WISKUNDE D TWEEDE FASE VWO MEETKUNDE VECTORMEETKUNDE
2 – Inproduct Verkennen www.math4all.nl MAThADORE-basic HAVO/VWO 4/5/6 VWO wi-d Vectormeetkunde Inproduct Inleiding Verkennen
Het begrip “arbeid” komt uit de natuurkunde. Bekijk de applet zorgvuldig. Als je de rode stippellijn laat samenvallen met de beweging van A naar B dan levert het voorttrekken (P verslepen) van de lorrie van A naar B een arbeid van 200 Nm (newtonmeter) op. Als de rode stippellijn (de route van P) niet samenvalt met AB dan verricht maar een deel van de aangewende kracht arbeid. Beantwoord nu de vragen bij Verkennen.
Uitleg www.math4all.nl MAThADORE-basic HAVO/VWO 4/5/6 VWO wi-d Vectormeetkunde Inproduct Uitleg
Opgave 1 Bekijk de Uitleg, pagina 1. De vector in de applet heeft een lengte van 10 N. De richtingshoek α met de bewegingsrichting van de lorrie kun je instellen door de rode stippellijn te verplaatsen. a) Bepaal met de applet de arbeid die de kracht verricht als α ≈ 20°. r ur b) Ga door berekening na dat deze arbeid gelijk is aan | F | ⋅ | s | ⋅ cos(α). c) Bepaal voor nog een paar waarden van α de verrichte arbeid met de applet en met de formule. r ur d) Hoe groot is het inproduct van F en s als α = 0°? r ur e) Hoe groot is het inproduct van F en s als α = 90°? Opgave 2 Bekijk de Uitleg, pagina 2. Hier wordt uitgelegd hoe je het inproduct van twee vectoren gegeven door kentallen in een cartesisch assenstelsel kunt bepalen. uur uur a) Waarom is ex ⋅ ey = 0? uur uur uur uur b) Waarom is ex ⋅ ex = 1 en ey ⋅ ey = 1? c) d)
− 2 Laat zien dat het inproduct van en 3 door haakjes uitwerken. Bereken op dezelfde manier met behulp 1 2 van en . 4 3
STICHTING MATH4ALL 01 MRT 2009
2 inderdaad −2 ⋅ 2 + 3 ⋅ 1 = −1 is 1 van eenheidsvectoren het inproduct
1
WISKUNDE D TWEEDE FASE VWO MEETKUNDE VECTORMEETKUNDE
Opgave 3 ur ur In het algemeen geldt voor het inproduct van de vectoren a en b : ur ur ur ur a ⋅ b = | a | ⋅ | b | ⋅ cos(ϕ) ur ur waarin ϕ de hoek tussen a en b is. ur ur − 2 2 Neem nu a = en b = . 3 1 Gebruik het inproduct van beide vectoren om de hoek ϕ ertussen te berekenen. Opgave 4 ur ur 1 − 3 Neem a = en b = en bereken het inproduct van beide vectoren. − 5 − 2 ur ur Gebruik dit inproduct om de hoek ϕ tussen a en b te berekenen. Opgave 5 ax bx ur ur ur ur Neem a = en b = en laat zien dat a ⋅ b = ax ⋅ bx + ay ⋅ by. ay by
Theorie en Voorbeelden www.math4all.nl MAThADORE-basic HAVO/VWO 4/5/6 VWO wi-d Vectormeetkunde Inproduct Theorie
Bekijk eerst de Theorie. Bekijk vervolgens de Voorbeelden, de volgende opgaven gaan daarover. Opgave 6 In Voorbeeld 1 bereken je de hoek tussen twee vectoren met behulp van het inproduct. a) Loop zelf de berekeningen nauwkeurig na. ur ur − 1 3 b) Bereken de hoek tussen a = en b = in één decimaal 4 − 2 nauwkeurig. c) In de applet kun je andere vectoren kiezen. Bereken zelf telkens de hoek ertussen met behulp van het inproduct. In de applet vind je het antwoord. Opgave 7 In Voorbeeld 2 kun je met behulp van de applet uitzoeken wanneer twee vectoren een inproduct van 0 hebben. a) Geef een voorbeeld van twee vectoren waarvoor dat geldt. Laat door bere kening zien dat het inproduct dan ook 0 is. a kb b) Toon algebraïsch aan dat de vectoren en loodrecht op elkaar b − ka staan. c) Geef ook een voorbeeld van twee vectoren waarvan het inproduct gelijk is aan het product van hun lengtes.
STICHTING MATH4ALL 01 MRT 2009
2
WISKUNDE D TWEEDE FASE VWO MEETKUNDE VECTORMEETKUNDE
Opgave 8 Bewijs dat de vierhoek ABCD met A(18,–14), B(22,–13), C(21,–9) en D(17,–10) een vierkant is. Bekijk eventueel Voorbeeld 3. Opgave 9 In Voorbeeld 4 zie je hoe je de hoek tussen twee lijnen kunt bepalen met be hulp van het inproduct van twee richtingsvectoren van die lijnen. a) Wat is een richtingsvector van een lijn? b) Laat zien, dat de twee lijnen in het voorbeeld inderdaad een hoek van 71,6° met elkaar maken. c) Maak met de applet twee nieuwe lijnen en bereken de hoek ertussen met behulp van het inproduct van twee richtingsvectoren. Het antwoord vind je in de applet.
Verwerken Opgave 10 a) b)
ur 2 ur 4 Bereken de hoek tussen a = en b = in graden nauwkeurig. − 1 3 r ur Geef een vector c die loodrecht staat op b en twee keer zo lang is.
Opgave 11 Twee lijnen l en m snijden elkaar in S(102,31). l gaat door A(120,22) en m gaat door B(120,58). a) Bereken de hoek tussen l en m met behulp van het inproduct van hun richtingsvectoren. b) Bereken de hoeken van driehoek SAB. Opgave 12 Vierhoek ABCD met A(p,q), B(p + 3, q + 1), C(p + 4, q + 4) en D(p + 1, q + 3) is een ruit. a) Toon dit aan. b) Bereken de hoeken van de ruit. c) Toon aan dat ook in deze ruit de diagonalen loodrecht op elkaar staan. Opgave 13 Bootje in sloot Een bootje wordt door een jongen en een twee keer zo sterke man aan touwen die beide aan dezelfde plek op de boeg van de boot zijn bevestigd door het midden van een sloot getrokken. De jongen en de man lopen ieder aan een andere kant van de sloot. De boot blijft in het midden van de sloot varen. De man trekt met een kracht van 10 N en onder een hoek van 20° met de vaarrichting. a) Construeer in een bovenaanzicht de vectoren die de twee trekkrachten voorstellen. b) Bereken de richtingshoek van de kracht die de jongen uitoefent in graden nauwkeurig. c) Welke arbeid verrichten beiden samen als ze het bootje 1 km voorttrekken? d) Verrichten ze beiden evenveel arbeid? STICHTING MATH4ALL 01 MRT 2009
3
WISKUNDE D TWEEDE FASE VWO MEETKUNDE VECTORMEETKUNDE
Testen Opgave 14 Bereken met behulp van het inproduct de hoek tussen de lijnen l door A(−3,2) en B(5,1) en m met vergelijking x + 2y = 24 in graden nauwkeurig. Opgave 15 Gegeven is de vierhoek PQRS met P(−27,21), Q(23,21), R(33,51) en S(3,61). a) Toon aan dat deze vierhoek een vlieger is. b) Bereken de grootste hoek van deze vierhoek. c) A, B, C en D zijn de middens van de opeenvolgende zijden van de vlieger. Wat voor bijzondere vierhoek is ABCD? Toon dit ook aan!
STICHTING MATH4ALL 01 MRT 2009
4
WISKUNDE D TWEEDE FASE VWO MEETKUNDE VECTORMEETKUNDE
Antwoorden 1a) b) c) d) e) 2a) b) c) d) 3.
Zie applet. 10 ⋅ 20 ⋅ cos(20°) ≈ 188 Nm Zie applet. 200 Nm 0 Nm De hoek tussen beide is 90°. De lengtes zijn 1 en de hoeken 0°. 14 −2 ⋅ 2 + 3 ⋅ 1 = 13 ⋅ 5 ⋅ cos(ϕ) geeft ϕ ≈ 97°
4.
7=
5.
(ax ⋅ ex + ay ⋅ ey )(bx ⋅ ex + by ⋅ ey ) uitwerken
6a) b) c) 7a) b) c) d) 8. 9a) b) c) 10a)
127° Inproduct = 0 aantonen r | v | = 4 en ϕ ≈ −14° Zie Voorbeeld 3. Een vector die geheel op de lijn ligt. 63° − 6 6 , of 8 − 8
b) 11a) b) 12a)
13 ⋅
uur
26 ⋅ cos(ϕ) geeft ϕ ≈ 68°
uur
uur
uur
b) c) 13a) b) c) d) 14.
83° 83°, 34°, 63° Bijvoorbeeld moeten de lengtes van de vier zijden even lang zijn: uuur uuur uuur uuur | AB | = | BC | = | CD | = | DA | 53°, 127°, 53°, 127° uuur uuur Laat zien dat het inproduct van BD en AC gelijk is aan 0 43° 13.054 Nm Nee, de man verricht het meeste arbeid (9397 Nm). 19°
15a)
Bereken de lengtes van de zijden: PQ = PS = 5 en QR = SR =
b) c)
10 .
108,4° ABCD is een rechthoek, de vectoren op de zijden hebben een inproduct van 0.
STICHTING MATH4ALL 01 MRT 2009
5
