Aljabar Linear Elementer

Aljabar Linear Elementer MA1223 3 SKS Silabus : Bab Bab Bab Bab Bab Bab Bab Bab

I Matriks dan Operasinya II Determinan Matriks III Sistem Persamaan Linear IV Vektor di Bidang dan di Ruang V Ruang Vektor VI Ruang Hasil Kali Dalam VII Transformasi Linear VIII Ruang Eigen

11/03/2014 9:58

MA-1223 Aljabar Linear

1

VEKTOR DI BIDANG DAN DI RUANG Pokok Bahasan : 1. Notasi dan Operasi Vektor

2. Perkalian titik dan Proyeksi Ortogonal 3. Perkalian silang dan Aplikasinya Beberapa Aplikasi : • Proses Grafika Komputer

• Kuantisasi pada proses kompresi • Least Square pada Optimasi • Dan lain-lain 11/03/2014 9:58


2

Notasi dan Operasi Vektor  besaran yang mempunyai arah Notasi vektor

 c1    c   c2   c1iˆ  c2 ˆj  c3kˆ  c1 , c2 , c3  c   3 Notasi panjang vektor adalah

 c1    c   c2  c   3

c  c1  c2  c3 2

2

2

Vektor satuan  Vektor dengan panjang atau norm sama dengan satu 11/03/2014 9:58


3

Operasi Vektor meliputi : 1. Penjumlahan antar vektor (pada ruang yang sama) 2. Perkalian vektor (a) dengan skalar (b) dengan vektor lain

• Hasil kali titik (Dot Product) • Hasil kali silang (Cross Product)

11/03/2014 9:58


4

Penjumlahan Vektor Misalkan u dan v adalah vektor – vektor yang berada di ruang yang sama, maka vektor maka u  v didefinisikan

v



u v

u

u

11/03/2014 9:58


5

Perkalian vektor dengan skalar Perkalian vektor

u dengan skalar k,

k u 

didefinisikan sebagai vektor yang panjangnya k kali panjang vektor u dengan arah Jika k > 0  searah dengan u Jika k < 0  berlawanan arah dengan u

2u u

 2u 11/03/2014 9:58


6

Scaling P’

P

11/03/2014 9:58


7

Secara analitis, kedua operasi pada vektor diatas dapat dijelaskan sebagai berikut : Misalkan a  a11 a2 , a3  dan

b  b1 , b2 , b3 

adalah vektor-vektor di ruang yang sama maka

1. a  b  a1  b1 , a2  b2 , a3  b3  2. a  b  a1  b1 , a2  b2 , a3  b3  3. k a  ka1 , ka2 , ka3 

11/03/2014 9:58


8

Perkalian antara dua vektor • Hasil kali titik (dot product) • Hasil kali silang (cross product) Hasil kali titik (dot product)  Hasil kali titik merupakan operasi antara dua buah vektor pada ruang yang sama yang menghasilkan skalar

Hasil kali silang (Cross product)  Hasil kali silang merupakan operasi antara dua buah vektor pada ruang R3 yang menghasilkan vektor 11/03/2014 9:58


9

Dot Product Misalkan a, b adalah vektor pada ruang yang sama maka hasil kali titik antara dua vektor : a  b  a b cos 

dimana a

: panjang a

b

: panjang b



: sudut keduanya

11/03/2014 9:58


10

Ilustrasi dot product vektor A dan B A B  A

11/03/2014 9:58

B cos 


11

Contoh 2 : Tentukan hasil kali titik dari dua vektor a  2iˆ dan b  2iˆ  2 ˆj Jawab :

Karena tan  = 1 , artinya = 450 a  b  a b cos 

1 2 8 2 =4 11/03/2014 9:58


12

Ingat aturan cosinus c

a



a2 = b2 + c2 – 2 bc cos 

b

Perhatikan a a b

a



b

b

b

a b

2

 a

11/03/2014 9:58

2

 b

2

2 a

b


cos  13

Selanjutnya dapat ditulis b cos  

a

1 2

 a 

2

 b

2

 b a

2

 

Ingat bahwa : 1. a  b  a b cos  2. a

3.

4.

a  b  a1b1  a2b2  ...  anbn

2

 a1  a2  ...an

2

 b1  b2  ...  bn

b

ba

2

2

2

2

2

2

2

 b1  a1   b2  a2   ...  bn  an  2

2

2

 b1  b2  ...  bn  a1  a 2  ...  a n 2

2

2

2

2

2

 2b1 a1  2bn a n  ...  2bn a n 11/03/2014 9:58


14

Perhatikan setiap sukunya, diperoleh hubungan :

a  b  a1b1  a2b2  ...  anbn Tentukan kembali hasil kali titik dari dua vektor pada contoh sebelumnya a  b  a1b1  a2 b2 = 2 (2) + 0 (2) =4 Beberapa sifat hasilkali titik :

1. a  b  b  a



  

2. a  b  c   a  b  a  c





3. k a  b  k a  b  a  kb , dimana k  R 11/03/2014 9:58


15

Proyeksi Ortogonal a

w

terlihat bahwa b

c k b k

c  proyb a

Karena

a  w c

a b b

2

a  b  w =0c   b  w b  c b

 kb  b k b 11/03/2014 9:58


2

16

Jadi, rumus proyeksi diperoleh : Pr oyb a 

a b b

2

b

Contoh 4 : Tentukan proyeksi ortogonal   2   vektor u    4   3   

 1    terhadap vektor v   3    4  

11/03/2014 9:58


17

Jawab : Pr oyv w 

w v v

2

v

  2  1        4   3   3    4   1        3  2 2 2 1  3  ( 4)   4     1    2  ( 12)  ( 12)    3  26   4    1    26    3  26     4   1      3  4    11/03/2014 9:58


18

Cross Product (hasilkali silang) Hasil kali silang merupakan hasil kali antara dua vektor di Ruang (R3) yang menghasilkan vektor yang tegak lurus terhadap kedua vektor yang dikalikan tersebut.

iˆ C  A x B  A1 B1 A2  B2

11/03/2014 9:58

ˆj A2 B2

kˆ A3 B3

A3 A ˆi  1 B3 B1

A3 A ˆj  1 B3 B1


A2 ˆ k B2

19

Ilustrasi Cross Product (hasilkali silang)

C  A xB

11/03/2014 9:58


20

Contoh : Tentukan w  u  v , dimana u  1, 2,  2 v  (3, 0, 1) Jawab : ˆj

kˆ

w  u1 u2

u3

v1

v3

iˆ

v2

iˆ ˆj kˆ  1 2 2 3 0 1

 2.1  0(2) iˆ  3(2)  1.1 ˆj  1.0  3.2 kˆ

 2 iˆ  7 ˆj  6 kˆ 11/03/2014 9:58


21

Beberapa sifat Cross Product : a. u   u x v   0

b. v   u x v   0 c. u  v

2

 u

11/03/2014 9:58

2

v

2

 u  v 

2


22

Dari sifat ke-3 diperoleh

u v

2

 u

2

v

 u  v 

2

2

 u  v   u  v  cos   2

2

2



 u  v  u  v  cos 2  2

2

 u v 2

2

2

2



1 cos   2

 u  v  sin 2  2

2

Jadi, u x v  u  v  sin  11/03/2014 9:58


23

Perhatikan ilustrasi berikut :

v v sin  

u

u

Luas Jajaran Genjang  u  v  sin   u x v

Luas segitiga yang dibentuk oleh kedua vektor tersebut adalah 1 Luas segitiga  u  v 2 11/03/2014 9:58


24

Contoh : Diketahui titik-titik diruang ( di R³ ) adalah : A = (1, –1, –2) B = (4, 1, 0) C = (2, 3, 3) Dengan menggunakan hasilkali silang, tentukan luas segitiga ABC ! Jawab : Tulis AB = B – A= (4, 1, 0) – (1, –1, –2) = (3, 2, 2) AC = C – A= (2, 3, 3) – (1, –1, –2) = (1, 4, 5) 11/03/2014 9:58


25

AB

iˆ  AC  3 1

ˆ k 2 5

ˆ j 2 4

 2iˆ  13 ˆj  10kˆ

Luas segitiga ABC yang berimpit di A adalah 1 Luas  4  169  100 2 1  273 2

11/03/2014 9:58


26

Orientasi pada titik B BA  a  b = (1,-1,-2) – (4,1,0) = (-3,-2,-2) BC 

c  b = (2,3,3) – (4,1,0) = (-2,2,3)

BA  BC 

iˆ

ˆj

kˆ

3 2

2 2

2 3

 2iˆ  13kˆ  10 ˆj

Sehingga luas segitiga ABC yang berimpit di B adalah : 1  BA x BC  1 4  169  100 2 2 

11/03/2014 9:58 =

1 273 2 MA-1223 Aljabar Linear

27

Latihan Bab 4 1. Tentukan cos sudut yang terbentuk oleh pasangan vektor berikut : 6 a. u   1  dan v    b.

 2

  8

 1    u    3  7   

 8    v    2   2  

dan

2. Tentukan proyeksi ortogonal vektor terhadap vektor dan tentukan panjang vektor proyeksi tersebut: a. a   2  dan b    3  b.

1

 2   

 2   a    1  3  

1   b   2  2  

11/03/2014 9:58

dan


28

3. Tentukan dua buah vektor satuan yang tegak lurus terhadap  3   u     2

4. Tentukan vektor yang tegak lurus terhadap vektor  7   u  3   1   

 2   dan v   0   4  

5. Tentukan luas segitiga yang mempunyai titik sudut P (2, 0, –3), Q (1, 4, 5), dan R (7, 2, 9)

11/03/2014 9:58


29

Aljabar Linear Elementer

Recommend Documents