Alternace 2012/13
ALTERNACE
MATEMATIKA 4. ROČNÍK
2012/13
-1-
Alternace 2012/13
Obsah Posloupnosti ......................................................................................................................................... 4 Aritmetická posloupnost.......................................................................................................................... 5 Geometrická posloupnost ........................................................................................................................ 6 Geometrické řady .................................................................................................................................... 7 Finanční matematika ............................................................................................................................... 8 Vektor, operace s vektory........................................................................................................................ 9 Vzdálenosti bodů, přímek, střed úsečky................................................................................................ 10 Parametrický, obecný a směrnicový tvar rovnice přímky ..................................................................... 11 Vzájemná poloha bodů, přímek, odchylka přímek................................................................................ 12 Kružnice ................................................................................................................................................ 13 Elipsa, hyperbola a parabola ................................................................................................................. 14 Vzájemná poloha přímky a kuželosečky............................................................................................... 15 Dělitelnost, reálná čísla ......................................................................................................................... 16 Procenta................................................................................................................................................. 17 Lomené výrazy a mnohočleny .............................................................................................................. 18 Mocniny a odmocniny........................................................................................................................... 19 Lineární rovnice, soustavy lineárních rovnic ........................................................................................ 20 Řešení lineárních nerovnic a jejich soustav........................................................................................... 21 Kvadratická rovnice, soustavy rovnic ................................................................................................... 22 Iracionální rovnice................................................................................................................................. 23 Kvadratické nerovnice........................................................................................................................... 24 Nerovnice s neznámou ve jmenovateli.................................................................................................. 25 Diskuse lineárních rovnic s parametrem ............................................................................................... 26 Lineární a kvadratické rovnice a nerovnice s absolutní hodnotou ........................................................ 27 Funkce, vlastnosti funkcí....................................................................................................................... 28 Funkce konstantní a lineární.................................................................................................................. 29 Funkce kvadratická................................................................................................................................ 30 Funkce lineární lomená ......................................................................................................................... 31 Grafy funkcí s absolutní hodnotou ........................................................................................................ 32 Mocninné funkce................................................................................................................................... 33 Exponenciální a logaritmická funkce .................................................................................................... 34 Logaritmické rovnice ............................................................................................................................ 35
-2-
Alternace 2012/13 Exponenciální rovnice........................................................................................................................... 36 Goniometrické funkce ........................................................................................................................... 37 Goniometrické rovnice .......................................................................................................................... 38 Goniometrické vzorce ........................................................................................................................... 39 Goniometrie ostrého úhlu, pravoúhlý trojúhelník ................................................................................. 40 Řešení obecného trojúhelníku ............................................................................................................... 41 Nerovnice v C........................................................................................................................................ 42 Algebraický a goniometrický tvar komplexního čísla........................................................................... 43 Řešení rovnic s komplexními kořeny .................................................................................................... 44 Moivreova věta...................................................................................................................................... 45 Binomická rovnice ................................................................................................................................ 46 Vlastnosti kombinačních čísel, Pascalův trojúhelník, výrazy s faktoriály ......................................... 47 Variace, permutace, kombinace ............................................................................................................ 48 Binomická věta...................................................................................................................................... 49 Pravděpodobnost ................................................................................................................................... 50 Základní statistické pojmy..................................................................................................................... 51 Polohové vztahy útvarů ve stereometrii ................................................................................................ 52 Povrchy a objemy válců a kuželů.......................................................................................................... 53 Povrchy a objemy hranatých těles......................................................................................................... 54 Povrch a objem koule a jejích částí ....................................................................................................... 55 Obvody a obsahy rovinných obrazců .................................................................................................... 56 Podobnost, Euklidovy věty a Pythagorova věta .................................................................................... 57 Obvodový a středový úhel..................................................................................................................... 58 Stejnolehlost v konstrukčních úlohách.................................................................................................. 59 Shodná zobrazení .................................................................................................................................. 60
-3-
Alternace 2012/13
POSLOUPNOSTI 1. Určete prvních šest členů posloupnosti a nakreslete graf.
an =
2n + 1 n +1
3 5 7 9 11 13 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7
2. Určete prvních šest členů posloupnosti.
a1 = 0; a 2 = 1; a n + 2 = a n +1 + a n
[0; 1; 1; 2; 3; 5]
3. Určete, která z následujících posloupností je rostoucí nebo klesající.
a)rostoucí b)rostoucí c)není rostoucí ani klesající
∞
2n + 1 a) n + 2 n=1
(
b) log 2 n c)
(n
2
)
∞ n =1
− 14n + 39
)
∞ n =1
-4-
Alternace 2012/13
ARITMETICKÁ POSLOUPNOST 1. Určete počet členů aritmetické posloupnosti, je-li dáno: Sn = 800, an = 78, d = 4. [20 ]
2. Ve které aritmetické posloupnosti platí:
a2 1 = ; a4 + a5 = 20 a7 3
3. Určete součet všech sudých trojciferných čísel.
[a1 = 3; d = 2]
[247 050]
4. Rozměry kvádru tvoří členy AP. Součet velikostí všech hran je 96cm a povrch kvádru je 334cm2. Vypočtěte objem kvádru. [312cm3]
-5-
Alternace 2012/13
GEOMETRICKÁ POSLOUPNOST 1. Kvádr, jehož délky hran a, b, c tvoří geometrickou posloupnost, má povrch S =700 cm2. Součet délek hran, vycházejících z jednoho vrcholu, je 35cm. Vypočítejte objem. [ 1000 cm3]
2. Určete číslo, které zvětšeno postupně o 3, 8, 18 dává tři po sobě jdoucí členy geometrické posloupnosti. [ 2]
3. V osmičlenné geometrické posloupnosti je součet prvních čtyř členů roven 15 a posledních čtyř členů roven 240. Určete posloupnost.
-6-
q = 2;a1 = 1 q = -2; a = −3 1
Alternace 2012/13
GEOMETRICKÉ ŘADY 2 = 1 − x + x 2 − x3 + ... 2
[ x∈(-1;1); x = 0,4142]
2. Číslo 2, 763 zapište ve tvaru zlomku.
[ 829/300]
1. Řešte rovnici:
3. Určete hodnotu součinu 3 ⋅ 3 ⋅ 4 3 ⋅ 8 3 ⋅ ....
-7-
[ 9]
Alternace 2012/13
FINANČNÍ MATEMATIKA 1) Slečna Hermína disponuje částkou 8 500 korun, proto se rozhodla navštívit velký svět financí. Zaujal ji plakát firmy ,,MOULA&spol“, v němž stálo: Naše firmy zhodnotí Vaše peníze! Za 100 dnů si splníte své sny! Za jednorázovou investici v hodnotě 10 000 korun a více garantujeme 6 % zisk za 100 dnů. Dokonce i investice pod 10 000 korun Vám přinese za 100 dnů 3 % zisk. Chybí Vám peníze? Půjčíme Vám až 10 000 korun na sto dnů! Teprve až uběhne celých 100 dnů, zaplatíte 15 % úrok z půjčené částky.
a) Jaký bude zisk Hermíny, pokud si žádné peníze nepůjčí a investuje jen částku 8 500? [255] b) O kolik korun se zvýší zisk,pokud si chybějící peníze od firmy půjčí a investuje 10 000 korun? [120] c) Pokud by měla Hermína o něco méně než 8 500 korun, investice s půjčkou by se jí mohla stále ještě vyplatit. Naopak pro nízké částky je výhodnější investice bez půjčky. Pro jakou částku přinášejí obě možnosti (investice s půjčkou i bez půjčky ) stejný zisk? [7 500]
2) Počátkem každého roku se na účet s roční úrokovou mírou 3 % uloží částka 10 000 korun. Úroky se připisují na konci každého roku. Po 20 letech bude na účtu: a) asi 269 000 korun b) asi 206 000 korun c) asi 260 000 korun d) jiné
[asi 277 000]
3) Výnosy z vkladní knížky jsou sníženy o 15 % daň. Vklad ve výši 55 000 Kč vynesl za rok čistý úrok 3 740 Kč. Jaká byla roční úroková míra? Výsledek zaokrouhlete na desetiny procenta. [8 %]
-8-
Alternace 2012/13
VEKTOR, OPERACE S VEKTORY 1. Jsou dány body A = [-3; 0], B [8; -3], C = [10; 2]. Určete souřadnice bodu D tak aby: a) ABCD byl rovnoběžník
[[-1; 5]]
b) ABDC byl rovnoběžník
[[21; -1]]
c) ADBC byl rovnoběžník
[[-5;-5]]
2. Trojúhelník ABC je určen dvěma vrcholy A, B a těžištěm T. Určete souřadnice vrcholu C. A = [ 2; 0], B [4; -2], T = [3 ; 1] [[3; 5]]
3. Sečtěte a odečtěte graficky vektory a
+ 2b; a − 2b .
a = (2;1); b = ( −1; 2 )
4. Určete vektor a , který je jednotkový (velikost vektoru je 1) a kolmý na vektor b.
b = ( 2; −1)
5 2 5 5 2 5 ;− ; ; − 5 5 5 5
-9-
Alternace 2012/13
VZDÁLENOSTI BODŮ, PŘÍMEK, STŘED ÚSEČKY 1. V trojúhelníku A = [ 15; 4], B = [ 1; -3], C = [5; 9] vypočítejte velikost výšky vc. [4 5 ]
2. Vypočtěte velikost těžnice ta v trojúhelníku A = [ 15; 4], B = [ 1; -3], C = [5; 9] [ 145 ]
3. Určete vzdálenost přímek:
d (m, l ) = 3 5 ; 2 5 d ( n, l ) = 5
k: 2x + y - 6 = 0 l: 2x - y + 5 = 0 m: x = 3 + t y = -4 + 2t n: 2x - y + 3 = 0
d (m, n) =
13 5 5
[přímka k je různoběžná s ostatními přímkami]
-10-
Alternace 2012/13
PARAMETRICKÝ, OBECNÝ A SMĚRNICOVÝ TVAR ROVNICE PŘÍMKY 1. Určete obecnou rovnici výšky vb v trojúhelníku ABC; A = [ 8; 7], B [-2; 5], C = [-6; -3]. [7x + 5y -11 - 0]
2. Přímky jedné osnovy jsou dány rovnicí 3x + 7y + c = 0, kde c ∈ R; a) Určete souřadnice jejich směrového a normálového vektoru. b) Napište rovnici té přímky této osnovy, která prochází bodem A = [ 5; -2].
s = ( 7; −3) ; n = ( 3; 7 ) 3 x + 7 y − 1 = 0
3. Napište směrnicový tvar přímky a, která prochází bodem A = [ 5; 2] a je rovnoběžná s přímkou BC: B [ 2; -5], C = [-1; -3]
2 16 y = − 3 x + 3
-11-
Alternace 2012/13
VZÁJEMNÁ POLOHA BODŮ, PŘÍMEK, ODCHYLKA PŘÍMEK 1. Určete odchylku a průsečík přímek: a: 2x - y +1 = 0 b: x + y + 1 = 0
[ φ= 71°34´; P[-2/3; -1/3]]
2. Napište parametrické a obecnou rovnici přímky která prochází bodem A = [-4; 2] a je kolmá k přímce l.
x - 3y + 10 = 0 x = -4 + 3l y = 2 + l l ∈ R
l: 3x + y - 5 = 0
3. Určete odchylku a průsečík přímek k = KL a p = PQ. K = [-3; 5]; L = [0; 3]; P = [-5; 0]; Q = [2; -3] [ φ= 10°29´; P[108/5; -57/5]]
-12-
Alternace 2012/13
KRUŽNICE 1. Napište rovnici kružnice se středem v počátku soustavy, procházející bodem A=[-2/3; 3]. Které body této kružnice mají souřadnici x =
7 ? 5
[x2 + y2 = 85/9; K[1,4; ±2,74];
2. Určete rovnici kružnice, která prochází body A = [ 4; -3], B = [5; - 2] a má střed na přímce 3x + 4y - 6 = 0. [(x-2)2 + y2 = 13]
3. Určete rovnici kružnice, která prochází bodem M = [- 2; -16] a dotýká se obou souřadných os. [(x +10)2 + (y + 10)2 = 100; (x + 26)2 + (y + 26)2 = 676]
4. Určete střed a poloměr kružnice, která má rovnici x2 + y2 - 6x - 4y - 23 = 0. [S[3; 2]; r = 6]
-13-
Alternace 2012/13
ELIPSA, HYPERBOLA A PARABOLA 1. Vypočítejte souřadnice bodu P, který leží na parabole y2 = 2x a má od jejího
P = 6; 2 3 ; P´= 6; −2 3
ohniska vzdálenost a = 6,5.
2. Napište rovnici elipsy se středem v počátku soustavy souřadnic a osami v osách x,y, která prochází body A = [2; 4], B = [5; - 2]. [4x2 +
7y2
x2 y2 = 128; + = 1] 32 128 7
3. Určete druh kuželosečky, její střed, ohniska a poloosy: 4x2 - 9y2 - 24x – 36y -36 = 0 [hyperbola; S = [ 3;-2 ]; a = 3; b = 2; e =
-14-
13 ; F = [3- 13 ; -2]; G = [3+ 13 ; -2]]
Alternace 2012/13
VZÁJEMNÁ POLOHA PŘÍMKY A KUŽELOSEČKY 1. Jakou směrnici musí mít přímka p: y = kx +2, aby se dotýkala paraboly y2 = 4x? [k = 0,5]
2. Pro jaká b∈R je přímka p: x + by - 25 = 0 a) sečnou, b) tečnou,
a) b ∈ ( −∞; 2 ) ∪ ( 2; ∞ ) b) b ∈ {−2; 2} c) b ∈ −2; 2 ( )
c) nesečnou kuželosečky 4x2 + 9y2 = 900?
3. Určete vzájemnou polohu přímky p: x = 8 + 4t, y = 5t a kuželosečky 25x2 - 16y2 = 400. [R = [5; -15/4] sečna rovnoběžná s asymptotou]
-15-
Alternace 2012/13
DĚLITELNOST, REÁLNÁ ČÍSLA 1) Určete všechny společné dělitele čísel 100 a 150.
[ 1; 2; 5; 10; 25; 50]
2) Najděte nejmenší přirozené číslo c takové, aby nejmenší společný násobek čísel c; 42 a 12 byl 252, tedy n(c, 42, 12) = 252. [9]
3) Počet celých čísel v intervalu 〈−3 10 9 ; 10000 ) je: a) 1 099
b) 1 100
c)1101
d)11 001 [1 100]
4) Na divadelní představení byly zakoupeny dva druhy vstupenek. Jistý počet vstupenek prvního druhu za 48 Kč a o pět vstupenek více po 68 Kč. Za vstupenky bylo celkem zaplaceno 1 500 Kč. Kolik vstupenek každého druhu bylo zakoupeno? [10 a 15]
-16-
Alternace 2012/13
PROCENTA 1) Mlékárna prodává 20 % svých výrobků na zahraničním trhu, zbytek dodává na trh domácí. To, že o výrobky je zájem, potvrzují podepsané kontrakty. Rozhodněte o každém z následujících tvrzení, zda je pravdivé (ANO), nebo nepravdivé (NE). a) Pokud se má vývoz zvýšit o 10 % a dodávky na domácí trh vzrostou o 5 %, mlékárna musí zvýšit výrobu o 6 %. [ANO] b) Pokud má mlékárna zachovat objem výroby a vývoz se má zvýšit o 10 %, dodávky na domácí trh budou o 2,5 % nižší. [ANO] c) Pokud má mlékárna zvýšit objem výroby o 10 % a dodávky na domácí trh se nezmění, je nasmlouváno zvýšení vývozu do zahraničí o 50 %. [ANO] d) Pokud má mlékárna zvýšit objem výroby o 10 % a vývoz do zahraničí má být beze změny, je nasmlouváno zvýšení dodávky na domácí trh o 15 %. [NE]
-17-
Alternace 2012/13
LOMENÉ VÝRAZY A MNOHOČLENY
1 − x 1 + x
1. Upravte:
1 y+z 1 y+z
y 2 + z 2 − x2 : 1 + = 2 yz
3x 2 − 6 x + 3 6 x − 6 2 : 4 = ⋅ 2 x −1 x −1 x +1
2 yz ( x + y + z )2 x, y , z ≠ 0 x + y + z ≠ 0 y ≠ −z x ≠ y + z
[x2 – 1; x ≠ ±1]
2. Upravte:
2 x x2 y 2 x4 − y 4 3. Upravte: 1 − + ⋅ 1 + : = y y 2 x2 x2 y 2
-18-
x− y x+ y x, y ≠ 0 x ≠ ± y
Alternace 2012/13
MOCNINY A ODMOCNINY 4
1. Upravte:
x
−
1 3
y
−2
a2 − b2 2. Upravte: 4 a+b
4 5
1 3
⋅x ⋅y ⋅
3
−2
x y
3 4
=
60 x 3 y 5
3
:3 a−b ⋅4 a+b = a+b a−b 4 ( a − b )2 ( a + b )
x+ y x− y 3 3. Upravte: 4 x− y x+ y
x + y 2 x− y : 3 ⋅ x− y x+ y 3
4
= ( x − y )2 x+ y ⋅ 2 x− y (x + y )
-19-
Alternace 2012/13
LINEÁRNÍ ROVNICE, SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC 1. Řešte početně i graficky: 2x + 3y = 4
x, y ∈ R
3x - y = - 5
[[-1; 2]]
2 1 − =1 2x + 1 y − 3 2. Řešte soustavu pro x, y ∈ R : 1 2 + =3 2x + 1 y − 3
[[0; 4]]
3. Dva nákladní vozy měly navézt kámen na stavbu silnice za 18 dní. Po 15 dnech byl první vůz pro poruchu vyřazen. Druhý vůz pak ještě vozil kámen 7,5 dne, aby byl úkol splněn. Kolik dní by na odvoz potřeboval každý vůz sám? [1. vůz 30 dní; 2. vůz 45 dní]
4. Řešte soustavu pro x, y, z ∈R:
2x + 3y = 12 3x + 2z = 11 3y + 4z = 10
-20-
[[3; 2; 1]]
Alternace 2012/13
ŘEŠENÍ LINEÁRNÍCH NEROVNIC A JEJICH SOUSTAV 1. Určete x ∈N, pro která platí: 5 −
x −1 3( x + 1) > 2+ 4 8
2. V množině R řešte soustavu nerovnic:
[x∈{1; 2; 3; 4}]
3 x + 5 10 − 3 x 2 x + 7 + > −8 7 5 3 7 x 11( x + 3) 3 x − 1 13 − x − > − 3 6 5 2 [x<2]
3. Dané soustavy nerovnic řešte postupně v R, Z, N. a) 2(x - 3) ≤ 3x +5
b) 2(x - 3) > 3x +5
4x + 7 < 2(x - 5)
4x + 7 < 2(x - 5)
c) 2(x - 3) < 3x +5
d) 2(x - 3) ≥ 3x +5
4x + 7 > 2(x - 5)
4x + 7 > 2(x - 5)
-21-
Alternace 2012/13
KVADRATICKÁ ROVNICE, SOUSTAVY ROVNIC 1. Určete rozměry a, b obdélníku, jehož úhlopříčka má délku 26cm a jehož obvod je 68cm. [10cm a 24cm]
2. Řešte soustavu rovnic:
25x2 - 9y2 = 2275 5x + 3y = 65
x, y ∈ R [[10; 5]]
3. Určete hodnotu parametru m ∈R tak, aby rovnice mx2 + (m + 2)x + m = 0 měla dvojnásobný kořen. [m ∈ {2; - 2/3}]
-22-
Alternace 2012/13
IRACIONÁLNÍ ROVNICE 1. Vypočtěte kořeny rovnice pro x ∈ R :
4x 2 − 8x + 5 = 2 x + 1
2. Vypočtěte kořeny rovnice pro x ∈ R : 2 ⋅
3. Vypočtěte kořeny rovnice pro x ∈ R :
x+2 x−3 + 3⋅ =5 x−3 x+2
x + 3 − x −1 = 2
-23-
[-1/2]
[7]
[1]
Alternace 2012/13
KVADRATICKÉ NEROVNICE 1. Zjistěte, kdy má daný výraz smysl:
−2 x + x − 20 2
2. Určete definiční obor funkce: f : y = log
4 − x2 x
3. Pro které hodnoty parametru m ∈R má rovnice : 2x2 - 3mx + m2 + imaginární kořeny?
[ x∈(-5; 4)]
[ x∈(0; 2)]
7 45 m=0 4 8 [ m∈(5; 9)]
-24-
Alternace 2012/13
NEROVNICE S NEZNÁMOU VE JMENOVATELI 1. Řešte nerovnici pro x ∈ R:
2x − 3 ≥1 x+3
2. Řešte nerovnici pro x ∈ R: 0 <
3. Řešte nerovnici pro x ∈ R:
[x ∈ (− ∞;−3) ∪ 〈6; ∞)]
[x ∈ (− ∞;0) ∪ (4; ∞)]
x <2 x−2
x+3 >0 x − 5x + 6 2
-25-
[x ∈ (− 3;2) ∪ (3; ∞)]
Alternace 2012/13
DISKUSE LINEÁRNÍCH ROVNIC S PARAMETREM 1. Řešte a proveďte diskusi rovnice s parametrem a:
x+a a−x = a −1 a +1
a = 0 ⇒ x ∈ R a = ±1 ⇒ NS a ≠ {0;1; −1} ⇒ x = −1
2. Řešte a proveďte diskusi rovnice s parametrem a: x −
2x + a a − x + 2 = a +1 a +1 a = 0 ⇒ NŘ a = −1 ⇒ NS a ≠ {0; −1} ⇒ x = 2 ( a + 1) a
3. Vypočítejte x a určete, pro které hodnoty parametru a nabývá neznámá x kladných hodnot:
1− a 2 = +3 a +1 x a ∈ ( −1; −0, 5 )
-26-
Alternace 2012/13
LINEÁRNÍ A KVADRATICKÉ ROVNICE A NEROVNICE S ABSOLUTNÍ HODNOTOU 1. Řešte rovnici pro x ∈ R: x +
1 1 3 + x− = 2 2 2
2. Řešte nerovnici pro x ∈ R: 2 x + 3 − 2 < 3 x − 1
3 ± 4
[ x∈( 2; ∞)]
3. Pro x ∈ R řešte rovnici x 2 − x − 12 = 0 . [±4]
-27-
Alternace 2012/13
FUNKCE, VLASTNOSTI FUNKCÍ 1. U daných funkcí určete Df, Hf, intervaly monotónnosti, omezenost.
2. Doplňte grafy funkcí tak, aby vzniklá funkce byla a) sudá b) lichá
a)
b)
3. Na obrázku je graf funkce y = f(x). Načrtněte graf funkce y = f(x+1), y = f(x) -2
-28-
Alternace 2012/13
FUNKCE KONSTANTNÍ A LINEÁRNÍ 1. Nakreslete a popište graf funkce, která je dána rovnicí: a) 2x + 3y -1 = 0 b) y = 0,5x;
y = 0,5x -2;
y = 0,5x;
y = 0,5x -2;
y = 0,5x-2;
y = 0,5x -2
2. V nádrži je 500 litrů vody. Čerpadlo odčerpává 20 1/min. Určete funkci vyjadřující množství vody v nádrži v závislosti na čase (v minutách). Určete definiční obor a obor hodnot této funkce a znázorněte ji graficky.
3. V rovnici (2 + m )x + 9y + 2 - n = 0 určete parametry m, n tak, aby graf lineární funkce určené touto rovnicí byl totožný s grafem funkce y =
1 (x - 2). 4 [n = -5/2; m = -17/4]
-29-
Alternace 2012/13
FUNKCE KVADRATICKÁ 1. Vyšetřete danou funkci, načrtněte její graf. f: y = - x2 + 4x -3
[V[2;1]]
2. Vyšetřete danou funkci, načrtněte její graf. f: y = x2 + 4x + 3
[V[-2;-1]]
g: y = x2 + 4x + 3
3. a) Vyšetřete průběh funkce f: y = x2 – 6x + 7. b) Řešte graficky nerovnici x2 - 6x + 7 > 0.
-30-
Alternace 2012/13
FUNKCE LINEÁRNÍ LOMENÁ 1. Vyšetřete průběh funkce: f: y = −
3 −1 x
2. Vyšetřete průběh funkce: f: y =
10 − 4 x x−2
3. Vyšetřete průběh funkce: f: y =
−x + 3 x−2
-31-
Alternace 2012/13
GRAFY FUNKCÍ S ABSOLUTNÍ HODNOTOU 1. Načrtněte graf funkce: f : y =
1 ( x +1 + x −1 ) 2
2. Načrtněte graf funkce: y = 3x + 2 - 2x - 1 - x
3. Načrtněte graf funkce: y = -x + 2 - x + 1
-32-
Alternace 2012/13
MOCNINNÉ FUNKCE 1. Sestrojte grafy funkcí a určete definiční obor, obor hodnot a průsečíky s osou x a y.
f : y = x4 −1 g : y = x4 −1
2. Sestrojte grafy funkcí a určete definiční obor, obor hodnot a průsečíky s osou x a y.
f : y = x3 −1 g : y = x3 −1
3. Sestrojte graf funkce a určete definiční obor, obor hodnot a průsečíky s osou x a y.
f : y = x −2 + 2
-33-
Alternace 2012/13
EXPONENCIÁLNÍ A LOGARITMICKÁ FUNKCE −x
1 . Napište předpis f-1. U obou funkcí určete definiční 2
1. Sestrojte graf funkce f: y =
obor, obor hodnot a průsečíky s osou x a y.
2. Sestrojte grafy funkcí a určete definiční obor, obor hodnot a průsečíky s osou x a y. f : y = log3(x + 3) - 1 g: y =log3(x + 3) - 1
3. Sestrojte graf funkce a určete definiční obor, obor hodnot a průsečíky s osou x a y.
2 f: y = 3
x +1
−2
-34-
Alternace 2012/13
LOGARITMICKÉ ROVNICE 1. Řešte rovnici pro x ∈ R:
log ( x 2 + 7 ) log ( x + 7 )
=2
[-3]
2. . Řešte rovnici pro x ∈ R: log ( x2 - 1) = 2 + log ( x + 1)
[101]
.
3. Řešte rovnici pro x ∈ R: x-1+logx = 100
[100; 0,1]
-35-
Alternace 2012/13
EXPONENCIÁLNÍ ROVNICE 32− x ⋅ 93 = x 36+ x
1. Řešte rovnice pro x ∈R:
x
2. Řešte rovnice pro x ∈R:
32x – 32x-1 = 22x + 22x-1
3. Řešte rovnice pro x ∈R: 33x -1 =
4x + 3
4. Řešte rovnice pro x ∈R: 3x + 2 +
9x + 1 = 810
-36-
[4]
[1]
[x = 2,7532746]
[2]
Alternace 2012/13
GONIOMETRICKÉ FUNKCE 1. Načrtněte graf funkce, určete Df a Hf. f: y = sin(2x) - 1
2. Načrtněte graf funkce, určete Df a Hf. f: y =
1 π cos x − 2 3
2. Načrtněte graf funkce, určete Df a Hf. f: y = tg x +
-37-
π 6
Alternace 2012/13
GONIOMETRICKÉ ROVNICE 1. Řešte rovnici pro x ∈R: sin x − 3 ⋅ sin x ⋅ cos x = 0 2
x1 = 90° + k 360° k ∈ Z x = −36°52´+ k 360° 2 x3 = 216°52´+ k 360°
2. Řešte rovnici: 2 ⋅ sin x − 3 ⋅ cos x = 2 ⋅ sin x 2
x1 = kπ k ∈ Z x2 = π + kπ 3
2
x1 = 30° + k180° k ∈ Z x2 = 60° + k180°
3. Řešte rovnici: 3 ⋅ sin 2 x − 2 ⋅ sin x ⋅ cos x − 3 = 0
4. Řešte rovnici: 2 sin 2 x +
23 x = π + kπ 1 12 x = 1 π + kπ 2 12
π
= 3 2
-38-
k ∈ Z
Alternace 2012/13
GONIOMETRICKÉ VZORCE 1) Řešte v R. cotgx –sin2x = 0
π π x1 = 4 + k 2 x = π + kπ 2 2
k ∈ Z
2) Řešte v R. sinx + sin2x = tgx
x1 = kπ k ∈ Z x = π + 2kπ 2 3 5π x3 = + 2kπ 3
-39-
Alternace 2012/13
GONIOMETRIE OSTRÉHO ÚHLU, PRAVOÚHLÝ TROJÚHELNÍK 1. Vrchol věže spatříme z určitého místa ležícího 14,75 m nad horizontální rovinou pod výškovým úhlem α = 31° a patu věže pod hloubkovým úhlem β = 8°. Jak vysoká je věž? [ 77,81m]
2. Tělesová úhlopříčka kvádru je u = 17 a odchylka této úhlopříčky od roviny podstavy je α = 70°. Úhel úhlopříček podstavy je ω = 55°. Vypočítejte objem.[ 221,19 j3]
3. Jakou hloubku a šířku má příkop, jehož profil má tvar rovnoramenného lichoběžníku, když ramena svírají s vodorovnou rovinou úhel 28°, šířka dna je 2,75 m a délka ramen je 3,5 m.
[1, 64m; 8,93m]
-40-
Alternace 2012/13
ŘEŠENÍ OBECNÉHO TROJÚHELNÍKU 1. V lichoběžníku je dáno: a = 27,3, c = 20,4, α = 68°14‘, β = 76°16´. Vypočítejte b, d, γ, δ. [b = 11,035; d = 11,54; γ = 103°43´, δ = 111°46´]
2. Vypočítejte největší úhel v trojúhelníku ABC: a = 50, b= 37, c= 23.
[110°43´]
3. Nosník ABC s rameny AC, BC, je upevněn na svislé stěně a v bodě C zatížen břemenem o tíze G = 17 500 N. Jakým tahem F1 je namáháno rameno AC, které svírá s přímkou AB úhel α = 75°? Jakým tlakem F2 je namáháno rameno BC, jehož odchylka od přímky AB je β = 34°? [F1 = 14 916N; F2 = 25 765N]
-41-
Alternace 2012/13
NEROVNICE V C V Gaussově rovině zakreslete řešení následujících rovnic a nerovnic v C. 1) z − (1 + 2i ) = 2
2) z − 1 − 2i ≤ 2
3) z + i < z − 2 + i
-42-
Alternace 2012/13
ALGEBRAICKÝ A GONIOMETRICKÝ TVAR KOMPLEXNÍHO ČÍSLA 1. Určete x, y ∈R, pro něž platí : (2 + 4i)x + 4( 4 - i )y + 14 = ( 6 - i)y - 6( - 2 - 2i ) – 9 [x = 87/46; y = -34/23 ]
2. a) Převeďte komplexní číslo a = 2 cos
5π 5π + i sin do algebraického tvaru. 6 6 [− 3 +i ]
b) Převeďte komplexní číslo b = −
2 2 + i do goniometrického tvaru. 3 3 [
3. Ke komplexnímu číslu
(3 − i ) a= 2i
2 2 3π 3π + i sin cos 3 4 4
]
2
najděte číslo komplexně sdružené.
-43-
[-3 + 4i]
Alternace 2012/13
ŘEŠENÍ ROVNIC S KOMPLEXNÍMI KOŘENY 1. Řešte rovnici pro x ∈C:
1 1 1 + = x − 2 x − 11 x − 8
2. Napište kvadratickou rovnici, která má kořeny x1 = −
3. Řešte rovnici pro x ∈C:
(x − 3)2 + (x + 1)2 = 4
-44-
2 2 2 2 + i a x2 = − − i 3 3 3 3
Alternace 2012/13
MOIVREOVA VĚTA 1 3 1. Pomocí Moivreovy věty vypočítejte: − + 2 2 i
2. Pomocí Moivreovy věty vypočítejte: ( 3 − 4i )
6
3
[1]
[11 753 + 10296i]
11
1 − i10 3. Pomocí Moivreovy věty vypočítejte: = 5 1+ i
-45-
[-32 - 32i]
Alternace 2012/13
BINOMICKÁ ROVNICE [ ± 2; ± i 2 6]
1. Řešte rovnici pro x ∈ C: x4 – 4 = 0
2. Řešte rovnici pro x ∈ C: x6 + 64 = 0
[ ±2i; 3 ± i; − 3 ± i ]
3. Řešte rovnici pro x ∈ C: 32x5 - 1 = 0
[0,5; 0,15 ± 0,48i; -0,4 ± 0,29i ]
-46-
Alternace 2012/13
VLASTNOSTI KOMBINAČNÍCH ČÍSEL, PASCALŮV TROJÚHELNÍK, VÝRAZY S FAKTORIÁLY x −1 x − 2 + =9 x − 3 x − 4
1. Řešte rovnici:
[5]
1 ( n + 2 ) !
2. Upravte:
n2 − 9 6 1 + − = ( n + 3)! ( n + 2 ) ! ( n + 1)!
3. Upravte:
( n + 1)! + ( n + 2 )! − n2 + 4 = n! + ( ) ( n − 3)! ( n − 2 )! ( n − 1) !
-47-
[3n3 – n2 + 3n - 4]
Alternace 2012/13
VARIACE, PERMUTACE, KOMBINACE 1. Kolik maximálně čtyřciferných čísel s různými číslicemi lze vytvořit z cifer 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6? Kolik je jich menších než 3 000?
[943; 463]
2. Zvětší-li se počet prvků o 2‚ zvětší se počet permutací těchto prvků 56 krát. Určete počet prvků. [6]
3. V rovině jsou dány dvě různé rovnoběžky a, b. Na přímce a leží 10 různých bodů A1 až A10 na přímce b leží 8 různých bodů B1 až B8. Kolik různých trojúhelníků s vrcholy v těchto bodech lze vytvořit? [640]
-48-
Alternace 2012/13
BINOMICKÁ VĚTA
(
1. Vypočítejte 3. člen binomického rozvoje 3 − i 2
1 2. V binomickém rozvoji 3 x 2 + 6 x
). 5
[-540]
20
určete člen, který neobsahuje x.
3. Užitím binomické věty zjistěte, zda číslo x =
[ 17.člen]
2 2 + i je řešením rovnice 2 2
x4 + 1 = 0. [ ano]
-49-
Alternace 2012/13
PRAVDĚPODOBNOST 1. V osudí jev 5 bílých a 4 modré lístky. Náhodně vybereme 2 lístky. Jaká je pravděpodobnost, že budou: a) oba bílé b) oba modré c) jeden bílý a jeden modrý
1 5 5 a ) 18; b) 6 ; c) 9
2. Student při zkoušce losuje 2 z 10 otázek, je připraven na 6 z nich. Jaká je pravděpodobnost, že: a) bude umět obě b) bude umět právě jednu c) nebude umět žádnou d) bude umět alespoň jednu z losovaných otázek.
8 2 13 1 a ) 3 ; b) 15 ; c) 15 ; d ) 15
3. Mezi dvaceti výrobky jsou čtyři vadné. Jaká je pravděpodobnost, že při náhodné kontrole tří výrobků bude alespoň jeden vadný? Při řešení využívejte poznatky o doplňkových jevech.
29 57
-50-
Alternace 2012/13
ZÁKLADNÍ STATISTICKÉ POJMY 1. Ve třídě je 8 žáků zařazeno do volitelného předmětu informatika, 10 do cvičení z biologie a 14 do anglické konverzace. Průměrný prospěch v informatice byl 1,60, ve cvičení z biologie 1,40 a v anglické konverzaci 1,20. Jaký je průměrný prospěch třídy ve volitelných předmětech?
[1,3625]
2. Ve třídě s 25 žáky prospělo s vyznamenáním 7 žáků, prospělo 14 žáků, neprospěli 3 žáci, nebyl klasifikován 1 žák, Vypočtěte relativní četnosti znaku „prospěch“. Co je součtem těchto relativních četností? Sestrojte sloupkový diagram. Jaké ještě znáte diagramy?
nv = 0, 28; n p = 0,56; nn = 0,12; nx ; = 0, 04;0, 28 + 0,56 + 0,12 + 0, 04 = 1 ještě existuje kruhový nebo spojnicový diagram
3. Určete aritmetický průměr a směrodatnou odchylku délky x, jsou-li naměřené délkové hodnoty xi a jejich četnosti ni dány tabulkou:
xi
4,7
4,8
4,9
5,0
5,01
5,2
5,3
ni
4
7
7
13
10
5
4
[x = 4,98; s = 0,158]
-51-
Alternace 2012/13
POLOHOVÉ VZTAHY ÚTVARŮ VE STEREOMETRII 1. Je dána krychle ABCDEFGH o hraně délky a. a) vypočítejte vzdálenost bodu A od přímky FG. b) načrtněte řez rovinou KLB, kde K ∈ AE ; L ∈ EH
[a 2 ]
2. Je dána krychle o hraně a = 6cm . Body MNPQ, jsou po řadě středy hran EF, FG, EH, GH. a) určete vzdálenost přímek MN, PQ
[3 2 ]
b) načrtněte řez rovinou MNC
3. V pravidelném čtyřstěnu o hraně 10 cm určete: a) odchylku stěn b) vzdálenost bodu D od roviny ABC
[a)70°30´;b)8,17cm]
-52-
Alternace 2012/13
POVRCHY A OBJEMY VÁLCŮ A KUŽELŮ 1. Vypočítejte poměr objemů tři rotačních válců opsaných kvádru o rozměrech 6, 9,12 d.j. [26:30:25 ]
2. Vypočítejte objem kosého kužele, jehož kruhová podstava má poloměr x = 7,5, nejdelší strana určuje s rovinou podstavy odchylku α = 51°30‘ a nejkratší strana odchylku β = 67°20. [V1=728,38 j3; V2 =2 338,9 j3]
3. Rotační komolý kužel má povrch S = 7500 cm2 a poloměry podstav r1 = 20 cm a r2 = 28 cm. Určete tělesovou výšku. [23,76cm]
-53-
Alternace 2012/13
POVRCHY A OBJEMY HRANATÝCH TĚLES 1. Určete rozměry a objem kvádru, jehož rozměry jsou v poměru 3 : 4 : 6 a jehož [6; 8; 12] povrch je S= 432 cm2.
2. V pravidelném šestibokém jehlanu je podstavná hrana a = 42 dm a pobočná hrana b = 48,4 dm. Vypočítejte objem. [36740dm3]
3. Vypočítejte objem pravidelného komolého šestibokého jehlanu s podstavnými hranami a1 = 65, a2 = 25 a pobočnou branou b = 85. [242812,49 j3]
-54-
Alternace 2012/13
POVRCH A OBJEM KOULE A JEJÍCH ČÁSTÍ 1. Vypočítejte objem a povrch koule, jsou-li dány poloměry dvou rovnoběžných řezů r1 = 20, r2 = 10 a jejich vzdálenost v = 4.[ r = 40,75 ; S = 20 863,317 j2 ; V = 283 366,63 j3]
2. Jak daleko od středu koule je svítící bod, je-li osvětlena čtvrtina povrchu koule? [2r]
3. Rovina protne kouli o poloměru r = 9,8 dm v kruhu o poloměru ρ = 7,9 dm. Vypočítejte objem a povrch příslušné kulové úseče. [úloha má 2 řešení S = 246,3 dm2; V = 425,644 dm3; S´= 960,57 dm2; V´= 3 517,1198 dm3]
-55-
Alternace 2012/13
OBVODY A OBSAHY ROVINNÝCH OBRAZCŮ 1. Vypočítejte obsah lichoběžníku o stranách a = 108, b = 32, c = 30, d = 60. [S = 1 571,13 j2]
2. Vypočítejte strany trojúhelníku o obsahu S = 21,6 cm2 jsou-li v poměru a : b : c = 8: 15: 17.
[a = 4,8; b=9;c = 10,2]
3. O kolik % se změní obsah průřezu potrubí, jehož kruhový tvar byl při stejném obvodu změněn na pravidelný šestiúhelník? [zmenší se o 10%]
-56-
Alternace 2012/13
PODOBNOST, EUKLIDOVY VĚTY A PYTHAGOROVA VĚTA 1. Pravidelný čtyřboký jehlan má podstavu s úhlopříčkou u = 20 cm a výšku v = 8 cm. Vypočítejte povrch jehlanu. [ 502]
2. Sestrojte úsečku délky x = 7
a y=
3 7 7
3. V pravoúhlém trojúhelníku ABC je přepona c = 10, výška na přeponu v = 4. Vypočítejte velikosti odvěsen.
[ 2 5; 4 5 ]
-57-
Alternace 2012/13
OBVODOVÝ A STŘEDOVÝ ÚHEL 1. Je dán pravidelný dvanáctiúhelník A1…..A12. Určete vnitřní úhly čtyřúhelníka A1A2A6A11.
[45°; 75°; 105°; 135°]
2. Sestrojte trojúhelník ABC, Je-li dáno: a = 10; va = 7; α = 45°
3. Je dán pravidelný desetiúhelník A1…..A10. Určete jaký úhel svírají úhlopříčky A2A8 a A5A10. [90°]
-58-
Alternace 2012/13
STEJNOLEHLOST V KONSTRUKČNÍCH ÚLOHÁCH 1. Jsou dány dvě různoběžky a, s a bod M, který leží uvnitř ostrého úhlu těchto různoběžek. Sestrojte kružnici, která se dotýká přímky a, má střed na přímce s a prochází bodem M.
2. Sestrojte společné tečny kružnic k = ( O; r = 2), k‘ = ( O‘; r‘ = 3,5), | OO´| = 7
3. Do daného ostroúhlého trojúhelníku ABC vepište obdélník MNPQ, jehož strany jsou v poměru 3 : 2 a delší strana MN leží na AB.
-59-
Alternace 2012/13
SHODNÁ ZOBRAZENÍ 1. Je dána přímka a, kružnice k a bod S, který neleží na žádné z nich. Sestrojte úsečku AB se středem v bodě S tak, aby A ∈ a, B ∈ k.
2. Jsou dány různoběžky a, b a úsečka XY. Sestrojte úsečku rovnoběžnou s XY a stejně dlouhou, aby její krajní body ležely na přímkách a, b.
3. Je dána přímka a, kružnice k a bod C. Sestrojte rovnostranný trojúhelník ABC tak, aby A ∈ a, B ∈ k.
-60-
