BAB I PENGINTEGRALAN KOMPLEKS
1.1 Integral Garis Sebelum membicarakan integral garis, terlebih dahulu akan dibahas kurva, kurva mulus, lintasan, dan orientasi suatu lintasan. Lintasan Kurva (lengkungan) C di bidang datar dapat dinyatakan dalam bentuk parameter, yaitu: dengan x= x(t) dan y = y(t), a t b, x dan y kontinu pada [a,b]. Kurva C disebut kurva mulus, jika x’ dan y’ kontinu pada selang tertutup [a,b]. DEFINISI 1.1.1: Fungsi f: [a,b] R disebut kontinu bagian demi bagian, jika terdapat partisi P = {x0, x1, x2, …, xn} dari selang [a,b] sehingga f kontinu pada selang terbuka (xi,xi-1), i=1,2,3,…,n
Berdasarkan definisi tersebut, kurva C disebut kurva mulus bagian demi bagian jika di dalam x = x(t) dan y = y(t), a t b berlaku x’ dan y’ kontinu bagian demi bagian pada [a,b]. Kurva mulus bagian demi bagian disebut lintasan. Pada kurva C dengan x= x(t) dan y = y(t), a t b, titik (x(a),y(a)) disebut titik pangkal kurva C dan (x(b),y(b)) disebut titik ujung kurva C.
Kurva C disebut tertutup sederhana, jika berlaku: (i) (x(t1),y(t1)) (x(t2),y(t2)) untuk setiap t1, t2 (a,b) (ii) (x(a).y(a)) = (x(b),y(b))
Kurva tertutup sederhana Kurva tertutup tak sederhana DEFINISI 5.1.2: Suatu lintasan tertutup sederhana C disebut berorientasi positif jika C ditelusuri dari titik awal ke titik akhir maka interiornya terletak di sebelah kiri C, sebaliknya berorientasi negatif.
C
C
Berorientasi positif Berorientasi negatif Integral Garis Misalkan y, a t b adalah kurva mulus dan M permukaan terbatas yaitu paling sedikit terdefinisi pada kurva C. Kontruksi integral garis . (1) Buatlah partisi untuk selang [a,b] dengan titik pembagian selang bagian ke-I dari partisi adalah [ti-1,ti] dan panjang partisinya dengan = maks ti, 1 i n (2) Kurva C terbagi atas n bagian yaitu P0P1, P1P2, …, Pi-1Pi, …, Pn-1Pn (3) Pilih Pi* = (ci,di) Pi-1Pi , i = 1,2,3,….,n
(4)Didefinisikan jumlah
n
M (c , d )x i
i 1
i
i
, xi = xi – xi-1 dimana xi absis Pi dan xi-1
absis Pi-1, i = 1,2,3,…,n n
(5) Tentukan
lim
0
M ( c , d ) x i 1
i
i
i
Jika limit ini ada, maka M terintegralkan pada C. Dalam kasus M terintegralkan pada C, integral garis dari M(x,y) pada C didefionisikan dengan
Secara geometri integral garis M ( x, y )dx
M ( x, y)dx lim C
0
n
M (c , d )x i 1
i
i
i
diperlihatkan pada gambar di bawah ini.
C
z
Y xi
P0 (x(a),y(a)
L=M(ci,di)
a = to Y P0(x(b),y(b))
b = to X
M ( x, y)dxartinya proyeksi daerah di bawah permukaan z = M(x,y) dan di atas kurva C pada bidang XOY yang menghasilkan C
daerah di atas sumbu X.
DEFINISI 5.1.3: Diberikan kurva mulus C : F (t ) x(t ) i y (t ) j , a t b. Jika z = M(x,y) permukaan terbatas pada C, maka (a)
M ( x, y)dx lim
n
0
C
M ( x(t i 1
* i
), x ' (ti )) ti *
M(x(t), y(t))x ' (t )dt C
(b) M ( x, y )dy lim
0
C
n
M ( x(t i 1
* i
), y ' (ti )) ti *
M(x(t),y(t))y'(t)dt
M ( x, y)dx
C
C
Apabila lintasan integral yang diberikan bukan dalam bentuk parameter, tetapi berbentuk y = f(x) dan x = g(y) dengan titik awal (a,b) dan titik akhir (c,d), maka dengan substitusi diperoleh: c
(1)
d
M ( x, y)dx M ( x, f ( x))dx M ( g ( y), y) g ( y)dy '
C
a
b
d
c
M ( x, y)dy M ( g ( y), y)dy M ( x, f ( x)) f ( y)dx '
(2)
C
Sifat-sifat dari
b
a
M ( x, y)dx C
1. C tetap, integral M dipandang sebagai variabel (a) Jika M kontinu dan C terbatas maka M ( x, y )dx ada C
[M ( x, y) N ( x, y)]dx M ( x, y)dx N(x,y)dx
b.
C
c.
C
kM ( x, y)dx k M ( x, y) C
C
,kR
C
2. M tetap, C dipandang sebagai variabel. Misalkan mulus C : F (t ) x(t ) i y (t ) j
, a t b, maka
a. (x(a),y(a)) titik pangkal dari C dan (x(b),y(b)) titik ujung dari C. Perubahan t dari a ke b menghasilkan orientasi dari C. Perubahan t dari b ke a, akan diperoleh kurva yang sama dengan orientasi yang berlawanan (x(b),y(b))
C -C (x(a),y(a)) C1 : F (t ) x1 (t ) i y1 (t ) j b. Jika,
,a1 t b1 dan
C2 : F (t ) x2 (t ) i y2 (t ) j
dengan (x1 (b)1 ,y1 (b1 ))=(x1(b1),y2(b1)), maka C = C1 + C2. n
c Secara sama didefinisikan C = i 1
C.
i
M ( x, y)dx M ( x, y)dx
C
C
M ( x, y)dx C M ( x, y)dx C M ( x, y)dx d. C.1 C2 1 2
,a2 t b2
3. Jika M kontinu M ( x, y) k
, untuk setiap (x,y) C, C terbatas dan panjang C
kurva C, maka M ( x, y )dx k . C C
Contoh:
Tentukan integral garis terhadap kedua peubah bagian fungsi (x,y) = 2x + y2 sepanjang kurva C = C1 + C2 + C3 dimana C1: Busur lingkaran x2 + y2 = 4 dengan orientasi negatif dari (-2,0) ke (2,0) C2: Ruas garis lurus dari (2,0) ke (-2,-2) C3: Ruas garis lurus dari (-2,-2) ke (-2,0) Penyelesaian:
Y
X -2
2
Dalam hal ini akan dihitung nilai dari
M ( x, y)dy C
sedangakan
M ( x, y)dx C
dipersilakan untuk anda coba sendiri.
M ( x, y)dy (2 x y C
2
)dy
C
(2 x y 2 )dy (2 x y 2 )dy (2 x y 2 )dy C1
C2
C3
dengan C1: x2 + y2 = 4, x: –2 2. Kurva C1 dapat dinyatakan dalam bentuk parameter, yaitu C1 : F (t ) 2 cos t i 2 sin t j , t 2 Sehingga diperoleh x = 2 cos t dan y = -2 sin t. Dengan demikian diperoleh,
(2 x y C1
2
2
)dy (4 cost 4 sin 2 t ).(2 cost )dt
2
2
8 cos tdt - 8 sin 2 td (sin t ) 2
2
2
4 (1 cos2t )dt - 8 sin 2 td (sin t ) 2 2 1 8 4(t sin t ) ] sin 3 t ] 2 3 4
1 x 1, x : 2 2, y : 0 2 2 Diperoleh:
C2 : y
2
2
2 1 2 2 2 3 M ( x , y ) dy ( 4 ( y 1 ) y ) dy ( y 2 ) d ( y 2 ) ( y 2 ) ] 2 C 0 0 3 3 0 2
C3: x = -2, y : -2 0 Diperoleh, o
0 2 1 1 C M ( x, y)dy 2(4 y )dy (4 y 3 y 3 ) ]2 5 3 3
Jadi,
(2 x y C
2
2 1 )dy 2 5 4 8 3 3
2 Arti dari (2 x y )dy = 4 8
adalah proyeksi daerah di bawah z = 2x + y2 dan di atas C pada bidang YOZ yang
C
menghasilkan daerah di bawah sumbu Y.
LATIHAN 5.1 1. Hitunglah
ydy ( x y)dy
jika
C
a. b. c. d.
C adalah busur parabola x = y2 dari (0,0) ke (4,2) C adalah ruas garis lurus dari (4,2) ke (0,0) C adalah ruas garis lurus dari (0,0) ke (4,0) dilanjutkan dari (0,4) ke (4,2) C adalah busur parabola 2y + x2 = 5x dari (0,0) ke (4,2)
2 Hitung nilai dari
xdy ydx
jika C adalah lingkaran x2 + y2 = 4 dengan orientasi positif.
C
Kerjakan pula soal ini, jika C lingkaran x2 + y2 = 2x dengan orientasi negatif x2 y2 ( x 2 y ) dx ( y 2 x ) dy 1 3. Hitung nilai dari jika C adalah ellips 16 9 C jika C berorintasi negatif
dengan orientasi positif. Kerjakan soal ini,
5.2 Pengintegralan Kompleks Misalkan C : z(t) = x(t) + iy(t), a t b adalah kurva mulus dan w = f(z) didefinisikan pada C, maka pengintegralan kompleks
f ( z )dz
dikontruksi sebagai berikut.
C
(1)
Buatlah partisi pada [a,b] dengan titik pembagian a = tO < t1 < t3 < …< ti-1 < ti < … < tn = b Selang bagian ke-I pada partisi adalah [ti-1,ti] dan panjang partisinya adalah dengan diperlihatkan pada gambar berikut zo
Zi-1
C
z1
z1
ti-1
a=to
Zn-1
ti
tn-1
zn
tn = b
t1
(2) Kurva terbagi atas n bagian yaitu zo z1 , z1z2, ..., zi-1zi, ..., zn-1zn dengan zo = (x(a),y(a)) dan zn = (x(b),y(b)) (3) Pilih ci zi-1 zi , 1 i n
maks . Situasi tersebut tt n
n
(4) Definisikan jumlah f (c )z dimana lim f (c )z (5) Tentukan . Jika limit ini ada, maka f terintegralkan pada C. (6) Dalam kasus f terintegralkan pada C, integral kompleks dari f pada C dinotasikan f ( z )dz dengan f ( z )dz dimana f ( z )dz = lim f (c )z i 1
n
0
i
i 1
i
i
i
n
C
C
C
0
i 1
i
i
Contoh: Tentukanlah integral berikut a. dz b. zdz C
C
Penyelesaian: a.
dz lim C
0
lim
0
n
f (c )z, c z i 1
i
i
n
f (c ).(z i 1
i
i
z
i 1 i
zi 1 )
Misalkan f(z) = 1, maka f(ci) = 1 untuk setiap ci zi-1 zi . Jadi, diperoleh
dz lim C
0
n
(z i 1
i
zi 1 )
lim [(z1 z0 ) ( z2 z1 ) ....(zn 1 zn 2 ) ( zn zn 1 )] 0
lim ( zn zn 1 ) 0
zn
z n z0 z ]
z0
b.
zdz lim
0
C
lim
0
n
f (c )z, c z i
i 1 n
f (c ).(z i
i 1
z
i 1 i
i
zi 1 )
i
Misalkan f(z) = z, maka f(ci) = ci . Diambil ci = zi-1. Jadi, diperoleh
zdz lim
0
C
lim
0
n
z
.(zi zi 1 )
i 1
i 1
n
(z i 1
z z i 1 ) .......... .......... ........(1 ) 2
i 1 i
Diambil ci = zi , maka
zdz lim
n
0
C
lim
0
z .( z i 1 n
i
(z i 1
i
2 i
zi 1 )
z i z i 1 ) .......... .......... ........(2 )
Persamaan (1) + (2)diperoleh
2 f ( z )dz lim C
0
n
(z i 1
i
2
zi 1 ) 2
lim [(z1 z0 ) ( z2 z1 ) ... ( zn 1 zn 2 ) ( zn zn 1 )] 2
2
0
lim ( zn z0 ) 2
0
z n z0 2
2
2
2
2
2
2
2
2
Jadi, diperoleh bahwa
f ( z )dz
C
1 2 1 zn 2 ( z n z0 ) z 2 ] 2 2 z0
TEOREMA 5.2.1 (Eksistensi Integral Kompleks): Jika f(z) = u(x,y) +iv(x,y) kontinu pada setiap titik di suatu kurva mulus C, maka integral f sepanjang C ada dan
f ( z)dz udx vdy i( udy vdx) C
C
C
C
C
Pada teorema di atas, terdapat hal yang menarik untuk disimak bahwa jika C merupakan suatu unterval pada sumbu real, maka f pada C akan menjadi fungsi dari x saja. Dengan demikian adanya integral untuk fungsi x yang kontinu merupakan kasus khusus pada teorema di atas. Dalam pengertian tersebut suatu integral kompleks dapat dipandang sebagai perluasan dari integral real. Penggunaan rumus pada Teorema 5.2.1 akan diilustrasikan melalui contoh-contoh, setelah disampaikan beberapa sifat dasar integral kompleks yang disajikan di bawah ini.
SIFAT-SIFAT
f ( z )dz :
C 1. C tetap, f dipandang sebagai variabel
(a) Jika f kontinu dan C terbatas, maka f ( z )dz ada C
(b) Jika f dan g kontinu pada C, maka
( f g )(z)dz f ( z)dz g ( z)dz
C
C
(c) Jika C dan f kontinu pada C, maka f ( z)dz f ( z)dz C C 2. Fungsi f tetap, C dipandang sebagai variabel (a) f ( z )dz f ( z )dz C
(b)
C
f ( z)dz f ( z)dz f ( z)dz
C1 C 2
C1
C2
C
3.
Jika fungsi f kontinu pada C, C terbatas, untuk suatu M > 0 berlaku untuk setiap z pada C dan C panjang C, maka f ( z )dz M . C C
Contoh: Hitunglah zdz dengan C1 : y = 4xC– x2; x : 3 0, y : 3 4 0 C2 : y = x; x : 0 3, y : 0 1= C3 : x = 3; y : 1 3 C = C1 + C2 + C3 Penyelesaian:
Y
C1 4
4
C2
3 (2)
C
1
X
2
3
zdz zdz zdz zd C
C1
(1)
C2
C3
zdz ( x iy)(dx idy C1
C1
xdx ydy i ( xdy ydx) C1
C1
C1
C1
0
4
0
0
0
3
3
4
3
3
xdx ( ydy ydy) i ( x(4 2 x)dx (4 x x 2 )dx) 1 1 4 4 i (0 9) 2 2 9 9i
f ( z) M
zdz xdx ydy i( xdy ydx)
(2)
C2
C2 3
C 1 2
C 3 2
C2 3
1 1 xdx ydy i ( xdx xdx) 0 0 0 3 0 3 1 1 4 0 2 2
(3)
zdz xdx ydy i( xdy ydx) C3
C3
C3
C3
C3
3
3
3
3
3
1
1
1
xdx ydy i ( 3dy y.0) 0 4 6i 4 6i
Jadi,
zdz zdz zdz zdz C
C1
C2
= (-9 + 9i) + 5 + (4 + 6i) = 15i
C3
Contoh: Misalkan C : z 1 = 1 dengan orientasi negatif. Hitunglah
C
Penyelesaian Y
t = /2
t=
t = 0 = 2 X
t = 3/2 a.
zdz ( x iy)(dx idy) C
C
zdz
xdx ydy i( xdy ydx) C
C
C
C
C : z 1 1 2 2 C : ( x 1) y 1
C : F (t ) (cos t 1) i sin t j , 0 t 2
x cost 1, 0 t 2 y sin t Diperoleh, 2
xdx (cost 1 )( sin t dt ) C
0 2
(cos t 1 )d (cos t 1 ) 0 2 1 (cos t 1 )2 ] 0 2
0 2
ydy ( sin t )d (( sin t ) C
0 2 1 sin 2 t ] 0 2
0 2
xdy (cost 1 )( cos t )dt C
0 2
( 0
2
1 1 cos t )dt cos tdt 2 2 0
2
ydx ( sin t )( sin t )dt C
0 2
( 0
1 1 cos t )dt 2 2
Jadi,
zdz 0 0 i( ( )) 2i C
LATIHAN 5.2 1. Hitunglah zdz , jika C a. C adalah busur parabola y = 1 – x2 dari z = -2 – 3i ke z = i b. C adalah ruas garis lurus dari z = 0 ke z = 2 + i c. C adalah ruas garis lurus dari z = 0 ke z = -2i dilanjutkan dari z = 2i ke z=2+I 2. Hitunglah zdz , jika C a. C adalah lingkaran z 1 1 dengan orientasi positif b. C adalah persegi panjang dengan titik sudut z = 0, z = 2i, z = 4 + 2i, dan z=4, dengan orientasi C negatif 3. Hitunglah
z dz , jika C
a. C adalah lingkaran x2 + y2 = 29 dengan orientasi pisitif b. C adalah bujursangkar dengan titik sudut (0,0), (1,0), (1,1), dan (0,1) dengan orientasi C negatif
Pengintegralan Cauchy Pada pasal ini akan dibicarakan pengintegralan dari fungsi yang analitik dengan
daerah integrasi suatu lintasan tertutup sederhana. Pengintegralan dari fungsi analitik tersebut disajikan dalam teorema Cauchy Goursat. Sebelum membicarakan teorema Cauchy Goursat, didahului dengan teorema Cauchy yang merupakana dasar lahirnya teorema Cauchy Goursat
tersebut.
TEOREMA 5.3.1 (Teorema Cauchy): Diberikan daerah terhubung sederhana D dan lintasan tertutup sederhana C di D. Jika f analitik dan f ’ kontinu pada D, maka
f ( z)dz 0 C
Bukti: Misalkan f(z) = u(x,y) + iv(x,y) dan f analitik pada D. Jadi f ’ ada untuk setiap z D dan f ’(z) = ux(x,y) + ivx(x,y) = vy(x,y) –iuy(x,y). Karena f ’ kontinu pada D, maka u, v, ux, uy,v, dan vy semuanya kontinu pada D. Dengan demikian u dan v memenuhi syarat berlakunya teorema
Green, yaitu
(udx vdy) i (vdx udy) (v C
C
D
x
u y )dxdy i (ux v y )dxdy D
Karena u dan v memenuhi persamaan Cauchy Reimann pada D, maka integral lipat dua di ruas kanan menjadi nol. Sedangkan di ruas kiri adalah rumus untuk
f ( z ).dz Jadi f ( z )dz C
= 0.
C
Pada Teorema Cauchy di atas mencakup hipotesis tambahan bahwa f ’ kontinu pada D tetapi jika f analitik pada daerah D, maka f ’ juga analitik dan kontinu pada D. Oleh karena itu, Goursat berpendapat bahwa kekontinuan f ’ merupakan suatu hipotesis yang berlebihan. Hal ini sudah diimplikasikan oleh keanalitikan f. TEOREMA 5.3.2 (Teorema Cauchy-Goursat): Diberikan daerah terhubung sederhana D dan lintasan tertutup sederhana C di D. Jika f analitik pada D, maka
f ( z)dz 0 C
Bukti teorema tersebut cukup panjang, oleh karena itu dalam pembicaraan di sini tidak akan dibuktikan. Konvers dari Teorema Cauchy Goursat adalah salah, yaitu “Jika
f ( z)dz 0 untuk setiap lintasan tertutup sederhana C di dalam daerah C
sederhana D, maka f analitik di D”.
terhubung
Sebagai contoh yang menggambarkan kenyataan ini diperlihatkan oleh fungsi dz 0 C z
f ( z)
1 . Integral z
jika C lintasan tertutup sederhana yang tak melalui 0, tetapi f tak analitik di 0.
TEOREMA 5.3.3 (Perluasan Teorema Cauchy-Goursat): Diberikan daerah terhubung sederhana D, z1 dan z2 titik tetap dalam D, dan C,
K dua lintasan yang menghubungkan z1 dan z2 dimana C, K D. Jika f analitik pada D, maka
Bukti:
Misalkan L = C + (-K), maka
f ( z)dz f ( z)dz f ( z)dz 0
Y D
L z2
C z2
z1 C
z1 K
K
f ( z )dz f ( z)dz
f ( z )dz f ( z )dz
K
C
f ( z )dz f ( z )dz K
0
X
C
Contoh: Hitunglah
( 3z
2
2 z )dz
C
dimana C1 : busur lingkaran x2 + y 2=1 dari titik (-1,0) ke (0,1) C2 : ruas garis dari titik (0,1) ke (1,0) C = C1 + C2
Penyelesaian: Y 1 C C2 -1
0
X
1
Karena f(z) = 3z2 – 2z analitik pada C yang memuat z1 = -1 dan z2 = 1. Menurut teorema di atas harus dipilih lintasan sebarang dari z1 dan z2. Lintasan yang paling mudah dalam kasus ini garis lurus dari
ke z2 adalah lintasan K: y = 0, -1 x 1. Dengan demikian diperoleh, 1
2 2 ( 3z 2 z )dz ( 3x 2 x )dx 2 C
1
TEOREMA 5.3.4 (Teorema Dasar Pertama Integrasi Kompleks): Jika D daerah terhubung sederhana, z1 suatu titik tetap di D dan f analitik pada D, maka untuk setiap z D berlaku z
A( z )
z1
d z f ( w )dw A ( z ) ( f ( w )dw ) f ( z ) dz z1 '
Bukti: A' ( z ) lim
z 0
lim
z z
z1
A( z z ) A( z ) z z
f ( w )dw f ( w )dw z1
z
z 0
lim
z z
z
z
z 0
lim
f ( w )dw
z z
z
( f ( w ) f ( z ) f ( z ))dw z
z 0
lim
z z
z
( f ( w ) f ( z ))dw
z
z 0
f ( z )dw
z
z 0
lim
z z
z z
z
( f ( w ) f ( z ))dw z
lim
z 0
z z
z
f ( z )dw z
Karena
z z
z z
f ( z )dw f ( z ) dw z
z
z z
f ( z )[ w ] z
f ( z )[( z z ) z ] f ( z )z
maka diperoleh, z z
f ( z )dw
lim
z
z
z 0
lim
z 0
f ( z ).z f(z) z
Fungsi f(w) analitik di z C, mengakibatkan f kontinu di z C. Hal ini berarti untuk setiap bilangan > 0 terdapat bilangan > 0 sehingga jika w–z < berlaku
f(w) – f(z) < Oleh karena itu, diperoleh z z
[ f (w) f ( z )]dw . z z
z z
[ f ( w ) f ( z )]dw z
z
.
z z
.
Akibatnya, z z
[ f (w) f ( z)]dw
lim
z
z 0
z
0
Jadi terbukti bahwa A’(z) = f(z). Dari teorema di atas, dapat diperluas menjadi suatu teorema yang lebih sederhana, teorema tersebut dikenal dengan nama teorema dasar kedua integral kompleks. Sebelumnya, akan didahulu dengan pengertian anti turunan dari suatu fungsi yang disajikan di dalam Definisi 5.3.5 dan Teorema 5.3.6 berikut.
DEFINISI 5.3.5: Diberikan D C terbuka dan fungsi f : D C. Fungsi F : D C disebut anti turunan f pada D, jika berlaku F’(z) = f(z) untuk setiap z D.
TEOREMA 5.3.6: Diberikan fungsi f : D C analitik pada D. Jika fungsi G : D C anti turunan dari f, maka terdapat konstanta k C sehingga H(z) = G(z) + k, untuk setiap z D.
Bukti: Karena G dan H anti turunan fungsi f pada D, diperoleh G’(z)=f(z)=H’(z) untuk setiap z D atau (H’– G’)(z)=f(z) - f(z)=0 untuk setiap z D. Jika (H – G)’(z) = 0 untuk setiap z D, maka terdapat k C sehingga berlaku (H-G)(z) = k, untuk setiap z D.
Jadi terbukti bahwa H(z) = G(z) + k, untuk setiap z D.
TEOREMA 5.3.7(Teorema Dasar Kedua Integrasi Kompleks):
Diberikan D daerah terhubung sederhana, z1 dan z2 titik tetap di D. Jika f analitik pada D z2
dan F anti turunan dari f pada D, maka
z2
f ( z )dz f ( z1 ) f ( z 2 ) f ( z ) ] z1
z1
Bukti: F( z )
z2
z
z1
z1
f ( w )dw adalah suatu anti turunan dari f dan G(z)=k+ f ( w )dw
anti turunan sebarang dari f, maka z2
G( z 2 ) k
f ( w )dw
z1 z1
G( z1 ) k
f ( w )dw k 0 k
z1
Akibatnya z2
G( z 2 ) G( z1 )
f ( w )dw
z1
Jadi, diperoleh z2
f ( w )dw G( z
2
) G( z1 )
z1
z2
f ( z )dz k F ( z
2
) k F ( z1 )
z1
F ( z2 ) F ( z1 )
Integral dari suatu fungsi yang menyeluruh sepanjang sebarang lintasan yang menghubungkan
dua titik pada bidang datar dapat dihitung secara langsung, asalkan anti turunan fungsi tersebut dapat ditemukan. Demikian pula integral dari fungsi analitik, asalkan titik awal dan
titik akhir lintasan integrasinya seluruhnya terletak di dalam daerah terhubung sedehana di mana fungsi itu analitik. Contoh: 1 i
1.
i i
2.
i
i
z 1 z 1 e dz e ] 2e 0 i
3.
1 i
2 2 zdz z ] 1 2i
0
i
sin z dz cos z ] 1 cos i
LATIHAN 5.3
1.
Hitunglah integral berikut. 2i
a.
( z
2
z 1 )dz
1
2i
b.
cosh z dz
i i
c.
ze
z2
dz
o
d.
( e
z
sin z )dz
z
sin z )dz
0
i
e.
( e 0
f.
z cos
2
z dz
0
2.
Misalkan sebarang lintasan tertutup yang tidak memuat nol. Carilah
3.
Misalkan f analitik pada region yang memuat . Tunjukkan bahwa adalah imajiner murni (kekontinuan f’(z) yang menjamin).
sin z dz z2
f ( z ) f ' ( z )dz
5.4 Annulus Pada pasal ini akan dibicarakan pengintegralan dari fungsi yang analitik pada suatu annulus tertutup dan bagaimana mengkaji penggunaan Teorema Cauchy dalam masalah ini. Sebelum membicarakan masalah tersebut lebih lanjut, akan disajikan terlebih dahulu definisi dari annulus. 5.4 Annulus Pada pasal ini akan dibicarakan pengintegralan dari fungsi yang analitik pada suatu annulus tertutup dan bagaimana mengkaji penggunaan Teorema Cauchy dalam masalah ini. Sebelum membicarakan masalah tersebut lebih lanjut, akan disajikan terlebih dahulu definisi dari annulus. DEFINISI 5.4.1: (a) Diberikan C lintasan sederhana dan D daerah yang dibatasi oleh C. Interior C didefinisikan dengan IntC = D 0 dan eksterior C dengan EksC=(Dc)0 (b) Diberikan C dan K dua lintasan tertutup sederhana dengan Int K Int C. Annulus yang ditentukan oleh C dan K didefinisikan dengan Ann(C,K) = Int C Eks K = Himpunan semua titik yang terletak di dalam C dan di luar K
Ann(C,K)
C K
(c) Diberikan C,K1 ,K2 , …,Kn adalah (n+1) lintasan tertutup sederhana dengan Int Ki Int C, (i = 1, 2, 3, …, n) dan Int Ki Int Kj =, (i j).
Annulus yang ditentukan oleh C, K1, K2, …, dan Kn didefinisikan dengan n
Ann(C, K1, K2, …, Kn) = Int C ( eks Ki) = Himpunan semua titik yang terletak di dalam C dan di luar K1, K2, …, Kn i 1
K1
C
K3
K2 Kn
TEOREMA 5.4.2(Teorema Annulus): Jika C dan K dua lintasan tertutup sederhana dan f analitik pada C K Ann(C,K), maka
f ( z )dz f ( z )dz C
asalkan C dan K dijelajahi dengan orientasi yang sama.
K
C K
Catatan: Teorema Annulus digunakan jika f tak analitik di suatu titik pada interior K.
Bukti:
K1 C1 r2
K2 r1
C2
Lintasan C = C1 + C2 , dan lintasan K = K1 + K2. Perhatikan dua lintasan tertutup sederhana
C1 + r1- K1 – r2 dan C2 + r2 – K2 – r1 Menurut Teorema Cauchy diperoleh
f ( z )dz
C1 r1 K 1 r2
f ( z )dz 0
C 2 r2 K 2 r1
Karena r1 dan r2 dijelajahi dalam kedua arah, maka dari integrasi di atas tidak memeberikan arti apa-apa, sehungga
f ( z)dz f ( z)dz 0
C1 K1
C2 K 2
f ( z )dz f ( z )dz 0
C1 C 2
K1 K 2
f ( z )dz f ( z )dz C
K
TEOREMA 5.4.3 ( Teorema Perluasan Teorema Annulus): n
Diberikan C, K1, K2, …, Kn adalah (n + 1) lintasan tertutup sederhana. Jika f analitik pada C ( Ki ) Ann( C , K1 , K 2 ,...,K n ) i 1
n
maka
f ( z)dz f ( z)dz i 1 K i
C
Contoh:
dz Hitunglah C z
, lintasan C tak melalui 0.
Penyelesaian: Kasus (1): 0 Int C
Y C . X 0 Misalkan D = C Int C dan f ( z )
Kasus (2): 0 Int C.
1 z
, maka f analitik pada D dan
dz 0 C z
Kasus (2): 0 Int C.
Y C X
Misalkan K = { z : z 1 }. Karena f analitik pada C K Ann(C,K) dengan C, K lintasan tertutup sederhana, maka menurut Teorema Annulus diperoleh dz dz C z K z
. Misalkan
z e it
it dengan 0 t 2, maka dz ie dt
Dari sini, diperoleh
dz K z
2
2
2 ieit 0 eit 0 idt it ]0 2i
Dengan demikian
dz 0,0 IntC z 2i,0 IntC C
dengan C tak melalui 0.
TEOREMA 5.4.4: Diberikan C, K lintasan tertutup sederhana di daerah terhubung sederhana D. Jika f analitik pada C K
Ann(C,K), maka
dz 0, zo IntC C z zo 2ii , zo IntC
dengan C tak melalui zo Bukti: Misalkan zo Int C dan C lingkaran yang pusatnya di zo dengan jari-jari r, diperoleh C : z zo r , sehingga z z0 re it
, 0 t 2, r > 0
z z o re it
dz ireit dt
Jadi terbukti bahwa 2 2 dz ireit it dt i dt 2i C z zo 0 re 0
TEOREMA 5.4.5(Teorema Rumus Integral Cauchy): Diberikan C lintasan tertutup sederhana yang berorientasi positif dan zo Int C. Jika f analitik pada C Int C, maka f ( zo )
1 f(z) dz 2i C z zo
Bukti: f ( z)
zz
C
C
o
[ f ( z ) f ( z o )] f ( z o ) dz z zo C
dz
f ( z ) f ( zo ) dz dz f ( zo ) z zo z zo
Karena f analitik pada C Int C, maka f ’(z) ada untuk setiap z C Int C. Karena zo Int C, maka f ’(zo) ada, sehingga f kontinu di zo. Hal ini berarti untuk setiap > 0 terdapat > 0 sehingga jika z zo berlaku f ( z ) f ( zo )
Misalkan
C
f ( z) f ( zo ) f ( z) f ( zo ) dz dengan L = z z o dz z z o L
Diperoleh 0
L
Jadi,
C
Misalkan
f ( z) f ( zo ) dz L 2 , L 2 2 z zo
f ( z ) f ( zo ) f ( z ) f ( zo ) dz dz 0 z zo z z o L dz
zz
C
{z : z z o } 2
o
K
……………. (1)
dz , K { z : z zo 1 } , maka z zo
Dari (1) dan (2) diperoleh f(z)
zz
C
o
dz 0 f ( zo ).2i 2if ( zo )
dz
zz
C
2i ……… (2) o
TEOREMA 5.4.6(Teorema Perumuman Rumus Integral Cauchy): Diberikan C lintasan tertutup sederhana yang berorientasi positif, zo Int C. Jika f analitik pada C Int C, maka f ( n ) ( zo )
Contoh: Tentukan
z
C
3
dz 4z
n! f(z) dz 2i C ( z zo )n 1
dimana a. C : z 1 , orientasi C positif
b. C : z 4, orientasi C positif
Penyelesaian: a.
z 3 4 z z( z 2 4 ) z( z 2i )( z 2i )
f(z)
1 z 4z 3
tak analitik di z = 0, z = -2i, dan z = 2i
Y 2
1
C X
-1 2
z
C
3
dz 4z
dz
z(z 2i)(z - 2i) C
1 z 4 dz z C 2
1
Diambil g( z ) z 2 4 , maka g analitik pada C Int C. Jadi, diperoleh
z
C
3
dz g( z ) dz 4z C z 2i .g( 0 ) 1 i 2
b. C : z 4 , orientasi C positif Y 4
X
Misalkan lintasan K1, K2 , dan K3 adalah K1 : K2 : K3 :
z
1 2
1 2 1 z 2i 2 z 2i
Dengan K1 K2 = , K1 K3 = , dan K2 K3 = .
Jadi, diperoleh
z( z
C
dz dz dz dz 2 2 2 4 ) K 1 z( z 4 ) K 2 z ( z 4 ) K 3 z ( z 2 4 ) 1 1 1 2 z(z 2i) z(z - 2i) dz z 4 dz dz z 2i z z 2i K1 K2 K3 1 1 1 2i 2 2i 2i z 4 z 0 z( z 2i ) z 2i z( z 2i ) z 2i 1 1 1 2i 2i 2i 8 4 8 0
LATIHAN 5.4 1. :
Hitunglah integral berikut a.
z
C
2
dz ( z 1 )2
, C : z 4
dengan orientasi positif
e2 z z 2 z 1 3 dengan orientasi positif b. ( z 2 )3 dz , C : C
c .
z
C
Sinz dz 2
2
z 2 dz d. ( z 2 4 )2 C
, C : z 2i 2 dan C : z 4 , C : z 4
dengan orientasi positif
dengan orientasi positif
