2.8 Zobecnění vztahů mezi zatížením a vnitřními silami prutu (rovinný prut zatížený v rovině) Náhradní břemena:
dFz V
µ
ds
fz fx
dMµ
dFx
N M
M+dM x
ds=R.dϕ z
N+dN V+dV
R Obecný rovinný prut: spojité zatížení silové ( fx, fz ), momentové (µ)
dϕ/2
dϕ/2 dϕ dϕ 2
R … poloměr křivosti
dFx=fx .ds dFz=fz .ds dMµ=µ .ds
malé ⇒
dϕ cos →1 2 dϕ dϕ sin → 2 2 dϕ dϕ tan → 2 2 © 2005-2010 Petr Kabele
dFz V
dMµ
N M
dFx
M+dM
Rovnováha prutového elementu
N+dN
ds=R.dϕ V+dV
R dϕ/2
dϕ/2 dϕ
→ ( − N + N + dN ) cos
dϕ dϕ + ( −V − V − dV ) sin + dFx = 0 2 2
dϕ dϕ ↓ ( N + N + dN ) sin + ( −V + V + dV ) cos + dFz = 0 2 2
dϕ ∩ ( − M + M + dM ) + ( −V − V − dV ) R + dM µ = 0 2
© 2005-2010 Petr Kabele
Úprava podmínek rovnováhy 1
dϕ/2
dϕ dϕ → ( − N + N + dN ) cos + ( −V − V − dV ) sin + dFx = 0 2 2
dϕ/2
1
dϕ dϕ ↓ ( N + N + dN ) sin + ( −V + V + dV ) cos + dFz = 0 2 2 ∩ ( − M + M + dM ) + ( −V − V − dV ) R
dϕ + dM µ = 0 2
zanedbáme součiny diferenciálů dV.dϕ atd. a dosadíme za → dN − V
ds + f x ds = 0 R
ds ↓ N + dV + f z ds = 0 R ∩dM − V ds + µ ds = 0
dN V = − fx ds R dV N ↓ = − − fz ds R dM ∩ =V − µ ds →
:ds
⇒
dϕ =
ds , dFx, dFz , dMµ R (1) (2)
soustava diferenciálních rovnic pro N, V, M
(3)
© 2005-2010 Petr Kabele
Pro µ = 0 se rovnice (3) zjednoduší na
dM =V ds
(Schwedlerova věta)
⇒ extrém ohybového momentu nastává v místě, kde
dM = 0 , tj. V = 0 ds
Pro přímý prut R→∞, takže rovnice (1), (2), (3) se zjednoduší na dN → = − fx ds dV ↓ = − fz ds dM ∩ =V − µ ds dM Je-li navíc µ = 0, pak =V ds
(4) (5) (6)
(7) a tedy
d 2 M dV = = − fz d 2s ds
(8)
© 2005-2010 Petr Kabele
2.9 Důsledky diferenciálních vztahů mezi zatížením a vnitřními silami dN ( s ) = − f x (s) ds
(4)
dN ( s ) < 0 ⇒ N ( s )… fce. klesající (a) ds dN ( s ) f x (s) < 0 ⇒ > 0 ⇒ N ( s )… fce. rostoucí (b) ds dN ( s ) f x (s) = 0 ⇒ = 0 ⇒ extrém nebo inflex. b. fce N ( s ) ds f x (s) > 0 ⇒
fx (s)
+
(c)
s, x -
N(s) +
(a)
s, x (c)
(b) © 2005-2010 Petr Kabele
derivace (4) 2
df x ( s ) d N ( s) =− 2 ds ds
df x ( s ) d 2 N ( s) > 0 ( f x ( s ) rostoucí ) ⇒ < 0 ⇒ N ( s )… fce. konkávní 2 ds ds df x ( s ) d 2 N (s) < 0 ( f x ( s ) klesající ) ⇒ > 0 ⇒ N ( s )… fce. konvexní 2 ds ds
(a) (b)
(b)
(a) fx (s)
+
s, x
fx (s)
+
s, x
-
-
N(s)
N(s) +
s, x -
+
s, x -
© 2005-2010 Petr Kabele
dV ( s ) = − f z (s) ds
(5)
dV ( s ) < 0 ⇒ V ( s )… fce. klesající (a) ds dV ( s ) (b) f z (s) < 0 ⇒ > 0 ⇒ V ( s )… fce. rostoucí ds dV ( s ) f z (s) = 0 ⇒ = 0 ⇒ extrém nebo inflex. b. fce V ( s ) ds f z (s) > 0 ⇒
fz (s)
+
(c)
s, x -
z V (s) +
(a)
s, x (c)
(b) © 2005-2010 Petr Kabele
derivace (5) d 2V ( s ) df z ( s ) =− ds 2 ds
df z ( s ) d 2V ( s ) > 0 ( f z ( s ) rostoucí ) ⇒ < 0 ⇒ V ( s )… fce. konkávní 2 ds ds df z ( s ) d 2V ( s ) < 0 ( f z ( s ) klesající ) ⇒ > 0 ⇒ V ( s )… fce. konvexní 2 ds ds
(a)
(b)
(b)
fz (s) z
(a)
+
s, x
-
fz (s)
+
s, x -
z
V(s)
V(s) +
s, x -
+
s, x © 2005-2010 Petr Kabele
dM ( s ) = V ( s ) (7) ds
(předp.µ(s) = 0)
dM ( s ) V (s) > 0 ⇒ > 0 ⇒ M ( s )… fce. rostoucí (a) ds dM ( s ) V (s) < 0 ⇒ < 0 ⇒ M ( s )… fce. klesající (b) ds dM ( s ) V (s) = 0 ⇒ = 0 ⇒ extrém nebo inflex. b. fce M ( s ) ds
V(s)
+
(c)
s, x -
z rostoucí M(s) -
(a)
s, x + (c)
(b) klesající © 2005-2010 Petr Kabele
d 2 M ( s ) dV ( s ) = = − f z (s) 2 ds ds
(8) s, x
fz(s) f z (s) < 0 ⇒
dV ( s ) > 0 (V ( s ) rostoucí ) ⇒ ds
-
z
V(s)
+
s, x
d 2 M (s) > 0 ⇒ M ( s )… fce. konvexní ds 2
M(s) -
s, x + © 2005-2010 Petr Kabele
d 2 M ( s ) dV ( s ) = = − f n ( s) 2 ds ds
(8) fz(s)
f n (s) > 0 ⇒
dV ( s ) < 0 (V ( s ) klesající ) ⇒ ds
+
s, x
z
V(s)
+
s, x -
d 2 M (s) < 0 ⇒ M ( s )… fce. konkávní 2 ds
M(s) -
s, x + © 2005-2010 Petr Kabele
dN = − f x ( s ) (4) ds
dV = − f z ( s) (5) ds dM = V ( s ) − µ ( s ) (6) ds
fce. fx
0
konst.
lineární
polynom no
fce. N
konst.
lineární
kvadratická
polynom (n+1)o
fce. fz
0
konst.
lineární
fce. V
konst.
lineární
kvadratická
fce. M
lineární
kvadratická
kubická
polynom no polynom (n+1)o polynom (n+2)o
fce. µ
0
konst.
lineární
polynom no
fce. M
konst.
lineární
kvadratická
polynom (n+1)o
© 2005-2010 Petr Kabele
Příklad 1: Vykreslete průběhy posouvající síly a ohybového momentu. fmax= 6 kN/m
s Av
x
Ah
B
z 3m
3m
© 2005-2010 Petr Kabele
© 2005-2010 Petr Kabele
Příklad 2: Je znám průběh ohybového momentu na přímém prutu. Vykreslete odpovídající průběhy posouvající síly a zatížení prutu.
© 2005-2010 Petr Kabele
2.10 Řešení průběhů vnitřních sil pomocí diferenciálních rovnic s okrajovými podmínkami Rovnice (4), (5) a (6) nebo (8) … nezávislé diferenciální rovnice pro N, V, M. Umíme řešit přímou integrací.
N = − ∫ f x ds + C1 V = − ∫ f z ds + C2 M = ∫ (V − µ )ds + C3 = − ∫∫ f n ds − ∫ µ ds + C2 s + C3
C1, C2 a C3 … integrační konstanty, které určíme z okrajových podmínek (známých hodnot N, V, M na okrajích zkoumaného prutu). … „úloha s okrajovými podmínkami“ © 2005-2010 Petr Kabele
Př. 1: Analyzujte průběhy vnitřních sil. fmax= 10 kN/m 120o
s Av
Ah
Normálová síla:
x
B
z 5m
s2 dN = −1 ⋅ s ⇒ N ( s ) = ∫ − s ds + C1 = − + C1 ds 2
Reakce: Ah = -12.5 kN Av = -7.217 kN B = -14.433 kN Transformace spoj. zatížení f max fx = s ⋅ cos 60 = 1 ⋅ s 5 f f z = max s ⋅ sin 60 = 1.732 ⋅ s 5 µ =0
okrajová podmínka (→ rovnováha v b): 52 N (5) = 0 ⇒ − + C1 = 0 ⇒ C1 = 12.5 2
takže s2 N ( s ) = − + 12.5 2
02 N ab = N (0) = − + 12.5 = 12.5 kN = (− Ah ) 2 © 2005-2010 Petr Kabele
Posouvající síla: dV 1.732 ⋅ s 2 = −1.732 ⋅ s ⇒ V ( s ) = ∫ −1.732 ⋅ s ds + C2 = − + C2 ds 2
... pro výpočet integrační konstanty bychom mohli použít rovnováhu posouvající síly a svislé reakce v jednom z krajních bodů. Následující postup je však výhodnější: Ohybový moment: 1.732 ⋅ s 2 dM 1.732 ⋅ s 2 =V = − + C2 ⇒ M ( s ) = ∫ − + C2 ds + C3 ds 2 2 1.732 ⋅ s 3 + C2 ⋅ s + C3 M (s) = − 6
okrajové podmínky pro moment (momentová rovnováha v a a b) : 1.732 ⋅ 03 M ( 0) = 0 ⇒ − + C2 ⋅ 0 + C3 = 0 ⇒ C3 = 0 6 © 2005-2010 Petr Kabele
okrajové podmínky pro moment (pokračování) : 1.732 ⋅ 53 M (5) = 0 ⇒ − + C2 ⋅ 5 + 0 = 0 ⇒ C2 = 7.217 6
takže a
1.732 ⋅ s 3 M ( s) = − + 7.217 ⋅ s 6 1.732 ⋅ s 2 + 7.217 V (s) = − 2 1.732 ⋅ 02 Vab = V (0) = − + 7.217 = 7.217 kN 2 1.732 ⋅ 52 Vba = V (5) = − + 7.217 = −14.433 kN 2
( = − Av ) (= B)
Při použití statických okrajových podmínek (předepsaná síla nebo moment – nulová či nenulová) není nutno předem počítat reakce. Reakce pak můžeme použít pro kontrolu výsledků. © 2005-2010 Petr Kabele
extrémní normálová síla:
extrémní posouvající síla:
dN (= − f x ) = 0 ⇒ −1 ⋅ sextN = 0 ⇒ sextN = 0 m ds N ext = N (0) = 12.5 kN
dV (= − f z ) = 0 ⇒ −1.732 ⋅ sextV = 0 ⇒ sextV = 0 m ds Vext = V (0) = 7.217 kN
extrémní moment: 2 1.732 ⋅ sextM dM (= V ) = 0 ⇒ − + 7.217 = 0 ⇒ sextM = ±2.887 m ds 2 1.732 ⋅ 2.8873 M ext = M (2.887) = − + 7.217 ⋅ 2.887 = 13.889 kNm 6
Další extrémy hledáme na okrajích intervalu.
© 2005-2010 Petr Kabele
12.5
N (kN) +
V (kN)
7.217
+ 2.887 m
-14.433
M (kNm) + 13.889 © 2005-2010 Petr Kabele
Př. 2: Vypočítejte funkce průběhů posouvající síly a ohybového momentu na intervalu (b, c): fmax=10 kN/m c 5m
2m
b
a
d 6m
D Reakce (pro výpočet bude stačit znát reakci D): 10 ⋅ 6 6 ⋅ =0 2 3 D = 10 kN
⌢ a
6D −
© 2005-2010 Petr Kabele
fmax=10 kN/m Posouvající síla: b 10 f z ( s ) = 10 − s 6 dV ( s ) 10 = − f z ( s ) = − 10 + s ds 6 10 s 2 5 V ( s ) = ∫ − f z ( s ) ds + C1 = − 10 s + + C1 = − 10 s + s 2 + C1 6 2 6
c s a
d 6m
D Pro určení integrační konstanty musíme znát hodnotu posouvající síly v jednom z krajních bodů intervalu. Zde snadno určíme Vcb z reakce D. Vcb = − D = − 10 kN Vcb = V ( 6 ) 5 V (6) = −10 ⋅ 6 + 6 2 + C1 = −10 6 C1 = 20 5 V ( s) = −10 ⋅ s + s 2 + 20 6 © 2005-2010 Petr Kabele
fmax=10 kN/m Ohybový moment: 5 V ( s ) = − 10 ⋅ s + s 2 + 20 6 dM ( s ) 5 = V ( s ) = − 10 ⋅ s + s 2 + 20 ds 6 s2 5 s3 M ( s ) = ∫ V ( s ) ds + C 2 = − 10 ⋅ + + 20 s + C 2 2 6 3 5 = − 5 s 2 + s 3 + 20 s + C 2 18
b
c s a
d 6m
D
Pro určení integrační konstanty musíme znát hodnotu ohyb. momentu síly v jednom z krajních bodů intervalu. Zde snadno určíme Mcb výpočtem zprava. M cb = 0 kN
M cb = M ( 6 ) M (6) = − 5 ⋅ 6 2 +
5 3 6 + 20 ⋅ 6 + C 2 = 0 18
C2 = 0 M ( s ) = −5 s 2 +
5 3 s + 20 s 18 © 2005-2010 Petr Kabele
Tento dokument je určen výhradně jako doplněk k přednáškám z předmětu Stavební mechanika 2 pro studenty Stavební fakulty ČVUT v Praze. Dokument je průběžně doplňován, opravován a aktualizován a i přes veškerou snahu autora může obsahovat nepřesnosti a chyby.
Datum poslední revize: 15.3.2011 © 2005-2010 Petr Kabele
