Docentenhandleiding MathPlus

MALMBERG UITGEVERIJ B.V.

Docentenhandleiding MathPlus Leerjaar 1 havo-vwo Versie 1

Inhoud Wat is MathPlus?..................................................................................................................................... 2 Het didactisch model van MathPlus........................................................................................................ 2 De opzet van MathPlus ........................................................................................................................... 3 Contexten ............................................................................................................................................ 3 Instaptoets........................................................................................................................................... 3 Onderdelen: Leren............................................................................................................................... 3 Onderdelen: Verwerken ...................................................................................................................... 3 Extra oefenen ...................................................................................................................................... 3 Afsluiting.............................................................................................................................................. 4 Studielast en planning ............................................................................................................................. 4 Mogelijke werkwijzen.............................................................................................................................. 6 Lange leerlijnen in MathPlus ................................................................................................................... 7 Verschillen tussen havo en vwo ............................................................................................................ 11 Handleiding MathPlus applicatie........................................................................................................... 12 Inloggen op de applicatie .................................................................................................................. 12 De werking van de MathPlus applicatie ............................................................................................ 12 Vraagtypen in de MathPlus applicatie .............................................................................................. 14 De toetsenborden van MathPlus ...................................................................................................... 17 Ontwikkeling van de MathPlus applicatie ......................................................................................... 17 AlgebraKIT ............................................................................................................................................. 18 Herkennen van opgaven die automatisch worden nagekeken met AlgebraKIT ............................... 18 Invoeren van het antwoord............................................................................................................... 18 Herkennen dat het gewenste antwoord is gegeven in Leren ........................................................... 18 Aangeven dat het antwoord is gegeven in Verwerken ..................................................................... 19 Kopiëren van het vorige antwoord om dit te wijzigen ...................................................................... 19 Hoe werkt AlgebraKIT? ...................................................................................................................... 20 Docentenhandleiding: Rekenen ............................................................................................................ 21 Docentenhandleiding: Figuren .............................................................................................................. 25 Docentenhandleiding: Ruimtelijke figuren ........................................................................................... 30

1

Docentenhandleiding havo/vwo leerjaar 1 Nog niet alle onderdelen van MathPlus zijn beschikbaar/functioneel met ingang van schooljaar 2015 – 2016. De ontwikkeling van MathPlus is een continu proces. Nieuwe functionaliteiten zullen op regelmatige tijden worden geïntegreerd evenals videoclips en andere ondersteunende interactiviteit.

Wat is MathPlus? MathPlus is een wiskundemethode voor het voortgezet onderwijs die beoogt leuke en uitdagende wiskunde te bieden voor alle leerlingen en hen goed voor te bereiden op het aan het eind van het voortgezet onderwijs af te leggen eindexamen. De methode is gebaseerd op het lesmateriaal van de stichting Math4all dat is geschreven met het oog op digitaal onderwijs: applets en videomateriaal moeten meerwaarde bieden. MathPlus voegt hier adaptiviteit, herkansingsmogelijkheden en interactieve opgaven aan toe. Voor het werken in de klas is er ook een papieren variant voor de momenten dat de digitale versie niet beschikbaar is. De digitale versie is echter het uitgangspunt. Een en ander wil niet zeggen dat alles nu digitaal gebeurt; leerlingen zullen nog regelmatig werken met potlood, passer, geodriehoek en gum. Maar waar dit meerwaarde biedt, worden digitale middelen zoveel mogelijk ingezet.

Het didactisch model van MathPlus De methode is gebaseerd op het bekende OSAEV-model van Joop van Dormolen (Didactiek van de wiskunde uit 1974). Tegenwoordig wordt dit model beschreven als het OOV-model:   

O1 = oriënteren op wat er gaat komen; O2 = ontwikkelen van kennis en vaardigheden, het ‘leren’-deel; V = verwerken en inslijpen van de aangeleerde kennis en vaardigheid, het ‘verwerken’-deel.

Dit is vertaald in de opzet van het Math4all-materiaal door:   

O1 = Verkennen O2 = Uitleg met opgaven, Theorie (vanaf leerjaar 3), Voorbeelden met opgaven V = Verwerken en Testen

Hierin is de Uitleg een inleiding vanuit een concrete situatie op de te leren theorie en de te beheersen vaardigheden. De Uitleg gaat vergezeld van opgaven die leerlingen aanzetten om deze kennis actief op te bouwen. De Theorie vat deze kennis (zo abstract als op dat niveau wenselijk is) samen. In de eerste twee leerjaren zijn er geen theorieblokken, omdat de totale hoeveelheid samen te vatten kennis per onderdeel nog gering is. Vanaf leerjaar 3 wordt dit meer en komen voor het eerst theorieblokken voor. Naast de Uitleg en Theorie zijn er Voorbeelden waarin de gewenste kennis en vaardigheden worden gebruikt in activerende opgaven. Om leerlingen tot activiteit aan te zetten, zijn Uitleg en 1 Voorbeelden vaak enigszins fragmentarisch . Dit vormt samen het ‘leren’-deel van elk onderdeel (paragraaf). In MathPlus is deze opzet overgenomen en ingebed in een omhullend context-conceptverhaal. Door inleidende contexten toe te voegen die van een – zo mogelijk onderwerp omvattende – vraagstelling zijn voorzien, wordt het beoogde concept versterkt. Daarbij wordt de relevantie van de wiskunde in één oogopslag duidelijk. De vragen “Wat heb ik hier nu aan?” en “Waarom moeten we dit leren?” kunnen met een verwijzing naar de contexten beantwoord worden. 1

Voor vwo-gymnasium meer dan voor havo-vwo.

2

De opzet van MathPlus De leerstof is verdeeld in domeinen (doorlopende leerlijnen), grofweg een domein Rekenen, een domein Verbanden, een domein Meetkunde en een domein Informatie(data)analyse. Per leerjaar en per wiskundestroom verschillen de domeinindelingen enigszins. Voor leerjaar 1 zijn dit de domeinen: Rekenen, Grafieken en formules, Meten en tekenen en tot slot Informatieverwerking. Elk domein is verdeeld in onderwerpen (hoofdstukken) en elk onderwerp weer in onderdelen (paragrafen). Zo’n onderdeel bevat een afgerond leerobject volgens het OOV-model. Een onderwerp bestaat uit twee contexten, enkele onderdelen en een afsluiting. Contexten In het boek zijn twee contexten opgenomen. Als u uitsluitend met de digitale versie van MathPlus werkt kunt u deze contexten terugvinden als pdf in het docentenmateriaal. De contexten staan in principe los van de contexten die worden gebruikt als exemplarische context van waaruit in de Uitleg een concept wordt opgebouwd, hoewel er een zeker verband kan bestaan. Elke context wordt voorzien van een opgave die leerlingen na het doorwerken van het hoofdstuk moeten kunnen maken. Instaptoets In de digitale versie van MathPlus zit een korte instaptoets met gesloten vragen. Deze toets test de benodigde voorkennis van leerlingen alvorens zij aan het hoofdstuk kunnen starten. Als docent kunt u ervoor kiezen om een bepaald onderdeel klassikaal te herhalen of een leerling extra oefeningen te geven als blijkt dat een onderdeel van de voorkennis onvoldoende beheerst wordt. Onderdelen: Leren Het ‘Leren’-deel van MathPlus bestaat uit Uitleg met opgaven, Theorie en Voorbeelden met opgaven. In de digitale versie zijn Uitleg, Theorie en Voorbeelden regelmatig interactief gemaakt met applets. Opgaven zijn in de digitale variant waar mogelijk interactief gemaakt met behulp van AlgebraKIT. De opgaven in het Leren-deel moeten de leerlingen aanzetten tot het (opnieuw) doornemen van de Voorbeelden, het aanvullen van de daarin overgeslagen stappen en daarmee het voor zichzelf opbouwen van de beoogde kennis en vaardigheden. Bij de opgaven zijn antwoorden, uitgebreide uitwerkingen en hints op te vragen. Onderdelen: Verwerken In dit onderdeel kunnen leerlingen de kennis en vaardigheden uit het Leren-deel verwerken middels het maken van opgaven. Alle verwerkingsopgaven zijn voorzien van één, twee of drie sterren in opklimmende moeilijkheidsgraad: één ster is het instapniveau, twee sterren het basisniveau en drie sterren het excellentniveau. Als de leerling de stof naar behoren beheerst, wordt hij geacht het twee sterren niveau te behalen. In de digitale versie kan een leerling kiezen of hij begint op het instapniveau of direct op het basisniveau. Als alle opgaven op het basisniveau goed zijn afgerond, is het basisniveau behaald. Begint een leerling direct met het basisniveau en kan hij de eerste opgave niet oplossen, dan stuurt het systeem de leerling automatisch naar het instapniveau. Als alle opgaven op het basisniveau goed zijn gemaakt, geeft het systeem de mogelijkheid ook het excellentniveau te behalen. In de digitale versie kan een leerling Uitleg, Theorie of Voorbeelden van de desbetreffende paragraaf opvragen als hij moeite heeft de opgave te maken. Daarnaast hoort bij elke opgave van het instapniveau of het basisniveau in de digitale versie een herkansingsopgave. Daarmee kan een leerling die een opgave in eerste instantie niet kon maken, zichzelf verbeteren en zo het niveau alsnog behalen. Extra oefenen In de digitale versie van MathPlus kunnen leerlingen aan het einde van het hoofdstuk onder Extra oefenen opgaven uit het gehele hoofdstuk nog eens maken. De computer genereert een set aan opgaven waarmee de leerling kan oefenen.

3

Afsluiting In de boeken wordt elk hoofdstuk afgesloten met een Voorbeeld eindtoets. In de onderbouw is deze toets waar mogelijk gesplitst in een ‘rekenen’-deel en een ‘toepassen’-deel. Het is de bedoeling dat 80% van de leerlingen deze toets binnen een lesuur kunnen maken. Werkt u uitsluitend met het digitale materiaal dan kunt u deze toetsen ook terugvinden in het docentenmateriaal.

Studielast en planning Afhankelijk van de omvang van een hoofdstuk kan een specifiekere planning worden vastgesteld. Elk onderdeel (paragraaf) heeft een studielast van (als een leerling alles doet, maar er zijn keuzes te maken) ongeveer drie uur: - Instaptoets: 0,25 – 0,5 uur - Leren: 1,5 uur - Verwerken: 0,5 – 1,25 uur (inclusief de excellentopgave(n)) De afsluiting van een hoofdstuk kost nog eens maximaal drie uur (als een leerling alles doet): - de opgaven bij de contexten maken: 0,5 - 1 uur - de voorbeeld eindtoets met eventueel nog nader te bestuderen onderdelen bekijken: 1 - 1,5 uur - de leerlingen kunnen een samenvatting maken van het hoofdstuk: 0,5 – 1 uur In grote lijnen ziet de planning van het schooljaar er als volgt uit: Boek (twee per jaar) Hoofdstukken (twaalf in leerjaar 1) Onderdelen op hoofdstukniveau:   

digitale instaptoets contexten voorbeeld eindtoets

Paragraaf (ongeveer vijf per hoofdstuk) • • •

Uitleg met opgaven Voorbeelden met opgaven Verwerkingsopgaven

 In totaal zijn er in leerjaar 1 ongeveer 80 opgaven per hoofdstuk Schooljaar telt veertig weken: 40 schoolweken – 4 toetsweken – 1 jaarafsluiting = 35 lesweken Aantal lessen: 3 per week x 35 weken = 105 lessen  ongeveer 80 opgaven per hoofdstuk Leerjaar 1: aantal opgaven per les: 12 x 80 / 105 ≈ 9 opgaven Wiskundig denken aanleren vraagt tijd!  schrappen Onderbouw: een à twee lessen per paragraaf met 2/3 van de opgaven

4

Situatie: klassikale lessen, boeken les 1: • •

Uitleg en 1 à 2 opgaven per uitleg, Voorbeelden en 1 à 2 opgaven per voorbeeld; huiswerk: instapopgaven van verwerken.

• • • •

huiswerk bespreken; rest van de opgaven uit Verwerken; start Uitleg van volgende paragraaf; huiswerk: Uitleg en 1 à 2 opgaven van die uitleg.

• • •

reflectie huiswerk; Uitleg en 1 à 2 opgaven van eventueel tweede Uitleg, Voorbeelden en 1 à 2 opgaven per voorbeeld; huiswerk: instapopgaven van Verwerken.

• • • •

huiswerk bespreken; rest van de opgaven uit Verwerken; start Uitleg van volgende paragraaf; huiswerk: Uitleg en 1 à 2 opgaven van die uitleg.

• •

reflectie huiswerk; Uitleg en 1 à 2 opgaven van eventueel tweede Uitleg, Voorbeelden en 1 à 2 opgaven per voorbeeld; huiswerk: instapopgaven van Verwerken.

les 2:

les 3:

les 4:

les 5:

•

In de hoofdstukspecifieke handleiding is de studielast aangegeven per paragraaf. Indien u minder tijd tot uw beschikking heeft, is per paragraaf een aanbevolen verkorte leerroute aangegeven. Daarnaast is een tabel opgenomen waarin u eenvoudig ziet hoeveel opgaven ieder onderdeel bevat en van welk niveau die opgaven zijn. Let op: de genoemde aantallen opgaven in de overzichtstabellen zijn de aantallen in het digitale product! Deze verschillen met de aantallen in de boeken (digitaal zijn er meer opgaven).

MathPlus is geen receptenboek waarin staat ‘hoe het moet’, het is een wiskundemethode waarin alle concepten, alle kennis en alle vaardigheden zorgvuldig volgens het OSAEV-model worden opgebouwd. Alle concepten dienen dan ook nauwgezet te worden geïntroduceerd, zoveel mogelijk vanuit het context-concept principe. MathPlus biedt leerlingen hiervoor verschillende handvatten. Allereerst wordt een hoofdstuk geopend met twee contexten die de leerling een toepassing van de wiskunde laten zien. Daarnaast wordt in het Leren-deel een exemplarische context gebruikt om zorgvuldig conceptopbouw te ontwikkelen. Deze context zal daarom regelmatig terugkeren teneinde de koppeling met het concept te versterken.

5

Mogelijke werkwijzen MathPlus kan in de praktijk op verschillende wijzen worden ingezet. Dit is mede afhankelijk van de producten waarmee u werkt: boek, digitaal of een combinatie van beide.

1 Docent heeft voor 100% de regie in handen Dit is alleen mogelijk wanneer vooral met het boek wordt gewerkt. De docent kan besluiten de digitale Instaptoets door de leerlingen thuis te laten maken. Op basis van de resultaten, die hij in zijn dashboard ziet, kunnen bepaalde concepten/leerdoelen nog eens worden opgefrist alvorens aan een nieuw hoofdstuk te beginnen. Vervolgens vult hij de les in zoals hij dat tot nu toe gewend is: hij legt dingen uit en laat de leerlingen opgaven maken in de klas. Het huiswerk wordt volledig toegewezen door de docent, waarbij hij een selectie opgeeft van opgaven uit Leren en/of Verwerken. Alle leerlingen maken tot slot de voorbeeld eindtoets (keuze docent en/of leerling).

2 Docent heeft voor een groot deel de regie in handen De docent kan besluiten de digitale Instaptoets door de leerlingen thuis te laten maken. Op basis van de resultaten, die hij in zijn dashboard ziet, kunnen bepaalde concepten/leerdoelen nog eens worden opgefrist alvorens aan een nieuw hoofdstuk te beginnen. Vervolgens vult hij de les in zoals hij dat tot nu toe gewend is: hij legt dingen uit en laat de leerlingen opgaven maken in de klas. Opgaven in het Leren-deel kunnen door de docent worden toegewezen. Opgaven in Verwerken dienen leerlingen thuis te maken en in de computer in te voeren. Het systeem bepaalt welke Verwerkopgaven, inclusief herkansing, door de leerling gemaakt dienen te worden. De docent ziet de resultaten van opgaven in Verwerken op zijn dashboard. Op basis daarvan kan hij zwakke leerlingen extra onderrichten en snelle leerlingen extra taken/projecten toewijzen. Alle leerlingen maken tot slot de voorbeeld eindtoets (keuze docent en/of leerling).

3 Docent geeft regie voor groot deel uit handen In dit geval gaat de leerling volledig digitaal aan de slag. Zij maken de Instaptoets. Op basis van de resultaten, die hij in zijn dashboard ziet, kunnen bepaalde concepten/leerdoelen nog eens worden opgefrist alvorens aan een nieuw hoofdstuk te beginnen. De docent kan besluiten iedere les met uitleg te beginnen en/of enkele voorbeeldopgaven klassikaal uit te werken, maar hij kan er ook voor kiezen leerlingen zelfstandig te laten werken. Daarbij werken zij zó als hen het beste bevalt (eerst opgaven in Leren en vervolgens in Verwerken, of meteen Verwerken en – indien men er niet uitkomt – elementen uit Leren raadplegen). Het systeem bepaalt welke Verwerkopgaven, inclusief herkansingsopgaven, door de leerling dienen te worden gemaakt. De docent ziet de resultaten van de opgaven in Verwerken op zijn dashboard. Op basis daarvan kan hij zwakke leerlingen extra onderrichten en snelle leerlingen extra taken/projecten toewijzen. Alle leerlingen maken tot slot de voorbeeld eindtoets (keuze docent en/of leerling).

Op verschillende manieren werken binnen één sectie Aangezien alle leerlingen dezelfde Instaptoets en Voorbeeld eindtoets krijgen, ongeacht de door de docent gehanteerde werkwijze, is het goed mogelijk binnen een sectie op verschillende manieren met MathPlus te werken. De leerlingen krijgen ook allemaal hetzelfde proefwerk. Docenten kunnen in sectievergaderingen hun werkwijze aan collega’s toelichten, aangeven wat zij wel en niet als prettig ervaren, en van elkaar leren. Dit kan ertoe leiden dat de persoonlijke werkwijze gedurende het jaar op ‘veilige’ wijze wordt aangepast. Zie het als professionalisering van de docent vanuit de eigen veilige omgeving.

6

Lange leerlijnen in MathPlus Er zijn globaal vier domeinen te onderscheiden, namelijk een domein Rekenen, een domein Verbanden, een domein Meetkunde en een domein Informatie(data)analyse. In de bovenbouw havo/vwo schuift het domein Rekenen voor een groot deel (behalve voor havo wiskunde A) naar de achtergrond. Voor havo B en vwo A, B en C komt daar het domein Veranderingen bij, alsmede enkele losse onderwerpen uit de discrete wiskunde (Logica, Rijen). Voor vwo wiskunde D komt er getaltheorie bij (Complexe getallen). In de lange leerlijnen zijn de Tussendoelen havo/vwo voor de onderbouw en de Eindtermen voor de 2 diverse wiskundes voor de bovenbouw leidend . In het document MathPlus tussendoelen onderbouw vindt u een uitgebreide uiteenzetting van de behandeling van de tussendoelen in leerjaren 1 tot en met 3. Voor de vier basisdomeinen hanteert MathPlus grofweg de volgende opbouw (niet alles geldt voor alle leerlingen, er is niveauverschil): Rekenen 



 

leerjaar 1 het begrip decimaal getal met de vier basisbewerkingen – de eigenschappen van natuurlijke getallen (deelbaarheid) – het begrip macht en machtsverheffen – het begrip breuk en de vijf bewerkingen toegepast op breuken – het begrip procent en rekenen met procenten en in dat kader met verhoudingstabellen – het begrip negatief getal en de basisbewerkingen met negatieve getallen in een pijlenmodel leerjaar 2 het begrip (hogere machts)wortel en de basisbewerkingen met wortels – het begrip rationaal en het begrip reëel getal – de verschillende soorten getallen – de wetenschappelijke notatie leerjaar 3 onderhoud voorgaande – meer rekenen in context – probleemaanpak bij rekenen leerjaar 4 e.v. onderhoud en verdieping (moeilijker context) voorgaande, met alleen in havo wiskunde A nog de nodige herhaling. o havo, wiskunde A: mogelijkheden tellen met behulp van diagrammen – machten en faculteiten – permutaties en combinaties – de driehoek van Pascal o vwo, wiskunde A/C: mogelijkheden tellen met behulp van diagrammen – machten en faculteiten – permutaties en combinaties – de driehoek van Pascal

Verbanden 

2

leerjaar 1 het begrip variabele (grootheid) – afhankelijkheid van variabelen (afhankelijke en onafhankelijke variabele) leidt tot verbanden – verbanden weergeven in tabellen – verbanden weergeven in grafieken (assenstelsel moet bekend zijn) – eigenschappen van grafieken en van die afhankelijkheid benoemen (stijgen, dalen, periodiciteit, maximum- en minimumwaarde) – tabellen omzetten in grafieken en vice versa – (woord)formules voor verbanden – tabellen en grafieken maken bij (woord)formules – waarden aflezen uit grafieken – som- en verschilgrafieken – het begrip vergelijking om waarden te kunnen berekenen – het begrip oplossing van een vergelijking – oplossingen (slim) raden – oplossingen bepalen door inklemmen – met variabelen werken, algebra, de basisbewerkingen – volgorde en haakjes – haakjes wegwerken

http://www.slo.nl/voortgezet/onderbouw/vakken/wi/overtussen/

7







leerjaar 2 vergelijkingen oplossen door heen- en terugrekenen, het begrip rekenschema – vergelijkingen oplossen met de balansmethode – vergelijkingen oplossen door haakjes weg te werken – lineaire verbanden en recht evenredig – vergelijkingen bij lineaire verbanden systematisch oplossen – hyperbolische verbanden en omgekeerd evenredig – vergelijkingen bij 2 hyperbolische verbanden – kwadratische verbanden van de vorm y = a(x – p) + q – vergelijkingen bij kwadratische verbanden door terugrekenen oplossen – exponentiële verbanden in het kader van exponentiële groei/verval – exponentiële vergelijkingen oplossen door inklemmen leerjaar 3 lineaire verbanden, helling en richtingscoëfficiënt, snijpunt met de y-as, vergelijkingen systematisch oplossen, lijn door twee punten – kwadratische verbanden in drie vormen en 2 kwadraat afsplitsen om de vorm y = a(x – p) + q te krijgen – kwadratische verbanden ontbinden in factoren – kwadratische vergelijkingen oplossen door kwadraat afsplitsen en terugrekenen, dan door de abc-formule te gebruiken, tenslotte door ontbinden in factoren – andere verbanden, functiebegrip opstarten, transformaties invoeren als uitbreiding, toevoeging, vooruitblik op wiskunde A/B in de bovenbouw leerjaar 4 e.v. o havo, wiskunde A: alleen herhaling/onderhoud/toepassing in complexere situaties o havo, wiskunde B: functiebegrip uitbreiden (notatie, domein, bereik, enzovoort) – lineaire, veelterm, exponentiële, logaritmische, goniometrische standaardfuncties met hun eigenschappen en transformaties – veranderingen van functies en differentiëren in eenvoudige gevallen – eenvoudige optimaliseringsproblemen o havo, wiskunde D: (deze leerlingen hebben ook wiskunde B) – wiskunde B kennis toepassen in technologie, modelleren, optimaliseren en de differentieerregels o vwo, wiskunde A: functiebegrip uitbreiden (notatie, domein, bereik, enzovoort) – lineaire, veelterm, exponentiële, logaritmische, sinus standaardfuncties met hun eigenschappen en transformaties (dit laatste informeel) – veranderingen van functies en differentiëren met alle differentieerregels (ook e-macht en logaritme, maar geen goniometrische functies) – optimaliseringsproblemen – rijen, meetkundig, rekenkundig, directe formules, recursieformules, somformules rekenkundige en meetkundige rijen o vwo, wiskunde C: lineaire, veelterm, exponentiële, logaritmische standaardfuncties met hun eigenschappen en transformaties (dit laatste informeel) – veranderingen van functies – rijen, meetkundig, rekenkundig, directe formules, recursieformules, somformules rekenkundige en meetkundige rijen o vwo, wiskunde B: functiebegrip uitbreiden (notatie, domein, bereik, enzovoort) – samengestelde en inverse functies, informeel limietbegrip – lineaire, veelterm, exponentiële, logaritmische, goniometrische standaardfuncties met hun eigenschappen en transformaties (dit laatste informeel) – veranderingen van functies en differentiëren met alle differentieerregels (ook e-macht, logaritme en goniometrische functies) – toepassing op allerlei soorten functies, werken met parameters – rekenregels voor logaritmische en goniometrische functies – integreren en berekenen van oppervlakte, inhoud omwentelingslichaam en booglengte – primitieveren van eenvoudige functies o vwo, wiskunde D: (deze leerlingen hebben ook wiskunde B) – rijen, meetkundig, rekenkundig, directe formules, recursieformules, somformules rekenkundige en meetkundige rijen – modelleren, discrete dynamische modellen – continue dynamische modellen, differentiaalvergelijkingen, en enkele oplossingsmethoden

8

Meetkunde 







leerjaar 1 vlakke figuren (lijn, lijnstuk, halve lijn, vierkant, rechthoek, parallellogram, vlieger, ruit, trapezium, driehoek (rechthoekig, gelijkbenig, gelijkzijdig), vierhoek, veelhoek, cirkel intuïtief invoeren, eigenschappen ontdekken – ruimtelijke figuren (kubus, balk, prisma, piramide, cilinder, kegel, bol) intuïtief invoeren, eigenschappen ontdekken – begrippen als punt, lijn, vlak, hoekpunt, zijde/ribbe, grensvlak, diagonaal (2D en 3D), diagonaalvlak – tekenen (op schaal) van zowel 2D als 3D figuren – aanzichten en uitslagen herkennen en tekenen – lengte, omtrek, oppervlakte en inhoud door ‘eenheden tellen’ – werken (omrekenen) met eenheden (en voorvoegsels) voor lengte, oppervlakte, inhoud, tijd – kijklijnen, kijkhoeken – symmetrie (lijn, punt, draai) en de symmetrie-eigenschappen van vlakke figuren – bissectrice, middelloodlijn leerjaar 2 formules voor omtrek van vlakke figuren en de inhoud van ruimtelijke figuren – het begrip hoogte(lijn) – de (omgekeerde) stelling van Pythagoras, lengtes berekenen in 2D en in 3D – het begrip doorsnede, doorsneden (eenvoudige gevallen) op ware grootte tekenen – vergroten/verkleinen van figuren, vergrotingsfactor – gelijkvormigheid van figuren, eenvoudige berekeningen met behulp van gelijkvormigheid – lengtevergroting/oppervlaktevergroting/inhoudsvergroting(sfactor) leerjaar 3 herhalen en verdiepen voorgaande, met name werken met congruentie en gelijkvormigheid – goniometrie in 2D en 3D – begrippen vermoeden, stelling, bewijs (alleen vwo) – vooruitblik op wiskunde A/B/C/D leerjaar 4 e.v. o havo, wiskunde A: geen meetkunde, elementaire onderbouwkennis wel af en toe gebruiken o havo, wiskunde B: analytische meetkunde – cartesisch assenstelsel, met vergelijkingen en vectorvoorstellingen van lijnen, vergelijkingen van cirkels, formule afstand tussen twee punten – berekenen van snijpunten, hoeken en afstanden bij punten, lijnen en cirkels – begrippen richtingscoëfficiënt, richtingsvector, plaatsvector, normaalvector, inproduct van twee vectoren, raaklijn aan een cirkel o havo, wiskunde D: 3D meetkunde, zonder en met vectoren – parallelprojecties, doorsneden tekenen, meetkundige berekeningen in 3D – oppervlakte en inhoud van ruimtelijke figuren – vectoren in 3D met berekeningen van hoeken en afstanden tussen punten, lijnen en vlakken o vwo, wiskunde A: geen meetkunde, elementaire onderbouwkennis wel af en toe gebruiken o vwo, wiskunde C: 3D meetkunde in kunst en cultuur – alle begrippen uit leerjaar 1/2 herhalen – symmetrie in 3D – perspectief herkennen en ermee werken – perspectief tekenen (éénpunts en tweepunts) o vwo, wiskunde B: analytische meetkunde – cartesisch assenstelsel, met vergelijkingen en vector(parameter)voorstellingen van lijnen en van cirkels, formule afstand tussen twee punten – berekenen van snijpunten, hoeken en afstanden bij punten, lijnen en cirkels – begrippen richtingscoëfficiënt, richtingsvector, plaatsvector, normaalvector, inproduct van twee vectoren, raaklijn aan een cirkel – beweging van een punt in een assenstelsel beschrijven met vector(parameter)voorstelling – snelheid, snelheidsvector, raaklijn o vwo, wiskunde D: bewijzen in de vlakke meetkunde – vergelijkingen en parametervoorstellingen van vlakke krommen (met name kegelsneden), van ruimtekrommen en oppervlakken – meetkundige berekeningen in 3D

9

Informatie(data) analyse 







leerjaar 1 werken met eenvoudige data in tabelvorm – schema’s, grafen en tabellen – diagrammen (lijn, staaf, cirkel, steelblad) – frequenties, absoluut en relatief – gemiddelden leerjaar 2 frequentieverdeling – centrummaten (modus, mediaan, gemiddelde) – spreiding en spreidingsmaten (spreidingsbreedte, kwartielafstand) – boxplot – klassenindelingen leerjaar 3 herhaling voorgaande leerjaren – steekproeven – het begrip kans – kansen berekenen met behulp van wegendiagrammen en boomdiagrammen leerjaar 4 e.v. o havo, wiskunde A: werken met grotere databestanden – toepassen onderbouwkennis op grotere databestanden – meetniveaus – frequentieverdelingen typeren – de normale verdeling – vuistregels voor de normale verdeling – kansen/percentages bij de normale verdeling – steekproeven en steekproefproporties – betrouwbaarheidsintervallen – verschillen tussen statistische variabelen benoemen – samenhang tussen statistische variabelen benoemen, correlatiecoëfficiënt en regressielijn – werken met grotere datasets op de computer, praktische statistiek o havo, wiskunde B: geen o havo, wiskunde D: kansrekening (ook met toepassing van telsystemen), inclusief de regels voor de kansrekening en voorwaardelijke kansen – kansverdelingen, verwachting en standaardafwijking – discrete kansverdelingen (uniform, binomiaal, hypergeometrisch) – continue kansverdelingen (normaal) – hypothesen toetsen – correlatie en regressieanalyse – werken met grotere datasets op de computer, praktische statistiek o vwo, wiskunde A/C: kansrekening (ook met toepassing van telsystemen), inclusief de regels voor de kansrekening en voorwaardelijke kansen – kansverdelingen, verwachting en standaardafwijking, wortel-n-wet – discrete kansverdelingen (uniform, binomiaal) – continue kansverdelingen (normaal en hypergeometrisch) – hypothesen toetsen – schatten – correlatie en regressieanalyse – werken met grotere datasets op de computer, praktische statistiek o vwo, wiskunde B: geen o vwo, wiskunde D: als vwo, wiskunde A/C, maar formeler opgezet (bijvoorbeeld integraalrekening bij continue kansverdelingen), extra toetsen (tekentoets, Wilcoxontoets, chi-kwadraat-toets, et cetera)

Diversen  

vwo, wiskunde C: logica, logisch redeneren – waarheidstabellen, enzovoort vwo, wiskunde D: getaltheorie – eenvoudige bewijzen in de getaltheorie, volledige inductie – complexe getallen, complexe functies

Naast de verschillende domeinen vormen zaken als probleemaanpak en structuren herkennen eveneens een lange leerlijn. Tegenwoordig spelen wiskundige denkactiviteiten een rol in het wiskundeonderwijs. De meeste opgaven bij de contexten zijn voorbeelden van wiskundige denkactiviteiten. Op dit moment hebben wiskundige denkactiviteiten ook een plek gekregen in sommige opgaven van het basis- en het excellentniveau. Te denken valt aan opgaven waarin probleemaanpak en modelleren expliciet aan de orde komt, los van een specifiek hoofdstuk. (Zie ook www.math4all.nl bij Extra’s.)

10

Verschillen tussen havo en vwo De verschillen tussen havoleerlingen en vwo-leerlingen wordt in MathPlus onder andere vormgegeven door:  

  

Voor havo directer taalgebruik en kortere zinnen te gebruiken en voor vwo formeler taalgebruik en langere zinnen te accepteren. Voor havo geen twee vragen in één item te stellen, wat voor vwo wel regelmatig het geval is. Een vwo leerling krijgt de kans om de benodigde tussenstap zelf te bedenken terwijl de havo leerling in eerste instantie op weg geholpen wordt. Voor havo de opbouw langzamer te laten verlopen, minder concepten per uitleg. Voor havo de voorbeelden minder fragmentarisch te laten zijn. Voor havo de uitwerkingen waar nodig uitgebreider te maken.

Ook belangrijk zijn de verschillen tussen A/C-leerlingen en B/D-leerlingen. Dit geeft MathPlus vorm door:  

 

3

Voor A/C uitleg, vraagstelling en antwoorden/uitwerkingen in gewoon Nederlands versus meer formeel wiskundig taalgebruik voor B/D. Voor A/C geen ‘toon aan’ en ‘bewijs’, voor B/D (zeker voor vwo) gebruikt MathPlus dit wel. Daarbij zal zeker bij vwo B/D expliciet benoemd worden waar dieper gaande bewijzen nodig zijn als die niet kunnen worden gegeven. 3 MathPlus sluit aan bij de trefwoorden in de syllabi voor het C.E. MathPlus probeert de contexten voor havo A meer in maatschappelijk relevante zaken (soms ook natuurwetenschappelijk) te zoeken, voor vwo A in de maatschappelijke en natuurwetenschappelijke (met name in de gezondheidskunde/biologie) hoek, voor havo B in de technische en voor vwo B in de natuurwetenschappelijke en wetenschappelijk technische hoek.

https://www.hetcvte.nl/item/syllabi

11

Handleiding MathPlus applicatie Inloggen op de applicatie

Log in met uw Entree-account. -

Indien u reeds een Entree-account heeft, kunt u dit gebruiken. U logt in met uw account en activeert de licentie door de activatiecode in te voeren. Bij de eerste maal inloggen, dient u uw naam in te vullen plus een school aan te geven. Indien u naast een licentie voor de onderbouw ook een licentie voor de bovenbouw aanmaakt, dient u een tweede Entree-account aan te maken.

Indien u problemen ondervindt met inloggen, neemt u dan contact op met Floor Piscaer via [email protected] of via telefoonnummer 073 628 7487, 06 220 66 4642.

De werking van de MathPlus applicatie Na het inloggen komt u op de pagina met het hoofdstukkenoverzicht. De verschillende beschikbare hoofdstukken verschijnen onder elkaar. Rechts is het domein van het hoofdstuk weergegeven.

Elk hoofdstuk bestaat uit een aantal paragrafen. Als u daarop klikt, komt u op de paragraafopening. Daar ziet u de belangrijkste onderdelen van de methode: ‘Leren’ en ‘Verwerken’.

‘Leren’ is bedoeld om leerlingen met de stof kennis te laten maken en om de eerste opgaven bij de stof te maken. Er zijn twee ‘ingangen’: Uitleg en Voorbeelden, elk met opgaven. Vanaf leerjaar 3 vindt u rechtsboven op de pagina van de paragraaf nog ‘Theorie’. De in ‘Leren’ uiteengezette kennis wordt hier op een abstracter niveau samengevat. Als docent heeft u de regie en bepaalt u hoe de leerlingen met de stof werken. U legt bijvoorbeeld eerst zelf uit en geeft dan op welke opgaven de leerlingen moeten maken. U kunt er ook voor kiezen leerlingen zelfstandig door de stof te laten gaan. Leerlingen kunnen de antwoorden op de opgaven controleren met de antwoorden/uitwerkingen. Deze

12

worden zichtbaar als er op “bekijk antwoorden” is geklikt. Het voorbeeldantwoord wordt weergegeven in een groen vlak met een groen vinkje.

Er wordt niet bijgehouden of het antwoord goed of fout was; wel is voor de leerling zichtbaar of de opgave is gemaakt. U kunt dat als docent ook zien in het dashboard in de docentenlicentie; u kunt dan ook zelf het antwoord bekijken. ‘Verwerken’ is bedoeld voor het zelfstandig werken door de leerling. De leerling laat zien of hij de stof begrijpt. De computer stuurt het leren. Doel is dat de leerling de opgaven op het basisniveau (**) goed maakt. Daartoe kan hij direct op het basisniveau starten of eerst de instapopgaven (*) maken. De excellentopgave (***) wordt actief als het basisniveau goed is afgerond. Als een leerling start op het basisniveau, maar hij maakt de eerste opgave onvoldoende, dan worden de instapopgaven actief en moet hij die eerst maken voordat hij op het basisniveau terug kan keren. Elke opgave van het instap- en het basisniveau in Verwerken heeft een herkansingsopgave. Daarmee krijgt de leerling een tweede kans om aan te tonen dat hij de stof beheerst. Een leerling heeft de mogelijkheid Uitleg, Theorie of Voorbeelden te raadplegen in Verwerken. Door op de knoppen links van de opgave te klikken, kan de informatie uit Leren bekeken worden.

Score: wanneer is een opgave ‘goed’? De meeste opgaven in MathPlus kennen deelopgaven. De leerling moet 80% van de deelopgaven goed hebben, wil de opgave goed gerekend worden.

13

Vraagtypen in de MathPlus applicatie MathPlus maakt gebruik van verschillende typen opgaven. Open opgaven: het beantwoorden van een open vraag kan middels een invulveld in de applicatie. Soms zal de leerling (ook) gebruikmaken van een schrift of de grafische rekenmachine, bijvoorbeeld voor het plotten van een grafiek of het maken van een meetkundige tekening. In Leren kan de leerling na het invullen van alle deelopgaven middels de knop ‘Bekijk antwoorden’ onderaan de pagina zijn eigen antwoord vergelijken met het voorbeeldantwoord. In Verwerken moet een leerling eerst de antwoorden inleveren. Het is belangrijk dat u als docent leerlingen wegwijst maakt met het beoordelen van de eigen antwoorden. De antwoorden die de applicatie laat zien gelden als voorbeeldantwoord. Een anders geformuleerd antwoord betekent niet per definitie een foutief antwoord.

14

Gesloten opgaven (multiple choice): gesloten opgaven worden uitsluitend gebruikt als het antwoord op de vraag eenduidig is. De computer beoordeelt of de vraag goed of fout is beantwoord. Het juiste antwoord en de uitwerking zijn door leerlingen te raadplegen na het inleveren van het antwoord. Het komt regelmatig voor dat er bij een multiple choice opgave gevraagd wordt om een toelichting. In de applicatie kan deze toelichting, met ingang van schooljaar 2015-2016 nog niet worden ingevuld. Heeft een multiple choice opgave slechts één goed antwoord dan zijn de buttons rond. Moeten er meerdere goede antwoorden worden gegeven dan zijn deze vierkant.

15

AlgebraKIT opgaven: voor algebraïsche opgaven in MathPlus wordt AlgebraKIT gebruikt. In Leren kan een leerling daarbij hints opvragen en bekijken. Elke tussenstap in een berekening wordt afzonderlijk door het programma nagekeken. AlgebraKIT analyseert of de tussenstap wiskundig correct is. In Verwerken moeten leerlingen zelf aangeven wanneer de berekening is afgerond. Na het inleveren beoordeelt de computer of de opgave goed is beantwoord/uitgewerkt. Uitwerkingen van leerlingen blijven bewaard en kunnen later geraadpleegd worden. Een AlgebraKIT opgave kunt u herkennen aan de knoppen +1 en het lampje rechts van het invulveld. Wilt u een tussenstap inleveren, druk dan op enter of op +1. Wilt u een hint opvragen, klik dan op het lampje. Bekijk ook de uitgebreidere instructie bij AlgebraKIT op pagina 18.

16

De toetsenborden van MathPlus Laptop of desktop: bij het maken van opgaven kunt u gebruikmaken van de speciale toetsen die bij de opgave worden weergegeven. Onder de meest rechtse knop vindt u meer symbolen.

Naast deze toetsen kunt u gebruikmaken van uw reguliere toetsenbord. Enkele veel gebruikte sneltoetsen zijn: deelstreep: “ / ” macht: “ ^… ” vermenigvuldigingsteken: “ * ” Let op: het is belangrijk dat de cursor zich op de juiste plek bevindt als u typt of sneltoetsen gebruikt. U kunt de cursor verplaatsen met de pijltjes op uw toetsenbord of middels uw muis. iPad: voor de iPad is een speciaal toetsenbord ontwikkeld. Dit toetsenbord verschijnt automatisch als u de cursor plaatst op een opgave.

Ontwikkeling van de MathPlus applicatie De komende tijd zal de applicatie verder ontwikkeld worden. Een aantal onderdelen van de methode hebben met de ingang van schooljaar 2015-2016 nog geen plek in de applicatie. Daarom kunt u onderstaande informatie en materialen terugvinden in het docentenmateriaal: - Contexten met opgaven en uitwerkingen (twee per hoofdstuk) - Voorbeeld eindtoets (een per hoofdstuk) - Werkbladen (per hoofdstuk in de onderbouw) - Leerdoelen (per paragraaf, de leerdoelen vindt u in de docentenhandleiding) Ook als de methode eenmaal in de praktijk wordt gebruikt, zal de applicatie – in overleg met gebruikers van MathPlus – worden doorontwikkeld. Voor de actuele stand van zaken en opmerkingen met betrekking tot specifieke hoofdstukken kunt u het document MathPlus digitaal raadplegen. U vindt dit document bij het docentenmateriaal.

17

AlgebraKIT Een deel van de antwoorden die de leerling invoert kan automatisch worden nagekeken. MathPlus maakt gebruik van AlgebraKIT om automatisch na te kijken. Aan automatisch nakijken zitten beperkingen. Hier wordt beschreven hoe het automatisch nakijken wordt gedaan. Verder wordt een aantal beperkingen aangegeven. Herkennen van opgaven die automatisch worden nagekeken met AlgebraKIT Bij een deel van de opgaven verschijnt het volgende antwoordvak:

Dit antwoordvak is te herkennen aan de +1 aan de rechterkant. Dit antwoordvak is gekoppeld aan AlgebraKIT.

Invoeren van het antwoord Bij het invoeren van antwoorden bij automatisch na te kijken vragen mag geen aanvullende tekst worden opgenomen. AlgebraKIT kijkt alleen wiskundige uitdrukkingen na. Klik na elk ingevoerde tussenstap op +1 of druk op enter. AlgebraKIT kan niet meerdere tussenstappen in een keer nakijken. Dit betekent dat doorschrijven niet wordt goedgerekend. Voor de invoer van wiskundige uitdrukkingen zijn verscheidene knoppen beschikbaar in de bovenregel. Nog meer knoppen worden zichtbaar wanneer op de rechtse van deze knoppen wordt geklikt.

Herkennen dat het gewenste antwoord is gegeven in Leren Na het invoeren van een eerste stap laat AlgebraKit zien of deze stap goed is. Leerlingen krijgen de kans zichzelf te verbeteren.

18

Hier zie je een voorbeeld van een opgave waarop het gewenste antwoord is gegeven en een voorbeeld van een vraag waarop het gewenste antwoord nog niet is gegeven. Wanneer de leerling het gewenste antwoord heeft gegeven, verschijnt er dus geen nieuw antwoordvak meer.

Aangeven dat het antwoord is gegeven in Verwerken In Verwerken geeft de computer niet aan wanneer een leerling klaar is met de opgave. Ook tussenstappen worden niet direct nagekeken. Een leerling moet zelf aangeven wanneer hij/zij denkt klaar te zijn. Zodra er op enter of +1 is geklikt, verschijnt er automatisch een nieuw invoerveld. Met de knop ‘klaar’ geef je aan dat je eindantwoord gegeven is.

Kopiëren van het vorige antwoord om dit te wijzigen Vaak is het handig om het vorige antwoord te kunnen wijzigen. Dit kan door het vorige antwoord te kopiëren naar de antwoordregel. Klik daarvoor op de regel van het vorige antwoord (dus ook op de kopieerknop aan de rechterkant). Daarna kun je het antwoord wijzigen.

19

Hoe werkt AlgebraKIT? AlgebraKIT genereert bij een gegeven opgave en een gegeven gewenst antwoord een uitwerking in stappen. AlgebraKIT is dus GEEN database met uitwerkingen van (geparametriseerde) opgaven. Bij elk antwoord voert AlgebraKIT twee bewerkingen uit: - AlgebraKIT controleert of het gegeven antwoord wiskundig gelijk is aan het gewenste antwoord. Als dat zo is, wordt het antwoord goedgekeurd. En anders niet. - AlgebraKIT genereert een uitwerking in stappen van het gegeven antwoord naar het gewenste antwoord en genereert een hint voor de volgende stap. Dit betekent dat AlgebraKIT niet kijkt of het gegeven antwoord een stap is naar het gewenste antwoord. Het kan dus zijn dat het antwoord goedgekeurd wordt, terwijl het niet de route is naar het gewenste antwoord. De hint die op verzoek wordt gegeven in Leren is wel een mogelijke stap in de richting van het gewenste antwoord. Bij het automatisch uitwerken van opgaven worden onder andere de volgende regels gehanteerd: - Getallen onder wortels worden niet ontbonden, zodat kwadraten eruit (kunnen) worden gehaald. Dus √8 en niet 2√2. - Doorschrijven wordt (nog) niet goed gerekend. Dus x(x-1)+x=x^2-x+x = x^2 wordt niet goed gerekend. - De wisseleigenschap wordt niet als aparte stap opgenomen (maar toepassing ervan wordt uiteraard wel goedgekeurd).

20

Docentenhandleiding: Rekenen Instaptoets Benodigde voorkennis: - het schatten van maten in het dagelijks leven; - handig rekenen met gehele en positieve getallen; - vereenvoudigen van breuken; - het gemiddelde berekenen. Leerdoelen per paragraaf Paragraaf 1: Decimale getallen In deze paragraaf leer je:  onderscheid maken tussen getallen en cijfers;  de waarde van cijfers in een getal bepalen;  getallen op een getallenlijn plaatsen;  getallen met elkaar vergelijken en hier de juiste symbolen voor gebruiken;  rekenen met decimale getallen. Paragraaf 2: Deelbaarheid In deze paragraaf leer je:  eigenschappen van getallen – zoals veelvoud, deelbaarheid en priemgetal – herkennen;  ontbinden in priemfactoren;  de grootste gemene deler van getallen berekenen;  het kleinste gemene veelvoud van getallen berekenen. Paragraaf 3: Breuken optellen en aftrekken In deze paragraaf leer je:  de begrippen teller, noemer en breuk gebruiken;  breuken vereenvoudigen, optellen en aftrekken;  breuken vergelijken;  een breuk omzetten in een decimaal getal. Paragraaf 4: Breuken vermenigvuldigen en delen In deze paragraaf leer je:  breuken vermenigvuldigen;  breuken delen. Paragraaf 5: Afronden en schatten In deze paragraaf leer je:  getallen afronden en/of de orde van grootte ervan aangeven;  uitkomsten schatten. Paragraaf 6: Machten In deze paragraaf leer je:  de begrippen macht, grondtal en exponent gebruiken;  rekenregels met machten gebruiken;  volgorde van bewerkingen gebruiken.

21

Opgaven

4

Paragraaf 1 Decimale getallen

instap Uitleg 1 Uitleg 2 Uitleg 3 Voorbeeld 1 Voorbeeld 2 Voorbeeld 3 Verwerken

Deelbaarheid

Breuken optellen en aftrekken

21

5

1

3 4 3 4 4 3 2

5

1

23

5

1

Uitleg 1

4

1

Uitleg 2 Voorbeeld 1 Voorbeeld 2 Voorbeeld 3 Voorbeeld 4 Verwerken

2 3 3 2 2 4

1

1 4

1

20

7

1

3 2

1

21

5

1

3 2 2 3 45

2 3 1 2 3

1

15

12

1

Uitleg 1 Uitleg 2 Uitleg 3 Voorbeeld 1 Voorbeeld 2 Voorbeeld 3 Verwerken

Totaal 4

Breuken vermenigvuldigen en delen

Uitleg 1

3

Uitleg 2 Uitleg 3 Voorbeeld 1 Voorbeeld 2 Voorbeeld 3 Verwerken Test jezelf

2 3 4 2 3 4

Totaal 5

Afronden en schatten

Totaal

4

1

1

Totaal 3

excellent

4

Totaal 2

basis 4 4 2 4 3 2 2

Uitleg 1 Uitleg 2 Voorbeeld 1 Voorbeeld 2 Verwerken

27

29

28

27

28

Verwerkingsopgaven van het instap- en basisniveau hebben altijd een herkansingsopgave.

22

6

Machten

Uitleg 1 Uitleg 2 Voorbeeld 1 Verwerken

Totaal

2 2 1 3

1 2 4

1

8

7

1

2

16

Applets Paragraaf 1, Uitleg 2: Deze applet geeft een rode punt op de getallenlijn weer. Deze rode punt kan over de getallenlijn worden geschoven. Onder de getallenlijn is in twee decimalen nauwkeurig zichtbaar welk getal de rode punt vertegenwoordigt. Op deze manier wordt inzichtelijk waar decimale getallen op de getallenlijn liggen en kan onderzocht worden hoe decimale getallen zich tot elkaar verhouden. Paragraaf 1, Voorbeeld 2: De applet is dezelfde als in Uitleg 2 (zie hierboven). Hier wordt de applet gebruikt om te bepalen welk van twee getallen groter is. Practica Er komen geen practica voor in dit hoofdstuk. Rekenmachine De instaptoets moet zonder rekenmachine gemaakt worden. In de paragrafen wordt uitgelegd hoe opgaven met de hand gemaakt kunnen worden maar ook met de rekenmachine. Bij een aantal opgaven wordt expliciet gevraagd een rekenmachine te gebruiken, in de meeste gevallen nadat de opgave handmatig is opgelost. Bij een aantal andere opgaven wordt expliciet aangegeven dat er geen rekenmachine gebruikt mag worden. Voor de overige opgaven geldt dat een rekenmachine gebruikt mag worden, maar dat leerlingen gestimuleerd mogen worden zo veel mogelijk zonder rekenmachine te doen. Excel Er zijn geen opgaven waar gebruikgemaakt wordt van Excel. Misvattingen en veelgemaakte fouten Bij het rekenen met decimale getallen kan het voor leerlingen lastig zijn om te werken met decimale getallen met een verschillend aantal cijfers, zoals 3,13 en 3,2. Attendeer leerlingen op de waarde van elk cijfer afhankelijk van de plek in het getal. In Uitleg 1 van paragraaf 1 wordt hier aandacht aan besteed. In de paragraaf Schatten en afronden is het belangrijk stil te staan bij de praktijk waarbinnen wordt afgerond. Leerlingen moeten hier wiskundige regels met alledaagse werkelijkheid combineren. In de paragraaf Machten is het belangrijk aandacht te besteden aan de rekenregels. Deze zullen de leerlingen ook in volgende hoofdstukken vaak nodig hebben. Let op: in dit hoofdstuk wordt gebruik gemaakt van het overstrepen van de periode van repeterende decimale getallen. Leerlingen kennen deze notatie niet maar hoeven hier ook geen aandacht aan te besteden. Ze kunnen deze getallen behandelen als anderen. MathPlus heeft gekozen om de notatie wel te gebruiken zodat leerlingen hier alvast aan kunnen wennen. Differentiatie In het hoofdstuk Rekenen zijn de leerdoelen voor leerlingen van de havo en het vwo gelijk. In het hoofdstuk voor vwo-leerlingen is meer ruimte voor extra uitdaging. Hier staan extra excellent opgaven in en verhoudingsgewijs meer opgaven van het basisniveau. Voor havo-leerlingen is een extra uitleg opgenomen over het vermenigvuldigen van breuken.

23

Lesplanner Een deel van de stof die in dit hoofdstuk behandeld wordt, is herhaling van de basisschool. Echter, In praktisch alle paragrafen zal dieper op de stof worden ingegaan dan de leerlingen van de basisschool gewend zijn. Paragraaf 2 (Deelbaarheid) en paragraaf 6 (Machten) bevatten een voor de leerling nieuw concept. Paragraaf 2 bevat daarbij ook uitgebreide berekeningen, daarom wordt daar 150 minuten voor uitgetrokken. Paragraaf 6 bevat minder opgaven die, als het concept eenmaal duidelijk is, snel gemaakt kunnen worden. Deze paragraaf kan in 100 minuten behandeld worden. Indien er weinig tijd beschikbaar is, staan in de tabel hieronder de meest essentiële opgaven. Paragraaf 1

Decimale getallen

Benodigde tijdsduur (in min) 50

2

Deelbaarheid

150

3

Breuken optellen en aftrekken

50

4

Breuken vermenigvuldigen en delen

75

5

Schatten en afronden

50

6

Machten

100

Totaal

475

Essentiële opgaven Uitleg 1: 1, 2 Uitleg 2: 1, 2, 4 Uitleg 3: 1, 2 Voorbeeld 1: 1, 2 Voorbeeld 2: 1, 2 Voorbeeld 3: 2 Verwerken: 2, 4, 5, 6 Uitleg 1: 2, 3 Uitleg 2: 2, 3 Uitleg 3: 1, 2, 3 Voorbeeld 1: 3 Voorbeeld 2: 2 Voorbeeld 3: 2 Verwerken: 1, 2, 3, 5, 7 Uitleg 1: 1, 2, 4, 5 Uitleg 2: 1, 2 Voorbeeld 1: 2, 3 Voorbeeld 2: 1, 2 Voorbeeld 3: 1 Voorbeeld 4: 2, 3 Verwerken: 1, 4, 5, 6, 7, 8 Uitleg 1: 1 Uitleg 2: 1, 2 Uitleg 3: 1, 2 Voorbeeld 1: 2, 3, 4 Voorbeeld 2: 1, 2 Voorbeeld 3: 2, 3 Verwerken: 1, 3, 4, 5, 6, 7 Uitleg 1: 2, 4, 5 Uitleg 2: 2, 4, 5 Voorbeeld 1: 2, 3 Voorbeeld 2: 1, 2, 4 Verwerken: 1, 3, 4, 6, 7, 8 Uitleg 1: 2, 3 Uitleg 2: 2 Voorbeeld 1: 1, 3 Verwerken: 2, 3, 5, 6, 7

24

Docentenhandleiding: Figuren Instaptoets Benodigde voorkennis: - het kunnen meten van een lijnstuk; - het kunnen werken met lengtematen in dagelijkse situaties; - het gebruiken van schaal in een tekening; - het herkennen van de vlakke figuren: vierkant, driehoek, cirkel en rechthoek. Leerdoelen per paragraaf Paragraaf 1: Lijn, lijnstuk, punt In deze paragraaf leer je:  onderscheid maken tussen een lijn, een lijnstuk en een punt;  de ligging van lijnen ten opzichte van elkaar beschrijven met de begrippen: snijdend, snijpunt, loodrecht en evenwijdig;  het tekenen van evenwijdige en loodrecht op elkaar staande lijnen. Paragraaf 2: Afstanden In deze paragraaf leer je:  wiskundige afstanden correct meten;  afstanden op kaartjes meten en omrekenen naar de werkelijkheid. Paragraaf 3: Passer en cirkel In deze paragraaf leer je:  de diameter en de straal van een cirkel bepalen;  cirkels tekenen met een passer, op basis van de straal of de diameter;  afstanden bepalen door gebruik te maken van eigenschappen van cirkels. Paragraaf 4: Vlakke figuren In deze paragraaf leer je:  een aantal soorten vlakke figuren herkennen;  kennismaken met een aantal kenmerken van vlakke figuren;  diagonalen in een veelhoek tekenen;  op papier een driehoek construeren. Paragraaf 5: Kijklijnen In deze paragraaf leer je:  kijklijnen tekenen;  met behulp van kijklijnen bepalen of je dingen kunt zien;  met behulp van kijklijnen je positie bepalen. Paragraaf 6: Coördinaten In deze paragraaf leer je:  punten tekenen in een assenstelsel met x-as, y-as en oorsprong;  hoe je een punt in een assenstelsel kunt aangeven met behulp van coördinaten;  wanneer een punt in een assenstelsel een roosterpunt is;  een veelhoek in een assenstelsel tekenen.

25

Opgaven

1

5

Paragraaf Lijn, lijnstuk, punt

Instap Uitleg 1 Uitleg 2 Voorbeeld 1 Voorbeeld 2 Verwerken

Totaal 2

Afstanden

Uitleg Voorbeeld 1 Voorbeeld 2 Verwerken

Totaal 3

Passer en cirkel


Totaal 4

Vlakke figuren


Totaal 5

Kijklijnen


Totaal 6

Coördinaten

Totaal

5

Uitleg Voorbeeld 1 Voorbeeld 2 Voorbeeld 3 Verwerken

basis

excellent

1 2 1 2 2

2 1 1 4

1

8

8

1

5 2 1 3

1 4

1

12

5

1

3 1 1 2

3 1 4

1

7

8

1

2 2 3 3

1 1 1 2 4

1

10

9

1

1 3 1 3

1 1 3

1

8

5

1

3 3 1 2 3

1 1 1 4

1

12

7

1

17

18

16

20

14

20


26

Applets Paragraaf 1, Uitleg 1: De applet heeft als doel het verschil tussen een punt en een lijn aan de leerling te verduidelijken. De leerling ziet dat een punt op een lijn kan liggen. Er is een lijn l en een punt A te zien. Lijn l en punt A kunnen verschoven worden. Zo kan punt A boven, onder of op lijn l gelegd worden. Paragraaf 1, Uitleg 1: De applet maakt inzichtelijk wat het snijpunt van twee lijnen is en hoe het snijpunt bepaald wordt door de positie van de twee lijnen. De applet geeft twee snijdende lijnen l en m weer. Op lijn m ligt lijnstuk AB. Snijpunt S geeft het snijpunt van lijn l en m weer. De punten A en B evenals lijn l kunnen verschoven worden. Paragraaf 2, Uitleg: De applet bestaat uit lijn l, punt C, en punt S op lijn l. Lijnstuk CS is te zien met de bijbehorende afstand tussen beide punten. Een gestippelde loodlijn door punt C op lijn l geeft de kortste afstand van punt C tot lijn l weer. In de applet kan lijn l van boven naar beneden verschoven worden, punten C en S kunnen vrij verschoven worden. Met behulp van de applet kan de leerling onderzoeken dat de afstand van punt C tot lijn l het kortst is als gemeten wordt via de gestippelde loodlijn. Op het moment dat punt S over lijn l verplaatst wordt, ziet de leerling de afstand steeds groter worden naarmate verder van de loodlijn afgegaan wordt. Paragraaf 2, Uitleg, opgave 1: De opgave bevat een applet waarin een lijnstuk AB te zien is. De afstand tussen A en B is gegeven. Door punt A of punt B te verplaatsen kan met de afstand gevarieerd worden. In de opgave wordt gevraagd om punt A en punt B 3 cm uit elkaar te plaatsen. Hierbij wordt duidelijk dat de afstand gemeten wordt door het rechte lijnstuk tussen de twee punten te meten. Paragraaf 2, Voorbeeld 1: In het voorbeeld wordt het meten van de afstand tussen twee evenwijdige lijnen behandeld. De applet geeft de evenwijdige lijnen l en m weer. Punt A ligt op lijn m, punt B ligt op lijn l. De lijn door de punten A en B vormt de loodlijn op lijnen l en m. Lijnstuk AB geeft de kortste afstand tussen beide lijnen weer. Bij lijnstuk AB is de afstand gegeven. In de applet is het mogelijk lijn l en m te verplaatsen. Ook punt A kan verplaatst worden. De applet maakt inzichtelijk dat ongeacht de plek van de loodlijn op l en m, de afstand van de loodlijn tussen de twee snijpunten de afstand tussen lijn l en m geeft. Paragraaf 3, Uitleg: De applet gaat over de straal van een cirkel. In de applet staat een cirkel met middelpunt M . Lijnstuk AB is een middellijn van de cirkel. Bij lijnstuk AM is de afstand gegeven. Punt A en punt M kunnen verplaatst worden. Op deze manier kan de grootte van de cirkel veranderd worden. De afstand van de straal wordt hiermee aangepast. Voor leerlingen wordt het inzichtelijk gemaakt dat de straal van de cirkel afhankelijk is van de grootte van de cirkel. Ook zien ze dat de straal gemeten wordt van het middelpunt tot een willekeurig punt op de cirkel. Paragraaf 4, Uitleg 2, opgave 3: De opgave gaat over vervormen van een vlieger tot andere vlakke figuren. In de applet staat een vlieger ABCD, waarbij de diagonalen gestippeld zijn weergegeven. Hoekpunt B, C en D zijn te bewegen. De zijden AB en AD blijven even lang, evenals BC en CD. Met deze opgave, inclusief applet, wordt inzichtelijk gemaakt dat bij bepaalde specifieke eigenschappen van de vlieger, de vlieger ook een ruit of een vierkant is, maar bijvoorbeeld geen rechthoek. Paragraaf 4, herkansingsopgave 7: In deze opgave is een trapezium ABCD gegeven. De leerling moet onderzoeken in welke andere vierhoeken het trapezium omgevormd kan worden als alle punten behalve punt A kunnen worden verplaatst. Zijden AB en CD zijn altijd evenwijdig. Paragraaf 6, Uitleg: De applet gaat over de coördinaten van een punt in een assenstelsel. De leerling ziet een assenstelsel (met positieve assen), waarin punt A getekend is. Bij punt A staan de coördinaten geschreven. Punt A is te verplaatsen, waarbij de coördinaten mee veranderen. Op deze manier kan de leerling snel zien wat er met de coördinaten gebeurt als je een punt opzij, omhoog of omlaag verplaatst. In opgave 1 kan de leerling met behulp van de applet punt A naar verschillende gegeven coördinaten verschuiven.

27

Practica Er komen geen practica voor in dit hoofdstuk. Rekenmachine Het gebruik van een rekenmachine is in dit hoofdstuk toegestaan. Een leerling zal waarschijnlijk maar weinig van de rekenmachine gebruik hoeven te maken. Excel Er zijn geen opgaven waar gebruikgemaakt wordt van Excel. Misvattingen en veelgemaakte fouten Voor leerlingen is dit hoofdstuk een eerste kennismaking met de wiskundige begrippen lijn, lijnstuk, punt, afstand enzovoort. Bij het gebruik van deze begrippen en de notatie in een specifieke situatie, is nauwkeurigheid vereist. Het is belangrijk om hier vanaf het start van het schooljaar alert op te zijn aangezien zorgvuldigheid in de wiskunde vaker zal worden verlangd van leerlingen. In paragraaf 2 is het belang dat leerlingen de noodzaak zien van het gebruik van een loodlijn om de wiskundige afstand te bepalen. Verder diept deze paragraaf het begrip wiskundige afstand verder uit door het contrast met dagelijkse afstanden te schetsen. In paragraaf 3 wordt de constructie van een loodlijn met passer en liniaal geïntroduceerd. Voorbeeld 1 bevat een stappenplan voor leerlingen om zelf een loodlijn te construeren. Om het wiskundige begrip cirkel verder toe te lichten is het goed naar de opgedane kennis van de voorgaande paragraaf te verwijzen. Zo kan een cirkel gedefinieerd worden als punten die zich op gelijke afstand van het middelpunt bevinden. In paragraaf 4 maken leerlingen kennis met eigenschappen van vlakke figuren. In veel gevallen zullen de vlakke figuren al bekend zijn van de basisschool. In Uitleg 2 worden de verschillende eigenschappen opgesomd. Leerlingen kunnen moeite hebben om met deze eigenschappen te redeneren. Voor het kunnen beredeneren hebben de leerlingen namelijk parate kennis nodig. Paragraaf 5 kan een uitdaging vormen voor leerlingen met een beperkt ruimtelijk inzicht. Eventueel kunnen bepaalde situaties inzichtelijk gemaakt worden door gebruik te maken van tastbare kubussen, balken en piramides. In paragraaf 6 wordt het gebruik van coördinaten geïntroduceerd. Mochten leerlingen moeite hebben met de plaatsbepaling in een assenstelsel dan kan er bijvoorbeeld eerst gekeken worden naar de manier waarop dit op een schaakbord of een landkaart gebeurt.

Differentiatie De leerdoelen voor havo en vwo zijn in dit hoofdstuk gelijk. Het te behalen niveau is gelijk tussen beide niveaus. Voor de havo zijn extra voorbeelden opgenomen waarbij de te leren stof wordt gekoppeld aan een tastbare en herkenbaardere wereld. In het onderdeel Leren zijn extra opgaven opgenomen waarbij de leerling de kennis moet reproduceren. Zo krijgen leerlingen de kans te toetsen of ze de Uitleg en Voorbeelden afdoende begrepen hebben. Daarnaast zijn meer opgaven opgenomen waardoor de leerling aangeleerd krijgt om bepaalde denkstappen te volgen. Voor het vwo daarentegen, is meer uitdaging opgenomen in het onderdeel Leren. Leerlingen krijgen de kans zelf te onderzoeken en te ontdekken.

28

Lesplanner De paragrafen in dit hoofdstuk hebben niet zo veel opgaven. Sommige opgaven vergen wat tijd door de tekeningen die gemaakt moeten worden. Voor alle paragrafen wordt geadviseerd 75 minuten uit te trekken. Dan is er ook ruimte om aandacht te besteden aan de wiskundige notatie. Indien er weinig tijd beschikbaar is, staan in de tabel hieronder de meest essentiële opgaven. Paragraaf 1

Lijn, lijnstuk, punt


2

Afstanden

75

3

Passer en cirkel

75

4

Vlakke figuren

75

5

Kijklijnen

75

6

Coördinaten

75

Totaal

450

Essentiële opgaven Uitleg 1: 1, 2 Uitleg 2: 2, 3 Voorbeeld 2: 1, 3 Verwerken: 2, 3, 4, 5, 6 Uitleg: 1, 2, 3 Voorbeeld 1: 1, 2 Voorbeeld 2: 1, 2 Verwerken: 1, 2, 3, 6, 7 Uitleg: 1, 2 Voorbeeld 1: 3, 4 Voorbeeld 2: 1, 2 Verwerken: 1, 2, 5, 6 Uitleg 1: 2, 3 Uitleg 2: 1, 2 Voorbeeld 1: 2, 4 Voorbeeld 2: 1, 2 Verwerken: 1, 3, 4, 7, 8 Uitleg: 1 Voorbeeld 1: 2, 3 Voorbeeld 2: 1, 2 Verwerken: 1, 2, 3, 5, 7 Uitleg: 3, 4 Voorbeeld 1: 2, 3 Voorbeeld 2: 1, 2 Voorbeeld 3: 2 Verwerken: 2, 3, 6, 7

.

29

Docentenhandleiding: Ruimtelijke figuren Instaptoets Benodigde voorkennis: - het kunnen herkennen van een aantal soorten vlakke figuren. - het kunnen toepassen van een aantal kenmerken van vlakke figuren. - het kunnen beschrijven van lijnen ten opzichte van elkaar met de begrippen: snijdend, snijpunt, loodrecht en evenwijdig. - gebruik kunnen maken van een aantal eigenschappen van cirkels. - wiskundige afstanden correct meten.

Leerdoelen per paragraaf Paragraaf 1: Ruimtelijke figuren In deze paragraaf leer je:  ruimtelijke figuren herkennen en benoemen;  ervaringen opdoen met de grensvlakken van ruimtelijke figuren. Paragraaf 2: Grensvlakken, ribben In deze paragraaf leer je:  hoekpunten, grensvlakken en ribben van ruimtelijke figuren herkennen en benoemen;  het aantal hoekpunten, grensvlakken en ribben van ruimtelijke figuren berekenen. Paragraaf 3: Ruimtelijk tekenen In deze paragraaf leer je:  ruimtelijke figuren op roosterpapier tekenen;  informatie over ruimtelijke figuren aflezen uit een tekening op roosterpapier. Paragraaf 4: Uitslagen In deze paragraaf leer je:  uitslagen van ruimtelijke figuren herkennen en/of beoordelen op juistheid;  correcte uitslagen van ruimtelijke figuren maken;  ruimtelijke figuren bouwen met behulp van bouwplaten. Paragraaf 5: Aanzichten In deze paragraaf leer je:  aanzichten van een figuur tekenen;  vanuit gegeven aanzichten een figuur herkennen en andersom;  de ribbe van een ruimtelijke figuur opmeten in een daarvoor geschikt aanzicht;  vanuit een drie-aanzicht van een figuur een uitslag tekenen en andersom. Paragraaf 6: Diagonaalvlakken In deze paragraaf leer je:  (lichaams)diagonalen en diagonaalvlakken in ruimtelijke figuren herkennen en benoemen;  (lichaams)diagonalen en diagonaalvlakken op ware grootte tekenen.

30

Opgaven

6

Paragraaf 1 Ruimtelijke figuren

instap Uitleg 1 Uitleg 2 Uitleg 3 Voorbeeld 1 Verwerken

Totaal 2

Grensvlakken, ribben

Uitleg Voorbeeld 1 Verwerken

Totaal 3

Ruimtelijk tekenen


Totaal 4

Uitslagen

Uitleg 1 Voorbeeld 1 Voorbeeld 2 Verwerken

Totaal 5

Aanzichten


Totaal 6

Diagonaalvlakken

Totaal

6


basis

excellent

4 3 2 3 3

1

3

1

15

4

1

3 1 2

3 1 4

1

6

8

1

2 2 1 3

1 2 3

1

8

6

1

1 2 3 2

1 1 4

1

8

6

1

20

15

15

15

1 3 2 1 2

1 4

1

6

8

1

2 2

2 3 2 5

1

6

12

1

2 1

15

19


31

Applets Er komen geen applets voor in dit hoofdstuk. Practica Er komen geen practica voor in dit hoofdstuk. Rekenmachine Het gebruik van een rekenmachine is in dit hoofdstuk toegestaan. Het grootste deel van de opgaven kan zonder rekenmachine gemaakt worden. Excel Er zijn geen opgaven waar gebruikgemaakt wordt van Excel. Misvattingen en veelgemaakte fouten Bij dit hoofdstuk is het belangrijk om aandacht te besteden aan de letternotatie van de ruimtelijke figuren. Het is voor de vervolghoofdstukken belangrijk dat leerlingen weten hoe de volgorde van de letters genoteerd wordt. Van leerlingen vergt dit een zorgvuldigheid die in sommige gevallen gestimuleerd moet worden. Verder kan dit hoofdstuk lastig zijn voor leerlingen die moeite hebben met ruimtelijk inzicht. Zij kunnen moeite hebben zich ruimtelijke figuren voor te stellen waardoor eigenschappen van deze figuren moeilijk te bevatten zijn. Dit kan onder andere problemen veroorzaken bij het tekenen van ruimtelijke figuren, aanzichten en uitslagen. Ook het beoordelen van uitslagen kan voor hen lastig zijn. Het is belangrijk deze leerlingen veel oefening te bieden als ze vastlopen. Differentiatie De leerdoelen voor havo en vwo zijn gelijk. Dit betekent dat ook het basisniveau van beide stromingen hetzelfde is. Voor de havo zijn meer opgaven opgenomen waarbij leerlingen de stof moeten reproduceren. In de paragraaf Aanzichten is er voor havoleerlingen een extra voorbeeld opgenomen waarin uitgebreid wordt ingegaan op het bepalen van een situatie naar aanleiding van verschillende aanzichten die de leerlingen met elkaar moeten combineren om tot het goede antwoord te komen. Voor het vwo ontbreekt dit voorbeeld en kunnen leerlingen zelf puzzelen om tot het goede antwoord te komen. Zoals u weet kunnen leerlingen, indien dit niet in een keer lukt, altijd een herkansing doen door middel van de herkansingsopgave in Verwerken.

32

Lesplanner Paragraaf 1 bevat vooral korte opgaven en kan daarom in 50 minuten gemaakt worden. De tweede paragraaf bevat iets complexere opgaven waarbij ook wat gerekend moet worden. Hier wordt 75 minuten voor geadviseerd. Paragraaf 3, 4 en 5 bevatten veel tekenwerk. Dit is nogal tijdrovend. Geadviseerd wordt hier 75 minuten aan te besteden; de leerlingen zullen langere tijd aan huiswerk moeten besteden. Paragraaf 6 is verreweg de lastigste paragraaf van het hoofdstuk. Ook hierbij moet veel getekend worden. Daarom wordt geadviseerd daar 100 minuten voor uit te trekken. Indien er weinig tijd beschikbaar is, staan in de tabel de meest essentiële opgaven vermeld. Paragraaf 1 Ruimtelijke figuren


2

Grensvlakken, ribben

75

3

Ruimtelijk tekenen

75

4

Uitslagen

75

5

Aanzichten

75

6

Diagonaalvlakken

100

Totaal

450

Essentiële opgaven Uitleg 1: 1, 3, 4 Uitleg 2: 1 Uitleg 3: 1, 2 Voorbeeld 1: 1, 3 Verwerken: 1, 2, 3, 5, 6 Uitleg: 1, 2, 4, 5 Voorbeeld 1: 1, 2 Verwerken: 1, 2, 3, 4, 5 Uitleg: 1, 2 Voorbeeld 1: 1, 2 Voorbeeld 2: 1, 2, 3 Verwerken: 1, 2, 4, 5, 6 Uitleg 1: 1 Voorbeeld 1: 1, 2 Voorbeeld 2: 2, 3 Verwerken: 1, 2, 3, 5, 6 Uitleg: 1 Uitleg 2: 1, 3 Voorbeeld 1: 1, 2 Voorbeeld 2: 1 Verwerken: 1, 2, 4, 5 Uitleg: 1, 2, 3, 4 Voorbeeld 1: 1, 2, 3 Voorbeeld 2: 1, 3, 4 Verwerken: 1, 2, 4, 5, 7

33

Docentenhandleiding MathPlus

Recommend Documents