11 Analytická geometrie v rovině V této části se budeme zabývat pouze rovinou v prostoru 3 neplatí.
2.
Využijeme některých vlastností, které
11.1 Poznámka: Opakování u = (u1, u2), v = (v1, v2) ||u||= (u12 + u22) u.v = u1v1 + u2v2
vektory velikost vektoru skalární součin vektorů
A = [a1, a2], B = [b1, b2] body AB = (b1 – a1, b2 – a2) vektor 2 ||AB|| = ((b1 – a1) + (b2 – a2)2) vzdálenost dvou bodů parametrické rovnice přímky p: x = a1 + tu1 y = a2 + tu2
p = {A, u}, u – směrový vektor
t R
11.2 Příklad: Dokažte, že ∆ABC, A=[3,2], B=[3,7], C=[5,6] je pravoúhlý a) pomocí skalárního součinu b) pomocí Pythagorovy věty Řešení: a) AB = (0,5), AC = (2,4), BC = (2,-1) AC.BC = 4 – 4 = 0
pravý úhel je při vrcholu C
b=||AC||= (22+42)= 20
b) c=||AB||=5
a=||BC||= 5
a2 + b2 = 5 + 20 = 25 = 52 = c2
11.3 Příklad: Určete y tak, aby ∆ABC byl pravoúhlý s pravým úhlem při vrcholu B, A=[4,1], B=[-3,2], C=[1,y] Řešení:
BA = (7,-1) BC = (4,y-2) BA.BC = 28 – y + 2 = 0 =>
y = 30
11.4 Příklad: Ukažte, že body A=[-3,4], B=[3,2], C=[6,1] jsou kolineární Řešení: body A,B,C jsou kolineární <=> AB je násobkem AC AB = (6,-2), AC = (9,-3)
=>
AB = 3/2 AC
11.5 Poznámka: Obecná rovnice přímky V rovině platí, že k přímce existuje jednoznačně (až na násobek) kolmý vektor. přímku můžeme určit bodem a směrovým vektorem přímku můžeme určit bodem a normálovým vektorem
X p
AX
u
AX.u = 0
A = [a1, a2], X = [x, y], u = (a, b) AX.u = 0
(x – a1)a + (y – a2)b = 0
ax + by + ( - aa1 – ba2) = 0 ax + by + c = 0 koeficienty u x a y jsou souřadnice normálového vektoru Napište obecnou rovnici přímky určenou A = [3,2], u = (15, -5) 15x – 5y – 35 = 0 15.3 – 5. 2 + c = 0
=> c= -35
počítat zpaměti !!!
u = (15, -5) ~ (3, -1) lepší vzít vektor s menšími čísly souřadnic, ale stejného směru 3x – y – 7 = 0 15x – 5y – 35 = 0
/5
Obecná rovnice přímky je dána jednoznačně až na násobek.
11.6a Poznámka: obecná -> parametrické Přechod mezi rovnicí obecnou a rovnicemi parametrickými. protože
(a,b).(-b,a)=-ab+ab=0
u =(a,b) a zároveň
u .u|| = 0 <=> u|| = (-b,a)
z obecné rovnice na parametrické p: 3x – y + 1 = 0
=>
u =(3,-1) => u|| = (1,3) A = [0,1]
=>
p: x = t y = 1 + 3t
souřadnice mezi sebou prohodit a u jedné změnit znaménko jednu souřadnici volím a druhou dopočtu, vhodná volba něco = 0
11.6b Poznámka: parametrické -> obecná z parametrických na obecnou q: x = 2 – 3t y = -1 – 2t
u|| = (-3,-2) => u =(2,-3) souřadnice mezi sebou prohodit a u jedné změnit znaménko A = [2,-1]
=>
q: 2x – 3y – 7 = 0
11.7 Poznámka: směrnice Směrnicový a úsekový tvar přímky ax + by + c = 0 b≠0
y=(-a/b)x + (-c/b)
přeznačení
y = kx + q
- směrnicový tvar
k - směrnice q – úsek na ose y Nejdou tak napsat rovnoběžky s osou y !!! a≠0 , b≠0, c≠0
ax by c x y 1 c c a b
přeznačení
x A
y B
1
směrnicový tvar
A – úsek na ose x B – úsek na ose y Nejdou tak napsat žádné rovnoběžky s osou x, ani s osou y ani žádná přímka procházející počátkem - využívá se při rýsování
11.8 Příklady: na převod S přímkami a jejími částmi se v geometrii pracuje neustále. V analytické geometrii pomocí přímek počítáme délky, vzdálenosti, úhly, společné body, apod. Ke každé úloze je výhodnější jiné vyjádření téže přímky: parametricky, obecnou rovnicí či pomocí směrnice a úseku. Pro je třeba umět rychle převádět rovnici přímky z jednoho typu vyjádření na druhý. Pod označením Cvičení na převod najdete v menu tabulku, ve které jsou příklady na napsání rovnice přímky ve všech typech při různém výchozím zadání (informacích o přímce). Napsat potřebný tvar rovnic přímky musí být rychlý, abyste se mohli zabývat podstatou zadaného příkladu a netopili se na takovém základu (napsat rovnici přímky). Proto byste měli v průměru dosáhnout vyplnění jednoho řádku tabulky zhruba za jednu minutu. Kontrolu správnosti můžete provést v textu Výsledky převodu. Několik vzorů je postupovat: dány dva body přímky A = [-1,2], B = [0,6] směrový vektor u|| ≈ B-A ≈ (1,4) => normálový vektor u = (4,-1) přehodit parametrické x = -1 + t, y = 2 + 4t směrový vektor a bod A obecná 4x – y + 6 = 0 normálový vektor a bod A směrnicový y = 4x + 6 výpočet y z obecné dán jeden bod A a jeden z vektorů (směrový či normálový) druhý vektor získáme přehozením souřadnic a změnou znaménka u jedné z nich a dál je to jako v předchozím případě dán bod A = [2,-2] a směrnice k = 3 směrnicový tvar přímky y = 3x +q, dosadím bod A, -2 = 6 + q => q = -8 y = 3x – 8 obecná rovnice 3x – y – 8 = 0 jen převedeno na jednu stranu => normálový u = (3,-1) a směrový u|| = (1,3) parametrické x = 2 + t, y = -2 + 3t dány parametrické rovnice x = 3 – 2t, y = 1 + t vyčteme bod A = [3,1] a u|| = (-2,1) a tedy u = (1,2) obecná rovnice x + 2y –5 = 0 normálový vektor a bod A směrnicový tvar y = -½ x + 5/2 vyjádřit y z obecné rovnice dána obecná rovnice x – 2y + 3 = 0 normálový vektor u = (1,-2) tedy směrový u|| = (2,1) potřebujeme ještě jeden bod: volím např. y = 0 a z rovnice vypočtu x = -3 A =[-3,0] parametrický tvar x = -3 + 2t, y = t směrnicový tvar y = ½ x + 3/2 dán směrnicový tvar y = 2x –1 obecná rovnice 2x – y – 1 = 0 vše převedeno na jednu stranu normálový vektor u = (2,-1) tedy směrový u|| = (1,2) potřebujeme ještě jeden bod: volím např. x = 0 a z rovnice vypočtu y = -1 A =[0,-1] parametrický tvar x = t, y = -1 + 2t
11.9 Příklad: Určete obecnou rovnici přímky určenou body A = [2,4], B = [-1,3]. Výsledek porovnejte s rovnicí z determinantu
1 1 1
x y 2 4 1 3
0
Řešení: u|| = AB = (-3,-1) => u =(1,-3) => x – 3y + 10 = 0
1 1 1
x y 2 4 = 6 +4x – y – 2y –3x +4 = x – 3y + 10 = 0 1 3
11.10 Poznámka: Obecnou rovnici přímky určenou dvěma různými body A = [a1,a2], B = [b1,b2] získáme sestavením determinantu
1 x 1 a1 1 b1
y a2 b2
0
11.11 Příklad: Určete obecné rovnice přímek určených dvojicí bodů pomocí determinantu. a) A = [0,2], B = [2,0] b) A = [1,3], B = [1,5] c) A = [-2,5], B = [0,0] Výsledky: a) A = [0,2], B = [2,0] b) A = [1,3], B = [1,5] c) A = [-2,5], B = [0,0]
2x + 2y – 4 = 0 x–1=0 5x +2y = 0
11.12 Příklad: Rozhodněte, zda jsou následující trojice bodů kolineární a) A = [0,5], B = [2,1] , C[-1,7] b) A = [-3,2], B = [0,3], C[4,4] c) A = [1,3], B = [1,5] , C[1,7] d) A = [-2,5], B = [1,1] , C[4,4] e) A = [-3,4], B = [3,2] , C[6,1] Řešení: Kolineární body leží na jedné přímce. Když napíšeme rovnici přímky určenou dvěma body a souřadnice třetího bodu mu budou vyhovovat, pak jsou kolineární. S výhodou lze použít determinant.
1 a) 1 1
0 5 2 1 = 14 – 5 –10 + 1 = 0 1 7
=>
body jsou kolineární
b) nejsou c) jsou d) nejsou e) jsou
11.13 Věta: obsah ∆ Jsou dány tři body v rovině A = [a1,a2], B = [b1,b2], C = [c1,c2]. Označme D determinant
D
1 a1 1 b1 1 c1
a2 b2 . Body A,B,C jsou kolineární právě když D = 0. Jsou-li body A,B,C c2
nekolineární, pak obsah ∆ABC je roven ½ |D| (jedné polovině absolutní hodnoty determinantu D.
11.14 Příklad: Určete obsah ∆ABC, kde A = [2,-3], B = [4,2] , C = [-10,-4]. Řešení:
1 1 1
2 4 10
3 2 4
16 4 30 12 8 20 58
P
29
11.15 Příklad: Vypočtěte souřadnice vrcholů kosočtverce, jsou-li známy rovnice jeho stran AB: x + 2y – 4 = 0, CD: x + 2y –10 = 0 a rovnice jedné jeho úhlopříčky DB: y = x + 2 Řešení: průsečík AB, DB je bod B x + 2y – 4 = 0 x- y+2=0
1 2 -4 1 -1 2 0 -6 -3
Dx –Dy D
B = [0,2] průsečík CD, DB je bod D x + 2y – 10 = 0 x- y + 2=0
1 2 -10 1 -1 2 -6 -12 -3
D = [2,4] S = (B + D)/2 = [1,3]
přímka AC je určena bodem S a normálovým vektorem BD 2x + 2y – 8 = 0 => x + y – 4 = 0
průsečík AC, AB je bod A
x+ y–4=0
průsečík AC, DB je bod C
x + 2y – 4 = 0 4 0 1
A = [4,0]
x+ y– 4=0 x + 2y – 10 = 0 -2 6 1
C = [-2,6]
11.16 Příklad: Jsou dány vrcholy ∆ABC, A = [-4,3], B = [4,1] a průsečík výšek (ortocentrum) V = [3,3]. Určete souřadnice třetího vrcholu a obsah trojúhelníka. Řešení: C je průsečík přímek AC a BC přímka AC je určena bodem A a normálovým vektorem BV přímka BC je určena bodem B a normálovým vektorem AV AC: -x + 2y –10 = 0 BC: 7x - 28 = 0
-x + 2y – 10 = 0 x - 4=0 C = [4,7]
obsah ∆ABC = 48/2 = 24
11.17 Příklad: Jsou dány body A = [-3,1], B = [3,-7]. Na ose y najděte bod N tak, aby AN
BN.
Řešení: Na ose y mají všechny body souřadnice N = [0, y]. AN BN <=> AN.BN = 0 <=> (3,y-1)(-3,y+7) = 0 -9 + (y-1)(y+7) = 0 y2 + 6y –16 = 0 => N1 = [0,2], N2 = [0,-8]
11.18 Příklad: Určete střed a poloměr kružnice opsané ∆ABC, kde A = [4,5], B = [3,-2] , C = [1,-4]. Řešení: nutno postupně vyřešit 1) rovnici osy úsečky AB: p = {SAB, AB } 2) rovnici osy úsečky AC: q = {SAC, AC } 3) průsečík S = p q 4) poloměr r = |AS| ad 1) SAB = [7/2,3/2] AB = (-1,-7) ~ (1,7) p: x + 7y – 14 = 0 ad 2) SAC = [5/2,1/2] AC = (-3,-9) ~ (1,3) q: x + 3y – 4 = 0 ad 3)
x + 7y – 14 = 0 x + 3y – 4 = 0
14 -10 -4
S = [-7/2, 5/2]
ad 4) r2 = |AS|2 = (4 + 7/2)2 + (5 – 5/2)2 = 250/4
=>
r
5 10 2
11.19 Příklad: Na ose x nalezněte bod, který je stejně vzdálen od počátku souřadnic jako od bodu A = [8,4] Řešení: 1) osu úsečky AP: p = {SAP, AP } 2) hledaný průsečík X = p ox ad 1) SAP = [4,2], PA = (8,4) ~ (2,1) p: 2x + y – 10 = 0 ad 2) ox: y =0
=> X = [5,0]
11.20 Příklad: Je dán ∆ABC, kde A = [-1,-2], B = [1,1] , C = [0,3]. Určete velikost jeho úhlů. Řešení: úhel α svírají vektory AB, AC
AB = (2,3)
||AB|| = 13
cos
BC = (-1,2)
||BC|| = 5
cos
AC = (1,5)
||AC|| = 26
cos
CZ
17 17 2 26 13 26 4 4 65 65 13 5 9 9 130 130 5 26
11.21 Poznámka: Odchylka dvou přímek
22 23' 119 45' 37 52'
11.22 poznámka: Kritéria kolmosti a rovnoběžnosti přímek p||q
<=>
p|| . q = 0 p . q|| = 0 k1 = k2
p q <=>
p|| . q|| = 0 p .q =0 k1.k2 = -1
D: α1 = α2 + 90o k1 = tg α1 = = tg (α2 + 90o) = - cotg α2 = - 1/tg α2 = - 1/k2
11.23 Příklad: Napište rovnici přímky, která prochází bodem A = [-1,-1] a svírá s přímkou a: 4x – 3y + 2 = 0 úhel 45o. Řešení: Takovouhle úlohu je nejlepší řešit přes směrnice a: y = (4/3)x + (2/3) hledaná přímka
b: y = kx + q
4 3 4 1 k 3 k
tg45
1
4 3 4 1 k 3 k
4 4 k k 3 3 4 16 2 8 16 1 k k k2 k 3 9 3 9 9 24k 16k 2 9k 2 24k 16 1
7k 2 k1
48k 7 0 1 , k2 7
=> dvě řešení = dvě přímky b1: y = x/7 – 6/7
7 b2: y = -7 + -8
11.24 Příklad: Ukažte, že body K=[3,8], L=[-11,3], M=[-8,-2] jsou vrcholy rovnoramenného trojúhelníka 1. pomocí úhlů 2. pomocí délek stran
Řešení: KL = (14,5), LM = (-3,5), KM = (11,10) ||KL|| = 221, ||LM|| = 34, ||KM|| = 221 ad 2 dokázáno, norma vektoru je rovna velikosti úsečky
cos cos cos
|KL|=|KM|
33 50 17 221 34 221.34 ( 3)( 14) ( 5)5 17 221 34 221.34 204 221 221
11.25 Poznámka: Svazky přímek Vyskytuje-li se v rovnici přímky nějaký parametr, jde o systém nekonečně mnoha přímek, který nazýváme svazkem přímek.
11.26 Příklad: Pro kterou hodnotu parametru a R dostaneme rovnici přímky ze svazku (3a + 4)x + (2 – a)y + a – 9 = 0 která je (řešte sami, jen v krajním případě se inspirujte návodem): rovnoběžná s osou x rovnoběžná s osou y svírá s osou x orientovaný úhel +45o prochází bodem A = [0,1] prochází počátkem prochází bodem B = [7/10, 31/10] rovnoběžná s přímkou p: x – 3y + 2 = 0 rovnoběžná s přímkou q: x = 2 + 2t, y = -1 – t kolmá na přímku p kolmá na přímku q
a -4/3 2 -3 neexistuje 9 a R -7/4 -6/7 1/3 -8
rovnoběžná s osou x rovnoběžná s osou y svírá s osou x orientovaný úhel +45o prochází bodem A = [0,1] prochází počátkem prochází bodem B = [7/10, 31/10] rovnoběžná s přímkou p: x – 3y + 2 = 0 rovnoběžná s přímkou q: x = 2 + 2t, y = -1 – t kolmá na přímku p kolmá na přímku q
návod normálový vektor osy x je (0,1) normálový vektor osy y je (1,0) směrnice musí být tg45o = 1 => souřadnice normálového vektoru přímky jsou stejné dosadíme do rovnice => rovnice pro a nemá řešení dosadíme počátek P = [0,0] dosadíme a zjistíme, že na a nezáleží směrový vektor přímky p a normálový svazku musí dát skalárně 0 (kritérium ||) dtto normálový vektor přímky p a normálový svazku musí dát skalárně 0 (kritérium ) dtto
11.27 Poznámka: Vzdálenost bodu od přímky
AX.p = 0
<=>
p: ax +by +c = 0
d
p =(a,b), X = [X0,Y0]
ax0
by0 a2
c
b2
11.28 Příklad: Určete délku kolmice spuštěné z bodu S = [4,-1] na přímku p: 12x – 5y – 27 = 0 Řešení:
Sp
12.4 5.( 1) 27 12 2
( 5) 2
26 13
2
11.29 Příklad: Napište rovnice přímek rovnoběžných s přímkou p: 4x-3y-12=0, jejichž vzdálenost od bodu [2,3] je rovna 5. Řešení: hledané přímky musí mít stejný normálový vektor tedy q: 4x – 3y + c = 0 a vzorec pro vzdálenost představuje rovnici pro c
5
4.2 3.3 c 4
2
3
25
2
c 1
c1
26 c2
24
q1: 4x – 3y + 26 = 0 q2: 4x – 3y – 24 = 0
11.30 Poznámka: Osa úhlu. Osa úhlu ABC je určena bodem B a směrovým vektorem u Musíme dostat jednotkové vektory ve směrech BA, BC. To jsou vektory
BA BA
,
BC BC
je jednotkový protože (norma je číslo, tak lze vytknout)
Tedy u
BA
BC
BA
BC
BA
1
BA
BA
BA
1
.
11.31 Příklad: Napište rovnici osy
BAC, kde A=[1,-2], B=[4,1], C=[0,5].
Řešení: 1) vektory AB, AC a jejich velikost 2) vektor u – směrový osy úhlu 3) rovnici osy úhlu BAC AB = (3,3)
||AB|| = 18 = 3 2
AC = (-1,7)
||AC||= 50=5 2
b
AB AB
u
b c
1 3 2
2 2 , 2 2
( 3, 3)
4 2 12 2 , 10 10
u = (3,-1) a bod B
c
AC AC
4 2 (1, 3) 10
(1, 3)
1 5 2
( 1, 7 )
2 7 2 , 10 10
o: 3x - y - 5 = 0
11.32 Příklad: Určete souřadnice středů kružnic, které se dotýkají přímek t1: x + y + 4 = 0, t2: 7x – y + 4 = 0, víte-li že leží na přímce p: 4x + 3y – 2 = 0. Určete poloměr těchto kružnic. Řešení: 1. 2. 3. 4. 5. ad 1
ad 2
a = (1,-1), b = (1,7),
u
1 , 2
1 2
průsečík T osa o1 S1 = p o1, r1 = |S1,t1| osa o2 o1 S2 = p o2, r1 = |S2,t2| x+y+4=0 7x – y + 4 = 0 8 24 -8
T = [-1,-3]
||a||= 2 , ||b||=5 2
1
,
7
5 2 5 2
6
,
2
5 2 5 2
~ ( 3, 1)
u = (1,-3) o1: x – 3y – 8 = 0 ad 3 x – 3y + 8 = 0 4x + 3y – 2 = 0
S1 = [2,-2] r1 = |2 – 2 + 4|/ 2 = 2 2
ad 4 o2: 3x + y + 6 = 0 ad 5 3x + y + 6 = 0 4x + 3y – 2 = 0
S2 = [-4,6] r2 = |-4 +6 +4|/ 2 = 3 2
11.33 Poznámka: Střed kružnice vepsané ∆ a) Střed najdeme jako průsečík os dvou vnitřních úhlů ∆ - postup viz 11.30 b) Využitím výsledků úlohy 4.17
a PA b PB c PC a b c
PO
P je libovolný bod, A,B,C jsou vrcholy ∆, a,b,c jsou délky stran Označme tedy P = [0,0], A = [a1,a2], B = [b1,b2], C = [c1,c2], S = [s1,s2] Pak platí s i
a .a i
b .bi c .c i , i a b c
1,2
11.34 Příklad: Je dán ∆ABC, A=[5,2], B=[1,5], C=[-2,1]. Určete: 1. jeho obsah 2. velikost stran 3. velikost vnitřních úhlů 4. velikost výšek 5. střed kružnice vepsané a její poloměr Řešení: ad 1)
ad 2)
ad 3)
1 1 1
5 2 1 5 2 1
25 4 1 10 2 5 25
AB
4 ,3
BC
3, 4
a
BC
5
AC
7, 1
b
AC
5 2
cos
cos
cos
0 25
c
AB
28 3 5.5. 2
0
P
25 / 2
5
2 2
45
90
ad 4) Vzhledem k tomu, že je to pravoúhlý trojúhelník rovnoramenný => va = vc = a = c = 5, vb = b = 5 2/2 ad 5) střed kružnice vepsané
s1
25 5 2 10 5 5 5 2
s2
10 25 2 5 10 5 2
15 5 2 10 5 2 3 5 2 2 2
3 2
2 2
4 7 2 2
Poloměr je vzdálenost středu od přímky AB: 3x + 4y – 23 = 0
4
2 2
3
4
r
2 2
4 7 2 2
4 5
23
1 12 3 2 16 28 2 46 10
50 25 2 10
11.35 Příklad: Je dán ∆ABC, A=[12,0], B=[0,5], C=[0,0]. Určete střed O kružnice opsané a V střed kružnice vepsané a jejich poloměry. Výsledky: O = [6; 2,5] V = [2, 2]
R = ||AB||/2 = 13/2 r=2
11.36 Příklad: Je dán ∆ABC, A=[8,6], B=[4,8], C=[2,4]. 1. Určete obsah ∆ABC. 2. Napište rovnici přímky PT, kde P je počátek souřadnic a T je těžiště ∆ABC. 3. Napište rovnice přímek AB, BC, AC po řadě ve tvaru parametrickém, obecném a směrnicovém. 4. Dokažte, že AB BC. 5. Rovnici přímky AC v obecném tvaru vynásobte číslem p a přičtěte k tomu obecnou rovnici přímky AB. Vzniklý svazek přímek označte t. 6. Dokažte, že všechny přímky svazku t procházejí bodem A. 7. Pro kterou hodnotu parametru dostanete přímku procházející počátkem souřadnic? 8. Pro kterou hodnotu parametru dostanete přímku rovnoběžnou s přímkou BC? 9. Pro kterou hodnotu parametru dostanete přímku kolmou k přímce BC? Výsledky: ad 1)
obsah = 10
ad 2)
T = [14/3,6]
ad 3)
AB = (-4,2) x=8-4t, y=6+2t BC = (-2,-4) x=4-2t, y=8-4t CA = (6,2) x=2+3t, y=4+t
ad 4)
AB.BC=0
ad 5)
t: (1+p)x + (2-3p)y + (10p-20) = 0
ad 6)
(1+p)8 + (2-3p)6 + (10p-20) = 0
ad 7)
10p – 20 = 0
p=2
ad 8)
t||BC BC.t =0
-2(1+p)-4(2-3p)=0
p=5/2
ad 9)
t BC BC.t||=0
-2(2-3p)+4(1+p)=0
p=0
p: 18x - 14y = 0 x+2y-20=0 2x-y =0 x-3y+10=0
y=(-1/2)x+10 y=2x y=(1/3)x+10/3
8 ,53
11.37 Příklad: V pravoúhlém ∆ABC ve standardním značení platí: vc = ab/c Řešení: Zavedeme si soustavu souřadnic podle obrázku. Pak přímka, v níž leží strana c má rovnici ax + by – ab = 0 AB = (b, -a) je směrový vektor
vc=|C, c| =
0.a 0.b ab a2
a .b c
b2
11.38 Příklad: V ∆ABC ve standardním značení označme R poloměr kružnice opsané a r poloměr kružnice vepsané. Dokažte, že platí: je-li ∆ABC pravoúhlý, pak R+r = (a+b)/2. Řešení: Zavedeme souřadný systém podle obrázku. Mějme na paměti, že v pravoúhlém ∆ platí Pythagorova věta, tedy a2+b2=c2 R = c/2 střed kružnice vepsané
a .b b .0 c .0 a .0 b .a c .0 , a b c a b c
S
ab ab , a b c a b c
r = vzdálenost středu S např. od strany b, tj. y-ová souřadnice A tedy
R r
c 2
ab a b c
c ( a b c ) 2ab 2( a b c )
c ( a b ) a 2 b 2 2ab 2( a b c )
ca cb c 2 2ab 2( a b c )
c(a b) (a b) 2 2( a b c )
( a b c )(a b ) 2( a b c )
a b 2 q.e.d.
11.39 Poznámka: Poloroviny přímka p dělí rovinu na dvě poloroviny p: ax + by + c = 0
- p(X) = ax + by + c
p(A).p(B) > 0 body A,B jsou ve stejné polorovině p(A).p(B) < 0 body A,B jsou v různých polorovinách
11.40 Příklad: Je dána přímka q: x – 2y + 3 = 0. Zjistěte, které z následujících bodů jsou ve stejné polorovině jako bod M = [2,0]. A = [1,1], B = [-2,3], C = [2,-3], D = [1,5], E = [-1,-3], P = [0,0] Řešení: q(M) > 0 q(A) > 0 ano, q(B) < ne, q(C) > 0 ano, q(D) < 0 ne, q(E) > 0 ano, q(P) > 0 ano
KONEC
