Dag van wiskunde. Zaterdag 17 november Werkwinkel 6: analytische meetkunde in tweede en derde graad

Dag van wiskunde Zaterdag 17 november 2007 Werkwinkel 6: analytische meetkunde in tweede en derde graad

Inhoudstafel pagina 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

Verticale samenhang leerinhouden Zwaartepunt van een driehoek → werken met formule? Afstand van een punt tot een rechte → werken met parametervoorstelling? Inspiratie uit wiskunde-olympiades Meetkundige problemen analytisch oplossen Van goniometrische getallen naar analytische meetkunde Meetkundige plaatsen

Analytische Meetkunde – Luc De Wilde

2–4 5 6-7 8-10 11-20 21-22 23-32

1

1. Analytische Meetkunde van het vlak: tweede-derde graad ASO-KSO-TSO 1ste graad A-stroom→ A.M. 2de graad: 1ste leerjaar: punten in het vlak door middel van coördinaten bepalen in het vlak evenwijdige, snijdende en loodrechte rechten herkennen en definiëren eigenschappen in verband met evenwijdigheid en loodrechte stand van rechten verwoorden de afstand van een punt tot een rechte definiëren de middelloodlijn van een lijnstuk en de bissectrice van een hoek definiëren en tekenen met behulp van een geodriehoek - een hoogtelijn en een zwaartelijn van een driehoek definiëren - hoogtelijnen en zwaartelijnen in een driehoek tekenen met behulp van een geodriehoek - straal, middellijn, koorde en middelpuntshoek in een cirkel herkennen en tekenen -

2de leerjaar – leerplan a - het kenmerk van de middelloodlijn van een lijnstuk verwoorden - de eigenschap van de middelloodlijn van een lijnstuk bewijzen alsook de omgekeerde van deze eigenschap bewijzen - het kenmerk van de bissectrices van een paar snijdende rechten verwoorden - de eigenschap van de bissectrices van een paar snijdende rechten bewijzen alsook de omgekeerde van deze eigenschap bewijzen - de middelloodlijn van een lijnstuk en de bissectrice van een hoek construeren met behulp van de passer

2de leerjaar – leerplan b - het kenmerk van de middelloodlijn van een lijnstuk verwoorden - het kenmerk van de bissectrices van een paar snijdende rechten verwoorden - de middelloodlijn van een lijnstuk en de bissectrice van een hoek construeren met behulp van de passer

2de graad 1ste leerjaar ASO, TSO/KSO (lpl a) - algemene vergelijking van een rechte ( ax + by + c = 0 met a ≠ 0 of b ≠ 0 ) en verband leggen met de verwante eerstegraadsfunctie - stelsels van twee vergelijkingen van de eerste graad met twee onbekenden - problemen analytisch oplossen: vraagstukken, eigenschappen analytisch bewijzen (niet in ASO 4u) - vectoren (niet in ASO 4u, B IW, U elders TSO/KSO)


2

opmerking ASO (5u): ?

‘het vectorbegrip gebruiken om een vergelijking van een rechte op te stellen’ een rechte

→ parametervoorstelling van

2de leerjaar ASO (5u) - loodrechte stand: scalair product (U), loodlijn, afstand van een punt tot een rechte, bissectrices van een rechtenpaar - de cirkel: vergelijking, raaklijn(en), snijpunt(en) van een cirkel en een rechte, snijpunt(en) van twee cirkels - problemen analytisch oplossen (afstand, loodrechte stand, cirkels) opmerking: in 4u enkel vergelijking cirkel

1ste leerjaar TSO (lpl b): - algemene vergelijking van een rechte ( ax + by + c = 0 met a ≠ 0 of b ≠ 0 ) en verband leggen met de verwante eerstegraadsfunctie - stelsels van twee vergelijkingen van de eerste graad met twee onbekenden - vraagstukken - vectoren (B 4+1, U 4)

1ste leerjaar TSO (lpl c) - 2de leerjaar TSO/KSO (lpl d) - algemene vergelijking van een rechte ( ax + by + c = 0 met a ≠ 0 of b ≠ 0 ) en verband leggen met de verwante eerstegraadsfunctie - stelsels van twee vergelijkingen van de eerste graad met twee onbekenden - vraagstukken

3de graad TSO/KSO (lpla) Vlakke analytische meetkunde - vectoren - loodrechte stand: scalair product (U), loodlijn, afstand van een punt tot een rechte, bissectrices van een rechtenpaar - de cirkel: vergelijking, raaklijn(en), snijpunt(en) van een cirkel en een rechte, snijpunt(en) van twee cirkels - problemen analytisch oplossen (afstand, loodrechte stand, cirkels)


3

Elementaire kegelsneden (verplicht IW, keuze elders) - Een ellips, een hyperbool en een parabool definiëren als een verzameling van punten. - De canonieke vergelijking opstellen van een ellips, een hyperbool en een parabool. - De vergelijking opstellen van de raaklijn in een punt van een ellips, een hyperbool en een parabool. - De vergelijking opstellen van de normaal in een punt van een ellips, een hyperbool en een parabool. - De vergelijking opstellen van de middellijn toegevoegd aan een richting. Krommen (keuze) -

Meetkundige voorwaarden analytisch vertolken. De baan van een punt in het vlak beschrijven met een stel parametervergelijkingen. Een kromme tekenen als de poolvergelijking gegeven is. Een kromme gegeven in poolcoördinaten omzetten naar zijn cartesiaanse gedaante en omgekeerd.

ASO (lpl a) Analytische Meetkunde A (keuze) - De parabool, ellips en hyperbool als meetkundige plaatsen definiëren en hun eigenschappen gebruiken om meetkundige problemen op te lossen. - Poolcoördinaten gebruiken om krommen voor te stellen. - Parametervergelijkingen gebruiken om krommen te bestuderen. - Meetkundige plaatsen en krommen bestuderen door ze voor te stellen door een gepaste vergelijking. Analytische Meetkunde B (keuze) - Punten en rechten beschrijven t.o.v. een affiene en euclidische ijk - Meetkundige plaatsen en krommen bestuderen door ze voor te stellen door een gepaste vergelijking - Punten en rechten beschrijven in het gecompleteerde vlak - Affiene eigenschappen van kegelsneden in het gecompleteerde vlak onderzoeken en toepassen - Euclidische eigenschappen van kegelsneden onderzoeken en toepassen


4

2. Zwaartepunt van een driehoek: werken met formule? - m.b.v. tekenprogramma kunnen leerlingen exploratieopdracht uitvoeren zwaartepunt_numeriek.fig

- elke leerling kan zijn/haar ‘zwaartepunt’ berekenen - is er een verband tussen de coördinaten van het zwaartepunt en de coördinaten van de hoekpunten van de gegeven driehoek? - leerkracht kan, m.b.v. symbolisch programma, dit verband aantonen Beschouw hiertoe zo algemeen mogelijk een driehoek ABC met A(a, b ); B(c, d ) en C (e,f ) . De drie zwaartelijnen gaan respectievelijk door c+e d + f  a+e b+ f  a+c b+d  A(a, b ) en D , , , ; B(c, d ) en E  ; C (e, f ) en F  . 2  2  2   2  2  2 In dit bewijs maken we bewust gebruik van een cartesiaanse vergelijking van een rechte door twee punten in de vorm ( y − y1 )( x2 − x1 ) = ( x − x1 )( y2 − y1 ) ! a+c+e b+d + f  Men toont dan aan dat Z  ,  . Zie zwaartepunt.dfw 3 3  


5

3. Afstand van een punt tot een rechte: werken met parametervoorstelling? Numeriek

Bepaal de afstand van het punt P(1,2) tot de rechte r ↔ 2 x + y + 3 = 0 of y = −2 x − 3 . Methode 1: klassieke methode Methode 2 Stel Q(t ,−2t − 3) het voetpunt van de loodlijn uit P op r. − 2t − 5 9 Er geldt dat PQ loodrecht staat op r en dus is ⋅ (− 2 ) = −1 waaruit t = − . t −1 5  9 3 Het punt Q heeft dan coördinaten  − ,  .  5 5 2

2

3 7  9  De gevraagde afstand is PQ = 1 +  +  2 −  = . 5 5  5 

Methode 3 Deze methode steunt op de afstand als ‘minimale afstand’: Stel terug Q(t ,−2t − 3) het voetpunt van de loodlijn uit P op r. PQ =

(1 − t )2 + (5 + 2t )2

= 5t 2 + 18t + 26 . 2

PQ is minimaal van zodra dat PQ minimaal is (en omgekeerd).

Nu is 5t 2 + 18t + 26 minimaal voor t = −

18 9 =− . 10 5

Het vervolg is analoog als hierboven.

Veralgemening tot

uc + vd + w u 2 + v2

• Bepaal de afstand van het punt P(c, d ) tot de rechte r ↔ y = ax + b Stel Q(t , at + b ) het voetpunt van de loodlijn uit P op r. at + b − d ad − ab + c Er geldt dat PQ loodrecht staat op r en dus is ⋅ a = −1 waaruit t = . t −c a2 +1  ad − ab + c a 2 d + ac + b   . Het punt Q heeft dan coördinaten  , 2 2 a + 1 a + 1   2

 ad − ab − a 2 c   ac + b − d   +  De gevraagde afstand PQ =   2 a2 +1    a +1  2

=

2

2

a 2 (ac + b − d ) + (ac + b − d )

(a

2

)

+1

2


6

=

=

(ac + b − d )2 a2 +1 ac + b − d

a2 +1

(1)

• Is een vergelijking van de rechte gegeven in de vorm ux + vy + w = 0 met v ≠ 0 u w − c− −d uc + vd + w u w v v (dus y = − x − ) dan wordt (1) herleid tot = (2). = v v u2 u 2 + v2 +1 v2 • Is een vergelijking van de rechte van de vorm ux + w = 0 (de rechte is dan verticaal), dan kan men gemakkelijk aantonen dat (2) geldig blijft. Een analoge opmerking geldt indien de rechte een horizontale stand aanneemt ( vy + w = 0 ).


7

4. Inspiratie uit wiskunde-olympiades … Multiple choice → open vragen ? Synthetisch – analytisch ? Voorbeeld 1: ’87-’88 R1 vraag 19

Gegeven het vierkant hiernaast. Wat geldt er voor de oppervlakten A, B en C?

Voorbeeld 2: ’90-’91 R1 vraag 21



8


Voorbeeld 5: ’93-’94 R2 vraag 23 → opgave aanpassen ?



9


Voorbeeld 8: ’01-‘02 R1 vraag 5


enz … Analytische Meetkunde – Luc De Wilde

10

5. Meetkundige problemen analytisch oplossen Zwaartelijn in een rechthoekige driehoek:

C

in een rechthoekige driehoek is de zwaartelijn naar de schuine zijde half zo lang als de schuine zijde A M

B

Middenparallel van een trapezium:

C

het lijnstuk dat de middens van de nietevenwijdige zijden van een trapezium verbindt is evenwijdig met de twee evenwijdige zijden en half zo lang als hun som

N

D

M

A

Eigenschappen van een vierhoek:

in een vierhoek zijn de middens van de diagonalen en het midden van het lijnstuk dat de snijpunten van de overstaande zijden verbindt collineair

eig_vierhoek(1).fig

D

M

C

N B

A E


O

F

11

de lijnstukken die de middens van twee opeenvolgende zijden van een willekeurige vierhoek verbinden vormen een parallellogram

eig_vierhoek(2).fig D H C E G B

F

A

Opgelet met: ‘Toon analytisch de stelling van Pythagoras aan’ !!!

projectie-eigenschap.fig

Projectie-eigenschap:

Projecteer elk hoekpunt van een driehoek ABC loodrecht op een willekeurig gekozen rechte r. Noem de loodrechte projecties respectievelijk A’, B’ en C’. Vanuit A’ laat je de loodlijn a’ neer op BC, vanuit B’ laat je de loodlijn b’ neer op AC en vanuit C’ laat je de loodlijn c’ neer op AB. Stel vast dat de rechten a’, b’ en c’ door één punt S gaan. Toon bovenstaande vaststellingen aan op analytische wijze. Doe dit voor driehoek ABC met A (-2,5) , B (8,3) en C (3,1). Welke rechte kies je voor r?

C

c' b'

a' B

A S A' C'

r

B'

Cirkel van Feuerbach

Maak gebruik van een tekenprogramma om de volgende opdracht uit te voeren : - Teken een driehoek ABC. - Bepaal de middens van de drie zijden ( P1 , P2 en P3 ) . -

Bepaal de voetpunten van de drie hoogtelijnen ( P4 , P5 en P6 ) . Bepaal het snijpunt van de hoogtelijnen (H). Bepaal de middens van [ AH ] ,[ BH ] en [ CH ] . ( P7 , P8 en P9 ) . Toon aan dat de punten P1 , P2 ,......, P9 op één cirkel liggen. Bepaal het middelpunt M en de straal r van deze cirkel. Men noemt de cirkel door de negen punten P1 , P2 ,......, P9 de negenpuntscirkel van Feuerbach.


12

De vaststellingen die je met behulp van een tekenprogramma hebt gedaan kan je ook op analytische wijze aantonen. Doe dit voor driehoek ABC met A(-5,-3), B(1,5) en C(7,3). cirkel van Feuerbach.fig H

P8

P6

P4

P9

B P2 M

P7

P1

C

1

P5 1 P3

A

Cirkel van Feuerbach en kegelsneden:

- Alle kegelsneden die de drie hoekpunten van een driehoek ABC en het snijpunt H van de hoogtelijnen bevatten, zijn orthogonale hyperbolen. - De meetkundige plaats van het middelpunt van de voorgaande hyperbolen is een cirkel. - Deze cirkel gaat door de middens van de zes zijden van de volledige vierhoek ABCH en door de drie diagonaalpunten, namelijk AB ∩ CH , BC ∩ CA en CA ∩ BH . Voor meer uitleg: zie cirkel van Feuerbach.dfw


13

Raaklijn aan een cirkel

ABCD is een vierkant met AB = 60 . P is een punt van [CD] zodat DP = 30 . Q is een punt van [BC] zodat BQ = 20 .

raaklijn aan cirkel(1).fig

Is de rechte PQ een raaklijn aan de cirkel met A als middelpunt en straal 60? ⇓

Veralgemening tot ‘eigenschap’?

raaklijn aan cirkel(2).fig ABCD is een rechthoek. P is een punt op [AB] zodat AD = AP . Door P trekt men de rechte r evenwijdig met AD. c is de cirkel met B als middelpunt en straal BC . Noem Q het snijpunt van r en c binnen de rechthoek ABCD.

Is de driehoek ABQ rechthoekig in Q? ⇓ gulden snede!

Parabool en rechthoekige driehoek

Men beschouwt een parabool met topvergelijking y 2 = 2 px . Door het punt A( p,0 ) trekt men een rechte, niet evenwijdig met de as van de parabool, en die de parabool snijdt in de punten B en C. De rechte evenwijdig met de as door het midden van [BC ] snijdt de topraaklijn in D. Toon aan dat de driehoek ABD rechthoekig is. A( p,0 ) , BC ↔ y = m( x − p ) .

parabool(1).fig

 y 2 = 2 px . B en C ‘vinden’ we via   y = m( x − p ) 2 Bijgevolg is m 2 ( x − p ) = 2 px of m2 x 2 − 2 p m2 + 1 x + m2 p 2 = 0 . De som van de oplossingen van deze vergelijking is gelijk 2 p m2 + 1 p m2 +1 p aan zodat x = en yM = . M 2 2 m m m 1 p   Hieruit volgt dat D 0,  . Rico AD = − en rico BC = m  m m zodat beide rechten loodrecht op elkaar staan.

(

(

B

)

)

(

)


D

1 M F

1

A

C

14

Parabool en concurrentie van rechten

Beschouw een parabool met brandpunt F. De loodlijn l in F op de as van de parabool snijdt de parabool in de punten Q en R . De normaal in Q snijdt de parabool een tweede keer in S. Toon aan dat de raaklijn in Q, de evenwijdige door R aan de y-as en de raaklijn in S door één punt gaan. p p  p l↔ y= P ↔ x 2 = 2 py, F  0, , d ↔ y = − 2 2  2 snijdt de parabool in de punten p   p Q − p,  en R p,  . 2   2 p - raaklijn t in Q: y = − x − , normaal n in Q 2 3p y = x+ . 2  x 2 = 2 py  - snijpunten van n met de parabool:  3p y = x +  2 2 2 Hieruit volgt dat x − 2 px − 3 p = 0 .

parabool(2).fig S

Q

F

R 1 1

Eén van de oplossingen (zie punt Q) is − p zodat de andere oplossing 3p is. 9p   Bijgevolg is S  3 p, . 2   9p - raaklijn in S: y = 3 x − , de rechte door R en evenwijdig met de y-as: x = p . 2 p   y = −x − 2  3p   Men toont gemakkelijk aan dat  p,−  de enige oplossing is van  x = p . 2    9p  y = 3x − 2 


15

Ellips en midden van een lijnstuk

Op een ellips neemt men de toppen S en T op de grote as en een willekeurig punt P. De topraaklijn in S snijdt de rechte TP in U en de raaklijn in P aan de ellips in V. Bewijs dat V het midden is van [SU ] . Neem bijvoorbeeld de ellips met als x2 y2 vergelijking + = 1. 25 9 Stel P(5 cos t ,3 sin t ) . - topraaklijn in S : x = −5 x cos t y sin t + =1 - raaklijn in P: 5 3 3 sin t - rechte PT: y = ( x − 5) 5 cos t − 5 3 + 3 cos t   - S (− 5,0) , V  − 5,  en sin t  

ellips(1).fig

6 sin t  6(1 + cos t )    U  − 5,  of nog: U  − 5,  . Hieruit volgt dat V het midden is van [SU ] . 1 − cos t  sin t   

Alternatieve oplossing

Stel P(c, d ) een punt van de ellips, dus

c2 d 2 + =1. 25 9

- topraaklijn in S : x = −5 cx dy - raaklijn in P: + =1 25 9 d - rechte PT: y = ( x − 5) c−5 9(5 + c )  10d    - S (− 5,0) , V  − 5,  en U  − 5, . 5−c 5d    5d   - Het midden van [SU ] heeft coördinaten  − 5, . 5−c   Dit punt valt samen met het punt V als en slechts als 25d 2 = 9(25 − c 2 ) ⇔

5d 9(5 + c ) = of nog: 5−c 5d

d2 c2 c2 d 2 = 1− ⇔ + = 1 ⇔ P ∈ Ke 9 25 25 9


16

Ellips en cirkel

Toon aan: het beeld van een brandpunt van een ellips door de spiegeling t.o.v. een willekeurige raaklijn behoort tot de cirkel die als middelpunt het andere brandpunt heeft en als straal de lengte van de grote as. ellips2.fig

Oplossing: zie bestand ellips(2).dfw


17

Een ellips anders bekeken …


18


19

Hyperbool en parallellogram

Op een hyperbool neemt men een willekeurig punt P. De rechten door P evenwijdig met de asymptoten van deze hyperbool vormen met deze asymptoten een parallellogram waarvan het maatgetal van de oppervlakte constant is. Toon dit aan. hyperbool(1).fig

Q P

1 1 O R

Oplossing: zie bestand hyperbool(1).dfw


20

6. Van goniometrische getallen → analytische meetkunde Beschouw de goniometrische cirkel …

We verkrijgen: 1   1   A(cos t ,0 ); B (0, sin t ); C (1, tan t ); D(cot t ,1); E  ,0  en F  0,   cos t   sin t 

Een analoge constructie m.b.v. een cirkel met straal r levert dan: r   r   A(r cos t ,0 ); B (0, r sin t ); C (r , r tan t ); D (r cot t , r ); E  ,0  en F  0,   cos t   sin t  ⇓ Bovenstaande resultaten zijn een uiterst handig hulpmiddel voor de volgende constructies:  x = a cos t x2 y2 met t ∈ [0,2π [ ; 2 + 2 = 1 - ellips:  a b  y = b sin t

- raaklijn in een punt van een ellips aan die ellips ↔

x cos t y sin t + = 1 : deze rechte snijdt de a b

 a  x-as in S  ,0   cos t 


21

a  2 y2 x = π 3π  x [ [ − =1 ; - hyperbool:  π t en ∈ 0 , 2 \ , cos t   2 2 a b 2 2    y = b tan t

- raaklijn in een punt van een hyperbool aan hyperbool ↔

x y tan t − = 1 : deze rechte a cos t b

snijdt de x-as in S (a cos t ,0) . Zie hiervoor de bestanden: ellips_parametervgln.fig raaklijn ellips.fig hyperbool_parametervgln.fig raaklijn hyperbool.fig

7. Meetkundige plaatsen Analytische Meetkunde – Luc De Wilde

22

Meetkundige plaats 1

Gegeven is een parabool met top T. Op deze parabool neemt men een variabel punt A. De raaklijn a in A aan de parabool snijdt de raaklijn t in de top in het punt B. Bepaal de meetkundige plaats van de middelpunten van de omgeschreven cirkel van de driehoek TAB. Neem voor de eenvoud de parabool met als vergelijking y =

x2 4

MP1.fig

2 x² - y + 1 = 0

A

x² - 4 y = 0

S

1 T

x2 4  t2 T (0,0 ), A t ,  4

1 B

P↔ y=

 t  , B ,0   2 

 t t2 t middelloodlijn TB : x = , midden TA  , 4 2 8 4 t2 middelloodlijn TA : y = − x + + 2 t 8 2 eliminatie : y = 2 x + 1

 t , rico TA = 4 



23

Op een cirkel met straal r neemt men de vaste middellijn AB en één variabel punt P. Bepaal de meetkundige plaats van het zwaartepunt Z van de driehoek ABP als P de cirkel doorloopt. MP2.fig

P

S

1 1

A

B

Stel A(− r ,0) ; B(r ,0) en P(c, d ) met c 2 + d 2 = r 2 . c  x=   c d  3 Voor het zwaartepunt geldt: Z  ,  , m.a.w.:  . 3 3 y = d  3 De parameters c en d elimineren we via de verbindingsvergelijking c 2 + d 2 = r 2 zodat de r2 meetkundige plaats van het zwaartepunt wordt gegeven door x 2 + y 2 = . 9 Meetkundige plaats 3 !!!

Gegeven is de cirkel c met middelpunt M en straal 3 cm. De rechte t raakt aan C in het punt A. 1. Er zijn vier punten die zowel op afstand 1 cm van t als op afstand 1 cm van c liggen. Construeer deze vier punten. 2. Bepaal de meetkundige plaats van de punten die even ver van t als van c liggen.

constructie ↔ analytische uitwerking !!!

MP3.fig


24

1 1

A

P

W

Q

t

V

PQ = 3 en V en W (spiegelbeeld van W t.o.v. Q) fungeren als ‘schuifpasser’.

Stel M(0,0) , c ↔ x 2 + y 2 = 9 , t ↔ y = −3 en A(0,−3) . Een punt P(x,y) ligt op de meetkundige plaats als en slechts als d (P, t ) = 3 − MP (P binnen de cirkel) of d (P, t ) = MP − 3 (P buiten de cirkel). Dit betekent dat y + 3 = 3 − x 2 + y 2 of y + 3 = x 2 + y 2 − 3 en dus x 2 + y 2 = 3 − y + 3 of

x2 + y2 = 3 + y + 3 .

• Is y ≤ −3 dan volgt hieruit dat x 2 + y 2 = 6 + y of

x2 + y2 = −y

x 2 − 36 Bijgevolg: = y mits − 6 ≤ y ≤ −3 (enkel voor (0,−3) !) of x = 0 mits y ≤ −3 . 12 • Is y ≥ −3 dan volgt hieruit dat x 2 + y 2 = − y of

x2 + y2 = 6 + y

Bijgevolg: x = 0 mits − 3 ≤ y ≤ 0 of

x 2 − 36 = y mits y ≥ −3 12

x 2 − 36 • Samengevat: x = 0 voor y ≤ 0 ; y = voor y ≥ −3 . 12 x 2 − 36 Merk op dat y = een parabool is met brandpunt het punt M en als richtlijn de 12 rechte met als vergelijking y = − 6 .


25


Constructieopdracht Een driehoek ABC heeft twee vaste hoekpunten A en B terwijl het hoekpunt C zich verplaatst op een vaste rechte evenwijdig met AB. Bepaal de meetkundige plaats van -

het zwaartepunt van deze driehoek (MP4_Z.fig), het hoogtepunt van deze driehoek (MP4_H.fig), het middelpunt van de omgeschreven cirkel van deze driehoek (MP4_M.fig) het middelpunt van de ingeschreven cirkel van deze driehoek (MP4_I.fig).

Neem bijvoorbeeld A(-4,0), B(4,0) en C(t,4) Z: y =

4 3

C

E

F

1

S

1 D

A

B

1 H: y = − x 2 + 4 4

C

H 1 1 A

B

M: x = 0


26

C

1 M

1 B

A

I: 2 y 2 + (16 − x 2 )y + 2 x 2 − 32 = 0

C

I

1 1 B

A

Oplossing: zie bestand MP4.dfw


27

Meetkundige plaats 5 ⇒ link met projectieve kegelsneden

Gegeven is een vaste driehoek ABC. De rechte r is een variabele rechte evenwijdig met de zijde AB van de driehoek. Het snijpunt van r met BC is het punt D en het snijpunt van r met AC is E. We bepalen de meetkundige plaats van het snijpunt S van de rechten AD en BE. We veronderstellen stilzwijgend dat r verschillend is van AB. MP5.fig

C

1 1

A

B S

E

P

D

Neem bijvoorbeeld A(− 2,0) , B(3,0) en C (0,4) . De rechte r heeft als vergelijking y = t . Hieruit volgt:  12 − 3t  t −4  D , t  en E  , t  , AD ↔ 4tx + (3t − 20) y + 8t = 0 en BE ↔ 2tx + (10 − t ) y − 6t = 0 .  4   2  Eliminatie t levert y = −8 x + 4 . Uitgebreide uitwerking: zie bestand MP5.dfw Link met projectieve kegelsneden: de gevraagde meetkundige plaats kan ook beschouwd worden als de poollijn van het punt AB∞ ten opzichte van de ontaarde kegelsnede bepaald door de rechten AC en CB.


28


x2 y2 + = 1 , T is de top met coördinaten (-a,0). a 2 b2 De loodlijn uit een willekeurig punt P van de ellips K e op de x-as snijdt deze x-as in het punt Q. Noem s de rechte door P en evenwijdig met de x-as. De rechte r door Q en evenwijdig met de rechte TP snijdt de rechte s in een punt S. Toon aan: de meetkundige plaats van de punten S, als P de ellips doorloopt, is de ellips met 2 ( x − a) y2 + 2 =1. vergelijking 4a 2 b

Beschouw de ellips K e ↔

MP6.fig

Stel P(c, d ) met

c2 d 2 d + 2 = 1 , voor Q geldt: Q(c,0) , rico TP = met a + c ≠ 0 . 2 a b a+c

d  (x − c ) y = . S ↔ a+c  y = d Uit dit stelsel halen we c en d en we substitueren de verkregen resultaten in de x−a  2 c2 d 2 ( x − a) y2 c = + =1. ‘verbindingsvergelijking’ 2 + 2 = 1 :  2 zodat a b 4a 2 b2 d = y


29


Beschouw een willekeurige rechte l door de oorsprong die de cirkel c1 ↔ x 2 + y 2 = a 2 snijdt in een punt P en de cirkel c2 ↔ x 2 + y 2 = b 2 in een punt Q. Men construeert de raaklijn p in P aan c1 en de raaklijn q in Q aan c2 . De rechte p snijdt de x-as in een punt R en de rechte q snijdt de y-as in een punt S. Door R tekent men een evenwijdige r met de y-as en door S tekent men een evenwijdige s met de x-as. De rechten r en s snijden elkaar in het punt T. Bepaal de meetkundige plaats van het punt T als l om de oorsprong wentelt. MP7.fig

a   x = cos t a 2 b2 Voor het punt T geldt dat  . Hieruit volgt dat 2 + 2 = 1 een vergelijking is van de x y y = b  sin t gevraagde meetkundige plaats.


30

Meetkundige plaats 8: trifolium van de Longchamps

Gegeven zijn twee vaste punten O en A en een rechte l die O bevat. De orthogonale projectie van A op l is B. Bepaal de meetkundige plaats van de orthogonale projectie P op l van het symmetrisch punt C van B ten opzichte van de rechte OA als l rond O wentelt. MP8.fig

We redeneren voor de eenvoud in het eerste kwadrant. Neem O in de oorsprong en OA = a . De rechte l heeft als cartesiaanse vergelijking y = x tan θ . Voor het punt B geldt (polair): B(a cos θ ,θ ) . Bijgevolg is C (a cos θ ,−θ ) waardoor P(a cos θ . cos 2θ ,θ ) (te verkrijgen via een eenvoudige redenering in de rechthoekige driehoek OPC). De gevraagde meetkundige plaats heeft als poolvergelijking r = a cos θ . cos 2θ .

l

B

1 O

P

1

A

C

Om een cartesiaanse vergelijking van r = a cos θ . cos 2θ te vinden merken we vooraf op dat deze kromme de pool O bevat. r = a cos θ . cos 2θ ⇔ r 4 = ar cos θ .(2r 2 cos 2 θ − r 2 ) ⇔ (x 2 + y 2 ) = ax.(x 2 − y 2 ) 2


31


Gegeven zijn de vaste punten O en A. Beschouw de cirkel c met diameter OA en de raaklijn t aan c in A. Een variabele rechte l door O snijdt c in C en t in B. Bepaal de meetkundige plaats van het midden P van [BC ] . MP9.fig We redeneren ‘voor de eenvoud’ in het eerste kwadrant: Stel O(0,0) en A(a,0) . De variabele rechte l gaat door het punt C (a cos θ ,θ ) (redeneer in de rechthoekige driehoek OCA).  a  Voor het punt B geldt: B ,θ  .  cos θ  De gevraagde meetkundige plaats heeft als a 1  poolvergelijking r =  cos θ + . 2 cos θ  Een analoge redenering in het vierde kwadrant leidt tot eenzelfde resultaat.

t

c C

B P

1 O

1

A

Een cartesiaanse vergelijking vinden we als volgt: x2 + r 2 a 1  ax r zodat  cos θ +  volgt dat r =  +  of 2r = a rx 2r x 2 cos θ  2r 2 x = a x 2 + r 2 .

uit r =

(

)

Bijgevolg verkrijgen we als cartesiaanse vergelijking 2(x 2 + y 2 )x = a (2 x 2 + y 2 ) . Opmerking Het is heel wat moeilijker om de gezochte meetkundige plaats te bepalen ten opzichte van een cartesiaans assenstelsel. We illustreren dit met behulp van het bestand MP9.dfw.


32

Dag van wiskunde. Zaterdag 17 november Werkwinkel 6: analytische meetkunde in tweede en derde graad

Recommend Documents