WISKUNDE D TWEEDE FASE VWO MEETKUNDE VECTORMEETKUNDE
5 – Lijnen en vlakken Verkennen www.math4all.nl MAThADORE-basic HAVO/VWO 4/5/6 VWO wi-d Vectormeetkunde Lijnen en vlakken Inleiding Verkennen
Bekijk de applet. Je ziet hoe een vlak kan worden beschreven met behulp van een vergelijking in x, y en z. In de applet kun je de drie punten A, B en C verplaatsen over de assen. Beantwoord nu de vragen bij Verkennen.
Uitleg www.math4all.nl MAThADORE-basic HAVO/VWO 4/5/6 VWO wi-d Vectormeetkunde Lijnen en vlakken Uitleg
Opgave 1 Bekijk de Uitleg, pagina 1. Je ziet een vectorvoorstelling van lijn DN. a) Laat zelf zien dat alle punten op die lijn voldoen aan x + 3z = 6. b) Noem een paar punten die niet op lijn DN liggen, maar wel aan deze vergelijking voldoen. c) Om de punten op de lijn te beschrijven heb je behalve x + 3z = 6 nog een vergelijking nodig. Welke bijvoorbeeld? Opgave 2 In de Uitleg, pagina 2 zie je een vectorvoorstelling van vlak MCDN. a) Stel zelf een andere vectorvoorstelling op van dit vlak. b) Laat zien, dat ook jouw vectorvoorstelling dezelfde vergelijking van het vlak oplevert. c) Controleer dat de normaalvector van het vlak die je uit de vectorvoorstelling kunt aflezen, inderdaad loodrecht op beide richtingsvectoren staat. d) Bekijk nu het vlak EFC. Stel van dit vlak een vectorvoorstelling en een ver gelijking op. Opgave 3 Een normaalvector van het vlak kun je ook rechtstreeks uit de richtingsvectoren afleiden. Bekijk de vectorvoorstelling van vlak MCDN nog eens in de Uitleg, uuur uuuur pagina 2. De richtingsvectoren zijn DN en DC . a)
b)
a ur Neem aan dat de normaalvector van dit vlak n = b is. c Deze normaalvector staat loodrecht op elk van de twee richtingsvectoren. Welke twee vergelijkingen in a, b en c levert dit op? Omdat je een normaalvector altijd kunt verlengen of verkorten, kun je rustig één van de drie onbekenden gelijk stellen aan 1. Welke normaalvector vind je nu?
STICHTING MATH4ALL 01 MRT 2009
1
WISKUNDE D TWEEDE FASE VWO MEETKUNDE VECTORMEETKUNDE
c) d)
En hoe maak je nu de vergelijking van vlak MDCN? Maak op deze manier ook de vergelijking van vlak EFC.
Theorie en Voorbeelden www.math4all.nl MAThADORE-basic HAVO/VWO 4/5/6 VWO wi-d Vectormeetkunde Lijnen en vlakken Theorie
Bekijk eerst de Theorie. Bekijk vervolgens de Voorbeelden, de volgende opgaven gaan daarover. Opgave 4 In Voorbeeld 1 zie je hoe je het snijpunt van twee lijnen kunt berekenen en dan controleren dat dit snijpunt inderdaad in het vlak door beide lijnen ligt. a) Loop zelf de berekening na. b) Bereken op dezelfde manier het snijpunt van GE en CN. c) Controleer vervolgens dat dit snijpunt in vlak CGEN ligt. Opgave 5 In Voorbeeld 2 wordt het snijpunt van lijn CM en een vlak OBT berekend. a) Voer de berekening zelf uit. b) Je kunt dit snijpunt ook berekenen zonder een vergelijking van vlak OBT te maken. Je kunt namelijk gewoon met beide vectorvoorstellingen werken. Bereken ook daarmee de coördinaten van het snijpunt. c) Bereken het snijpunt van lijn OM en vlak BCT. d) Geef een voorbeeld van een lijn die vlak BCT niet snijdt. Toon door bereke ning aan dat die lijn het vlak inderdaad niet snijdt. Opgave 6 In Voorbeeld 3 zie je hoe je de afstand van een punt tot een vlak kunt bereke nen. a) Voer zelf de berekening uit en bereken de gevraagde afstand in twee deci malen nauwkeurig. b) Bereken ook de afstand van punt T tot vlak BCM. Opgave 7 Bekijk nog eens de balk van Voorbeeld 1. a) Onderzoek of de lijnen DB en CN een snijpunt hebben. b) De vlakken DNMC en GEF snijden elkaar volgens een lijn l. Maak een vectorvoorstelling van die lijn door de twee vectorvoorstellingen van de vlakken aan elkaar gelijk te stellen. c) Je kunt ook een vectorvoorstelling van l maken door twee punten op te zoe ken die aan beide vergelijkingen van de vlakken voldoen. Bepaal ook op die manier een vectorvoorstelling van l. d) Bereken de snijpunten van l met de vlakken ABFE en BCGF.
STICHTING MATH4ALL 01 MRT 2009
2
WISKUNDE D TWEEDE FASE VWO MEETKUNDE VECTORMEETKUNDE
Practicum www.math4all.nl MAThADORE-basic HAVO/VWO 4/5/6 VWO wi-d Vectormeetkunde Lijnen en vlakken Cabri3D II
Leer jezelf verder werken in Cabri3D. Maak een balk, een piramide en enkele andere ruimtelijke figuren. Probeer de figuren in de voorbeelden na te maken. En gebruik af en toe Cabri3D in de volgende opgaven.
Verwerken Opgave 8 Teken een balk OABC.DEFG (of maak hem met Cabri3D) met A(6,0,0), C(0,4,0) en D(0,0,4). Punt P is het midden van AE en punt Q is het midden van DG. a) Stel een vectorvoorstelling van lijn PQ op. b) Stel een vectorvoorstelling van vlak ACD op c) Stel een vergelijking van vlak ACD op. d) Toon aan dat lijn PQ evenwijdig is met vlak ACD. e) Bereken de afstand van punt F tot vlak ACD in twee decimalen nauwkeurig. f) Onderzoek of de lijnen PQ en BG elkaar snijden. Opgave 9 Gegeven is de kubus OABC.DEFG met A(4,0,0), C(0,4,0) en D(0,0,4). Punt P is het midden van EF. Het vlak V gaat door punt G en staat loodrecht op lijn OP. a) Stel een vergelijking op van vlak V. b) Stel een vectorvoorstelling op van vlak V. c) Bereken de snijpunten van vlak V met de ribben van de kubus. d) Je kunt nu vlak V in de kubus tekenen. Stel vectorvoorstellingen op van de snijlijnen van vlak V met de kubus. e) Bereken de snijpunten van vlak V met de drie coördinaatassen. f) Bereken de afstand van punt P tot vlak V. Opgave 10 ∆ABC is gegeven door A(a,0,0), B(0,b,0) en C(0,0,c). a) Bereken de coördinaten van het zwaartepunt Z van deze driehoek. b) Bereken de afstand van O tot Z. Opgave 11 Hieronder wordt de positie van een punt P in de ruimte beschreven. Omdat de coördinaten van P nog variabelen bevat, beschrijft het punt een lijn of een vlak. Bepaal ingeval P een lijn beschrijft een vectorvoorstelling van die lijn en bepaal ingeval P een vlak beschrijft een vergelijking van dat vlak. a) P = (1 + p + q, p + 2q, p) b) P = p(2,1,−3) + q(−4,−2,6) c) P = (1 − p + 3q, 4 − p + q, −1 + 2p − 4q) d) P = (1,0,1) + p(2,−3,4) + q(−1,0,0) e) P = (1 − p, 2 + p, 0)
STICHTING MATH4ALL 01 MRT 2009
3
WISKUNDE D TWEEDE FASE VWO MEETKUNDE VECTORMEETKUNDE
Opgave 12 Gegeven is de regelmatige vierzijdige piramide T.OABC met A(4,0,0), C(0,4,0) en T(2,2,6). Punt P is het midden van ribbe OT. a) Het vlak V door A, B en P snijdt ribbe CT in punt Q. Bereken de coördinaten van Q. b) Toon aan dat vierhoek ABQP een trapezium is. c) Bereken oppervlakte van vierhoek ABQP. d) Bereken de afstand van T tot vlak ABQP. e) De vlakken ABT en OCT hebben een snijlijn l. Bereken het snijpunt van l met het Oxz-vlak. Opgave 13 De punten A(6,0,0), B(0,6,0), C(−6,0,0), D(0,−6,0) en T(0,0,6) bepalen een regelmatig vierzijdige piramide T.ABCD. Punt P is het midden van AT en punt Q ligt op BT zo, dat BQ : QT = 1 : 2. a) Welke coördinaten moet punt Q hebben? Licht je antwoord toe. b) Het vlak V door P, Q en D snijdt ribbe BC in punt R. Bereken de coördinaten van R. c) Bereken de afstand van punt O tot vlak V. d) S is het snijpunt van V met lijn AC. Bereken de lengte van lijnstuk PS. Opgave 14 Stel in een cartesisch Oxyz-assenstelsel een formule op voor de afstand van punt O tot het vlak V gegeven door ax + by + cz = d. Stel een algemene formule op van de afstand van P(p1,p2,p3) tot dit vlak V.
Testen Opgave 15 De afgeknotte balk OABC.DEFG wordt gegeven door A(8,0,0), B(8,6,0), C(0,6,0), D(0,0,10), E(8,0,8) en G(0,6,6). a) Bereken het snijpunt S van de lijnen EG en DF. b) Stel een vergelijking op van het bovenvlak DEFG. c) Bereken de coördinaten van het snijpunt van vlak DEFG met lijn OB. d) Het vlak DEFG en het Oxy-vlak hebben een lijn gemeenschappelijk die de xas in P en de y-as in Q snijdt. Bereken de lengte van PQ. e) Bereken de afstand van punt A tot vlak DEFG.
STICHTING MATH4ALL 01 MRT 2009
4
WISKUNDE D TWEEDE FASE VWO MEETKUNDE VECTORMEETKUNDE
Antwoorden 1a) b) c)
(x,y,z) = (3p,0,2 − p) invullen in x + 3z = 6 geeft 6 = 6 (en dit klopt voor elke p). B.v. (3,1,1) en (6,1,0) B.v. y = 0 x 0 3 0
2a)
B.v. y = 2 + q − 1 + r − 2 z 0 0 2 inproduct = 0 controleren x 3 0 − 3
b) c) d)
y = 2 + q 1 + r 0 en 2x − 3z = 0 z 2 0 − 2
3a) b) c) d) 4a) b) c) 5a) b) c) d) 6a) b)
3a − c = 0 en 2b − 2c = 0 a = 1 geeft b = 3 en c = 3 x + 3y + 3z = d en D(0,0,2) invullen geeft d = 6 Snijpunt (6,−2,2) Vlak CGEN: 2x + 3y = 6 en (6,−2,2) voldoet hieraan Drie vergelijkingen met drie onbekenden oplossen. (8,0,4) B.v. de x-as BCM: x + 2y = 8 en lijn door T en loodrecht BCM snijden met BCM.
7a)
Je vindt als snijpunt (5,25;2,5;4) en afstand 1,25 5 . Nee, geen snijpunt. x 0 3
b)
B.v. y = 0 + t − 1 z 2 3
c)
DNMC: x + 3y + 3z = 6 en GEF: z = 2 (0,0,2) en (3,1,0) zijn punten die aan beide vergelijkingen voldoen. (3,−1,5) en (−6,2,−4) x 0 3 x 0 3 0
d)
8a,b) PQ: y = 2 + t − 1 en ACD: y = 0 + p 0 + q 1 z 4 − 1 z 4 − 2 − 1 c) d) e) f) 9a) b)
2x + 3y + 3z = 12 (3t,2 − t,4 − t) invullen in 2x + 3y + 3z = 12 geeft tegenspraak d(F,ACD) ≈ 5,12 Geen snijpunt 2x + y + 2z = 12 Zoek twee richtingsvectoren die loodrecht op de normaalvector staan. x 0 1 1
Een mogelijke v.v. is y = 4 + p − 2 + q 0 z 4 0 − 1 c)
B(4,4,0), Q(2,0,4) en R(4,0,2)
STICHTING MATH4ALL 01 MRT 2009
5
WISKUNDE D TWEEDE FASE VWO MEETKUNDE VECTORMEETKUNDE
d)
x 0 1 x 4 0 BG: y = 4 + a 0 BR: y = 4 + b 2 z 4 − 1 z 0 − 1 x 4 1 x 0 − 1 RQ: y = 0 + c 0 QC: y = 4 + d 2 z 2 − 1 z 4 0
e)
(0,0,6), (0,12,0) en (6,0,0)
f)
d(P,V) =
10a) b) 11a)
1 3
18 7
7
1 3
1 3
Z = ( a, b, c) 1 3
a2 + b2 + c 2 Vlak 2x − y − z = 2 x 2
b)
Lijn y = t 1 z − 3
c) d)
Vlak x + y + z = 4 Vlak 4y + 3z = 3 x 1 − 1
e)
Lijn y = 2 + p 1 z 0 0
12a)
V: x + z = 4 en Q(1,3,3)
b)
uuur
c)
opp(ABQP) = 9 2
d) e) 13a)
uur
AB is een veelvoud van PQ en dus zijn AB en PQ evenwijdige lijnstukken 2 2 (2,0,6) Q(0,4,2)
b)
x 0 1 V: 3x + y − 5z = −6 en BC: y = 6 + p 1 en snijpunt R(−3,3,0) z 0 0
c)
d(O,V) =
d)
6 35
35
34 |d|
14.
d(O,V) =
15a) b) c) d)
S(4,3,7) 3x + 8y + 12z = 120 (12,9,0)
e)
a2 + b2 + c 2
en d(P,V) =
| ap1 + bp2 + cp3 − d | 2
2
a + b + c
2
1825 96 217
217
STICHTING MATH4ALL 01 MRT 2009
6
