© Typotex Kiadó
Integráltáblázatok 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22.
Z Z Z
Z Z
u dv = uv − au du =
Z
v du
au +C, a 6= 1, a > 0 ln a
cos u du = sin u +C sin u du = − cos u +C (ax + b)n dx =
(ax + b)n+1 +C, n 6= −1 a(n + 1)
1 ln |ax + b| +C a Z (ax + b)n+1 ax + b b +C, n 6= −1, −2 x(ax + b)n dx = − n+2 n+1 a2 Z
(ax + b)−1 dx =
x b − ln |ax + b| +C a a2 Z 1 b x(ax + b)−2 dx = 2 ln |ax + b| + +C ax + b a Z dx 1 x = ln +C x(ax + b) b ax + b √ Z √ 2 ( ax + b)n+2 ( ax + b)n dx = +C, n 6= −2 a n+2 Z √ Z √ ax + b dx √ dx = 2 ax + b + b x x ax + b √ r Z Z ax + b − √b dx 2 ax − b dx 1 √ √ √ +C (a) = √ arctg +C (b) = √ ln √ b x ax − b x ax + b b b ax + b + b √ Z √ Z ax + b ax + b a dx √ + +C dx = − x 2 x ax + b x2 √ Z Z dx ax + b a dx √ √ = − − +C bx 2b x ax + b x2 ax + b Z dx 1 x = arctg +C a a a2 + x2 Z 1 dx x x = 2 2 + arctg +C a (a2 + x2 )2 2a (a + x2 ) 2a3 Z dx 1 x + a = ln +C 2a x − a a2 − x2 Z x+a x 1 dx +C = + ln (a2 − x2 )2 2a2 (a2 − x2 ) 4a3 x − a Z p dx x √ = arsh +C = ln x + a2 + x2 +C a a2 + x2 Z p p xp 2 a2 a2 + x2 dx = a + x2 + ln x + a2 + x2 +C 2 2 Z p p p x a4 x2 a2 + x2 dx = (a2 + 2x2 ) a2 + x2 − ln x + a2 + x2 +C 8 8 Z
x(ax + b)−1 dx =
www.interkonyv.hu
© George B. Thomas, Jr.
Kalkulus, 353. oldal
© Typotex Kiadó
354
Integráltáblázatok a + √a2 + x2 dx = a2 + x2 − a ln +C x x √ √ p a2 + x2 a2 + x2 dx = ln x + a2 + x2 − +C x x2 √ x a2 + x2 p x2 a2 √ dx = − ln x + a2 + x2 + +C 2 2 a2 + x2 √ dx 1 a + a2 + x2 √ = − ln +C a x x a2 + x2 √ dx a2 + x2 √ +C =− a2 x x2 a2 + x2
23.
Z √ 2 a + x2
24.
Z
25.
Z
26.
Z
27.
Z
p
dx x √ = arcsin +C a a2 − x2 Z p xp 2 a2 x 29. a2 − x2 dx = a − x2 + arcsin +C 2 2 a Z 4 p p a x 1 30. x2 a2 − x2 dx = arcsin − x a2 − x2 (a2 − 2x2 ) +C 8 a 8 Z √ 2 a + √a2 − x2 p 2 a −x 31. dx = a2 − x2 − a ln +C x x √ Z √ 2 x a − x2 a2 − x2 dx = − arcsin − 32. +C 2 a x x Z x2 a2 x 1 p √ 33. dx = arcsin − x a2 − x2 +C 2 a 2 a2 − x2 √ Z dx 1 a + a2 − x2 √ 34. = − ln +C a x x a2 − x2 √ Z dx a2 − x2 √ 35. +C =− 2 2 2 a2 x x a −x Z p dx x √ 36. = arch +C = ln x + x2 − a2 +C 2 2 a x −a Z p p xp 2 a2 37. x2 − a2 dx = x − a2 − ln x + x2 − a2 +C 2 2 √ n Z p Z p n n−2 x x2 − a2 na2 38. x2 − a2 dx = − x2 − a2 dx, n 6= −1 n+1 n+1 √ 2−n Z Z x x2 − a2 dx n−3 dx √ n = 39. − √ n−2 , n 6= 2 2 2 (2 − n)a (n − 2)a 2 2 x −a x2 − a2 √ n+2 Z p n x2 − a2 40. x x2 − a2 dx = +C, n 6= −2 n+2 Z p p p x a4 41. x2 x2 − a2 dx = (2x2 − a2 ) x2 − a2 − ln x + x2 − a2 +C 8 8 Z √ 2 x p x − a2 dx = x2 − a2 − a arcsec +C 42. x a √ Z √ 2 p 2 x −a x2 − a2 43. dx = ln x + x2 − a2 − +C 2 x x Z xp p x2 a2 √ 44. dx = ln x + x2 − a2 + x2 − a2 +C 2 2 x2 − a2 Z x a dx 1 1 √ 45. = arcsec +C = arccos +C 2 2 a a a x x x −a √ Z 2 2 dx x −a √ 46. = +C a2 x x2 x2 − a2 Z dx x−a √ 47. = arcsin +C a 2ax − x2 28.
Z
www.interkonyv.hu
© George B. Thomas, Jr.
Kalkulus, 354. oldal
© Typotex Kiadó
Integráltáblázatok
48.
355
x−ap a2 x−a 2ax − x2 + arcsin +C 2 2 a √ n Z p p n n−2 2ax − x2 (x − a) na2 2ax − x2 dx = 2ax − x2 + dx n+1 n+1 √ 2−n Z (x − a) 2ax − x2 dx n−3 dx √ n = + √ n−2 2 2 (n − 2)a (n − 2)a 2 2ax − x 2ax − x2 √ p (x + a)(2x − 3a) 2ax − x2 a3 x−a 2 + arcsin +C x 2ax − x dx = 6 2 a √ p 2ax − x2 x−a dx = 2ax − x2 + a arcsin +C x a r √ 2ax − x2 2a − x x−a dx = −2 +C − arcsin x a x2 p x dx x−a √ − 2ax − x2 +C = a arcsin a 2ax − x2 r dx 1 2a − x √ +C =− a x x 2ax − x2
Z p
2ax − x2 dx =
49.
Z
50.
Z
51.
Z
52.
Z
53.
Z
54.
Z
55.
Z
1 sin ax dx = − cos ax +C a Z 1 57. cos ax dx = sin ax +C a Z x sin 2ax +C 58. sin2 ax dx = − 2 4a Z x sin 2ax 59. cos2 ax dx = + +C 2 4a 56.
Z
60.
Z
sinn ax dx = −
sinn−1 ax cos ax n − 1 + na n
Z
sinn−2 ax dx
cosn−1 ax sin ax n − 1 + cosn−2 ax dx na n Z cos(a + b)x cos(a − b)x 62. sin ax cos bx dx = − − +C, a2 6= b2 2(a + b) 2(a − b) 61.
Z
cosn ax dx =
63.
Z
sin ax sin bx dx =
64. 65. 66. 67. 68. 69. 70.
Z
Z
Z
sin(a − b)x sin(a + b)x − +C, a2 6= b2 2(a − b) 2(a + b)
cos ax cos bx dx =
sin(a − b)x sin(a + b)x + +C, a2 6= b2 2(a − b) 2(a + b)
sin ax cos ax dx = −
cos 2ax +C 4a
sinn+1 ax +C, n 6= −1 (n + 1)a
Z
sinn ax cos ax dx =
Z
cosn ax sin ax dx = −
Z
sinn ax cosm ax dx = −
Z
sinn ax cosm ax dx = −
Z
Z
cos ax 1 dx = ln | sin ax| +C sin ax a cosn+1 ax +C, n 6= −1 (n + 1)a
1 sin ax dx = − ln | cos ax| +C cos ax a sinn−1 ax cosm+1 ax n − 1 + a(m + n) m+n
Z
sinn−2 ax cosm ax dx, n 6= −m (visszavezethet˝o sinn ax-re)
sinn+1 ax cosm−1 ax m − 1 + sinn ax cosm−2 ax dx, m 6= −n (visszavezethet˝o cosm ax-re) a(m + n) m+n "r # Z dx −2 b − c π ax 72. = √ arctg tg − +C, b2 > c2 b + c sin ax a b2 − c2 b+c 4 2 Z c + b sin ax + √c2 − b2 cos ax −1 dx 73. = √ ln +C, b2 < c2 b + c sin ax a c2 − b2 b + c sin ax 71.
Z
www.interkonyv.hu
© George B. Thomas, Jr.
Kalkulus, 355. oldal
© Typotex Kiadó
356
Integráltáblázatok
dx 1 π ax +C = − tg − 1 + sin ax a 4 2 Z dx 1 π ax 75. +C = tg + 1 − sin ax a 4 2 "r # Z dx 2 b − c ax √ 76. = arctg tg +C, b2 > c2 b + c cos ax a b2 − c2 b+c 2 Z c + b cos ax + √c2 − b2 sin ax 1 dx = √ 77. ln +C, b2 < c2 b + c cos ax a c2 − b2 b + c cos ax 74.
Z
dx 1 ax = tg +C 1 + cos ax a 2 Z dx 1 ax 79. = − ctg +C 1 − cos ax a 2 Z x 1 80. x sin ax dx = 2 sin ax − cos ax +C a a Z 1 x 81. x cos ax dx = 2 cos ax + sin ax +C a a Z Z n xn xn−1 cos ax dx 82. xn sin ax dx = − cos ax + a a Z Z xn n 83. xn cos ax dx = sin ax − xn−1 sin ax dx a a Z 1 84. tg ax dx = ln | sec ax| +C a Z 1 85. ctg ax dx = ln | sin ax| +C a Z 1 2 86. tg ax dx = tg ax − x +C a Z 1 2 87. ctg ax dx = − ctg ax − x +C a 78.
Z
88.
Z
tgn ax dx =
89.
Z
ctgn ax dx = −
tgn−1 ax − a(n − 1)
Z
tgn−2 ax dx, n 6= 1
ctgn−1 ax − a(n − 1)
Z
ctgn−2 ax dx, n 6= 1
1 ln | sec ax + tg ax| +C a Z 1 91. csc ax dx = − ln | csc ax + ctg ax| +C a Z 1 92. sec2 ax dx = tg ax +C a Z 1 93. csc2 ax dx = − ctg ax +C a 90.
Z
sec ax dx =
94.
Z
secn ax dx =
95.
Z
cscn ax dx = −
96. 97. 98. 99. 100. 101.
Z Z
Z Z
Z
Z
secn−2 ax tg ax n − 2 + a(n − 1) n−1
cscn−2 ctg ax n − 2 + a(n − 1) n−1
Z
secn−2 ax dx, n 6= 1
Z
cscn−2 ax dx, n 6= 1
secn ax +C, n 6= 0 na cscn ax +C, n 6= 0 cscn ax ctg ax dx = − na 1p arcsin ax dx = x arcsin ax + 1 − a2 x2 +C a 1p arccos ax dx = x arccos ax − 1 − a2 x2 +C a 1 arctg ax dx = x arctg ax − ln(1 + a2 x2 ) +C 2a secn ax tg ax dx =
xn arcsin ax dx =
xn+1 a arcsin ax − n+1 n+1
Z
xn+1 dx √ , n 6= −1 1 − a2 x2
www.interkonyv.hu
© George B. Thomas, Jr.
Kalkulus, 356. oldal
© Typotex Kiadó
Integráltáblázatok
102.
Z
xn arccos ax dx =
103.
Z
xn arctg ax dx =
104. 105. 106. 107. 108. 109. 110. 111. 112. 113. 114. 115. 116. 117. 118. 119. 120. 121. 122. 123. 124. 125. 126. 127. 128.
Z
Z
Z
Z Z
Z
Z
Z Z
Z
Z
Z Z Z Z Z
Z Z
Z
Z
Z Z
Z Z Z
xn+1 a arccos ax + n+1 n+1
a xn+1 arctg ax − n+1 n+1
Z
Z
357
xn+1 dx √ , n 6= −1 1 − a2 x2
xn+1 dx , n 6= −1 1 + a2 x2
1 eax dx = eax +C a 1 bax bax dx = +C, b > 0, b 6= 1 a ln b eax xeax dx = 2 (ax − 1) +C a Z 1 n xn eax dx = xn eax − xn−1 eax dx a a Z n xn bax − xn bax dx = xn−1 bax dx, b > 0, b 6= 1 a ln b a ln b eax eax sin bx dx = 2 (a sin bx − b cos bx) +C a + b2 eax eax cos bx dx = 2 (a cos bx + b sin bx) +C a + b2 ln ax dx = x ln ax − x +C xn (ln ax)m dx =
m xn+1 (ln ax)m − n+1 n+1
x−1 (ln ax)m dx =
Z
xn (ln ax)m−1 dx, n 6= −1
(ln ax)m+1 +C, m 6= −1 m+1
dx = ln | ln ax| +C x ln ax 1 sh ax dx = ch ax +C a 1 ch ax dx = sh ax +C a sh 2ax x 2 sh ax dx = − +C 4a 2 sh 2ax x 2 ch ax dx = + +C 4a 2 shn ax dx =
shn−1 ax ch ax n − 1 − na n
Z
shn−2 ax dx, n 6= 0
chn−1 ax sh ax n − 1 + chn−2 ax dx, n 6= 0 na n x 1 x sh ax dx = ch ax − 2 sh ax +C a a x 1 x ch ax dx = sh ax − 2 ch ax +C a a Z xn n xn sh ax dx = ch ax − xn−1 ch ax dx a a Z xn n xn ch ax dx = sh ax − xn−1 sh ax dx a a 1 th ax dx = ln(ch ax) +C a 1 cth ax dx = ln | sh ax| +C a 1 th2 ax dx = x − th ax +C a 1 cth2 ax dx = x − cth ax +C a Z
chn ax dx =
thn−1 ax + (n − 1)a
129.
Z
thn ax dx = −
130.
Z
cthn ax dx = −
Z
cthn−1 ax + (n − 1)a
thn−2 ax dx, n 6= 1 Z
cthn−2 ax dx, n 6= 1
www.interkonyv.hu
© George B. Thomas, Jr.
Kalkulus, 357. oldal
© Typotex Kiadó
358
Integráltáblázatok
1 arcsin(th ax) +C a Z 1 ax 132. csc hax dx = ln th +C a 2 Z 1 2 133. sec h ax dx = th ax +C a Z 1 134. csc h2 ax dx = − cth ax +C a 131.
Z
sec hax dx =
135.
Z
sec hn ax dx =
136.
Z
csc hn ax dx = −
sec hn−2 ax th ax n − 2 + (n − 1)a n−1
Z
csc hn−2 ax cth ax n − 2 − (n − 1)a n−1
sec hn−2 ax dx, n 6= 1 Z
csc hn−2 ax dx, n 6= 1
sec hn ax +C, n 6= 0 na Z n csc h ax +C, n 6= 0 138. csc hn ax cth ax dx = − na Z eax ebx e−bx 139. eax sh bx dx = − +C, a2 6= b2 2 a+b a−b Z eax ebx e−bx 140. eax ch bx dx = +C, a2 6= b2 + 2 a+b a−b 137.
Z
sec hn ax th ax dx = −
141.
Z∞
xn−1 e−x dx = Γ(n) = (n − 1)!, n > 0
142.
Z∞
e−ax dx =
0
2
0
143.
π /2 Z
1 2
sinn x dx =
0
r
π , a>0 a 1 · 3 · 5 · · · (n − 1) π · , ha n ≥ 2 páros egész szám 2 · 4 · 6···n 2 cosn x dx = 2 · 4 · 6 · · · (n − 1) , ha n ≥ 3 páratlan egész szám 3 · 5 · 7···n
π /2 Z 0
www.interkonyv.hu
© George B. Thomas, Jr.
Kalkulus, 358. oldal
