Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)
Geometria III. DEFINÍCIÓ: (Vektor) Az egyenlő hosszúságú és egyirányú irányított szakaszoknak a halmazát vektornak nevezzük. Jele: 𝑣⃗.
DEFINÍCIÓ: (Geometriai transzformáció) Geometriai transzformációnak nevezzük az olyan függvényt, amely egy ponthalmaz minden pontjának egy – egy pontot feleltet meg. Megjegyzés: A geometriai transzformáció olyan függvény, amelynek értelmezési tartománya és értékkészlete is ponthalmaz. DEFINÍCIÓ: (Egybevágósági transzformáció) Ha egy geometriai transzformációnál tetszőlegesen választott 2 pont távolsága megegyezik a képpontjaik távolságával, akkor a transzformáció távolságtartó. A távolságtartó geometriai transzformációkat egybevágósági transzformációknak nevezzük. Megjegyzés: Az egybevágósági transzformáció távolságtartó geometriai transzformáció. Minden egybevágósági transzformáció előállítható legfeljebb 3 tengelyes tükrözéssel. Minden egybevágósági transzformáció egyenestartó (egyenes képe egyenes), szakasztartó (a szakasz képe vele egyenlő hosszúságú szakasz), szögtartó (a szög képe vele egyenlő nagyságú szög) és illeszkedés tartó (illeszkedő ponthalmazok képe is illeszkedő). DEFINÍCIÓ: (Geometriai transzformációk szorzata) Két geometriai transzformáció szorzatának nevezzük a két transzformáció egymásutáni végrehajtásával kapott geometriai transzformációt. Megjegyzés: Két egybevágósági transzformáció szorzata szintén egybevágóségi transzformáció. A geometriai transzformációk szorzata nem kommutatív. Jelöléssel: 𝑓1 ∙ 𝑓2 ≠ 𝑓2 ∙ 𝑓1. A geometriai transzformációk szorzata asszociatív. Jelöléssel: (𝑓1 ∙ 𝑓2 ) ∙ 𝑓3 = 𝑓1 ∙ (𝑓2 ∙ 𝑓3 ). 1
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) DEFINÍCIÓ: (Fixpont) Az olyan pontot, amelynek képe egy geometriai transzformáció végrehajtása után önmaga, fixpontnak nevezzük.
DEFINÍCIÓ: (Fixalakzat) Az olyan alakzatot, amelynek minden pontja fixpont, a geometriai transzformáció fixalakzatának nevezzük.
DEFINÍCIÓ: (Invariáns alakzat) Az olyan alakzatot, amelynek képe a geometriai transzformáció végrehajtása után önmaga, invariáns alakzatnak nevezzük. Megjegyzés: Minden fixalakzat invariáns alakzat, de nem minden invariáns alakzat fixalakzat. A sík egybevágósági transzformációi: DEFINÍCIÓ: (Identitás) Identitásnak, helybenhagyásnak (identikus transzformációnak) nevezzük azt a geometriai transzformációt, amely minden ponthoz önmagát rendeli.
Megjegyzés: Az identitás minden alakzata fixalakzat, vagyis minden alakzata invariáns alakzat.
DEFINÍCIÓ: (Tengelyes tükrözés) Tengelyes tükrözésnek nevezzük azt a geometriai transzformációt, amely egy adott 𝑡 egyenes minden pontjának önmagát felelteti meg és a sík minden más 𝑃 pontjához úgy rendeli a 𝑃′ pontot, hogy a 𝑃𝑃′ szakasz felezőmerőlegese éppen a 𝑡 egyenes legyen.
2
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megjegyzés: A tengelyes tükrözés 𝑡 egyenesét a transzformáció tengelyének nevezzük. A tengelyes tükrözést a 𝑡 tengelye egyértelműen meghatározza. A tengelyes tükrözés nem állítható elő síkbeli mozgatással. A tengelyes tükrözés irányításváltó transzformáció (megváltoztatja a körüljárás irányát). A tengelyes tükrözés fixpontjai a tengely pontjai, fixalakzata maga a tengely. A tengelyes tükrözés invariáns egyenesei a tengely, illetve a tengelyre merőleges egyenesek.
DEFINÍCIÓ: (Eltolás) Eltolásnak nevezzük azt a geometriai transzformációt, amely a sík minden 𝑃 pontjához úgy rendeli a 𝑃′ pontot, hogy a ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑃𝑃′ vektor megegyezik egy adott 𝑣⃗ vektorral.
Megjegyzés: Az eltolás 𝑣⃗ vektorát eltolásvektornak nevezzük. Az eltolást a 𝑣⃗ eltolásvektora egyértelműen meghatározza. Az eltolás előállítható síkbeli mozgatással. Az eltolás irányítástartó transzformáció (nem változtatja meg a körüljárás irányát). Az eltolás előáll két párhuzamos tengelyű tengelyes tükrözés egymásutáni végrehajtásával, ahol az eltolás távolsága a tengelyek távolságának kétszerese és a tengelyek merőlegesek az eltolás irányára. Ha az adott vektor a nullvektor, akkor az eltolás minden pontja fixpont és minden alakzata fixalakzat. Egyéb esetben nincs fixpontja, s így fixalakzata sincs. Az eltolás invariáns egyenesei az eltolás irányával párhuzamos egyenesek.
3
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) DEFINÍCIÓ: (Forgatás) Forgatásnak nevezzük azt a geometriai transzformációt, amely a sík egy adott 𝑂 pontjának önmagát felelteti meg, és a sík minden más 𝑃 pontjához úgy rendeli a 𝑃′ pontot, hogy az 𝑂𝑃 és 𝑂𝑃′ szakaszok egyenlő hosszúságúak, illetve a 𝑃𝑂𝑃′ ∢ irányított szög megegyezik egy adott 𝛼 szöggel, ahol 0° ≤ |𝛼 | ≤ 360°.
𝛼<0
𝛼>0
Megjegyzés: A forgatást az 𝑂 pontja és az 𝛼 irányított szög egyértelműen meghatározza. A forgatás előállítható síkbeli mozgatással. A forgatás irányítástartó transzformáció (nem változtatja meg a körüljárás irányát). A forgatás előáll két tengelyes tükrözés egymásutáni végrehajtásával, ahol a tengelyek |𝛼| metszéspontja az 𝑂 pont és a tengelyek által bezárt szög nagysága 2 . Ha az adott szög 𝛼 = 0°, vagy 𝛼 = 360°, akkor a forgatás minden pontja fixpont és minden alakzata fixalakzat. Egyéb esetben egyetlen fixpontja az 𝑂 pont és ekkor nincs fixalakzata. Ha az adott szög 𝛼 = 0°, vagy 𝛼 = 360°, akkor a forgatás minden egyenese invariáns egyenes. Ha az adott szög 𝛼 = 180°, akkor a forgatás invariáns egyenesei a középponton átmenő egyenesek. Egyéb esetben nincs invariáns egyenese.
DEFINÍCIÓ: (Középpontos tükrözés) Középpontos tükrözésnek nevezzük azt a geometriai transzformációt, amely a sík egy adott 𝑂 pontjának önmagát felelteti meg és a sík minden más 𝑃 pontjához úgy rendeli a 𝑃′ pontot, hogy a 𝑃𝑃′ szakasz felezőpontja éppen az 𝑂 pont legyen.
4
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megjegyzés: Az 𝑂 pont a középpontos tükrözés centrumának nevezzük. A középpontos tükrözést az 𝑂 középpontja egyértelműen megahtározza. A középpontos tükrözés előállítható síkbeli mozgatással. A középpontos tükrözés irányítástartó transzformáció (nem változtatja meg a körüljárás irányát). A középpontos tükrözés megfeleltethető egy 180° - os forgatásnak, ezért nem tekintjük önálló transzformációnak. A középpontos tükrözés előáll két merőleges tengelyű tengelyes tükrözés egymásutáni végrehajtásával, ahol a tengelyek metszéspontja az 𝑂 középpont és az egyik tengely szabadon választható. A középpontos tükrözés fixpontja az 𝑂 középpontja, s így nincs fixalakzata. A középpontos tükrözés invariáns egyenesei az 𝑂 középpontra illeszkedő egyenesek.
DEFINÍCIÓ: (Csúsztatva tükrözés) Csúsztatva tükrözésnek nevezzük azt a geometriai transzformációt, amely egy tengelyes tükrözés és a tükrözés tengelyével párhuzamos eltolás egymásutáni végrehajtásával adódik.
5
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megjegyzés: A csúsztatva tükrözést a 𝑡 tengelye és 𝑣⃗ vektora egyértelműen meghatározza. A csúsztatva tükrözés nem állítható elő síkbeli mozgatással. A csúsztatva tükrözés irányításváltó transzformáció (megváltoztatja a körüljárás irányát). A csúsztatva tükrözés előáll három tengelyes tükrözés egymásutáni végrehajtásával, ahol a tengelyek egy háromszöget zárnak közre. Ha az adott vektor nullvektor, akkor a csúsztatva tükrözés fixpontjai a tengely pontjai, fixalakzata maga a tengely. Egyéb esetben nincs fixpontja, s így fixalakzata sincs. Ha az adott vektor nullvektor, akkor a csúsztatva tükrözés invariáns egyenesei a tengely, illetve a tengelyre merőleges egyenesek. Egyéb esetben egyetlen invariáns egyenes a tengely.
A tér nevezetes egybevágósági transzformációi: eltolás egyenes (tengely) körüli forgatás egyenesre (tengelyre) való tükrözés középpontos (forgatva) tükrözés síkra való tükrözés Megjegyzés: Minden térbeli egybevágósági transzformáció előállítható legfeljebb négy síkra való tükrözés egymás utáni alkalmazásával. TÉTEL: Ha egy egybevágósági transzformációnak van három, nem egy egyenesre illeszkedő fixpontja, akkor az az identitás. TÉTEL: Ha egy egybevágósági transzformációnak egy fixpontja van, akkor az a fixpont körüli forgatás. DEFINÍCIÓ: (Egybevágó alakzatok) Két alakzat egybevágó, ha van olyan egybevágósági transzformáció, amelyik az egyiket a másiknak felelteti meg. Jele: ≅. 6
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) TÉTEL: (Háromszögek egybevágóságának alapesetei) Két háromszög egybevágó, ha úgy feleltethetőek meg egymásnak, hogy a megfelelő oldalaik hossza egyenlő 2 − 2 megfelelő oldalaik hossza és az ezek által közbezárt szögük nagysága egyenlő 2 − 2 megfelelő oldalaik hossza és a 2 oldal közül a nagyobbal szemben fekvő szögük nagysága egyenlő 1 − 1 oldaluk és a rajta fekvő 2 − 2 szögük nagysága egyenlő. TÉTEL: Két sokszög egybevágó, ha úgy feletethetőek meg egymásnak, hogy megfelelő oldalaik és megfelelő átlóik hossza páronként egyenlő megfelelő oldalaik hossza és megfelelő szögeik nagysága páronként egyenlő. TÉTEL: Két kör egybevágó, ha sugaraik hossza egyenlő. TÉTEL: Két gömb egybevágó, ha sugaraik hossza egyenlő. TÉTEL: Két kocka egybevágó, ha oldaléleik hossza egyenlő.
Vetítések: DEFINÍCIÓ: (Merőleges vetítés) Merőleges vetítésnek nevezzük azt a geometriai transzformációt, amely a sík egy adott 𝑡 egyenesének önmagát felelteti meg, és a sík minden más 𝑃 pontjához úgy rendeli a 𝑡 egyenesen lévő 𝑃′ pontot, hogy a 𝑃𝑃′ szakasz 𝑡 – re merőleges legyen.
7
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megjegyzés: A 𝑡 egyenest a merőleges vetítés tengelyének nevezzük. A merőleges vetítés nem távolságtartó. A merőleges vetítés nem egyenestartó és nem szakasztartó (a 𝑡 – re merőleges egyenes, illetve szakasz képe egy pont). A merőleges vetítés nem szögtartó (egy szög képe mindig 0° nagyságú). A merőleges vetítés a körüljárás iránya szempontjából nem értelmezhető (sokszög képe szakasz). A merőleges vetítés fixpontja a tengely pontjai, a fixalakzata maga a tengely. A merőleges vetítés invariáns egyenese a 𝑡 egyenes.
DEFINÍCIÓ: (Ferde vetítés) Ferde vetítésnek nevezzük azt a geometriai transzformációt, amely a sík egy adott 𝑡 egyenesének önmagát felelteti meg, és a sík minden más 𝑃 pontjához úgy rendeli a 𝑡 egyenesen lévő 𝑃′ pontot, hogy a 𝑃𝑃′ szakasz adott 𝛼 nagyságú szöget zárjon be a 𝑡 egyenessel.
Megjegyzés: Egy szakasz az adott egyenessel két (nem feltétlenül különböző) szöget zár be. Az általuk bezárt szögnek a két szög közül a nem nagyobbat nevezzük.
DEFINÍCIÓ: (Középpontos vetítés) Középpontos vetítésnek nevezzük azt a geometriai transzformációt, amely a sík egy adott 𝑡 egyenseének és az egyenesre nem lleszkedő 𝑂 pontjának ismeretében a sík 𝑂 ponttól különböző 𝑃 pontjához úgy rendeli a 𝑡 egyenesen lévő 𝑃′ pontot, hogy az 𝑂, 𝑃, 𝑃′ pontok egy egyenesre illeszkedjenek.
8
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)
Megjegyzés: Az 𝑂 ponthoz a transzformáció nem rendel pontot, vagyis az 𝑂 pont nem tartozik bele a középpontos vetítés által meghatározott hozzárendelés értelmezési tartományába.
Szimmetrikus alakzatok: DEFINÍCIÓ: (Tengelyesen szimmetrikus alakzat) Egy síkbeli alakzatot tengelyesen szimmetrikusnak nevezünk, ha van olyan 𝑡 egyenes a síkban, amelyre az alakzatot tükrözve a tükörkép azonos az eredetivel. Megjegyzés: A 𝑡 egyenest az alakzat szimmetriatengelyének nevezzük. Minden szabályos sokszög tengelyesen szimmetrikus és a tengelyek száma megegyezik a sokszög oldalainak számával. Páros oldalszámú szabályos sokszög esetén a tengelyek a szemben lévő csúcsokra, illetve a szemben lévő oldalak felezőpontjaira illeszkednek. Páratlan oldalszámú szabályos sokszög esetén a tengelyek a sokszög csúcsaira és a csúcsokkal szemben levő oldalak felezőpontjára illeszkednek. Tengelyesen szimmetrikus alakzatok: szabályos háromszög (3 darab), egyenlő szárú háromszög (1 darab), húrtrapéz (1 darab), deltoid (1 darab), rombusz (2 darab), téglalap (2 darab), négyzet (4 darab), kör (végtelen sok). Ha egy tengelyesen szimmetrikus alakzatnak több szimmetriatengelye van, akkor ezek egy pontban metszik egymást.
DEFINÍCIÓ: (Középpontosan szimmetrikus alakzatok) Egy síkbeli alakzatot középpontosan szimmetrikusnak nevezünk, ha van olyan 𝑂 pont a síkban, amely körül 180° - kal elforgatva önmagába megy át. 9
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megjegyzés: Az 𝑂 pontot szimmetriacentrumnak nevezzük. A páros oldalszámú szabályos sokszögek középpontosan szimmetrikusak. Középpontosan szimmetrikus alakzatok: paralelogramma, rombusz, téglalap, négyzet, kör.
DEFINÍCIÓ: (Forgásszimmetrikus alakzat) Egy síkbeli alakzatot forgásszimmetrikus alakzatnak nevezünk, ha létezik olyan 0° < 𝛼 < 360° szögű elforgatás, amely a síkbeli alkaztot önmagába viszi át. Megjegyzés: A forgatás középpontja a szimmetriatengelyek metszéspontja. Minden szabályos sokszög forgásszimmetrikus alakzat, s a lehetséges forgatások szögeit 360° megkapjuk az 𝛼 = 𝑛 többszöröseiként, ahol 𝑛 jelöli a sokszög oldalainak számát, vagyis összesen 𝑛 különböző forgatást adhatunk így meg. Forgásszimmetrikus alakzatok (középpontosan szimmetrikusak): paralelogramma, rombusz, téglalap, négyzet, kör. Az olyan alakzatot, amelyet bármekkora szöggel való elforgatás önmagába visz át, körszimmetrikusnak nevezzük. Szabályos 3, 4 és 6 szöggel a teljes sík hézagmentesen lefedhető (kiparkettázható). Ekkor a sokszögek bármely csúcsára nézve az ,,alakzat” forgásszimmetrikus lesz. A síkot kitölthetjük 17 – féleképpen továbbá úgy is, hogy különböző típusú szabályos sokszögeket használunk fel. Amennyiben nem szabályos sokszögekkel dolgozunk, akkor pedig végtelen sok lehetőség adódik a parkettázáshoz.
DEFINÍCIÓ: (Eltolás szimmetrikus alakzat) Egy síkbeli alakzatot eltolás szimmetrikusnak nevezünk, ha van olyan 𝑣⃗ vektor, mellyel az alakzatot eltolva, az eltolás képe fedi az eredetit. Megjegyzés: A sík bizonyos parkettázásai eltolás szimmetrikusak.
10
