Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)
Geometria IV. 1. Szerkessz egy adott körhöz egy adott külső ponton átmenő érintőket! Megoldás: Jelöljük az adott kört 𝑘 – val, a kör középpontját 𝑂 – val, az adott külső pontot pedig 𝑃 – vel. A szerkesztéshez azt használjuk fel, hogy az érintő merőleges a sugárra. Ezek alapján a kör középpontja, az érintési pont és a külső pont egy derékszögű háromszöget határoznak meg. A szerkesztés lépései a következők: 1. lépés: Szerkesszük meg az 𝑂𝑃 szakasz Thalesz – körét. 2. lépés: Az adott kör és a Thalesz – kör metszéspontjai lesznek az 𝐸1 , 𝐸2 érintési pontok. 3. lépés: A külső ponton és az érintési pontokon át rajzoljuk meg az érintőket.
1
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 2. Szerkessz két adott körhöz külső érintőket! Megoldás: Jelöljük a két kört 𝑘1 , 𝑘2 – vel, a körök középpontjait 𝑂1 , 𝑂2 – vel, a két kör sugarát pedig 𝑟, 𝑅 – rel, ahol 𝑅 > 𝑟. A szerkesztés lépései a következők: 1. lépés: Szerkesszük meg az 𝑂2 középpontú 𝑅 − 𝑟 sugarú kört. 2. lépés: Szerkesszük meg az 𝑂1 𝑂2 szakasz Thalesz – körét. 3. lépés: A megszerkesztett két kör metszéspontját jelöljük 𝐸1′ , 𝐸2 ′ - vel. 4. lépés: Rajzoljuk meg az 𝑂2 𝐸1 ′ és 𝑂2 𝐸2 ′ félegyeneseket. 5. lépés: A félegyenesek és az adott kör metszéspontjai lesznek az 𝐸1 , 𝐸2 érintési pontok. 6. lépés: Rajzoljuk meg az 𝑂1 𝐸1 ′ és 𝑂1 𝐸2 ′ szakaszokat. 7. lépés: A szakaszokat toljuk el az 𝐸1 , 𝐸2 érintési pontokba, s így megkapjuk az érintőket.
2
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 3. Szerkessz két adott körhöz belső érintőket! Megoldás: Jelöljük a két kört 𝑘1 , 𝑘2 – vel, a körök középpontjait 𝑂1 , 𝑂2 – vel, a két kör sugarát pedig 𝑟, 𝑅 – rel, ahol 𝑅 > 𝑟. A szerkesztés lépései a következők: 1. lépés: Szerkesszük meg az 𝑂2 középpontú 𝑅 + 𝑟 sugarú kört. 2. lépés: Szerkesszük meg az 𝑂1 𝑂2 szakasz Thalesz – körét. 3. lépés: A megszerkesztett két kör metszéspontját jelöljük 𝐸1′ , 𝐸2 ′ - vel. 4. lépés: Rajzoljuk meg az 𝑂2 𝐸1 ′ és 𝑂2 𝐸2 ′ félegyeneseket. 5. lépés: A félegyenesek és az adott kör metszéspontjai lesznek az 𝐸1 , 𝐸2 érintési pontok. 6. lépés: Rajzoljuk meg az 𝑂1 𝐸1 ′ és 𝑂1 𝐸2 ′ szakaszokat. 7. lépés: A szakaszokat toljuk el az 𝐸1 , 𝐸2 érintési pontokba, s így megkapjuk az érintőket.
3
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 4. Szerkeszd meg egy adott háromszög Euler – egyenesét! Megoldás: Az Euler – egyeneshez meg kell szerkesztenünk a háromszög magasságpontját, súlypontját és köré írt körének középpontját.
4
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 5. Szerkeszd meg egy adott háromszög Simson – egyenesét! Megoldás: A háromszög köré írt körén vegyünk fel egy tetszőleges 𝑃 pontot. A 𝑃 ponthoz tartozó Simson – egyeneshez meg kell szerkesztenünk a pontból a háromszög oldalaira bocsátott merőlegesek talppontjait.
5
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 6. Szerkeszd meg egy adott háromszög Feuerbach – körét! Megoldás: A Feuerbach – körhöz meg kell szerkesztenünk a kör középpontját, amely az 𝑂𝑀 szakasz felezőpontja, ahol az 𝑂 pont a háromszög köré írt kör középpontja, az 𝑀 pont pedig a háromszög magasságpontja.
6
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 7. Szerkessz szabályos hatszöget! Megoldás: A szabályos hatszöget úgy szerkeszthetjük meg, ha a kör egy tetszőleges pontjából körzünk a sugárral. A körön keletkező metszéspontból ismét körzünk a sugárral. Ezt addig folytatjuk, amíg vissza nem térünk az eredeti pontunkba.
8. Szerkessz szabályos nyolcszöget! Megoldás: A szerkesztés lépései a következők: 1. lépés: A kör egy tetszőleges pontját kössük össze a kör középpontjával. 2. lépés: Szerkesszünk
360° 8
= 45° - os szöget úgy, hogy az egyik szögszára a szakasz legyen.
3. lépés: a másik szögszár és a kör metszéspontja lesz a sokszög egy újabb pontja. 4. lépés: A sokszög két pontjának távolságát vegyük körzőnyílásba és körözzünk tovább. 5. lépés: A körzést addig folytatjuk, amíg a kezdeti pontba nem jutunk vissza.
7
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 9. Szerkessz szabályos háromszöget, ha adott a beírt kör sugara! Megoldás: A szerkesztés lépései a következők: 1. lépés: Szerkesszünk kört az adott sugárral. 2. lépés: A kört bontsuk fel
360° 3
= 120° - os szögtartományokra.
3. lépés: A szögszárak körrel vett metszéspontjaiból állítsunk merőlegest a sugarakra. 4. lépés: A merőlegesek metszéspontjai lesznek a szabályos háromszög csúcsai.
8
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 10. Szerkessz egyenlő szárú háromszöget, ha adott a 𝒕 szimmetriatengelye, rajta a 𝑪 csúcs és az 𝑨 csúcsra illeszkedő 𝒂 egyenes, illetve a 𝑩 csúcson átmenő 𝒃 egyenes! Megoldás: A szerkesztés lépései a következők: 1. lépés: Tükrözzük az 𝑎 egyenest a 𝑡 tengelyre, s legyen a képe 𝑎′. 2. lépés: Tükrözzük a 𝑏 egyenest a 𝑡 tengelyre, s legyen a képe 𝑏′. 3. lépés: Az 𝑎′ és 𝑏 egyenesek metszéspontja: 𝐴′ = 𝐵. 4. lépés: A 𝑏′ és 𝑎 egyenesek metszéspontja: 𝐵′ = 𝐴.
9
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 11. Szerkesszünk paralelogrammát, ha adott az 𝑨 és 𝑩 csúcsa, illetve a 𝑪 csúcsára illeszkedő 𝒄 egyenes és a 𝑫 csúcsán átmenő 𝒅 kör! Megoldás: A szerkesztés lépései a következők: ⃗⃗⃗⃗⃗ vektorral, s legyen a képe 𝑐′. 1. lépés: Toljuk el az 𝑐 egyenest a 𝐵𝐴 2. lépés: Toljuk el a 𝑘 kört az az ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵 vektorral, s legyen a képe 𝑘′. 3. lépés: A 𝑐′ és 𝑘 metszéspontja: 𝐶 ′ = 𝐷. 4. lépés: A 𝑘′ és 𝑐 metszéspontja: 𝐷 ′ = 𝐶.
10
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 12. Adott a síkban egy szögtartomány, azon belül egy 𝑫 pont. Szerkessz négyzetet, amelynek egyik csúcsa a 𝑫 pont és két szemközti csúcsa egy – egy szögszáron van! Megoldás: A szerkesztés lépései a következők: 1. lépés: Forgassuk el az 𝑎 szögszárat a 𝐷 pont körül 90° - kal, s legyen a képe 𝑎′. 2. lépés: Forgassuk el a 𝑐 szögszárat a 𝐷 pont körül 90° - kal, s legyen a képe 𝑐′. 3. lépés: A 𝑎′ és 𝑐 metszéspontja: 𝐴′ = 𝐶. 4. lépés: A 𝑐′ és 𝑎 metszéspontja: 𝐶 ′ = 𝐴. 5. lépés: Az 𝐴 csúcson keresztül húzzunk párhuzamost a 𝐶𝐷 szakasszal. 6. lépés A 𝐶 csúcson keresztül húzzunk párhuzamost az 𝐴𝐷 szakasszal. 7. lépés: A két párhuzamos metszéspontja lesz a négyzet 𝐵 csúcsa.
11
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 13. Szerkeszd körvonalat, ha adott 𝟑 pontja! Megoldás: Az adott pontok meghatároznak egy háromszöget. Ezek alapján a keresett kör a háromszög köré írt köre.
14. Szerkeszd meg egy adott kör ismeretlen középpontját! Megoldás: Vegyünk fel a körön két húrt és szerkesszük meg a húrok felezőmerőlegesét. A felező merőlegesek éppen a kör középpontjában metszik egymást.
12
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 15. Szerkessz háromszöget, ha 𝒄 = 𝟓 𝒄𝒎, 𝑹 = 𝟒 𝒄𝒎 és 𝜶 = 𝟔𝟎°! Megoldás: A szerkesztés lépései a következők: 1. lépés: Szerkesszük meg a 𝑐 oldalt, így megkapjuk a háromszög 𝐴 és 𝐵 csúcsát. 2. lépés: Szerkesszük meg az 𝐴 csúcsnál a 60° - os szöget. 3. lépés: Szerkesszünk 4 𝑐𝑚 sugarú köröket az 𝐴 és 𝐵 középpontokkal. 4. lépés: A két kör metszéspontja lesz a háromszög köré írt kör 𝑂 középpontja. 5. lépés: Szerkesszük meg a háromszög köré írt körét. 6. lépés: A köré írt kör és a 60° - os szög szárának metszéspontja lesz a háromszög 𝐶 csúcsa.
13
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 16. Szerkessz háromszöget, ha adott a beírt kör mindhárom érintési pontja! Megoldás: Az érintési pontokat kössük össze a beírt kör középpontjával, s állítsunk merőlegest a sugarakra. A merőlegesek metszéspontjai lesznek a háromszög csúcsai.
17. Szerkessz háromszöget, ha adott a 𝟑 középvonala! Megoldás: A középvonalak egy háromszöget határoznak meg. Húzzunk párhuzamosokat a középvonalakkal a szemben levő csúcsokon keresztül. A párhuzamosok metszéspontjai lesznek a háromszög csúcspontjai.
14
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 18. Szerkessz háromszöget, ha 𝒄 = 𝟕 𝒄𝒎, 𝑹 = 𝟓 𝒄𝒎 és 𝒔𝒄 = 𝟐 𝒄𝒎! Megoldás: A szerkesztés lépései a következők: 1. lépés: Szerkesszük meg a 𝑐 oldalt, így megkapjuk a háromszög 𝐴 és 𝐵 csúcsát. 2. lépés: Szerkesszünk kört a 𝑐 oldal felezőpontjából 2 𝑐𝑚 sugárral. 3. lépés: Szerkesszünk 5 𝑐𝑚 sugarú köröket az 𝐴 és 𝐵 középpontokkal. 4. lépés: A két kör metszéspontja lesz a háromszög köré írt kör 𝑂 középpontja. 5. lépés: Szerkesszük meg a háromszög köré írt körét. 6. lépés: A köré írt kör és a 2 𝑐𝑚 sugarú kör metszéspontja lesz a háromszög 𝐶 csúcsa.
15
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 19. Szerkessz derékszögű háromszöget, ha az átfogó 𝟖 𝒄𝒎, az átfogóhoz tartozó magasság pedig 𝟑 𝒄𝒎 hosszú! Megoldás: A szerkesztés lépései a következők: 1. lépés: Szerkesszük meg a 𝑐 átfogót, így megkapjuk a háromszög 𝐴 és 𝐵 csúcsát. 2. lépés: Szerkesszünk Thalesz - kört az átfogó fölé. 3. lépés: Szerkesszünk az átfogótól 3 𝑐𝑚 távolságra párhuzamos egyeneseket. 4. lépés: A párhuzamosok és a Thalesz – kör metszéspontja lesz a háromszög 𝐶 csúcsa.
16
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 20. Írd fel az 𝜶 = 𝟏𝟐° 𝟏𝟓′ szöget úgy, hogy ne legyen benne szögperc! Megoldás: 15 Mivel 1 fok 60 szögpercből áll, ezért a megoldás: 15′ = 60 = 0,25°, vagyis 𝛼 = 12,25°.
21. Váltsd át radiánba az 𝜶 = 𝟒𝟑, 𝟕° szöget! Megoldás: 𝛼 Fokból radiánba a következő képlettel térhetünk át: 180 ∙ 𝜋. Ezek alapján a megoldás: 𝛼 = 43,7° =
43,7 180
∙ 𝜋 ≈ 0,76 𝑟𝑎𝑑.
22. Váltsd át fokba az 𝜶 = 𝟏, 𝟐 radiánban megadott szöget! Megoldás: 𝛼 Radiánból fokba a következő képlettel térhetünk át: 𝜋 ∙ 180°. Ezek alapján a megoldás: 𝛼 = 1,2 𝑟𝑎𝑑 =
1,2 𝜋
∙ 180° ≈ 68,79°
23. Az ábra alapján sorolj fel szögpárokat!
Egyállású szögek: (1; 5), (2; 10), (3; 15), (4; 8), … Váltó szögek: (1; 7), (2; 12), (3; 13), (4; 6), … Csúcsszögek: (1; 3), (2; 4), (5; 7), (6; 8), … Társszögek: (1; 6), (2; 9), (3; 14), (4; 7), … Mellékszögek: (1; 2), (1; 4), (2; 3), (3; 4), … 17
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 24. Mennyi olyan egybevágósági transzformáció van, amely egy szabályos tízszöget önmagába visz át? Megoldás: Soroljuk fel a megfelelő transzformációkat. Tengelyes tükrözés: 10 darab. Középpontos tükrözés: 1 darab. Elforgatás: 36°, 72°, 108°, 144°, 180°, 216°, 252°, 288°, 314°, 360° → 10 darab. Eltolás: Nincs ilyen transzformáció. Identitás: 1 darab. Az identitás 360° - os, a középpontos tükrözés pedig 180° - os elforgatásnak felel meg. Ezek alapján összesen 20 különböző egybevágósági transzformációval lehet a szabályos tízszöget önmagába vinni.
25. Mennyi szimmetriatengelye és átlója van egy szabályos tizennyolcszögnek? Mennyi különböző hosszúságú átló húzható egy pontjából? Megoldás: A szimmetriatengelyek száma: 18 darab. Az összes átló száma:
18 ∙ (18−3) 2
= 135 darab.
Egy csúcsból összesen 15 átló húzható. A szimmetria miatt ezekből 7 − 7 azonos hosszúságú. Ezek alapján 7 + 1 = 8 különböző hosszúságú átló húzható egy pontból.
26. Számítsd ki egy szabályos huszonnégyszög belső, illetve külső szögének nagyságát! Megoldás: (24−2) ∙ 180° A sokszög belső szögének nagysága: = 165°. 24 A sokszög külső szögének nagysága:
360° 24
= 15°.
18
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 27. Számítsd ki az 𝟓 𝒄𝒎 sugarú körben, az 𝜶 = 𝟓𝟎° - os középponti szöghöz tartozó körív hosszát, illetve a körcikk területét! Megoldás: 𝛼 50 A körív hossza: 𝑖 = 2𝑟𝜋 ∙ 360 = 2 ∙ 5 ∙ 𝜋 ∙ 360 = 4,36 𝑐𝑚. 𝛼
50
A körcikk területe: 𝑇𝑘ö𝑟𝑐𝑖𝑘𝑘 = 𝑟 2 𝜋 ∙ 360 = 52 ∙ 𝜋 ∙ 360 = 10,9 𝑐𝑚2 .
28. Mekkora az 𝟓 𝒄𝒎 sugarú kör azon körcikkének ívhossza, amelynek területe 𝟏𝟔 𝒄𝒎𝟐 ? Megoldás: Először számítsuk ki a körcikk területéből a középponti szög nagyságát: 𝛼
16 = 52 ∙ 𝜋 ∙ 360
→
𝛼 = 73,37°
Ezek alapján a körív hossza: 𝑖 = 2 ∙ 5 ∙ 𝜋 ∙
73,37 360
≈ 6,4 𝑐𝑚.
19
