:  Hegyesszögű háromszögben a magasságpont a háromszögön belülre esik.  Tompaszögű háromszögben a magasságpont a háromszögön kívülre esik.  Derékszögű háromszögben a magasságpont az átfogóval szemben levő csúcs.  Tekintve egy háromszög három csúcsát és a magasságpontját, kiválasztva ezek közül három pontot, olyan háromszöget kapunk, melynek magasságpontja éppen a ki nem választott negyedik pont.  Hegyesszögű háromszögben a magasságpont valamely oldalra vonatkozó tükörképe illeszkedik a háromszög köré írt körére.

DEFINÍCIÓ: (Háromszög súlyvonala) A háromszög egy csúcsát a szemközti oldal felezőpontjával összekötő szakaszt a háromszög egy súlyvonalának nevezzük. Jele: 𝑠𝑎 ; 𝑠𝑏 ; 𝑠𝑐 .

TÉTEL: A háromszög súlyvonalai egy pontban metszik egymást, s ezt a pontot a háromszög súlypontjának nevezzük. Jele: 𝑆.

9

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)

Megjegyzés:  A háromszög súlypontja a súlyvonalaknak a csúcsoktól távolabbi harmadolópontja.  A háromszög súlyvanala felezi a háromszög területét.

DEFINÍCIÓ: (Euler – egyenes) A háromszög magasságpontja, súlypontja és a köré írható körének középpontja egy egyenesre esik. Ezt az egyenest a háromszög Euler – egyenesének nevezzük. Megjegyzés: Az 𝑆 pont az 𝑀𝑂 szakasz 𝑂 – hoz közelebbi harmadolópontja. DEFINÍCIÓ: (Feuerbach – kör) A háromszög oldalfelező pontjai, magasságainak talppontjai, illetve a magasságpont és a csúcsok által meghatározott szakaszok felezőpontjai egy körön vannak. Ezt a kört a háromszög Feuerbach – körének nevezzük. Megjegyzés: A kör középpontja az 𝑀𝑂 szakasz felezőpontja, sugara pedig a háromszög köré írt kör sugarának a fele. DEFINÍCIÓ: (Simson – egyenes) A háromszög köré írt körének bármely pontjából a háromszög oldalaira bocsátott merőlegesek talppontjai egy egyenesre esnek. Ezt az egyenest a körvonal adott pontjához tartozó Simson – egyenesének nevezzük.

TÉTEL: (Pitagorasz – tétel) A derékszögű háromszögben a befogók hosszának négyzetösszege egyenlő az átfogó hosszának négyzetével. Jelöléssel: 𝑎2 + 𝑏2 = 𝑐 2 (ahol 𝑐 a háromszög átfogója). 10

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megjegyzés:  Igaz a tétel megfordítása is: Ha egy háromszög két oldalhosszának négyzetösszege egyenlő a harmadik oldal hosszának négyzetével, akkor a háromszög derékszögű.  Hegyesszögű háromszögben a két rövidebb oldal négyzetösszege nagyobb, mint a leghosszabb oldal négyzete.  Tompaszögű háromszögben a két rövidebb oldal négyzetösszege kisebb, mint a leghosszabb oldal négyzete.

TÉTEL: (Thalesz – tétel) Azon pontok halmaza a síkon, amelyekből a sík egy 𝐴𝐵 szakasza derékszögben látszik, az 𝐴𝐵 átmérőjű kör, kivéve az 𝐴 és 𝐵 pontot.

Megjegyzés:  Az 𝐴𝐵 szakasz, mint átmérő fölé rajzolt kört az 𝐴𝐵 szakaszhoz tartozó Thalesz – körnek nevezzük.  A tétel másképpen megfogalmazva: Ha egy kör átmérőjének végpontjait összekötjük a körvonal bármely más pontjával, akkor derékszögű háromszöget kapunk.  Igaz a tétel megfordítása is: Ha egy szakasz egy adott pontból derékszög alatt látszik, akkor az a pont a szakasz, mint átmérő fölé rajzolt körvonalnak az átmérőre nem illeszkedő pontja.  A Thalesz – kör belső pontjaiból az 𝐴𝐵 szakasz 90° - nál nagyobb, míg a körön kívüli pontokból 90° - nál kisebb szögben látszik.

11

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Négyszögek DEFINÍCIÓ: (Négyszög) Az olyan sokszöget, melynek 4 oldala van, négyszögnek nevezzük.

TÉTEL: A négyszög belső, illetve külső szögeinek összege 360°. Jelöléssel: 𝛼 + 𝛽 + 𝛾 + 𝛿 = 360°; 𝛼 ′ + 𝛽′ + 𝛾 ′ + 𝛿 ′ = 360°.

DEFINÍCIÓ: (Trapéz) Az olyan négyszöget, melynek van párhuzamos oldalpárja, trapéznak nevezzük.

Megjegyzés:  A trapéz párhuzamos oldalait alapoknak, a másik két oldalát száraknak nevezzük.  A trapéz egy száron fekvő szögei kiegészítő szögek.

DEFINÍCIÓ: (Húrtrapéz) Az olyan trapézt, amelynek van szimmetriatengelye, húrtrapéznak nevezzük.

12

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)

Megjegyzés:  A húrtrapéz szimmetriatengelye felezi az alapokat.  A húrtrapéznak van köré írt köre.  A húrtrapéz 2 szára egyenlő hosszúságú.  A húrtrapéz azonos alapon fekvő szögei egyenlő nagyságúak.  A húrtrapéz szemben fekvő szögei kiegészítő szögek.  A húrtrapéz átlói egyenlő hosszúságúak, s a metszéspontra illeszkedik a szimmetriatengely.

DEFINÍCIÓ: (Paralelogramma) Az olyan négyszöget, melynek szemközti oldalai párhuzamosak paralelogrammának nevezzük.

Megjegyzés:  A paralelogramma szemközti oldalai egyenlő hosszúságúak.  A paralelogramma szemközti szögei egyenlő nagyságúak és váltószögek.  A paralelogramma szomszédos szögei társszögek és kiegészítő szögek.  A paralelogramma átlói felezik egymást, s metszéspontjuk a szimmetria középpont.  Minden paralelogramma trapéz. 13

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) DEDFINÍCIÓ: (Deltoid) Az olyan négyszöget, amelynek két – két szomszédos oldala egyenlő hosszúságú, deltoidnak nevezzük.

Megjegyzés:  A deltoid átlói merőlegesek egymásra és egyik felezi a másikat.  A deltoid egyik átlója a négyszög szimmetriatengelye, amely 2 szöget felez, s a másik 2 szög pedig egyenlő nagyságú.

DEFINÍCIÓ: (Rombusz) Az olyan négyszöget, amelynek minden oldala egyenlő hosszúságú, rombusznak nevezzük.

Megjegyzés:  A rombusz átlói merőlegesen felezik egymást.  Minden rombusz paralelogramma, illetve deltoid. 14

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) DEFINÍCIÓ: (Téglalap) Az olyan négyszöget, amelynek minden szöge egyenlő nagyságú, téglalapnak nevezzük.

Megjegyzés:  A téglalap átlói egyenlő hosszúságúak és felezik egymást.  Minden téglalap paralelogramma.

DEFINÍCIÓ: (Négyzet) Az olyan négyszöget, amelynek minden oldal és minden szöge egyenlő nagyságú, négyzetnek nevezzük.

Megjegyzés:  A négyzet átlói egyenlő hosszúságúak és merőlegesen felezik egymást.  Minden négyzet téglalap, illetve deltoid.

TÉTEL: Minden középpontosan szimmetrikus négyszög paralelogramma. 15

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) DEFINÍCIÓ: (Paralelogramma középvonala) A paralelogramma 2 szemközti oldalának felezőpontját összekötő szakaszt a paralelogramma középvonálnak nevezzük.

TÉTEL: A paralelogramma középvonala párhuzamos a paralelogramma nem felezett oldalaival és hossza a nem felezett oldalak hosszával egyenlő. DEFNÍCIÓ: (Trapéz középvonala) A trapéz szárainak felezőpontjait összekötő szakaszt a trapéz középvonalának nevezzük.

TÉTEL: A trapéz középvonala párhuzamos a trapéz alapjaival és hossza az alapok hosszának számtani a+c közepe. Jelöléssel: k = 2 . Megjegyzés: Minden négyszögnek két középvonala van. Síkidom területe: A síkbeli alakzat területe olyan valós szám, amely a következő tulajdonságokkal rendelkezik:  minden sokszög területe pozitív szám  az egymással egybevágó sokszögek területe egyenlő  ha egy sokszöget 2 részre bontunk, akkor a 2 rész területének összege egyenlő az eredetiével  az 1 oldalú négyzet területe 1. 16

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Négyszögek területképlete: Ha egy síkidomot feldarabolunk, akkor a darabok területének összege megegyezik az eredeti síkidom területével. A speciális négyszögek területét visszavezethetjük téglalapokra.  Négyzet: 𝑇 = 𝑎2  Téglalap: 𝑇 = 𝑎 ∙ 𝑏  Paralelogramma: 𝑇 = 𝑎 ∙ 𝑚𝑎 = 𝑏 ∙ 𝑚𝑏 .

 Deltoid: 𝑇 =

𝑒∙𝑓 2

 Rombusz: 𝑇 = 𝑎 ∙ 𝑚𝑎 =

 Trapéz: 𝑇 =

𝑎+𝑐 2

𝑒∙𝑓 2

∙𝑚 = 𝑘∙𝑚

17

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Háromszög területképletei: (𝒔 a kerület fele, 𝑹 a köré írt kör sugara, 𝒓 a beírt kör sugara)  𝑇∆ =

𝑎 ∙ 𝑚𝑎

 𝑇∆ =

𝑎𝑏𝑐

2

=

𝑏 ∙ 𝑚𝑏 2

=

𝑐 ∙ 𝑚𝑐 2

4𝑅

 𝑇∆ = 𝑟 ∙ 𝑠  𝑇∆ = √𝑠 ∙ (𝑠 − 𝑎) ∙ (𝑠 − 𝑏) ∙ (𝑠 − 𝑐 )

→

Heron - képlet

Megjegyzés: Tetszőleges sokszög területét megkapjuk, ha a sokszöget háromszögekre daraboljuk.

Kör és részei DEFINÍCIÓ: (Kör) Azon pontok halmaza a síkon, amelyek a sík egy adott 𝑂 pontjától adott 𝑟 távolságra vannak, egy kört (körvonalat) határoznak meg. Megjegyzés:  Az 𝑂 pontot a kör középpontjának, az 𝑟 távolságot a kör sugarának nevezzük.  Ha a körbe és a kör köré szabályos sokszögeket írunk és ezek oldalszámát növeljük, akkor a beírt sokszögek területe és a köré írt sokszögek területe egyetlen számot fog közre. Ez a szám a kör területének mértékszáma: 𝜋 ≈ 3,14. A 𝜋 az egység sugarú kör területe. Ezt a módszert kétoldali közelítésnek nevezzük.  A kör kerülete: 𝐾 = 2𝑟𝜋.  A kör területe: 𝑇 = 𝑟 2 𝜋.

DEFINÍCIÓ: (Zárt körlap) Azon pontok halmaza a síkon, amelyek a sík egy adott 𝑂 pontjától adott 𝑟 távolságnál nem nagyobb távolságra vannak, egy zárt körlapot határoznak meg.

DEFINÍCIÓ: (Nyílt körlap) Azon pontok halmaza a síkon, amelyek a sík egy adott 𝑂 pontjától adott 𝑟 távolságnál kisebb távolságra vannak, egy nyílt körlapot határoznak meg. 18

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) DEFINÍCIÓ: (Koncentrikus körök) Két kört koncentrikusnak nevezünk, ha középpontjaik egybeesnek.

DEFINÍCIÓ: (Körív) A körvonal két pontja közé eső részét körívnek nevezzük. Megjegyzés:  Minden körívhez tartozik egy 𝛼 = 𝐴𝑂𝐵∢ középponti szög, ahol az 𝐴, 𝐵 pontok a körív végpontjai.  Egy 𝛼 középponti szöghöz tartozó körív hossza: 𝑖𝛼 = 2𝑟𝜋 ∙

𝛼

.

360°

DEFINÍCIÓ: (Húr) A kör 2 pontját összekötő szakaszt a kör húrjának nevezzük. Megjegyzés: Ha a húr illeszkedik a kör középpontjára, akkor azt a kör átmérőjének nevezzük, s ennek hossza a sugár kétszerese.

DEFINÍCIÓ: (Szelő) A kör 2 pontjára illeszkedő egyenest a kör szelőjének nevezzük.

DEFINÍCIÓ: (Érintő) Azt az egyenest, amelynek pontosan 1 közös pontja van a körrel, a kör érintőjének nevezzük. Megjegyzés:  Egy körhöz egy külső pontból két érintő húzható.  A kör minden húrjának felező merőlegese illeszkedik a kör középpontjára.  Ha 2 kör érinti egymást, akkor a két kör középpontja és az érintési pont egy egyenesen van.

TÉTEL: Egy kör minden egyes pontjába pontosan egy érintő húzható és az érintési pontba húzott sugár merőleges az érintőre. 19

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)

DEFINÍCIÓ: (Körgyűrű) A körgyűrű olyan síkidom, amelyet a koncentrikus 𝑟, illetve 𝑅 sugarú körvonalak határolnak, ahol 𝑟 < 𝑅.

DEFINÍCIÓ: (Körgyűrű cikk) Egy középponti szögnek és a körgyűrűnek a közös részét körgyűrűcikknek nevezzük.

DEFINÍCIÓ: (Körcikk) A körcikk olyan síkidom, amelyet a körvonal egy íve és a kör két sugara határol.

DEFINÍCIÓ: (Körszelet) A körszelet olyan síkidom, amelyet a körvonal egy íve és a kör egy húrja határol.

20

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) DEFINÍCIÓ: (Érintőszakasz) Az érintőnek az adott ponttól az érintési pontig terjedő szakaszát érintőszakasznak nevezzük.

TÉTEL: Egy külső pontból a körhöz húzott érintőszakaszok hossza egyenlő.

A kör részeinek területe:  Kör gyűrű területe: 𝑇 = 𝑅2 𝜋 − 𝑟 2 𝜋.  Körgyűrű cikk területe: 𝑇 = 𝑅2 𝜋 ∙

𝛼 360°

− 𝑟 2𝜋 ∙

𝛼 360°

;𝑇 =

𝑖𝑅 + 𝑖𝑟 2

∙𝑚 =𝜌 ∙𝑚

(𝑖𝑅 ; 𝑖𝑟 a hatáéroló ívek hossza, 𝑚 a szélesség, 𝜌 a körgyűrű középvonala) 𝛼

 Körcikk területe: 𝑇 = 𝑟 2 𝜋 ∙ 360° =

𝑟∙𝑖 2

 Körszelet területe: 𝑇 = 𝑇𝑘ö𝑟𝑐𝑖𝑘𝑘 − 𝑇ℎá𝑟𝑜𝑚𝑠𝑧ö𝑔, vagy 𝑇 = 𝑇𝑘ö𝑟𝑐𝑖𝑘𝑘 + 𝑇ℎá𝑟𝑜𝑚𝑠𝑧ö𝑔 .

21