College 1. Complexe getallen Tijd en Plaats: Het tijdstip waarop het college gegeven wordt is maandagochtend van 10.45 tot 12.30. De colleges zijn in de weken 37-42 in zaal S 209, in de weken 44-49 in zaal M 143. In de weken 45 en 46 is er voor studenten S en F ook college en practicum op maandagmorgen van 8.45 tot 10.30 in M 143. Onderwerp: invoering van complexe getallen, rekenregels, notatie in poolco¨ordinaten, e-macht en logarithme. Opdracht: geen Voorbereidingstijd: 0 Doelstelling: de student moet kunnen rekenen met complexe getallen; hij/zij moet een complex getal van de vorm a + bi kunnen omzetten in de notatie met modulus en argument en omgekeerd; de student moet een gegeven complex getal in het complexe vlak kunnen schetsen, en moet eenvoudige verzamelingen die gegeven zijn in termen van moduli of argumenten in het complexe vlak kunnen schetsen. Literatuur: dictaat hoofdstuk 1, paragraaf 1 tot en met 3 en 6. Stephenson hoofdstuk 7, paragraaf 1 en 2, en paragraaf 3 vanaf de eerste alinea van pagina 114. Huiswerk: 22 a,b,d,e,f. Boek H7: 1,2a Het huiswerk is in de weken 37-42 en 45-49 op donderdagmiddag in S 111. In de weken 37-42 wordt er aansluitend een aansluitcursus gegeven. In week 44 is het huiswerk verdeeld over de zalen S 203 en F 123. Practicum: 22 c,g 23 a,b,c,h Boek H7:3 Het practicum vind gedurende de weken 37-41 en 44-49 plaats op vrijdagochtend van 8.45 tot 12.30 in zaal KC 159, in week 42 op dezelfde tijd in zaal S 111.
1
College 2. Complexe getallen Tijd en Plaats: Onderwerp: de stelling van de Moivre, oplossen van tweedegraads vergelijkingen, en eenvoudige hogeregraads vergelijkingen. Het binomium van Newton komt tijdens het college ter sprake, waarbij ook wordt uitgelegd wat de faculteit van een natuurlijk getal is, en wat de combinatiegetallen zijn, en hoe je die via de driehoek van Pascal kunt vinden. Opdracht: lees de literatuur die bij college 1 hoort nog eens aandachtig door. Ga na wat de formules zijn voor cos 2φ en sin 2φ in termen van cos φ en sin φ. Die formules moet je tijdens het tentamen uit het hoofd kennen. Misschien heb je op de middelbare school kennis gemaakt met kwadraatafsplitsen. Zo ja, bedenk dan nog eens hoe dat ook al weer moest. Zo nee, let dan extra goed op als dat tijdens het college ter sprake komt. Voorbereidingstijd: circa een uur Doelstelling: de student moet in staat zijn tweedegraads vergelijkingen met complexe co¨effici¨enten op te lossen via kwadraatafsplitsen en gebruikmaking van de formules voor de sinus en cosinus van de dubbele hoek. Verder moet de student in staat zijn eenvoudige hogere graads vergelijkingen zelfstandig op te lossen. Passief moet de student het materiaal rondom het binomium van Newton beheersen. Literatuur: dictaat hoofdstuk 1, paragraaf 4 en 5. Boek hoofdstuk 7, paragraaf 4. Huiswerk: 23 d,j 24 a,d Boek H7: 11 a,b 13(de eerste twee) Practicum: 24 c,e √ √ Vermenigvuldig (x − (1 + i 3))(x − (1 − i 3)). Wat valt je op? Maak nu 25 b. Boek H7: 4 a,b, 2b.
2
College 3. Stelsels lineaire vergelijkingen Tijd en Plaats: Onderwerp: Oplossen van stelsels lineaire vergelijkingen via Gauss-eliminatie. Notatie van de oplossingsverzameling in vector-notatie. Invoering van het begrip matrix. Opdracht: lees van te voren hoofdstuk 2 door, en kruis de plaatsen aan waar iets gebeurt dat je niet begrijpt. Voorbereidingstijd: circa een uur Doelstelling: de student moet in staat zijn de vector-notatie voor punten, lijnen en vlakken in de drie dimensionale ruimte te begrijpen. De student moet in staat zijn een stelsel lineaire vergelijkingen op te lossen met behulp van Gauss-eliminatie en de oplossing in vector-notatie weer te geven. Literatuur: hoofdstuk 2 en de eerste alinea van hoofdstuk 3 van het dictaat. Huiswerk: 24 b 27 a Boek H16: 10 en 11 (zonder determinanten) H17: 9 Practicum: 27 b, c en d Neem α vast. Los op: z 4 − 2z 2 sin α + 1 = 0.
3
College 4. Matrices Tijd en Plaats Onderwerp: rekenregels voor matrices, verband met lineaire afbeeldingen, inverteren van matrices. Getransponeerde en geconjugeerde van matrices. Opdracht: lees hoofdstuk 2 van het dictaat nog eens door. Weet je nog wat de samenstelling of compositie van twee afbeeldingen is? Dat speelt een belangrijke rol tijdens het college. Voorbereidingstijd: circa een half uur Doelstelling: de student moet kunnen rekenen met matrices: optellen, aftrekken en vermenigvuldigen. De student moet de inverse van een matrix kunnen berekenen als die bestaat, en kunnen aangeven wanneer die niet bestaat, en wat het verband is met het aantal oplossingen van een stelsel vergelijkingen met die matrix als co¨effici¨entenmatrix. Passief moet de student het verband met lineaire afbeeldingen beheersen. Literatuur: hoofdstuk 3 van het dictaat, van het boek hoofdstuk 17 paragraaf 1, 2 en 3 behalve g en k. 1 1 1 Huiswerk: Boek H17: 1, 4 en 8. Bepaal de inverse van 1 2 3 . 1 4 9 Practicum: Boek H17: 2 √ ! √ ! 3 1 −√12 − 23 2 2 √ . en de matrix P = Gegeven is de matrix X = 1 − 23 12 − 23 2 Ga na dat P −1 XP een diagonaal matrix D is. Wat zegt dat over de getallen op de diagonaal en de vectoren die op de kolommen van P staan? Bereken nu X 2 door gebruik te maken van X = P DP −1 . Laat vervolgens zien dat X 3 − 2X 2 − X + 2I = 0, waar I de 2 × 2 eenheidsmatrix is. Gegeven is de vergelijking z 3 + (−2 + i)z 2 + (7 + 12i)z + 10 − 5i = 0. Laat zien dat z = i een oplossing is, en vind de andere complexe oplossingen. Vind het complexe getal z dat tegelijkertijd voldoet aan de volgende voorwaarden: | z+2+2i | = 1, |z − i − 1| = 2 en Im z > 0. z−2−2i
4
College 5. Determinanten Tijd en Plaats: Onderwerp: invoering van het begrip determinant van een matrix, rekenregels voor determinanten, uitrekenen van een determinant via eliminatie, regel van Cramer. Opdracht: lees de literatuur van college 4 nog eens door. Lees ook de paragrafen 1 en 2 van hoofdstuk 4 van het dictaat door, en kruis aan wat je niet begrijpt. Voorbereidingstijd: circa anderhalf uur Doelstelling: de student moet determinanten van matrices kunnen uitrekenen op een handige manier. De student moet de regel van Cramer kennen, en het verband weten met inverteerbaarheid van de matrix en het al dan niet nul zijn van de determinant. Hij/zij moet weten dat de inverse van een matrix ook met behulp van determinanten kan worden uitgerekend, maar dat dat vaak onhandig is. Literatuur: hoofdstuk 4 van het dictaat, uit het boek hoofdstuk 16 paragraaf 1 tot en met 5, en hoofdstuk 17 paragraaf 3 onderdelen g en k en paragraaf 4. Huiswerk: 26 a, I en ii, b, c, e. Boek H16: 10 met determinanten. 1 1 0 Practicum: 26 f, d BoekH16: 2c, 8 ii. Bereken de inverse van 0 1 0 . 2 0 1
5
College 6. Eigenwaarden en eigenvectoren Tijd en Plaats: Onderwerp: eigenwaarden en eigenvectoren van een matrix. Betekenis daarvan voor de bijbehorende lineaire afbeelding. Uitrekenen van de eigenwaarden via de karakteristieke vergelijking, die eigenvectoren door het oplossen van een stelsel lineaire vergelijkingen. Opdracht: lees nog eens aandachtig de onderdelen van de hoofdstukken 3 en 4 door die gaan over het verband tussen inverteerbaarheid van matrices, de determinant van die matrix en het oplossen van stelsels vergelijkingen. Dit is belangrijke voorkennis voor dit college, en dat moet je goed beheersen. Voorbereidingstijd: circa een uur Doelstelling: de student moet van een gegeven matrix de eigenwaarden en eigenvectoren kunnen berekenen. Passief moet hij/zij het verband weten tussen de eigenwaarden, eigenvectoren en diagonalisatie van de matrix. Literatuur: dictaat hoofdstuk 5, en boek hoofdstuk 17 paragraaf 5. Huiswerk: Boek H17: 16 (met eigenvectoren), 17, 19 a en b. Los op z 2 − (4 − 2i)z + 6 = 0. Practicum: 19 c en d, 20. Vind de eigenwaarden en eigenvec Boek H17: 1 1 0 toren van 0 1 0 . 2 0 1
6
Deeltentamen Wiskunde I is in week 43, op dinsdag 21-10-03 van 10.30 tot 12.30 in zaal Q 105. Niet vergeten je op te geven voor het tentamen!!!!!
7
College 7. Afbeeldingen, limieten, continu¨ıteit en differentieerbaarheid Tijd en plaats: Onderwerp: functies met als domein een interval (of vereniging van intervallen) in IR en bereik IR worden bekeken. De begrippen injectiviteit, surjectiviteit en inverse functie worden besproken. De arcsinus, arccosinus en arctangens worden ingevoerd. De definities van de begrippen limiet, continu¨ıteit en differentieerbaarheid worden gegeven, en enkele stellingen over deze begrippen passeren de revue. Een aantal standaardlimieten wordt besproken. Veel van deze stof is in feite middelbare school stof, dus het tempo zal dit college heel hoog liggen. Het is dus zaak goed voorbereid te zijn. Opdracht: lees van te voren uit het boek hoofdstuk 3, de paragrafen 1 tot en met 4. (Probeer het foutje te ontdekken in de laatste regel van pagina 22!) Voorbereidingstijd: circa anderhalf uur Doelstelling: de student moet een goed begrip hebben van de functies arcsinus, arccosinus en arctangens. Verder moet de student een aantal standaardlimieten en een aantal technieken om limieten uit te rekenen in de vingers krijgen. Een en ander wordt ingebed in een meer theoretische benadering, waar definities, stellingen en een enkel bewijsje voorkomen om de student een beeld te geven van de echt wiskundige benadering van deze onderwerpen waarmee hij/zij al vertrouwd is van de middelbare school. Literatuur: dictaat hoofdstuk 6 en boek hoofdstuk 3, paragraaf 1 tot en met 4. 1 ) Huiswerk: 2 a i-vi, b, H3 1a-g (sec = cos Ga na dat de functie (
f (x) =
x2 sin( x1 ), x 6= 0 0, x=0
differentieerbaar is in x = 0, maar dat limx→0 f 0 (x) niet bestaat. Practicum: 1 a-g, 2a v,vi,vii 3b, Boek H3 1 h,i.
8
College 8. Differentieren Onderwerp: de meer theoretische aspecten van continu¨ıteit en differentieerbaarheid komen in dit college aan bod. Onder andere komen aan bod: de middelwaardestelling (nuttig bij afschattingen), de stelling van l’Hospital (een favoriet om limieten uit te rekenen, wordt meestal verkeerd toegepast door studenten), de stelling van Taylor (wordt veelvuldig toegepast bij benaderingen, vooral in het vak natuurkunde), en de stelling van Leibnitz voor het bepalen van de zoveelste afgeleide van een produkt van twee functies. Bepaling van maxima en minima wordt genoemd; de student wordt verondersteld dit al te kunnen. Opdracht: lees hoofdstuk 7 van het dictaat van te voren door, en kruis aan wat je niet begrijpt. Voorbereidingstijd: circa anderhalf uur Doelstelling: de student moet deze stof voor het grootste deel passief beheersen. Alleen de stellingen van Taylor en Leibnitz moet de student uit het hoofd weten en kunnen toepassen. Literatuur: dictaat hoofdstuk 7 en boek hoofdstuk 3, paragraaf 5, 6 en 7. Huiswerk: 6 b,d 7a,c,f Boek H3: 4 a,c,d,g,h,i ex . Practicum: 4a,c,e,k,g,i Boek H3: 7. Bereken de zesde afgeleide van x+1
9
College 9. Primitiveren en integreren Onderwerp: primitiveren is het omgekeerde van differenti¨eren, het onderwerp is al bekend van de middelbare school. De voorbeelden die we doen zijn ingewikkelder dan op de middelbare school. De technieken die de revue passeren zijn: substitutieregels, parti¨ele integratie. Het verband tussen primitiveren en integreren wordt uitgelegd. Daarna volgt een aantal stellingen over integralen. Oneigenlijke integralen worden ingevoerd als limieten van eigenlijke integralen. Opdracht: lees paragraaf 4.1 a uit het boek door. Sta goed stil bij de tabel op pagina 44. Sommige van de functies die daar genoemd worden ken je niet, maar van de functies die je kent moet je ook de primitieven (uit de tabel) zelf kunnen bepalen. Ga na of je dat nog kunt. Voorbereidingstijd: circa een uur Doelstelling: de student moet goed kunnen primitiveren en integreren. De genoemde technieken moet de student beheersen. De student moet kunnen omgaan met oneigenlijke integralen. Literatuur: dictaat hoofdstukken 8 en 9, uit het boek paragraaf hoofdstuk 4. Huiswerk: 9a, 10a, 11 a,b,c,d 12 a,b,f 16 a,d, 17 a (met x = u1 ), c,e. Practicum: 11 afmaken, Boek H4: 2a,c,f,d, 3.
10
College 10. Differentiaalvergelijkingen Onderwerp: gewone differentiaal vergelijkingen van het type y 0 = F (x, y). We bekijken eerst vragen als: wat verstaan we onder een oplossing? Wat betekent het als F (x, y) niet gedefinieerd is in een punt (x, y)? Vervolgens worden voor enkele eenvoudige types oplossingsmethoden gegeven. Scheiding van variabelen, lineaire eerste orde vergelijkingen met variatie van constanten en vergelijkingen met homogenene functies worden bekeken. Daarna worden tweede-orde lineaire differentiaalvergelijkingen met constante co¨effici¨enten behandeld (zowel homogeen als inhomogeen). Opdracht: lees nog eens na hoe het ook alweer zat met oplossen van tweedegraads verge-lijkingen met complexe co¨effici¨enten (H oofdstuk 1 van het dictaat). Bekijk ook nog eens de e-macht van een complex getal. Voorbereidingstijd: circa een half uur. Doelstelling: leren oplossen van een aantal veel voorkomende types (meest lineaire) differentiaalvergelijkingen. Literatuur: dictaat hoofdstuk 12, uit het boek hoofdstuk 21, paragraaf 1, 2, 3 a,b,d, 4, 5 en 6a. Als aanvullende literatuur kan de ge¨ınteresseerde student de rest van hoofdstuk 21 lezen, behalve paragraaf 11, die volgende week aan bod komt. Huiswerk: 18 a,b, 19 a,b, 20 e,f,i. Practicum: 18 c,d (zonder beginwaarde), e, 20 a,b,c,m,g.
11
College 11. Stelsel lineaire differentiaalvergelijkingen Onderwerp: eerste orde stelsels lineaire differentiaalvergelijkingen. Het hele college heeft het karakter van een herhaling van de stof. Zo komen eigenwaarden en eigenvectoren op een natuurlijke manier weer boven water, en ook moet er met complexe getallen worden gerekend. Er wordt ook een min of meer realistisch probleem behandeld dat lijdt tot een stelsel van twee gekoppelde lineaire eerste orde differentiaalvergelijkingen. Opdracht: lees nog eens hoofdstuk 5 van het dictaat door. Voorbereidingstijd: circa een half uur. Doelstelling: herhaling van de stof, naast het behandelen van een belangrijk stuk wiskundig gereedschap. Literatuur: dictaat hoofdstuk 13, en paragraaf 21.11 uit het boek. Huiswerk: 20 j, 28 a,b,c,d. Practicum: 20 k, 28 e,f,g,h.
12
College 12. Partieel differenti¨eren, enige vectorcalculus NOTA BENE: alleen voor Scheikunde studenten Tijd en plaats: Nader aan te kondigen. Aansluitend practicum. Onderwerp: parti¨eel differenti¨eren van functies van IR2 en IR3 naar IR, de begrippen scalair- en vectorveld. Gradient, divergentie en rotatie. Vectorvoorstellingen van lijnen en vlakken in IR3 . In- en uitproduct van vectoren. Opdracht: lees de appendix tot halverwege pagina 47 en lees vervolgens de hoofdstukken 10 en 11 van het dictaat door, en kruis aan wat je niet begrijpt. Voorbereidingstijd: circa anderhalf uur Doelstelling: de student moet enigszins vertrouwd raken met wiskundige formuleringen waarbij vectoren een rol spelen. Verder spelen de hier geintroduceerde begrippen een belangrijke rol bij het vak natuurkunde. Literatuur: dictaat hoofdstuk 10, 11 en de appendix. Uit het boek hoofdstuk 9, paragraaf 1 tot en met 5 en hoofdstuk 19. Practicum: Boek H9: 1a,b, 9 a,b. H19: 20 a,c, 22 b, 24 a,c. Boek H9: 4, H19: 20 b, 22 a,c, 24 b,d.
13
College 13. Klein project voor de Scheikundestudenten. Tijd en plaats S 111 is beschikbaar voor de voorbereiding op donderdag van 13.45 tot 17.30. Vrijdag presentaties in KC 159 van 8.45 tot 12.30. Ter afsluiting doen de studenten Scheikunde in een groepje een klein projectje. Dit hangt samen met de stof van de laatste twee weken, en betreft een min of meer practisch model. De studenten moeten een schriftelijk verslagje maken, en een kleine presentatie houden over hun project. De tijd die voor het uitwerken van het project beschikbaar is, is de tijd van het college en de huiswerkmiddag. De presentaties vinden plaats tijdens het practicum op de vrijdag. Het bijwonen van de presentaties is een verplicht onderdeel van de cursus, ook voor de MNW-studenten. College 13 voor MNW-studenten is er op woensdag en donderdag gelegenheid tentamenopgaven te oefenen. Op vrijdag is het bijwonen van de presentaties van de projecten van de Scheikundestudenten een verplicht onderdeel van de cursus.
14
Tentamen Het tentamen is op maandag 15-12-03 van 10.30 tot 12.30 in zaal Q 105. Vergeet weer niet je op tijd op te geven!
15
