27 A = O = = = = = = =. = = 1. ax A( )

G&R vwo B deel 4 C. von Schwartzenberg

15 Toepassingen 1/27

1a

PQ = yQ = f (1 21 ) = 5 − 2 ⋅ 1 21 = 5 − 3 = 2. A = OOPQR = OP ⋅ PQ = 1 21 ⋅ 2 = 1 21 2.

1b

PQ = yQ = f ( p ) = 5 − 2 ⋅ p = 5 − 2 p . A = OOPQR = OP ⋅ PQ = p ⋅ 5 − 2 p = p 5 − 2 p .

1c

A = p 5 − 2p (optie maximum) ⇒ A max ≈ 2,15 (voor p ≈ 1, 67).

2a

2b 2c

OQ = xQ = x P = p en PQ = yP = f ( p ) = 3 − p . A = OOPQ = 21 ⋅ OQ ⋅ PQ = 21 ⋅ p ⋅ 3 − p = 21 p 3 − p . 3−p 2 3 −p p 2(3 − p ) − p 6 − 2p − p 6 − 3p 1 A = 21 p 3 − p ⇒ dA = 21 ⋅ 3 − p + 21 p ⋅ ⋅ −1 = ⋅ − = = = . 2 dp 2⋅ 3−p 2 3−p 4 3 −p 4 3 −p 4 3−p 4 3 −p dA = 0 ⇒ 6 − 3p = 0 (teller = 0) ⇒ 6 − 3p = 0 ⇒ 6 = 3p ⇒ dp 4 3−p A max = A(2) = 21 ⋅ 2 ⋅ 3 − 2 = 1 ⋅ 1 = 1.

2d

L = OP = OQ 2 + PQ 2 = p 2 + 3 − p

2e

L = p 2 − p + 3 ⇒ dL = dp

1 2 ⋅ p2 − p + 3

2

=

p = 2.

p 2 + 3 − p = p 2 − p + 3.

⋅ (2 p − 1) =

2p − 1 2 p2 − p + 3

.

2p − 1 dL = 0 ⇒ = 0 (teller = 0) ⇒ 2 p − 1 = 0 ⇒ 2p = 1 ⇒ p = 1 . dp 2 2 p2 − p + 3 11 11 1 1 1 1 3 11 1 − +3 = − +3 = 2 = = = = 11. L min = L( ) = 2 4 2 4 4 4 2 2 4

3a

A = OOSP = 21 ⋅ OS ⋅ yP = 21 ⋅ 4 ⋅ p 8 − 2p = 2p 8 − 2 p . A = 2 p 8 − 2 p ⇒ dA = 2 ⋅ 8 − 2 p + 2 p ⋅ dp

8 − 2p 8 − 2p 1 ⋅ −2 = 2 ⋅ ⋅ − 1 2 ⋅ 8 − 2p 8 − 2p

dA = 0 ⇒ 16 − 6 p = 0 (teller = 0) ⇒ 16 − 6 p = 0 ⇒ 16 = 6 p ⇒ dp 8 − 2p

2p 8 − 2p

=

2(8 − 2 p ) − 2 p 8 − 2p

=

16 − 6 p 8 − 2p

.

= 8. p = 16 6 3

⋅ 8 − 16 = 16 ⋅ 8 = 16 ⋅ 8 = 16 ⋅ 2 2 ⋅ 3 = 16 ⋅ 2 6 = 32 6 = 3 5 6. A max = A( 83 ) = 2 ⋅ 83 ⋅ 8 − 2 ⋅ 83 = 16 3 3 3 3 3 3 3 3 9 9 3 3 3 3b

A = OQSP = 21 ⋅ QS ⋅ yP = 21 ⋅ (4 − p ) ⋅ p 8 − 2 p = (2 p − 21 p 2 ) 8 − 2 p .

3c

2 p − 21 p 2 (2 − p ) ⋅ 8 − 2 p 8 − 2p 1 A = (2p − 21 p 2 ) 8 − 2 p ⇒ dA = (2 − p ) ⋅ 8 − 2 p + (2 p − 21 p 2 ) ⋅ ⋅ −2 = ⋅ − 1 dp 2 ⋅ 8 − 2p 8 − 2p 8 − 2p

= 3d

(2 − p ) ⋅ (8 − 2 p ) − (2 p − 21 p 2 ) 8 − 2p

=

16 − 4 p − 8 p + 2 p 2 − 2 p + 21 p 2 8 − 2p

=

2 21 p 2 − 14 p + 16 8 − 2p

2 dA = 0 ⇒ 5 p − 28 p + 32 = 0 (teller = 0) ⇒ 5 p 2 − 28 p + 32 = 0 met D = ( −28)2 − 4 ⋅ 5 ⋅ 32 = 144, dus dp 2 8 − 2p Dit geeft p = 28 + 12 = 40 = 4 (voldoet niet, omdat dan de noemer nul is) ∨ p = 28 − 12 = 16 = 1, 6. 2⋅5 10 2⋅5 10 A max = A(1, 6) = (2 ⋅ 1, 6 − 1 ⋅ 1, 62 ) 8 − 2 ⋅ 1, 6 ≈ 4,21. 2

=

5 p 2 − 28 p + 32 2 8 − 2p

.

D = 12.

4a

A = OOPQ = 21 ⋅ QP ⋅ yP = 21 ⋅ 2x P ⋅ yP = x P ⋅ yP = p ⋅ (3 − 21 p 2 ) = 3p − 21 p 3 .

4b

A = 3p − 21 p 3 ⇒ dA = 3 − 1 21 p 2 en dA = 0 ⇒ 3 − 1 21 p 2 = 0 ⇒ 3 = 1 21 p 2 ⇒ 3p 2 = 6 ⇒ p 2 = 2 ⇒ p = 2. dp dp A max = A( 2) = 2(3 − 21 ⋅ 2) = 2 ⋅ 2 = 2 2.

4c

L = OP = (x P )2 + (y P )2 = p 2 + (3 − 21 p 2 )2 = p 2 + (3 − 21 p 2 )(3 − 21 p 2 ) = p 2 + 9 − 3p 2 + 41 p 4 = 41 p 4 − 2 p 2 + 9. L = 41 p 4 − 2p 2 + 9 ⇒ dL = dp 2⋅ dL = 0 ⇒ dp 2 3

p 3 − 4p 1 p 4 − 2p 2 + 4

9

1 ⋅ (p3 − 4p) = 1 p 4 − 2p 2 + 9 2 4

p 3 − 4p 1 p 4 − 2p 2 + 4

9

.

= 0 (teller = 0) ⇒

p − 4 p = 0 ⇒ p ( p 2 − 4) = 0 ⇒ p = 0 ∨ p 2 = 4 ⇒ p = 0 ∨ p = −2 ∨ p = 2. L min (zie een plot) = L(2) = 41 ⋅ 24 − 2 ⋅ 22 + 9 = 4 − 8 + 9 = 5.

G&R vwo B deel 4 C. von Schwartzenberg 5a


Noem x P = p dan yP = f ( p ) = p p ⇒ P ( p , p p ) en A(4, 0).

L = AP = (4 − p )2 + ( p p − 0)2 = (4 − p )(4 − p ) + ( p p )2 = 16 − 8 p + p 2 + p 2 ⋅ p = p 3 + p 2 − 8p + 16. 5b

L = p 3 + p 2 − 8p + 16 ⇒ dL = dp

1 2 ⋅ p 3 + p 2 − 8 p + 16

⋅ (3p 2 + 2 p − 8) =

3p 2 + 2p − 8 dL = 0 ⇒ = 0 (teller = 0) ⇒ 3p 2 + 2 p − 8 = 0 met dp 2 p 3 + p 2 − 8 p + 16

3p 2 + 2p − 8 2 p 3 + p 2 − 8 p + 16

.

D = 22 − 4 ⋅ 3 ⋅ −8 = 4 + 96 = 100.

Dit geeft p = −2 − 100 = −2 − 10 = −2 (voldoet niet omdat p > 0) ∨ p = −2 + 100 = −2 + 10 = 8 = 4 . 2⋅3 6 2⋅3 6 6 3 Het gevraagde punt is ( 4 , 4 4 ) = ( 4 , 4 4 ) = ( 4 , 4 2 ⋅ 3 ) = ( 4 , 8 3). 3 3

6a

3

3 3

3 3 3

3

3

3 9

Noem x P = p dan yP = f ( p ) = p ⋅ 3 8 − p . (maak een schets) A = OOSP = 1 ⋅ OS ⋅ yP = 1 ⋅ 8 ⋅ p ⋅ 3 8 − p = 4 p ⋅ 3 8 − p . 2

2

1 −2 A = 4 p ⋅ 3 8 − p = 4 p ⋅ (8 − p ) 3 ⇒ dA = 4 ⋅ 3 8 − p + 4 p ⋅ 31 ⋅ (8 − p ) 3 ⋅ −1 = 4 ⋅ 3 8 − p −

dp

dA = 0 ⇒ 4 ⋅ 3 8 − dp

4p

p−

3(8

2 − p )3

1

=0⇒

4(8 − p ) 3 = 1

4p 2

4p 2

.

3(8 − p ) 3

⇒ 12(8 − p ) = 4 p ⇒ 96 − 12 p = 4 p ⇒ 96 = 16 p ⇒ p = 6.

3(8 − p ) 3

A max = A(6) = 4 ⋅ 6 ⋅ 3 8 − 6 = 24 ⋅ 3 2. 6b

x P = p dan yP = f ( p ) = p ⋅ 3 8 − p (maak een schets) geeft A = OOPQ = 21 ⋅ OQ ⋅ PQ = 21 ⋅ p ⋅ p ⋅ 3 8 − p = 21 p 2 ⋅ 3 8 − p .

6c

A = 21 p 2 ⋅ 3 8 − p = 21 p 2 ⋅ (8 − p ) 3 ⇒ dA = p ⋅ 3 8 − p + 21 p 2 ⋅ 31 ⋅ (8 − p ) dp

1

 dA  = 7 ⋅38 − 7 −  dp  p =7 7

72

2

6(8 − 7) 3

−

2 3

⋅ −1 = p ⋅ 3 8 − p −

p2 2

.

6(8 − p ) 3

= 7 ⋅ 1 − 49 = 7 − 49 ≠ 0 ⇒ A heeft geen extreem (dus ook geen maximum) voor p = 7. 6 ⋅1 6

Noem xB = b dan yB = f (b ) = b 2 − 2 (maak een schets) L = OB + AB = b 2 + (b 2 − 2)2 + b 2 + (b 2 − 2 − 6)2 = b 2 + (b 2 − 2)(b 2 − 2) + b 2 + (b 2 − 8)(b 2 − 8) = b 2 + b 4 − 2b 2 − 2b 2 + 4 + b 2 + b 4 − 8b 2 − 8b 2 + 64 = b 4 − 3b 2 + 4 + b 4 − 15b 2 + 64. L min (optie minimum) ≈ 7,27 (voor b ≈ 1, 85 of voor b ≈ −1, 85).

8a

p = −3 ⇒ L = yA − yB = 2 ⋅ −3 + 15 − 21 ⋅ −3 = 9 + 1 21 = 3 + 1 21 = 4 21 .

8b

L = yA − yB = f ( p ) − g ( p ) = 2 p + 15 − 21 p .

8c

AB is maximaal (optie maximum) voor p = −5,5.

9a

L = yA − yB = f ( p ) − g ( p ) = 6 p + 12 − ( p + 2) = 6p + 12 − p − 2.

9b

L = 6p + 12 − p − 2 ⇒ dL =

3 1 ⋅6 −1 = − 1. 2 ⋅ 6 p + 12 6 p + 12 3 3 −1 = 0 ⇒ = 1 ⇒ 6 p + 12 = 3 (kwadrateren) ⇒ 6 p + 12 = 9 ⇒ 6p = −3 ⇒ 6 p + 12 6 p + 12 1 dp

dL = 0 ⇒ dp

L min = L( − 1 ) = 2 10

6 ⋅ − 1 + 12 + 1 − 2 = 2 2

9 −1 1 = 3 −1 1 =1 1 . 2 2 2

L = CD = yD − yC = g ( p ) − f ( p ) = 21 p + 5 − p 2 + 4.

p 1 L = 21 p + 5 − p 2 + 4 ⇒ dL = 21 − ⋅ 2p = 1 − 2 . 2 dp p +4 2 ⋅ p2 + 4 dL = 0 ⇒ 1 − 2 dp

p 2

p +4

= 0 (optie intersect) ⇒ p ≈ 1,155.

L max = L(Ans) = 21 Ans + 5 − Ans2 + 4 ≈ 3,27.

p = − 1 (voldoet). 2

G&R vwo B deel 4 C. von Schwartzenberg 11


(

)

L = AB = yA − yB = f ( p ) − g ( p ) = 21 sin(2 p ) − cos( p ) − 1 21 = 21 sin(2 p ) − cos( p ) + 1 21 . L = 21 sin(2 p ) − cos( p ) + 1 21 ⇒ dL = 21 cos(2 p ) ⋅ 2 + sin( p ) = cos(2 p ) + sin( p ).

dp dL = 0 ⇒ cos(2 p ) + sin( p ) = 0 ⇒ cos(2 p ) = − sin( p ) ⇒ sin(2 p + 1 π ) = sin( p + π ). 2 dp 1 1 2 p + π = p + π + k ⋅ 2π ∨ 2 p + π = π − ( p + π ) + k ⋅ 2π 2 2 p op [ 0, 2π ] geeft p = 21 π + k ⋅ 2π ∨ 3p = − 21 π + k ⋅ 2π p = 21 π + k ⋅ 2π ∨ p = − 61 π + k ⋅ 32 π p = 21 π ∨ p = 76 π ∨ p = 11 π. 6 L max (zie een plot van L) = L(1 61 π ) = 21 sin(2 31 π ) − cos(1 61 π ) + 1 21 = 21 ⋅ 21 3 − − 21 3 + 1 21 = 41 3 + 21 3 + 1 21 = 34 3 + 1 21 .

12a

L = AB = yB − yA = g ( p ) − f ( p ) = − 34 p + 10 − 25 − p 2 . (vanwege de wortel moet gelden: 25 − p

L

=−4 3

p + 10 − 25 − p

dL = 0 ⇒ − 4 + 3 dp

2

p 25 − p

2

2

≥ 0 ⇒ −p

2

≥ −25 ⇒ p

2

≤ 25 ⇒ −5 ≤ p ≤ 5)

1 ⇒ dL = − 4 − ⋅ −2 p = − 4 + 3 2 ⋅ 25 − p 2 3 dp

p

=0⇒

2

25 − p 2

.

= 4 ⇒ 3p = 4 25 − p 2 (kwadrateren) ⇒ 9 p 2 = 16(25 − p 2 ) ⇒ 3

25 − p 2 2

2

p

9 p = 16 ⋅ 25 − 16 p ⇒ 25 p = 16 ⋅ 25 ⇒ p 2 = 16 ⇒ p = −4 (voldoet niet) ∨ p = 4 (voldoet). + 10 − 9 = −5 1 + 7 = 1 2 . L min = L(4) = − 43 ⋅ 4 + 10 − 25 − 42 = − 16 3 3 3 12b

AB = 10 ⇒ − 43 p + 10 − 25 − p 2 = 10 ⇒ − 34 p = 25 − p 2 (kwadrateren) ⇒ AB

13

14a

16 p 2 = 25 − p 2 ⇒ 25 p 2 = 25 ⇒ p 2 = 9 ⇒ p = 3 (voldoet niet) ∨ 9 9 > 10 (zie een plot en houd rekening met het domein) ⇒ −5 ≤ p < −3.

p = −3 (voldoet).

L = CD = f ( p ) − g ( p ) = ln(2 p + 5) − 1 p .

2 (vanweg de ln(... moet zeker gelden: 2 p + 5 > 0 ⇒ 2 p > −5 ⇒ p > −2 21 ) L = ln(2p + 5) − 1 p ⇒ dL = 1 ⋅ 2 − 1 = 2 − 1 . 2 dp 2p + 5 2 2p + 5 2 dL = 0 ⇒ 2 − 1 =0⇒ 2 1 = ⇒ 2 p + 5 = 4 ⇒ 2 p = −1 ⇒ dp 2p + 5 2 2p + 5 2 1 1 1 L max = L( − ) = ln(2 ⋅ − + 5) − ⋅ − 1 = ln(4) + 1 . 2 2 2 2 4

p = − 1 (enige kandidaat). 2

f (x ) = 5x ⋅ e x ⇒ f '(x ) = 5 ⋅ e x + 5x ⋅ e x = (5x + 5) ⋅ e x . f '(x ) = 0 ⇒ (5x + 5) ⋅ e x = 0 ⇒ 5x + 5 = 0 ∨ e x = 0 (kan niet) ⇒ 5x = −5 ⇒ x = −1. Het minimum van f is f ( −1) = 5 ⋅ −1 ⋅ e −1 = − e5 . Dus Bf =  − e5 , → . 

14b

g (x ) = 5x 2 ⋅ e x ⇒ g '(x ) = 10x ⋅ e x + 5x 2 ⋅ e x = (5x 2 + 10x ) ⋅ e x . g '(x ) = 0 ⇒ (5x 2 + 10x ) ⋅ e x = 0 ⇒ 5x (x + 2) ⋅ e x = 0 ⇒ x = 0 ∨ x = −2 ∨ e x = 0 (kan niet). Het maximum (zie een plot) van g is g ( −2) = 5 ⋅ ( −2)2 ⋅ e −2 = 5 ⋅ 4 ⋅ e −2 = 202 . Het minimum (zie een plot) van g is g (0) = 5 ⋅ 02 ⋅ e 0 = 5 ⋅ 0 ⋅ 1 = 0.

14c

e

L = AB = g ( p ) − f ( p ) = 5 p 2e p − 5 pe p = (5 p 2 − 5 p )e p . (met p < 0) L = (5 p 2 − 5 p )e p ⇒ dL = (10 p − 5) ⋅ e p + (5 p 2 − 5 p ) ⋅ e p = (10 p − 5 + 5 p 2 − 5 p ) ⋅ e p = (5 p 2 + 5 p − 5) ⋅ e p . dp

dL = 0 ⇒ 5( p 2 + dp

p − 1) ⋅ e p = 0 (e p = 0 kan niet) ⇒ p 2 + p − 1 = 0 met D = 12 − 4 ⋅ 1 ⋅ −1 = 5 ⇒ p = −1 − 5 (want p < 0). 2

Dus L is maximaal voor p

= −1 − 5 . 2 q 2 q

14d

L = CD = f (q ) − g (q ) = 5qe − 5q e . (met 0 < q < 1) L max (optie maximum) ≈ 2,190 (voor q ≈ 0, 618).

15a

L = AB = f (q ) − g4 (q ) =

(

)

1 − 4 cos2 (q ) − 2 = 1 − 4 cos2 (q ) + 2. sin(q ) sin(q ) 2 −1

L = 1 − 4 cos2 (q ) + 2 = sin(q ) − 4 cos(q ) + 2 ⇒ sin(q ) dL = − sin(q ) −2 ⋅ cos(q ) − 4 ⋅ 2 cos(q ) 1 ⋅ − sin(q ) = − cos(q ) + 8cos(q ) sin(q ). dq sin2 (q )

(

(

)

)

(

(

)

)


15b


dL = 0 (met 0 < q < π ) ⇒ − cos(q ) + 8cos(q ) sin(q ) = 0 ⇒ 8cos(q ) sin(q ) = cos(q ) ⇒ 8cos(q ) sin3 (q ) = cos(q ) ⇒ dq sin2 (q ) sin2 (q ) cos(q ) = 0 ∨ 8 sin3 (q ) = 1 ⇒ q = 1 π (geeft maximum) ∨ sin3 (q ) = 1 ⇒ sin(q ) = 1 (geeft minimum) ⇒ q = 1 π ∨ 2 8 2 6 Dus AB is minimaal voor q = 1 π en q = 5 π . 6 6 −1 −2 cos(x ) 1 f (x ) = = sin(x ) ⇒ f ′(x ) = − sin(x ) ⋅ cos(x ) = − 2 . sin(x ) sin (x ) 2 1 2

(

)

(

q = 56 π .

)

g p (x ) = p cos (x ) − 2 = p ( cos(x ) ) − 2 ⇒ g p′ (x ) ⇒ p ⋅ 2 ( cos(x ) ) ⋅ − sin(x ) = −2 p sin(x ) cos(x ). Voor raken geldt (met 0 < x < π ): ∧ f (x ) = g p (x ) (dezelfde waarden) f ′(x ) = g p′ (x ) (dezelfde helling) 1 = sin(x )

p cos2 (x ) − 2

p sin(x ) cos2 (x ) − 2sin(x ) = 1 3

geeft: cos(x ) = 0 ∨ 2p sin (x ) = 1 ⇒ x = 21 π

x

−

∧

2 p sin (x ) cos(x ) = cos(x )

3 (voldoet niet aan ) ∨ 2 p sin (x ) = 1 ⇒

1 cos2 (x ) − 2sin(x ) = 1 ⇒ 2 sin2 (x ) 1 ≈ 5,29. ≈ 0, 4728 invullen in ⇒ p = 2 sin3 (Ans) 1 ≈ 2, 6688 invullen in ⇒ p = ≈ 5,29. 2 sin3 (Ans)

invullen in ⇒ x

cos(x ) = −2 p sin(x ) cos(x ) sin2 (x ) 3

∧

p sin(x ) =

1 2 sin2 (x )

x ≈ 0, 4728 en x ≈ 2, 6688.

Dus de grafieken raken elkaar voor p ≈ 5,29.

16

I = l ⋅ b ⋅ h = 2x ⋅ x ⋅ h = 2x 2h  ⇒ 2x 2h = 40 ⇒ h = 40 = 20 .  2x 2 x2 I = 40 

17a

K = K bodem + K zijwanden = 2x ⋅ x ⋅ 0, 4 + 2 ⋅ 2x ⋅ h ⋅ 0,2 + 2 ⋅ x ⋅ h ⋅ 0,2 = 0,8x 2 + 0,8xh + 0, 4xh = 0,8x 2 + 1,2xh . I = l ⋅ b ⋅ h = 2x ⋅ x ⋅ h = 2x 2h  ⇒ 2x 2h = 72 ⇒ h = 72 = 36    2x 2 x 2  ⇒ K = 0,8x 2 + 1,2x ⋅ 362 = 0,8x 2 + 43,2 . I = 72  x x  K = 0,8x 2 + 1,2xh 

17b

43,2 K = 0,8x 2 + 43,2 = 0,8x 2 + 43,2x −1 ⇒ dK = 1, 6x − 43,2x −2 = 1, 6x − 2 . x dx x dK = 0 ⇒ 1,6x − 43,2 = 0 ⇒ 1,6x = 43,2 ⇒ 1,6x 3 = 43,2 ⇒ x 3 = 43,2 = 27 ⇒ x = 3 27 = 3 (de enige kandidaat). 2 2 1,6 dx

x

x

K is minimaal bij de afmetingen l = 2x = 2 ⋅ 3 = 6 (dm) bij b = x = 3 (dm) bij h = 362 = 36 = 4 (dm). 9 x 2 43,2 K min = K (3) = 0,8 ⋅ 3 + 3 = 21, 60 (€). 18a

M = O bodem + O zijwanden = x ⋅ x + 4 ⋅ x ⋅ h = x 2 + 4xh . I = l ⋅ b ⋅ h = x ⋅ x ⋅ h = x 2h  ⇒ x 2h = 16 ⇒ h = 16    x 2  ⇒ M = x 2 + 4x ⋅ 162 = x 2 + 64 . I = 16  x

18b

x

 

M = x 2 + 4xh

M = x 2 + 64 = x 2 + 64x −1 ⇒ dM = 2x − 64x −2 = 2x − 642 . x dx x dM = 0 ⇒ 2x − 642 = 0 ⇒ 2x = 642 ⇒ 2x 3 = 64 ⇒ x 3 = 64 = 32 ⇒ x = 3 32 (de enige kandidaat voor een minimum). 2 dx

x

x

M is minimaal bij de afmetingen l = x = 3 32 ≈ 3,17 (dm) bij b = x = 3 32 ≈ 3,17 (dm) bij h = 162 = 16 2 ≈ 1,59 (dm). x

19a

32

O = O bodem + deksel + O omhulsel = 2 ⋅ π r 2 + 2π r ⋅ h = 2π r 2 + 2π rh .  I = G ⋅ h = π r 2 ⋅ h = π r 2h  2 1000  ⇒ π r h = 1 000 ⇒ h = 2  2 2 2000 3 1000 π r I = 1 000 (cm )  ⇒ O = 2π r + 2π r ⋅ 2 = 2π r + r .  πr

 

O = 2π r 2 + 2π rh 19b

3

O = 2π r 2 + 2000 = 2π r 2 + 2 000r −1 ⇒ dO = 4π r − 2 000r −2 = 4π r − 2000 . r dr r2 3 3 dO = 0 ⇒ 4π r − 2000 = 0 ⇒ 4π r = 2000 ⇒ 4π r = 2 000 ⇒ r = 2000 = 500 ⇒ r = 3 500 (enige kandidaat). 2 2 π π 4π dr

r

r

≈ 5, 4 (cm) en hoogte h = 10020 ≈ 10,8 (cm). O is minimaal bij een straal r = 3 500 π πr



K = K langs bos + K in weiland = y ⋅ 60 + x ⋅ 15 + y ⋅ 15 = 15x + 75y . O = l ⋅ b = x ⋅ y = xy  1200   ⇒ xy = 1200 ⇒ y = x  ⇒ K = 15x + 75 ⋅ 1200 = 15x + 90000 . O = 1200   x x  K = 15x + 75y 

20b

20c

K = 15x + 90000 = 15x + 90 000x −1 ⇒ dK = 15 − 90 000x −2 = 15 − 90000 . 2

dx x x dK = 0 ⇒ 15 − 90000 = 0 ⇒ 15 = 90000 ⇒ 15x 2 = 90 000 ⇒ x 2 = 90000 = 6 000 (x > 0) ⇒ x = 6 000. 2 2 dx 15 x x K is minimaal bij de afmetingen l = x = 6 000 ≈ 77,5 (m) bij b = y = 1200 = 1200 ≈ 15, 5 (m). x 6000 K min = K ( 6 000) = 15 ⋅ 6 000 + 90000 ≈ 2324 (€). 6000

K = 15x + 90000 = 2 500 (intersect) ⇒ x ≈ 52, 6 en x ≈ 114,1 (nog langer dan in 20b). x

Hij kiest de afmetingen l = x ≈ 52, 6 (m) bij b = y = 1200 ≈ 22, 8 (m). x

21a

I potje = G ⋅ h = π r 2h = 500 ⇒ h = 5002 . πr

O deksel = O bovenkant + O rand = π r 2 + 2π r ⋅ 1 = π r 2 + 2π r . O potje = O bodem + O zijkant = π r 2 + 2π r ⋅ h = π r 2 + 2π rh = π r 2 + 2π r ⋅ 5002 = π r 2 + 1000 . r πr

(

)

(

)

a = 3π ar 2 + 4π ar + 1000a . K = K deksel + K potje = π r 2 + 2π r ⋅ 2a + π r 2 + 1000 ⋅ a = 2π ar 2 + 4π ar + π ar 2 + 1000 r r r

21b

(

)

K = a 3π r 2 + 4π r + 1000 is minimaal als 3π r 2 + 4π r + 1000 minimaal is. r r De optie minimum geeft K is minimaal voor r ≈ 3,5. De straal r ≈ 3,5 (cm) en de hoogte h = 5002 ≈ 12,6 (cm). πr

22a

De snelheid van de boot is v − 3 (km/uur) ⇒ v − 3 = t5 ⇒ t ⋅ (v − 3) = 5 ⇒ t = 5 .

22b

De brandstofkosten Ku per uur zijn evenredig met v 2 ⇒ Ku = cv 2 . 2 K = Ku ⋅t = cv 2 ⋅ 5 = 5cv .

v −3

v −3

22c

3

v

v −3

2 2 2 K = v5cv = c ⋅ 5v is minimaal als 5v minimaal is. −3 v −3 v −3 De optie minimum geeft K is minimaal voor v ≈ 6 (km/uur).

23a

AB + BC + AC = 12 met AB = x en BC = AC ⇒ x + AC + AC = 12 ⇒ x + 2AC = 12 ⇒ 2AC = 12 − x ⇒ AC = 6 − 21 x .

23b

In ∆ACD is AD 2 + CD 2 = AC 2 2

( 21 x )

2 + CD 2 = 6 − 1 x

(

)

2 1 x 2 + CD 2 = 36 − 6x + 1 x 2 4 4 2

6−

1 2

x

CD = 36 − 6x ⇒ CD = 36 − 6x . 23c

O∆ABC = 1 ⋅ AB ⋅ CD = 1 ⋅ x ⋅ 36 − 6x = 1 x 36 − 6x .

23d

O = 21 x 36 − 6x

23e

dO = 0 ⇒ 36 − 9x = 0 (teller = 0) ⇒ 36 − 9x = 0 ⇒ 36 = 9x ⇒ x = 4 (de enige kandidaat). dx 2 36 − 6x Omax = O (4) = 21 ⋅ 4 ⋅ 36 − 6 ⋅ 4 = 2 ⋅ 36 − 24 = 2 ⋅ 12 = 2 ⋅ 4 ⋅ 3 = 2 ⋅ 2 3 = 4 3.

2

1x 2 2 1 ⇒ dO = 1 ⋅ 36 − 6x + 1 x ⋅ ⋅ −6 2 2 dx 2 36 − 6x 3x 3x 3x = 36 − 6x − = 36 − 6x ⋅ 36 − 6x − = 36 − 6x − = 36 − 9x . 2 2 2 36 − 6x 36 − 6x 2 36 − 6x 2 36 − 6x 2 36 − 6x 2 36 − 6x

2

24a

K = KAP + K PB + K PC = (200 − x ) ⋅ 12 + 2 ⋅ x 2 + 3 600 ⋅ 10 = 2 400 − 12x + 20 ⋅ x 2 + 3 600.

24b

K = 2 400 − 12x + 20 ⋅ x 2 + 3 600 ⇒ dK = −12 + 20 ⋅ dx

dK = 0 ⇒ −12 + dx

(

20x =0⇔ x 2 + 3600

)

1 ⋅ 2x = −12 + 2 x 2 + 3600 2

20x = 12 ⇒ 20x = 12 x x 2 + 3600

20x . x 2 + 3600

+ 3 600 ⇒ 5x = 3 x 2 + 3 600 (kwadrateren) ⇒

25x 2 = 9 x 2 + 3 600 ⇒ 25x 2 = 9x 2 + 32 400 ⇒ 16x 2 = 32 400 ⇒ x 2 = 32400 = 2 025 ⇒ x = 45. 16

2

K min = K (45) = 2 400 − 12 ⋅ 45 + 20 ⋅ 45 + 3 600 = 3360 (€).



25a

AB ' = 5002 + 2002 = 290 000 ⇒ K = 290 000 ⋅ 100 + 100 ⋅ 150 ≈ 68 852 (€).

25b

AB = 5002 + 3002 = 340 000. AC : BC = 2 : 1  ⇒ AC = 2 AB en BC = 1 AB . Dus K = 2 340 000 ⋅ 100 + 1 340 000 ⋅ 150 ≈ 68 028 (€). 3 3 3 3 AC + BC = AB 

25c

AP = x 2 + 2002 en BP = (500 − x )2 + 1002 . K = 100 ⋅ x 2 + 2002 + 150 ⋅ (500 − x )2 + 1002 (optie minimum geeft) K min ≈ 65 721 (€ voor x ≈ 424).

26a

AP = x 2 + 0,12 = x 2 + 0, 01 en BP = (0, 4 − x )2 + 0,22 = 0,16 − 0,8x + x 2 + 0, 04 = x 2 − 0,8x + 0,2. + BP = 1 AP + 1 BP = 1 x 2 + 0, 01 + 1 x 2 − 0,8x + 0,2. t = AP 18 12 18 12 18 12

26b

1 x 2 + 0, 01 + 1 x 2 − 0,8x + 0,2 (optie minimum geeft) t = 18 12 tmin ≈ 0, 0358 (uur). Dit is afgerond 129 seconden.

27a

De afgelegde afstand in het water is x 2 + 22 = x 2 + 4. De afgelegde afstand over land is 10 − x . 1 10 − x = 1 x 2 + 4 + 5 − 1 x . t = 41 x 2 + 4 + 12 ( ) 4 6 12

27b

x 1 x ⇒ dt = 1 ⋅ 1 t = 41 x 2 + 4 + 56 − 12 ⋅ 2x − 1 = − 1 . 12 4 2 x2+ 4 dx 4 x 2 + 4 12 dt = 0 ⇒ x x − 1 =0⇒ = 1 ⇒ 12x = 4 12 dx 4 x 2 + 4 12 4 x2+ 4 2 2 2 2 1 9x = x + 4 ⇒ 8x = 4 ⇒ x = (x > 0) ⇒ x = 1 = 2 2

28a

x 2 + 4 ⇒ 3x = x 2 + 4 (kwadrateren) ⇒ 1 ⋅ 2 = 1 2 (enige kandidaat voor het minimum). 2 2 2

AP = x ⇒ PD = 20 − x . Pythagoras is ∆APD: AD = PD 2 − AP 2 = (20 − x )2 − x 2 = 400 − 40x + x 2 − x 2 = 400 − 40x .

O∆APD = 21 ⋅ AD ⋅ AP = 21 ⋅ 400 − 40x ⋅ x = 21 x 400 − 40x . 28b

10x 1 O = 21 x 400 − 40x ⇒ dO = 21 ⋅ 400 − 40x + 21 x ⋅ ⋅ −40 = 400 − 40x − . 2 dx 2 400 − 40x 400 − 40x dO = 0 ⇒ 400 − 40x − 10x 10x = 0 ⇒ 400 − 40x = ⇒ 20x = 400 − 40x ⇒ 60x = 400 ⇒ x = 400 = 20 . 2 2 60 3 dx 400 − 40x 400 − 40x

) = 1 ⋅ 20 ⋅ 400 − 40 ⋅ 20 ≈ 38, 49 (cm2 ). Omax = O ( 20 3 2 3 3 29a

x P = r cos(ct ) met r = 3 en de periode is 5, dus c = 25π = 52 π . y P = r sin(ct ) met r = 3 en de periode is 5, dus c = 25π = 52 π .

29b

y P ' = y P ⇒ y P ' = 3sin( 25 πt ).

30a

De punten P en Q hebben beide frequentie f = c = 40π = 40 = 20 Hz.

30b

De trillingstijd van P en Q is T = 1 = 1 = 5 = 0, 05 seconde.

2π

(

uQ = 5 sin 40πt

2π

2

20 100 f 0,015 0,015 3 − π = 5 sin 40π (t − 0, 015) . Het faseverschil is = = 15 = 3 . 5 0,05 50 10 T

)

(

)

translatie (0,015; 0)

30c

uP = 5 sin ( 40πt )  → uQ = 5 sin ( 40π (t − 0, 015) ) .

30d

P legt per kwartier 20(freq./sec.) ⋅ 60(seconden in 1 minuut) ⋅ 15(minuten) ⋅ 4 ⋅ 5(amplitude) = 360 000 cm af. Dit is 3,6 km. (elke periode wordt de amplitude 4 keer (omhoog en terug, omlaag en terug) afgelegd )

31a

  amplitude = 10 ⇒ b = 10  ⇒ uP = 10 sin ( 6πt ) (t in seconden en uP in cm). f = 2cπ = 3 ⇒ c = 3 ⋅ 2π = 6π   uQ = 10 sin ( 6π (t − d ) ) 1  ⇒ uQ = 10 sin 6π (t − 30 ) (t in sec. en uQ in cm). 1 1 1 1 1 1 faseachterstand en trillingstijd T = = geeft d = ⋅ =  10 3 10 3 30  f

uP = b sin (ct )

(

)

G&R vwo B deel 4 C. von Schwartzenberg 31b


(

1 ) uP = uQ geeft 10 sin ( 6πt ) = 10 sin 6π (t − 30 sin ( 6πt ) = sin 6πt − 1 π ) 5

(

)

31c

)

6πt = 6πt − 1 π + k ⋅ 2π ∨ 6πt = π − (6πt − 1 π ) + k ⋅ 2π 5 5 0 = − 1 π + k ⋅ 2π ∨ 6πt = π − 6πt + 1 π + k ⋅ 2π 5 5 geen oplossing ∨ 12πt = 6 π + k ⋅ 2π 5 1 +k ⋅ 1 . t = 10 6 6 ∨ t = 16 ∨ t = 26 ∨ t = 36 ∨ t = 46 ∨ t = 56 . t op 0,1 ⇒ t = 60 60 60 60 60 60 Dus t = 1 ∨ t = 4 ∨ t = 13 ∨ t = 3 ∨ t = 23 ∨ t = 14 . 10 15 30 5 30 15

Op t = 4 , t = 3 , t = 14 .

15 5 15 (bestudeer de grafieken hierboven en gebruik 31b)

b

1π

32a

x P " = x P = b cos(ct ) = b sin(ct + 21 π ) = b sin(c (t + 2c )) = b sin(c (t + 21c π )), dus P " voert een harmonische trilling uit.

32b

Door de figuur een achtste slag te draaien, zie je dat de projectie van P op de lijn y = x op hetzelfde neerkomt als de projectie van een eenparige cirkelbeweging op de y -as. Dus de projectie van P op de lijn y = x voert ook een harmonische trilling uit.

33a

De omtrek van de cirkel met middelpunt P en straal r = 1, 00 (m) is 2π ⋅ 1 = 2π (m).

b

De lengte van boog BC is 10 ⋅ 2π ≈ 0,1745 (m). 360

33b

sin(5°) = A 'B = A 'B ⇒ A 'B = sin(5°). Dus lijnstuk BC is 2A 'B = 2sin(5°) ≈ 0,1743 (m). 1 BP

33c

1 ≈ 2, 01 (sec) ⇒ c = 2π ≈ 2π ≈ 3,13. b = A 'B = sin(5°) ≈ 0, 09. en T = 2π lg = 2π 9,81 2,01 T

33d

T ≈ 2, 01 (sec) ⇒ de klok geeft 2 tikken per 2,01 seconde dus ongeveer 1 tik per seconde.

34

u = 3sin(2t ) + 4 sin(2t − 61 π ) (optie maximum) ⇒ b ≈ 6, 77. u = 3sin(2t ) + 4 sin(2t − 61 π ) = 0 (intersect of zero) ⇒ t = d ≈ 0,15.

(je zoekt de t -waarde waar de grafiek van u stijgend door de evenwichtsstand gaat)

35a

35b

t + u = a t − u = b  + 2t =a +b

t + u = a t − u = b  − 2u = a − b

Je kent al de somformules : sin(t + u ) = sin(t ) cos(u ) + cos(t ) sin(u ) sin(t − u ) = sin(t ) cos(u ) − cos(t ) sin(u ) cos(t + u ) = cos(t ) cos(u ) − sin(t ) sin(u ) cos(t − u ) = cos(t ) cos(u ) + sin(t ) sin(u )

t = 21 (a + b ) u = 21 (a − b ). sin(a ) + sin(b ) = sin(t + u ) + sin(t − u ) = sin(t ) cos(u ) + cos(t ) sin(u ) + sin(t ) cos(u ) − cos(t ) sin(u )

(2

) (2

)

= 2 sin(t ) cos(u ) = 2 sin 1 (a + b ) cos 1 (a − b ) . 36

(2

) (

)

(2

2 = 1 (a − b ) (zie de afleiding in35a) 2

a = t + u en b = t − u ⇒ t u cos(a ) + cos(b ) = cos(t + u ) + cos(t − u ) = cos(t ) cos(u ) − sin(t ) sin(u ) + cos(t ) cos(u ) + sin(t ) sin(u )

(2

) (2

)

= 2 cos(t ) cos(u ) = 2cos 1 (a + b ) cos 1 (a − b ) . cos(a ) − cos(b ) = cos(t + u ) − cos(t − u ) = cos(t ) cos(u ) − sin(t ) sin(u ) − ( cos(t ) cos(u ) + sin(t ) sin(u ) ) = cos(t ) cos(u ) − sin(t ) sin(u ) − cos(t ) cos(u ) − sin(t ) sin(u )

(2

) (2

)

= −2 sin(t ) sin(u ) = −2 sin 1 (a + b ) sin 1 (a − b ) .

37a

) (2

)

sin(a ) − sin(b ) = sin(a ) + sin( −b ) = 2 sin 1 (a + ( −b )) cos 1 (a − ( −b )) = 2 sin 1 (a − b ) cos 1 (a + b ) . = 1 (a + b ) en 2

3sin(500πt ) en 4 sin(500πt − 2 π ) hebben dezelfde frequentie ⇒ c = 500π . 5

u = 3sin(500πt ) + 4 sin(500πt − 25 π ) (optie maximum) ⇒ b ≈ 5, 69. u = 3sin(500πt ) + 4 sin(500πt − 25 π ) = 0 (intersect of zero) ⇒ t ≈ 0, 000466. (je zoekt de t -waarde waar de grafiek van u stijgend door de evenwichtsstand gaat)

Dus u = 5, 69 sin(500π (t − Ans)) ≈ 5, 69 sin(500πt − 0, 73) ⇒ d ≈ 0, 73.

y =x

G&R vwo B deel 4 C. von Schwartzenberg 37b


De frequentie f = c = 500π = 250 Hz. 2π

2π

Het punt legt in 1 seconde 250 ⋅ 4 ⋅ 5, 69 = 1 000 ⋅ 5, 69 = 5 690 mm af. Dus 5, 69 m. 37c

u = 3sin(500πt ) + 4 sin(500πt − 25 π ) ⇒ du = 3cos(500πt ) ⋅ 500π + 4 cos(500πt − 25 π ) ⋅ 500π dt De snelheid op t = 0 is  du  = 1 500π cos(0) + 2 000π cos( − 2 π ) mm/s. Dat is (ongeveer) 24 km/u. 5  dt  t = 0

38a

(

u = 3 sin(500πt ) + 3 sin(500πt − 21 π ) = 3 sin(500πt ) + sin(500πt − 21 π ) = 3 ⋅ 2 sin( 1 (500πt + 500πt − 1 π )) ⋅ cos( 1 (500πt − 500πt + 1 π )) 2 2 2 2

)

= 6 sin(500πt − 1 π ) ⋅ cos( 1 π ) = 6 sin(500πt − 1 π ) ⋅ 1 2 = 3 2 sin(500πt − 1 π ). 4

4

4

2

4

38b

u = 3 2 sin(500πt − 41 π ) ⇒ du = 3 2 cos(500πt − 41 π ) ⋅ 500π = 1 500π 2 cos(500πt − 41 π ) dt De maximale snelheid is  du  = 1 500π 2 ⋅ 1 mm/s. Dat is (ongeveer) 24 km/u.  dt  max

39

u = p sin(ct ) + p sin(ct − d ) = p ( sin(ct ) + sin(ct − d ) ) = p ⋅ 2 sin( 21 (ct + ct − d )) ⋅ cos( 21 (ct − ct + d )) = 2p sin( 1 (2ct − d )) ⋅ cos( 1 d ) = 2 p sin(ct − 1 d ) ⋅ cos( 1 d ) = b sin(ct − 1 d ) met b = 2 p cos( 1 d ). 2

40a

2

2

2

2

2

u 1 = sin(t ) + cos(t ) = sin(t ) + sin(t + 1 π ) = 2 sin( 1 (t + t + 1 π )) cos( 1 (t − t − 1 π )) 2

2

2

2

2

= 2 sin( 1 (2t + 1 π )) cos( 1 ( − 1 π )) = 2 sin(t + 1 π ) cos( − 1 π ) = 2 sin(t + 1 π ) ⋅ 1 2 = 2 sin(t + 1 π ). 2

40b

2

2

2

4

4

4

2

4

u 2 = sin(t ) + 2 cos(t ) (optie maximum) ⇒ b ≈ 2,24. u 2 = sin(t ) + 2 cos(t ) = 0 (intersect of zero) ⇒ t = d ≈ 5,18.

(je zoekt de t -waarde waar de grafiek stijgend door de evenwichtsstand gaat)

Dus u 2 = sin(t ) + 2 cos(t ) ≈ 2,24 sin(t − 5,18). 41a

Zie de plot van u 1 hiernaast. De periode van u = sin(2t ) is 2π = π en de periode van u = sin(3t ) is 2π = 2 π . 2

3

Het kleinste getal waar een geheel aantal keer π en 2 π in past is 2π . 41b

Dus de periode van u 1 = sin(2t ) + sin(3t ) is 2π . Zie de plot van u 2 hiernaast.

3

3

De periode van u = sin(2t ) is 2π = π en de periode van u = sin(4t ) is 2π = 1 π . 2

Het kleinste getal waar een geheel aantal keer π en 1 π in past is π . Dus de periode van u 2 = sin(2t ) + sin(4t ) is π . 42a

u = sin(100πt ) + sin(101πt ) heeft periode 2 sec.

42c

u 2 = sin(101πt )

in [ 0, 2π ]

100π periodes

101π periodes

in [ 0, 2]

100 periodes

101 periodes

u = sin(100t ) + sin(101t ) heeft periode 2π sec.

42d

(zie de uitleg hieronder)

43

u = 5 sin(100πt ) + sin(105πt ) heeft periode 25 sec. (zie de uitleg hieronder)

u 1 = sin(100πt )

in [ 0, 2π ]

2

2


42b

4

u 1 = 5 sin(100πt )

u 2 = sin(105πt )

in [ 0, 2π ]

100π periodes

105π periodes

in 0, 2   5

20 periodes

21 periodes

u = 3sin( 41 πt ) + 6 sin( 51 πt ) heeft periode 40 sec. (zie de uitleg hieronder)

u 1 = sin(100t )

u 2 = sin(101t )

100 periodes

101 periodes

De periode van de zweving u = sin(660πt ) + sin(661πt ) is 2 sec. (zie de uitleg hieronder)

u 1 = sin(660πt )

u 2 = sin(661πt )

in [ 0, 2π ]

660π periodes

661π periodes

in [ 0, 2]

660 periodes

661 periodes

u 1 = 3 sin( 41 πt )

u 2 = 6 sin( 51 πt )

in [ 0, 2π ]

1 π periodes 4

1 π periodes 5

in [ 0, 40 ]

5 periodes

4 periodes



De boventoon u 2 = 0,2 sin(1 400πt ) heeft frequentie f = 1400π = 700 Hz. 2π De boventoon u 3 = 0,3sin(2100πt ) heeft frequentie f = 2100π = 1 050 Hz. 2π

De boventoon u 4 = 0,1 sin(2800πt ) heeft frequentie f = 2800π = 1 400 Hz. 2π 44b

45a

45b 45c

46a 46b

De periode van u = 1, 5 sin(700πt ) + 0,2 sin(1 400πt ) + 0,3sin(2100πt ) + 0,1 sin(2 800πt ) is

1 sec. (zie hieronder). 350

u 1 = 1, 5 sin(700πt )

u 2 = 0,2 sin(1 400πt )

u 3 = 0,3sin(2100πt )

u 4 = 0,1 sin(2800πt )

in [ 0, 2π ]

700π periodes

1 400π periodes

2100π periodes

2 800π periodes

in 0, 1   350 

1 periode

2 periodes

3 periodes

4 periodes

De periode van u 4 = u 1 + u 2 = 0, 6 sin(500πt ) + 0, 6 sin(550πt ) is 1 sec. (zie de uitleg hieronder) 25

u 1 = 0, 6 sin(500πt )

u 2 = 0, 6 sin(550πt )

in [ 0, 2π ]

500π periodes

550π periodes

in 0, 1   25 

10 periodes

11 periodes

Op het GR-scherm zie je 1 1 periode van de zweving ⇒ Xmax = 1 1 ⋅ 1 = 1 1 ⋅ 0, 04 = 0, 06. 2

2 25 2 1 u 5 = u 1 + u 3 = 0, 6 sin(500πt ) + 0, 6 sin(500πt − 2 π ) = 0, 6 sin(500πt ) + sin(500πt − 21 π ) = 0, 6 ⋅ 2 sin( 1 (500πt + 500πt − 1 π )) ⋅ cos( 1 (500πt − 500πt + 1 π )) 2 2 2 2 = 1,2 sin(500πt − 1 π ) ⋅ cos( 1 π ) = 1,2 sin(500πt − 1 π ) ⋅ 1 2 = 0, 6 2 sin(500πt − 1 π ). 4 4 4 2 4

(

)

x = sin( 1 π ) = 1 2 2 4 t = 41 π geeft  ⇒ het punt ( 1 2, 1) ligt op de grafiek van kromme K . 1 1 2 y = sin(2 ⋅ 4 π ) = sin( 2 π ) = 1

Zie de grafieken in figuur 15.30. Op t = 0 is x = 0 en y = 0 ⇒ het punt (0, 0) ligt op de grafiek van kromme K .

t = 1 41 π

Op t = 1 π is x = 1 en y = 0 ⇒ het punt (1, 0) ligt op de grafiek van kromme K .

t = 41 π

2

46c

t

0

1π 4

1π 2

3π 4

π

11π

11π

13π 4

2π

x

0

1 2 2

1

1 2 2

0

−1 2

−1

−1 2 2

0

y

0

1

0

−1

0

1

0

−1

0

4

2

2

t = 1 21 π

t = 0,π,2π O

t = 1 34 π

t = 21 π

t = 34 π

46d

Zie de grafiek van de kromme K in de figuur hiernaast.

47a

In de x -richting wordt begonnen in de evenwichtsstand x = 0 (de y -as), daarna gaat de kromme naar het maximum x = 1, terug door de evenwichtsstand x = 0 en door naar het minimum x = −1 om te eindigen in de evenwichtsstand x = 0. In de y -richting worden de maxima y = 1 en de minima y = −1 vier keer bereikt (begin- en eindpunt zijn y = 0).

47b

Dan in de x -richting worden 2 periodes doorlopen ⇒ a = 2 en in de y -richting 8 periodes ⇒ b = 8.

47c


48

In de y -richting wordt 1 periode doorlopen en in de x -richting 2 periodes, dus de frequentie van x is twee keer zo groot als die van y ⇒ c = 2 ⋅ 1 = 2.

49

In de x -richting worden 2 periodes doorlopen ⇒ a = 2 en in de y -richting 5 periodes ⇒ b = 5.

50a


50b

x = sin(2t ) is maximaal voor (2t = 21 π + k ⋅ 2π ⇒) t = 41 π en t = 1 41 π . x = sin(2t ) is minimaal voor (2t = 1 21 π + k ⋅ 2π ⇒) t = 34 π en t = 1 34 π .

x = sin(2t ) = 0 voor (2t = k ⋅ π ⇒) t = 0, t = 21 π , t = π , t = 1 21 π en t = 2π .



y = sin(3t ) is maximaal voor (3t

=

1 2

π + k ⋅ 2π ⇒) t = 1 π , t = 5 π en t = 1 1 π . 6

6

2

t = 21 π , t = 1 61 π en t = 1 56 π . y = sin(3t ) = 0 voor (3t = k ⋅ π ⇒) t = 0, t = 31 π , t = 23 π , t = π , t = 1 31 π , t = 1 23 π en t = 2π . Zie de t -waarden in de figuur hiernaast. t = 56 π t = 1 21 π y = sin(3t ) is minimaal voor (3t

= 1 21 π + k ⋅ 2π ⇒)

Neem GR - practicum 12 door. (uitwerkingen aan het eind)

t =

51a

3 4

π

t = 61 π t =

t = 23 π , 1 23 π

t = 0, π , 2π

1 4

π

t = 31 π , 1 31 π

51b t = 1 34 π

t = 1 41 π t = 21 π

t = 1 56 π

51c

t = 1 61 π

De figuur wordt twee keer doorlopen. 51d 52a

Voor t op  1 π , 1 1 π  wordt de kromme één keer doorlopen. 2 2 

In de x -richting wordt 1 periode doorlopen 2

en in de y -richting 2 1 periode ⇒ c = 5. 2

52b

Voor t op  1 π , 1 1 π  wordt de figuur in de omgekeerde 2 2  richting doorlopen (van rechtsboven naar linksonder).

53a

De periode van x is 2π .

x = 0 voor t = 61 π en t = x = 1 voor t = 61 π + 41 ⋅ 2π

1 π + 1 ⋅ 2π = 1 1 π 6 2 6 = 2π 3 + 3 ⋅ 2π = 1 2 π 3 4

⇒ B (0, 1 3). 2

⇒ E (1, − 1 3). 2

⇒ J ( −1, − 1 3). x = −1 voor t = 61 π 2 De periode van y is π . y = 0 voor t = 0, t = 21 π , t = π , t = 1 21 π en t = 2π ⇒ A( − 21 , 0), D ( 21 3, 0), G ( 21 , 0) en I ( − 21 3, 0). y = 1 voor t = 41 π en t = 1 41 π ⇒ C (sin( 1 π ), 1) en H (sin(1 1 π ), 1). 12 12 y = −1 voor t = 34 π en t = 1 43 π ⇒ F (sin( 7 π ), − 1) en K (sin( 7 π ), − 1). 12 12 53b

x = 1 ⇒ sin(t − 1 π ) = 1 t t t t

2 6 2 − 1 π = 1 π + k ⋅ 2π ∨ t − 1 π = π − 1 π + k ⋅ 2π 6 6 6 6 = 1 π + k ⋅ 2π ∨ t = π + k ⋅ 2π . 3 op 0, 2π  ⇒ t = 1 π ∨ t = π . 3 = 1 π geeft y = sin(2 ⋅ 1 π ) = 1 3 3 3 2

en t = π geeft y = sin(2 ⋅ π ) = 0. De lengte van het lijnstuk is 1 3.

53c y = x ⇒ sin(t − 1 π ) = sin(2t ) 6

t − 1 π = 2t + k ⋅ 2π ∨ t − 1 π = π − 2t + k ⋅ 2π 6

6

−t = 1 π + k ⋅ 2π ∨ 3t = 1 1 π + k ⋅ 2π 6

6

t = − 1 π + k ⋅ 2π ∨ t = 7 π + k ⋅ 2 π . 6

18

3

t op 0, 2π  ⇒ t = 1 5 π ∨ t = 7 π ∨ t = 1 1 π ∨ t = 1 13 π . 6 18 18 18

2

54

In de x -richting worden 3 periodes doorlopen ⇒ a = 3. Voor t = 1 3 π en t = 3 π is y = 0 ⇒ sin(1 3 π + b ) = 0 én sin( 3 π + b ) = 0 4

4

4

4

1 3 π + b = k ⋅ π én 3 π + b = k ⋅ π 4

4

b = −1 34 π + k ⋅ π én b = − 34 π + k ⋅ π ⇒ b = −1 34 π + k ⋅ π .

Bij b = −1 3 π + k ⋅ 2π hoort de kromme van figuur 15.38. 4

Bij b = − 3 π + k ⋅ 2π hoort de kromme die het spiegelbeeld van de 4

kromme van figuur 15.38 is bij spiegelen in de x -as. Dus b = −1 3 π + k ⋅ 2π . 4



x = 0 (de y -as) ⇒ sin(2t ) = 0 ⇒ 2t = k ⋅ π ⇒ t = k ⋅ 21 π .

t = 0 geeft y = sin( 31 π ) = sin(2 31 π ) = 21 3 ≈ 0, 866. Dus bij t = 0 hoort A(0, 21 3).

t = 21 π geeft y = sin( 21 π + 31 π ) = sin( 56 π ) = 21 . Dus bij t = 21 π hoort B (0, 21 ). t = π geeft y = sin(π + 31 π ) = sin(1 31 π ) = − 21 3 ≈ −0,866. Dus bij t = π hoort D (0, − 21 3). t = 1 21 π geeft y = sin(1 21 π + 31 π ) = sin(1 56 π ) = − 21 . Dus bij t = 1 21 π hoort C (0, − 21 ). 55b

1 π + k ⋅π ∨ t = 7 π + k ⋅π. x = − 21 ⇒ sin(2t ) = − 21 ⇒ 2t = − 61 π + k ⋅ 2π ∨ 2t = π − − 61 π + k ⋅ 2π ⇒ t = − 12 12 1 π geeft y = sin( − 1 π + 1 π ) = sin( 1 π ) = 1 2 ≈ 0, 707. Dus bij t = − 1 π hoort E ( − 1 , 1 2). t = − 12 12 3 2 12 2 2 4 11 π geeft y = sin( 11 π + 1 π ) = sin(1 1 π ) = − 1 2. Dus bij t = 11 π hoort H ( − 1 , − 1 2). t = 12 12 3 2 12 2 2 4 EH = 21 2 − − 21 2 = 21 2 + 21 2 = 2.

55c

t = a geeft x = sin(2a ) en y = sin(a + 31 π ). Dus T (sin(2a ), sin(a + 31 π )). t = a + π geeft x = sin(2a + 2π ) = sin(2a ) en y = sin(a + π + 31 π ) = sin(a + 1 31 π ). Dus U (sin(2a ), sin(a + 1 31 π )). TU = sin(a + 31 π ) − sin(a + 1 31 π ) = sin(a + 31 π ) − sin(a + 31 π + π ) = sin(a + 31 π ) − − sin(a + 31 π ) = 2 sin(a + 31 π ) .

56a

Een cirkel kun je opvatten als de baan van een punt dat deelneemt aan twee harmonische trillingen in twee verschillende (loodrechte) richtingen (met gelijke trillingstijd). Dus een cirkel is een Lissajous-figuur.

56b

x (t ) = sin(t + 1 π ) x (t ) = cos(t ) 2 Een parametervoorstelling van de eenheidscirkel is bijvoorbeeld  dus  y (t ) = sin(t ) y (t ) = sin(t )

57

Op de grafiek in figuur 15.40 ligt het punt (0, − 1) ⇒ −1 = p ⋅ 02 + q ⇒ −1 = 0 + q ⇒ q = −1. Dus y = px 2 − 1 waaraan ook het punt (1, 1) moet voldoen ⇒ 1 = p ⋅ 12 − 1 ⇒ 2 = p .

58

Substitutie van een willekeurig punt P met xP = sin(t − 1 π ) en yP = sin(2t ) in de formule y = −2x 2 + 1 geeft 4 sin(2t ) = −2 sin2 (t − 1 π ) + 1 4

sin(2t ) = 1 − 2 sin2 (t − 1 π ) 4

sin(2t ) = cos(2(t − 1 π )) 4

Dus elk punt van de Lissajous-figuur voldoet aan de formule y = −2x 2 + 1.

sin(2t ) = cos(2t − 1 π )

2 sin(2t ) = sin(2t − 1 π + 1 π ) 2 2 sin(2t ) = sin(2t ) (klopt voor elke t ).

59a

Omdat x = sin(t − 1 π ) met − 1 ≤ sin(t − 1 π ) ≤ 1 hoort bij de 4

t

0

1π 4

1π 2

3π 4

π

1 1 π 11π 13π 4

2

4

2π

x y

0

2

2

2

0

− 2

−2

− 2

0

−1

0

1

0

−1

0

1

0

−1

Zie de grafiek van de kromme K in de figuur hiernaast. De keerpunten zijn ( −2, 1) en (2, 1). 59b

4

parametervoorstelling de formule y = −2x 2 + 1 met − 1 ≤ x ≤ 1.

t = 21 π

t = 1 21 π t = 1 41 π , 1 43 π

y = ax 2 + b door (0, − 1) ⇒ −1 = a ⋅ 02 + b ⇒ −1 = 0 + b ⇒ b = −1. Dus y = ax 2 − 1 door (2, 1) ⇒ 1 = a ⋅ 22 − 1 ⇒ 2 = 4a ⇒ a = 1 . 2

t =

1 4

π , 34 π

t = 0, π , 2π

Vermoedelijk hoort bij K de formule y = 1 x 2 − 1 met − 2 ≤ x ≤ 2. 2

Substitutie van een willekeurig punt P met xP = 2 sin(t ) en y P = sin(2t − 1 π ) in de formule y = 1 x 2 − 1 geeft 2 2 2 sin(2t − 1 π ) = 1 ⋅ (2 sin(t ) ) − 1 2

2

2

2

cos(2t − 1 π − 1 π ) = 1 ⋅ 4 sin2 (t ) − 1 2

cos(2t − π ) = 2 sin2 (t ) − 1 cos(2t + π ) = −1 + 2 sin2 (t )

Elk punt van de Lissajous-figuur voldoet aan de formule y = 1 x 2 − 1.

cos(2t + π ) = −(1 − 2 sin2 (t )) − cos(2t ) = − cos(2t ) (klopt voor elke t ).

Omdat x = 2 sin(t ) met − 2 ≤ 2 sin(t )) ≤ 2 hoort bij de

2

parametervoorstelling de formule y = 1 x 2 − 1 met − 2 ≤ x ≤ 2. 2



Lijn l : y = x + 1 gaat door (0, 1 ) en ( − 1 , 0). 2

2

2

1π 2

3π 4

π

11π 4

11π 2

13π 4

2π

t

0

1π 4

x

0

1 2 2

1

1 2 2

0

−1 2

−1

−1 2 2

0

y

0

1

0

−1

0

1

0

−1

0

2

t =

t = 1 21 π

Zie de baan van P in figuur hiernaast. 60b

l

t = 1 41 π

1 4

π

t =

1 2

π

t = 0, π , 2π

x = sin(t ) en y = sin(2t ) invullen in y = x + 21 geeft sin(2t ) = sin(t ) + 1 (intersect) 2 t ≈ 3,31 ∨ t ≈ 4, 96. t ≈ 3,31 geeft x ≈ −0,17 en y ≈ 0,33. t ≈ 4, 96 geeft x ≈ −0, 97 en y ≈ −0, 47. Dus l snijdt de baan van P in de punten

t =

t = 1 34 π

3 4

π

( −0,17; 0,33) en ( −0, 97; − 0, 47). 60c

Substitutie van x = sin(t ) en y = sin(2t ) in de formule y 2 = 4x 2 − 4x 4 geeft sin2 (2t ) = 4 ⋅ sin2 (t ) − 4 ⋅ sin 4 (t )

(2 sin(t ) cos(t ) )2 = 4 sin2(t ) ⋅ (1 − sin2(t ) ) 4 sin2 (t ) cos2 (t ) = 4 sin2 (t ) cos2 (t )

de formule y 2 = 4x 2 − 4x 4 met − 1 ≤ x ≤ 1.

(klopt voor elke t ).

61a

Elk punt van de Lissajous-figuur voldoet aan de formule y 2 = 4x 2 − 4x 4 . Omdat x = sin(t ) met − 1 ≤ sin(t )) ≤ 1 hoort bij de parametervoorstelling

t

0

1π 6

1π 3

1π 2

2π 3

5π 6

π

11π

11π

11π

12π

15π 6

2π

x

0

1 2

1 3 2

1

1 3 2

1 2

0

−1

− 21 3

−1

− 21 3

−1

2

0

1

0

−1

0

1

0

−1

0

y

0 0 0 1 −1 Zie de grafiek van K in de figuur hiernaast. De keerpunten zijn ( −1, 1) en (1, − 1). 61b

6

3

2

2

3

t =

t = 1 21 π

1 6

π , 65 π

Substitutie van x = sin(t ) en y = sin(3t ) in de formule y = 3x − 4x 3 geeft sin(3t ) = 3sin(t ) − 4 sin3(t ) sin(t + 2t ) = 3sin(t ) − 4 sin3(t )

t = 1 31 π , 1 32 π

3

t = 0, π , 2π

sin(t ) cos(2t ) + cos(t ) sin(2t ) = 3sin(t ) − 4 sin (t )

(

2

t = 31 π , 32 π

)

3

sin(t ) ⋅ 1 − 2 sin (t ) + cos(t ) ⋅ 2 sin(t ) cos(t ) = 3 sin(t ) − 4 sin (t ) 3

sin(t ) − 2 sin (t ) + 2 sin(t ) cos2 (t ) = 3sin(t ) − 4 sin3(t )

(

)

sin(t ) − 2 sin3(t ) + 2 sin(t ) ⋅ 1 − sin2 (t ) = 3sin(t ) − 4 sin3 (t ) 3

3

t = 1 61 π , 1 65 π

t =

1 2

π

3

sin(t ) − 2 sin (t ) + 2 sin(t ) − 2 sin (t ) = 3sin(t ) − 4 sin (t ) 3sin(t ) − 4 sin3 (t ) = 3sin(t ) − 4 sin3(t ) (klopt voor elke t ). Dus alle punten van K liggen op de grafiek van y = 3x − 4x 3. 62a

t

0

1π 6

x y

2

3

1π 3

1π 2

2π 3

5π 6

π

1 1 π 1 1 π 1 1 π 1 2 π 1 5 π 2π 6 3 2 3 6

1

0

−1

− 3

−2 − 3

0 0 0 0 1 −1 1 −1 Zie de grafiek van K in de figuur hiernaast.

−1

0

1

3

2

1

0

−1

0

1

(de tabel kan ook met TABLE op de GR opgevraagd worden)

De keerpunten zijn ( −2, − 1) en (2, 1).

62b

y = ax 3 + bx door (2, 1) ⇒ 1 = a ⋅ 23 + b ⋅ 2 ⇒ 1 = 8a + 2b . y = ax 3 + bx door (1, − 1) ⇒ −1 = a ⋅ 13 + b ⋅ 1 ⇒ −1 = a + b .  1 = 8a + 2b ×1  1 = 8a + 2b ⇒  2 × 1 a b − = +  −2 = 2a + 2b − 

3 = 6a ⇒ a = 3 = 1 in ⇒ −1 = 1 + b ⇒ b = −1 1 . 6

2

2

2

x = 2cos(t )  ⇒ −2 ≤ x ≤ 2. −2 ≤ 2cos(t ) ≤ 2 Dus c = −2 en d = 2.



Substitutie van x = 2cos(t ) en y = cos(3t ) in de formule y = 1 x 3 − 1 1 x geeft 2

3 cos(3t ) = 1 ⋅ 2cos(t ) − 1 1 ⋅ 2cos(t ) 2 2 3

(

2

)

cos(2t + t ) = 4 cos (t ) − 3cos(t )

cos(2t ) cos(t ) − sin(2t ) sin(t ) = 4 cos3(t ) − 3cos(t )

(2cos2(t ) − 1) ⋅ cos(t ) − 2 sin(t ) cos(t ) ⋅ sin(t ) = 4 cos3(t ) − 3cos(t ) 2cos3 (t ) − cos(t ) − 2 sin2 (t ) cos(t ) = 4 cos3 (t ) − 3cos(t )

(

)

2cos3 (t ) − cos(t ) − 2 ⋅ 1 − cos2 (t ) ⋅ cos(t ) = 4 cos3 (t ) − 3cos(t ) 3

2cos (t ) − cos(t ) − 2cos(t ) + 2cos3 (t ) = 4 cos3 (t ) − 3cos(t ) 4 cos3 (t ) − 3cos(t ) = 4 cos3 (t ) − 3 cos(t ) (klopt voor elke t ). Dus bij de baan van P hoort de formule y = 1 x 3 − 1 1 x met − 2 ≤ x ≤ 2. 2

63a

2

E

sin 25° = EP = EP ⇒ EP = 4 ⋅ sin 25°. EF

4

EF

4

4

cos25° = FP = FP ⇒ FP = 4 ⋅ cos 25°. 63b

OABCDEF = 4 ⋅ O∆FPE + OABDE = 4 ⋅ 21 ⋅ FP ⋅ PE + AB ⋅ AE

F

25°

P

63c

= 2 ⋅ 4 cos25° ⋅ 4 sin25° + 6 ⋅ 2 ⋅ 4 sin25° = 32 sin 25° cos25° + 48 sin 25° ≈ 32,54. OABCDEF = 32 sin 40° cos 40° + 48 sin 40° ≈ 46, 61.

64a 64b

Zie de eerste twee GR-schermen hiernaast. 16 sin(2α ) + 48 sin(α ) = 50 (intersect) ⇒ α ≈ 45° ∨ α ≈ 86°.

64c

O = 16 sin(2α ) + 48 sin(α ) (optie maximum) ⇒ Omax ≈ 55, 76 voor α ≈ 65°.

65a

∠ABC = α (Z-hoeken)

α 8 A

cos ∠ABC = BC

B C

AB

cos(α ) = BC ⇒ BC = 8 cos(α ) 8

h = 10 + BC = 10 + 8cos(α ).

10

65b

h = 10 + 8cos(α ) = 15 (intersect of) 8cos(α ) = 5 cos(α ) = 5 8 α ≈ 51°. D

66a

C

sin(α ) = DE = DE ⇒ DE = 5 sin(α ). AD

5

5

cos(α ) = AE = AE ⇒ AE = 5 cos(α ) en EB = 10 − AE = 10 − 5 cos(α ). AD

5

OABCD = O∆AED + OEBCD = 21 ⋅ AE ⋅ DE + EB ⋅ DE = 1 ⋅ 5 cos(α ) ⋅ 5 sin(α ) + (10 − 5 cos(α )) ⋅ 5 sin(α ) 2

α A

E

B

← − − − − − − − − −10 − − − − − − − −− → = 12 1 sin(α ) cos(α ) + 50 sin(α ) − 25 sin(α ) cos(α ) = 50 sin(α ) − 12 1 sin(α ) cos(α ). 2 2

66b

sin(180° − α ) = DE = DE  AD 5  ⇒ sin(α ) = DE ⇒ DE = 5 sin(α ). 5 sin(180° − α ) = sin(α )  AE AE  cos(180° − α ) = = 5  ⇒ − cos(α ) = AE ⇒ AE = −5 cos(α ). AD 5 cos(180° − α ) = − cos(α )  EB = 10 + AE = 10 − 5 cos(α ).

C

D 5

180° − α α B A ← − − − − − − − − −10 − − − − − − − −− → E

OABCD = OEBCD − O∆AED = EB ⋅ DE − 21 ⋅ AE ⋅ DE = (10 − 5 cos(α )) ⋅ 5 sin(α ) − 1 ⋅ −5 cos(α ) ⋅ 5 sin(α ) 2

= 50 sin(α ) − 25 sin(α ) cos(α ) + 12 1 sin(α ) cos(α ) = 50 sin(α ) − 12 1 sin(α ) cos(α ).

66c

α

2 1 = 90° ⇒ OABCD = 50 sin 90° − 12 sin 90° cos 90° = 50 ⋅ 1 − 12 1 ⋅ 1 ⋅ 0 = 50. 2 2

2

Voor α = 90° is ABCD een rechthoek met O = AB ⋅ DA = 10 ⋅ 5 = 50. Dus de formule klopt ook voor α = 90°. 66d

OABCD = 50 sin(α ) − 12 21 sin(α ) cos(α ) = 40 (intersect) ⇒ α ≈ 64° ∨ α ≈ 138°. OABCD > 40 (zie de plot) ⇒ 64° < α < 138°

66e

OABCD = 50 sin(α ) − 12 1 sin(α ) cos(α ) 2 (optie maximum) O maximaal voor α ≈ 103°.


15 Toepassingen 14/27 S

67a

R

sin(α ) = ST = ST ⇒ ST = 10 sin(α ). SP 10 cos(α ) = PT = PT ⇒ PT = 10 cos(α ) en RS = 20 + 2 ⋅ 10 cos(α ) = 20 + 20 cos(α ). SP 10 A = OPQRS = 21 ⋅ (PQ + RS ) ⋅ ST = 21 ⋅ (20 + 20 + 20 cos(α )) ⋅ 10 sin(α ) T

10

10

α P

20

Q

= 5 sin(α ) ⋅ (40 + 20 cos(α )) = 200 sin(α ) + 100 sin(α ) cos(α ).

67b

O = 200 sin(α ) + 100 sin(α ) cos(α ) (optie maximum) Omax ≈ 220 cm2 voor α ≈ 69°.

68a

∠UFE = α (de benen van de hoeken lopen evenwijdig) en tan(α ) = EU = EU ⇒ EU = 10 tan(α ).

V = G ⋅ h = (OABFE − O∆EUF ) ⋅ FG = (AB ⋅ BF

EF − 1 ⋅ EU ⋅ EF ) ⋅ FG 2

2

BU

V = G ⋅h

68c 68d

BU

20 . tan(α )

α

F

E

In 15.48d is het deel van de bak zonder water geen prisma meer met als grondvlak een driehoek. A ∠BUF = α (Z-hoeken) en tan(α ) = BF = 20 ⇒ BU =

10

U

= (10 ⋅ 20 − 1 ⋅ 10 tan(α ) ⋅ 10) ⋅ 10 = 2 000 − 500 tan(α ). 68b

E

10

10 20

U

= O∆BUF ⋅ FG = 1 ⋅ BF ⋅ BU ⋅ FG 2 = 1 ⋅ 20 ⋅ 20 ⋅ 10 = 2000 . 2 tan(α ) tan(α )

F

α α

A 20

α B

B In deze situatie is U = A (het wateroppervlak is rechthoek AFGD ). ∠BAF = α (Z-hoeken) en tan(α ) = tan ∠BAF = BF = 20 = 2 ⇒ α ≈ 63, 4°. 10 AB

Er is 1200 liter uit de bak weggestroomd ⇒V = 2 000 − 1200 = 800. Dit is minder dan de helft van de inhoud van de bak ⇒ de formule van 68b.

A

2000 = 800 (intersect of) ⇒ tan(α ) = 2000 = 2 1 ⇒ α ≈ 68,2°. 800 2 tan(α )

E

F

α 10

20

α

69a

sin(α ) = BC = BC ⇒ BC = 60 sin(α ) en cos(α ) = CM = CM ⇒ CM = 60 cos(α ). BM

60

BM

B

60 2

Pyth. in ∆ABC : AC = AB 2 − BC 2 = 1502 − ( 60 sin(α ) ) = 22500 − 3 600 sin2 (α ). L = AC + CM B

= 22 500 − 3 600 sin2 (α ) + 60 cos(α ) = 60 cos(α ) + 22 500 − 3 600 sin2 (α ). 69b

150

L = 200 (intersect) ⇒ α ≈ 28°. L > 200 (zie de plot) ⇒ 0° < α < 28°.

60

A

α C

← → 5

E

M

D

70a

70b

sin(x ) = EP = EP ⇒ EP = 4 sin(x ).

4

4 EF cos(x ) = FP = FP ⇒ FP = 4 cos(x ). 4 EF

OABCDEF = 4 ⋅ O∆FPE + OABDE = 4 ⋅ 21 ⋅ FP ⋅ PE + AB ⋅ AE = 2 ⋅ 4 cos(x ) ⋅ 4 sin(x ) + 5 ⋅ 8 sin(x ) = 32 sin(x ) cos(x ) + 40 sin(x ). O = 16 ⋅ 2 sin(x ) cos(x ) + 40 sin(x ) = 16 sin(2x ) + 40 sin(x ). dO = 16cos(2x ) ⋅ 2 + 40 cos(x ) = 32 cos(2x ) + 40 cos(x ). dx dO = 0 ⇒ 32cos(2x ) + 40 cos(x ) = 0 dx 2

(

)

32 2cos (x ) − 1 + 40 cos(x ) = 0 64 cos2 (x ) − 32 + 40 cos(x ) = 0

2

71

F x

C

P

4

4

A

B

5

2

8t + 5t − 4 = 0 met D = 5 − 4 ⋅ 8 ⋅ −4 = 153

t = cos(x ) = −5 −16153 ∨ t = cos(x ) = −5 +16 153 geen oplossing x ≈ 1, 092 + k ⋅ 2π ∨ x ≈ −1, 092 + k ⋅ 2π

64 cos2 (x ) + 40 cos(x ) − 32 = 0 8cos2 (x ) + 5 cos(x ) − 4 = 0 (stel cos(x ) = t )

4

x op 0, 21 π  ⇒ x ≈ 1, 092.

° ≈ 63°. O maximaal bij een hoek van Ans × 180 π

sin(x ) = DE = DE ⇒ DE = 20 sin(x ).

D 20 AD cos(x ) = EA = EA ⇒ EA = 20 cos(x ) en CD = 30 + 2 ⋅ 20 cos(x ) = 30 + 40 cos(x ). 20 AD

OABCD = 21 ⋅ (AB + CD ) ⋅ DE = 21 ⋅ (30 + 30 + 40 cos(x )) ⋅ 20 sin(x ) = 10 sin(x ) ⋅ (60 + 40 cos(x )) = 600 sin(x ) + 400 sin(x ) cos(x ).

C 20

20

x E

A

30

B



OABCD = 600 sin(x ) + 200 ⋅ 2 sin(x ) cos(x ) = 600 sin(x ) + 200 sin(2x ). dO = 600 cos(x ) + 200 cos(2x ) ⋅ 2 = 600 cos(x ) + 400 cos(2x ). dx dO = 0 ⇒ 600 cos(x ) + 400 cos(2x ) = 0 dx 2

(

4t 2 + 3t − 2 = 0 met D = 32 − 4 ⋅ 4 ⋅ −2 = 41

)

−3 − 41 8

600 cos(x ) + 400 2 cos (x ) − 1 = 0

t = cos(x ) =

600 cos(x ) + 800 cos2 (x ) − 400 = 0

geen oplossing

800 cos2 (x ) + 600 cos(x ) − 400 = 0 4 cos2 (x ) + 3cos(x ) − 2 = 0 (stel cos(x ) = t ) 72a

∨ t = cos(x ) = −3 + 41 8

x ≈ 1,131 + k ⋅ 2π ∨ x ≈ −1,131 + k ⋅ 2π x op  0, 21 π  ⇒ x ≈ 1,131.

° ≈ 65°. O maximaal bij een hoek van Ans × 180 π

sin(x ) = EC = EC ⇒ EC = sin(x ) = EA en cos(x ) = DE = DE ⇒ DE = cos(x ). 1 1 CD CD D

OABCD = OAECF + 2 ⋅ O∆DEC = EA ⋅ EC + 2 ⋅ 21 ⋅ DE ⋅ EC = sin(x ) ⋅ sin(x ) + cos(x ) ⋅ sin(x ) = sin2 (x ) + sin(x ) ⋅ cos(x ) 72b

C

1

x

1

x B

E

F

O = sin2 (x ) + sin(x ) ⋅ cos(x )

A

dO = 2 sin(x ) ⋅ cos(x ) + cos(x ) ⋅ cos(x ) + sin(x ) ⋅ − sin(x ) = sin(2x ) + cos2 (x ) − sin2 (x ) = sin(2x ) + cos(2x ). dx dO = 0 ⇒ sin(2x ) + cos(2x ) = 0 ⇒ sin(2x ) = − cos(2x ) ⇒ cos(2x − 1 π ) = cos(2x + π ) 2 dx 2x − 1 π = 2x + π + k ⋅ 2π ∨ 2x − 1 π = −2x − π + k ⋅ 2π 2 2 geen oplossing 4x = − 1 π + k ⋅ 2π ⇒ x = − 1 π + k ⋅ 1 π . Er moet gelden: x op  0, 1 π  ⇒ x = 3 π . 2 8 2  2  8

73a

sin(x ) = NP = NP ⇒ NP = 12 sin(x ) en cos(x ) = MP = MP ⇒ MP = 12 cos(x ). MN

MN

12

12

Verder is BP = BN + NP = 5 + 12 sin(x ) en AP = AM + MP = 7 + 12 cos(x ). Pyth. in ∆ABP : L = AB = BP 2 + AP 2 =

(5 + 12 sin(x ) )2 + ( 7 + 12 cos(x ) )2

= 25 + 120 sin(x ) + 144 sin2 (x ) + 49 + 168 cos(x ) + 144 cos2 (x )

(

)

= 144 sin2 (x ) + cos2 (x ) + 120 sin(x ) + 168 cos(x ) + 74 = 144 ⋅ 1 + 120 sin(x ) + 168 cos(x ) + 74 = 120 sin(x ) + 168 cos(x ) + 218. 73b

L = 120 sin(25°) + 168cos(25°) + 218 ≈ 20, 5 dm.

73c

L = 120 sin(x ) + 168cos(x ) + 218 = 20 (intersect) ⇒ x ≈ 7° ∨ x ≈ 64°.

73d

L = 120 sin(x ) + 168 cos(x ) + 218 is maximaal als 120 sin(x ) + 168 cos(x ) + 218 maximaal is. y = 120 sin(x ) + 168 cos(x ) + 218 ⇒

dy = 120 cos(x ) − 168 sin(x ). dx

dy = 0 ⇒ 120 cos(x ) − 168 sin(x ) = 0 (intersect) ⇒ dx

x ≈ 0, 62 (rad).

L max = 120 sin(Ans) + 168 cos(Ans) + 218 ≈ 20, 6 dm. 74a

De gemiddelde snelheid gedurende de eerste zes seconden is

v (0) + v (6) 2

Gedurende de eerste zes seconden wordt 5 ⋅ 6 = 30 meter afgelgd. 74b

= 0 + 10 = 5 m/s. 2

s (t ) (de afstandsfunctie) is een primitieve van v (t ) (de snelheidsfunctie). 6

6

O∆OAB = ∫ v (t ) dt = s (t )  0 = s (6) − s (0) is de afgelegde afstand gedurende de eerste zes seconden. 0 74c

De afgelegde afstand op het interval [ 0, 15 ] is O (gehele driehoek) = 1 ⋅ 15 ⋅ 10 = 75 m. 2

6

75

N (0) + ∫ (s 2 + 4s + 6) ds = N (6). (dus de berekening van Julia komt op hetzelfde neer als de berekening in het voorbeeld)

76a

N (t ) = N (6) + ∫ N '(s ) ds = 185 + ∫ ( −2s 2 + 40s − 102) ds = 185 +  − 23 s 3 + 20s 2 − 102s 

0

t

t

6



6

(

)

= 185 − 2 t 3 + 20t 2 − 102t − − 2 ⋅ 63 + 20 ⋅ 62 − 102 ⋅ 6 = − 2 t 3 + 20t 2 − 102t + 221. 3

76b

3

2

N '(3) = 3 + 4 ⋅ 3 + 6 = 9 + 12 + 6 = 27. −2t 2 + 40t − 102 = 27 (intersect) ⇒ t ≈ 15, 96 (dagen). Dit is na 15 dagen en (afgerond) 23 uur.

3

t

6


77b


t

t

0

0

(

)

I (t ) = I (0) + ∫ I '(s ) ds = 1 + ∫ 10 − 10e −0,1s ds (I

het aantal in honderdtallen en 0 ≤ t < 25)

t

t

= 1 + 10s − 10e −0,1s ⋅ 1  = 1 + 10s + 100e −0,1s  = 1 + 10t + 100e −0,1t − 0 + 100e 0 = 10t + 100e −0,1t − 99. −0,1  0  0  I '(10) = 10 − 10e −0,1 ⋅ 10 = 10 − 10e −1 .

(

)

10 − 10e 0,1t −5,5 = 10 − 10e −1 ⇒ −10e 0,1t −5,5 = −10e −1 ⇒ e 0,1t −5,5 = e −1 ⇒ 0,1t − 5, 5 = −1 ⇒ 0,1t = 4,5 ⇒ t = 45. 77c

Nee, het betekent dat (voor 25 ≤ t < 30) het aantal insecten met constante snelheid I '(t ) = 10 − 10e −2,5 groeit.

77d

I (55) = I (25) + ∫

30

25

I '(t ) dt + ∫

55

30

I '(t ) dt = I (25) + ∫

30

25 30

(10 − 10e −2,5 ) dt + ∫3055 (10 − 10e 0,1t −5,5 ) dt 55

= 10 ⋅ 25 + 100e −0,1 ⋅ 25 − 99 +  10 − 10e −2,5 ⋅ t  + 10t − 100e 0,1t −5,5   30   25 

(

)

( ) ( ) −2,5 + (10 − 10e ) ⋅ 5 + 550 − 100 − 300 + 100e −2,5

(

= 151 + 100e −2,5 + 10 − 10e −2,5 ⋅ 30 − 10 − 10e −2,5 ⋅ 25 + 550 − 100e 0 − 300 − 100e −2,5 = 151 + 100e

−2,5

)

= 151 + 100e −2,5 + 50 − 50e −2,5 + 150 + 100e −2,5 = 351 + 150e −2,5 ≈ 363 ( × 100). Dus op t = 55 zijn er ongeveer 36 300 insecten. 77e

I (25) (zie 77d) = 151 + 100e −2,5 ≈ 159 ( × 100). I (30) (zie 77d) = I (25) + ∫

30

25

I '(t ) dt = 151 + 100e −2,5 + 50 − 50e −2,5 = 201 + 50e −2,5 ≈ 205 ( × 100).

Dus in fase 2 is er ergens een tijdstip waarop er 20 000 insecten zijn. t

(

)

I (t ) = 200 ⇒ I (25) + ∫ I '(s ) ds = 200 ⇒ 151 + 100e −2,5 + 10 − 10e −2,5 ⋅ (t − 25) = 200 (intersect of) ⇒ 25

(10 − 10e ) ⋅ (t − 25) = 200 − 151 − 100e −2,5

78a

−2,5

⇒t

10

15

10

0

10

0

s (15) = s (0) + ∫ v (t ) dt + ∫ v (t ) dt = 0 + ∫ 10

e −2,5 ⇒ t = 200 − 151 − 100e −2,5 + 25 ≈ 29, 4 (dagen). − 25 = 200 − 151 − 100 10 − 10e −2,5 10 − 10e −2,5

( −0,2t 2 + 4t ) dt + ∫1015 ( 0,8t 2 − 24t + 180) dt 15

0,2 0,8 =  − t 3 + 2t 2  +  t 3 − 12t 2 + 180t   3 0  3  10

(

= − 78b

)

) (

(

)

0,2 0,8 0,8 ⋅ 103 + 2 ⋅ 102 − 0 + ⋅ 153 − 12 ⋅ 152 + 180 ⋅ 15 − ⋅ 103 − 12 ⋅ 102 + 180 ⋅ 10 = 166 2 m. 3 3 3 3

De gemiddelde snelheid gedurend de 15 seconden is

166 23 15

= 100 m/s. 9

2 v (t ) = 100 (met 0 < t < 10) ⇒ −0,2t + 4t = 100 (intersect of algebraïsch) ⇒ t ≈ 3,33. 9 9

2 v (t ) = 100 (10 < t < 15) ⇒ 0,8t − 24t + 180 = 100 (intersect of algebraïsch) ⇒ t ≈ 11,27. 9 9

78c

10

10

0

0

s (10) = s (0) + ∫ v (t ) dt = 0 + ∫

10

( −0,2t 2 + 4t ) dt = − 0,23 t 3 + 2t 2  0

=−

0,2 ⋅ 103 + 2 ⋅ 102 − 0 = 133 1 (m). 3 3

Dus binnen de eerste 10 seconden is 100 meter afgelgd. t

t

(

)

s (t ) (0 ≤ t < 10) = s (0) + ∫ v ( p ) dp = 0 + ∫ −0,2 p 2 + 4 p dp 0

0 t 0,2 0,2 3 2 =  − p + 2p  = − 3 t 3 + 2t 2 .  3 0 3 s (t ) = 100 ⇒ − 0,2 t + 2t 2 = 100 (intersect) ⇒ t ≈ 8,3 (sec). 3

79a

79b 79c

F (t ) = −3t 3 + 54t 2 − 180t + 300 ⇒ F '(t ) = −9t 2 + 108t − 180. F '(t ) = 0 ⇒ −9t 2 + 108t − 180 = 0 ⇒ t 2 − 12t + 20 = 0 ⇒ (t − 10)(t − 2) = 0 ⇒ t = 10 ∨ t = 2. t = 2 (in de vroege ochtend) geeft minimum (gegeven) F (2) = 132 (m3/uur). t = 10 (in de loop van de ochtend) geeft maximum (gegeven) F (10) = 900 (m3/uur). 12

( −3t 3 + 54t 2 − 180t + 300) dt + ∫1224 ( −1, 68t 3 + 88t 2 − 1 510t + 9 083) dt (fnInt) ≈ 13200 (m ). 12 3 2 ∫0 ( −3t + 54t − 180t + 300 ) dt (fnInt) = 6192 (m ). t 6192 + ∫ ( −1, 68x 3 + 88x 2 − 1 510x + 9 083) dx (intersect) ⇒ t ≈ 14, 92. 12 ∫0

3

3

Het is dan (ongeveer) 14:55.



3

3

0

0

v (3) = v (0) + ∫ a (t ) dt ⇒ v (0) = 32 − ∫

( −4e −0,1t ) dt 3

= 32 −  40e −0,1t  = 32 − 40e −0,3 + 40 = 72 − 40e −0,3 ≈ 42, 4 (m/s).  0 80b

t

t

t

= 32 + 40e −0,1t − 40e −0,3 . )  3 3 3( t t t s (t ) = s (0) + ∫ v ( p ) dp = 0 + ∫ (32 − 40e −0,3 + 40e −0,1 p ) dp = (32 − 40e −0,3 ) ⋅ p − 400e −0,1 p  0 0  0 = (32 − 40e −0,3 ) ⋅ t − 400e −0,1t − ( 0 − 400 ) = 400 + (32 − 40e −0,3 ) ⋅t − 400e −0,1t . s (t ) = 800 ⇒ 400 + (32 − 40e −0,3 ) ⋅t − 400e −0,1t = 800 (intersect) ⇒ t ≈ 168, 97 (sec).

v (t ) = v (3) + ∫ a ( p ) dp = 32 + ∫ −4e −0,1 p dp = 32 +  40e −0,1 p 

v (Ans) = 32 − 40e −0,3 + 40e −0,1Ans ≈ 2, 4 m/s. 81a

OZ : ZD = 2 : 1 ⇒ OZ = 23 OD met D (1 21 , 3) ⇒ Z (1, 2).

81b

∫0 ( x ⋅ y ) dx = ∫0 ( x ⋅ (−2x + 6) ) dx = ∫0 ( −2x

3

en

3

3

3

3

∫0 y dx = ∫0 ( −2x + 6) dx

6

6

en

∫0 x dy = ∫0 ( − 21 y + 3) dx

3

=  −x 2 + 6x  = −32 + 6 ⋅ 3 − 0 = −9 + 18 = 9. Dus x Z = 9 = 1 (klopt). 9  0 6

∫0 ( y ⋅ x ) dy = ∫0 ( y ⋅ ( − 21 y + 3) ) dy = ∫0 ( − 21 y

82

6

O (V ) =

2

2

3

=  − 1 y 2 + 3y  = − 1 ⋅ 62 + 3 ⋅ 6 − 0 = − 36 + 18 = −9 + 18 = 9. Dus y Z = 18 = 2 (klopt). 9 4 4  4 0 1

y = x3 ⇒ x = 3y = y 3.

en

3

2

4

1 4

2

4

2

0

8

8

8

83

48 5

1 31

4

1 4

0

∫0 ( y ⋅ x ) dy = ∫0 ( y ⋅ 3 y ) dy = ∫0  y xZ =

6

)

+ 3y dy =  − 1 y 3 + 3 y 2  = − 1 ⋅ 63 + 3 ⋅ 62 − 0 = −1 ⋅ 62 + 1 1 ⋅ 62 = 18 2 6 2 2  6 0

) dx = 8x − x  = 8 ⋅ 2 − ⋅ 2 − 0 = 16 − 4 = 12. ) ) dx = ∫ ( 8x − x ) ) dx =  4x − x  = 4 ⋅ 2 − ⋅ 2  

∫0 (8 − x

∫0 ( x ⋅ (8 − x

2 6

6

x3 = 8 ⇒ x = 2

3

)

+ 6x dx =  − 2 x 3 + 3x 2  = − 2 ⋅ 33 + 3 ⋅ 32 − 0 = −2 ⋅ 32 + 33 = 9 3  3 0

2

1 5

1   dy =  2 1 y   3

5

2

0

2 31

384

2

5

1 5

8

  ⋅ 3 = 3 y 3  0 7

2 31

− 0 = 16 − 32 = 48 . 5

5

8

 3 2 3 3 384  = 7 ⋅ 8 ⋅ 8 − 0 = 7 ⋅ 64 ⋅ 2 = 7 . 0

= 48 ⋅ 1 = 4 en y Z = 7 = 384 ⋅ 1 = 32 . Dus Z ( 4 , 32 ). 12 5 12 5 12 7 12 7 5 7

x 3 = x (kwadrateren) ⇒ x 6 = x ⇒ x 6 − x = 0 ⇒ x (x 5 − 1) = 0 ⇒ x = 0 (vold.) ∨ x = 1 (vold.). 1

0(

O (V ) = ∫ 1

∫0 ( x ⋅ (

1 1   11 x − x 3 dx = ∫  x 2 − x 3  dx =  11 x 2 − 41 x 4  0 1   2 

)

1   11 21 x − x 3 ) dx = ∫  x 2 − x 4 )  dx =  11 x 2 − 51 x 5  0   22 

)

1 0 1

= 2 ⋅1 − 1 ⋅1 − 0 = 8 − 3 = 5 . 3

4

12

12

12

= 2 ⋅1 − 1 ⋅1 − 0 = 1 . 5

0

5

5

1

y = x 3 ⇒ x = 3 y = y 3 en y = x ⇒ x = y 2 . 1 1 2 ∫0 ( y ⋅ (3 y − y ) dy = ∫0  y 1

xZ = 84

1

  21  − y 3  dy =  11 y 3 − 1 y 4  = 3 ⋅ 1 − 1 ⋅ 1 − 0 = 12 − 7 = 5 . 4 4 28 28 28 2   3 0 7

= 1 ⋅ 12 = 12 en y Z = 5 5 25

5 28 5 12

= 5 ⋅ 12 = 12 = 3 . Dus Z ( 12 , 3 ). 28

5

28

7

25

7

x 2 + y 2 = 16 ⇒ y 2 = 16 − x 2 ( y ≥ 0) ⇒ y = 16 − x 2 . xZ =

85

1 5 5 12

1 3

4 2 ∫0  x 16 − x  dx 4 2 ∫0 16 − x dx

(fnInt) ≈ 1, 70 en op grond van de symmetrie is

2 = 2 ⇒ x = 1 en 2 = 1 ⇒ x = 2.

x

x

y Z = x Z . Dus Z (1, 70;, 1, 70).

y = x2 ⇒ xy = 2 ⇒ x = y2 .

2 2 − 1 dx = 1 + 2ln

2 x − x  1 = 1 + (2ln(2) − 2 ) − (2ln(1) − 1 ) = 2ln(2). (x ) 1 2 1 2 2 1 2 2 ∫0 ( x ⋅ (2 − 1) ) dx + ∫1 ( x ( x2 − 1) ) dx = ∫0 x dx + ∫1 (2 − x ) ) dx =  21 x  0 + 2x − 21 x  1 = 21 − 0 + ( 4 − 2) − (2 − 21 ) = 1.

O (V ) = 1 ⋅ 1 + ∫

1

2 ∫1 ( y ⋅ x ) dy = ∫1 ( y ⋅ y2 ) dy = ∫1 2 dy = [2y ] 1 = 4 − 2 = 2. Dus xZ 2

2

2

=

1 = 2ln(2) en 2ln(2)

yZ =

2 = 1 . 2ln(2) ln(2)

G&R vwo B deel 4 C. von Schwartzenberg 86


y = ln(x ) ⇒ x = e y .

ln(x ) = 0 ⇒ x = e 0 = 1 en ln(x ) = 1 ⇒ x = e 1 = e . e

O (V ) = 1 ⋅ 1 + ∫ (1 − ln(x ) ) dx (fnInt) ≈ 1, 718. 1

1

e

∫0 ( x ⋅ 1) dx + ∫1 ( x ⋅ (1 − ln(x )) ) dx (fnInt) ≈ 1,597 ⇒ xZ 1 y 1 ≈ 0,58. ∫0 ( y ⋅ e ) dy (fnInt) = 1 ⇒ y Z ≈ 1,718

≈

1,597 ≈ 0, 93. 1,718

e

87

6

6

3(

)

I = ∫ π y 2 dx = ∫ π (36 − x 2 ) dx = π (36x − 31 x 3 )  3

6

∫3 π xy

2

dx = ∫

6



6

3

= π (36 ⋅ 6 − 1 ⋅ 63 ) − π (36 ⋅ 3 − 1 ⋅ 33 ) = 45π . 3

3

6

(π (36x − x 3)) dx = π (18x 2 − 41 x 4 ) 3 = π (18 ⋅ 62 − 41 ⋅ 64 ) − π (18 ⋅ 32 − 41 ⋅ 34 ) = 182,25π .

3 182,25π Dus x Z ≈ = 4, 05. 45π

88

4

4

−2

−2

4

(π (36 − x 2 ) ) dx = π (36x − 31 x 3) −2 = π (36 ⋅ 4 − 31 ⋅ 43) − π (36 ⋅ −2 − 31 ⋅ (−2)3) = 192π . 4 4 2 3 2 4 4 2 4 2 4 ∫−2 π xy dx = ∫−2 (π (36x − x ) ) dx = π (18x − 41 x )  −2 = π (18 ⋅ 4 − 41 ⋅ 4 ) − π (18 ⋅ (−2) − 41 ⋅ (−2) ) = 156π .

I = ∫ π y 2 dx = ∫

Dus x Z ≈ 156π = 13 . 192π

16

y

89

Het afgeknotte deel ontstaat door het vlakdel V , ingesloten door de lijn l , de x -as, de lijn x = 6 en de y -as te wentelen om de x -as.

5

l : y = ax + b met a = −105 = − 21 door (0, 5) ⇒ b = 5. Dus l : y = − 21 x + 5. 6 6 6 I = ∫ π y 2 dx = ∫ π ( − 21 x + 5)2 dx = ∫ π ( 41 x 2 − 5x + 25) dx 0

0

(

)

6

0

(

)

= π ( 1 x − 5 x + 25x )  = π ( 1 ⋅ 6 − 5 ⋅ 6 + 25 ⋅ 6) − 0 = 78π . 2 12 2  12 0 3

6

2

6

(

3

)

6

2

(

)

2 2 3 2 ∫0 π xy dx = ∫0 π x ( − 21 x + 5) dx = ∫0 π ( 41 x − 5x + 25x ) dx 6

l

V

O

= π ( 1 x 4 − 5 x 3 + 25 x 2 )  = π ( 1 ⋅ 6 4 − 5 ⋅ 63 + 25 ⋅ 62 ) − 0 = 171π . 3 2 16 3 2  16 0 π = 57 . Dus het zwaartepunt ligt 57 boven het grondvlak van de afgeknotte kegel. x Z ≈ 171 78π 26 26

x 6

10



Diagnostische toets D1a

L = OP = (x P )2 + (y P )2 = p 2 + 8 − 2 p

D1b

L = p 2 − 2p + 8 ⇒ dL = dp

dL = 0 ⇒ dp

D1c

p −1 p 2 − 2p + 8

2

p 2 + 8 − 2 p = p 2 − 2 p + 8.

=

2p − 2 1 ⋅ (2 p − 2) = = 2 ⋅ p 2 − 2p + 8 2 ⋅ p 2 − 2p + 8

p −1 p 2 − 2p + 8

= 0 (teller = 0) ⇒ p − 1 = 0 ⇒ p = 1. Hieruit volgt dan: L min = L(1) = 12 − 2 ⋅ 1 + 8 = 7.

A = OOQPR = x P ⋅ yP = p ⋅ 8 − 2p . A = p ⋅ 8 − 2 p ⇒ dA = 1 ⋅ 8 − 2 p + p ⋅ dp

dA = 0 ⇒ dp

8 − 2p −

p 8 − 2p

1 ⋅ −2 = 2 ⋅ 8 − 2p

p

= 0 ⇒ 8 − 2p =

8 − 2p −

p 8 − 2p

3

3

3

.

⇒ 8 − 2 p = p ⇒ 8 = 3p ⇒ p = 8 . 3

8 − 2p

Hieruit volgt dan: A max = A( 8 ) = 8 ⋅ 8 − 2 ⋅ 8 = 8 ⋅ 24 − 16 = 8 ⋅

D2

.

3

3

3

3

8 = 8 ⋅ 2 2 ⋅ 3 = 16 3 3 9 3 3

( ) ( ) L = ln ( 21 p ) − ln ( 3 −1 p ) = ln ( 21 p ) − ln ((3 − p ) −1 ) = ln ( 21 p ) + ln (3 − p ) ⇒ dL = dp

6.

L = AB = f ( p ) − g ( p ) = ln 21 p − ln 3 −1 p . dL = 0 ⇒ 1 − 1 = 0 ⇒ 1 = 1 ⇒ p 3−p p 3 −p dp

1 ⋅ 1 + 1 ⋅ −1 = 1 − 1 . p 3−p 2 3−p

1p 2

p = 3 − p ⇒ 2 p = 3 ⇒ p = 32 (de enige kandidaat voor het maximum).

D3a K = (2x + 2y ) ⋅ 160 + 2y ⋅ 85 = 320x + 320y + 170y = 320x + 490y . O = l ⋅ b = x ⋅ y = xy  800   ⇒ xy = 800 ⇒ y = x  ⇒ K = 320x + 490 ⋅ 800 = 320x + 392000 . O = 800   x x  K = 320x + 490y  D3b K = 320x + 392000 = 320x + 392 000x −1 ⇒ dK = 320 − 392 000x −2 = 320 − 392 2000 . x dx dK = 0 ⇒ 320 − 392 000 = 0 ⇒ 320 = 392 000 ⇒ 320x 2 = 392 000 ⇒ dx x2 x2 K is minimaal met de afmetingen x = 35 (m) bij y = 800 = 22 6 (m). 35 7 K min = K (35) = 320 ⋅ 35 + 392000 = 22 400 (€). 35

D4a

x

x 2 = 392000 = 1225 (x > 0) ⇒ x = 35. 320

AB = x en AB + BC = 6 ⇒ BC = 6 − x . Pythagoras in ∆ABC : AC = BC 2 − AB 2 = (6 − x )2 − x 2 = 36 − 12x + x 2 − x 2 = 36 − 12x .

O∆ABC = 21 ⋅ AB ⋅ AC = 21 ⋅ x ⋅ 36 − 12x = 21 x 36 − 12x . 3x 1 ⋅ −12 = 36 − 12x − . 2 2 2 36 − 12x 36 − 12x 36 − 12x 3x = ⇒ 6x = 36 − 12x ⇒ 18x = 36 ⇒ x = 36 = 2. 2 18 36 − 12x

D4b O = 1 x 36 − 12x ⇒ dK = 1 ⋅ 36 − 12x + 1 x ⋅ 2

dx

2

36 − 12x 3x − =0⇒ 2 36 − 12x 1 Omax = O (2) = 2 ⋅ 2 ⋅ 36 − 12 ⋅ 2 = 12 = dK = 0 ⇒ dx

4 ⋅ 3 = 2 3.

D5a De trillingstijd is T = 1 = 2cπ = 21 π = 6ππ = 6 seconden, dus het faseverschil is 2 = 1 . 6 3 f π 3 D5b uQ = 3sin( 1 π (t − 2)) met uQ in dm en t in seconden. D5c

3 1 = 6 seconden ⇒ f = 1 Hz. 6 f

Het punt P legt in 1 minuut 1 ⋅ 60 ⋅ 4 ⋅ 3 = 120 dm af. Dat is 12 meter. 6

D5d

(

)

(

)

(

)

(

)

uP = uQ ⇒ 3sin 31 πt = 3sin 31 π (t − 2) ⇒ sin 31 πt = sin 31 πt − 32 π ) ⇒ 1 πt = 1 πt − 2 π + k ⋅ 2π (geen oplossing) ∨ 1 πt = π − ( 1 πt − 2 π ) + k ⋅ 2π ⇒ 3 3 3 3 3 3 1 πt = π − 1 πt + 2 π + k ⋅ 2π ⇒ 2 πt = 5 π + k ⋅ 2π ⇒ t = 5 + k ⋅ 3. We zoeken 3 3 3 3 3 2

D6a u 1 en u 2 hebben dezelfde frequentie ⇒ c = 8π . u 3 = 0, 4 sin(8πt ) + 0,2 sin(8πt − 0, 4π ) (optie maximum) ⇒ b ≈ 0,50. u 3 = 0, 4 sin(8πt ) + 0,2 sin(8πt − 0, 4π ) = 0 (intersect of zero) ⇒ t ≈ 0, 016.

(je zoekt de t -waarde waar de grafiek van u stijgend door de evenwichtsstand gaat)

Dus u 3 = 0, 50 sin(8π (t − Ans)) ≈ 0,50 sin(8πt − 0,39) ⇒ d ≈ 0,39.

t = 25 = 2 21 .



D6b u 4 = u 1 + 2u 2 = 0, 4 sin(8πt ) + 0, 4 sin(8πt − 0, 4π ) = 0, 4 ( sin(8πt ) + sin(8πt − 0, 4π ) )

= 0, 4 ⋅ 2 sin( 1 (8πt + 8πt − 0, 4π )) ⋅ cos( 1 (8πt − 8πt + 0, 4π )) 2

2

= 0,8 sin(8πt − 0,2π ) ⋅ cos(0,2π ) ≈ 0, 65 2 sin(8πt − 0,2π ). D7a u = sin(10t ) + sin(15t ) heeft periode 2 π sec. (zie de uitleg hieronder)

D8a

u = 2 sin(450πt ) + sin(400πt ) heeft periode

D7b

5


u 1 = sin(10t )

u 2 = sin(15t )

in [ 0, 2π ]

10 periodes

15 periodes

in 0, 2 π   5 

2 periodes

3 periodes

In de x -richting worden 2 periodes doorlopen ⇒ periode is In de y -richting worden 3 periodes doorlopen ⇒ periode is

1 sec. 25

u 1 = 2 sin(450πt )

u 2 = sin(400πt )

in 0, 2π 

450π periodes

400π periodes

in 0, 1   25 

9 periodes

8 periodes

4 π 3

2 4 π 3

3

= 2 π ⇒ a = 22 π = 6π = 3. 3

3

2π

π

= 4 π ⇒ b = 24π = 18π = 4 1 . 9

9

4π

π

2

D8b x = 0 ⇒ sin(3t ) = 0 ⇒ 3t = k ⋅ π ⇒ t = k ⋅ 1 π . 3

t op 0,1 1 π  : t = 0 ∨ t = 1 π ∨ t = 2 π ∨ t = π ∨ t = 1 1 π . 3  3 3 3  y = 0 ⇒ sin(4 1 t ) = 0 ⇒ 4 1 t = k ⋅ π ⇒ t = k ⋅ 2 π . 2

2

9

t op 0,1 1 π  : t = 0 ∨ t = 2 π ∨ t = 4 π ∨ t = 2 π ∨ t = 8 π ∨ t = 10 π ∨ t = 4 π . 3  9 9 3 9 9 3  D9a

t

0 41 π

x y

0

2

1π 2

3π 4

π

11π

11π

13π 4

2π

2

2

0

− 2

−2

− 2

0

2

4

0 1 0 0 1 0 −1 −1 Zie de grafiek van K in de figuur hiernaast.

t = 0, π , 2π

t = 1 41 π , 1 43 π

1

t =

1 4

π , 34 π

(de tabel kan ook met TABLE op de GR opgevraagd worden)

De keerpunten zijn ( −2, − 1) en (2, − 1). D9b y = ax 2 + b door (0, 1) ⇒ 1 = a ⋅ 02 + b ⇒ 1 = b .

t = 21 π

t = 1 21 π

y = ax 2 + 1 door (2, − 1) ⇒ −1 = a ⋅ 22 + 1 ⇒ −1 = 4a + 1 ⇒ −2 = 4a ⇒ a = − 24 = − 21 . Vermoedelijk hoort de formule y = − 1 x 2 + 1 bij K . 2 2

− 1 x 2 + 1 = − 1 ⋅ (2 sin(t ) ) + 1 = −2 sin2 (t ) + 1 = 1 − 2 sin2 (t ) = cos(2t ) = y (wat te bewijzen was). 2

2

D

2

Bij K hoort de formule y = − 1 x + 1 met − 2 ≤ x ≤ 2 (want − 2 ≤ 2 sin(t ) ≤ 2). 2

6

6

D10a Noem S het snijpunt van BD en AC . Omdat AB = BC en AD = CD is AC ⊥ BD . sin(x ) = AS = AS ⇒ AS = 5 sin(x ) en cos(x ) = BS = BS ⇒ BS = 5 cos(x ). AB

AB

5

2

Pyth. in ∆ADS : SD = AD − AS

2

2

5 2

A

2

= 6 − ( 5 sin(x ) ) = 36 − 25 sin (x ).

C

S 5

5

x

2

BD = BS + SD = 5 cos(x ) + 36 − 25 sin (x ).

B

D10b AS = 5 sin(x ) ⇒ AC = 10 sin(x ).

BD = AC ⇒ 5 cos(x ) + 36 − 25 sin2 (x ) = 10 sin(x ) (intersect) ⇒ x ≈ 51°. D

D11a OABCE = 0, 8 ⋅ OABCE of O∆EDC = 0,2 ⋅ OABCE .

∠ECD = α en tan(α ) = DE = DE ⇒ DE = 30 tan(α ). CD 30

O∆EDC = 21 ⋅ DE ⋅ DC = 21 ⋅ 30 tan(α ) ⋅ 30 = 450 tan(α )  ⇒ O∆EDC = 0,2 ⋅ OABCE = 0,2 ⋅ 30 ⋅ 15 = 6 ⋅ 15 = 90 A  90 1 450 tan(α ) = 90 ⇒ tan(α ) = = ⇒ a ≈ 11°. 450 5 D11b ∠BEC = α (Z-hoeken) en tan(α ) = BC = 15 ⇒ EB = 15 . EB EB tan(α ) 15 1 1 O∆EBC = 2 ⋅ EB ⋅ BC = 2 ⋅ ⋅ 15 = 112, 5 tan(α )  tan(α ) ⇒

O∆EBC = 0,25 ⋅ OABCE = 0,25 ⋅ 30 ⋅ 15 = 112,5 112, 5 tan(α ) = 112,5 ⇒ tan(α ) = 1 ⇒ a = 45°.



30

α

E

C 15

30

α

B

A

E

C

α α

15

B



D12a Stel a (t ) = mt + n met m = 68 − 8 = 60 = 1 en a (0) = 8 ⇒ a (t ) = t + 8. 60

60

v (t ) = 21 t 2 + 8t + v (0) met v (0) = 0 ⇒ v (t ) = 21 t 2 + 8t .

s (t ) = 61 t 3 + 4t 2 + s (0) met s (0) = 0 ⇒ s (t ) = 61 t 3 + 4t 2 . s (60) = 61 ⋅ 603 + 4 ⋅ 602 = 50 400 m.

D12b Vanaf t = 60 is a (t ) = −10. t

t

t

a ( p ) dp = 21 ⋅ 602 + 8 ⋅ 60 + ∫ −10 dp = 2280 + [ −10 p ] 60 = 2280 − 10t + 600 = 2 880 − 10t . 60 De hoogte is maximaal als de snelheid v (t ) = 0 ⇒ 2 880 − 10t = 0 ⇒ 2 880 = 10t ⇒ t = 288.

v (t ) = v (60) + ∫

60

288

288

288

= 50 400 + 2 880t − 5t 2    60 = 50 400 + 2 880 ⋅ 288 − 5 ⋅ 2882 − (2 880 ⋅ 60 − 5 ⋅ 602 ) = 310 320 m.

s (288) = s (60) + ∫

60

(v (t ) ) dt

= 50 400 + ∫

60

(2 880 − 10t ) dt

x

y =3

D13

y = 3x ⇒ x = 3log(y ). O (V ) = ∫ 3x dx (fnInt) ≈ 1, 820  1

1

0

D14a I (L ) = ∫

2

0

2

1,074

 ⇒ x Z ≈ 1,820 ≈ 0,59.  

) ∫0 ( 1 3 3 ∫0 ( y ⋅ 1) dy + ∫1 ( y ⋅ (1 − log(y ) ) dy x ⋅ 3x dx (fnInt) ≈ 1, 074

(fnInt) ≈ 1,820 ⇒ y Z = Ans = 1. O (V )

(π ⋅ y 2 ) dx = ∫02 (π (4 − x 2 )2 ) dx = ∫02 (π (16 − 8x 2 + x 4 ) ) dx

2 = π (16x − 8 x 3 + 1 x 5 )  = π (16 ⋅ 2 − 8 ⋅ 23 + 1 ⋅ 25 ) − 0 = 256 π . 3 5 3 5 15  0

∫0 (π x ⋅ (4 − x

2 2

)

) dx = ∫02 (π (16x − 8x 3 + x 5 )) dx

2 = π (8x 2 − 2x 4 + 1 x 6 )  = π (8 ⋅ 22 − 2 ⋅ 24 + 1 ⋅ 26 ) − 0 = 32 π . 6 6 3  0

De x -coördinaat van het zwaartepunt van L is

32 π 3 256 π 15

= 5. 8

D14b y = 4 − x 2 ⇒ x 2 = 4 − y (met x ≥ 0) ⇒ x = 4 − y 4

4 π ⋅ x 2 ) dy = ∫ (π (4 − y ) ) dy = π (4y − 21 y 2 )  = π (4 ⋅ 4 − 21 ⋅ 42 ) − 0 = π (16 − 8) = 8π .  0 0( 0 4 4 2 2 2 1 3 4  = ∫ ( π yx ) dy = ∫ (π (4y − y ) ) dy = π (2y − y ) = π (2 ⋅ 42 − 1 ⋅ 43 ) − 0 = π (32 − 64 ) = 32 π . 3 3 3 3  0 0 0

I (M ) = ∫

y =4−x

4

De y -coördinaat van het zwaartepunt van M is

32 π 3

8π

= 4. 3

V

2



Gemengde opgaven 15. Toepassingen G39a f (x ) = 0 ⇒ x ⋅ 8 − 2x = 0 ⇒ x = 0 ∨ 8 − 2x = 0 ⇒ x = 0 ∨ 8 = 2x ⇒ x = 0 ∨ x = 4. y P = p (met 0 < p < 4) ⇒ yP = p ⋅ 8 − 2 p .

O∆OSP = 21 ⋅ OS ⋅ yP = 21 ⋅ 4 ⋅ p 8 − 2p = 2 p 8 − 2 p . 2p dO = 2 ⋅ 8 − 2 p + 2 p ⋅ 1 ⋅ −2 = 2 ⋅ 8 − 2p − dp

dO = 0 ⇒ 2 ⋅ 8 − 2 p − dp

2 8 − 2p 2p 8 − 2p

= 0 ⇒ 2 ⋅ 8 − 2p =

Omax = O ( 83 ) = 2 ⋅ 83 ⋅ 8 − 2 ⋅ 83 = 16 ⋅ 3

24 − 16 = 16 ⋅ 3 3 3

8 − 2p 2p 8 − 2p

. ⇒ 2 p = 2(8 − 2 p ) ⇒ p = 8 − 2 p ⇒ 3p = 8 ⇒ p = 8 . 3

4 ⋅2 = 32 ⋅ 2 ⋅ 3 = 32 3 9 3 3 3

8 = 16 ⋅ 3 3

6.

G39b O∆QSP = 1 ⋅ QS ⋅ y P = 1 ⋅ (4 − p ) ⋅ p 8 − 2p = (2 p − 1 p 2 ) ⋅ 8 − 2 p . 2

dO = (2 − dp

2

2

p ) ⋅ 8 − 2p + (2 p

1 − 1 p 2) ⋅ ⋅ −2 = (2 − 2 2 8 − 2p 2 p − 21 p

p ) ⋅ 8 − 2p −

2

1

2 p − 21 p 2 8 − 2p

.

2

2p − 2 p (2 − p ) ⋅ 8 − 2 p =0⇒ = ⇒ (2 − p )(8 − 2 p ) = (2p − 1 p 2 ) ⇒ 1 2 8 − 2p 8 − 2p 2 2 2 2 1 1 1 16 − 4 p − 8 p + 2 p = 2 p − p ⇒ 2 p − 14 p + 16 = 0 (met D = ( −14) − 4 ⋅ 2 2 ⋅ 16 = 36) ⇒ 2 2 p = 145+ 6 = 20 = 4 (voldoet niet) ∨ p = 14 − 6 = 8 (de enige kandidaat). 5 5 5 48 ⋅ 24 = 48 ⋅ 4 ⋅ 6 = 96 ⋅ 6 ⋅ 5 = 96 30. Omax = O ( 58 ) = (2 ⋅ 58 − 21 ⋅ ( 58 )2 ) ⋅ 8 − 2 ⋅ 58 = 25 5 25 25 5 5 5 125 dO = 0 ⇒ (2 − dp

p ) ⋅ 8 − 2p −

(4

)

G40a L = AB = f ( p ) − g ( p ) = 25 − p 2 − 3 p − 4 = 25 − p 2 − 3 p + 4.

f

4

−p dL = 1 ⋅ −2 p − 3 = − 3. 4 4 dp 2 25 − p 2 25 − p 2 −p −p dO = 0 ⇒ −3 =0⇒ = 3 ⇒ −4 p = 3 ⋅ 25 − 4 4 dp 25 − p 2 25 − p 2 2 2 2 2 2

g

p 2 (* kwadrateren) ⇒

16p = 9 ⋅ (25 − p ) ⇒ 16 p = 9 ⋅ 25 − 9 p ⇒ 25 p = 9 ⋅ 25 ⇒ p 2 = 9 ⇒ p = −3 (vold.) ∨ p = 3 (vold. niet aan *).

L max = L( −3) = 25 − ( −3)2 − 34 ⋅ −3 + 4 = 25 − 9 + 49 + 4 = 16 + 2 41 + 4 = 4 + 2 41 + 4 = 10 41 . G40b L = AC = h ( p ) − f ( p ) = − 4 p + 10 − 25 − p 2 . 3 dL = − 4 − 1 ⋅ −2p = − 4 + 3 2 25 − p 2 3 dp

dO = 0 ⇒ − 4 + 3 dp

p 25 − p 2

=0⇒

p 25 − p 2

p 25 − p 2 2

h

.

f

= 4 ⇒ 3p = 4 ⋅ 25 − p

2

3

(* kwadrateren) ⇒

9 p 2 = 16 ⋅ (25 − p 2 ) ⇒ 9 p = 16 ⋅ 25 − 16 p 2 ⇒ 25 p 2 = 16 ⋅ 25 ⇒ p 2 = 16 ⇒ p = −4 (vold. niet aan *) ∨ p = 4 (vold.).

L min = L(4) = − 43 ⋅ 4 + 10 − 25 − 16 = − 16 + 10 − 9 = −5 1 + 10 − 3 = 10 − 8 1 = 1 2 . 3 3 3 3 G41a Rechte lijn op (enkelvoudig) logaritmisch papier ⇒ exponentiële functie ⇒ NA = b ⋅ gt . 1

Lijn door (0, 150) en (16, 1 400) ⇒ g 16 jaar = 1400 = 140 = 9 1 ⇒ g jaar = (9 1 ) 16 ≈ 1,15. Dus NA ≈ 150 ⋅ 1,15t . 150 15 3 3 Rechte lijn op (enkelvoudig) logaritmisch papier ⇒ exponentiële functie ⇒ NB = b ⋅ gt . 1

Door (0, 800) en (18, 320) ⇒ g 18 jaar = 320 = 2 ⇒ g jaar = ( 2 ) 18 ≈ 0, 95. Dus NB ≈ 800 ⋅ 0, 95t . 800 5 5 G41b NA + NB ≈ 150 ⋅ 1,15t + 800 ⋅ 0, 95t (optie minimum geeft) t ≈ 3,5 en (NA + NB )min ≈ 913.

Dus het minimale aantal van deze plantenfamilie in dit natuurgebied is ongeveer 910.

G42a In ∆ADR : is sin(α ) = DR = DR ⇒ DR = 1,2 sin(α ) en cos(α ) = AD = AD ⇒ AD = 1,2cos(α ).

B D

AR 1,2 AR 1,2 In ∆AEQ : is cos(α ) = AE = AE ⇒ AE = 0,3cos(α ) ⇒ AP = 0, 6cos(α ). 0,3 AQ

BD = AB − AD = AP + PB − AD = 0, 6cos(α ) + 0, 6 − 1,2 cos(α ) = 0, 6 − 0, 6cos(α ). 2

Pythagoras in ∆ADR : BR = BD + DR

2

=

2

( 0, 6 − 0, 6cos(α ) )

0, 6

2

+ (1,2 sin(α ) )

2

P

2

= 0,36 − 0, 72cos(α ) + 0,36cos (α ) + 1, 44 sin (α )

(

= 0,36 − 0, 72cos(α ) + 0,36cos2 (α ) + 1, 44 1 − cos2 (α ) 2

)

E

2

= 0,36 − 0, 72cos(α ) + 0,36cos (α ) + 1, 44 − 1, 44 cos (α ) = 1, 8 − 0, 72cos(α ) − 1, 08cos2 (α ).

R

A T

0, 9 0, 3

Q α 0, 3



G42b BR = 1, 8 − 0, 72cos(α ) − 1, 08cos2 (α ) = 1 (intersect) ⇒ α ≈ 0, 94 (radialen). BR > 1 (zie een plot) ⇒ α > 0, 94 (radialen). G42c L = 1,8 − 0, 72cos(α ) − 1, 08cos2 (α ) (met 0 ≤ α ≤ π ) ⇒ dL = 1 ⋅ −0, 72 ⋅ − sin(α ) − 1, 08 ⋅ 2 cos(α ) ⋅ − sin(α ). dα 2 1,8 − 0,72cos(α ) − 1,08cos2 (α ) dL = 0 (teller = 0) ⇒ 0, 72 sin(α ) + 2,16 cos(α ) sin(α ) = 0 ⇒ 0, 72 sin(α ) ⋅ 1 + 3cos(α ) = 0 ⇒ dα sin(α ) = 0 ∨ 1 + 3cos(α ) = 0 ⇒ α = k ⋅ π ∨ 3cos(α ) = −1 ⇒ α = k ⋅ π ∨ cos(α ) = − 1 (met 0 ≤ α ≤ π ) ⇒ 3 Dus BR is maximaal (zie plot) bij een hoek van (ongeveer) 1,91 radialen.

(

G43a f (x ) = sin( 1 π − 2x ) + cos(2x )

)

g (x ) = 6 sin(x ) cos(x ) + 3sin(2x + 61 π ) = 3 ⋅ 2 sin(x ) cos(x ) + 3sin(2x + 1 π ) 6

3 = sin( 1 π − 2x ) + sin(2x + 1 π ) 3 2 = 2 sin( 1 ( 1 π + 1 π )) ⋅ cos( 1 ( 1 π − 2x − (2x + 1 π ))) 2 3 2 2 3 2 = 2 sin( 1 ( 5 π )) ⋅ cos( 1 ( − 1 π − 4x )) 2 6 2 6 = 2 sin( 5 π ) ⋅ cos( − 1 π − 2x ) 12 12 = 2 sin( 5 π ) ⋅ sin( − 1 π − 2x + 1 π ) 12 12 2 ≈ 1, 93sin( 5 π − 2x ). 12

= 3sin(2x ) + 3sin(2x + 1 π )

(

6

= 3 ⋅ sin(2x ) + sin(2x + 1 π )

)

6 = 3 ⋅ 2 sin( 1 (4x + 1 π )) ⋅ cos( 1 ( − 1 π ) 2 6 2 6 = 6cos( − 1 π ) ⋅ sin(2x + 1 π ) 12 12 ≈ 5,80 sin(2x + 1 π ). 12

G43b De grafieken van f en g hebben beide dezelfde periode dus h (x ) is te schrijven in de vorm y = b sin(cx − d ). De periode van de grafiek van f en de grafiek van g is 2π = π ⇒ c = 2ππ = 2. 2 h (x ) = sin( 1 π − 2x ) + cos(2x ) + 6 sin(x ) cos(x ) + 3sin(2x + 1 π ) (optie maximum) ⇒ x ≈ 0, 49 en b ≈ 6,11. 3

6

h (x ) = 0 (intersect of zero) ⇒ x ≈ 2, 850 (je zoekt de x -waarde waar de grafiek stijgend door de evenwichtsstand gaat).

Dus h (x ) = 6,11 sin(2(x − 2, 850)) = 6,11 sin(2x − 5, 70). Dus b ≈ 6,11, c = 2 en d ≈ 5, 70. G44a u 1 en u 2 hebben beide dezelfde frequentie ⇒ c = 880π u 4 = u 1 + u 2 = 0, 05 sin(880πt ) + 0,1 sin(880πt − 0, 4π ) (optie maximum) ⇒ b ≈ 0,12. u 4 = 0 (intersect of zero) ⇒ t ≈ 0, 000313 (je zoekt de t -waarde waar de grafiek stijgend door de evenwichtsstand gaat).

Dus u 4 = 0,12 sin(880π (t − 0, 000313)) = 0,12 sin(880πt − 0, 87). G44b u 5 = 2u 1 + u 2 = 2 ⋅ 0, 05 sin(880πt ) + 0,1 sin(880πt − 0, 4π ) = 0,1 sin(880πt ) + 0,1 sin(880πt − 0, 4π ) = 0,1 ⋅ 2 sin(880πt − 0,2π ) cos(0,2π ) = 0,2 cos(0,2π ) sin(880πt − 0,2π ) ≈ 0,16 sin(880πt − 0,2π ). G44c De periodes van u 1, u 2 en u 3 zijn niet gelijk dus u is niet te schrijven in de vorm u = b sin(ct − d ). Dus de trilling is geen harmonische trilling maar vertoont wel een zweving. De periode van de zweving 2u 1 + u 2 + u 3 is 1 sec. (zie de uitleg hieronder) 2

2u 1 = 0,1 sin(880πt )

u 2 = 0,1 sin(880πt − 0, 4π )

u 3 = 0,2 sin(884πt )

in [ 0, 2π ]

880π periodes

880π periodes

884π periodes

in 0, 1   2

220 periodes

220 periodes

221 periodes

G45a Omtrek = f (0) + 1 + f (1) + ∫

=1+1+2+ ∫

1

0

1

0

1 + (f '(x ))2 dx

1 + (2x )2 dx (fnInt) ≈ 5, 48.

+ 1 dx (fnInt) ≈ 1,333 0,75  ⇒ x Z = O (V ) = 0,5625 ≈ 0, 56. 1 2 ∫0 x ⋅ (x + 1) dx (fnInt) = 0, 75  y = x 2 + 1 ⇒ x 2 = y − 1 (met x ≥ 0) ⇒ x = y − 1.

G45b O (V ) =

1

∫0 ( x

(

)

2

)

1

2

∫0 ( y ⋅ 1) dy + ∫1 ( y ⋅ (1 − 2

)

V

y − 1 dy (fnInt) ≈ 0, 933 ⇒ y Z = Ans ≈ 0, 70.

translatie ( −1, 0)

O (V )

2

G45c f (x ) = x + 1  → g (x ) = (x + 1) + 1. (een zelfde lichaam L als je de grafiek van g wentelt om de y -as)



y = (x + 1)2 + 1 ⇒ (x + 1)2 = y − 1 (x + 1 ≥ 0) ⇒ x + 1 = y − 1 ⇒ x = −1 + y − 1. 2

2

2

1

1

1

I (L ) = I (cilinder) + ∫ π x 2 dy = π ⋅ 12 ⋅ 1 + ∫ π ( −1 + y − 1)2 dy = π + ∫ π (1 − y − 1 − y − 1 + y − 1) dy 2

1 2  11  = π + ∫ π (y − 2( y − 1) 2 ) dy = π + π ( 1 y 2 − 21 (y − 1) 2  = π + π ( 1 ⋅ 4 − 4 ⋅ 1) − π ( 1 ⋅ 1) = π + 2 π − 1 π = 1 1 π . 2 2 3 2 3 2 6 1 1 2  1

1

G45d I (L ) = ∫ π y 2 dx = 0

1

∫0 π x (x

2

1

∫0 π (x

+ 1)2 dx =

2

1

∫0 π (x

+ 1)2 dx = 5

1

∫0 π (x

4

1

+ 2x 2 + 1) dx = π ( 1 x 5 + 2 x 3 + x  = π ( 1 + 2 + 1) − π ⋅ 0 = 1 13 π . 3 5 3 15  5 0

1 + 2x 3 + x ) dx = π ( 1 x 6 + 2 x 4 + 1 x 2  = π ( 1 + 1 + 1 ) − π ⋅ 0 = 1 1 π . 6 2 6 2 2 6 4  0 11π

De x -coördinaat van het zwaartepunt is x Z = 136 = 1 15 π

7 6 28 15

=

5

1

7 15 ⋅ = 5. 8 28 4 26

G45e y = x 2 + 1 ⇒ x 2 = y − 1 1

2

1

2

1

0

1

2

1

I (L ) = ∫ π ⋅ 12 dy + ∫ π x 2 dy = ∫ π dy + ∫ π ( y − 1) dy = [π y ] 0 + π ( 21 y 2 − y  = π ⋅ 1 − 0 + π (2 − 2) − π ( 21 − 1) = 1 21 π . 0



1

2 1 3 2 2 ∫0 π y dy + ∫1 π y (y − 1) dy = π ⋅ 21 y  0 + π ( 31 y − 21 y  1 = π ⋅ 21 − 0 + π ( 38 − 2) − π ( 31 − 21 ) = 21 π + 23 π + 61 π = 86 π = 1 31 π . 1

2

11π

De y -coördinaat van het zwaartepunt is y Z = 31 = 12π

4 3 3 2

= 4 ⋅2 = 8. 3 3

9

G46 AQ + BR = 2,5 ⇒ x + BR = 2,5 ⇒ BR = 2, 5 − x . 2

Pyth. in ∆ARB : AR + BR

2

= AB

B

2

(a + x )2 + (2, 5 − x )2 = 2,52

2, 5

2, 5 − x

(a + x )2 + 6,25 − 5x + x 2 = 6,25 (a + x )2 = 5x − x 2 ⇒ a + x = 5x − x 2 ⇒ a = −x + 5x − x 2 .

a = −x + 5x − x 2 ⇒ da = −1 + dx

1 2 5x − x 2

da = 0 ⇒ −1 + 5 − 2x =0 dx 2 5x − x 2 5 − 2x = 11 2 5x − x 2 5 − 2x = 2 5x − x 2 (* kwadrateren) 2 2

⋅ (5 − 2x ) = −1 +

∆AED

(2, 5 − x )2 + BC 2 = 2,52

a=

6,25 − 5x + x 2 + BC 2 = 6,25

G47b a

(1,5 − x ) 5x − x = 2,5 − x

= 5x − x

C

∽ ∆ACB (snavelfiguur).

1,5 − x = 2,5 − x

Pyth. in ∆ARB : AC 2 + BC 2 = AB 2

2

x

R

x = 40 −16800 (voldoet aan *) ∨ x = 40 +16800 (vold. niet) x = 40 −16800 invullen in a = −x + 5x − x 2 geeft a max ≈ 1, 04 (m).

G47a x + AC = 2,5 ⇒ AC = 2,5 − x .

BC

a

D = ( −40)2 − 4 ⋅ 8 ⋅ 25 = 1 600 − 800 = 800

(5 − 2x ) = 4(5x − x )

2

A

8x 2 − 40x + 25 = 0

25 − 20x + 4x 2 = 20x − 4x 2

2

5 − 2x . 2 5x − x 2

B

a

5x − x 2

(1,5 − x ) 5x − x 2 . 2,5 − x

2

⇒ BC = 5x − x .

2, 5 − x

a 1, 5 − x

(optie maximum) ⇒ a ≈ 0, 77 (m).

A

G47c Het dak van een maximaal 1,5 m hoge auto moet minimaal 77 cm van de garagedeur verwijderd staan. G48a De grafieken van x en y hebben voor t = 1 π en t = 1 1 π een extreem 2

2

en de grafieken van x en y hebben t = 1 π en t = 1 1 π als symmetrieas. 2 2 Dus de kleinste positieve waarden waarvoor de krommen precies één keer wordt doorlopen zijn a = 1 π en b = 1 1 π . 2

2 1 G48b y = x geeft cos(2t ) = − sin(t ) ⇒ sin(2t + π ) = sin(t + π ) 2 2t + 1 π = t + π + k ⋅ 2π ∨ 2t + 1 π = π − (t + π ) + k ⋅ 2π 2 2 t = 21 π + k ⋅ 2π ∨ 2t + 21 π = π − t − π + k ⋅ 2π t = 21 π + k ⋅ 2π ∨ 3t = − 21 π + k ⋅ 2π t = 21 π + k ⋅ 2π ∨ t = − 61 π + k ⋅ 23 π . t op  21 π ,1 21 π  geeft: t = 21 π ∨ t = 1 61 π .

t = 21 π geeft x = − sin( 21 π ) = −1 en y = x = −1. t = 1 61 π geeft x = − sin(1 61 π ) = 21 en y = x = 21 . De snijpunten zijn ( −1, − 1) en ( 1 , 1 ). 2

2



G48c K gaat door de punten ( −1, − 1) en (0, 1).  y = ax 2 + b door (0, 1) ⇒ 1 = a ⋅ 0 + b ⇒ b = 1 2  ⇒ Vermoedelijk hoort de formule y = −2x + 1 bij K . 2 y = ax + 1 door ( −1, − 1) ⇒ −1 = a ⋅ 1 + 1 ⇒ a = −2 2

−2x 2 + 1 = −2 ⋅ ( − sin(t ) ) + 1 = −2 sin2 (t ) + 1 = cos(2t ) = y (wat te bewijzen was). Bij K hoort de formule y = −2x 2 + 1 met − 1 ≤ x ≤ 1 (want − 1 ≤ sin(t ) ≤ 1 ⇒ −1 ≤ − sin(t ) ≤ 1). 2

G48d y = 0 ⇒ −2x + 1 = 0 ⇒ −2x Omtrek = 1 2 + 1 2 + ∫ 2

G48e O (V ) =

1 2

∫−

2 1 2

2

1 2

2

2

− 21 2

2

= −1 ⇒ x

2

= 1 ⇒x =− 1 ∨ x = 2

2

1 + (f '(x ))2 dx = 2 + ∫

1 2

2

− 21 2

V

1. 2

1 + ( −4x )2 dx (fnInt) ≈ 3, 98.

( −2x 2 + 1) dx (fnInt) ≈ 0, 94.

G49a y = 1 3 geeft cos(2t ) = 1 3

11 π geeft x = sin(3 ⋅ 11 π ) = sin(2 3 π ) = 1 2 ⇒ A( 1 2, 1 3). t = 12 2 2 12 2 2 2 4 1 π geeft x = sin(3 ⋅ 1 1 π ) = sin(3 1 π ) = − 1 2 ⇒ B ( − 1 2, 1 3). 2t = 1 π + k ⋅ 2π ∨ 2t = − 1 π + k ⋅ 2π t 1 = 6 6 12 12 4 2 2 2 1 π + k ⋅π ∨ t = − 1 π + k ⋅π 1 2 − − 1 2 = 2, t = 12 AB Dus = 12 2 2 11 π ∨ t = 1 1 π . t op  21 π , 1 21 π  geeft: t = 12 12

G49b t = 1 π + a geeft x = sin(3 ⋅ ( 1 π + a )) = sin(1 1 π + 3a ) = cos(1 1 π + 3a − 1 π ) = cos(3a + π ) = − cos(3a ) 2

2

2

2

2

en y = cos(2 ⋅ ( 1 π + a )) = cos(π + 2a ) = − cos(2a ). 2

t = 1 21 π − a geeft x = sin(3 ⋅ (1 21 π − a )) = sin(4 21 π − 3a ) = cos(4 21 π − 3a − 21 π ) = cos( −3a + 4π ) = cos( −3a ) = cos(3a ) en y = cos(2 ⋅ (1 1 π − a )) = cos(3π − 2a ) = cos(π − 2a ) = − cos( −2a ) = − cos(2a ). 2 Dus S ( − cos(3a ), − cos(2a )) en T (cos(3a ), − cos(2a )) ⇒ ST = cos(3a ) − − cos(3a ) = 2cos(3a ) .

G50a x (t ) = cos(15t ) + cos(2t ) = 2cos( 1 (15t + 2t )) cos( 1 (15t − 2t )) = 2cos(8 1 t ) cos(6 1 t ) = r (t ) cos(8 1 t ). 2

2

2

2

2

y (t ) = sin(15t ) + sin(2t ) = 2 sin( 21 (15t + 2t )) cos( 21 (15t − 2t )) = 2 sin(8 21 t ) cos(6 21 t ) = r (t ) sin(8 21 t ). G50b x (t ) = 0 ⇒ 2 cos(6 1 t ) cos(8 1 t ) = 0 2

y (t ) = 0 ⇒ 2cos(6 21 t ) cos(8 21 t ) = 0

2

cos(6 1 t ) = 0 ∨ cos(8 1 t ) = 0

2 2 6 1t = 1 π + k ⋅π ∨ 8 1t = 1 π + k ⋅π 2 2 2 2 1 π +k ⋅ 2 π ∨ t = 1 π +k ⋅ 2 π t = 13 13 17 17 Dus x (t ) = 0 ∧ y (t ) = 0 voor t = 1 π + k ⋅ 2 π . Dus 13 13

cos(6 1 t ) = 0 ∨ sin(8 1 t ) = 0 2

2

6 1t = 1 π + k ⋅π ∨ 8 1t = k ⋅π 2

2

2

1 π +k ⋅ 2 π ∨ t =k ⋅ 2 π t = 13 13 17

P passeert 13 keer (k = 0, 1, 2, 3, ... , 12) het punt (0, 0).

G51a y (t ) = 0 ⇒ sin(2t + 1 π ) = 0 ⇒ 2t + 1 π = k ⋅ π ⇒ 2t = − 1 π + k ⋅ π ⇒ t = − 1 π + k ⋅ 1 π . 3

3

3

6

2

De punten zijn (sin( − 1 π ), 0) = ( − 1 , 0), (sin( 1 π ), 0) = ( 1 3, 0), (sin( 5 π ), 0) = ( 1 , 0) en (sin(1 1 π ), 0) = ( − 1 3, 0). G51b AB

6 2 3 2 6 2 3 1 1 1 1 = sin(2a + π ) − sin(2(π − a ) + π ) = sin(2a + π ) − sin(2 π − 2a ) 3 3 3 3 = 2 sin( 1 (2a + 1 π − 2 1 π + 2a )) cos( 1 (2a + 1 π + 2 1 π − 2a )) = 2 sin( 1 (4a − 2π )) cos( 1 (2 2 π )) 2 3 3 2 3 3 2 2 3 = 2 sin(2a − π ) cos(1 1 π ) = −2 sin(2a ) ⋅ − 1 = sin(2a ). 3 2

2

G52a z '(18) = 100 ⋅ e 0,1(18− 40) = 100 ⋅ e −2,2 100 ⋅ e −0,2(t −100) = 100 ⋅ e −2,2 ⇒ e −0,2(t −100) = e −2,2 ⇒ −0,2(t − 100) = −2,2 ⇒ t − 100 = 11 ⇒ t = 111. Dus t 3 = 111. G52b z (t ) = a ⋅ e 0,1(t − 40) + b ⇒ z '(t ) = a ⋅ e 0,1(t − 40) ⋅ 0,1 = 0,1a ⋅ e 0,1(t − 40)   ⇒ 0,1a = 100 ⇒ a = 1 000. z '(t ) = 100 ⋅ e 0,1(t − 40)  0,1(t − 40)  + b  ⇒ 1 000 ⋅ e 0,1(0 − 40) + b = 30 ⇒ 1 000 ⋅ e −4 + b = 30 ⇒ b = 30 − 1 000 ⋅ e −4 = 30 − 1000 . z (t ) = 1 000 ⋅ e  e4 z (0) = 30  G52c z (100) = z (0) + ∫

40

0

G52d z (120) = z (100) + ∫

100 ⋅ e 0,1(t − 40) dt + ∫

120

100

z '(t ) dt = Ans + ∫

100

40 120

0

100 dt (fnInt) ≈ 7 011, 68.

100 ⋅ e −0,2(t −100) dt (fnInt) ≈ 7 503 (kg).

G53a P haalt Q voor het eerst in als 11 t = t + 2 π ⇒ 1 t = 2 π ⇒ t = 20 π ≈ 21. Dus na 21 seconden. 10

3

10

3

3


G53b


11 5cos( 10 t ) + 5cos(t + 32 π ) 2 = 2 1 cos( 11 t ) + 5 cos(t + 2 π ) 2 10 3 = 2 1 ⋅ 2 cos( 1 ( 11 t + t + 2 π )) cos( 1 ( 11 t − (t 2 2 10 3 2 10 = 5 cos( 1 ( 21 t + 2 π )) cos( 1 ( 1 t − 2 π )) 2 10 3 2 10 3 = 5 cos( 21 t + 1 π ) cos( 1 t − 1 π ). 20 3 20 3 x (t ) = 5 cos( 21 t + 1 π ) cos( 1 t − 1 π ) 20 3 20 3 Dus  ofwel 21 1 1 1 y (t ) = 5 sin( 20 t + 3 π ) cos( 20 t − 3 π )

x P + xQ 2

=

11 5 sin( 10 t ) + 5 sin(t + 32 π ) 2 = 2 1 sin( 11 t ) + 5 sin(t + 2 π ) 2 10 3 + 2 π ))) = 2 1 ⋅ 2 sin( 1 ( 11 t + t + 2 π )) cos( 1 ( 11 t − (t + 2 π ))) 3 2 2 10 3 2 10 3 = 5 sin( 1 ( 21 t + 2 π )) cos( 1 ( 1 t − 2 π )) 2 10 3 2 10 3 = 5 sin( 21 t + 1 π ) cos( 1 t − 1 π ). 20 3 20 3 x (t ) = 5 cos( 1 t − 1 π ) cos( 21 t + 1 π ) 20 3 20 3 ⇒ φ (t ) = 5 cos( 1 t − 1 π ).  1 1 21 1 20 3 y (t ) = 5 cos( 20 t − 3 π ) sin( 20 t + 3 π )

y P + yQ 2

=

G54a f (x ) = x1 = x −1 ⇒ f '(x ) = −x −2 = − 12 . Dus f (2) = 1 en f '(2) = − 12 = − 1 . 2

x

4

2

Raaklijn in x = 2: y = − 1 x + b door (2, 1 ) ⇒ 1 = − 1 ⋅ 2 + b ⇒ 1 = − 1 + b ⇒ b = 1. Dus y = − 1 x + 1. 2

4

2

2

4

y = − 41 x + 1 gaat door ook A(4, 0), want 0 = − 41 ⋅ 4 + 1.

2

4

G54b f (x ) = 4 ⇒ x1 = 4 ⇒ 4x = 1 ⇒ x = 1 ⇒ P (4, 1 ) en Q ( 1 , 4).

4 4 4 2 4 4 2 1 1 1 Omtrek = 4 + + 1 1 + (f '(x )) dx + + 4 = 4 + + 1 1 + − 12 dx + 1 + 4 (fnInt) ≈ 14, 80. 4 4 4 4 x 4 4

∫

( )

∫

4 4 G54c O (V ) = 1 ⋅ 4 + ∫ 1 1 dx = 1 + ln x  1 = 1 + ln(4) − ln( 1 ) = 1 + ln(4) − ln(4 −1 ) = 1 + ln(4) + ln(4) = 1 + 2 ⋅ ln(4). 4 4 x 4

G54d rAC = −1 ⇒ f

4

'(x ) = −1 ⇒ − 12 = −1 ⇒ −x 2 = −1 ⇒ x 2 = 1 ⇒ x = 1. x

Raaklijn in x = 1 met (f 1) = 1 = 1: y = −x + b door (1, 1) ⇒ 1 = −1 + b ⇒ b = 2. Dus y = −x + 2. 1

y = −x + 2 snijdt de y -as in (0, 2) ⇒ a = 2. G55a A(t , 8) en B (8, 0) ⇒ AB = a (t ) = (t − 8)2 + 82 = t 2 − 8t − 8t + 64 + 64 = 128 − 16t + t 2 . G55b ∆BPQ is een gelijkbenige rechthoekige driehoek met BP = 16 − t ⇒ BQ = 16 − t . 2

(de zijden van een gelijkbenige rechthoekige driehoek verhouden zich als 1 : 1 : 2)

t

R

A

Q

∆AQR is een gelijkbenige rechthoekige driehoek met AR = t ⇒ AQ = t . 2 G (t ) = AQ ⋅ BQ = t ⋅ 16 − t = 16t 2− t = 8t − 21 t 2 = − 21 t 2 + 8t . 2 2

2

O B t  P  G '(t ) = 0 ⇒ −t + 8 = 0 ⇒ −t = −8 ⇒ t = 8   2 1 − 16 + 2 t  ⇒ G en a bereiken beide voor ⋅ ( −16 + 2t ) = a (t ) = 128 − 16t + t ⇒ a '(t ) = 2 2  2 128 − 16t + t 128 − 16t + t t = 8 hun uiterste waarde.  −16 + 2t a '(t ) = 0 ⇒ = 0 (teller = 0) ⇒ −16 + 2t = 0 ⇒ 2t = 16 ⇒ t = 8  128 − 16t + t 2 

G55c G (t ) = − 1 t 2 + 8t ⇒ G '(t ) = −t + 8 2

G55d G = c − 1 a 2 = c − 1 128 − 16t + t 2 = c − 1 (128 − 16t + t 2 ) = c − 64 + 8t − 1 t 2  2 2 2 2  ⇒ c − 64 = 0 ⇒ c = 64. G (t ) = − 21 t 2 + 8t  C

G56a O (ABC ) = 1 ⋅ 4 ⋅ 3 = 1 ⋅ 12 = 6 en s = 1 ⋅ (3 + 4 + 5) = 1 ⋅ 12 = 6. 2

2

2

2

H = 6(6 − 3)(6 − 4)(6 − 5) = 6 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 6 ⋅ 6 = 6.

5

G56b s = 1 ⋅ (3 + 7 + x ) = 1 ⋅ (10 + x ) = 5 + 1 x . 2

2

H (x ) = (5 + 21 x )(5 + 21 x − 3)(5 + 21 x − 7)(5 + 21 x − x )

A

= (5 + 1 x )(2 + 1 x )( 1 x − 2)(5 − 1 x ) = (5 + 1 x )(5 − 1 x )( 1 x + 2)( 1 x − 2) 2

=

3

2

2 2 2 2 2 1 2 1 1 1 (25 − 2 x + 2 x − x )( x − x + x − 4) = 2 2 4 4

G56c H (x ) = (25 − 1 x 2 )( 1 x 2 − 4) =

4

2

2 2 2 1 2 1 (25 − x )( x − 4). 4 4

25 x 2 − 100 − 1 x 4 + x 2 = −100 + 29 x 2 − 1 x 4 . 16 16 4 4 4 3 29 58 58x − x 3 1 1 1 H (x ) = −100 + 4 x − 16 x ⇒ H '(x ) = ⋅( x − x ) = . 4 4 4 29 2 1 1 2 ⋅ −100 + 4 x − 16 x 8 ⋅ −100 + 29 x 2 − 16 x4 4 H '(x ) = 0 (teller = 0) ⇒ 58x − x 3 = 0 ⇒ x (58 − x 2 ) = 0 ⇒ x = 0 ∨ x 2 = 58 (met 4 < x < 10) ⇒ x = 58. 4

4 2

B



G57a l (t ) = A 'B ' = xA − xB = cos(t − 1 π ) − cos(t + 6 = −2 sin( 1 (t − 1 π + t + 1 π )) sin( 1 (t − 1 π

1 π ) = −2 6 − (t + 1 π ))) 2 6 6 2 6 6 = −2 sin( 1 ⋅ 2t ) sin( 1 ⋅ − 1 π ) = −2 sin(t ) sin( − 1 π ) = −2 sin(t ) ⋅ − 1 = sin(t ). 2 2 3 6 2

π

π G57b g (t ) = π1 ⋅ ∫ sin(t ) dt = π1 ⋅ − cos(t )  0 = π1 ⋅ ( − cos(π ) − − cos(0)) = π1 ⋅ ( − − 1 − −1) = π2 . 0

G57c l (t ) = 2 ⇒ sin(t ) = 2 (intersect) ⇒ t ≈ 0, 69 en π

π

t ≈ 2, 45.

de tijd dat l (t ) > 2 op [0, π ] is (ongeveer) 2, 45 − 0, 69 = 1, 76 (s). π

de tijd dat l (t ) < π2 op [0, π ] is (ongeveer) π − 1, 76 ≈ 1,38 (s). (dus de beide delen zijn niet even groot)

TI-84

1a 1b 1c

12. Lissajous-figuren

Zie de plot hiernaast.

t = 41 π geeft het punt ( −1; − 0,707).

x = sin(2t ) = −1 ⇒ 2t = 32 π + k ⋅ 2π ⇒ t = 34 π + k ⋅ π . x = −1 op [0, 2π ] ⇒ t = 34 π ∨ t = 74 π . (controleer dit zelf)

1d

3 π + k ⋅ 2π. y = sin(5t ) = −1 ⇒ 5t = 32 π + k ⋅ 2π ⇒ t = 10 5 3 π ∨ t = 7 π ∨ t = 11 π ∨ t = 15 π ∨ t = 19 π . (controleer zelf) y = −1 op [0, 2π ] ⇒ t = 10 10 10 10 10

1e 1f

Uiteindelijk dezelfde kromme, alleen de volgorde waarin de punten worden geplot is anders.

2a 2b

Bijvoorbeeld [0, π ]. (één keer van x = 0 via x = 1 terug naar x = 0 dan door naar x = −1 en weer terug naar x = 0) Zie de plot hiernaast.

x = sin(2t ) = −1 ⇒ 2t = 32 π + k ⋅ 2π ⇒ t = 34 π + k ⋅ π . x = sin(2t ) = 1 ⇒ 2t = 21 π + k ⋅ 2π ⇒ t = 41 π + k ⋅ π .

x heeft een extreme waarde op [0, 2π ] ⇒ t = 41 π ∨ t = 43 π ∨ t = 54 π ∨ t = 74 π . y = sin(3t ) = −1 ⇒ 3t = 32 π + k ⋅ 2π ⇒ t = 21 π + k ⋅ 32 π .

y = sin(3t ) = 1 ⇒ 3t = 21 π + k ⋅ 2π ⇒ t = 61 π + k ⋅ 23 π . y heeft een extreem op [0, 2π ] ⇒ t = 61 π ∨ t = 63 π ∨ t = 56 π ∨ t = 76 π ∨ t = 69 π ∨ t = 11 π. 6

2c

Bijvoorbeeld [ − 1 π , 1 π ]. (van (0, − 1) via (0, 0) naar eindpunt (0, 1)) 2

2

27 A = O = = = = = = =. = = 1. ax A( )

Recommend Documents