6 Ongelijkheden. Verkennen. Uitleg. Theorie en voorbeelden. Los het probleem rond de huur van een kopieermachine op

WISKUNDE B TWEEDE FASE VWO  FUNCTIES EN GRAFIEKEN

6 – Ongelijkheden Verkennen www.math4all.nl  MAThADORE-basic HAVO/VWO  4/5/6 VWO wi-b  Functies en grafieken  Ongelijkheden  Inleiding  Verkennen

Los het probleem rond de huur van een kopieermachine op.

Uitleg www.math4all.nl  MAThADORE-basic HAVO/VWO  4/5/6 VWO wi-b  Functies en grafieken  Ongelijkheden  Theorie

Opgave 1 In de Uitleg zie je hoe de ongelijkheid 0,052v3 > 20 wordt opgelost. Daarbij wordt de grafische rekenmachine gebruikt. a) Voer deze oplossing zelf uit. Bij een algebraïsche aanpak bereken je eerst de oplossingen van de vergelijking 0,052v3 = 20 met behulp van terugrekenen. b) Laat zien dat je dan dezelfde oplossing vindt. c) Wat is het voordeel van een algebraïsche aanpak? Opgave 2 Gegeven zijn de functies f en g met f(x) = 0,01x(x2 − 400) en g(x) = x. Je wilt oplossen f(x) > g(x). a) Hoe moet je het venster van je grafische rekenmachine instellen om goede grafieken bij deze ongelijkheid te krijgen? Hoeveel snijpunten hebben beide grafieken? b) Los nu de ongelijkheid met de GR op in twee decimalen nauwkeurig. Om zeker te weten dat je alle snijpunten van de grafieken hebt gevonden, kun je de bijbehorende vergelijking beter algebraïsch oplossen. Wil je een ongelijkheid algebraïsch oplossen, dan los je de bijbehorende vergelijking algebraïsch op en lees je daarna de oplossing van de ongelijkheid uit de grafieken af. c) Los de bij deze ongelijkheid horende vergelijking algebraïsch op.

Theorie en voorbeelden www.math4all.nl  MAThADORE-basic HAVO/VWO  4/5/6 VWO wi-b  Functies en grafieken  Ongelijkheden  Theorie

Opgave 3 In Voorbeeld 1 zie je hoe je een ongelijkheid systematisch oplost met de grafische rekenmachine. Bekijk met de applet waar de functiewaarden van f groter zijn dan die van g (beweeg de rode punt over de grafiek van f). Je gaat nu zelf de ongelijkheid 60 − x2 < 4x algebraïsch oplossen. a) Los de vergelijking 60 − x2 = 4x algebraïsch op. b) Schrijf de juiste oplossing van de ongelijkheid op. (Hij bestaat uit twee delen!) STICHTING MATH4ALL 01 NOV 2008

1


Opgave 4 In Voorbeeld 2 zie je hoe je een ongelijkheid oplost in een praktische situatie. Stel je voor dat je al jaren in een auto op benzine rijdt. De benzineprijs blijft echter maar stijgen en je vraagt je af of je niet beter een gastank kunt laten inbouwen en op gas gaan rijden. Nu zijn je kosten per kilometer ongeveer 12,5 cent aan benzine. a) Stel een formule op voor de benzinekosten per jaar (B in euro) afhankelijk van het aantal gereden kilometers (a). b) Een gastank kost (inclusief inbouwen) €1250,00. Je kosten per kilometer gaan omlaag, want gas kost 80 cent per liter en je rijdt 10 kilometer op 1 liter gas. Je wilt de gastank in één jaar terugverdienen. Stel een formule op voor de kosten in het eerste jaar dat je op gas rijdt (G) afhankelijk van het aantal kilometer (a). c) Je wilt weten hoeveel kilometer je in dat jaar moet rijden om de gastank er weer uit te hebben. Welke ongelijkheid hoort daar bij? d) Los deze ongelijkheid algebraïsch op met a in km nauwkeurig. Opgave 5 In de ongelijkheid x|x − 4| > 2x komen absoluutstrepen voor. Bekijk Voorbeeld 3 en ga na hoe je daarmee omgaat. a) Je weet dat de grafiek van f(x) = x|x − 4| een knik vertoont. Bij welke waarde van x treedt die knik op? b) Los de ongelijkheid op met behulp van de grafische rekenmachine. Je kunt de ongelijkheid ook algebraïsch oplossen. c) Schrijf eerst het functievoorschrift van f in gesplitste vorm zonder absoluutstrepen. Los nu de vergelijking x|x − 4| = 2x algebraïsch op en controleer of de x-waarden van de snijpunten passen bij de oplossing die je bij b) hebt gevonden.

Verwerken Opgave 6 Los de volgende ongelijkheden zoveel mogelijk algebraïsch op. Geef waar nodig benaderingen in twee decimalen nauwkeurig. a) x3 > x b) x3 ≤ 80x − 2x2 8 c) ≥x x2 d) |x2 − 4x| > 3 Opgave 7 Gegeven de functie f(x) = 100x2(x − 20)2. a) Los op (in twee decimalen nauwkeurig): f(x) < 100000. b) Los algebraïsch op: f(x) ≤ 100x2.

STICHTING MATH4ALL 01 NOV 2008

2


Opgave 8 Je rijdt al een Smart Fortwo voor € 5,00 per dag! Stel je hebt op 1 januari 2006 een Smart gekocht en betaalt die 5 euro per dag. Daarnaast heb je onderhoudskosten: voor 1,5 cent per gereden kilometer kun je daarvoor een abonnement afsluiten waar vrijwel alle onderhoudskosten mee worden afgedekt. Je hebt dan dus alleen nog benzinekosten. Je kunt met 1 liter benzine 15 kilometer rijden en 1 liter benzine kost ongeveer € 1,50. a) Hoeveel cent per kilometer ben je kwijt aan benzine en onderhoud samen? b) Hoeveel kost je deze Smart per jaar als je er 16000 km/h mee rijdt? c) Stel een ongelijkheid op bij de vraag: Hoeveel kilometer per jaar mag je maximaal met deze Smart rijden als je minder dan € 4000,00 kwijt wilt zijn dat jaar? Los daarna die ongelijkheid algebraïsch op. d) Eigenlijk geldt het onderhoudsabonnement van 1,5 cent per gereden kilometer pas vanaf 15000 km/jaar. Rijd je minder, dan betaal je alsof je 15000 km/jaar rijdt. Stel het complete functievoorschrift op voor de jaarlijkse kosten K als functie van het aantal gereden kilometers. Opgave 9 Twee auto’s rijden op de A1, beide met een (ongeveer) constante snelheid. Bestuurder A houdt een snelheid van 110 km/h aan. Bestuurder B rijdt met 120 km/h . Als bestuurder B bij de IJsselbrug bij Deventer komt ligt hij 24 kilometer achter op bestuurder A. Het tijdstip waarop dat gebeurt is t = 0 . De afstand (in kilometers) tot Deventer wordt voorgesteld door a(t). a) Stel bij beide auto’s een lineaire functie voor a(t) op. b) Bereken na hoeveel minuten auto A door B wordt ingehaald. c) Leg uit, waarom de onderlinge afstand van beide auto’s kan worden voorgesteld door d(t) = |(aA(t) − aB(t)|. d) Bereken hoe lang die onderlinge afstand minder dan 4 kilometer is. Opgave 10 Gegeven is de functie f met f(x) = a) b)

10 x 2 . ( x − 20)2

Los algebraïsch op: f(x) < 40. Los algebraïsch op: f(x) ≤ x2.

Testen Opgave 11 Los de volgende ongelijkheden algebraïsch op. a) b) c)

6 − x < x2 1 ≥ 0,25x x |2x − 6| < 10


3


Opgave 12 De afstand Utrecht - Enschedé is voor een fietser 144 kilometer. Fietser A gaat met 18 km/h van Utrecht naar Enschedé. Fietser B gaat met 24 km/h van Enschedé naar Utrecht. Beide fietsers starten tegelijkertijd. a) Je wilt weten hoe lang fietser A dichter bij Utrecht is dan fietser B. Welke ongelijkheid hoort daar bij als t de tijd in uren is? b) Los deze ongelijkheid algebraïsch op. c) Beantwoord de vraag in minuten nauwkeurig. Opgave 13 Gegeven zijn de functies f(x) = 4 − x2 en g(x) = (x − 1)2. De “afstand” a van deze beide functies voor een bepaalde waarde van x is de functie a(x) = |f(x) − g(x)|. a) Teken de grafiek van de functie a. b) Welke betekenis hebben de nulpunten van a voor de grafieken van f en g? c) Bereken de waarden van x waarvoor de “afstand” tussen de grafieken van f en g groter is dan 1.


4


Antwoorden 1a) b) c) 2a) b) c) 3a) b) 4a) b) c) d) 5a) b) c) 6a) b) c) d) 7a) b) 8a) b) c) d)

9a) b) c) d) 10a) b) 11a) b) c) 12a) b) c) 13a)

− 0,052v3 = 20 geeft v3 ≈ 384,6154 en dus v ≈ 7,27 m/s B.v. [−30,30]x[−30,30] Er zijn 3 snijpunten. −22,36 ≤ x < 0 V x > 22,36

b) c)

horen bij snijpunten van grafieken van f en g (dezelfde x-waarden). maak de grafieken van a(x) = |4 − x2 − (x − 1)2| en die van a = 1 op de GR. x < −1 V −0,62 < x < 1,62 V x>2

− 500 < x < 0 V x > 500 x = −10 V x = 6 x < −10 V x > 6 B = 0,125a G = 1250 + 0,08a 1250 + 0,08a ≤ 0,125a a ≥ 27.778 x=4 0<x<2 V x>6 −1 < x < 0 V x > 1 x ≤ −10 V 0 ≤ x ≤ 8 x<0 V 0<x≤2 −0,65 < x < 1 V 3 < x < 4,65 venster [−10,30]x[−105,106] −1,47 ≤ x ≤ 1,73 V 18,27 ≤ x ≤ 21,47 x = 0 V 19 ≤ x ≤ 21 11,5 ct/km 3665 euro 1825 + 0,115a < 4000 geeft a ≤ 18.913 K(a) = 2050 + 0,10a als a < 15000 K(a) = 1825 + 0,115a Als a ≥ 15000 aA(t) = 110t + 24 aB(t) = 120t na 144 minuten Je kijkt naar de afstand: van A naar B of van B naar A. na 2 uur en na 2,8 uur x < 40/3 V x > 40 x ≤ 20 − 10 V x ≥ 20 + 10 x < −3 V x > 2 x≤−2 V 0<x≤2 −2 < x < 8 144 − 24t > 18t t < 3,429 3 uur en 25 minuten -


5

6 Ongelijkheden. Verkennen. Uitleg. Theorie en voorbeelden. Los het probleem rond de huur van een kopieermachine op

Recommend Documents